গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৬২ / ৪৭৫ · ৬,১০১–৬,২০০ / ৪৭,৮৩৩

৬,১০১.

২πa এবং ২πb সে. মি. পরিধি বিশিষ্ট দু'টি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয় এর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

ক
ক) a - b
খ
খ) b - a
গ
গ) a + b
ঘ
ঘ) ab

ব্যাখ্যা

১ম বৃত্তের পরিধি = ২πa
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = ২πb
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = a + b

চিত্রে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব C₁C₂ = a + b.

৬,১০২.

x² - (a + 1/a)x + 1 এর সঠিক উৎপাদক হলো-

ক
ক) (x + a)(x - 1/a)
খ
খ) (x - a)(x + 1/a)
গ
গ) (x - a)(x - 1/a)
ঘ
ঘ) (x + a)(x - a)

ব্যাখ্যা

x² - (a + 1/a)x + 1
x² - (a + 1/a)x + 1
x² - ax - x/a + 1
x(x - a) - (1/a)(x - a)
(x - a)(x - 1/a)

৬,১০৩.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা (৩√৩)/২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

ক
ক) ৩ সে.মি.
খ
খ) ৬ সে.মি.
গ
গ) ৯ সে.মি.
ঘ
ঘ) ১২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা (৩√৩)/২ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং উচ্চতা h
h = (৩√৩)/২

sin60° = h/a
⇒ (√৩)/২ = (৩√৩)/২a
⇒ ১ = ৩/a
∴ a = ৩ সে.মি.

ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৩ × ৩ সে.মি.
= ৯ সে.মি.

৬,১০৪.

3/x + 4/(x+1) = 2 হলে x এর মান?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

(3/x) + {4/(x+1)} = 2
বা, {3x+3+4x} / {x(x+1)} = 2
বা, 7x+3=2(x²+x)
বা, 2x²-7x+2x-3 = 0
বা, 2x²-5x-3 = 0
বা, 2x²-6x+x-3 = 0
বা, 2x(x-3)+1(x-3) = 0
বা, x-3 = 0 [(2x+1) = 0 is not acceptable]
So, x = 3

৬,১০৫.

একটি পণ্যের নির্মাতা ও খুচরা বিক্রেতা উভয়ই ২৫% লাভে বিক্রয় করে, ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হলে খুচরা মূল্য কত?

ক
৬০০ টাকা
খ
৬২৫ টাকা
গ
৬৫০ টাকা
ঘ
৬৭৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পণ্যের নির্মাতা ও খুচরা বিক্রেতা উভয়ই ২৫% লাভে বিক্রয় করে, ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২৫% লাভে,
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫/১০০) × ৪০০ টাকা
= ৫০০ টাকা

খুচরা বিক্রেতার ২৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫/১০০) × ৫০০ টাকা
= ৬২৫ টাকা

৬,১০৬.

যদি 5^a = 3125 হয়, তাহলে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

ক
20
খ
25
গ
125
ঘ
625

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a = 3125 হয়, তাহলে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
5^a = 3125
⇒ 5^a = 5⁵
⇒ a = 5

∴ 5^{(a - 3)}= 5^{(5 - 3)}
= 5²
= 25

৬,১০৭.

3x-7y+10 = 0 এবং y-2x-3 = 0 এর সমাধান-

ক
ক) x = 1, y = -1
খ
খ) x = 1, y = 1
গ
গ) x = -1, y = -1
ঘ
ঘ) x = -1, y = 1

ব্যাখ্যা

১ম সমীকরণ, 3x-7y = -10
২য় সমীকরণ, -14x + 7y = 21 [7y মেলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
⇒ x = -1
এখন, y-2x-3 = 0 সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
y - 2(-1) - 3 = 0
⇒ y+2-3 = 0
∴ y = 1

৬,১০৮.

একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে, তবে গ্যালারির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮৭৫ বর্গমিটার
খ
১০০০ বর্গমিটার
গ
১১২৫ বর্গমিটার
ঘ
৫৮৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে, তবে গ্যালারির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

৬,১০৯.

বিষুবরেখার দৈর্ঘ্য যদি ৪০ মিলিয়ন মিটার হয়, তবে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ কত কিলোমিটার?

ক
ক) ৬৩৬
খ
খ) ৬৩৬০
গ
গ) ৬৩৬৩.৬৩
ঘ
ঘ) ৬৩৬.৬৩

ব্যাখ্যা

ধরি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R
∴ বিষুব রেখার দৈর্ঘ্য ২πR
তাহলে, ২πR = ৪,০০,০০,০০০ মিটার
∴ R = ৪,০০,০০,০০০/২π = ৪,০০,০০,০০০/(২ × ৩.১৪১৬) মিটার
= ৬৩৬৯৪২৬.৭৫ মিটার
= ৬৩৬৯.৪২৬ কিলোমিটার
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ মোটামুটিভাবে ৬৪০০ কিলোমিটার। প্রায় সবক্ষেত্রে এ মানই ব্যবহৃত হয়।
এখানে, কাছাকাছি উত্তর হয় ৬৩৬৩.৬৩ কিলোমিটার।

৬,১১০.

x² + y² = 185, x - y = 3 এর একটি সমাধান হল:

ক
(7, 4)
খ
(9, 6)
গ
(10, 7)
ঘ
(11, 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + y² = 185, x - y = 3 এর একটি সমাধান হল:

সমাধান:
x² + y² = 185
⇒ (x - y)² + 2xy = 185 [ x - y = 3]
⇒ 2xy = 185 - 9
⇒ 2xy = 176
∴ 4xy = 352

∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √(3² + 352)
∴ x + y = √361 = 19

x + y = 19........(1)
x - y = 3............(2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
2x = 22
∴ x = 11

x + y = 19
⇒ y = 19 - 11
∴ y = 8

∴ নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (11, 8)

৬,১১১.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ২। লব থেকে ৩ বিয়োগ ও হরের সাথে ৩ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ সমান।

ক
৫/৭
খ
৭/৯
গ
১/৩
ঘ
৩/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ২। লব থেকে ৩ বিয়োগ ও হরের সাথে ৩ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান।

সমাধান:
মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x এবং হর = x + ২

প্রশ্নমতে,
(x - ৩)/(x + ২ + ৩) = ১/৩
⇒ (x - ৩)/(x + ৫) = ১/৩
⇒ ৩(x - ৩) = x + ৫
⇒ ৩x - ৯ = x + ৫
⇒ ৩x - x = ৫ + ৯
⇒ ২x = ১৪
⇒ x = ৭

∴ ভগ্নাংশটির লব = ৭ এবং হর = (৭ + ২) = ৯

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৯

৬,১১২.

sinA + cosecA = 2 হলে, sinA এর মান কত?

ক
1
খ
1/2
গ
√2
ঘ
1/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: sinA + cosecA = 2 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA + cosecA = 2
⇒ SinA + (1/sinA) = 2
⇒ (sin²A + 1)/sinA = 2
⇒ sin²A + 1 = 2sinA
⇒ sin²A - 2sinA + 1 = 0
⇒ (sinA - 1)² = 0
⇒ sinA - 1 = 0
∴ sinA = 1

৬,১১৩.

পলাশ ও তানভীর যথাক্রমে ১২০০০ টাকা ও ২০০০০ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক মাস পর ব্যবসায় ৮৪০০ টাকা লাভ হলে, তানভীর কত টাকা লাভ পাবে?

ক
৩১৫০ টাকা
খ
৫২৫০ টাকা
গ
৫৭২০ টাকা
ঘ
৬১৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পলাশ ও তানভীর যথাক্রমে ১২০০০ টাকা ও ২০০০০ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক মাস পর ব্যবসায় ৮৪০০ টাকা লাভ হলে, তানভীর কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
পলাশ ও তানভীরের টাকার অনুপাত = ১২০০০ : ২০০০০
= ৩ : ৫

অনুপাত দ্বয়ের যোগফল = ৩ + ৫ = ৮

তানভীর পাবে = ৮৪০০ এর (৫/৮) টাকা
= ৮৪০০ × (৫/৮) টাকা
= ৫২৫০ টাকা

৬,১১৪.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ১৬√২ বর্গমিটার
খ
খ) ১৬√৫ বর্গমিটার
গ
গ) ৯√৩ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ১৬√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২৪ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
3a =24
a = 8

ক্ষেত্রফল = (√3/4)a²বর্গমিটার
= (√3/4)(8)² বর্গমিটার
= 16√3 m² বর্গমিটার

৬,১১৫.

9, 12, 15, 18, .............., 87 ধারাটিতে মোট কতটি পদ রয়েছে?

ক
25
খ
26
গ
27
ঘ
28

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9, 12, 15, 18, .............., 87 ধারাটিতে মোট কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
9, 12, 15, 18, .............., 87
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 9 = 3

n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 9 + (n - 1)3 = 87
⇒ 3n - 3 = 78
⇒ 3n = 81
⇒ n = 27

∴ ধারাটিতে 27 টি পদ রয়েছে।

৬,১১৬.

যদি a + 1/a = 5 হয়, তাহলে a² + 1/a² = কত?

ক
ক) 22
খ
খ) 23
গ
গ) 26
ঘ
ঘ) 19

ব্যাখ্যা

a² + 1/a²
= (a + 1/a)² - 2 . a . 1/a
= (5)² - 2
= 25 - 2
= 23

৬,১১৭.

কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

ক
ক) 12 সে.মি.
খ
খ) 24 সে.মি.
গ
গ) 21 সে.মি.
ঘ
ঘ) 16 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু যথাক্রমে 7 সে.মি. এবং 25 সে.মি. অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে?

সমাধান:
তৃতীয় বাহুটির দৈর্ঘ্য = x সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
7² + x² = 25²
49 + x² = 625
x² = 625 - 49
x² = 576
x² = 24²
x = 24

৬,১১৮.

tanθ = 8/15 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

ক
56/252
খ
63/255
গ
64/255
ঘ
54/252

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: tanθ = 8/15 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 8/15

এখন,
লম্ব/ভূমি = 8/15
∴ অতিভুজ = √{(15)² + (8)²} = 17

∴ প্রদত্ত রাশি = secθ - cosθ
= (17/15) - (15/17)
= (289 - 255)/156
= 64/255

৬,১১৯.

2x³ - 3x² + x - 6 কে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

ক
- 2
খ
- 22
গ
1
ঘ
- 36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x³ - 3x² + x - 6 কে x + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = 2x³ - 3x² + x - 6
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(- 2)।
P(- 2) = 2(- 2)³ - 3(- 2)² + (- 2) - 6
= - 16 - 3(4) - 2 - 6
= - 16 - 12 - 2 - 6
= - 36

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 36

৬,১২০.

একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৭৩০
খ
খ) ৭৩৫
গ
গ) ৮০০
ঘ
ঘ) ৭৮০

ব্যাখ্যা

যদি সংখ্যাটি 'ক' হয়,
তাহলে, ক - ৬৫০ = ৮২০ - ক
বা, ২ক = ৮২০ + ৬৫০
বা, ২ক = ১৪৭০
বা, ক = ৭৩৫

৬,১২১.

A train running at the speed of 60 km/hr crosses a pole in 9 seconds. What is the length of the train?

ক
ক) 120 metres
খ
খ) 180 metres
গ
গ) 324 metres
ঘ
ঘ) 239 metres
ঙ
ঙ) 150 metres

ব্যাখ্যা

Speed = 60×(5/18) m/sec = 50/3 m/sec
Length of the train = (Speed×Time)
∴ Length of the train = (50/3)×9 m = 150 m

৬,১২২.

কতজন বালককে ১২৫ টি কমলালেবু ও ১৪৫ টি কলা সমান ভাগে ভাগ করে দেয়া যায়?

ক
ক) ৫ জন
খ
খ) ২৫ জন
গ
গ) ১৫ জন
ঘ
ঘ) ১০ জন

ব্যাখ্যা

১২৫ এবং ১৪৫ এর গসাগু হলো ৫। তাই ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

৬,১২৩.

কোন বৃহত্তম সংখ্যার দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

ক
ক) ১০
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

২৭ - ৩ = ২৪, ৪০ - ৪ = ৩৬ এবং ৬৫ - ৫ = ৬০।
এখন, ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর গ.সা.গু = ১২।

৬,১২৪.

নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 3)?

ক
a³ - 4a + 3
খ
a³ + a - 24
গ
a³ + 3a - 36
ঘ
3a² + 2a - 31

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক (a - 3)?

সমাধান:
a = 3 হলে,
a³ - 4a + 3
= 3³ - 4 × 3 + 3
= 27 - 12 + 3
= 18 ≠ 0

a³ + a - 24
= 3³ + 3 - 24
= 27 + 3 - 24
= 6 ≠ 0

a³ + 3a - 36
= 3³ + 3 × 3 - 36
= 27 + 9 - 36
= 0

3a² + 2a - 31
= (3 × 32) + (2 × 3) - 31
= 27 + 6 - 31
= 2 ≠ 0

৬,১২৫.

২ টি ঘণ্টা আছে। একটি ১২ মিনিট পরপর ও অন্যটি ৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি ঘণ্টা দুটি একসাথে বিকাল ৩ টায় বাজে, তাহলে পুনরায় ঘণ্টা দুটি কখন বাজবে?

ক
ক) বিকাল ৪ : ০০ টায়
খ
খ) বিকাল ৪ টা ২৫ মিনিটে
গ
গ) বিকাল ৪ টা ৩৫ মিনিটে
ঘ
ঘ) বিকাল ৪ টা ৪৫ মিনিটে

ব্যাখ্যা

১২ ও ৫ এ ল.সা.গু হচ্ছে ঘণ্টা দুটির পুনরায় বেজে উঠার সময়।
১২ ও ৫ এর ল.সা.গু ৬০।
ঘণ্টা দুটি একসাথে বিকাল ৩ টায় বাজে।
তাহলে ৬০ মিনিট পর অর্থাৎ ১ ঘণ্টা পর বিকাল ৪ টায় পুনরায় বেজে উঠবে।

৬,১২৬.

52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস তুলে নেওয়া হলো। তাসটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
1/2
খ
1/52
গ
1/3
ঘ
3/52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 52 তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস তুলে নেওয়া হলো। তাসটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
মোট তাস = 52 টি
লাল তাস = 26 টি

∴ তাসটি লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা = 26/52
= 1/2

৬,১২৭.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …………. গুণোত্তর ধারাটির ৮ম পদ কত?

ক
ক) 1/32
খ
খ) 1/64
গ
গ) 0.016
ঘ
ঘ) 1/128

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
আমরা জানি,
৮ম পদ = ar^{(8 - 1)}
= ar⁷
= 1 × (1/2)⁷
= 1 / 128

৬,১২৮.

একটি রাস্তায় ১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটি পোঁতা হচ্ছে । ৫ কিলোমিটার দীর্ঘ রাস্তায় কতগুলো খুঁটির প্রয়োজন হবে?

ক
৪০ টি
খ
৪৫ টি
গ
৪১ টি
ঘ
৩৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রাস্তায় ১২৫ মিটার অন্তর বৈদ্যুতিক খুঁটি পোঁতা হচ্ছে । ৫ কিলোমিটার দীর্ঘ রাস্তায় কতগুলো খুঁটির প্রয়োজন হবে?

সমাধান:
৫ কি.মি. = ৫ × ১০০০ = ৫০০০ মিটার

∴ খুঁটির সংখ্যা = (৫০০০/১২৫) = ৪০ টি

যেহেতু রাস্তার শুরুতে একটি খুঁটির প্রয়োজন তাই মোট খুঁটি লাগবে = ৪০ + ১ = ৪১ টি

৬,১২৯.

5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
55
খ
65
গ
25
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = (- 10)/5 = - 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n টি পদের সমষ্টি,
S_n = {a (1 - rⁿ)}/(1 - r)

∴ S₅ = [5{1 - (- 2)⁵ }]/{1 - (- 2)}
= {5 × (1 + 32)}/3
= 165/3
= 55

৬,১৩০.

11, 17, 19, 15, 21, 33, 39 সংখ্যাগুলোর মধ্যে প্রচুরক কোনটি?

ক
ক) 39
খ
খ) 15
গ
গ) 19
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

উপাত্তের মধ্যে যে সংখ্যা সবচেয়ে বেশি সংখ্যক বার থাকে তাকে প্রচুরক বলে। এখানে সবগুলো সংখ্যাই ১বার করে এসেছে তাই এখানে কোন প্রচুরক নেই।

৬,১৩১.

বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ৪০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৪৪১ টাকা হবে কত বছরে?

ক
২ বছরে
খ
২.৫ বছরে
গ
৩ বছরে
ঘ
১.৫ বছরে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% হার মুনাফায় ৪০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ৪৪১ টাকা হবে কত বছরে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৪০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ৪৪১ টাকা

বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০

সময় = n বছর

আমরা জানি,

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,

সবৃদ্ধিমূল বা চক্রবৃধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ

৪৪১ = ৪০০{(১ + (৫/১০০)}ⁿ

বা, ৪৪১ = ৪০০(১০৫/১০০)ⁿ

বা, ৪৪১/৪০০ = (১০৫/১০০)ⁿ

বা, (২১/২০)ⁿ = ৪৪১/৪০০
বা, (২১/২০)ⁿ = (২১/২০)^২

∴ n = ২

৬,১৩২.

(9x)⁰ + 9x⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 9
খ
খ) 0
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

(9x)⁰ + 9x⁰
= 1 + 9 = 10

৬,১৩৩.

৬০ এর চেয়ে বড় এবং ৭০ এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

ক
১২৬
খ
১২৮
গ
১২৩
ঘ
১৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ এর চেয়ে বড় এবং ৭০ এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
৬০ এর চেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা = ৬১

আবার,
৭০ এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা = ৬৭

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ৬১ + ৬৭
= ১২৮ ।

৬,১৩৪.

৩ দিন একটি কাজের ১/১৮ অংশ হলে, ঐ কাজের ৪ গুণ কাজ করতে কতদিন লাগবে?

ক
ক) ২১৬ দিন
খ
খ) ৫৪ দিন
গ
গ) ২৪ দিন
ঘ
ঘ) ২৪৩ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ দিন একটি কাজের ১/১৮ অংশ হলে, ঐ কাজের ৪ গুণ কাজ করতে কতদিন লাগবে?

সমাধান:
১/১৮ অংশ কাজ হয় ৩ দিনে
১ অংশ কাজ হয় (৩ × ১৮) = ৫৪ দিনে

ঐ কাজের ৪ গুণ কাজ করতে লাগবে = ৫৪ × ৪ = ২১৬ দিন

৬,১৩৫.

একটি বিস্তৃতিতে (1+y)ⁿ এবং n = 5 হলে, এই বিস্তৃতিটির পদসংখ্যা কতটী?

ক
ক) ৪টি
খ
খ) ৫টি
গ
গ) ৬টি
ঘ
ঘ) সঠিক উত্তর নাই

ব্যাখ্যা

(1+y)ⁿ এর বিস্তৃতিতে (n+1) সংখ্যক পদ থাকে। ঘাত বা শক্তির থেকে পদসংখ্যা একটি বেশী থাকে। (1+y)⁵ = 1+5y+10y²+10y³+5y⁴+y⁵.

৬,১৩৬.

১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত কত?

ক
১৫ : ১
খ
৩০ : ১
গ
১.৫ : ১০
ঘ
১ : ১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত কত?

সমাধান:
প্রথমে দুটি মানকে একই এককে (সেন্টিমিটারে) রূপান্তর করে পাই,
১.৫ মিটার = ১.৫ × ১০০ = ১৫০ সেমি ; [১ মিটার = ১০০ সেমি]
দ্বিতীয় মান = ১০ সেমি

এখন অনুপাত = ১৫০ সেমি : ১০ সেমি
= ১৫০ : ১০
= ১৫ : ১ ; [১০ দিয়ে ভাগ করে]

সুতরাং, ১.৫ মিটার এবং ১০ সেমি-এর অনুপাত হলো ১৫ : ১।

৬,১৩৭.

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে-

ক
ক) ৩২√৩ বর্গমিটার
খ
খ) ১৬√৩ বর্গমিটার
গ
গ) ৩৬√৩ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ৬৪√৩ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে -

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (১২)^২
= (√৩/৪) × ১২ × ১২
= ৩৬√৩ বর্গমিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৩৬√৩ বর্গমিটার।

৬,১৩৮.

একটি সুষম প্যান্টাগণের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?

ক
ক) ১০৮°
খ
খ) ১১৮°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ১১৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম প্যান্টাগণের প্রতিটি অন্তঃকোণের মান কত?

সমাধান:
প্যান্টাগণের বাহুর সংখ্যা ৫ টি
প্যান্টাগণের একটি বহিঃস্থ কোণ ৩৬০°/৫ = ৭২°

∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের মান = ১৮০° - ৭২°
= ১০৮°

৬,১৩৯.

১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?

ক
১ : ৯
খ
২ : ৫
গ
২ : ৩
ঘ
৩ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ হতে বড় দুইটি পূর্ণসংখ্যার যোগফল ৩০০ হলে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত?

সমাধান:
এই ধরণের প্রশ্নগুলো অপশন টেস্ট করে করা তুলনামূলক সহজ।

অপশন (গ): ২ : ৩
ধরি,
একটি সংখ্যা ২ক এবং অপর সংখ্যা ৩ক

এখন
২ক + ৩ক = ৩০০
৫ক = ৩০০
ক = ৬০

একটি সংখ্যা = ২ × ৬০ = ১২০
অপর সংখ্যাটি = ৩ × ৬০ = ১৮০
সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ১২০ : ১৮০ = ২ : ৩

যেহেতু পূর্ণসংখ্যা দুইটি ১০০ হতে বড়।
তাই সঠিক উত্তর: অপশন (গ)

বাকি অপশনগুলো গ্রহণযোগ্য নয়।

৬,১৪০.

একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৬২০০ টাকা ৬ বছরে সুদে-আসলে ৯১৭৬ টাকা হয়। সুদের হার কত?

ক
৬%
খ
৮%
গ
১১%
ঘ
১২%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট হার সরল সুদে ৬২০০ টাকা ৬ বছরে সুদে-আসলে ৯১৭৬ টাকা হয়। সুদের হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল, P = ৬২০০ টাকা
সুদ-আসল, A = ৯১৭৬ টাকা
∴ সুদ, I = ৯১৭৬ - ৬২০০ = ২৯৭৬ টাকা
সময়, n = ৬ বছর

আমরা জানি
I = Pnr
⇒ r = I/(Pn)
= (২৯৭৬ × ১০০)/(৬২০০ × ৬)
= ৮%

∴ সুদের হার ৮%

৬,১৪১.

রাসেল সাহেবের বেতন ২০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ১০% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল?

ক
১৬%
খ
১২%
গ
৮%
ঘ
৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রাসেল সাহেবের বেতন ২০% কমানোর পর হ্রাসকৃত বেতন ১০% বাড়ানো হলে তার কতটুকু ক্ষতি হল?

সমাধান:
ধরি,
রাসেল সাহেবের মূল বেতন = ১০০ টাকা
২০% কমানোর পর বেতন = ১০০ - ১০০ এর ২০%
= ১০০ - ১০০ এর ২০/১০০
= ১০০ - ২০
= ৮০

আবার,
১০% বৃদ্ধিতে বেতন = ৮০ + ৮০ এর ১০%
= ৮০ + ৮০ এর ১০/১০০
= ৮০ + ৮
= ৮৮

∴ ক্ষতি = (১০০ - ৮৮)%
= ১২%

∴ রাসেল সাহেবের ১২% ক্ষতি হয়েছে।

৬,১৪২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 6 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) 9√4 মিটার
খ
খ) 9√3বর্গ মিটার
গ
গ) 9√3 মিটার
ঘ
ঘ) 8√3বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × 36 = 9√3 বর্গ মিটার

৬,১৪৩.

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৬ বর্গমিটার
খ
৪০.৫ বর্গমিটার
গ
৪২.৫ বর্গমিটার
ঘ
৪৫ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণের দৈর্ঘ্য)^২
= (১/২) × (৯)^২
= ৪০.৫ বর্গমিটার

৬,১৪৪.

তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
১২
খ
১০
গ
৮
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০
এবং,
৫, ১০ ও ১৫ ল.সা.গু = ৩০

এখন,
১০০ ÷ ৩০ ⇒
ভাগফল = ৩
ভাগশেষ = ১০

∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১০

৬,১৪৫.

বৃত্তের যে কোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তের একটি -

ক
ক) জ্যা
খ
খ) চাপ
গ
গ) ব্যাসার্ধ
ঘ
ঘ) ব্যাস

ব্যাখ্যা

বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

৬,১৪৬.

এসএসসি পরীক্ষায় রসায়নে ৭৫% ছাত্র পাস করেছে। রসায়নে মোট ফেলের সংখ্যা ৮৫ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
১৬০
খ
২৫০
গ
৩৪০
ঘ
৩৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এসএসসি পরীক্ষায় রসায়নে ৭৫% ছাত্র পাস করেছে। রসায়নে মোট ফেলের সংখ্যা ৮৫ জন হলে মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
রসায়ন পরীক্ষায় পাসের হার = ৭৫%
রসায়ন পরীক্ষায় ফেলের হার = (১০০ - ৭৫)% = ২৫%

২৫ জন ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী ১০০ জন
১ জন ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী ১০০/২৫ জন
৮৫ জন ফেল করলে মোট পরীক্ষার্থী (১০০ × ৮৫)/২৫ জন
= ৩৪০ জন

৬,১৪৭.

২/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৫/৬ হয়?

ক
১৭
খ
৯
গ
১১
ঘ
১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২/৫ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ৫/৬ হয়?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(২ + ক)/(৫ + ক) = ৫/৬
⇒ ১২ + ৬ক = ২৫ + ৫ক
⇒ ৬ক - ৫ক = ২৫ - ১২
∴ ক = ১৩

৬,১৪৮.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭। সংখ্যা দুটির সমষ্টি ৩৬ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৫
গ
গ) ২১
ঘ
ঘ) ২৪

ব্যাখ্যা

দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭

ধরি
ছোট সংখ্যাটি ৫ক
বড় সংখ্যাটি ৭ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৭ক = ৩৬
১২ক = ৩৬
ক = ৩৬/১২
ক = ৩

ছোট সংখ্যাটি ৫ × ৩ = ১৫

৬,১৪৯.

'ক' যে কাজ ১২ দিনে করে, 'খ' সে কাজ ১৮ দিনে করে। 'ক' কাজটির ২/৩ অংশ করার পর 'খ' বাকি অংশ একা সম্পন্ন করল। কাজটি মোট কত দিনে শেষ হয়েছে?

ক
১৩ দিনে
খ
১৪ দিনে
গ
১৫ দিনে
ঘ
১৬ দিনে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ক' যে কাজ ১২ দিনে করে, 'খ' সে কাজ ১৮ দিনে করে। 'ক' কাজটির ২/৩ অংশ করার পর 'খ' বাকি অংশ একা সম্পন্ন করল। কাজটি মোট কত দিনে শেষ হয়েছে?

সমাধান:
'ক' ১ অংশ কাজ করে = ১২ দিনে
∴ 'ক' ২/৩ অংশ কাজ করে = (১২ × ২)/৩ দিনে
= ৮ দিনে
∴ বাকি কাজ = {১- (২/৩)} অংশ
= ১/৩ অংশ

আবার,
'খ' ১ অংশ কাজ করে = ১৮ দিনে
∴ 'খ' ১/৩ অংশ কাজ করে = (১৮ × ১)/৩ দিনে
= ৬ দিনে

∴ মোট সময় = (৮ + ৬) দিনে
= ১৪ দিনে

∴ কাজটি মোট ১৪ দিনে শেষ হয়েছে।

৬,১৫০.

সুমনের কাছে ৭২টি নীল এবং ১০৮টি লাল মার্বেল আছে। সে সিদ্ধান্ত নিলো যে সমান সংখ্যক মার্বেলের প্যাকেট করবে যাতে প্রতি প্যাকেটে সব নীল অথবা সব লাল মার্বেল থাকে। সে প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ কতটি মার্বেল রাখতে পারবে?

ক
১২
খ
১৮
গ
২৪
ঘ
৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুমনের কাছে ৭২টি নীল এবং ১০৮টি লাল মার্বেল আছে। সে সিদ্ধান্ত নিলো যে সমান সংখ্যক মার্বেলের প্যাকেট করবে যাতে প্রতি প্যাকেটে সব নীল অথবা সব লাল মার্বেল থাকে। সে প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ কতটি মার্বেল রাখতে পারবে?

সমাধান:
৭২ ও ১০৮ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় সংখ্যা।
৭২ ও ১০৮ এর গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬টি

∴ সুমন প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ ৩৬টি মার্বেল রাখতে পারবে।

৬,১৫১.

এক দশমাংশ ও এক শতাংশ এর গড়কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৫৫ হবে?

ক
ক) ১০
খ
খ) ১০০
গ
গ) ১০০০
ঘ
ঘ) ১০০০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক দশমাংশ ও এক শতাংশ এর গড়কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৫৫ হবে?

সমাধান:
∴ নির্ণেয় গড় = {১/১০ + ১/১০০)}/২
= {(১০ + ১)/১০০}/২
= (১১/১০০)/২
= ১১/২০০
= ০.০৫৫
= ০.০৫৫ × ১০০০
= ৫৫

∴ এক দশমাংশ ও এক শতাংশ এর গড়কে ১০০০ দ্বারা গুণ করলে গুণফল ৫৫ হবে।

৬,১৫২.

একটি বাঁধ তৈরি করতে ৩২০ শ্রমিকের ২৫ দিন সময় লাগে । ৮ দিনে বাঁধটির কাজ শেষ করতে হলে, কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে ?

ক
৭৪০ জন
খ
৬৪০ জন
গ
৬৮০ জন
ঘ
৭২০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁধ তৈরি করতে ৩২০ শ্রমিকের ২৫ দিন সময় লাগে । ৮ দিনে বাঁধটির কাজ শেষ করতে হলে, কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে ?

সমাধান:
২৫ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = ৩২০ জন
১ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = ৩২০ × ২৫ জন
∴ ৮ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে শ্রমিক লাগে = (৩২০ × ২৫)/৮ জন
= ১০০০ জন

অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (১০০০ - ৩২০) জন = ৬৮০ জন

৬,১৫৩.

চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ΙΙ MR, PQ = PR হলে ∠PRN এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 90°
খ
খ) 55°
গ
গ) 35°
ঘ
ঘ) 45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ ΙΙ MR, PQ = PR হলে ∠PRN এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
যেহেতু, PQ = PR
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি পরস্পর সমান। অর্থাৎ ∠PQR = 55° ও ∠QRP = 55°
∴ ∠LRN = 90°

এখানে,
∠LRQ = 180°

∴ ∠QRP + ∠PRN + ∠NRL = 180°
⇒ 55° + ∠PRN + 90° = 180°
⇒ ∠PRN + 145° = 180°
⇒ ∠PRN = 180° - 145°
∴ ∠PRN = 35°

৬,১৫৪.

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮০ বর্গ সে.মি.
খ
২০৫ বর্গ সে.মি.
গ
১৫৪ বর্গ সে.মি.
ঘ
১১২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮ সে.মি. ও ১৪ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) × (১৮ + ১৪) × ৭ বর্গ সে.মি.
= ১১২ বর্গ সে.মি.

৬,১৫৫.

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৬ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৪ দিন। ঐ সপ্তাহের বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
২/৭
খ
৪/৭
গ
৪/২৯
ঘ
৩/৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৬ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৪ দিন। ঐ সপ্তাহের বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০১৬ সালের ফেব্রুয়ারি মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল ৪ দিন।

বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (১ - ৪/৭)
=(৭ - ৪)/৭
= ৩/৭

৬,১৫৬.

৫ লিটার পানির ওজন হবে -

ক
ক) ৫০০ গ্রাম
খ
খ) ২৫০০ গ্রাম
গ
গ) ১০০০০ গ্রাম
ঘ
ঘ) ৫০০০ গ্রাম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ লিটার পানির ওজন হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
১ লিটার = ১০০০ গ্রাম
∴ ৫ লিটার = ৫০০০ গ্রাম

৬,১৫৭.

কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০% কমলে, এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কম হবে?

ক
ক) ২২%
খ
খ) ১৮%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ১৯%

ব্যাখ্যা

ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = র একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πর^২ বর্গ একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = (র - র এর ১০/১০০) =(৯র/১০) একক
বৃত্তের পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = (৮১πর^২)/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের পরিমাণ = ১৯πর^২/১০০ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের হ্রাসের হার = ((১৯πর^২/১০০)/πর^২) ×১০০ = ১৯%

৬,১৫৮.

একটি লোক খাড়া উত্তর দিকে m মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ২ মিনিটে এবং খাড়া দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ২ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত মাইল?

ক
৪৮ মাইল
খ
৩৬ মাইল
গ
৫৪ মাইল
ঘ
৫৮ মাইল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লোক খাড়া উত্তর দিকে m মাইল দূরত্ব অতিক্রম করে প্রতি মাইল ২ মিনিটে এবং খাড়া দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ফিরে আসে প্রতি মিনিটে ২ মাইল হিসেবে। লোকটির গড় গতিবেগ ঘণ্টায় কত মাইল?

সমাধান:
উত্তরের দিকে ২ মিনিটে যায় = ১ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০/২ = ৩০ মাইল

আবার
দক্ষিণ দিকে পূর্বস্থানে ২ মাইল ফিরে আসে ১ মিনিটে
১ মাইল ফিরে আসে = ১/২ মিনিটে
∴ ৩০ মাইল ফিরে আসে = ৩০/২ = ১৫ মিনিটে।

সুতরাং মোট সময় = ৬০+১৫ = ৭৫ মিনিট
এবং মোট দূরত্ব = ৩০ + ৩০ = ৬০ মাইল

এখন,
সে ৭৫ মিনিটে যায় = ৬০ মাইল
∴ ৬০ মিনিটে যায় = ৬০×৬০/৭৫ মাইল
= ৪৮ মাইল।

৬,১৫৯.

x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, x + (1/x) = কত?

ক
5√2
খ
√3
গ
√5
ঘ
2√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, x + (1/x) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
বা, (x²)² + 2.x².1 + (1)² = 5x²
বা, (x² + 1)² = 5x²
বা, x² + 1 = √(5x²) [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে]
বা, x² + 1 = √5 x
বা, (x²/x) + 1/x = (√5 x)/x [উভয়পক্ষকে x দিয়ে ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = √5

৬,১৬০.

একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত?

ক
৭
খ
১৩
গ
১১
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = a
৪র্থ পদ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ২৭

সাধারণ অন্তর, d = ২৩ - ১৯ = ৪

আমরা জানি,
৪ তম পদ = a + (৪ - ১)d
বা, ১৯ = a + ৩ × ৪
বা, ১৯ = a + ১২
বা, a = ১৯ - ১২
∴ a = ৭

২য় পদ = a + (২ - ১)d
= ৭ + ৪
= ১১

৬,১৬১.

৫ টাকায় ১ টি করে চকলেট কিনে ৬০ টাকায় কয়টি চকলেট বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

ক
৫ টি
খ
৮ টি
গ
১০ টি
ঘ
১২ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ১ টি করে চকলেট কিনে ৬০ টাকায় কয়টি চকলেট বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% লাভে,
১ টি চকলেটের বিক্রয়মূল্য = ৫ + ৫ এর ২০%
= (৫ + ১) টাকা
= ৬ টাকা

৬ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১ টি চকলেট
১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১/৬ টি চকলেট
∴ ৬০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৬০/৬ টি চকলেট
= ১০ টি চকলেট

৬,১৬২.

১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩ = কত?

ক
০.৬
খ
২
গ
১০
ঘ
০.৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩ = কত?

সমাধান:
১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩
= ১৫ এর (২/১০) ÷ ৩/১০
= ৩ ÷ ৩/১০
= ৩ × (১০/৩)
= ১০

৬,১৬৩.

পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩ : ১। ১২ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৯ : ১ ছিল। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত?

ক
২৪ : ১৩
খ
২৯ : ১৩
গ
৮ : ১৭
ঘ
৯ : ১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৩ : ১। ১২ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৯ : ১ ছিল। ১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
পিতার বয়স ৩ক বছর
পুত্রের বয়স ক বছর

শর্তমতে,
৩ক - ১২ : ক - ১২ = ৯ : ১
বা, ৩ক - ১২/ক - ১২ = ৯ /১
বা, ৩ক - ১২ = ৯(ক - ১২)
বা, ৩ক - ১২ = ৯ক - ১০৮
বা, ৬ক = ১০৮-১২
বা, ৬ক = ৯৬
বা, ক = ১৬

∴ পিতার বয়স ৩ × ১৬ বছর = ৪৮ বছর
∴ পুত্রের বয়স = ১৬ বছর

১০ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৪৮+১০ : ১৬+১০
= ৫৮ : ২৬
= ২৯ : ১৩

৬,১৬৪.

একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ ফুট হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
১২ বর্গফুট
খ
৬ বর্গফুট
গ
৩০ বর্গফুট
ঘ
৪০ বর্গফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ ফুট হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেখে বোঝা যাচ্ছে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৪ × ৩
= ৬ বর্গ একক

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৬ বর্গ একক।

৬,১৬৫.

হিমেলের মােবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে ৫০০ টাকা। যদি ১ বছর পর বিল ১০% বৃদ্ধি পায় এবং পরবর্তী ৬ মাস পর বিল আরও ২০% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর তার বিল কত আসবে?

ক
৬৫০ টাকা
খ
৬৬০ টাকা
গ
৬৬৫ টাকা
ঘ
৬৭৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হিমেলের মােবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে ৫০০ টাকা। যদি ১ বছর পর বিল ১০% বৃদ্ধি পায় এবং পরবর্তী ৬ মাস পর বিল আরও ২০% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর তার বিল কত আসবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাসিক বিল ৫০০ টাকা
১ বছর পর ১০% বৃদ্ধিতে বিল = ৫০০ + ৫০০ এর (১০/১০০) = ৫৫০ টাকা
আরও ৬ মাস পর, ২০% বৃদ্ধিতে বিল = ৫৫০ + ৫৫০ এর (২০/১০০) = ৬৬০ টাকা

৬,১৬৬.

দুইটি সংখ্যার যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 2 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
(7, 5)
খ
(9, 5)
গ
(16, 2)
ঘ
(8, 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 2 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুইটি সংখ্যা হলো x এবং y ; [যেখানে, x > y]

দেওয়া শর্তমতে,
x + y = 14 ……… (1)
x - y = 2 ……… (2)

এখন দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই,
⇒ (x + y) + (x - y) = 14 + 2
⇒ 2x = 16
∴ x = 8
এখন x = 8 কে সমীকরণ (1)-এ বসাই,
⇒ 8 + y = 14
⇒ y = 14 - 8
∴ y = 6

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি 8 এবং 6

৬,১৬৭.

দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ এবং একটি কোণ অপর কোণের ১.৫ গুণ। তবে বড় কোণটি কত?

ক
54°
খ
55°
গ
62°
ঘ
60°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি কোণ পরস্পর পূরক কোণ এবং একটি কোণ অপর কোণের 1.5 গুণ। তবে বড় কোণটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট কোণটি = x ডিগ্রি
তাহলে বড় কোণটি হবে = 1.5x ডিগ্রি

প্রশ্নমতে,
x + 1.5x = 90°
⇒ 2.5x = 90°
⇒ x = 90°/2.5
∴ x = 36°

অতএব, বড় কোনটি = 1.5 × 36°
= 54°

৬,১৬৮.

একজন মিস্ত্রীর দুটি টেবিল বানাতে খরচের অনুপাত ৭ : ৩। প্রথম টেবিলটি ২০% ক্ষতিতে এবং দ্বিতীয় টেবিলটি ৪০% লাভে বিক্রয় করলে, মোটের উপর মিস্ত্রীর শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

ক
২% ক্ষতি
খ
২% লাভ
গ
৪% ক্ষতি
ঘ
৪% লাভ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন মিস্ত্রীর দুটি টেবিল বানাতে খরচের অনুপাত ৭ : ৩। প্রথম টেবিলটি ২০% ক্ষতিতে এবং দ্বিতীয় টেবিলটি ৪০% লাভে বিক্রয় করলে, মোটের উপর মিস্ত্রীর শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রয়মূল্যের অনুপাত = ৭ : ৩ = ৭০ : ৩০ [১০ দ্ধারা গুণ করে]
তাহলে মোট খরচ = ৭০ + ৩০ = ১০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে,
প্রথম টেবিলের বিক্রয়মূল্য = ৭০ × (৮০/১০০) = ৫৬ টাকা

৪০% লাভে,
দ্বিতীয় টেবিলের বিক্রয়মূল্য = ৩০ × (১৪০/১০০) = ৪২ টাকা

মোট বিক্রয়মূল্য = ৫৬ + ৪২ = ৯৮ টাকা
∴ ক্ষতি {(১০০ - ৯৮)/১০০} × ১০০ = ২%

৬,১৬৯.

সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

ক
২১০টি
খ
২২০টি
গ
২৩০টি
ঘ
২৪০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

সমাধান:
এখানে,
৭ = ৭
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭
∴ ৭, ১৪, ২১, ৩৫, ৪২ এর ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

∴ সর্বমোট ২১০টি গাছ থাকতে হবে।

৬,১৭০.

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ২৫০ এবং সংখ্যা দুটির গুণফল ১১৭ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?

ক
ক) ১৪, ৮
খ
খ) ১৫, ৫
গ
গ) ১২, ৬
ঘ
ঘ) ১৩, ৯

ব্যাখ্যা

এখানে, ১৩^২ + ৯^২
= ১৬৯ + ৮১
= ২৫০ (১ম শর্ত)
আবার,
১৩ × ৯ = ১১৭

∴ সঠিক উত্তর - ঘ) ১৩ ও ৯।

৬,১৭১.

a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

ক
30
খ
36
গ
39
ঘ
47

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 3 হলে, a⁴ + (a^{- 1})⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a^{- 1} = 3
⇒ a + (1/a) = 3

প্রদত্ত রাশি, a⁴ + (a^{- 1})⁴
= a⁴ + (1/a)⁴
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² +(1/a²)}² - 2 · a² ·(1/a²)
= {(a + (1/a)² - 2 · a · (1/a)}²- 2
= {(3)² - 2}² - 2
= (9 - 2)² - 2
= 7² - 2
= 47

৬,১৭২.

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। বাগানের চারদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৬০ মিটার
খ
১৮০ মিটার
গ
২১০ মিটার
ঘ
২২০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। বাগানের চারদিকে বেড়া দেওয়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √ক্ষেত্রফল
∴ বাহু = (√২০২৫)
= ৪৫ মিটার

আবার,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × বাহু
= (৪ × ৪৫) মিটার
= ১৮০ মিটার

∴ বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার।

৬,১৭৩.

x² + x + 1 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
বাস্তব মূল নাই
গ
বাস্তব ও অমূলদ
ঘ
বাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + x + 1 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (1)² - 4 · 1 · 1
= - 3 < 0

∴ মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
• b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

৬,১৭৪.

পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল ২৪ হলে, শেষ দুইটির যোগফল কত?

ক
ক) 14
খ
খ) 20
গ
গ) 21
ঘ
ঘ) 17

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল ২৪ হলে, শেষ দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ছয়টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4

প্রশ্নমতে,
x + x + 1 + x + 2 = 24
বা, 3x + 3 = 24
বা, 3x = 24 - 3
বা, 3x = 21
∴ x = 7

শেষ দুইটির যোগফল = x + 3 + x + 4
= 2x + 7
= (2 × 7) + 7
= 14 + 7
= 21

৬,১৭৫.

১ কে দুই ভাগ করলে কত হয়?

ক
০.৫০
খ
০.৫০০
গ
সবগুলোই
ঘ
১/২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ কে দুই ভাগ করলে কত হয়?

সমাধান:
১ কে দুই ভাগ করলে হয় = ১/২
=০.৫০
= .৫০০

তাই সঠিক উত্তর হবে: সবগুলোই

৬,১৭৬.

দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/4
খ
3/4
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে=HH, HT, TH, TT
কমপক্ষে একটি H আসার এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনার = 3/4

৬,১৭৭.

একটি সংখ্যাকে ৫ দিয়ে ভাগ করে ভাগফলকে ৪ দিয়ে গুণ করলে গুণফল ৬০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
৭৫
খ
৮০
গ
৮৫
ঘ
৯০
ঙ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে ৫ দিয়ে ভাগ করে ভাগফলকে ৪ দিয়ে গুণ করলে গুণফল ৬০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে
ক ÷ ৫ × ৪ = ৬০
⇒ ক ÷ ৫ = ৬০ ÷ ৪
⇒ ক ÷ ৫) = ১৫
⇒ ক = ১৫ × ৫
∴ ক = ৭৫

৬,১৭৮.

STRAIT শব্দের সবগুলো অক্ষর কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

ক
30
খ
60
গ
120
ঘ
240

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: STRAIT শব্দের সবগুলো অক্ষর কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
STRAIT শব্দটিতে মোট ছয়টি বর্ণ আছে যাদের 2টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি বর্ণ হিসাব করলে মোট বর্ণ হবে 5টি যাদের 2টি T
∴ সাজানোর উপায় = 5!/2!

আবার, স্বরবর্ণ দুটি নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে সাজানো যায়

∴ মোট সাজানোর উপায় = (5!/2!) × 2!
= 5!
= 120

৬,১৭৯.

৫০০ এর (২৫/২)% = কত?

ক
ক) ৬২.৫০
খ
খ) ৬৫
গ
গ) ৬৭.৪০
ঘ
ঘ) ৬৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০০ এর (২৫/২)% = কত?

সমাধান:
৫০০ এর (২৫/২)%
= ৫০০ এর (২৫/২০০)
= ১২৫/২
= ৬২.৫০

৬,১৮০.

x + (1/x) = 7 হলে {x - (1/x)}² এর মান কত?

ক
45
খ
49
গ
53
ঘ
57

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + (1/x) = 7 হলে {x - (1/x)}²এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 7

∴ {x - (1/x)}²= {x + (1/x)}² - 4 . x . (1/x)
= 7² - 4
= 49 - 4
= 45

৬,১৮১.

1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
6
খ
12
গ
8
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂1024
= log₂2¹⁰
= 10log₂2 [∴ log_aa = 1]
= 10 .1
= 10

৬,১৮২.

A ও B নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে t₁ ও t₂ মিনিটে। A ও B এর গড় গতিবেগের অনুপাত কত?

ক
ক) t₁ : t₂
খ
খ) 1/t₁ : 1/t₂
গ
গ) t₁t₂ : 1
ঘ
ঘ) উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি, A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে v₁ ও v₂ মিটার।
তাহলে t₁ মিনিটে A অতিক্রম করে v₁t₁ মিটার ও
t₂ মিনিটে B অতিক্রম করে v₂t₂ মিটার।

অতএব, v₁t₁ = v₂t₂
⇒ v₁/v₂ = t₂/t₁
⇒ v₁ : v₂ = t₂ : t₁ ⇒ v₁ : v₂ = t₂/(t₁t₂) : t₁/(t₁t₂)
⇒ v₁ : v₂= 1/t₁ : 1/t₂

৬,১৮৩.

একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

ক
104π বর্গ সে.মি.
খ
108π বর্গ সে.মি.
গ
100π বর্গ সে.মি.
ঘ
98π বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং উচ্চতা 9 সে.মি. হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r = 4 সে.মি.
উচ্চতা, h = 9 সে.মি.

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
= 2π × 4(4 + 9)
= 2π × 4 × 13
= 104π বর্গ সে.মি.

৬,১৮৪.

কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৫০০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

ক
৭%
খ
৫%
গ
৬%
ঘ
৮%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৬০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৫০০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৫ বছরের সুদ + আসল = ৫০০ টাকা
৩ বছরে সুদ + আসল = ৪৬০ টাকা

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা
∴ ৩ বছরের সুদ = (৪০ × ৩)/২ টাকা
= ৬০ টাকা

সময়, n = ৩ বছর
আসল, P = ৪৬০ - ৬০ = ৪০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pr
বা, r = (৬০ × ১০০)/(৪০০ × ৩)
∴ r = ৫%

৬,১৮৫.

একটি সংখ্যা ১১৫ থেকে যত বড়, ২০৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

ক
১৬৫
খ
১৫৫
গ
১৬০
ঘ
১৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ১১৫ থেকে যত বড়, ২০৫ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি ক।

প্রশ্নমতে,
ক - ১১৫ = ২০৫ - ক
বা, ক + ক = ২০৫ + ১১৫
বা, ২ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ / ২
∴ ক = ১৬০

অতএব, সংখ্যাটি হলো ১৬০।

৬,১৮৬.

5 + 9 + 13 + ......... ধারাটির কোন পদ 109 হবে?

ক
21
খ
25
গ
27
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + ......... ধারাটির কোন পদ 109 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

ধরি, r তম পদ = 109

তাহলে,
a + (r - 1)d = 109
⇒ 5 + (r - 1)4 = 109
⇒ 5 + 4r - 4 = 109
⇒ 4r = 109 - 1
⇒ 4r = 108
∴ r = 27

৬,১৮৭.

৪০০ এর (২৫/২)% = কত?

ক
৫০
খ
৫৬
গ
৫৬.৫০
ঘ
৬৬.৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০০ এর (২৫/২)% = কত?

সমাধান:
৪০০ এর (২৫/২)%
= ৪০০ এর ২৫/(২ ×১০০) %
= ৪০০×২৫/২০০
= ৫০

৬,১৮৮.

দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ এবং অন্তরফল ১৪ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৪২
খ
৪৫
গ
৩০
ঘ
২৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ এবং অন্তরফল ১৪ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি ক
∴ ছোট সংখ্যাটি ক - ১৪

প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ১৪) = ৭০
⇒ ২ক - ১৪ = ৭০
⇒ ২ক = ৮৪
∴ ক = ৪২

∴ বড় সংখ্যাটি ৪২

৬,১৮৯.

2^{1 - n}(2ⁿ - 2^{n - 1}) = ?

ক
-2
খ
-1
গ
0
ঘ
1

ব্যাখ্যা

2^{1 - n}(2ⁿ - 2^{n - 1})
= 2^{1 - n}.2ⁿ - 2^{1 - n}.2^{n - 1}
= 2^{1 - n + n} - 2^{1 - n + n - 1}
= 2 - 2°
= 2 - 1
= 1

৬,১৯০.

বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৮০০ টাকার ৫ বছরের সরল সুদ ১২০ টাকা হবে?

ক
৩%
খ
৫%
গ
১০%
ঘ
১২.৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৮০০ টাকার ৫ বছরের সরল সুদ ১২০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
সুদ, I = ১২০ টাকা
সুদের হার, r = ?

আমরা জানি,
I = Pnr/১০০
⇒ r = (১০০ × I)/Pn
⇒ r = (১০০ × ১২০)/(৮০০ × ৫)
⇒ r = ৩

∴ সুদের হার, r = ৩ %

৬,১৯১.

যদি |a - 1| = 2a হয়, তাহলে a এর মান কত?

ক
1, 3
খ
1, 2
গ
1/3, -1
ঘ
-1/3, 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি |a - 1| = 2a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|a - 1| = 2a
⇒ |a - 1|² = (2a)²
⇒ (a - 1)² = (2a)²
⇒ a² - 2a + 1 = 4a²
⇒ 4a² - a² + 2a - 1 = 0
⇒ 3a²+ 2a - 1 = 0
⇒ 3a²+ 3a - a - 1 = 0
⇒ 3a(a + 1) - 1(a + 1) = 0
⇒ (3a - 1)(a + 1) = 0

হয় 3a - 1 = 0 বা, 3a = 1 ∴ a = 1/3
অথবা, a + 1 = 0 ∴ a = - 1

৬,১৯২.

একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

ক
90°
খ
108°
গ
120°
ঘ
72°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = {(2n - 4)/n} × 90°
যেখানে n = বাহু সংখ্যা।
সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে, বাহু সংখ্যা, n = 5

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = {(2 × 5 - 4)/n} × 90°
= {(10 - 4)/5} × 90°
= 6/5 × 90°
= 108°

∴ একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান 108°।

৬,১৯৩.

একজন দোকানদার ৫০ কেজির ১ বস্তা চাল ১৬০০ টাকায় কিনলেন। চালের দাম কমে যাওয়ায় ১৫০০ টাকায় বিক্রয় করেন, তাঁর কত ক্ষতি হলো?

ক
ক) ১০০ টাকা
খ
খ) ৬০ টাকা
গ
গ) ১০০০ টাকা
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
ক্ষতি = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য
= ১৬০০ - ১৫০০
= ১০০ টাকা
∴ নির্ণেয় ক্ষতি ১০০ টাকা

৬,১৯৪.

ক
84
খ
90
গ
110
ঘ
155

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬,১৯৫.

14 টি পুস্তক থেকে 6 টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক
65
খ
165
গ
256
ঘ
265

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 14 টি পুস্তক থেকে 6 টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (14 - 3) বা 11 টি এবং 6 টি থেকে বাছাই করতে হবে (6 - 3) বা 3 টি
∴ 11 টি থেকে 3 টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা = ¹¹C₃ = 165

৬,১৯৬.

5টি আম এবং 4টি কমলার দাম 3টি আম এবং 7টি কমলার দামের সমান। তাহলে একটি আম ও একটি কমলার দামের অনুপাত কত?

ক
ক) 3 : 5
খ
খ) 5 : 4
গ
গ) 3 : 2
ঘ
ঘ) 6 : 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5টি আম এবং 4টি কমলার দাম 3টি আম এবং 7টি কমলার দামের সমান। তাহলে একটি আম ও একটি কমলার দামের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি আমের দাম = x টাকা
একটি কমলার দাম = y টাকা

এখানে,
5x + 4y = 3x + 7y
5x - 3x = 7y - 4y
2x = 3y
x/y = 3/2
x : y = 3 : 2

৬,১৯৭.

৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

ক
ক) ২১
খ
খ) ৩৯
গ
গ) ৩৩
ঘ
ঘ) ২৯

ব্যাখ্যা

২, ৩, ৪, ৫, ৬এর ল.সা.গু = ৬০

তাহলে, (৯৯৯৯৯৯ ÷ ৬০) = ভাগফল ১৬৬৬৬ এবং ভাগশেষ ৩৯

সুতারাং, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (৬০ - ৩৯) = ২১

৬,১৯৮.

৮০ টাকা তালিকা মূল্যের একটি খাতা ৬৮ টাকায় বিক্রয় করা হল। খাতাটির ডিসকাউন্টের শতকরা হার কত?

ক
ক) ১৫%
খ
খ) ১২%
গ
গ) ২০%
ঘ
ঘ) ১০%

ব্যাখ্যা

৮০ টাকায় ডিসকাউন্ট হয় ১২ টাকা
১০০ টাকায় ডিসকাউন্ট হয় ( ১২ × ১০০ )/৮০ = ১৫ টাকা

৬,১৯৯.

3^{x + 4}= 243 হয়, তবে 3^{2x + 1} = কত?

ক
9
খ
0
গ
27
ঘ
81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 4}= 243 হয়, তবে 3^{2x + 1} = কত?

সমাধান:
3^{x + 4} = 243
⇒ 3^{x +} ⁴ = 3⁵
⇒ x + 4 = 5
⇒ x = 5 - 4
∴ x = 1

∴ 3^{2x + 1} = 3^{2 × 1 + 1}
= 3^{2 + 1}
= 3³
= 27

৬,২০০.

আহসান সাহেব ২০১১, ২০১২ এবং ২০১৩ সালের প্রত্যেক বছর পূর্বের বছরের অপেক্ষা ১০% বেশি পারিশ্রমিক পান। ২০১৩ সালে তিনি ২০১১ সাল অপেক্ষা কত বেশি পারিশ্রমিক পান?

ক
৩০%
খ
২৭%
গ
২১%
ঘ
১৭%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আহসান সাহেব ২০১১, ২০১২ এবং ২০১৩ সালের প্রত্যেক বছর পূর্বের বছরের অপেক্ষা ১০% বেশি পারিশ্রমিক পান। ২০১৩ সালে তিনি ২০১১ সাল অপেক্ষা কত বেশি পারিশ্রমিক পান?

সমাধান:
মনেকরি,
শ্রমিকটি ২০১১ সালে পারিশ্রমিক ১০০ টাকা পেলে,

তাহলে,
২০১২ সালে পারিশ্রমিক পায় (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা
এবং
২০১৩ সালে পারিশ্রমিক পায় (১১০ + ১১০ এর ১০%) টাকা = {১১০ + ১১০ × (১০/১০০)} = ১২১ টাকা

∴ শ্রমিকের পারিশ্রমিক বৃদ্ধি পায় (১২১ - ১০০)% = ২১%