গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৬৪ / ৪৭৫ · ৬,৩০১–৬,৪০০ / ৪৭,৮৩৩

৬,৩০১.

বার্ষিক ৮% সুদে ১২০০ টাকায় ৫ বছরের যে সুদ হয়, একই হার সুদে কত টাকার ১০ বছরের তত সুদ হবে?

ক
ক) ৮০০ টাকা
খ
খ) ৯০০ টাকা
গ
গ) ১০০০ টাকা
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

এখানে,
আসল P= ১২০০ টাকা
মুনাফার হার r = ৮%=৮/১০০
সময় n = ৫ বছর
মুলাফা I =?
আমরা জানি,
I = Pnr
= (১২০০ × ৮ × ৫)/১০০
= ৪৮০ টাকা

আবার,
মুনাফা I = ৪৮০ টাকা
মুনাফার হার r= ৮% = ৮/১০০
সময় n = ১০ বছর
আসল P = ?

এখন
I = Pnr
P = I/nr
= (৪৮০ × ১০০)/ (৮ × ১০)
= ৬০০ টাকা

৬,৩০২.

শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে কোনো আসল ১০ বছরে সুদে-মূলে তিনগুণ হবে?

ক
ক) ১০%
খ
খ) ১২%
গ
গ) ১৫%
ঘ
ঘ) ২০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে কোনো আসল ১০ বছরে সুদে-মূলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ১ টাকা
সুদাসল = ৩ টাকা
সুদ = ৩ - ১ = ২ টাকা
সময় = ১০ বছর

আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, সুদের হার = (১০০ × ২)/(১ × ১০)
∴ সুদের হার = ২০%

৬,৩০৩.

৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

ক
৪০%
খ
৩৫%
গ
২৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

সমাধান:
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা = (৩০/৭৫) × ১০০%
= ৪০%

৬,৩০৪.

২টি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১৩
খ
খ) ১৪
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২টি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা x
∴ ছোট সংখ্যা x - ১

শর্তমতে,
x² - (x - ১)² = ৩১
বা, x² - x² + 2x - ১ = ৩১
বা, 2x = ৩২
∴ x = ১৬

৬,৩০৫.

ABCD বর্গের BD = ১০ সে. মি. হলে, ΔABD এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২০ বর্গ সে. মি.
খ
খ) ২৫ বর্গ সে. মি.
গ
গ) ৩০ বর্গ সে. মি.
ঘ
ঘ) ৩৫ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

ΔABD ত্রিভূজের অতিঃ BD = ১০ সে. মি.
∴ AB = AD = ১০/√২ সে. মি.
∴ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ১০/√২ × ১০/√২ = ২৫ বর্গ সে. মি.

৬,৩০৬.

৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

ক
ক) ২০°
খ
খ) ১১০°
গ
গ) ২২০°
ঘ
ঘ) ২৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান :
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
সুতরাং, ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০° = ১১০°

৬,৩০৭.

30 লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত 7 : 3। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত 3 : 7 হবে?

ক
30 লিটার
খ
35 লিটার
গ
40 লিটার
ঘ
45 লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত 7 : 3। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত 3 : 7 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিরাপ ও পানির অনুপাত = 7 : 3
অনুপাতদ্বয়ের যোগফল = 7 + 3 = 10

∴ 40 লিটার মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = 30 × (7/10) = 21 লিটার
∴ 40 লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = 30 × (3/10) = 9 লিটার

ধরি,
p লিটার পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত = 3 : 7 হবে
তাহলে, মোট পানি হবে = 9 + p লিটার

প্রশ্নমতে,
21 : (9 + p) = 3 : 7
⇒ 21/(9 + p) = 3/7
⇒ 27 + 3p = 147
⇒ 3p = 147 - 27
⇒ p = 120/3
∴ p = 40

অতএব, 40 লিটার পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত 3 : 7 হবে.

৬,৩০৮.

৮০০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ ২৪০ টাকা হলে সরল সুদের হার কত?

ক
৬%
খ
৭.৫%
গ
৮%
ঘ
৯.৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮০০ টাকার ৪ বছরের সরল সুদ ২৪০ টাকা হলে সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৮০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ২৪০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ২৪০/(৮০০ × ৪) টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ (২৪০ × ১০০)/(৮০০ × ৪) টাকা
= ৭.৫ টাকা

∴ সরল সুদের হার = ৭.৫%

৬,৩০৯.

'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
6
খ
8
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SYLHET' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6, সব ভিন্ন।
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

'PABNA' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5, যেখানে A দুইবার আছে।
বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 120/2 = 60

এখন,
SYLHET/PABNA = 720/60
⇒ SYLHET/PABNA = 12
⇒ SYLHET = 12 × PABNA

অর্থাৎ 'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার 12 গুণ।

৬,৩১০.

একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ৮ সে.মি. ও একটি সমান্তরাল বাহু ১৫ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৮০ বর্গ সে.মি. হলে অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৪ সে.মি.
খ
৪৫ সে.মি.
গ
১৬ সে.মি.
ঘ
৫৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা ৮ সে.মি. ও একটি সমান্তরাল বাহু ১৫ সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ২৮০ বর্গ সে.মি. হলে অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান :
মনে করি,
অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = ক সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমান্তরাল বাহুদুটির মোট দৈর্ঘ্য) × উচ্চতা
প্রশ্নমতে,
(১/২) (১৫ + ক) × ৮ = ২৮০
বা, (১৫ + ক) × ৮ = ৫৬০
বা, ১৫ + ক = ৭০
বা, ক = ৫৫

অর্থাৎ, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.

৬,৩১১.

ক, খ, গ, এর বেতনের অনুপাত ৭: ৫: ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশী পেলে ক এর বেতন কত?

ক
৮৮৮ টাকা
খ
৫৫৫ টাকা
গ
৭৭৭ টাকা
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ক, খ, গ, এর বেতনের অনুপাত ৭: ৫: ৩। খ, গ অপেক্ষা ২২২ টাকা বেশী পেলে ক এর বেতন কত?

সমাধান:
ধরি,
ক এর বেতন = ৭ক
খ এর বেতন = ৫ক
গ এর বেতন = ৩ক
প্রশ্নমতে,
৫ক - ৩ক = ২২২
⇒ ২ক = ২২২
⇒ ক = ১১১
ক এর বেতন:
৭ক = ৭ × ১১১ = ৭৭৭ টাকা।

৬,৩১২.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ১০৫, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?

ক
ক) ৪
খ
খ) ৫
গ
গ) ৬
ঘ
ঘ) ৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ১০৫, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৭
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৭ক

৩ক ও ৭ক এর ল.সা.গু = ২১ক
৩ক ও ৭ক এর গ.সা.গু = ক

প্রশ্নমতে,
২১ক = ১০৫
ক = ১০৫/২১
ক = ৫

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫

৬,৩১৩.

নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

ক
√২
গ
√৫/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:

=(২^৩)^১/৩
= ২^{৩ × (১/৩)}
= ২

৬,৩১৪.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ১ : ২ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

ক
সুক্ষ্মকোণী
খ
সমবাহু
গ
স্থূলকোণী
ঘ
সমকোণী

ব্যাখ্যা

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

৬,৩১৫.

একটি পূর্ণ সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল হবে নিচের কোনটি?

ক
১৫/৮
খ
১৭/৫
গ
৩৬/৭
ঘ
৬৫/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পূর্ণ সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
একটি পূর্ণ সংখ্যা ক
সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত ১/ক

∴ যোগফল = ক + ১/ক
= (ক^২ + ১)/ক

এখন অপশন বিবেচনায় পাই,
ক = ৮ হলে,
যোগফল = (৮^২ + ১)/৮ = (৬৪ + ১)/৮ = ৬৫/৮

ক = ৫ হলে,
যোগফল = (৫^২ + ১)/৫ = (২৫ + ১)/৫ = ২৬/৫

ক = ৭ হলে,
যোগফল = (৭^২ + ১)/৭ = (৪৯ + ১)/৭ = ৫০/৭

∴ সঠিক উত্তর: ঘ (৬৫/৮)

৬,৩১৬.

একটি টেবিল ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি টেবিলটি আরও ১১২৫ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১০% লাভ হতো। টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?

ক
৬৫০০ টাকা
খ
৭০০০ টাকা
গ
৭৫০০ টাকা
ঘ
৮০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি টেবিল ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। যদি টেবিলটি আরও ১১২৫ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করা হতো তবে ১০% লাভ হতো। টেবিলটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
টেবিলটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা = ৯৫ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১০ - ৯৫) টাকা = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১১২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ১১২৫)/১৫ টাকা = ৭৫০০ টাকা

৬,৩১৭.

x + 2y = 12 এবং xy = 18 হলে, x = কত?

ক
6
খ
10
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 12 এবং xy = 18 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, xy = 18
⇒ y = 18/x

এখন,
x + 2y = 12
⇒ x + 2 × (18/x) = 12
⇒ x + 36/x = 12
⇒ x² + 36 = 12x
⇒ x² - 12x + 36 = 0
⇒ x² - 2 . x . 6 + 6² = 0
⇒ (x - 6)² = 0
⇒ (x - 6) = 0
⇒ x = 6
∴ x = 6

৬,৩১৮.

নিচের কোনটি রম্বসের বৈশিষ্ট?

ক
কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান
খ
প্রত্যেক কোণই সমকোণ
গ
বিপরীত কোণদ্বয় অসমান
ঘ
প্রত্যেকটি বাহুই সমান

ব্যাখ্যা

রম্বসের বৈশিষ্ট্য হলো, এর
ⅰ) চারটি বাহু পরস্পর সমান,
ⅱ) বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল,
ⅲ) কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।

৬,৩১৯.

৫৯° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক
১২১°
খ
১৩১°
গ
৯০°
ঘ
৩১°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫৯° কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা (১৮০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৯° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৯°
= ১২১°

৬,৩২০.

A = Ø, B = {1, 2} এবং C = {a, b, c} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 14
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = Ø, B = {1, 2} এবং C = {a, b, c} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
P(A) = {0}
A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁰ = 1

আবার,
P(B) = {{1, 2}, {1}, {2}, Ø}
∴ B সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2² = 4

এবং P(C) = {{a, b,c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, Ø}
∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা 3 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2³ = 8

∴ সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 4 + 8 = 13

৬,৩২১.

3x + 5y = 19 এবং 2x - y = 4 হলে x এবং y এর মান কত?

ক
(3, 2)
খ
(4, 1)
গ
(- 3, - 1)
ঘ
(5, - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 5y = 19 এবং 2x - y = 4 হলে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া:
3x + 5y = 19 ......(1)
এবং,
2x - y = 4
⇒ y = 2x - 4 .......(2)

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 3x + 5(2x - 4) = 19
⇒ 3x + 10x - 20 = 19
⇒ 13x = 39
∴ x = 3

এখন, x এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2

∴ নির্ণয়ে সমাধান, (x, y) = (3, 2)

৬,৩২২.

বিক্রয়মূল্যের উপর ১৫% কর প্রদেয় এবং বিক্রেতা ১০% লাভ করতে চাইলে, যে দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা তার বিক্রয়মূল্য কত?

ক
ক) ২২০ টাকা
খ
খ) ২৩০ টাকা
গ
গ) ২৫৩ টাকা
ঘ
ঘ) ২৬০ টাকা

ব্যাখ্যা

১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ২০০ + ২০০ এর ১০% = ২২০ টাকা
১৫% হারে বিক্রয় কর = ২২০ টাকার ১৫% = ৩৩ টাকা
নির্ণেয় বিক্রয়মূল্য = (২২০ + ৩৩) টাকা = ২৫৩ টাকা

৬,৩২৩.

সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের 5 গুণ। সোহাগের বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের তিনগুণ হবে তখন সিহাবের বয়স কত হবে?

ক
45 বছর
খ
42 বছর
গ
39 বছর
ঘ
36 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের 5 গুণ। সোহাগের বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের তিনগুণ হবে তখন সিহাবের বয়স কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
সোহাগের বর্তমান বয়স 6 বছর হলে সিহাবের বর্তমান বয়স = 6 × 5 = 30 বছর

ধরি,
x বছর পরে সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের তিনগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
3 × (6 + x) = 30 + x
⇒ 18 + 3x = 30 + x
⇒ 3x - x = 30 - 18
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

∴ যখন সিহাবের বয়স সোহাগের বয়সের তিনগুণ হবে, তখন সিহাবের বয়স হবে = 30 + 6 = 36 বছর।

৬,৩২৪.

5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(4/3, 7]
খ
[4/3, 5)
গ
[2/5, 6)
ঘ
(2, 5/7]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

৬,৩২৫.

যদি x > 0 এবং (x² + 1)² = 5x² হয়, তাহলে x³ + (1/x³) এর মান কত?

ক
0
খ
2√5
গ
5√5
ঘ
12√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x > 0 এবং (x² + 1)² = 5x² হয়, তাহলে x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 5x²
বা, x² + 1 = √5x [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে]
বা, (x² + 1)/x = √5
∴ x + (1/x) = √5

এখন,
প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . (1/x) {x + (1/x)}
= (√5)³ - 3(√5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

৬,৩২৬.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। 4 সে.মি. বাহুটিকে উচ্চতা ধরে 3 সে.মি. বাহুটিকে ঘুরিয়ে একটি কোণক তৈরি করা হলে, কোণকের আয়তন কত হবে?

ক
60π cm³
খ
12π cm³
গ
30π cm³
ঘ
28π cm³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু যথাক্রমে 3 সে.মি., 4 সে.মি. এবং 5 সে.মি.। 4 সে.মি. বাহুটিকে উচ্চতা ধরে 3 সে.মি. বাহুটিকে ঘুরিয়ে একটি কোণক তৈরি করা হলে, কোণকের আয়তন কত হবে?

সমাধান:

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h
= (1/3) × π3²4
= 12π cm³

৬,৩২৭.

| x + 3 | ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
1
খ
- 5
গ
- 7
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: | x + 3 | ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + 3 | ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 4 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 4 - 3
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 7

৬,৩২৮.

বার্ষিক শতকরা ৬.০০ টাকা হার সুদে কত সময়ে ৪৫০ টাকা সুদে - আসলে ৫৫৮ টাকা হবে?

ক
ক) ৩ বছর
খ
খ) ৪ বছর
গ
গ) ৫ বছর
ঘ
ঘ) ৬ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৬.০০ টাকা হার সুদে কত সময়ে ৪৫০ টাকা সুদে - আসলে ৫৫৮ টাকা হবে?

সমাধান:
মুনাফার হার r = ৬% = ৬/১০০ টাকা
আসল P = ৪৫০ টাকা
সুদ I = (৫৫৮ - ৪৫০) টাকা
= ১০৮ টাকা

আমরা জানি,
I =Pnr
n = I /Pr
= ১০৮/{৪৫০ × (৬/১০০)}
= ১০৮/২৭
= ৪

৬,৩২৯.

বিক্রয়মূল্য আর ক্রয়মূল্যের পার্থক্যকে বলা হয়_________।

ক
আয়
খ
মুনাফা
গ
ক্রেডিট
ঘ
মার্জিন

ব্যাখ্যা

→ সাধারণ অর্থে পণ্য ক্রয়ের সময় যে দাম বা মূল্য প্রদান করা হয় তাকে ক্রয়মূল্য বলা হয়।

→ যে দামে বা মূল্যে পণ্য দ্রব্য বিক্রয় করা হয় তাকেই আমরা বিক্রয় মূল্য বলে থাকি। কিন্তু হিসাবে মোট খরচের সাথে মুনাফা যোগ করলে যে মূল্য পাওয়া যায় তাকে বিক্রয়মূল্য বলা হয়।

→ অর্থাৎ বিক্রয়মূল্য আর ক্রয়মূল্যের পার্থক্যকে বলা হয় মুনাফা।

উৎস: হিসাব বিজ্ঞান, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

৬,৩৩০.

কোন স্কুলে ১২০ ছাত্রের মধ্যে ৭৫ জন বাংলা ভাষায় এবং ৬০ জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কত জন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

ক
ক) ১০
খ
খ) ১৫
গ
গ) ২০
ঘ
ঘ) ৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন স্কুলে ১২০ ছাত্রের মধ্যে ৭৫ জন বাংলা ভাষায় এবং ৬০ জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কত জন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজী ভাষায় কথায় বলতে পারে = ১২০ - ৭৫ জন
= ৪৫ জন

∴ উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে = ৬০ - ৪৫ জন
= ১৫ জন

৬,৩৩১.

একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি. হলে বেলনটির আয়তন কত?

ক
১৫২০ ঘন সে.মি.
খ
১২০০ ঘন সে.মি.
গ
৭৮০ ঘন সে.মি.
ঘ
৭৭০ ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. এবং উচ্চতা ৫ সে.মি. হলে বেলনটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.
উচ্চতা,h = ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = π × r² × h
= (২২/৭) ×৭^২ × ৫
= ২২ × ৭ × ৫
= ৭৭০ ঘন সে.মি.

৬,৩৩২.

একটি ব্যাংকের পরিচালকমণ্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালকমণ্ডলির সদস্যদের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক
ক) 1120
খ
খ) 920
গ
গ) 1020
ঘ
ঘ) 1220

ব্যাখ্যা

পরিচালকমণ্ডলিতে পুরুষ আছেন = 8 জন
পরিচালকমণ্ডলিতে মহিলা আছেন = 6 জন

8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸C₅
= 56

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 3 জন মহিলা নিয়ে বাছাই করার উপায় =⁶C₃
= 20
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 56 × 20
= 1120

৬,৩৩৩.

১+৩+৫+৭+ …+n ধারাটির n পদের সমষ্টি-

ক
ক) n(n+১)
খ
খ) n(n+১)/৪
গ
গ) n^২
ঘ
ঘ) n^২(n+১)^২/৪

ব্যাখ্যা

n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n^২

৬,৩৩৪.

ক
3/2
খ
5/3
গ
3/4
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,৩৩৫.

১০ বছর আগে ক এর বয়স ছিল খ এর বয়সের অর্ধেক। যদি তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, তবে তাদের বর্তমানে মোট বয়স কত?

ক
৪৫ বছর
খ
৩৫ বছর
গ
২০ বছর
ঘ
৫০ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে ক এর বয়স ছিল খ এর বয়সের অর্ধেক। যদি তাদের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ৪ হয়, তবে তাদের বর্তমানে মোট বয়স কত?

সমাধান:
১০ বছর আগে খ এর বয়স = p
১০ বছর আগে ক এর বয়স = p/2

প্রশ্নমতে
(p/2) + 10 : (p + 10) = 3 : 4
(p/2) + 10/(p + 10) = 3/4
3p + 30 = 2p + 40
3p - 2p = 40 - 30
p = 10

ক এর বর্তমান বয়স = (10/2) + 10= 15 বছর
খ এর বর্তমান বয়স = 10 + 10 = 20 বছর

তাদের বর্তমানে মোট বয়স = 15 + 20 = 35 বছর

৬,৩৩৬.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণিতে ছাত্র- ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
ক) ২৫ জন
খ
খ) ৫০ জন
গ
গ) ৭৫ জন
ঘ
ঘ) ১০০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণিতে ছাত্র- ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ক
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় ক + ২৫ টাকা
মোট চাঁদা = ক (ক + ২৫) টাকা
= ক^২ + ২৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ + ২৫ক = ৭৫০০
⇒ ক^২ + ২৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক^২ + ১০০ক - ৭৫ক - ৭৫০০ = ০
⇒ ক (ক + ১০০) - ৭৫ (ক + ১০০) = ০
⇒ (ক + ১০০) (ক - ৭৫) = ০
∴ (ক + ১০০) = ০ অথবা, (ক - ৭৫) = ০
(ক + ১০০) = ০
ক = -১০০ , সম্ভব নয়

(ক - ৭৫) = ০
∴ ক = ৭৫
অতএব, ঐ শ্রেণিতে ৭৫ জন ছাত্র-ছাত্রী রয়েছে।

৬,৩৩৭.

একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরলে ৪ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

ক
১০৮০°
খ
২১৬০°
গ
২৮০০°
ঘ
৩২০০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরলে ৪ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০ বার
১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৯০/৬০ = ৩/২ বার
৪ সেকেন্ডে ঘুরে = (৩/২) × ৪ = ৬ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
৬ বার ঘুরলে ঘুরে = (৩৬০° × ৬) = ২১৬০°

৬,৩৩৮.

১৫, ২০, ২৫, ৩০, ........ , ১৬৫ ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

ক
ক) ২৫ টি
খ
খ) ২৭ টি
গ
গ) ২৯ টি
ঘ
ঘ) ৩১ টি

ব্যাখ্যা

এখানে, প্রথম পদ, a = ১৫, সাধারণ অন্তর, d = ৫ এবং শেষ পদ = ১৬৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= {(১৬৫ - ১৫)/৫} + ১
= (১৫০/৫) + ১
= ৩০ + ১
= ৩১

৬,৩৩৯.

3x + 3y + 3z = 90 হলে, x, y, z এর গড় মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 10
গ
গ) 30
ঘ
ঘ) 90

ব্যাখ্যা

3x + 3y + 3z = 90
⇒ 3(x + y + z) = 90
⇒ (x + y + z) = 30

∴ x, y, z এর গড় = 30/3 = 10

৬,৩৪০.

৭, ১১, ১৫, ১৯ সংখ্যার গাণিতিক গড় ৯, ১২, ১৫ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

ক
১৬
খ
২৩
গ
১৩
ঘ
২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭, ১১, ১৫, ১৯ সংখ্যার গাণিতিক গড় ৯, ১২, ১৫ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
ধরি সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
(৭ + ১১ + ১৫ + ১৯)/৪ = (৯ + ১২ + ১৫ + ক)/৪
⇒ ৫২/৪ = (৩৬ + ক)/৪
⇒ ৩৬ + ক = ৫২
⇒ ক = ৫২ - ৩৬
∴ ক = ১৬

সুতরাং, ৭, ১১, ১৫, ১৯ এর গাণিতিক গড় = ৯, ১২, ১৫, ১৬ এর গাণিতিক গড়

৬,৩৪১.

কোনো পরীক্ষায় শতকরা ৯০ জন ইংরেজিতে পাস করেছে। ইংরেজিতে ফেলের মোট সংখ্যা ৭০ জন হলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
ক) ৭০০ জন
খ
খ) ৬৫০ জন
গ
গ) ৫০০ জন
ঘ
ঘ) ৩৭৫ জন

ব্যাখ্যা

ইংরেজিতে ফেল করে = ১০০-৯০ = ১০ জন।
১০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ জন।
১ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০/১০ জন।
৭০ জন ফেল করলে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০০ X ৭০/১০ জন।
= ৭০০ জন।

৬,৩৪২.

একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে 4 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 2/3
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 3/4

ব্যাখ্যা

মোট সংখ্যা = 6টি
4 থেকে বড় নয় এরুপ সংখ্যা = 4টি
∴ সম্ভবনা = 4/6 = 2/3

৬,৩৪৩.

BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?

ক
36
খ
144
গ
240
ঘ
320

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?

সমাধান:
BALLOON শব্দটিতে 7 টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ।
7টি স্থানের মধ্যে 4 টি বিজোড় স্থান এবং 3 টি জোড় স্থান।

3 টি স্বরবর্ণকে 3 টি জোড়স্থানে মোট 3!/2! = 3 উপায়ে [0 দুইটি]
4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4 টি বিজোড়স্থানে মোট 4!/2! = 12 উপায়ে
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 3 × 12 = 36

৬,৩৪৪.

একটি সুষম ষড়ভূজের অন্তঃস্থ কোনগুলোর সমষ্টি -

ক
ক) ৩৬০°
খ
খ) ৫৪০°
গ
গ) ১৮০°
ঘ
ঘ) ৭২০°

ব্যাখ্যা

সুষম ষড়ভূজের মোট কোণের পরিমাণ = 180°× (n - 2)
= 180°× (6 - 2)
= 720°

৬,৩৪৫.

1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

ক
n(2n -1)
খ
n(n + 1)
গ
n(n + 1)/2
ঘ
n²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2×1 + (n - 1)×2]
= n/2 [2 + 2n - 2]
= n/2 × 2n
= n²
সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n²।

৬,৩৪৬.

x + 1/x = 2 হলে x³ + 1/x³ এর মান কোনটি?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) -2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 2 হলে x³ + 1/x³ এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = 2

এখন,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x .1/x . (x + 1/x)
= (2)³ - 3 . 2
= 8 - 6
= 2

৬,৩৪৭.

ঈগলু কোম্পানী দুধ থেকে দশ ধরনের আইসক্রিম তৈরি করে এবং নাবিস্কো কোম্পানী গম থেকে ১২ ধরনের বিস্কুট তৈরি করে প্রতিষ্ঠান দু’টি কত ধরনের খাবার তৈরি করে?

ক
ক) ২
খ
খ) ২২
গ
গ) ১২০
ঘ
ঘ) ১৫০

ব্যাখ্যা

ঈগলু খাবার তৈরি করে = ১০ উপায়ে
নাবিস্কো খাবার তৈরি করে = ১২ উপায়ে
∴ খাবার তৈরির উপায় = ১০ + ১২
= ২২ [গণনার যোজন বিধি]

৬,৩৪৮.

যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বোচ্চ কতটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) ২টি
খ
খ) ৩টি
গ
গ) ৪টি
ঘ
ঘ) অসংখ্য

ব্যাখ্যা

১: বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
২: যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

৬,৩৪৯.

কিছু সংখ্যক আম ৩০ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যায়, কিন্তু ২৫ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করতে গেলে ১৫টি আম বেশি থেকে যায় এবং প্রত্যেকে ৫টি আম বেশি পায়। মোট আমের সংখ্যা কত?

ক
৭২০ টি
খ
৭৬০ টি
গ
৮৪০ টি
ঘ
৯৮০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক আম ৩০ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করা যায়, কিন্তু ২৫ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করতে গেলে ১৫টি আম বেশি থেকে যায় এবং প্রত্যেকে ৫টি আম বেশি পায়। মোট আমের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট আমের সংখ্যা = ক টি
৩০জন বালকের মধ্যে সমান ভাগ করলে প্রত্যেকে পায় = ক/৩০ টি
২৫জন বালকের মধ্যে সমান ভাগ করলে আমের সংখ্যা = ক - ১৫ টি
২৫ জন বালকের মধ্যে সমান ভাগ করলে প্রত্যেকে পায় = (ক - ১৫)/২৫ টি

প্রশ্নমতে,
{(ক - ১৫)/২৫} - (ক/৩০) = ৫
⇒ (ক/২৫) - (১৫/২৫) - (ক/৩০) = ৫
⇒ (ক/২৫) - (ক/৩০) = ৫ + (৩/৫)
⇒ (৬ক - ৫ক)/১৫০ = (২৫ + ৩)/৫
⇒ ক/১৫০ = ২৮/৫
⇒ ক = (২৮/৫) × ১৫০
∴ ক = ৮৪০টি

আমের সংখ্যা = ৮৪০টি

৬,৩৫০.

ABCD একটি রম্বস। উহার ∠A = 70° হলে, ∠C = কত?

ক
ক) 110°
খ
খ) 70°
গ
গ) 100°
ঘ
ঘ) 80°

ব্যাখ্যা

- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
- রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
- এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- ∠A = 70° হলে, ∠C = 70°

৬,৩৫১.

24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
16π বর্গ মিটার
খ
18π বর্গ মিটার
গ
15π বর্গ মিটার
ঘ
12π বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

৬,৩৫২.

(x - y, 3) = (0, 2y - x) হলে (y, x) = ?

ক
ক) (-3, 3)
খ
খ) (-3, -3)
গ
গ) (3, 3)
ঘ
ঘ) (3, -3)

ব্যাখ্যা

(x - y, 3) = (0, 2y - x)
∴ x - y = 0
বা, y = x
এবং 2y - x = 3
বা, 2.x - x = 3
∴ x = 3

৬,৩৫৩.

2a² - 6a + 4 = 0 হলে, a এর মান কত?

ক
2, 3
খ
1, 2
গ
1, 4
ঘ
2, 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a² - 6a + 4 = 0 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2a² - 6a + 4 = 0
⇒ 2a² - 4a - 2a + 4 = 0
⇒ 2a(a - 2) - 2(a - 2) = 0
⇒ (a - 2)(2a - 2) = 0

হয়, a - 2 = 0 ⇒ a = 2
অথবা, 2a - 2 = 0 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
∴ a এর মান 1, 2

৬,৩৫৪.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গসেমি। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সেমি হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

ক
10 সেমি
খ
25 সেমি
গ
15 সেমি
ঘ
30 সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গসেমি। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 20 সেমি হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্ষেত্রফল = 150 বর্গসেমি
লম্ব = 20 সেমি

আমরা জানি,
(1/2) × ভূমি × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল
⇒ (1/2) × 20 × উচ্চতা = 150
⇒ উচ্চতা = (150 × 2) ÷ 20
∴ উচ্চতা = 15

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = 15 সেমি

৬,৩৫৫.

একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬, ৮ ও ১০ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩২ বর্গমিটার
খ
১২ বর্গমিটার
গ
২৪ বর্গমিটার
ঘ
৪৪ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনবাহুর দৈর্ঘ্য ৬, ৮ ও ১০ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
তিনবাহুর দৈর্ঘ্য a = ৬ মিটার, b = ৮ মিটার, c = ১০ মিটার

ত্রিভুজটির পরিসীমা (২s) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪ মিটার
∴ অর্ধ-পরিসীমা (s) = ২৪/২ = ১২ মিটার

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} বর্গমিটার
= √{১২(১২ - ৬)(১২ - ৮)(১২ - ১০)}
= √{১২ × ৬ × ৪ × ২}
= √৫৭৬ বর্গমিটার
= ২৪ বর্গমিটার

৬,৩৫৬.

log_2√5400 এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√5400 এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
log_2√5400 = x
বা, (2√5)^x = 400
বা, (2√5)^x = {(2√5)²}²
বা, (2√5)^x = (2√5)⁴
∴ x = 4

৬,৩৫৭.

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'HOLIDAY' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে?

ক
ক) 5040
খ
খ) 4320
গ
গ) 4080
ঘ
ঘ) 5080

ব্যাখ্যা

'HOLIDAY' শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

7 টি বর্ণকে সাজানো যায় =7! = 5040

স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5040 - 720
= 4,320

৬,৩৫৮.

log₁₀(a/b) + log₁₀(b/a) = log₁₀ (a + b) এর মান কত?

ক
ক) a - b = 1
খ
খ) a + b = 1
গ
গ) a² + b² = 1
ঘ
ঘ) ab + 1

ব্যাখ্যা

log₁₀(a/b) + log₁₀(b/a) = log₁₀ (a + b)
log₁₀{(a/b) ×(b/a)} = log₁₀(a + b)
log₁₀1 = log₁₀ (a + b)
a + b = 1

৬,৩৫৯.

ক
- 3
খ
5
গ
6
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,৩৬০.

প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
২, ৬, ৭, ৭, ৮, ৪, ২, ৯, ১০, ১১

ক
৫
খ
৬
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
২, ৬, ৭, ৭, ৮, ৪, ২, ৯, ১০, ১১

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ২, ২, ৪, ৬, ৭, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১
মোট উপাত্তের সংখ্যা, (n) = ১০ (যা একটি জোড় সংখ্যা)

∴ মধ্যক = {(১০/২) তম পদ + (১০/২ + ১) তম পদ}/২
= (৫ তম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৭ + ৭)/২
= ১৪/২
= ৭

৬,৩৬১.

একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হলো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

ক
৭০০ টাকা
খ
৯০০ টাকা
গ
২০০ টাকা
ঘ
৮০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হলো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৫৬০)/৮০ টাকা
= ৭০০ টাকা

৬,৩৬২.

৯ এবং ২৫ সংখ্যা দুটি-

ক
ক) বিজোড় সংখ্যা
খ
খ) পরস্পর সহ-মৌলিক
গ
গ) জটিল সংখ্যা
ঘ
ঘ) ক ও খ

ব্যাখ্যা

কোন ব্যাখ্যা যোগ করা হয়নি।

৬,৩৬৩.

যদি 1 + sinθ = mcosθ হয়, তবে tanθ এর মান কত?

ক
m/(m² - 1)
খ
2m/(m² + 1)
গ
2m/(m² - 1)
ঘ
(m² - 1)/2m

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয়, তবে tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + sinθ = mcosθ
বা, (1 + sinθ)/cosθ = m
বা, (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
∴ secθ + tanθ = m ...............(i)

আমরা জানি,
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
বা, m(secθ - tanθ) = 1
∴ secθ - tanθ = 1/m .................(ii)

(i) নং - (ii) নং হতে পাই ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - 1/m
বা, secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
বা, 2tanθ = (m² - 1)/m
∴ tanθ = (m² - 1)/2m

৬,৩৬৪.

x² - mx - 48 এর একটি উৎপাদক (x - 8) হলে m এর মান কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 4
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - mx - 48 এর একটি উৎপাদক (x - 8) হলে m এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x² - mx - 48
(x - ৪), f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(8) = 0 হবে।

∴ f(8) = 8² - m × 8 - 48
= 64 - 8m - 48
= 16 - 8m

তাহলে,
16 - 8m = 0
⇒ 8m = 16
⇒ m = 16/8
∴ m = 2

৬,৩৬৫.

x² - 3xy - 40y² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

ক
ক) (x - 8y)(x - 5y)
খ
খ) (x - 7y)(x + 8y)
গ
গ) (x - 8y)(x + 5y)
ঘ
ঘ) (x - 7y)(x - 8y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3xy - 40y² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

সমাধান:
x² - 3xy - 40y²
= x² - 8xy + 5xy - 40y²
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y)(x + 5y)

৬,৩৬৬.

একটি চাকরীর পরীক্ষায় চাকরী পাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫ হলে, চাকরী না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৫০%
খ
খ) ৭৫%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ৪০%

ব্যাখ্যা

চাকরী না পাওয়ার সম্ভাবনা (১ – ৪/৫) বা ১/৫
(১/৫)(১০০) = ২০%

৬,৩৬৭.

৭ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত?

ক
১৯
খ
১৭
গ
১১
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭ টি সংখ্যার গড় = ১৩
তাহলে, ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ১৩ = ৯১

৬ টি সংখ্যার গড় = ১২
তাহলে, ৬ টি সংখ্যার গড় = ৬ × ১২ = ৭২

∴ বাতিলকৃত সংখ্যাটি = (৯১ - ৭২) = ১৯

৬,৩৬৮.

টাকায় ৩টি করে আম ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

ক
ক) ৫০%
খ
খ) ৩৩%
গ
গ) ৩০%
ঘ
ঘ) ৩১%

ব্যাখ্যা

৩টি আমের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা
আবার, ২টি আমের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১টি আমের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ লাভ = (১/২)-(১/৩) = ১/৬ টাকা
এখন ১/৩ টাকায় লাভ হয় ১/৬ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় (১×৩)/৬ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১×৩×১০০)/৬ টাকা
= ৫০ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ ৫০%

৬,৩৬৯.

বার্ষিক ৮% সুদে ১২০০ টাকার ৫ বছরের যে সুদ হয়, বার্ষিক ৬% সুদে কত টাকার ১০ বছরের তত সুদ হবে?

ক
৪০০ টাকা
খ
৬০০ টাকা
গ
৮০০ টাকা
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সুদে ১২০০ টাকার ৫ বছরের যে সুদ হয়, বার্ষিক ৬% সুদে কত টাকার ১০ বছরের তত সুদ হবে?

সমাধান:
৮% হারে ১২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ১২০০ × ৫ × (৮/১০০)
= ৪৮০ টাকা

আমরা জানি,
সুদ = আসল × সময় × সুদের হার
বা, আসল = সুদ / (সময় × সুদের হার)
বা, আসল = ৪৮০ / {১০ × (৬/১০০)}
বা, আসল = (৪৮০ × ১০০) / (১০ × ৬)
বা, আসল = ৪৮০০০ / ৬০
বা, আসল = ৮০০

∴ আসল = ৮০০ টাকা

৬,৩৭০.

x + y = 7 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
14
খ
16
গ
12
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 7
তাই,
x এর মান 0 হলে y এর মান 7 হয়।
∴ xy = 0
x এর মান 1 হলে y এর মান 6 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 2 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 3 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 4 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 5 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ xy = 10
x এর মান 6 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ xy = 6
x এর মান 7 হলে y এর মান 0 হয়।
∴ xy = 0

সুতরাং xy এর বৃহত্তম মান 12.

৬,৩৭১.

Δ ABC - এ A, B, C কোণগুলোর বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c হলে Δ ABC এর ক্ষেত্রফল-

ক
ক) 1/2 bc SinB
খ
খ) 1/2 ab SinA
গ
গ) 1/2 ca Sin²B
ঘ
ঘ) 1/2 bc SinA

ব্যাখ্যা

ΔABC এর ক্ষেত্রফল
= 1/2 × বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল × বাহুদ্বয়ের অর্ন্তভুক্ত কোণের সাইন
= 1/2 ab SinC
= 1/2 bc SinA
= 1/2 ca SinB

৬,৩৭২.

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না।

ক
৯
খ
৭
গ
৫
ঘ
৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ কে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকবে না।

সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু।
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গসাগু ৩।

সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা ৩।

৬,৩৭৩.

বার্ষিক ৮% সরল সুদে ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ কত টাকা?

ক
১০০০ টাকা
খ
১১২০ টাকা
গ
১২০০ টাকা
ঘ
১৬৮০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% সরল সুদে ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ কত টাকা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ৮ %

আমরা জানি,
সরল সুদ = Pnr /১০০
= (৫০০০ × ৩ × ৮)/১০০
= ৫০ × ৩ × ৮
= ১২০০

অর্থাৎ সুদের পরিমাণ = ১২০০ টাকা

৬,৩৭৪.

একটি ব্যাগে ৬ টি সাদা ও ৪ টি কালো বল রয়েছে। ব্যাগটি হতে একটি বল বাছাই করলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/৫
খ
খ) ৩/৫
গ
গ) ২/৫
ঘ
ঘ) ৪/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৬ টি সাদা ও ৪ টি কালো বল রয়েছে। ব্যাগটি হতে একটি বল বাছাই করলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ব্যাগে ৬ টি সাদা ও ৪ টি কালো বল রয়েছে।
মোট বল = ৬ + ৪ টি = ১০ টি
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১০
= ৩/৫

∴বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৩/৫
= (৫ - ৩)/৫
= ২/৫

৬,৩৭৫.

a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² + ab + b² = 3 হলে, 3(a² - ab + b²) =?

ক
6
খ
3
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² + ab + b² = 3 হলে, 3(a² - ab + b²) =?

সমাধান:
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + a²b² + (b²)² = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² +ab + b²) (a² - ab + b²) = 3
∴ 3(a² - ab + b²) = 3

৬,৩৭৬.

একটি সমান্তর ধারার ১০ম পদ ৫৮ হলে, তার প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি কত?

ক
১০২৬
খ
১০৫৪
গ
১১০২
ঘ
১১২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১০ম পদ ৫৮ হলে, তার প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d = a + ৯d

প্রশ্নমতে,
a + ৯d = ৫৮

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ প্রথম ১৯টি পদের সমষ্টি, S_১৯ = (১৯/২){২a + (১৯ - ১)d}
= (১৯/২)(২a + ১৮d)
= (১৯/২) × ২(a + ৯d)
= ১৯ × (a + ৯d)
= ১৯ × ৫৮
= ১১০২

∴ প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি হলো ১১০২

৬,৩৭৭.

0.5 + 0.05 + 0.005 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
2/9
খ
5/7
গ
3/5
ঘ
5/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 =1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
= 1/10 < 1

সুতরাং অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ (1 - 1/10)
= (1/2) ÷ 9/10
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

৬,৩৭৮.

1, √2, √3, 2.... অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?

ক
n³
খ
n²
গ
n
ঘ
√n

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, √2, √3, 2.... অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?

সমাধান:
1, √2, √3, 2....
= √1, √2, √3, √4....

∴ 1, √2, √3, 2.... অনুক্রমটির সাধারণ পদ = √n

৬,৩৭৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

ক
6 মিটার
খ
18 মিটার
গ
24 মিটার
ঘ
2√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a²বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(√3/4) a² = 9√3
বা, a²/4 = 9
বা, a² = 36
∴ a = 6

∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 6
= 18 মিটার

৬,৩৮০.

f(x) = (5x - 13)/(2x - 4) হয়, তবে f(2) = কত?

ক
10/13
খ
- 5/3
গ
- 3
ঘ
অসংজ্ঞায়িত

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = (5x - 13)/(2x - 4) হয়, তবে f(2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = (5x - 13)/(2x - 4)
f(2) = {5(2) − 13}/{2(2) − 4}
f(2) = (10 - 13)/ (4 - 4)
f(2) = - 3/0
অতএব, কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হলে ভগ্নাংশটির মান নির্ণয় করা যায় না ।

৬,৩৮১.

একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

ক
২৪ মিটার
খ
১৮ মিটার
গ
২৮ মিটার
ঘ
৪৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার হলে, চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৮ + ৬) মিটার
= (২ × ১৪) মিটার
= ২৮ মিটার ।

৬,৩৮২.

6 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল ও 6 সে. মি বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
4 : √2
খ
4 : √3
গ
2 : √3
ঘ
5 : √3

ব্যাখ্যা

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 6 সে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = 6 × 6 = 36

সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 6 সে.মি.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 6^২(√3/4)
= 36√3/4

বর্গের ক্ষেত্রফল ও সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 36 : 36√3/4
= 1 : √3/4
= 4 : √3

৬,৩৮৩.

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 30 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

ক
25√3 মিটার
খ
30 মিটার
গ
15√3 মিটার
ঘ
40 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 30 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 30 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan45° = h/30
⇒ 1 = h/30
∴ h = 30

∴ মিনারটির উচ্চতা = 30 মিটার।

৬,৩৮৪.

চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
৩৩
খ
২৮
গ
৩২
ঘ
৩৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯

১০০০ ÷ ৪৮ ⇒
ভাগফল = ২০৮
ভাগশেষ = ১৫

∴ ক্ষুদতম সংখ্যাটি হবে = ৪৮ - ১৫ = ৩৩
∴ ৩৩ যোগ করলে যোগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৬,৩৮৫.

cos 45°cos15° + sin45°sin15° =?

ক
1/2
খ
1
গ
2/√3
ঘ
√3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos 45°cos15° + sin45°sin15° =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB

∴cos 45°cos15° + sin45°sin15°
= cos(45° - 15°)
= cos30°
= √3/2

৬,৩৮৬.

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর পরিসর কত?

ক
ক) ১৯
খ
খ) ২০
গ
গ) ১৭
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোঃ ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯
∴ পরিসর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= ১৯ - ২
= ১৭

৬,৩৮৭.

যদি a : b = 2 : 3, a : c = 4 : 7 হয়, তবে b : c =?

ক
ক) 6 : 11
খ
খ) 3 : 7
গ
গ) 6 : 7
ঘ
ঘ) 9 : 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a : b = 2 : 3, a : c = 4 : 7 হয়, তবে b : c =?

সমাধান:
a : b = 2 : 3
⇒ a/b = 2/3

a : c = 4 : 7
⇒ a/c = 4/7

(a/b) / (a/c) = (2/3)/(4/7)
⇒ c/b = 7/6
∴ b/c = 6/7
∴ b : c = 6 : 7

৬,৩৮৮.

x³ + 7x² - x - 7 এবং 2x⁴- x² - 1 উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক -

ক
ক) (2x + 1)
খ
খ) (x + 1)
গ
গ) (2x - 3)
ঘ
ঘ) (x - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : x³ + 7x² - x - 7 এবং 2x⁴- x² - 1 উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক -

সমাধান :

ধরি, P(x) = x³ + 7x² - x - 7
এবং Q(x) = 2x⁴- x² - 1

এখন, P(-1) = (-1)³ + 7(-1)² - (-1) - 7 = 0
∴ (x + 1), P(x) এর উৎপাদক।

Q(-1) = 2(-1)4 - (-1)² - 1 = 0
∴ (x + 1), Q(x) এর উৎপাদক।

আবার,

P(1) = (1)³ + 7(1)² - 1 - 7 = 0
∴ (x - 1), P(x) এর উৎপাদক।

Q(1) = 2(1)4 - (1)² - 1 = 0
∴ (x-1), Q(x) এর উৎপাদক।

∴ (x+1) এবং (x-1) উভয়েই x³ + 7x² - x - 7 এবং 2x⁴- x² - 1 বহুপদীদ্বয়ের উৎপাদক।

৬,৩৮৯.

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭৫ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যে কত?

ক
২০ সে.মি.
খ
২৫ সে.মি.
গ
১৫ সে.মি.
ঘ
১০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের পরিসীমা ৭৫ সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হলে, সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যে কত?

সমাধান:
ধরি,
বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ক সে.মি., ৫ক সে.মি. এবং ৭ক সে.মি.

শর্তমতে,
৩ক + ৫ক + ৭ক = ৭৫
⇒ ১৫ক = ৭৫
∴ ক = ৫
সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩ × ৫ = ১৫ সে.মি.

৬,৩৯০.

(1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
9 তম পদ
খ
10 তম পদ
গ
11 তম পদ
ঘ
12 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা, কারণ এদের সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ = 1/(1/√2) = √2
১ম পদ a = 1/√2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2^{- 1}) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{- 1 + n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 2³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = {(√2)²}³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁶ × √2¹
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)^{6 + 1}
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁷
⇒ n - 2 = 7
∴ n = 9

৬,৩৯১.

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যায়?

ক
ক) ৬০
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৭৫
ঘ
ঘ) ৯০

ব্যাখ্যা

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল
^৬c_২ = Error! = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।
২য় দল বাকী (৬-২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে।
^৪c_২ = Error! = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।
৩য় দল অবশিষ্ট (৪-২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে।
^২c_২= ১ উপায়ে গঠন করা যায়।
∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫×৬×১ = ৯০

৬,৩৯২.

একটি মোবাইল ফোনের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৬/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।

ক
২০% ক্ষতি
খ
২৫% লাভ
গ
১২% লাভ
ঘ
২০% লাভ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মোবাইল ফোনের বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের ৬/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় কর।

সমাধান:
মনে করি,
মোবাইল ফোনের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬/৫) টাকা
= ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশী হওয়ায় এখানে লাভ হয়েছে।

∴ লাভ = (১২০ - ১০০) টাকা = ২০ টাকা

শতকরা লাভ = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০
= (২০/১০০) × ১০০
= ২০%

৬,৩৯৩.

১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

ক
২০
খ
২৪
গ
২৮
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১)
= ৫ × ৩ × ২
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।

৬,৩৯৪.

A = {x : x² - 3x + 2 = 0} হলে, A সেটটির উপসেট কতটি?

ক
2 টি
খ
3 টি
গ
4 টি
ঘ
6 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x² - 3x + 2 = 0} হলে, A সেটটির উপসেট কতটি?

সমাধান:
A = {x : x² - 3x + 2 = 0}
= {x : x² - x - 2x + 2 = 0}
= {x : (x - 1) (x - 2) = 0}
= {1, 2}

এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা 2 টি
∴ A সেটের উপসেট সংখ্যা 2² টি = 4 টি

৬,৩৯৫.

যদি 3^{x + 2} = 81 হয়, তবে 3^{x - 3} = কত?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়, তবে 3^{x - 3} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2}= 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2

∴ 3^{x - 3} = 3^{2 - 3}
= 3^{- 1}
= 1/3

৬,৩৯৬.

৩৬ : ৪৯ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

ক
ক) ১৮ : ৪৯/২
খ
খ) ৬ : ৭
গ
গ) ৪৯ : ৩৬
ঘ
ঘ) ১/৬ : ১/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৬ : ৪৯ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়
৩৬ : ৪৯ দ্বিভাজিত অনুপাত =√৩৬ : √৪৯ = ৬ : ৭

৬,৩৯৭.

১০% হার মুনাফায় ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

ক
৩২ টাকা
খ
৭৬ টাকা
গ
১৩৫ টাকা
ঘ
১৫৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০% হার মুনাফায় ৫০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০ = ১/১০

আমরা জানি
সরল মুনাফা, I = Pnr
= ৫০০০ × ৩ × ১/১০
= ১৫০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল, C = P(১ + r)ⁿ= ৫০০০(১ + ১/১০)^৩= ৫০০০(১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০)
= ৫০০০ × (১,৩৩১/১,০০০)
= ৬,৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৬,৬৫৫ − ৫০০০ = ১৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫ − ১৫০০) টাকা
= ১৫৫ টাকা

৬,৩৯৮.

54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

ক
126°
খ
90°
গ
26°
ঘ
54°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
54° কোণের বিপ্রতীপ কোণ হল সেই কোণ যা দুটি সরল রেখার মধ্যে তৈরি হয়, যখন তারা একে অপরকে ছেদ করে। বিপ্রতীপ কোণগুলি সমমান হয়ে থাকে।

অতএব, 54° কোণের বিপ্রতীপ কোণও হবে 54°।

৬,৩৯৯.

বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ কত?

ক
১৬৪°
খ
১৮০°
গ
৪১°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ কত?

সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়ে থাকে।

∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ বৃত্তস্থ কোণ ৮২° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ = ৮২° × ২
= ১৬৪°

৬,৪০০.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ৪৮ বর্গমিটার
খ
খ) ৫০ বর্গমিটার
গ
গ) ৮০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৪৪ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুইটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি, b = ১৬ মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১০ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a^২ - b^২)
= (১৬/৪)√{৪ × (১০)^২ - (১৬)^২}
= ৪{√(৪০০ - ২৫৬)}
= ৪√১৪৪
= ৪ × ১২
= ৪৮ বর্গমিটার