লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি

মোট প্রশ্ন৪৭,৮৩৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৭১ / ৪৭৫ · ৭,০০১–৭,১০০ / ৪৭,৮৩৩

৭,০০১.
a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b) এর একটি উৎপাদক - 
  1. ক
    ক) a - b
  2. খ
    খ) a - c
  3. গ
    গ) a + b + c
  4. ঘ
    ঘ) উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা
ধরি, f(a) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b)
f(b) = b3(b - c) + b3(c - b) + c3(b - b)
       = b3(b - c) - b3(b - c)
       = 0
f(c) = c3(b - c) + b3(c - c) + c3(c - b)
       = c3(b - c) - c3(b - c)
       = 0
এবং f( - b - c)
= ( - b - c)3(b - c) + b3{c - ( - b - c)} + c3{( - b - c) - b}
= - (b + c)3(b - c) + b3(b + c + c) - c3( b + c + b)
= - (b + c)3(b - c) + b3(b + c) + b3c - c3( b + c) - bc3)
= - (b + c)3(b - c) + (b + c)(b3 - c3) + b3c - bc3
= - (b + c)3(b - c) + (b + c)(b - c)(b2 + bc + c2) + bc(b2 - c2)
= - (b + c)3(b - c) + (b + c)(b - c)(b2 + bc + c2) + bc(b + c)(b - c)
= (b + c)(b - c){- (b + c)2 + b2 + bc + c2 + bc}
= (b + c)(b - c)(- b2 - 2bc - c2 + b2 + bc + c2 + bc)
= (b + c)(b - c)(- 2bc + 2bc)
= 0
অতএব, (a - b), (a - c), (a + b + c) প্রত্যেকে f(a) এর উৎপাদক।
৭,০০২.
ক, খ ও গ এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫ : ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশি পেলে ক এর বেতন কত?
  1. ক
    ৩৩৩ টাকা
  2. খ
    ৭৭৭ টাকা
  3. গ
    ৬৬৬ টাকা
  4. ঘ
    ৫৫৫ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক, খ ও গ এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫ : ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশি পেলে ক এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন ৭x টাকা,
খ এর বেতন ৫x টাকা
গ এর বেতন ৩x টাকা।

প্রশ্নমতে,
৫x - ৩x = ২২২
বা, ২x = ২২২
∴ x = ১১১

∴ ক এর বেতন = ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা
৭,০০৩.
log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    16
  3. গ
    4/9
  4. ঘ
    7/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + 1
⇒ log105 + log10(5b - 3) = log10(b + 2) + log1010
⇒ log10[5(5b - 3)] = log10[10(b + 2)]
⇒ 25b - 15 = 10b + 20
⇒ 15b = 35
⇒ b = 35/15
∴ b = 7/3

৭,০০৪.
একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১ । এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।
  1. ক
    ক) ১২ গ্রাম
  2. খ
    খ) ৪ গ্রাম
  3. গ
    গ) ৩ গ্রাম
  4. ঘ
    ঘ) ৬ গ্রাম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। গহনায় কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান: 
গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১৬×১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি, ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১
(ক + ১২)/৪ = ৪/১
ক + ১২ = ১৬
ক = ১৬ - ১২
ক = ৪
∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম। 
৭,০০৫.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের?
  1. ক
    ক) সমকোণী
  2. খ
    খ) সুক্ষ্মকোণী
  3. গ
    গ) সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত ২ : ৪ : ৬। ত্রিভুজটি কী ধরণের? 

সমাধান;
২ক + ৪ক + ৬ক = ১৮০°
⇒ ১২ক = ১৮০° 
⇒ ক = ১৫° 

৬ক = ৬ × ১৫° = ৯০° । সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।
৭,০০৬.
x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?
  1. ক
    ক) -3√3 
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 6√3 
  4. ঘ
    ঘ) 9√3 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = √3 হলে x3 + 1/x3 এর মান কোনটি?

সমাধান:
 x3 + 1/x3 
={x + (1/x)}3 - 3.x.(1/x).{x+(1/x)}
=(√3)3 - 3√3 [x + 1/x = √3]
=(√3)2( √3) -3√3
= 3√3 - 3√3
= 0
৭,০০৭.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) 150%
  2. খ
    খ) 125%
  3. গ
    গ) 100%
  4. ঘ
    ঘ) 200%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাসার্ধ 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ = r + (r এর 50%) = 1.5r
∴ ক্ষেত্রফল = π(1.5r)2 = 2.25πr2

∴ বৃদ্ধি = (2.25πr2 - πr2)
= 1.25πr2

শতকরা বৃদ্ধি = (1.25πr2/πr2) × 100%
= 125%
৭,০০৮.
৪০ মিনিট আগে ঘড়িতে সময় ছিলো ২ : ৩৫ মিনিট। ৪ টা বাজতে এখন আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?
  1. ক
    ৫৪ মিনিট
  2. খ
    ৪৫ মিনিট
  3. গ
    ৫০ মিনিট
  4. ঘ
    ৩৬ মিনিট
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০ মিনিট আগে ঘড়িতে সময় ছিলো ২ : ৩৫ মিনিট। ৪ টা বাজতে এখন আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

সমাধান:
৪০ মিনিট আগে সময় ছিলো = ২ : ৩৫ মিনিট
​বর্তমান সময় = ২ : ৩৫ মিনিট + ০ : ৪০ মিনিট = ৩ : ১৫ মিনিট
​
∴ ​৪ টা বাজতে বাকি আছে = (৪ : ০০ - ৩ : ১৫) মিনিট = ৪৫ মিনিট

৭,০০৯.
চিত্রে ABCD বর্গক্ষেত্রের পরিলিখিত বৃত্রের ব্যাসার্ধ 2 সে.মি হলে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 4π - 8
  2. খ
    খ) 4π + 8
  3. গ
    গ) 2π - 4
  4. ঘ
    ঘ) 2π + 4
ব্যাখ্যা

বৃত্রের ক্ষেত্রফল = π × 22 = 4π বর্গ cm
আবার, বর্গের কর্ণ = বৃত্রের ব্যাস = 2.2 = 4 cm
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = 4/√2 cm
∴             ক্ষেত্রফল = (4/√2)2 = 8 বর্গ cm
∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ cm

৭,০১০.
একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৬০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৯৬ বর্গমিটার
  3. গ
    ৭২ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৬৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান : 
ধরি,
ঘরটির দৈর্ঘ্য ৩ক মিটার
∴ প্রস্থ = ৩ক × (২/৩) = ২ক মিটার
∴ পরিসীমা = ২(৩ক + ২ক) = ১০ক

শর্তমতে,
১০ক = ৪০
∴ ক = ৪মিটার

ঘরটির ক্ষেত্রফল = ৩ক × ২ক = ৩ × ৪ × ২ × ৪ বর্গমিটার
= ৯৬ বর্গমিটার
৭,০১১.
৩০ মিটার কাপড় যে মূল্যে ক্রয় করে, ২০ মিটার কাপড় সে মূল্যে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
  1. ক
    ক) ২০%
  2. খ
    খ) ২৫%
  3. গ
    গ) ৪০%
  4. ঘ
    ঘ) ৫০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ মিটার কাপড় যে মূল্যে ক্রয় করে, ২০ মিটার কাপড় সে মূল্যে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান: 
ধরি,
৩০ মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ মিটার কাপড়ের ক্রয়মূল্য ক/৩০ টাকা 

২০ মিটার কাপড়ের বিক্রয়মূল্য ক টাকা 
১ মিটার কাপড়ের বিক্রয়মূল্য ক/২০ টাকা

লাভ = (ক/২০) - (ক/৩০)  টাকা 
= (৩ক - ২ক)/৬০ 
= ক/৬০ টাকা 

শতকরা লাভ  = {(ক/৬০) × (৩০/ক) × ১০০%}  
= ৫০%
৭,০১২.
(n + 3)! = 90 × (n + 1)! হলে n এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (n + 3)! = 90 × (n + 1)! হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
(n + 3)! = 90 × (n + 1)!
⇒ (n + 3)(n + 2) × (n + 1)! = 90 × (n + 1)!
⇒ n2 + 5n + 6 = 90
⇒ n2 + 5n - 84 = 0
⇒ n2 + 12n - 7n - 84 = 0
⇒ n( n + 12) - 7(n + 12) = 0
⇒ (n - 7)(n + 12) = 0
হয় n - 7 = 0     অথবা n + 12 = 0
∴   n = 7                     n = - 12
৭,০১৩.
2 + 4 + 8 + 16 + …….. ধারাটির কত তম পদ 1024?
  1. ক
    12 তম
  2. খ
    8 তম
  3. গ
    9 তম
  4. ঘ
    10 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + …….. ধারাটির কত তম পদ 1024?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
আমরা জানি,
n তম পদ = arn – 1
সুতরাং, arn – 1 = 1024
বা, 2 · 2n – 1 = 1024
বা, 2n – 1 = 512
বা, 2n – 1 = 29
বা, n – 1 = 9
∴ n = 10
৭,০১৪.
163/4 ÷ 161/2 = কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 163/4 ÷ 161/2 = কত?

সমাধান: 
163/4 ÷ 161/2
= 16(3/4) - (1/2)
= 16(3 - 2)/4
= 161/4
= 24 × (1/4)
= 21
= 2

৭,০১৫.
২০, ২৫, ৩০, ........ , ১৩০ ধারাটিতে মোট পদ আছে-
  1. ক
    ২৩টি
  2. খ
    ২৪টি
  3. গ
    ২৫টি
  4. ঘ
    ২৬টি
ব্যাখ্যা

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৩০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৩০ - ২০)/৫ + ১
= ১১০/৫ + ১
= ২২ + ১
= ২৩

৭,০১৬.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?
  1. ক
    ক) ৮ সে.মি.
  2. খ
    খ) ৪ সে.মি.
  3. গ
    গ) ৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ঘ) ৭ সে.মি.
ব্যাখ্যা
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে
ধরি,
ভূমি = ৪ সে.মি.
লম্ব = ৩ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = √{(ভূমি)২ + (লম্ব)২}
                                             = √(৩২ + ৪২)
                                             = √২৫
                                            = ৫ সেন্টিমিটার
৭,০১৭.
12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?
  1. ক
    1104 ঘন সে.মি.
  2. খ
    1004 ঘন সে.মি.
  3. গ
    1876 ঘন সে.মি.
  4. ঘ
    1212 ঘন সে.মি.
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.

৭,০১৮.
যদি P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) এর মান কত?
  1. ক
    0.6
  2. খ
    2.2
  3. গ
    0.5
  4. ঘ
    3.5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 0.6 = 6/10 = 3/5
P(B) = 0.5 = 5/10 = 1/2
এবং A ও B স্বাধীন

∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (3/5) × (1/2)
= 3/10

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/10)/(3/5)
= (3/10) × (5/3)
= 1/2 = 0.5
৭,০১৯.
2log2x - log2(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2log2x - log2(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
2log2x - log2(x - 2) = 3
⇒ log2x2 - log2(x - 2) = 3
⇒ log2{x2/(x - 2)} = 3
⇒ {x2/(x - 2)}= 23 = 8
⇒ x2 = 8(x - 2)
⇒ x2 - 8x + 16 = 0
⇒ (x - 4)2 = 0
⇒ x = 4
৭,০২০.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৪৫ হলে, সংখ্যা দুইটি-
  1. ক
    ১২ ও ২০
  2. খ
    ৯ ও ১৫
  3. গ
    ১৫ ও ২৫
  4. ঘ
    ১০ ও ১৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ এবং তাদের ল.সা.গু ৪৫ হলে, সংখ্যা দুইটি-

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৫ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১৫ক

শর্তমতে,
১৫ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/১৫
∴ ক = ৩

সুতরাং ৩ক = ৩ × ৩ = ৯  এবং ৫ক = ৫ × ৩ = ১৫

∴ সংখ্যা দুটি ৯ ও ১৫
৭,০২১.
প্রশ্ন:
  1. ক
    35
  2. খ
    5
  3. গ
    - 1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
৭,০২২.
দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?
  1. ক
    সম্পূরক কোণ
  2. খ
    পূরক কোণ
  3. গ
    সন্নিহিত কোণ
  4. ঘ
    একান্তর কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির কী কোণ বলে?

সমাধান:
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ বলে।

- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা কে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে ছেদকের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত কোণ দ্বয় সমান হয়, একে একান্তর কোণ বলে।
৭,০২৩.
(1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক হবে?
  1. ক
    সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে
  2. খ
    সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা বড় হবে
  3. গ
    সাধারণ অনুপাত ধনাত্মক হবে
  4. ঘ
    সাধারণ অনুপাত 1 অপেক্ষা বড় হবে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক হবে?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে।
৭,০২৪.
প্রশ্ন: 
  1. ক
    q5
  2. খ
    5
  3. গ
    q1/5
  4. ঘ
    √q
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 


সমাধান:
৭,০২৫.
২৫, ৩০, ৩৫ এবং ৪০ এর ল.সা.গু কত?
  1. ক
    ৩৮০০
  2. খ
    ৪২০০
  3. গ
    ৪৪০০
  4. ঘ
    ৩২০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৫, ৩০, ৩৫ এবং ৪০ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

২৫, ৩০, ৩৫ এবং ৪০ এর ল.সা.গু = ৫ × ২ × ৫ × ৩ × ৭ × ৪ = ৪২০০
৭,০২৬.
একটি ঘরের দৈর্ঘ্য 6 মিটার, প্রস্থ 4 মিটার এবং উচ্চতা 2 মিটার হলে ঘরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল-
  1. ক
    30 বর্গমিটার
  2. খ
    60 বর্গমিটার
  3. গ
    40 বর্গমিটার
  4. ঘ
    80 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2 (6 + 4) × 2
= 4 × 10
= 40 বর্গমিটার।

৭,০২৭.
সুষম অষ্টভুজের একটি বহিস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ৪৫°
  2. খ
    ৫০°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ১৩৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের একটি বহিস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ টি
মোট অন্তস্থকোণের পরিমাণ = (৮ - ২) ১৮০°
= ৬ × ১৮০°
= ১০৮০°

প্রতি অন্তস্থকোণের পরিমাণ = ১০৮০/৮ = ১৩৫°
∴ বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৮০° - ১৩৫°
= ৪৫°
৭,০২৮.
{1/|2x - 3|} ≥ (1/5) অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    - 1 ≤ x ≤ 4
  2. খ
    - 2 ≤ x ≤ 6
  3. গ
    - 3 ≤ x ≤ 5
  4. ঘ
    - 4 ≤ x ≤ 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {1/|2x - 3|} ≥ (1/5) অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
1/|2x - 3| ≥ 1/5
⇒ |2x - 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ 2x - 3 ≤ 5
⇒ - 5 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 2/2 ≤ 2x/2 ≤ 8/2
⇒ - 1 ≤ x ≤ 4
৭,০২৯.
a1/8 = √3 হলে a = কত?
  1. ক
    81
  2. খ
    27
  3. গ
    3
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a1/8 = √3 হলে a = কত? 

সমাধান: 
a1/8 = √3
(a1/8)8 =(√3)8
a = (31/2)8
a = 34
a = 81
৭,০৩০.
প্রথম দিনে 1 টাকা, দ্বিতীয় দিনে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 4 টাকা, চতুর্থ দিনে 8 টাকা, এরূপে প্রতিদিন ব্যাংকে জমা রাখলে 10 দিনে মোট কত টাকা হবে?
  1. ক
    1023 টাকা
  2. খ
    1029 টাকা
  3. গ
    1114 টাকা
  4. ঘ
    1131 টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রথম দিনে 1 টাকা, দ্বিতীয় দিনে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 4 টাকা, চতুর্থ দিনে 8 টাকা, এরূপে প্রতিদিন ব্যাংকে জমা রাখলে 10 দিনে মোট কত টাকা হবে?

সমাধান:
1 + 2 + 4 + 8 + ...... 10টি পদের সমষ্টি।
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, q = 2/1 = 2
পদসংখ্যা, n = 10

10-টি পদের সমষ্টি = a · {(qn - 1)/(q - 1)}
= 1 · {(210 - 1)/(2 - 1)}
= 210 - 1
= 1024 - 1
= 1023
৭,০৩১.
১০ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪:১ এবং ১০ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে ২:১। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত বছর?
  1. ক
    ৩০ বছর
  2. খ
    ৪০ বছর
  3. গ
    ২৫ বছর
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪:১ এবং ১০ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে ২:১। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের পার্থক্য কত বছর?

সমাধান:
ধরি,
বর্তমানে পিতার বয়স = ক বছর
বর্তমানে পুত্রের বয়স = খ বছর
১০ বছর আগে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪:১
(ক - ১০)/(খ - ১০) = ৪/১
⇒ ক - ১০ = ৪খ - ৪০
⇒ ক - ৪খ = - ৩০ .....(১)
১০ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে ২:১
(ক + ১০)/(খ + ১০) = ২/১
⇒ ক + ১০ = ২খ + ২০
⇒ ক - ২খ = ১০ .....(২)
সমীকরণ ১ থেকে সমীকরণ ২ বিয়োগ করি:
(ক - ৪খ) - (ক - ২খ) = - ৩০ - ১০
⇒ - ২খ = - ৪০
⇒ খ = ২০
পুত্রের বয়স, খ = ২০ বছর।
পিতার বয়স:
ক - ৪০ = ১০ [এখন সমীকরণ ২ ব্যবহার করে]
⇒ ক = ৫০

বর্তমান বয়সের পার্থক্য: ৫০ - ২০ = ৩০ বছর।

৭,০৩২.
কতজন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
  1. ক
    ৫ জন
  2. খ
    ১০ জন
  3. গ
    ১৫ জন
  4. ঘ
    ২০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু = ৫ 

∴ ৫ জন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।
৭,০৩৩.
a = 3, m = 2, n = 1 হলে (am)n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

a = 3, m = 2, n = 1
∴ (am)n = (32)1 = 9

৭,০৩৪.
x + y = 4 এবং x3 + y3 = 28 হলে xy এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    35
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4 এবং x3 + y3 = 28 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 4 এবং
x3 + y3 = 28

আমরা জানি,
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
⇒ 28 = (4)3 - (3xy × 4)
⇒ 28 = 64 - 12xy
⇒ 12xy = 64 - 28 
⇒ 12xy = 36
⇒ xy = 36/12
⇒ xy = 3
৭,০৩৫.
২০২৪ সালের নভেম্বর মাসের তৃতীয় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৩
  2. খ
    ২/৭
  3. গ
    ৩/৭
  4. ঘ
    ৫/৭
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০২৪ সালের নভেম্বর মাসের তৃতীয় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
এক সপ্তাহ = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
অর্থাৎ, শনিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭

∴ শনিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= ১ - (৫/৭)
= ২/৭
৭,০৩৬.
একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ১৬ বর্গ সেন্টিমিটার
  2. খ
    ২০ বর্গ সেন্টিমিটার
  3. গ
    ৩৬ বর্গ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১০ সেন্টিমিটার ও ৮ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১০ সেন্টিমিটার 
অপর কর্ণটি = ৮ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১০ × ৮
= ৪০ বর্গ সেন্টিমিটার।

৭,০৩৭.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত 3 : 5 হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) 27 : 125
  2. খ
    খ) 6 : 10
  3. গ
    গ) 3 : 5
  4. ঘ
    ঘ) 9 : 25
ব্যাখ্যা
ধরি,
দুইটি বৃত্তের ব্যাস 3x এবং 5x
বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধ 3x/2 এবং 5x/2
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x/2)2 : π(5x/2)2
                                                     = 9πx2/4 : 25πx2/4
                                                      = 9 : 25
৭,০৩৮.
tanθ = b হলে (1 - b2)/(1 + b2) = কত?
  1. ক
    ক) sin2θ
  2. খ
    খ) cos2θ
  3. গ
    গ) tan2θ
  4. ঘ
    ঘ) cot2θ
ব্যাখ্যা

cos2θ
= (1 - tan2θ)/(1 + tan2θ)
= (1 - b2)/(1 + b2)

৭,০৩৯.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
  1. ক
    15°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    75°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

∴ বৃত্তস্থ কোণ = 30°/2 = 15°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°

∴ 15 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 15° = 75°
৭,০৪০.
একজন বিক্রেতা ১২% ক্ষতিতে একটি চেয়ার বিক্রয় করেন। যদি তিনি চেয়ারটি ২২১ টাকা বেশী মূল্যে বিক্রয় করতেন তাহলে তার ১৪% লাভ হতো। চেয়ারের ক্রয়মূল্য কত?
  1. ক
    ৫২০ টাকা
  2. খ
    ৫৮০ টাকা
  3. গ
    ৭৫০ টাকা
  4. ঘ
    ৮৫০ টাকা
  5. ঙ
    ১০০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ১২% ক্ষতিতে একটি চেয়ার বিক্রয় করেন। যদি তিনি চেয়ারটি ২২১ টাকা বেশী মূল্যে বিক্রয় করতেন তাহলে তার ১৪% লাভ হতো। চেয়ারের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ১৪% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ১৪% = (১০০ + ১৪) টাকা = ১১৪ টাকা
এবং
১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০০ এর ১২% = (১০০ - ১২) টাকা = ৮৮ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশী হয় = (১১৪ - ৮৮) টাকা = ২৬ টাকা 

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২৬ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২৬ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ২২১ টাকা বেশী হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২২১)/২৬ টাকা = ৮৫০ টাকা 

সুতরাং চেয়ারের ক্রয়মূল্য = ৮৫০ টাকা
৭,০৪১.
যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. গ
    20
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = 62 + 4 × 91
⇒ (x + y)2 = 36 + 364
⇒ (x + y)2 = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

৭,০৪২.
৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?
  1. ক
    ২৫%
  2. গ
    ৫০%
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান:
২ জন কমালে, নতুন লোক সংখ্যা = ৮ - ২ = ৬ জন। 
৮ জনে কাজটি করতে পারে ১২ দিনে
সুতারাং, ৬ জনে কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮) / ৬ = ১৬ দিনে।
বাড়তি দিন = ১৬ - ১২ = ৪ দিন
শতকরা বৃদ্ধি = (৪/১২) × ১০০ =

৭,০৪৩.
একটি চেয়ার নির্মাতা ২০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ চেয়ারের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?
  1. ক
    ২৮৮ টাকা
  2. খ
    ২৭৮ টাকা
  3. গ
    ২৯৪ টাকা
  4. ঘ
    ২৬৪ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চেয়ার নির্মাতা ২০% লাভে ও খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ চেয়ারের নির্মাণ খরচ ২০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২০% লাভে,
নির্মাতার লাভ = ২০০ × (২০/১০০) = ৪০ টাকা
তাহলে, খুচরা বিক্রেয়তার ক্রয়মুল্য = ২০০ + ৪০ = ২৪০ টাকা

আবার,
খুচরা বিক্রয়তার ২০% লাভে,
 খুচরা বিক্রয়তার  লাভ  = ২৪০ × (২০/১০০) = ৪৮  টাকা

∴ চেয়ারটির খুচরা মুল্য = ২৪০ + ৪৮ = ২৮৮ টাকা
৭,০৪৪.
যদি 2x2 + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয় তাহলে m এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x2 + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয় তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ,
2x2 + mx + 8 = 0 কে
ax2 + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = m এবং c = 8

আমরা জানি,
দ্বীঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক,
b2 = 4ac
⇒ m2 = 4 × 2 × 8
⇒ m2 = 64
∴ m = 8 [যেহেতু m > 0]
৭,০৪৫.
০, ১, ২, ৫ দিয়ে গঠিত ৪ অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?
  1. ক
    ৪১৮৫
  2. খ
    ৪৫৭৫
  3. গ
    ৪২৬৫
  4. ঘ
    ৪৩৬৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৫ দিয়ে গঠিত ৪ অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?

সমাধান:
০, ১, ২, ৫ দিয়ে গঠিত ৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৫২১০
০, ১, ২, ৫ দিয়ে গঠিত ৪ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৫

পার্থক্য = ৫২১০ - ১০২৫
= ৪১৮৫
৭,০৪৬.
x + y = 8, x - y = 6 হলে, x2 + y2 এর মান-
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 80
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8, x - y = 6 হলে, x2 + y2 এর মান-

সমধান:
x + y = 8
x - y = 6

2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x - y)2
2(x2 + y2) = 82 + 62
2(x2 + y2) = 64 + 36 
2(x2 + y2)= 100
x2 + y2 = 50

৭,০৪৭.
৫০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২.৫ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৪৫০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩৭৫ বর্গমিটার
  3. গ
    ৪২৫ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৫০০ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ এবং ৩০ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২.৫ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের,
দৈর্ঘ্য = ৫০ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ৫৫ মিটার
প্রস্থ = ৩০ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ৩৫ মিটার

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫৫ × ৩৫) = ১৯২৫ বর্গমিটার

এবং
রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৩০) = ১৫০০ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (১৯২৫ - ১৫০০) = ৪২৫ বর্গমিটার
৭,০৪৮.
দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 121 : 169। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?
  1. ক
    7 : 8
  2. খ
    8 : 9
  3. গ
    9 :11
  4. ঘ
    11 : 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 121 : 169। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 121 : 169

∴ বর্গদুটির বাহুর অনুপাত = √121 : √169
= 11:13

∴  পরিসীমার অনুপাত = 4×11 : 4×13
= 44 : 52
= 11:13 

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 121 : 169 হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত 11:13 হবে।
৭,০৪৯.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি হবে- 
  1. ক
    x2 - 7x - 10 = 0
  2. খ
    x2 - 2x - 10 = 0
  3. গ
    x2 - 3x - 10 = 0
  4. ঘ
    x2 - 10x - 15 = 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি হবে- 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে,
সমীকরণটি নিম্নরূপ: 
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x2 - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0 
⇒ x2 - 3x - 10 = 0
৭,০৫০.
একটি সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য ২১ ফুট এবং ব্যাসার্ধ ৪ ফুট হলে এর আয়তন কত?
  1. ক
    ১২৬২ ঘন ফুট
  2. খ
    ৯৮২ ঘন ফুট
  3. গ
    ১০৫৬ ঘন ফুট
  4. ঘ
    ১১২৪ ঘন ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য ২১ ফুট এবং ব্যাসার্ধ ৪ ফুট হলে এর আয়তন কত?

সমাধান:
সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য h = ২১ ফুট
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r = ৪ ফুট

সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h
= (২২/৭) × ৪২ × ২১
= ২২ × ১৬ × ৩
= ১০৫৬ ঘন ফুট
৭,০৫১.
৩০০০ টাকা করে দু’টি চেয়ার বিক্রয় করা হয়েছে। একটি ১৫% লাভে এবং অন্যটি ১৫% ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছিল। সব মিলিয়ে কত লাভ বা লোকসান হয়েছিল?
  1. ক
    ক) ১৩৮ টাকা ক্ষতি (প্রায়)
  2. খ
    খ) ১৩৮ টাকা লাভ (প্রায়)
  3. গ
    গ) ১২০ টাকা লাভ (প্রায়)
  4. ঘ
    ঘ) ১২০ টাকা ক্ষতি (প্রায়)
ব্যাখ্যা
১৫% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা যখন ক্রয়মূল্য = (৩০০০ × ১০০)/১১৫ টাকা = ২৬০৮.৭০ টাকা
১৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩০০০ টাকা যখন ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩০০০)/৮৫ টাকা = ৩৫২৯.৪১ টাকা
∴ মোট বিক্রয়মূল্য = ২ × ৩০০০ = ৬০০০ টাকা
∴ মোট ক্রয়মূল্য = (২৬০৮.৭০ + ৩৫২৯.৪১) = ৬১৩৮.১১ টাকা
∴ ক্ষতি = ১৩৮.১১ টাকা = ১৩৮ টাকা (প্রায়)।
৭,০৫২.
একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ৩৬ মিটার
  2. খ
    ২০ মিটার
  3. গ
    ২৪ মিটার
  4. ঘ
    ৪৮ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
একটি খুঁটির ১/৪ অংশ কাঁদায়, ১/২ অংশ পানিতে আছে।

অতএব, কাঁদায় ও পানিতে আছে
খুঁটিটির ( ১/৪ + ১/২) অংশ
= খুঁটিটির ৩/৪ অংশ 

অবশিষ্ট আছে
= খুঁটিটির (১ - ৩/৪) অংশ
= খুঁটিটির ১/৪ অংশ

খুঁটিটির ১/৪ অংশ = ১২ মিটার
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য
= ১২ × ৪ মিটার
= ৪৮ মিটার
৭,০৫৩.
log5 5√5 = কত?
  1. ক
    1/2
  2. খ
    3/4
  3. গ
    3/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log5 5√5 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log5 5√5 = a
⇒ 5a = 5√5
⇒ 5a = 51 × 5(1/2)
⇒ 5a = 5{1 + (1/2)}
⇒ a = 1 + (1/2)
⇒ a = (2 + 1)/2
⇒ a = 3/2
∴ a = 3/2
৭,০৫৪.
১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ১০১
  2. খ
    ১০৭
  3. গ
    ১১৭
  4. ঘ
    ১২৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৭ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো = ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭
এদের মধ্য একক স্থানীয় অঙ্ক ৭ আছে এমন সংখ্যা = ১৭, ৩৭, ৪৭
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৭ + ৩৭ + ৪৭ = ১০১
৭,০৫৫.
যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 
  1. ক
    সম্ভব
  2. খ
    অসম্ভব
  3. গ
    সমবাহু
  4. ঘ
    সমকোণী
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো ত্রিভুজে দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি কী হবে? 

সমাধান:
ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) অনুযায়ী, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল সর্বদা তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

• যদি দুই বাহুর যোগ তৃতীয় বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য হবে এবং এটি কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারবে না।

উদাহরণ:
- বাহুসমূহ a, b, c এবং a + b = c।
- ত্রিভুজ গঠনের জন্য a + b > c হতে হবে।
- a + b = c হলে এটি এক সরলরেখা তৈরি করে, ত্রিভুজ নয়।

∴ ত্রিভুজটি আঁকা সম্ভব নয়।

৭,০৫৬.
(x + 5)(x - 9) - 15 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    x + 10
  2. খ
    x - 8
  3. গ
    x - 10
  4. ঘ
    x + 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 5)(x - 9) - 15 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
(x + 5)(x - 9) - 15
= x2 - 9x + 5x - 45 - 15
= x2 - 4x - 60
= x2 - 10x + 6x - 60
= x(x - 10)  + 6(x - 10)
= (x - 10)(x + 6)
৭,০৫৭.
m একটি জোড় সংখ্যা এবং n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে?
  1. ক
    (m × n) + 1
  2. খ
    mn - 1
  3. গ
    m × (n + 1)
  4. ঘ
    n2 + 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m একটি জোড় সংখ্যা এবং n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, m = 2 (জোড়) এবং n = 3 (বিজোড়)।

অপশন ক) (m × n) + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) mn - 1 = 23 - 1 = 8 - 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) m × (n + 1) = 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) n2 + 2 = 32 + 2 = 9 + 2 = 11 ⇒ বিজোড়

দেখা যাচ্ছে, শুধুমাত্র 'গ' অপশনটি সর্বদা জোড় সংখ্যা প্রদান করে।
∴ সঠিক উত্তর: গ) m × (n + 1)

৭,০৫৮.
একজন লোকের খামারে কিছু মুরগী এবং গরু আছে যদি মোট মাথার সংখ্যা 39 টা হয় কিন্তু পায়ের সংখ্যা 102 টা হয় তবে মোট কত গুলো গরু আছে?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
ধরি গরুর সংখ্যা x তাহলে মুরগীর সংখ্যা = 39-x
শর্তমতে,
4x +2(39-x) = 102
⇒2x = 24
∴ x = 12
৭,০৫৯.
আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৬ সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/২
  2. খ
    ২/৭
  3. গ
    ৫/৭
  4. ঘ
    ০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৬ সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০১৬ সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট দিন = ৭ দিন
এই সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন 
∴ বৃষ্টি হয়নি = ৭ − ৫ = ২ দিন

সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত = বৃষ্টি না হবার দিন/মোট দিন
= ২/৭
৭,০৬০.
১৫, ২৮, ৩৫, ৪০, ১২, ৫৫, ২০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ৩২
  2. খ
    ৩৫
  3. গ
    ৪০
  4. ঘ
    ৪৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫, ২৮, ৩৫, ৪০, ১২, ৫৫, ২০ উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১২
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৫ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫৫ - ১২) + ১
= ৪৩ + ১
= ৪৪
৭,০৬১.
A = {x ∈ N : x, 24 এর গুণনীয়ক এবং 4 এর গুণিতক} হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে? 
  1. ক
    ক) A = {2, 4, 8, 12}
  2. খ
    খ) A = {2, 3, 6, 12}
  3. গ
    গ) A = {4, 8, 12, 24}
  4. ঘ
    ঘ) A = {2, 4, 12, 24}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A= {x ∈ N : x, 24 এর গুণনীয়ক এবং 4 এর গুণিতক} হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে? 

সমাধান:
24 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
24 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে 4 এর গুণিতকগুলো হলো: 4, 8, 12, 24
A = {4, 8, 12, 24}
৭,০৬২.
কোন স্কুলের ছাত্রদেরকে ৫, ৮, ১২ ও ২০ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ৯৬ জন
  2. খ
    খ) ১০৪ জন
  3. গ
    গ) ১১৬ জন
  4. ঘ
    ঘ) ১২৪ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন স্কুলের ছাত্রদেরকে ৫, ৮, ১২ ও ২০ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৪ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা হবে ৫, ৮, ১২, ২০ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ বেশি।

৫, ৮, ১২, ২০ এর ল.সা.গু = ১২০ 

∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত = ১২০ + ৪ জন 
= ১২৪ জন 
৭,০৬৩.
x,y,z>0;হলে √(x-2y2)×√(y-2z2)×√(z-2x2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) xyz
  4. ঘ
    ঘ) y
ব্যাখ্যা

√(x-2y2)×√(y-2z2)×√(z-2x2)
=√(y2/x2)×√(z2/y2)×√(x2/z2)
=y/x×z/y×x/z
=1

৭,০৬৪.
বার্ষিক ১২% মুনাফায় 'ক' বছরে ১৫০০ টাকার সরল মুনাফা ৯০০ টাকা হলে 'ক' এর মান কত?
  1. ক
    ৬ বছর
  2. খ
    ৫/২ বছর
  3. গ
    ৭ বছর
  4. ঘ
    ৫ বছর
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% মুনাফায় 'ক' বছরে ১৫০০ টাকার সরল মুনাফা ৯০০ টাকা হলে 'ক' এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১২%
সরল মুনাফা, SI = ৯০০ টাকা
সময়, n = 'ক' বছর

আমরা জানি, 
SI = Prn
⇒ ৯০০ = (১৫০০ × ১২ × ক)/১০০ 
⇒ ৯০০ = ১৫ × ১২ × ক
⇒ ৯০০ = ১৮০ × ক
⇒ ক = ৯০০/১৮০ 
∴ ক = ৫ 

সুতরাং, 

'ক' এর মান = ৫ বছর। 

৭,০৬৫.
একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৪। যদি ক্লাসটিতে ৮৪ জন ছাত্র থাকে, তাহলে ওই ক্লাসের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা হল-
  1. ক
    ১৩২ জন
  2. খ
    ১২৬ জন
  3. গ
    ১৩৬ জন
  4. ঘ
    ১৪৪ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৪। যদি ক্লাসটিতে ৮৪ জন ছাত্র থাকে, তাহলে ওই ক্লাসের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা হল-

সমাধান:
ছাত্র ছাত্রীর অনুপাত ৭ : ৪

ধরি,
ছাত্রের সংখ্যা ৭ক
ছাত্রীর সংখ্যা ৪ক

প্রশ্নমতে,
৭ক = ৮৪
∴ ক = ১২

∴ মোট শিক্ষার্থী = ৭ক + ৪ক = ১১ক = ১১ × ১২ = ১৩২ জন
৭,০৬৬.
213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?
  1. ক
    152
  2. খ
    145
  3. গ
    121
  4. ঘ
    133
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

৭,০৬৭.
৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৭২ : ১০৫
  2. খ
    খ) ৩৫ : ৭২
  3. গ
    গ) ৭২ : ৩৫
  4. ঘ
    ঘ) ১০৫ : ৭২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬ এর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান: 
 দেওয়া আছে, 
৫ : ১৮, ৭ : ২ এবং ৩ : ৬

∴ মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৭ × ৩) : (১৮ × ২ × ৬)
= ১০৫ : ২১৬ 
= ৩৫: ৭২
৭,০৬৮.
0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    1/10
  2. খ
    1/9
  3. গ
    1/6
  4. ঘ
    1/5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1 = 1/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.01/0.1 = 1/10

গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/10)/{1 - (1/10)}
= (1/10)/{(10 - 1)/10}
= (1/10)/(9/10)
= (1/10) × (10/9)
= 1/9 

৭,০৬৯.
64 + 32 + 16 + .............. ধারাটির কোন পদ 1/2?
  1. ক
    ক) 6ষ্ঠ
  2. খ
    খ) 7ম
  3. গ
    গ) 8ম
  4. ঘ
    ঘ) 9ম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + .............. ধারাটির কোন পদ 1/2?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 1/2

∴ arn - 1 = 1/2
⇒ 64 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 64)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/128
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)7
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8ম পদ 1/2
৭,০৭০.
একটি দ্রব্য ১৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো, শতকরা ক্ষতির হার কত?
  1. ক
    ৫%
  2. খ
    ১০%
  3. গ
    ১২%
  4. ঘ
    ১৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো, শতকরা ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
একটি দ্রব্য ১৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলে,
∴ ক্রয়মূল্য = (১৮০ + ২০) টাকা
= ২০০ টাকা

২০০ টাকায় ক্ষতি হয় = ২০ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় = ২০/২০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (২০ × ১০০)/২০০ টাকা
= ১০ টাকা বা ১০%
৭,০৭১.
একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 12 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 44 টাকা হলে কলমটির মূল্য কত?
  1. ক
    20 টাকা
  2. খ
    25 টাকা
  3. গ
    30 টাকা
  4. ঘ
    16 টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 12 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 44 টাকা হলে কলমটির মূল্য কত?
 
সমাধান:
মনেকরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
সুতরাং, বইয়ের মূল্য = x + 12 টাকা 

প্রশ্নমতে,    
x + x + 12 = 44
⇒ 2x + 12 = 44
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
 
অতএব, কলমের মূল্য = 16 টাকা

৭,০৭২.
দুই বছর পূর্বে সামিরের বয়স বাবুলের বয়সের দ্বিগুণ ছিল। এখন সামির ও বাবুলের বয়সের পার্থক্য 2 বছর হলে সামিরের বয়স কত?
  1. ক
    8 বছর 
  2. খ
    6 বছর 
  3. গ
    10 বছর 
  4. ঘ
    12 বছর 
  5. ঙ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই বছর পূর্বে সামিরের বয়স বাবুলের বয়সের দ্বিগুণ ছিল। এখন সামির ও বাবুলের বয়সের পার্থক্য 2 বছর হলে সামিরের বয়স কত?

সমাধান: 
ধরি,
দুই বছর পূর্বে বাবুলের বয়স ছিলো x বছর।
দুই বছর পূর্বে সামিরের বয়স ছিলো 2x বছর।

এখন, 
বর্তমানে বাবুলের বয়স হবে (x + 2) বছর
এবং সামিরের বয়স হবে (2x + 2) বছর।

প্রশ্নমতে,
(2x + 2) - (x + 2) = 2
⇒ 2x + 2 - x - 2 = 2
∴ x = 2
∴ সামিরের বর্তমান বয়স হবে = (2 × 2) + 2
= 4 + 2
= 6 বছর।

৭,০৭৩.
রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে? 
  1. ক
    ১ টি
  2. খ
    ২ টি
  3. গ
    ৩ টি
  4. ঘ
    ৪ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে? 

সমাধান: 
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
৭,০৭৪.
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত হবে?
  1. ক
    6√3 বর্গ মিটার
  2. খ
    8√3 বর্গ মিটার
  3. গ
    10√3 বর্গ মিটার
  4. ঘ
    12√3 বর্গ মিটার
ব্যাখ্যা

 প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 24/3 = 8  মিটার

তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহুর দৈর্ঘ্য )2 = (√3/4) × 82= (√3/4) × 64= 16√3 বর্গ মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক = 16√3/2 = 8√3 বর্গ মিটার

৭,০৭৫.
মুনাফা-আসল একত্রে ১২০০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, মুনাফা কত টাকা? 
  1. ক
    ২২০ টাকা 
  2. খ
    ২৪০ টাকা 
  3. গ
    ২৬০ টাকা 
  4. ঘ
    ২৯০ টাকা 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মুনাফা-আসল একত্রে ১২০০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, মুনাফা কত টাকা? 

সমাধান: 
ধরি,
মুনাফা = ক টাকা
আসল = ৪ক টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (ক + ৪ক) টাকা
= ৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৫ক = ১২০০
বা, ক = ১২০০/৫
= ২৪০ টাকা

∴ মুনাফা = ২৪০ টাকা।

৭,০৭৬.
2x3 + 3x2 - 3x - 2 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x - 2
  3. গ
    x - 1
  4. ঘ
    x + 3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x3 + 3x2 - 3x - 2 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x3 + 3x2 - 3x - 2
এখন, x এর মান এমনভাবে বসাতে হবে যেন f(x) = 0 হয়।
যদি x = 1 বসাই,
f(1) = 2(1)3 + 3(1)2 - 3(1) - 2
= 2(1) + 3(1) - 3 - 2
= 2 + 3 - 3 - 2
= 0

যেহেতু f(1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

৭,০৭৭.
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
  1. ক
    ক) 225π
  2. খ
    খ) 169π
  3. গ
    গ) 121π
  4. ঘ
    ঘ) 144π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 26 মিটার। মাঠটির বাইরে চারদিকে 2মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাসহ মাঠটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান: 
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = 26/2 মিটার
                                                  =13মিটার

রাস্তাসহ মাঠের ব্যাসার্ধ = (13 + 2)মিটার
                                   = 15 মিটার

অতএব, রাস্তাসহ মাঠের খেত্রফল = πr2 মিটার
                                                = π × 152 মিটার
                                                = 225π মিটার
৭,০৭৮.
2 + 4 + 8 + 16 +................... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    824
  2. খ
    982
  3. গ
    1022
  4. ঘ
    1024
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +................... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = 4/2 = 2

9 টি পদের সমষ্টি = a · {(r9 - 1)/(r - 1)}
= 2 · {(29 - 1)/(2 - 1)}
= 2 ·  {(512 - 1)/1}
= 1022
৭,০৭৯.
x - 5y = 16 এবং x + 3y = 0 হলে, x = ?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -6
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা

x - 5y = 16......(1)
x + 3y = 0.......(2)
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
-8y = 16
∴ y = -2
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 6 = 0
∴ x = 6

৭,০৮০.
2x + 3y - 12 = 0 রেখাটি x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক- 
  1. ক
    (0, 6)
  2. খ
    (6, 0)
  3. গ
    (0, - 6)
  4. ঘ
    (- 6, 0)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x + 3y - 12 = 0 রেখাটি x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-

সমাধান: 
প্রদত্তরেখা 2x + 3y - 12 = 0
x -অক্ষের ছেদবিন্দুতে y = 0
∴ 2x - 12 = 0
বা, 2x = 12
বা, x = 12/2
∴ x = 6
∴ x- অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাং = (6, 0)  ।
৭,০৮১.
যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ - cos(- θ) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    0
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি cotθ = 1 হয়, তবে sinθ - cos(- θ) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
cotθ = 1 
⇒ cotθ = cot45°
∴ θ = 45 

এখন, 
sinθ - cos(- θ) 
= sinθ - cosθ 
= sin45 - cos45°
= (1/√2) - (1/√2) 
= 0
৭,০৮২.
কোনো ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব হবে?
  1. ক
    ক) ৬ঃ৫ঃ৪
  2. খ
    খ) ১২ঃ৮ঃ৪
  3. গ
    গ) ৬ঃ৪ঃ৩
  4. ঘ
    ঘ) ৩ঃ৪ঃ৫
ব্যাখ্যা
৩ঃ৪ঃ৫ অনুপাতে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়া সম্ভব। কারণ যদি ভূমি ৩ একক, লম্ব ৪ একক ধরা হয়, তবে অতিভুজ ৫ একক পাওয়া যাবে।
৭,০৮৩.
a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a - 3) হলে অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a2 + 3a + 3)
  2. খ
    (a2 - 3a - 3)
  3. গ
    (a2 - 3a + 2)
  4. ঘ
    (a2 - 3a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 6a2 + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a - 3) হলে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a3 - 6a2 + 12a - 9
= a3 - 3 . a2 . 2 + 3 . a . 22 - 23 - 1
= (a - 2)3 - 13
= (a - 2 - 1) {(a - 2)2 + (a - 2) . 1 + 12}
= (a - 3) (a2 - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3) (a2 - 3a + 3)
৭,০৮৪.
তিনটি সংখ্যার গড় ৫৬। যদি ১ম সংখ্যাটি ২য় সংখ্যার দ্বিগুণ এবং ৩য় সংখ্যার অর্ধেক হয় তবে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ১৮
  2. খ
    ২৪
  3. গ
    ৩৫
  4. ঘ
    ৪২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার গড় ৫৬। যদি ১ম সংখ্যাটি ২য় সংখ্যার দ্বিগুণ এবং ৩য় সংখ্যার অর্ধেক হয় তবে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
 
সমাধান:
প্রথম সংখ্যাটি = ২ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ক
তৃতীয় সংখ্যাটি = ৪ক
 
প্রশ্নমতে
(২ক + ক + ৪ক)/৩ = ৫৬
বা, ৭ক/৩ = ৫৬
বা, ক = (৫৬ × ৩)/৭
ক = ২৪
 
ছোট সংখ্যাটি = ২৪
৭,০৮৫.
মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৩। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ১১ : ৩
  2. খ
    ৩ : ৭
  3. গ
    ২ : ৫
  4. ঘ
    ৫ : ৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৩। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের সমষ্টি (৬০ - ২ × ৫) = ৫০ বছর

৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৩
অনুপাতের যোগফল ১০

৫ বছর পূর্বে মায়ের বয়স ৫০ এর ৭/১০ = ৩৫ বছর
৫ বছর পূর্বে মেয়ের বয়স ৫০ - ৩৫ = ১৫ বছর

১০ বছর পর মায়ের বয়স ৩৫ + ১৫ = ৫০ বছর
১০ বছর পর মেয়ের বয়স (১৫ + ১৫) বছর  = ৩০ বছর

∴ ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত ৫০ : ৩০ = ৫ : ৩
৭,০৮৬.
২০ টাকায় ৫টি করে লেবু ক্রয় করে ৮০০ টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?
  1. ক
    ১৫০টি 
  2. খ
    ১৬০টি 
  3. গ
    ১৭৫টি 
  4. ঘ
    ১৯০টি 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ টাকায় ৫টি করে লেবু ক্রয় করে ৮০০ টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয় করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% লাভে,
৫টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ২০ × (১২৫/১০০) টাকা = ২৫ টাকা

এখন,
২৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৫ টি লেবু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৫/২৫ = ১/৫ টি লেবু
∴ ৮০০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (১/৫) × ৮০০ = ১৬০টি লেবু


সুতরাং, ৮০০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ১৬০টি লেবু বিক্রি করতে হবে। 

৭,০৮৭.
(x + y)2 = 144 এবং xy = 27 হলে x - y এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + y)2 = 144 এবং xy = 27  হলে x - y এর মান কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x + y)2 = 144 এবং
xy = 27

এখন,
(x + y)2 = 144
বা, (x - y)2 + 4xy = 144
বা, (x - y)2 = 144 - 4xy
বা, (x - y)2 = 144 - (4 × 27)
বা, (x - y)2 = 144 - 108
বা,(x - y)2 = 36
বা, (x - y) = 6
৭,০৮৮.
x + y = 5, xy = 6 এবং x > y হলে, x3 - y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    - 20
  3. গ
    10
  4. ঘ
    - 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 এবং x > y হলে, x3 - y3 - 3(x2 + y2) এর মান কত?

সমাধান:
৭,০৮৯.
৩√২ কোন ধরনের সংখ্যা?
  1. ক
    মূলদ সংখ্যা
  2. খ
    জটিল সংখ্যা
  3. গ
    অমূলদ সংখ্যা
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩√২ কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান:
৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা।

ক) মূলদ সংখ্যা (Rational Number): এমন সংখ্যা যা দুইটি পূর্ণ সংখ্যার ভাগফলে প্রকাশ করা যায় p/q যেখানে q ≠ 0। দশমিক রূপ শেষ হয় বা পুনরাবৃত্তি হয়।
যেমনঃ ১/২, ০.৭৫, ৪, - ২ ইত্যাদি।

খ) জটিল সংখ্যা (Complex Number): যে সংখ্যা বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ নিয়ে গঠিত হয়, অর্থাৎ a+bi যেখানে i = √-১ ,যদি কোনো সংখ্যায় থাকে, তবে তা জটিল।
যেমনঃ ৩ + ২i, - ৪i, ৭ + ২i

গ) অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): ৩√২ হলো অমূলদ সংখ্যা (irrational number), কারণ এর দশমিক মান অসীম এবং পুনরাবৃত্তিহীন। ৩√২ হলো একটি অমূলদ সংখ্যার সাথে একটি মূলদ সংখ্যার গুণফল।
অমূলদ সংখ্যা = মূলদ সংখ্যা × অমূলদ সংখ্যা

৭,০৯০.
৫ উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের মোট কতটি উপসেট আছে?
  1. ক
    ক) ১৬
  2. খ
    খ) ৫n
  3. গ
    গ) ৩২
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

৫ উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের মোট উপসেট আছে = ২৫ = ৩২ টি

৭,০৯১.
যদি x2 - 25 = 12 হয় এবং x + 5 = 4 হয় তবে x - 5 = কত?
  1. ক
    ক) - 6
  2. খ
    খ) - 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 - 25 = 12 হয় এবং x + 5 = 4 হয় তবে x - 5 = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
 x + 5 = 4

এখন 
x2 - 25 = 12
⇒ x2  - 52 = 12
⇒ (x + 5)(x - 5) = 12
⇒ 4(x - 5) = 12
    x - 5 = 3 
৭,০৯২.
একজন শ্রমিকের বেতন প্রতিবছর ১০% বৃদ্ধি পায়। বর্তমানে ঐ শ্রমিকের বেতন ৪৮৪ টাকা হলে, দুই বছর আগে তার বেতন কত টাকা ছিল?
  1. ক
    ৩৫০ টাকা
  2. খ
    ৩৮০ টাকা
  3. গ
    ৪০০ টাকা
  4. ঘ
    ৪২০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শ্রমিকের বেতন প্রতিবছর ১০% বৃদ্ধি পায়। বর্তমানে ঐ শ্রমিকের বেতন ৪৮৪ টাকা হলে, দুই বছর আগে তার বেতন কত টাকা ছিল?

সমাধান:
ধরি, ২ বছর আগে ঐ শ্রমিকের বেতন ছিল = ক টাকা
এখন,
শ্রমিকের বেতন ১০০ টাকা হলে, ১ বছরে বৃদ্বি পেয়ে হবে = ১১০ টাকা
∴ ২ বছর পর বেতন হবে = ক এর ১১০% এর ১১০%

প্রশ্নমতে, ক এর ১১০% এর ১১০% = ৪৮৪
বা, ক = ৪৮৪ × (১০০/১১০) × (১০০/১১০)
∴ ক = ৪০০ টাকা
৭,০৯৩.
দুই টাকার ও পাঁচ টাকার 70 টি মুদ্রায় মোট 215 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা যথাক্রমে কয়টি?
  1. ক
    35, 35
  2. খ
    15, 55
  3. গ
    50, 20
  4. ঘ
    45, 25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই টাকার ও পাঁচ টাকার 70 টি মুদ্রায় মোট 215 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা যথাক্রমে কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা = x
তাহলে, পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা হবে = 70 - x

প্রশ্নমতে,
2x + 5(70 - x) = 215
⇒ 2x + 350 - 5x = 215
⇒ - 3x + 350 = 215
⇒ - 3x = 215 - 350
⇒ - 3x = - 135
⇒ x = - 135/- 3
∴ x = 45

∴ দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা = 45 টি
∴ পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা হবে = 70 - 45 = 25 টি
৭,০৯৪.
একটি ক্লাসরুমে ১২ জন শিক্ষার্থী বসার পরও ৪/৭ অংশ সিট ফাঁকা থাকে। ঐ ক্লাসরুমে মোট সিট সংখ্যা কত?
  1. ক
    ১৪ টি
  2. খ
    ২১ টি
  3. গ
    ২৮ টি
  4. ঘ
    ৩৫ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসরুমে ১২ জন শিক্ষার্থী বসার পরও ৪/৭ অংশ সিট ফাঁকা থাকে। ঐ ক্লাসরুমে মোট সিট সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ ক্লাসে মোট সিট সংখ্যা = ক টি 

শিক্ষার্থীদের বসা সিটের সংখ্যা = ক - ক এর ৪/৭ অংশ = ক - (৪ক/৭) = (৭ক - ৪ক)/৭ = ৩ক/৭ 

প্রশ্নমতে,
৩ক/৭ = ১২
বা, ৩ক = ১২ × ৭
বা, ৩ক = ৮৪
বা, ক = ৮৪/৩
বা, ক = ২৮

অর্থাৎ ওই ক্লাসে মোট সিট সংখ্যা = ২৮ টি 
৭,০৯৫.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫। সংখ্যা দুইটির উভয় পদ থেকে ৬ বিয়োগ করলে সংখ্যা দুইটির অনুপাত হয় ৫ : ৩। সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে-
  1. ক
    ২০ এবং ১৪
  2. খ
    ১৮ এবং ১৩
  3. গ
    ২১ এবং ১৫
  4. ঘ
    ১৯ এবং ১৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৫। সংখ্যা দুইটির উভয় পদ থেকে ৬ বিয়োগ করলে সংখ্যা দুইটির অনুপাত হয় ৫ : ৩। সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(৭ক - ৬)/(৫ক - ৬) = ৫/৩
⇒ ২৫ক - ৩০ = ২১ক - ১৮
⇒ ৪ক  =  ১২
∴ ক = ৩

∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে, ৭ × ৩ = ২১ এবং ৫ × ৩ = ১৫
৭,০৯৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) 39°
  2. খ
    খ) 41°
  3. গ
    গ) 49°
  4. ঘ
    ঘ) 51°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 12° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 8°

এখন
x + x +12° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 102°
⇒ x = 78°/2
∴ x = 39°

ক্ষুদ্রতম কোণ 39°
৭,০৯৭.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১০। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি ৩৬ বৃদ্ধি পেলে সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ২৮
  2. খ
    ৩৭
  3. গ
    ৪৬
  4. ঘ
    ৮২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১০। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি ৩৬ বৃদ্ধি পেলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক = ক
এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক = খ
∴ সংখ্যাটি = (ক + ১০খ)

দেওয়া আছে,
ক + খ = ১০...................(১) 

প্রশ্নমতে,
(১০ক + খ) - (ক + ১০খ) = ৩৬
⇒ ৯ক - ৯খ = ৩৬
⇒ ৯(ক - খ) = ৩৬
⇒ (ক - খ) = ৩৬/৯
⇒ (ক - খ) = ৪.................(২) 

(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
২ক = ১৪
⇒ ক = ১৪/২ = ৭

ক এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
৭ + খ = ১০
⇒ খ = ১০ - ৭ = ৩

∴ সংখ্যাটি = ক + ১০খ = ৭ + (১০ × ৩) = ৭ + ৩০ = ৩৭

শর্টকাটঃ
অপশন টেস্ট করলে ৩৭ সংখ্যাটিকে উল্টো করলে ৭৩ সংখ্যা পাওয়া যায়, যা ৩৭ হতে ৩৬ বেশি। 
৭,০৯৮.
২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত? 
  1. ক
    ১০ 
  2. খ
    ১৫ 
  3. গ
    ২০ 
  4. ঘ
    ৩০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু
এখানে,
২, ৩, ৫ লবগুলোর ল.সা.গু = ৩০
এবং
৫, ৪, ৭ হরগুলোর গ.সা.গু = ১ 

∴ ২/৫, ৩/৪, ৫/৭ ভগ্নাংশগুলোর ল.সা.গু = ৩০/১ 
= ৩০ ।

৭,০৯৯.
x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক -
  1. ক
    ক) x - y
  2. খ
    খ) x + y - 1
  3. গ
    গ) x + y + 2
  4. ঘ
    ঘ) x - y + 2
ব্যাখ্যা

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2.y.1 + 1²)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

৭,১০০.
৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০ টাকা হবে?
  1. ক
    ক) ৪ বছর
  2. খ
    খ) ৫ বছর
  3. গ
    গ) ৬ বছর
  4. ঘ
    ঘ) ৭ বছর
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ১০০ = ৫০০ × n × ৫%
বা, ১০০ = ৫০০ × n × ৫/১০০
বা, ১০০ = ২৫n
বা, n = ৪ বছর