৬,৫০১.
যদি কিউব-ক এর সাইড ও কিউব-খ এর সাইডের অনুপাত ২ : ১, তা হলে এর তল দুটির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, কিউব ক এর সাইড ২x একক
এবং, কিউব খ এর সাইড x একক
∴ তল দুটির অনুপাত = ৬(২x)২ : ৬(x)২ = ২৪x২ : ৬x২ = ৪ : ১
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
গাণিতিক যুক্তি
গাণিতিক যুক্তি
PrepBank · পাতা ৬৬ / ৪৭৫ · ৬,৫০১–৬,৬০০ / ৪৭,৮৩৩
৬,৫০২.
একজন দোকানদার ৫০ কেজির এক বস্তা চাল ১৬০০ টাকায় ক্রয় করলেন। চালের দাম কমে যাওয়ায় ১৫০০ টাকায় বিক্রয় করেন। তার শতকরা ক্ষতি কত?
ব্যাখ্যা
ক্ষতি = ১৬০০ - ১৫০০ = ১০০ টাকা
১৬০০ টাকায় ক্ষতি ১০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি ১০০ × ১০০/১৬০০ = ৬.২৫
১৬০০ টাকায় ক্ষতি ১০০ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি ১০০ × ১০০/১৬০০ = ৬.২৫
৬,৫০৩.
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ ১৫ মিঃ। মাঠের সীমানা ঘেষে ৫ মিটার চাওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন?
ব্যাখ্যা
রাস্তাবাদে বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = πr²
রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = π(r+৫)²
রাস্তার ক্ষেত্রফল = π(r+৫)² - πr² = π(২০² - ১৫²) = ১৭৫π
রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = π(r+৫)²
রাস্তার ক্ষেত্রফল = π(r+৫)² - πr² = π(২০² - ১৫²) = ১৭৫π
৬,৫০৪.
৯০ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। এতে কত লিটার পানি মেশালে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০ লিটার মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। এতে কত লিটার পানি মেশালে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ৭ হবে?
সমাধান:
মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত = ৭ : ৩
∴ অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = (৭ + ৩) = ১০
মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = ৯০ এর ৭/১০ = ৬৩ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৯০ এর ৩/১০ = ২৭ লিটার
ধরি,
পানি মিশাতে হবে = ক লিটার
প্রশ্নমতে,
৬৩/(২৭ + ক) = ৩/৭
⇒ ৮১ + ৩ক = ৪৪১
⇒ ৩ক = ৪৪১ - ৮১
⇒ ৩ক = ৩৬০
∴ ক = ১২০ লিটার
সমাধান:
মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত = ৭ : ৩
∴ অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = (৭ + ৩) = ১০
মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = ৯০ এর ৭/১০ = ৬৩ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৯০ এর ৩/১০ = ২৭ লিটার
ধরি,
পানি মিশাতে হবে = ক লিটার
প্রশ্নমতে,
৬৩/(২৭ + ক) = ৩/৭
⇒ ৮১ + ৩ক = ৪৪১
⇒ ৩ক = ৪৪১ - ৮১
⇒ ৩ক = ৩৬০
∴ ক = ১২০ লিটার
৬,৫০৫.
ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩, ক = ৪০০ টাকা হলে গ এর টাকার পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩, ক = ৪০০ টাকা হলে গ এর টাকার পরিমাণ কত?
সমাধান:
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫
∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫
ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৮ক = ৪০০
বা, ক = ৪০০/৮
∴ ক = ৫০
∴ গ এর টাকার পরিমাণ = (১৫ × ৫০) টাকা = ৭৫০ টাকা।
সমাধান:
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫
∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫
ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৮ক = ৪০০
বা, ক = ৪০০/৮
∴ ক = ৫০
∴ গ এর টাকার পরিমাণ = (১৫ × ৫০) টাকা = ৭৫০ টাকা।
৬,৫০৬.
৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০
∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২
সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০
∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২
৬,৫০৭.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১৪ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ১৪ সে. মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০° হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ, θ = ৩০°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য, a = b = ১৪ সে. মি
আমরা জানি,
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)ab sinθ
= (১/২) × ১৪ × ১৪ × sin৩০°
= (১/২) × ১৪ × ১৪ × ১/২
= ৪৯ বর্গ সে. মি.
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৪৯ বর্গ সে. মি.
৬,৫০৮.
ক ও খ-এর বেতনের অনুপাত ৯ : ৭। ক, খ অপেক্ষা ৬০০ টাকা বেতন বেশি পেলে খ এর বেতন কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক ও খ-এর বেতনের অনুপাত ৯ : ৭। ক, খ অপেক্ষা ৬০০ টাকা বেতন বেশি পেলে খ এর বেতন কত?
সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন ৯ক টাকা
খ এর বেতন ৭ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৯ক - ৭ক = ৬০০
বা, ২ক = ৬০০
∴ ক = ৩০০ টাকা।
∴ খ এর বেতন = (৭ × ৩০০) টাকা
= ২১০০ টাকা।
সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন ৯ক টাকা
খ এর বেতন ৭ক টাকা
প্রশ্নমতে,
৯ক - ৭ক = ৬০০
বা, ২ক = ৬০০
∴ ক = ৩০০ টাকা।
∴ খ এর বেতন = (৭ × ৩০০) টাকা
= ২১০০ টাকা।
৬,৫০৯.
একটি আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের দৈর্ঘ্য ১.৬ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার এবং গভীরতা ৬০ সে.মি.। ২০ সে.মি. দৈর্ঘ্যের কতটি ঘনক বাক্সটির ভিতরের রাখা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের দৈর্ঘ্য ১.৬ মিটার, প্রস্থ ১ মিটার এবং গভীরতা ৬০ সে.মি.। ২০ সে.মি. দৈর্ঘ্যের কতটি ঘনক বাক্সটির ভিতরের রাখা যাবে?
সমাধান:
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের দৈর্ঘ্য= ১.৬ মিটার = (১.৬ × ১০০) সে.মি. = ১৬০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের প্রস্থ = ১ মিটার = ১০০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের গভীরতা = ৬০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের আয়তন = (১৬০ × ১০০ × ৬০) ঘন সে.মি.
বাক্সটির ভিতরের ঘনক রাখা যাবে = (১৬০ × ১০০ × ৬০)/(২০ × ২০ × ২০) টি
= ১২০ টি
সমাধান:
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের দৈর্ঘ্য= ১.৬ মিটার = (১.৬ × ১০০) সে.মি. = ১৬০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের প্রস্থ = ১ মিটার = ১০০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের গভীরতা = ৬০ সে.মি.
আয়তাকার বাক্সের ভিতরের অংশের আয়তন = (১৬০ × ১০০ × ৬০) ঘন সে.মি.
বাক্সটির ভিতরের ঘনক রাখা যাবে = (১৬০ × ১০০ × ৬০)/(২০ × ২০ × ২০) টি
= ১২০ টি
৬,৫১০.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। দুই সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। দুই সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ বার
চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০/৬০ বার
∴ চাকাটি ২ সেকেন্ডে ঘোরে = (৯০ × ২)/৬০ বার
= ৩ বার
১ বারে ঘোরে = ৩৬০°
∴ ৩ বারে ঘোরে = ৩৬০° × ৩ = ১০৮০°
বিকল্প সমাধান:
চাকাটি ৯০ বারে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০° = ৩২৪০০°
চাকাটি ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০°
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০°/৬০
∴ চাকাটি ২ সেকেন্ডে ঘোরে = (৯০ × ৩৬০° × ২)/৬০ = ১০৮০°
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ বার
চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০/৬০ বার
∴ চাকাটি ২ সেকেন্ডে ঘোরে = (৯০ × ২)/৬০ বার
= ৩ বার
১ বারে ঘোরে = ৩৬০°
∴ ৩ বারে ঘোরে = ৩৬০° × ৩ = ১০৮০°
বিকল্প সমাধান:
চাকাটি ৯০ বারে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০° = ৩২৪০০°
চাকাটি ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০°
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ × ৩৬০°/৬০
∴ চাকাটি ২ সেকেন্ডে ঘোরে = (৯০ × ৩৬০° × ২)/৬০ = ১০৮০°
৬,৫১১.
A = {2, e} হলে P(A) কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {2, e} হলে P(A) কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, e}
∴ P(A) = {{2, e}, {e}, {2}, ∅}
উল্লেখ্য যে,
n উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n
সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, e}
∴ P(A) = {{2, e}, {e}, {2}, ∅}
উল্লেখ্য যে,
n উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n
৬,৫১২.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৭ এবং এদের অন্তরফল ১। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = x
ভগ্নাংশের লব = y
১ম শর্তমতে
x + y = 7.............(1)
২য় শর্তমতে
x - y = 1.............(2)
(1)নং + (2) নং
x + y + x - y = 7 + 1
2x = 8
x = 4
(1)নং হতে পাই
x + y = 7
4 + y = 7
y = 3
ভগ্নাংশটি = 3/4
ভগ্নাংশের হর = x
ভগ্নাংশের লব = y
১ম শর্তমতে
x + y = 7.............(1)
২য় শর্তমতে
x - y = 1.............(2)
(1)নং + (2) নং
x + y + x - y = 7 + 1
2x = 8
x = 4
(1)নং হতে পাই
x + y = 7
4 + y = 7
y = 3
ভগ্নাংশটি = 3/4
৬,৫১৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ৮ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ৮২
= (√৩/৪) × ৬৪
= ১৬√৩ বর্গমিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার।
সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × বাহু২
= (√৩/৪) × ৮২
= (√৩/৪) × ৬৪
= ১৬√৩ বর্গমিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৬√৩ বর্গমিটার।
৬,৫১৪.
ab + bc + ca = 21 এবং a2 + b2 + c2 = 22 হলে, a + b + c = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab + bc + ca = 21 এবং a2 + b2 + c2 = 22 হলে, a + b + c = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 18
a2 + b2 + c2 = 22
এখন,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)2 = 22 + (2 × 21)
বা, (a + b + c)2 = 22 + 42
বা, (a + b + c)2 = 64
বা, a + b + c = √64
∴ a + b + c = 8
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 18
a2 + b2 + c2 = 22
এখন,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)2 = 22 + (2 × 21)
বা, (a + b + c)2 = 22 + 42
বা, (a + b + c)2 = 64
বা, a + b + c = √64
∴ a + b + c = 8
৬,৫১৫.
এক গোয়ালা তার 'n' সংখ্যক গাভীকে চার পুত্রের মধ্যে নিম্ন লিখিতভাবে বণ্টন করে করে দিল: প্রথম পুত্রকে ১/২ অংশ, দ্বিতীয় পুত্রকে ১/৪ অংশ, তৃতীয় পুত্রকে ১/৫ অংশ এবং বাকি ৭টি গাভী চতুর্থ পুত্রকে দিল। ঐ গোয়ালার গাভীর সংখ্যা কত ছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক গোয়ালা তার 'n' সংখ্যক গাভীকে চার পুত্রের মধ্যে নিম্ন লিখিতভাবে বণ্টন করে দিল: ১ম পুত্রকে ১/২ অংশ, ২য় পুত্রকে ১/৪ অংশ, ৩য় পুত্রকে ১/৫ অংশ এবং বাকী ৭টি গাভী ৪র্থ পুত্রকে দিল। ঐ গোয়ালার গাভীর সংখ্যা কত ছিল?
সমাধান:
ধরি,
গোয়ালার গাভির সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে,
{(১/২) + (১/৪) + (১/৫)}n = n - ৭
⇒ {(১০ + ৫ + ৪)/২০}n = n - ৭
⇒ ১৯n = ২০n - ১৪০
∴ n = ১৪০
অর্থাৎ, গোয়ালার গাভীর সংখ্যা ১৪০টি।
সমাধান:
ধরি,
গোয়ালার গাভির সংখ্যা = n
প্রশ্নমতে,
{(১/২) + (১/৪) + (১/৫)}n = n - ৭
⇒ {(১০ + ৫ + ৪)/২০}n = n - ৭
⇒ ১৯n = ২০n - ১৪০
∴ n = ১৪০
অর্থাৎ, গোয়ালার গাভীর সংখ্যা ১৪০টি।
৬,৫১৬.
সরলসুদে কোনো আসল ১২ বছরে সুদে-আসলে চারগুণ হলে সুদের হার কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সরলসুদে কোনো আসল ১২ বছরে সুদে-আসলে চারগুণ হলে সুদের হার কত?
সমাধান:
মনেকরি
আসল P = ১০০ টাকা
সুদে-আসলে চারগুণ A = (১০০ × ৪) = ৪০০ টাকা
সুদ I = (৪০০ - ১০০) টাকা = ৩০০ টাকা
সময় n = ১২ বছর
আমরা জানি
I = Pnr/১০০
বা, ৩০০ = ১০০ × ১২ × r/১০০
বা, ১২r = ৩০০
বা, r = ৩০০/১২
∴ r = ২৫
সমাধান:
মনেকরি
আসল P = ১০০ টাকা
সুদে-আসলে চারগুণ A = (১০০ × ৪) = ৪০০ টাকা
সুদ I = (৪০০ - ১০০) টাকা = ৩০০ টাকা
সময় n = ১২ বছর
আমরা জানি
I = Pnr/১০০
বা, ৩০০ = ১০০ × ১২ × r/১০০
বা, ১২r = ৩০০
বা, r = ৩০০/১২
∴ r = ২৫
৬,৫১৭.
৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ কত?
সমাধান:
৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশ,
৪৮০০ টাকার ২৫% = ৪৮০০ × (২৫/১০০) = ১২০০ টাকা
আবার, ১২০০ টাকার ১৫ শতাংশ,
১২০০ টাকার ১৫% = ১২০০ × (১৫/১০০) = ১৮০ টাকা
এবং, ১৮০ টাকার ১০ শতাংশ,
১৮০ টাকার ১০% = ১৮০ × (১০/১০০) = ১৮ টাকা
অতএব, ৪৮০০ টাকার ২৫ শতাংশের ১৫ শতাংশের ১০ শতাংশ হলো ১৮ টাকা।
৬,৫১৮.
একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ২০ হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ২০ হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
২০ = n(n - ৩)/২
⇒ ৪০ = n(n - ৩)
⇒ ৪০ = ৮(৮ - ৩)
∴ n = ৮
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ টি
সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
২০ = n(n - ৩)/২
⇒ ৪০ = n(n - ৩)
⇒ ৪০ = ৮(৮ - ৩)
∴ n = ৮
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ টি
৬,৫১৯.
এক খণ্ড ‘প্লাটিনাম ও ইরিডিয়ামের তৈরি রড এর দৈর্ঘ্য এক মিটার হিসেবে স্বীকৃত। এটি কোন মিউজিয়ামে রক্ষিত আছে?
ব্যাখ্যা
- দৈর্ঘ্য পরিমাপের একক মিটার ।
পৃথিবীর উত্তর মেরু থেকে ফ্রান্সের রাজধানী প্যারিসের দ্রাঘিমা রেখা বরাবর বিষুবরেখা পর্যন্ত দৈর্ঘ্যের কোটি ভাগের এক ভাগকে এক মিটার হিসেবে গণ্য করা হয়।
- পরবর্তীতে প্যারিস মিউজিয়ামে রক্ষিত এক খণ্ড ‘প্লাটিনাম ও ইরিডিয়ামের তৈরি রড'-এর দৈর্ঘ্য এক মিটার হিসেবে স্বীকৃত হয়েছে।
- এ দৈর্ঘ্যকেই একক হিসেবে ধরে রৈখিক পরিমাপ করা হয়। দৈর্ঘ্যের পরিমাপ ছোট হলে সেন্টিমিটারে এবং বড় হলে কিলোমিটারে প্রকাশ করা হয়।
- দৈর্ঘ্যের একক মিটার থেকে মেট্রিক পদ্ধতি নামকরণ করা হয়েছে।
উৎস: অষ্টম শ্রেণি, বিজ্ঞান বোর্ড বই।
৬,৫২০.
একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/২) - (ক/৩) = ১৩
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ১৩
⇒ ক/৬ = ১৩
⇒ ক = ১৩ × ৬
∴ ক = ৭৮
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/২) - (ক/৩) = ১৩
⇒ (৩ক - ২ক)/৬ = ১৩
⇒ ক/৬ = ১৩
⇒ ক = ১৩ × ৬
∴ ক = ৭৮
৬,৫২১.
একটি সংখ্যার 60% হতে 48 বিয়োগ করলে, ফলাফল হয় সংখ্যাটির 36%। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 60% হতে 48 বিয়োগ করলে, ফলাফল হয় সংখ্যাটির 36%। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(60x/100) - 48 = (36x/100)
⇒ (60x/100) - (36x/100) = 48
⇒ 24x = 4800
⇒ x = 4800/24
⇒ x = 200
৬,৫২২.
একটি মোরগ ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হল। বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হলে ১৫% লাভ হত। মোরগটির ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
ছাগলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা
= ৯০ টাকা।
এবং ১৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৫) টাকা
= ১১৫ টাকা।
সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৫ - ৯০) = ২৫ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৫০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×৫০/২৫ টাকা
= ২০০ টাকা।
৬,৫২৩.
এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?
সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৩/৭)
= (৭ - ৩)/৭
= ৪/৭ অংশ
৪/৭ এর ৫/১২ অংশ = ৫/২১অংশ
প্রশ্নমতে,
(৪/৭) - (৫/২১)অংশ = ২০০০
(১২ - ৫)/২১ অংশ = ২০০০
বা, ৭/২১অংশ = ২০০০
বা, ১ অংশ = (২১ × ২০০০) ÷ ৭
= ৬০০০ টাকা
সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৩/৭)
= (৭ - ৩)/৭
= ৪/৭ অংশ
৪/৭ এর ৫/১২ অংশ = ৫/২১অংশ
প্রশ্নমতে,
(৪/৭) - (৫/২১)অংশ = ২০০০
(১২ - ৫)/২১ অংশ = ২০০০
বা, ৭/২১অংশ = ২০০০
বা, ১ অংশ = (২১ × ২০০০) ÷ ৭
= ৬০০০ টাকা
৬,৫২৪.
একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ৬০° কোণের পূরক কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৬০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৬০°)
= ৩০°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৬০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৬০°)
= ৩০°
৬,৫২৫.
1/√2, 1, √2,............... ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1/√2, 1, √2,............... ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?
সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2
প্রশ্নমতে,
arn -1 = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)n - 1 = 8√2
বা, (√2)n - 1 = 8√2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)6 × √2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)8
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9
৯ তম পদ = 8√2
সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2
ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2
প্রশ্নমতে,
arn -1 = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)n - 1 = 8√2
বা, (√2)n - 1 = 8√2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)6 × √2 × √2
বা, (√2)n - 1 = (√2)8
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9
৯ তম পদ = 8√2
৬,৫২৬.
একটি বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সাধারণ বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়?
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা- ১। সমরেখ বিন্দু, ২। অসমরেখ বিন্দু এবং ৩। সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
সমাধান:
বিন্দু (Point):
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ:
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে।
যথা- ১। সমরেখ বিন্দু, ২। অসমরেখ বিন্দু এবং ৩। সমবিন্দু।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
৬,৫২৭.
2x2 + 5x - 3 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 + 5x - 3 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: 2x2 + 5x - 3 = 0
সমীকরণটিকে ax2 + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 5,
c = - 3
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (5)2 - 4 × 2 × (- 3)
= 25 + 24
= 49
যেহেতু 49 > 0,
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
৬,৫২৮.
একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২৪ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ২৪ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা
অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট = ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।
এখন,
২৪ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/২৪ দিনে
= ৩০ দিনে
অতএব, ঘড়িটি ৩০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।
৬,৫২৯.
3x - 5 > 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 5 > 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
সমাধান:
3x - 5 > 10
⇒ 3x - 5 + 5 > 10 + 5
⇒ 3x > 15
⇒ 3x/3 > 15/3
⇒ x > 5
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 5
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x > 5}
সমাধান:
3x - 5 > 10
⇒ 3x - 5 + 5 > 10 + 5
⇒ 3x > 15
⇒ 3x/3 > 15/3
⇒ x > 5
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 5
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x > 5}
৬,৫৩০.
3x + 2y + 4 = 0 এবং 4x - 3y - 5 = 0 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2y + 4 = 0 এবং 4x - 3y - 5 = 0 হলে x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y + 4 = 0
⇒ 3x + 2y = - 4 ...... (1)
এবং 4x - 3y - 5 = 0
⇒ 4x - 3y = 5 ....... (2)
{(1)নং × 2} + {(2)নং × 3} ⇒
8x - 6y + 9x + 6y = 10 - 12
⇒ 17x = - 2
∴ x = - 2/17
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y + 4 = 0
⇒ 3x + 2y = - 4 ...... (1)
এবং 4x - 3y - 5 = 0
⇒ 4x - 3y = 5 ....... (2)
{(1)নং × 2} + {(2)নং × 3} ⇒
8x - 6y + 9x + 6y = 10 - 12
⇒ 17x = - 2
∴ x = - 2/17
৬,৫৩১.
[2 - (4-1)-1]-1 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: [2 - (4-1)-1]-1 এর মান কত?
সমাধান:
[2 - (4-1)-1]-1
= [2 - (1/4)-1]-1
= [2 - 4]-1
= [- 2]-1
= -1/2
সমাধান:
[2 - (4-1)-1]-1
= [2 - (1/4)-1]-1
= [2 - 4]-1
= [- 2]-1
= -1/2
৬,৫৩২.
একটি দ্রব্য ৪২০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা লাভ হলো। শতকরা কত লাভ হলো?
ব্যাখ্যা
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = (৪২০ - ২০) টাকা
= ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় লাভ হয় ২০ টাকা
১টাকায় লাভ হয় = ২০/৪০০
১০০ টাকায় লাভ হয় = (২০ × ১০০)/৪০০ = ৫ টাকা
= ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় লাভ হয় ২০ টাকা
১টাকায় লাভ হয় = ২০/৪০০
১০০ টাকায় লাভ হয় = (২০ × ১০০)/৪০০ = ৫ টাকা
৬,৫৩৩.
2, 5, 8, 9 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2, 5, 8, 9 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?
সমাধান:
এখানে,
তথ্য সংখ্যা, n = 4
∴ গাণিতিক গড় (x̄) = (2 + 5 + 8 + 9)/4
= 24 / 4
= 6
আমরা জানি, ভেদাঙ্ক (σ2) = Σ(xi - x̄)2/n
∴ ভেদাঙ্ক = {(2 - 6)2 + (5 - 6)2 + (8 - 6)2 + (9 - 6)2}/4
= {(- 4)2 + (- 1)2 + (2)2 + (3)2}/4
= (16 + 1 + 4 + 9)/4
= 30/4
= 7.5
∴ তথ্যসারিটির ভেদাঙ্ক = 7.5
৬,৫৩৪.
দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 হওয়ার ঘটনা = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5 টি
∴ যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36
সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 হওয়ার ঘটনা = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5 টি
∴ যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36
৬,৫৩৫.
সমাধান করুন: [3m + 1/(3m)m-1] ÷ [9m + 1/(3m - 1)m + 1] ÷ [3-2]
ব্যাখ্যা
3m + 1/(3m)m-1 ÷ 9m + 1/(3m - 1)m + 1 ÷ 3-2
3m + 1/(3m)m-1 ÷ 9m + 1/(3m - 1)m + 1 ÷ 3-2
= 3m + 1/(3m² - m ÷ 32m + 2/3m² - 1 ÷ 3-2
= 3m + 1 - m² + m ÷ 32m + 2 - m² + 1 ÷ 3-2
= 3m + 1 - m² + m - 2m - 2 + m² - 1 + 2
= 30
= 1
৬,৫৩৬.
∠AOC + ∠COB=90° হলে, নিচের কোনটি সত্য?
ব্যাখ্যা
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রী হয়, তাদের প্রতিটি কোণকে পরস্পরের পূরক কোণ বলে।
৬,৫৩৭.
২ - ৫ - ১২ - ১৯ …… ধারাটির ১২ তম পদ কত?
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ a = ২
সাধারণ অন্তর d = -৫ - ২ = -৭
∴ ১২ তম পদ
= a+(n-1)d
= ২ +(১২ -১)(-৭)
= -৭৫
৬,৫৩৮.
একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২০৮ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 208 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান:
ধরি,
উচ্চতা = a সে.মি.
∴ ভূমি = 2a + 6 সে.মি.
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
বা, 208 = (1/2) × (2a + 6) × a
বা, 208 = (2a2 + 6a)/2
বা, 2a2 + 6a = 416
বা, a2 + 3a = 208
বা, a2 + 3a - 208 = 0
বা, a2 + 16a -13a - 208 = 0
বা, a(a + 16) - 13(a + 16) = 0
বা, (a + 16)(a - 13) = 0
হয়, a + 16 = 0
বা, a = - 16 [ঋনাত্নক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা, a - 13 = 0
∴ a = 13 সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা 13 সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
উচ্চতা = a সে.মি.
∴ ভূমি = 2a + 6 সে.মি.
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
বা, 208 = (1/2) × (2a + 6) × a
বা, 208 = (2a2 + 6a)/2
বা, 2a2 + 6a = 416
বা, a2 + 3a = 208
বা, a2 + 3a - 208 = 0
বা, a2 + 16a -13a - 208 = 0
বা, a(a + 16) - 13(a + 16) = 0
বা, (a + 16)(a - 13) = 0
হয়, a + 16 = 0
বা, a = - 16 [ঋনাত্নক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা, a - 13 = 0
∴ a = 13 সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা 13 সে.মি.
৬,৫৩৯.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১২ সে.মি. এবং অতিভুজ ১৩ সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = ১২ সে.মি.
অতিভুজ = ১৩ সে.মি.
পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
অতিভুজ২ = ভূমি২ + উচ্চতা২
⇒ ১৩২ = ১২২ + উচ্চতা২
⇒ ১৬৯ = ১৪৪ + উচ্চতা২
⇒ উচ্চতা২ = ১৬৯ - ১৪৪
⇒ উচ্চতা২ = ২৫
∴ উচ্চতা = √২৫ = ৫ সে.মি.
আমরা জানি,
এখন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১২ × ৫
= ৬ × ৫
= ৩০ বর্গ সে.মি.
সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৩০ বর্গ সে.মি.।
৬,৫৪০.
একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
2πr = πr2
⇒ 2r = r2
∴ r = 2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)2 = 4π
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
2πr = πr2
⇒ 2r = r2
∴ r = 2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (2)2 = 4π
৬,৫৪১.
0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।
৬,৫৪২.
যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
xy = 6
এখন,
x - y = √{(x + y)2 - 4xy}
= √(52 - 4×6)
= √(25 - 24)
= √1
= 1
x + y + x - y = 5 + 1
⇒ 2x = 6
∴ x = 3
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
xy = 6
এখন,
x - y = √{(x + y)2 - 4xy}
= √(52 - 4×6)
= √(25 - 24)
= √1
= 1
x + y + x - y = 5 + 1
⇒ 2x = 6
∴ x = 3
৬,৫৪৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের একটি দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
বা, ১৪৪ = ১/২ × ১২ × নির্ণেয় বাহু
বা, নির্ণেয় বাহু = (১৪৪ × ২)/১২
∴ নির্ণেয় বাহু = ২৪ একক
সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
বা, ১৪৪ = ১/২ × ১২ × নির্ণেয় বাহু
বা, নির্ণেয় বাহু = (১৪৪ × ২)/১২
∴ নির্ণেয় বাহু = ২৪ একক
৬,৫৪৪.
দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ৭, অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে ৯ বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
অপশন থেকে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়। যেমন-
৩৪ এর ক্ষেত্রে স্থান বিনিময় করলে ৪৩ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ৪৩-৩৪ = ৯ (উত্তর)
৬,৫৪৫.
সেট P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 12 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক
সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 12}
সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 12 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক
সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 12}
৬,৫৪৬.
যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হয় তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
অতএব, বৃত্তের ব্যাস = 2r
এবং বৃত্তের পরিধি = 2πr
প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ 2r(22/7 - 1) = 90
⇒ 2r((22 - 7)/7) = 90
⇒ 2r(15/7) = 90
⇒ 30r/7 = 90
⇒ 30r = 90 × 7
⇒ r = (90 × 7)/30
⇒ r = 3 × 7
∴ r = 21
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 21 সে.মি.।
৬,৫৪৭.
মাহির 12 জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে?
ব্যাখ্যা
প্রতিবারে এক বা একাধিক বস্তুকে বাছাই করা যায় 2n -1 উপায়ে
মাহি এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে 212 - 1 উপায়ে
৬,৫৪৮.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √6
এখন
x3 + (1/x)3 = (x + 1/x)3 - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√6)3 - 3√6
= 6√6 - 3√6
= 3√6
৬,৫৪৯.
একটি সেনাবাহিনীর গুদামে ১৫০০ সৈনিকের ৪০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ১৩ দিন পর কিছু সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গেল। বাকি খাদ্য অবশিষ্ট সৈনিকদের আরো ৩০ দিন চললো। কতজন সৈনিক অন্য জায়গায় চলে গিয়েছিল?
ব্যাখ্যা
সবাই ১৩ দিন খেয়েছে তাই বাকি আছে = ৪০ - ১৩ = ২৭ দিন
২৭ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ জন সৈনিকের
১ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ × ২৭ জন সৈনিকের
৩০ দিনের খাবার আছে = (১৫০০×২৭)/৩০ জন সৈনিকের = ১৩৫০
তাহলে অন্য জায়গায় গিয়েছে = ১৫০০-১৩৫০ = ১৫০জন
৬,৫৫০.
y2 - 8y + 15 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y2 - 8y + 15 এর একটি উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
y2 - 8y + 15
= y2 - 5y - 3y + 15
= y(y - 5) - 3(y - 5)
= (y - 5)(y - 3)
সমাধান:
y2 - 8y + 15
= y2 - 5y - 3y + 15
= y(y - 5) - 3(y - 5)
= (y - 5)(y - 3)
৬,৫৫১.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ১৬ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৪। একটি সংখ্যা ১৬ হলে অপর সংখ্যাটি কত?
সমাধান?
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৬ × অপর সংখ্যা = ৪৮ × ৪
⇒ অপর সংখ্যা = (৪৮ × ৪)/১৬
∴ অপর সংখ্যাটি = ১২
সমাধান?
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৬ × অপর সংখ্যা = ৪৮ × ৪
⇒ অপর সংখ্যা = (৪৮ × ৪)/১৬
∴ অপর সংখ্যাটি = ১২
৬,৫৫২.
যদি A = {a, b, c} হয়, তবে A এর অপ্রকৃত উপসেট কয়টি?
ব্যাখ্যা
A এর উপসেট সংখ্যা = 2n = 23 = 8 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 23 - 1 = 8-1 = 7 টি।
এবং A এর অপ্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 1 টি।
৬,৫৫৩.
৫০ টাকায় ৮ টি ডিম বিক্রি করায় ২৫% ক্ষতি হলো। প্রতি ডজন ডিমের ক্রয় মূল্য কত ছিল?
ব্যাখ্যা
৮ কি ডিমের বিক্রয় মূল্য ৫০ টাকা
১২ টি ডিমের বিক্রয় মূল্য ( ৫০ × ১২ )/৮ = ৭৫ টাকা
২৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৭৫ )/৭৫ = ১০০ টাকা
৬,৫৫৪.
৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুইজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি শেষ করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধা শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?
সমাধান:
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।
৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬
পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন
শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)%
সমাধান:
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।
৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬
পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন
শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)%
৬,৫৫৫.
এক শ্রেণিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, ছাত্রসংখ্যা ক
প্রশ্নমতে, ক² = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১
৬,৫৫৬.
যদি p + p- 1 = 6 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি p + p- 1 = 6 হয়, তবে p3 + p- 3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + p- 1 = 6
⇒ p + (1/p) = 6
⇒ {p + (1/p)}3 = 63
⇒ p3 + (1/p3) + 3 · p · (1/p) {p + (1/p)} = 216
⇒ p3 + (1/p3) + 3 × 6 = 216
⇒ p3 + (1/p3) = 216 - 18
⇒ p3 + (1/p3) = 198
∴ p3 + p- 3 = 198
সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + p- 1 = 6
⇒ p + (1/p) = 6
⇒ {p + (1/p)}3 = 63
⇒ p3 + (1/p3) + 3 · p · (1/p) {p + (1/p)} = 216
⇒ p3 + (1/p3) + 3 × 6 = 216
⇒ p3 + (1/p3) = 216 - 18
⇒ p3 + (1/p3) = 198
∴ p3 + p- 3 = 198
৬,৫৫৭.
কোন সংখ্যার ২০% = ১৬?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২০% = ১৬?
সমাধান:
২০ হবে যখন সংখ্যাটি ১০০
∴ ১ হবে যখন সংখ্যাটি ১০০/২০ = ৫
∴ ১৬ হবে যখন সংখ্যাটি (১৬ × ৫) = ৮০
সমাধান:
২০ হবে যখন সংখ্যাটি ১০০
∴ ১ হবে যখন সংখ্যাটি ১০০/২০ = ৫
∴ ১৬ হবে যখন সংখ্যাটি (১৬ × ৫) = ৮০
৬,৫৫৮.
(3x + 5)(2x - 7) এর প্রসারণে ধ্রুবক মান কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x + 5)(2x - 7) এর প্রসারণে ধ্রুবক মান কত হবে?
সমাধান:
(3x + 5)(2x - 7)
= 3x⋅2x + 3x⋅(- 7) + 5⋅2x + 5⋅(- 7)
= 6x2 - 21x + 10x - 35
= 6x2 - 11x - 35
∴ ধ্রুবক মান - 35
সমাধান:
(3x + 5)(2x - 7)
= 3x⋅2x + 3x⋅(- 7) + 5⋅2x + 5⋅(- 7)
= 6x2 - 21x + 10x - 35
= 6x2 - 11x - 35
∴ ধ্রুবক মান - 35
৬,৫৫৯.
এক ব্যক্তি ২০% সরল সুদে ৭০০ টাকা এবং ১০ % সরল সুদে ৫০০ টাকা বিনিয়োগ করলে ২ বছর পর তার কত টাকা সুদ হবে?
ব্যাখ্যা
২০% সুদে
৭০০ টাকায় ২ বছরের সুদ = (২০×২×৭০০)/১০০ = ২৮০ টাকা
আবার,
১০% সুদে
৫০০ টাকায় ২ বছরের সুদ = (১০×২×৫০০)/১০০ = ১০০ টাকা
তাহলে মোট সুদ = ২৮০ + ১০০ = ৩৮০ টাকা
৭০০ টাকায় ২ বছরের সুদ = (২০×২×৭০০)/১০০ = ২৮০ টাকা
আবার,
১০% সুদে
৫০০ টাকায় ২ বছরের সুদ = (১০×২×৫০০)/১০০ = ১০০ টাকা
তাহলে মোট সুদ = ২৮০ + ১০০ = ৩৮০ টাকা
৬,৫৬০.
nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?
সমাধান:
nP4 = 5 × nP3
বা, np4/np3 = 5
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5
বা, n - 3 = 5
বা, n = 5 + 3
∴ n = 8
সমাধান:
nP4 = 5 × nP3
বা, np4/np3 = 5
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5
বা, n - 3 = 5
বা, n = 5 + 3
∴ n = 8
৬,৫৬১.
x2 - 3x + 1 = 0 হলে, (x2 - 1/x2) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x + 1 = 0 হলে, (x2 - 1/x2) এর মান কত?
সমাধান:
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ (x2 + 1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.(1/x)
⇒ x - 1/x = √{(3)2 - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x2 - 1/x2)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5
সমাধান:
x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = 3x
⇒ (x2 + 1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4.x.(1/x)
⇒ x - 1/x = √{(3)2 - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x2 - 1/x2)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5
৬,৫৬২.
প্রতি ডজন ৪ টাকা দরে একজন ব্যক্তি ১০ ডজন কলম কিনলো। সে পরে চেক দেখলো যে, ২০টি কলম নষ্ট। ২৫% লাভ করতে হলে বাকি কলমগুলো প্রতিটি কত টাকা করে বিক্রয় করতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রতি ডজন ৪ টাকা দরে একজন ব্যক্তি ১০ ডজন কলম কিনলো। সে পরে চেক দেখলো যে, ২০টি কলম নষ্ট। ২৫% লাভ করতে হলে বাকি কলমগুলো প্রতিটি কত টাকা করে বিক্রয় করতে হবে?
সমাধান:
কলম ভালো আছে= (১২ × ১০) - ২০ = ১০০টি
ক্রয়মূল্য = ১০ × ৪ = ৪০ টাকা
২৫% লাভে
বিক্রয়মূল্য = (৪০ × ১২৫)/১০০
= ৫০ টাকা
প্রতিটি কলমের বিক্রয়মূল্য = ৫০/১০০ = ০.৫০ টাকা
সমাধান:
কলম ভালো আছে= (১২ × ১০) - ২০ = ১০০টি
ক্রয়মূল্য = ১০ × ৪ = ৪০ টাকা
২৫% লাভে
বিক্রয়মূল্য = (৪০ × ১২৫)/১০০
= ৫০ টাকা
প্রতিটি কলমের বিক্রয়মূল্য = ৫০/১০০ = ০.৫০ টাকা
৬,৫৬৩.
ক একটি কাজ ১৫ দিনে এবং খ ২০ দিনে করতে পারে। দুইজন একত্রে ৪ দিন কাজ করলে আর কি পরিমাণ কাজ বাকী থাকবে?
ব্যাখ্যা
ক -
১৫ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/১৫ অংশ
খ -
২০ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/২০ অংশ
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১৫ + ১/২০) = ৭/৬০ অংশ
ক ও খ একত্রে ৪ দিনে করে = ৭/১৫ অংশ।
অর্থাৎ, বাকী থাকে (১ - ৭/১৫) = ৮/১৫ অংশ।
৬,৫৬৪.
সোনালী ব্যাংক গুলশান শাখায় ম্যানাজার সহ ১১ জন কর্মকর্তা আছে। সর্বদা ম্যানাজারকে কমিটি প্রধান হিসেবে রেখে প্রতিবার চারজনের কমিটি কতভাবে গঠন করা যায়?
ব্যাখ্যা
মোট সদস্য সংখ্যা = ১১ জন
ম্যানাজারকে অর্থাৎ ১ জনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে কমিটি গঠনের মোট উপায় = (১১-১)C(৪-১)
= ১০C৩
= ১২০
৬,৫৬৫.
একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৯০) টাকা
= ২০ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০)/২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।
সমাধান:
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে,
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৯০) টাকা
= ২০ টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০)/২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪০০ টাকা।
৬,৫৬৬.
একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর হলে বাগানটির পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
ধরি,
বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল x² বর্গমিটার
1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে
x² = 10000
x = √(10000)
∴ x = 100
বাগানের পরিসীমা 4x মিটার
= (4 × 100) "
= 400 মিটার
বাগানের দৈর্ঘ্য x মিটার
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল x² বর্গমিটার
1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে
x² = 10000
x = √(10000)
∴ x = 100
বাগানের পরিসীমা 4x মিটার
= (4 × 100) "
= 400 মিটার
৬,৫৬৭.
51/4 × (125)0.25 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 51/4 × (125)0.25 এর মান কত?
সমাধান:
51/4 × (125)0.25
= 50.25 × (53)0.25
= 50.25 × 5(3 × 0.25)
= 50.25× 50.75
= 5(0.25 + 0.75)
= 51
= 5
৬,৫৬৮.
১৫টি সংখ্যার গড় ৭০। দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে নতুন গড় কত হবে ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৭০। নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে নতুন গড় কত হবে ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১৫টি সংখ্যার গড় ৭০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭০ × ১৫)
= ১০৫০
নতুন ২টি সংখ্যা সহ মোট সংখ্যা = (১৫ + ২)
= ১৭টি
নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০
নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে যোগফল = (১০৫০ + ৬০ + ৮০)
= ১১৯০
∴ তখন নতুন গড় = (১১৯০ ÷ ১৭)
= ৭০
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১৫টি সংখ্যার গড় ৭০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭০ × ১৫)
= ১০৫০
নতুন ২টি সংখ্যা সহ মোট সংখ্যা = (১৫ + ২)
= ১৭টি
নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০
নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে যোগফল = (১০৫০ + ৬০ + ৮০)
= ১১৯০
∴ তখন নতুন গড় = (১১৯০ ÷ ১৭)
= ৭০
৬,৫৬৯.
১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মূল্যের সমান। ৫০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৫টি ছাগলের মূল্য ৩টি গরুর মূল্যের সমান। ৫০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যাবে?
সমাধান:
১৫টি ছাগলের মূল্য = ৩টি গরুর মূল্যে
∴ ১টি ছাগলের মূল্য = ৩/১৫ টি গরুর মূল্যে
∴ ৫০টি ছাগলের মূল্য = (৩ × ৫০)/১৫ টি গরুর মূল্যে
= ১০টি গরুর মূল্যে
সমাধান:
১৫টি ছাগলের মূল্য = ৩টি গরুর মূল্যে
∴ ১টি ছাগলের মূল্য = ৩/১৫ টি গরুর মূল্যে
∴ ৫০টি ছাগলের মূল্য = (৩ × ৫০)/১৫ টি গরুর মূল্যে
= ১০টি গরুর মূল্যে
৬,৫৭০.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 40 সে.মি. ও 20 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় 40 সে.মি. ও 20 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় 40 সে.মি. ও 20 সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 20 বর্গ সে.মি.
= 400 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
রম্বসের কর্ণদ্বয় 40 সে.মি. ও 20 সে.মি.
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 40 × 20 বর্গ সে.মি.
= 400 বর্গ সে.মি.
৬,৫৭১.
আরজুর মা থেকে সে ১৮ বছরের ছোট। ৬ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৫৪ বছর হলে, আরজুর বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আরজুর মা থেকে সে ১৮ বছরের ছোট। ৬ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৫৪ বছর হলে, আরজুর বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
মনে করি,
আরজুর বয়স = x বছর
∴ আরজুর মায়ের বয়স = (x + ১৮) বছর
৬ বছর পর আরজুর বয়স হবে = (x + ৬) বছর
৬ বছর পর আরজুর মায়ের বয়স হবে = (x + ১৮ + ৬) বছর
= (x + ২৪) বছর
প্রশ্নানুসারে,
(x + ৬) + (x + ২৪) = ৫৪
বা, x + ৬ + x + ২৪ = ৫৪
বা, ২x + ৩০ = ৫৪
বা, ২x = ২৪
∴ x = ১২
∴ আরজুর বয়স = ১২ বছর।
সমাধান:
মনে করি,
আরজুর বয়স = x বছর
∴ আরজুর মায়ের বয়স = (x + ১৮) বছর
৬ বছর পর আরজুর বয়স হবে = (x + ৬) বছর
৬ বছর পর আরজুর মায়ের বয়স হবে = (x + ১৮ + ৬) বছর
= (x + ২৪) বছর
প্রশ্নানুসারে,
(x + ৬) + (x + ২৪) = ৫৪
বা, x + ৬ + x + ২৪ = ৫৪
বা, ২x + ৩০ = ৫৪
বা, ২x = ২৪
∴ x = ১২
∴ আরজুর বয়স = ১২ বছর।
৬,৫৭২.
একটি 29 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে 21 মিটার উচ্চ দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব ____ মিটার।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ২৯ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ২১ মিটার উচ্চে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব ____ মিটার।
সমাধান
ধরি,
মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = x মিটার
পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
292 = 212 + x2
841 = 441 + x2
x2 = 841 - 441
x2 = 400
x2 = 202
∴ x = 20 মিটার
সমাধান
ধরি,
মই- এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = x মিটার
পীথাগোরাসের সূত্রানু্যায়ী,
292 = 212 + x2
841 = 441 + x2
x2 = 841 - 441
x2 = 400
x2 = 202
∴ x = 20 মিটার
৬,৫৭৩.
বার্ষিক ৫০% সরল মুনাফায় কোন আসলের ২ বছরের মুনাফা ৫০০ টাকা হলে, একই হার মুনাফায় একই সময় পর ঐ আসলের যৌগিক মুনাফা কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক ৫০% সরল মুনাফায় কোন আসলের ২ বছরের মুনাফা ৫০০ টাকা হলে, একই হার মুনাফায় একই সময় পর ঐ আসলের যৌগিক মুনাফা কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
আসল = P
সময়, n = ২ বছর
মুনাফা, I = ৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৫০%
এখন, P = I/(n × r)
= (৫০০ × ১০০)/(২ × ৫০)
= ৫০০
২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)n
= ৫০০(১ + ০.৫)২
= ৫০০ × ১.৫ × ১.৫
= ১১২৫
∴ ২ বছর পর যৌগিক মুনাফা = (১১২৫ - ৫০০) টাকা
= ৬২৫ টাকা
সমাধান:
ধরি,
আসল = P
সময়, n = ২ বছর
মুনাফা, I = ৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৫০%
এখন, P = I/(n × r)
= (৫০০ × ১০০)/(২ × ৫০)
= ৫০০
২ বছর পর চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)n
= ৫০০(১ + ০.৫)২
= ৫০০ × ১.৫ × ১.৫
= ১১২৫
∴ ২ বছর পর যৌগিক মুনাফা = (১১২৫ - ৫০০) টাকা
= ৬২৫ টাকা
৬,৫৭৪.
ax = b, by = c, cz = a হলে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
ধরি, ax = b
বা, log ax = logb
বা, xloga = logb
বা, x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = (logb/loga). (logc/logb). (loga/logc)
xyz = 1
axyz = a1
বা, log ax = logb
বা, xloga = logb
বা, x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = (logb/loga). (logc/logb). (loga/logc)
xyz = 1
axyz = a1
৬,৫৭৫.
y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ কত?
ব্যাখ্যা
সমাধান: y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
∴ y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ 5.
সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.
∴ y = 3x + 5 সরলরেখাটি দ্বারা y অক্ষের ছেদাংশ 5.
৬,৫৭৬.
যদি log(a/b)+ logb - loga = log(a + b) হয়,তাহলে কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log(a/b)+ logb - loga = log(a + b) হয়,তাহলে কোনটি সঠিক?
সমাধান:
log (a/b) + logb - loga = log(a + b)
⇒ log(a/b) + log(b/a) = log (a + b)
⇒ log {(a/b) × (b/a )} = log (a + b)
⇒ log1= log(a + b)
⇒ (a + b) = 1
সমাধান:
log (a/b) + logb - loga = log(a + b)
⇒ log(a/b) + log(b/a) = log (a + b)
⇒ log {(a/b) × (b/a )} = log (a + b)
⇒ log1= log(a + b)
⇒ (a + b) = 1
৬,৫৭৭.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান-
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার
সমাধান-
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার
৬,৫৭৮.
কোনো খাদ্য 24 জন লোকের 18 দিন চলে, ঐ একই পরিমান খাদ্যে 36 জন লোকের কত দিন চলবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো খাদ্য 24 জন লোকের 18 দিন চলে, ঐ একই পরিমান খাদ্যে 36 জন লোকের কত দিন চলবে?
সমাধান:
24 জন লোকের খাদ্য আছে 18 দিনের
1 জন লোকের খাদ্য আছে 18 × 24 দিনের
36 জন লোকের খাদ্য আছে (18 × 24)/36 দিনের
= 12 দিনের
সমাধান:
24 জন লোকের খাদ্য আছে 18 দিনের
1 জন লোকের খাদ্য আছে 18 × 24 দিনের
36 জন লোকের খাদ্য আছে (18 × 24)/36 দিনের
= 12 দিনের
৬,৫৭৯.
৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩ এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩ এর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলি হলো ৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩
লবগুলো হলো ৩, ৫, ১।
হরগুলো হলো ৪, ৮, ৩।
লবগুলোর গ.সা.গু হলো ১
হরগুলোর ল.সা.গু হলো ২৪
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/২৪
সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলি হলো ৩/৪, ৫/৮ ও ১/৩
লবগুলো হলো ৩, ৫, ১।
হরগুলো হলো ৪, ৮, ৩।
লবগুলোর গ.সা.গু হলো ১
হরগুলোর ল.সা.গু হলো ২৪
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ১/২৪
৬,৫৮০.
4 + 8 + 16 + ----------- ধারাটির সাধারণ পদ কত?
ব্যাখ্যা
4 + 8 + 16 + -----------
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2
সুতরাং ধারাটির সাধারণ তথা n তম পদ = arn-1
= 4.2n-1
= 22.2n-1
= 22+n-1
= 2n+1
৬,৫৮১.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ পাবে।
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না, তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান :
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ পাবে।
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না, তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।
৬,৫৮২.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x/3, x/3 এবং 4x/3 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°
∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°/3 = 30°
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 120° - 30° = 90°
সমাধান:
x/3 + x/3 + (4x)/3 = 180°
⇒ x + x + 4x = 3 × 180°
⇒ 6x = 3 × 180°
∴ x = 90°
∴ বৃহত্তম কোণ = (4 × 90°)/3 = 120°
ক্ষুদ্রতম কোণ = 90°/3 = 30°
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 120° - 30° = 90°
৬,৫৮৩.
যদি 2x - 7 ≤ 11 হয়, তাহলে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 2x - 7 ≤ 11 হয়, তাহলে-
সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2x - 7 ≤ 11
⇒ 2x − 7 + 7 ≤ 11 + 7 ; [উভয় পাশে 7 যোগ করে]
⇒ 2x ≤ 18
⇒ x ≤ 18/2 ; [উভয় পাশে 2 দিয়ে ভাগ করে]
∴ x ≤ 9
৬,৫৮৪.
a2 - 2ab থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 - 2ab থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
a2 - 2ab
= a2 - 2ab - ( - b)2 - b2
= a2 - 2ab + b2 - b2
= (a - b)2 - b2
অর্থাৎ a2 - 2ab থেকে -b2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে।
সমাধান:
a2 - 2ab
= a2 - 2ab - ( - b)2 - b2
= a2 - 2ab + b2 - b2
= (a - b)2 - b2
অর্থাৎ a2 - 2ab থেকে -b2 বিয়োগ করলে বিয়োগফল পূর্ণবর্গ হবে।
৬,৫৮৫.
একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 সে. মি. এবং 8 সে. মি. হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 6 সে. মি. এবং 8 সে. মি. হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 6 × 8
= 24 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 6 × 8
= 24 বর্গ সে.মি.
৬,৫৮৬.
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল কত?
সমাধান:
১ম রাশি = x2y - xy2
= xy(x - y)
২য় রাশি = x2 - xy
= x(x - y)
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু = xy(x - y)
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = x(x - y)
নির্ণেয় ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল = x(x - y) × xy(x - y)
= x2y(x - y)2
সমাধান:
১ম রাশি = x2y - xy2
= xy(x - y)
২য় রাশি = x2 - xy
= x(x - y)
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু = xy(x - y)
x2y - xy2 এবং x2 - xy রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু = x(x - y)
নির্ণেয় ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর গুণফল = x(x - y) × xy(x - y)
= x2y(x - y)2
৬,৫৮৭.
নিচের কোনটি 3p2 - p - 14 এর একটি উৎপাদক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p2 - p - 14 এর একটি উৎপাদক?
সমাধান:
3p2 - p - 14
= 3p2 - 7p + 6p - 14
= p(3p - 7) + 2(3p - 7)
= (3p - 7) (p + 2)
সমাধান:
3p2 - p - 14
= 3p2 - 7p + 6p - 14
= p(3p - 7) + 2(3p - 7)
= (3p - 7) (p + 2)
৬,৫৮৮.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩ হলে সংখ্যাদ্বয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩ হলে সংখ্যাদ্বয় কত ?
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যা দুইটি ক ও ক + ১
প্রশ্নমতে
(ক + ১)২ - ক২ = ২৩
বা, ক২ + ২ক + ১২ - ক২ = ২৩
বা, ২ক + ১ = ২৩
বা, ২ক = ২৩ - ১
বা, ২ক = ২২
∴ ক = ১১
সংখ্যা দুইটি ১১ ও ১২
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যা দুইটি ক ও ক + ১
প্রশ্নমতে
(ক + ১)২ - ক২ = ২৩
বা, ক২ + ২ক + ১২ - ক২ = ২৩
বা, ২ক + ১ = ২৩
বা, ২ক = ২৩ - ১
বা, ২ক = ২২
∴ ক = ১১
সংখ্যা দুইটি ১১ ও ১২
৬,৫৮৯.
a - [a - a - (a - 1)] = ?
ব্যাখ্যা
a - [a - a - (a - 1)]
= a - [a - a - a + 1]
= a - [- a + 1]
= a + a - 1
= 2a - 1
৬,৫৯০.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের যোগফল 12। অংক দুটির স্থান পরিবর্তনের ফলে 54 হ্রাস পায়, সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রথম শর্তটি সবগুলো অপশনই পূর্ণ করে।
দ্বিতীয় শর্তের ক্ষেত্রে কেবল 93 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে 39 হয় অর্থাৎ (93-39) = 54 হ্রাস পায়।
অর্থাৎ, সংখ্যাটি 54।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
একক স্থানিয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
এবং x + y = 12 -------- (1)
প্রশ্নমতে,
10x + y = (10y+x) - 54
⇒ 10x + y - 10y - x = -54
⇒ 9x - 9y = -54
∴ x - y = -6 ----------- (2)
এখন,
(1)+(2) ⇒ (x+y) + (x-y) = 12 - 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
আবার, (1) - (2) ⇒ (x+y) - (x-y) = 12 - (-6)
⇒ 2y = 18
⇒ y = 9
∴ সংখ্যাটি = 10y + x = 10(9) + 3 = 93
৬,৫৯১.
কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
সমাধান:
৫/২৮ = ০.১৭৮৫
৭/৪২ = ০.১৬৭
১/৭ = ০.১৪২৮
৩/১৪ = ০.২১৪
∴ বৃহত্তম সংখ্যা ৩/১৪
সমাধান:
৫/২৮ = ০.১৭৮৫
৭/৪২ = ০.১৬৭
১/৭ = ০.১৪২৮
৩/১৪ = ০.২১৪
∴ বৃহত্তম সংখ্যা ৩/১৪
৬,৫৯২.
একটি বৃত্তের পরিধি একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি. হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πr = 2(37 + 29)
(22/7)r =66
r/7 = 3
r = 21
সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 37 সে.মি. এবং প্রস্থ 29 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
প্রশ্নমতে,
2πr = 2(37 + 29)
(22/7)r =66
r/7 = 3
r = 21
৬,৫৯৩.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 154 বর্গমিটার এবং পরিধি 44 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে, বৃত্তের পরিধি = 44 মিটার
∴ 2πr = 44
⇒ 2 × (22/7) × r = 44
⇒ (44/7) × r = 44
⇒ r = 44 × (7/44)
⇒ r = 7 মিটার
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 মিটার
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × 7 = 14 মিটার
অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 14 মিটার।
৬,৫৯৪.
স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ২০ মিনিটে ৪ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ ২ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ২০ মিনিটে ৪ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ ২ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?
সমাধান:
স্রোতের বিপরীতে নৌকার গতিবেগ = (৪ × ৬০)/২০
= ১২ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ২ কিমি/ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (১২ + ২) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪ কি.মি./ঘণ্টা
সমাধান:
স্রোতের বিপরীতে নৌকার গতিবেগ = (৪ × ৬০)/২০
= ১২ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ ২ কিমি/ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (১২ + ২) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৪ কি.মি./ঘণ্টা
৬,৫৯৫.
একটি জিনিস ২৫০ টাকায় ক্রয় করে ২৮০ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি জিনিস ২৫০ টাকায় ক্রয় করে ২৮০ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধান:
লাভ = (২৮০ - ২৫০) টাকা = ৩০ টাকা
২৫০ টাকায় লাভ হয় = ৩০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৩০/২৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩০ × ১০০)/২৫০ টাকা
= ১২ টাকা
সমাধান:
লাভ = (২৮০ - ২৫০) টাকা = ৩০ টাকা
২৫০ টাকায় লাভ হয় = ৩০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৩০/২৫০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩০ × ১০০)/২৫০ টাকা
= ১২ টাকা
৬,৫৯৬.
144 এর 2√3 ভিত্তিক লগারিদম কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 144 এর 2√3 ভিত্তিক লগারিদম কত?
সমাধান:
144 এর 2√3 ভিত্তিক লগারিদম
= log2√3144
= log2√3(2√3)4
= 4log2√32√3
= 4 .1
= 4
সমাধান:
144 এর 2√3 ভিত্তিক লগারিদম
= log2√3144
= log2√3(2√3)4
= 4log2√32√3
= 4 .1
= 4
৬,৫৯৭.
দুটি সংখ্যার যোগফল ৪৫ এবং তাদের গুণফল ৩৯৬। তবে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
বড় সংখ্যাটি ক
ছোট সংখ্যাটি ৪৫ - ক
প্রশ্নমতে,
ক(৪৫ - ক) = ৩৯৬
৪৫ক - ক২ = ৩৯৬
ক২ - ৪৫ক + ৩৯৬ = ০
ক২ - ৩৩ক - ১২ ক + ৩৯৬ = ০
ক(ক - ৩৩ ) - ১২(ক - ৩৩) = ০
(ক - ৩৩ )(ক - ১২) =০
হয়
ক - ৩৩ = ০
ক = ৩৩
অথবা
ক - ১২ = ০
ক = ১২
বড় সংখ্যাটি ক
ছোট সংখ্যাটি ৪৫ - ক
প্রশ্নমতে,
ক(৪৫ - ক) = ৩৯৬
৪৫ক - ক২ = ৩৯৬
ক২ - ৪৫ক + ৩৯৬ = ০
ক২ - ৩৩ক - ১২ ক + ৩৯৬ = ০
ক(ক - ৩৩ ) - ১২(ক - ৩৩) = ০
(ক - ৩৩ )(ক - ১২) =০
হয়
ক - ৩৩ = ০
ক = ৩৩
অথবা
ক - ১২ = ০
ক = ১২
৬,৫৯৮.
2x2 - x = 2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 - x = 2 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
সমাধান:
2x2 - x = 2
বা, 2x2 - 2 = x
বা, x2 - 1 = x/2
∴ x - 1/x = 1/2
প্রদত্ত রাশি: x3 - 1/x3
= (x)3 - (1/x)3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (1/2)3 + 3(1/2)
= 1/8 + 3/2
= 13/8
সমাধান:
2x2 - x = 2
বা, 2x2 - 2 = x
বা, x2 - 1 = x/2
∴ x - 1/x = 1/2
প্রদত্ত রাশি: x3 - 1/x3
= (x)3 - (1/x)3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x(x - 1/x)
= (1/2)3 + 3(1/2)
= 1/8 + 3/2
= 13/8
৬,৫৯৯.
একটি পন্য বিক্রয় করে পাইকারী বিক্রেতা ২০% এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভ করে। যদি পন্যটির খুচরা বিক্রয় মূল্য ৫৭৬ টাকা হয় তবে পাইকারী বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পণ্য বিক্রয় করে পাইকারী বিক্রেতা ২০% এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভ করে। যদি দ্রব্যটির খুচরা বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হয়, তবে পাইকারী বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
খুচরা বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৭৬)/১২০ টাকা
= ৪৮০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য
পাইকারি বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪৮০)/১২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
সমাধান:
খুচরা বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৭৬ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৭৬)/১২০ টাকা
= ৪৮০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = পাইকারী বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য
পাইকারি বিক্রেতার ক্ষেত্রে,
২০% লাভে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে
বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৪৮০)/১২০ টাকা
= ৪০০ টাকা
৬,৬০০.
একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে চলে। ১০০ মিটার যেতে হলে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে চলে। ১০০ মিটার যেতে হলে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?
সমাধান:
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট = ৩৬০০ সেকেন্ড
৬০ কিমি = (৬০ × ১০০০) মিটার
= ৬০০০০ মিটার
ট্রেনটির ৬০০০০ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১০০ মিটার যেতে সময় লাগে (৩৬০০ × ১০০)/৬০০০০ সেকেন্ড
= ৬ সেকেন্ড
সমাধান:
১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট = ৩৬০০ সেকেন্ড
৬০ কিমি = (৬০ × ১০০০) মিটার
= ৬০০০০ মিটার
ট্রেনটির ৬০০০০ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১ মিটার যেতে সময় লাগে ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ড
ট্রেনটির ১০০ মিটার যেতে সময় লাগে (৩৬০০ × ১০০)/৬০০০০ সেকেন্ড
= ৬ সেকেন্ড