লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি

মোট প্রশ্ন৪৭,৮৩৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ৪৮ / ৪৭৫ · ৪,৭০১–৪,৮০০ / ৪৭,৮৩৩

৪,৭০১.
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের একই পাশে অবস্থান করে তবে তাকে কী বলে?
  1. ক
    বিপ্রতীপ স্পর্শক
  2. খ
    কার্যকর স্পর্শক
  3. গ
    সরল সাধারণ স্পর্শক
  4. ঘ
    তির্যক সাধারণ স্পর্শক
ব্যাখ্যা
একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয় তবে তাকে বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক বলে।
ক) সরল সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের একই পাশে অবস্থান করে তবে তাকে সরল সাধারণ স্পর্শক বলে।
খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক: দুইটি বৃত্তের কেন্দ্র যদি স্পর্শকের বিপরীত পাশে অবস্থান করে তবে তাকে তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলে।
৪,৭০২.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 4 : 6 : 8. কোণগুলোর মান হচ্ছে—
  1. ক
    35°, 45°, 25°
  2. খ
    30°, 60°, 90°
  3. গ
    40°, 60°, 80°
  4. ঘ
    60°, 45°, 75°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন :  একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 4 : 6 : 8. কোণগুলোর মান হচ্ছে—

সমাধান :
মনেকরি,
কোণগুলো 4x, 6x, 8x ডিগ্রি

∴ 4x + 6x + 8x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

১ম কোণ = 4x = 4 × 10° = 40°
২য় কোণ = 6x = 6 × 10° = 60° 
৩য় কোণ = 4x = 8 × 10° = 80°
৪,৭০৩.
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 2x - 3 হলে  Q(- 2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) - 5
  3. গ
    গ) - 7
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Q(x) = 3x3 + 7x2 - 2x - 3 হলে  Q(- 2) এর মান কত?

সমাধান: 
Q(- 2) = 3(- 2)3 + 7(- 2)2 - 2(-2) - 3
= - 24 + 28 + 4 - 3
= 5
৪,৭০৪.
x2 + 4x, x2 - 16, x2 + 6x + 8 এর গ.সা.গু কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) (x + 4)
  3. গ
    গ) (x + 2)(x + 4)
  4. ঘ
    ঘ) (x - 4)(x + 2)(x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 4x,  x2 - 16,  x2 + 6x + 8 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x2 + 4x = x(x + 4)
২য় রাশি = x2 - 16 = x2 - 42 = (x + 4)(x - 4)
৩য় রাশি =  x2 + 6x + 8
= x2 + 2x + 4x + 8 
= x(x + 2) + 4(x + 2)
= (x + 2)(x + 4)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 4)
৪,৭০৫.
এক দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করলেন, প্রথম ৪ দিনের গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোর গড় আয় কত টাকা হবে?
  1. ক
    ৪৩ টাকা
  2. খ
    ৪৭ টাকা
  3. গ
    ৪২ টাকা
  4. ঘ
    ৪০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১২ দিনে ৫০৪ টাকা আয় করেন। প্রথম ৪ দিনে তার গড় আয় ৪০ টাকা হলে বাকি দিনগুলোতে তার গড় আয় কত টাকা? 

সমাধান: 
প্রথম ৪ দিনের গড় আয় = ৪০ টাকা 
∴ প্রথম ৪ দিনের মোট আয় = (৪০ × ৪) টাকা 
= ১৬০ টাকা 

∴ অবশিষ্ট টাকা = (৫০৪ - ১৬০) টাকা 
= ৩৪৪ টাকা 
এবং অবশিষ্ট সময় = (১২ - ৪) দিন 
= ৮ দিন 

∴ বাকি দিনগুলোর গড় আয় = ৩৪৪/৮ টাকা 
= ৪৩ টাকা 
৪,৭০৬.
0, 8, 4 এর গড় কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    5
  3. গ
    4
  4. ঘ
    অসংজ্ঞায়িত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 8, 4 এর গড় কত?

সমাধান:
0, 8, 4 এর গড় = (0 + 8 + 4)/3
= 12/3
= 4
৪,৭০৭.
কোন ভগ্নাংশটি (৪/৫)% এর সমান? 
  1. ক
    ক) ১/২৩০
  2. খ
    খ) ১/৪০
  3. গ
    গ) ১/১২৫
  4. ঘ
    ঘ) ১/২৫০
ব্যাখ্যা
(৪/৫)% = (৪/৫) × (১/১০০)
             = ৪/(৫ × ১০০)
             = ১/১২৫
৪,৭০৮.
১০টি সংখ্যার যোগফল ৪২০। প্রথম ৫টির গড় ৩৬, শেষ ৪টির গড় ৪৭। ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৪৯
  2. খ
    ৫০
  3. গ
    ৫১
  4. ঘ
    ৫২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার যোগফল ৪২০। প্রথম ৫টির গড় ৩৬, শেষ ৪টির গড় ৪৭। ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম ৫টি সমষ্টি = (৩৬ × ৫) = ১৮০
শেষ ৪টির সমষ্টি = (৪৭ × ৪) = ১৮৮
তাহলে এই নয়টি সংখ্যার যোগফল হয় = (১৮০ + ১৮৮) = ৩৬৮

দেওয়া আছে, ১০টি সংখ্যার যোগফল = ৪২০

∴ ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি (৪২০ - ৩৬৮) = ৫২
৪,৭০৯.
একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ৫৬০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৮৯০ বর্গমিটার
  3. গ
    ৯৪০ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১০৬৪ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার ও প্রস্থ ৩০ মিটার। এর ভিতরের চতুর্দিকে ১ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = ৪০ × ৩০ = ১২০০ বর্গমিটার
রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০ - (২ × ১) = ৩৮ মিটার
রাস্তা বাদে বাগানের প্রস্থ = ৩০ - (২ × ১) = ২৮ মিটার

∴ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩৮  × ২৮) বর্গমিটার
= ১০৬৪ বর্গমিটার
৪,৭১০.
প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
৮, ৬, ৪, ১০, ২, ১৬, ১২, ১৪
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ৬
  4. ঘ
    ৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
৮, ৬, ৪, ১০, ২, ১৬, ১২, ১৪

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬
মোট উপাত্তের সংখ্যা, (n) = ৮ (যা একটি জোড় সংখ্যা)

মধ্যক = {(৮/২) তম পদ + (৮/২ + ১) তম পদ}/২
= (৪ তম পদ + ৫ তম পদ)/২
= (৮ + ১০)/২
= ১৮/২
= ৯
৪,৭১১.
নাজমুল ও শিমুলের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। শিমুল ও মুকুলের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। নাজমুলের আয় ১২০ টাকা হলে, শিমুলের আয় কত টাকা?
  1. ক
    ৭২ টাকা
  2. খ
    ১২০ টাকা
  3. গ
    ৮০ টাকা
  4. ঘ
    ৯০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নাজমুল ও শিমুলের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। শিমুল ও মুকুলের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। নাজমুলের আয় ১২০ টাকা হলে, শিমুলের আয় কত টাকা?

সমাধান: 
নাজমুল : শিমুল = ৪ : ৩ = ২০ : ১৫
শিমুল : মুকুল = ৫ : ৪ = ১৫ :  ১২ 
নাজমুল : শিমুল : মুকুল = ২০ : ১৫ : ১২

নাজমুলের আয় = ২০ক 
শিমুলের আয় = ১৫ক 
মুকুলের আয় = ১২ ক 

প্রশ্নমতে,
২০ক = ১২০
বা, ক = ১২০/২০
∴ ক = ৬

∴ শিমুলের আয় = ১৫ × ৬ = ৯০ টাকা
৪,৭১২.
10 জন লোক একটি অনুষ্ঠানের শুরুতে ও শেষে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে করমর্দনের মোট সংখ্যা হবে-
  1. ক
    ক) 120টি
  2. খ
    খ) 45টি
  3. গ
    গ) 55টি
  4. ঘ
    ঘ) 90টি
ব্যাখ্যা

অনুষ্ঠানের শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = 10C2
= 10! ÷ {(10 - 2)! × 2!}
= (10 × 9 × 8!) ÷ (8! × 2!)
= (10 × 9 ÷ 2)
= 5 × 9
= 45

অনুরূপভাবে,
অনুষ্ঠানের শেষে আরো 45 বার করমর্দন করে।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = 45 + 45 = 90টি।

৪,৭১৩.
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৩৮
  2. খ
    ৪২
  3. গ
    ৩৬
  4. ঘ
    ৪৮
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ২) = ৬০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬ × ৩) = ১০৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি - প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি)
= (১০৮ - ৬০)
= ৪৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি ৪৮ ।

৪,৭১৪.
9y2 - a2 - 4a - 4 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) a - 3 + 4y
  2. খ
    খ) 3y + a - 3
  3. গ
    গ) 3y - a + 3
  4. ঘ
    ঘ) 3y - a - 2
ব্যাখ্যা

9y2 - a2 - 4a - 4
= 9y2 - (a2 + 4a + 4)
= (3y)2 - (a + 2)2
= (3y + a + 2)(3y - a - 2)

৪,৭১৫.
(4/5)- 3 (4/5)6 = (4/5)2x - 1 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 2
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
(4/5)- 3 (3/5) 6 =(4/5)2x - 1 
(4/5)- 3 + 6 = (4/5)2x - 1 
(4/5)3  = (4/5)2x - 1 
3 = 2x - 1 
3 + 1 = 2x
4 = 2x
x = 4 /2
x = 2
৪,৭১৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) √2
  3. গ
    গ) 3√2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা √3 সেমি হলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা AD ⊥ BC
এখানে,
AB = BC = AC = 2BD

পিথাগোরাসের সূত্র মতে,
AB2 = AD2 + BD2
⇒ x2 =  (√3)2 +(x/2)2
⇒ x2 - x2/4 = 3
⇒ 3x2/4 = 3
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2
৪,৭১৭.
রিংকু তার মাসিক আয়ের ৭৫% খরচ করে। যদি তার আয় ৪০% বৃদ্ধি পায় এবং সেই সাথে খরচ ২০% বৃদ্ধি পায় তার সঞ্চয় কত হারে বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ক) ২৫%
  2. খ
    খ) ৪০%
  3. গ
    গ) ৫০%
  4. ঘ
    ঘ) ১০০%
ব্যাখ্যা

ধরি, আয় = ১০০ টাকা
∴ খরচ = ৭৫ টাকা
∴ সঞ্চয় = ২৫ টাকা
৪০% বৃদ্ধিতে আয় ১৪০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে খরচ = ৭৫ × (১২০/১০০)
= ৯০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ১৪০-৯০
= ৫০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ৫০ - ২৫
= ২৫ টাকা
∴ বৃদ্ধির হার = (২৫×১০০%)/২৫
= ১০০%

৪,৭১৮.
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?
  1. ক
    ৪০%
  2. খ
    ৩৫%
  3. গ
    ২৫%
  4. ঘ
    ৩৭.৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
৩০ টাকা ৭৫ টাকার শতকরা = (৩০/৭৫) × ১০০%
= ৪০%
৪,৭১৯.
একটি অংশীদারি কারবারের বণ্টনযোগ্য মুনাফা ৯০০০০ টাকা। ১/২ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা কত হবে?
  1. ক
    ১৫০০০ টাকা
  2. খ
    ৩০০০০ টাকা
  3. গ
    ৪৫০০০ টাকা
  4. ঘ
    ৬০০০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অংশীদারি কারবারের বণ্টনযোগ্য মুনাফা ৯০০০০ টাকা। ১/২ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত ১/২ : ১/৩ : ১/৬
= ৩ : ২ : ১

অনুপাতের যোগফল = (৩ + ২ + ১) = ৬

∴ দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা = ৯০০০০ × (২/৬) টাকা
= ৩০০০০ টাকা
৪,৭২০.
(৩/৮) + ০.০৫ = কত?
  1. ক
    ১৭/৪০
  2. খ
    ১৩/২০
  3. গ
    ১৫/২৭
  4. ঘ
    ৩/৪০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (৩/৮) + ০.০৫ = কত?

সমাধান:
(৩/৮) + ০.০৫
= (৩/৮) + (৫/১০০)
= (৩/৮) + (১/২০)
= (১৫ + ২) /৪০
= ১৭/৪০
৪,৭২১.
x2 - x - a এর একটি উৎপাদক x - 2 হলে a = ?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 1
ব্যাখ্যা

∴ x - 2, f(x) = x2 - x - a এর একটি উৎপাদক।
∴ f(2) = 22 - 2 - a = 0
বা, 4 - 2 - a = 0
বা, 2 - a = 0
∴ a = 2

৪,৭২২.
দুইটি লেবু ৪ টাকায় ক্রয় করে ৫ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ -
  1. ক
    ৫০%
  2. খ
    ১২.৫%
  3. গ
    ২০%
  4. ঘ
    ২৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি লেবু ৪ টাকায় ক্রয় করে ৫ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ -

সমাধান:
২টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৪ টাকা
১টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ৪/২ টাকা
= ২  টাকা

২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৫ টাকা
১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ৫/২ টাকা
= ২.৫  টাকা

লাভ = (২.৫ - ৫) টাকা = .৫ টাকা

২ টাকায় লাভ হয় .৫ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় .৫/২ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় (১০০ × ০.৫)/২ টাকা
= ২৫ টাকা

∴ লাভ ২৫%
৪,৭২৩.
২৪ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের ৩/৫ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?
  1. ক
    ১১ ফুট
  2. খ
    ১০ ফুট
  3. গ
    ৯ ফুট
  4. ঘ
    ৮ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৪ ফুট লম্বা বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের ৩/৫ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

সমাধান:
ধরি,
বড় অংশের দৈর্ঘ্য ক ফুট
ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ৩ক/৫ ফুট।

প্রশ্নমতে,
ক + (৩ক/৫) = ২৪
⇒ (৫ক + ৩ক)/৫ = ২৪
⇒ ৮ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৮
∴ ক = ১৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (৩ × ১৫)/৫ = ৯ ফুট
৪,৭২৪.
একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ৯ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ১৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৬
  3. গ
    ৯
  4. ঘ
    ১২
ব্যাখ্যা
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৯ অংশ

 ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৮ অংশ

দুইটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় (১/৯ + ১/১৮) অংশ = ১/৬ অংশ

১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে
৪,৭২৫.
x2 - √3x + 1 = 0 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    7
  4. ঘ
    11
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - √3x + 1 = 0 হলে, x2 + 1/x2 এর মান কত?

সমাধান:
x2 - √3x + 1 = 0
⇒ x2 + 1 = √3x
⇒ x + 1/x = √3

এখন,
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2.x.(1/x)
= (√3)2 - 2
= 3 - 2
= 1
৪,৭২৬.
একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৮০°
  3. গ
    ১০০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

৪,৭২৭.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ২ হলে, সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?
  1. ক
    ক) ১
  2. খ
    খ) ২
  3. গ
    গ) ৩
  4. ঘ
    ঘ) ৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ২ হলে, সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x + (1/x) = 2
⇒ (x2 + 1)/x = 2
⇒  x2 + 1 = 2x
⇒ x2 - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ (x - 1) = 0
∴ x = 1

সংখ্যাটির দ্বিগুণ = ২ × ১
= ২
৪,৭২৮.
এক কেজি মসলার দাম ছিল ২৫০ টাকা। ব্যবসার প্রচারের জন্য ২০% মূল্য কমানো হয়েছিল। সম্প্রতি ৩০% মূল্য বাড়ানো হয়েছে। বর্তমানে এক কেজি মসলার দাম কত?
  1. ক
    ২২০ টাকা
  2. খ
    ২৬০ টাকা
  3. গ
    ২৪০ টাকা
  4. ঘ
    ২৩০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক কেজি মসলার দাম ছিল ২৫০ টাকা। ব্যবসার প্রচারের জন্য ২০% মূল্য কমানো হয়েছিল। সম্প্রতি ৩০% মূল্য বাড়ানো হয়েছে। বর্তমানে এক কেজি মসলার দাম কত?

সমাধান:
২০% কমে,
১০০ টাকায় দাম কমে = ২০ টাকা
১ টাকায় দাম কমে =২০/১০০ টাকা
২৫০ টাকায় দাম কমে = (২০ × ২৫০)/১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

তাহলে এক কেজি মসলার মূল্য = ২৫০ – ৫০ = ২০০ টাকা

৩০% বৃদ্ধিতে, 
১০০ টাকায় বৃদ্ধি পায় = ৩০ টাকা
১ টাকায় বৃদ্ধি পায় = ৩০/১০০ টাকা
২০০ টাকায় বৃদ্ধি পায় = (৩০ × ২০০)/১০০ টাকা
= ৬০ টাকা

∴ বর্তমানে এক কেজি মসলার দাম = ২০০ + ৬০ টাকা
= ২৬০ টাকা
৪,৭২৯.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং উচ্চতা 2 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    14 বর্গসে.মি.
  2. খ
    21 বর্গসে.মি.
  3. গ
    32 বর্গসে.মি.
  4. ঘ
    42 বর্গসে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটি যথাক্রমে 12 সে.মি. ও 9 সে.মি. এবং উচ্চতা 2 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুই বাহু 12 সে.মি. ও 9 সে.মি.
লম্ব দূরত্ব = 2 সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমান্তরাল বাহু দুইটির সমষ্টি × উচ্চতা
= (1/2) × (12 + 9) × 2 বর্গসে.মি.
= (1/2) × 21 × 2 বর্গসে.মি.
= 21 বর্গসে.মি. 
৪,৭৩০.
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৩৩৬। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৩৬
  2. খ
    ৪৮
  3. গ
    ৭২
  4. ঘ
    ৮৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ৩৩৬। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুটির গ.সা.গু
⇒ ৪৮ × অপর সংখ্যা = ৩৩৬ × ১২
⇒ অপর সংখ্যা = (৩৩৬ × ১২)/৪৮
∴ অপর সংখ্যা = ৮৪
৪,৭৩১.
275 টাকা লিঙ্কন ও মারুফের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো, যাতে লিঙ্কন, মারুফের থেকে 3/4 অংশ বেশি পায়। তাহলে লিঙ্কন কত টাকা পাবে?
  1. ক
    ক) 160 টাকা 
  2. খ
    খ) 200 টাকা 
  3. গ
    গ) 175 টাকা 
  4. ঘ
    ঘ) 100 টাকা 
ব্যাখ্যা
মনেকরি 
মারুফ পাবে = x  টাকা 
লিঙ্কন পাবে = x + 3x/4 = 7x/4

 প্রশ্নমতে,
        x + 7x/4 = 275
       (4x +7x)/4 =275 
             11x/4 =275
             x = (275×4)/11
             x = 100 

লিঙ্কন পাবে =(7×100)/4
                    = 175  টাকা
৪,৭৩২.
১০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?
  1. ক
    ৯টি
  2. খ
    ১০টি
  3. গ
    ৮টি
  4. ঘ
    ১২টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২২ × ৫২

এখানে ২ এর সূচক ২ এবং ৫ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩
= ৯

অর্থাৎ, ১০০ এর মোট ৯টি ভাজক আছে।

৪,৭৩৩.
একটা ঘরে রহিম বসে আছে, ৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। ১০ মিনিট পর রহিম ঘর থেকে বের হয়ে আসলো এবং ১৫ মিনিট পর করিমও বের হয়ে আসলো। ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঐ ঘরটি কোন ঘরের শক্তি সেটের উপসেট?
  1. ক
    ক) ৫ মিনিট পরের ঘর
  2. খ
    খ) ১০ মিনিট পরের ঘর
  3. গ
    গ) ১৫ মিনিট পরের ঘর
  4. ঘ
    ঘ) ঊপরের কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
একটা ঘরে রহিম বসে আছে। এর সেট R = {r}
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট S = {r, k}
১০ মিনিট পর রহিম ঘর থেকে বের হয়ে আসলো। এর সেট K = {k}
১৫ মিনিট পর করিমও বের হয়ে আসলো। এর সেট { } বা Φ
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট {r, k}। অতএব, এর শক্তি সেট = P(S)
P(S) = P({r, k}) = {{r}, {k}, {r, k}, Φ}
অতএব, ৫ মিনিট পরের ঘর এর শক্তি সেট = ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঘরের সেট
ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঐ ঘরটি ৫ মিনিট পরের ঘরের শক্তি সেট।
৪,৭৩৪.
ঢাকা থেকে সুনামগঞ্জ এর দূরত্ব ২৫৮ কিলোমিটার। একটি বাস ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে সুনামগঞ্জ চলে আসলে, বাসটির গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?
  1. ক
    ৫৫ কি.মি./ঘণ্টা
  2. খ
    ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা
  3. গ
    ৪৩ কি.মি./ঘণ্টা
  4. ঘ
    ৪০ কি.মি./ঘণ্টা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঢাকা থেকে সুনামগঞ্জ এর দূরত্ব ২৫৮ কিলোমিটার। একটি বাস ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে সুনামগঞ্জ চলে আসলে, বাসটির গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?

সমাধান:
ঢাকা থেকে সুনামগঞ্জের এর দূরত্ব ২৫৮ কিলোমিটার
মোট সময় লাগে ৬ ঘণ্টা।

গড় গতিবেগ = ২৫৮/৬ কি.মি./ঘণ্টা
= ৪৩ কি.মি./ঘণ্টা
৪,৭৩৫.
a3 - 4a, a4 - 6a3 + 8a2, a3 + 2a2 - 8a এর গ, সা, গু কত?
  1. ক
    a
  2. খ
    1
  3. গ
    (a - 4)
  4. ঘ
    a(a - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 4a, a4 - 6a3 + 8a2, a3 + 2a2 - 8a এর গ, সা, গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি, a3 - 4a = a(a2 - 4) = a(a - 2)(a + 2)

২য় রাশি, a4 - 6a3 + 8a2
= a2(a2 - 6a + 8)
= a2(a2 - 4a - 2a + 8)
= a2{a(a - 4) - 2(a - 4)}
= a2(a - 2)(a - 4)
 
৩য় রাশি, a3 + 2a2 - 8a
= a(a2 + 2a - 8)
= a(a - 2)(a + 4)

∴ নির্ণয়ে গ, সা, গু = a(a - 2)
৪,৭৩৬.
একজন গার্মেন্টস শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতি বছর শেষে তার একটি নির্দিষ্ট বেতন বৃদ্ধি পায়। তার মাসিক বেতন 4 বছর পর 4500 টাকা ও 8 বছর পর 5000 টাকা হয়। তার চাকরি শুরুর বেতন কত? 
  1. ক
    ক) 3500 টাকা 
  2. খ
    খ) 3000 টাকা 
  3. গ
    গ) 4000 টাকা 
  4. ঘ
    ঘ) 4200 টাকা 
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
চাকরি শুরুর বেতন x টাকা 
তার বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ y টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x + 4y = 4500...................(1)
x + 8y = 5000...................(2)

(2) - (1) ⇒
x + 8y - x - 4y = 5000 - 4500
4y = 500
y = 500/4 
y = 125

(1) নং হতে পাই 
x + 4 × 125 = 4500
x + 500 = 4500
x = 4500 - 500
x = 4000
৪,৭৩৭.
১ + ৫ + ৯ + ......... + ১৬১ = ?
  1. ক
    ক) ৩৩২১
  2. খ
    খ) ৩৩৪২
  3. গ
    গ) ৩৩২২
  4. ঘ
    ঘ) ৩৩৪৪
ব্যাখ্যা
এখানে 
১ম পদ a  = ১ 
সাধারণ অন্তর d  = ৫ - ১ = ৪ 

ধরি 
n তম পদ = ১৬১ 
প্রশ্নমতে,
a  + (n - ১) d  = ১৬১ 
১ + (n - ১)৪ = ১৬১ 
১ + ৪n - ৪ = ১৬১ 
৪n - ৩ = ১৬১ 
৪n = ১৬১ + ৩ 
৪n = ১৬৪ 
n  = ৪১ 

৪১ টি পদের সমষ্টি = (৪১/২){২a  + (৪১ - ১)d}
                             =(৪১/২){ ২ × ১ + ৪০ × ৪ } 
                             = (৪১/২)(২ + ১৬০)
                             = (৪১/২)(১৬২)
                             = ৪১ × ৮১ 
                             = ৩৩২১
৪,৭৩৮.
যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তাহলে sin2θ = ?
  1. ক
    1/4
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি sin(θ + 15°) = 3/√12 হয়, তাহলে sin2θ = ?

সমাধান:
sin(θ + 15°) = 3/√12
⇒ sin(θ + 15°) = 3/(2√3)
⇒ sin(θ + 15°) = √3/2
⇒ sin(θ + 15°) = sin60°
⇒ θ + 15° = 60°
⇒ θ = 45°

এখন,
sin2θ = (sin 45°)2
= (1/√2)2
= 1/2

৪,৭৩৯.
(5x)0 + 5x0 + (5x)0 এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    9
  2. খ
    10
  3. গ
    7
  4. ঘ
    17
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x)0 + 5x0 + (5x)0 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(5x)0 + 5x0 + (5x)0
=1 + (5 × 1) + 1 
= 1 + 5 + 1
= 7

৪,৭৪০.
একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-
  1. ক
    ষড়ভুজ
  2. খ
    অষ্টভুজ
  3. গ
    দশভুজ
  4. ঘ
    দ্বাদশভুজ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ৫ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = (৫ × ৩০°) = ১৫০°
বহিঃস্থ কোণ = ৩০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০° = ১২ টি

সুতরাং, বহুভুজটি হবে দ্বাদশভুজ।
৪,৭৪১.
একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    - 660
  2. খ
    - 720 
  3. গ
    - 610
  4. ঘ
    - 710
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 17 তম পদ = a + (17 - 1) d = a + 16d

প্রশ্নমতে,
a + 16d = - 20 ...... (i)

আবার, 
n পদের সমষ্টি , Sn= (n/2){2a + (n - 1)d}
S33 = (33/2){2a + (33 - 1)d}
=  (33/2) (2a + 32d)
= 33 × (a + 16d)
= 33 × (- 20) [ (i) হতে]
= - 660

৪,৭৪২.
একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    12 মি.
  2. খ
    30 মি.
  3. গ
    15 মি.
  4. ঘ
    36 মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং উক্ত জমির পরিসীমা 40 মিটার হলে, জমিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
দৈর্ঘ্য = 3x মিটার

তাহলে,
পরিসীমা = 2(3x + x)
⇒ 40 = 2 × 4x
⇒ 8x = 40
⇒ x = 40/8
∴ x = 5 মিটার

∴ জমিটির দৈর্ঘ্য = 3 × 5 = 15 মিটার
৪,৭৪৩.
একটি পণ্য বিক্রয় করে পাইকারি বিক্রেতার ২০% এবং খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভ হয়। যদি পণ্যটির খুচরা বিক্রয়মূল্য ৫০৪ টাকা হয়, তবে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?
  1. ক
    ৩০০ টাকা
  2. খ
    ৩৫০ টাকা
  3. গ
    ৩৭৫ টাকা
  4. ঘ
    ৪০০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পণ্য বিক্রয় করে পাইকারি বিক্রেতার ২০% এবং খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভ হয়। যদি পণ্যটির খুচরা বিক্রয়মূল্য ৫০৪ টাকা হয়, তবে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ ২০% লাভে পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০০ এর ২০% = (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা 

যেহেতু, পাইকারি বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য 

সেহেতু, খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা 
∴ ২০% লাভে খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = ১২০ + ১২০ এর ২০% = (১২০ + ২৪) টাকা = ১৪৪ টাকা 

এখন,
খুচরা বিক্রতার বিক্রয়মূল্য ১৪৪ টাকা হলে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
∴ খুচরা বিক্রতার বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১০০/১৪৪ টাকা 
∴ খুচরা বিক্রতার বিক্রয়মূল্য ৫০৪ টাকা হলে পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫০৪)/১৪৪ টাকা = ৩৫০ টাকা 

অর্থাৎ পাইকারি বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ৩৫০ টাকা
৪,৭৪৪.
একটি সংখ্যা ৩০১ হলে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৩৪০
  2. খ
    ৩৪২
  3. গ
    ৩৪৪
  4. ঘ
    ৩৪১
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩০১ হলে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
 ক - ৩০১ = ৩৮১ - ক
বা, ক + ক = ৩৮১ + ৩০১
বা, ২ক = ৬৮২
∴ ক = ৩৪১

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৩৪১

৪,৭৪৫.
x3 - 3x2 + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    - 3
  3. গ
    0
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x3 - 3x2 + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = x3 - 3x2 + 4x - 5
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2)।
P(2) = (2)3 - 3(2)2 + 4(2) - 5
= 8 - 3(4) + 8 - 5
= 8 - 12 + 8 - 5
= 16 - 17
= - 1

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 1।

৪,৭৪৬.
যদি ৫টি বিড়াল ৫টি ইঁদুর ধরে ৫ দিনে, তাহলে ১০০টি বিড়াল ১০০টি ইঁদুর ধরবে- 
  1. ক
    ৫ দিনে
  2. খ
    ১০ দিনে
  3. গ
    ২০ দিনে
  4. ঘ
    ১০০ দিনে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ৫টি বিড়াল ৫টি ইঁদুর ধরে ৫ দিনে, তাহলে ১০০টি বিড়াল ১০০টি ইঁদুর ধরবে- 

সমাধান: 
৫ টি বিড়াল ৫টি ইঁদুর ধরে = ৫ দিনে
∴ ১ টি বিড়াল ১টি ইঁদুর ধরে = (৫ × ৫)/৫ দিনে 
∴ ১০০ টি বিড়াল ১০০টি ইঁদুর ধরে = (৫ × ৫ × ১০০ )/(৫ × ১০০) দিনে 
= ৫ দিনে।
৪,৭৪৭.
log10 (0.0001) এর মান কত?
  1. ক
    - 3
  2. খ
    5
  3. গ
    - 4
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log10 (0.0001) এর মান কত?

সমাধান:
log10 (0.0001)
= log10(1/10000)
= log10 (10- 4)
= - 4 log10 10
= - 4 × 1
= - 4
৪,৭৪৮.
৩৭৫ এর ২০% = কত?
  1. ক
    ক) ৭৫.০
  2. খ
    খ) ৬২.০
  3. গ
    গ) ৬০.০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৭.০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৭৫ এর ২০%  = কত?

সমাধান:
৩৭৫ এর ২০% = ৩৭৫ × (২০/১০০)
= ৩৭৫/৫
= ৭৫
৪,৭৪৯.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    - 2
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2x + 1 = 0 
বা, x2 - 2.x.1 + 12 = 0 
বা, (x - 1)2 = 0 
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1.
৪,৭৫০.
যদি a:b = b:c = ৩ঃ২ হয়, তবে a:c = ?
  1. ক
    ক) ২ঃ৯
  2. খ
    খ) ৯ঃ৪
  3. গ
    গ) ৪ঃ৯
  4. ঘ
    ঘ) ৪ঃ৬
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
a:b = ৩ঃ২ = ৯ঃ৬
b:c = ৩ঃ২ = ৬ঃ৪

∴ a:b:c = ৯ঃ৬ঃ৪
∴ a:c = ৯ঃ৪

৪,৭৫১.
৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত? 
  1. ক
    ৪২০ বর্গমিটার
  2. খ
    ৩৩৬ বর্গমিটার
  3. গ
    ৩৭২ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৯৩৬ বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ মিটার দৈর্ঘ্য ও ২০ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট একটি মাঠের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রাস্তাবাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার 
রাস্তাবাদে মাঠের প্রস্থ = ২০ মিটার 
∴ রাস্তাবাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩০ × ২০) বর্গমিটার 
= ৬০০ বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = {৩০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ৩৬ মিটার 
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = {২০ মিটার + (৩ + ৩) মিটার} = ২৬ মিটার 
∴ রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৬ × ২৬) বর্গমিটার 
= ৯৩৬ বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৯৩৬ – ৬০০) বর্গমিটার 
= ৩৩৬ বর্গমিটার।

৪,৭৫২.
6 সেমি × 12 সেমি × 15 সেমি বিশিষ্ট আয়তাকার ব্লকটিকে সমান সংখ্যক ঘনকে কাটা হলো। ঘনকের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য সংখ্যা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 50
  3. গ
    গ) 40
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
আয়তাকার ব্লকটির আয়তন = (6 × 12 × 15) cm3 = 1080 cm3
ঘনকের বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য 
=6 cm, 12 cm, 15 cm এর গ.সা.গু 
= 3 cm.
ঘনকটির আয়তন = (3 × 3 × 3) cm3 = 27 cm3
ঘনকের সংখ্যা = 1080/27 = 40.
৪,৭৫৩.
S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} হলে n(S) এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} হলে n(S) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} 
S  = {2, 4, 6}
n(S) দ্বারা S এর উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়। 
 S এর উপাদান সংখ্যা = 3
n(S) = 3
৪,৭৫৪.
logx(1/196) = - 2 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    8
  3. গ
    14
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logx(1/196) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
logx(1/196) = - 2
⇒ x- 2 = 1/196
⇒ 1/x2 = 1/196
⇒ x2 = 196
⇒ x2 = 142
∴ x = 14
৪,৭৫৫.
একটি ক্লাসের ৪৫% ছাত্র বাংলায় এবং ২০% ছাত্র গণিতে এবং ১০% ছাত্র উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে। ঐ ক্লাসের শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয়েছে?
  1. ক
    ক) ৩৫%
  2. খ
    খ) ৪৫%
  3. গ
    গ) ৫০%
  4. ঘ
    ঘ) ৩০%
ব্যাখ্যা
বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে ৪৫% ছাত্র
গণিতে  অকৃতকার্য হয়েছে ২০% ছাত্র 
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে ১০% ছাত্র

শুধু বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে (৪৫ - ১০)% ছাত্র
                                              = ৩৫%
শুধু গণিতে অকৃতকার্য হয়েছে (২০ - ১০)% ছাত্র
                                              = ১০% ছাত্র 
বাংলা ,গণিত এবং উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে = (৩৫ + ১০ +১০)% ছাত্র
                                                                            = ৫৫% ছাত্র 

    
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৫৫)%
                                             = ৪৫%
৪,৭৫৬.
সরল মুনাফার হার ৬% হলে, ২৫০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত?
  1. ক
    ৭৫০ টাকা
  2. খ
    ৬৫০ টাকা
  3. গ
    ৮৫০ টাকা
  4. ঘ
    ৯০০ টাকা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার ৬% হলে, ২৫০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০
= (২৫০০ × ৬ × ৫)/১০০
= (২৫০০ × ৩০)/১০০
= ৭৫০০০/১০০
= ৭৫০ টাকা

সুতরাং, ৫ বছরের মুনাফা ৭৫০ টাকা। 

৪,৭৫৭.
(x/3) + 3 = (x/2) + 4 সমীকরণে x এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) - 6
  4. ঘ
    ঘ) - 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x/3) + 3 = (x/2) + 4 সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান:
(x/3) + 3 = (x/2) + 4
⇒ (x + 9)/3 = (x + 8)/2
⇒ 3(x + 8) = 2(x + 9)
⇒ 3x + 24 = 2x +18
⇒ 3x - 2x = 18 - 24
∴ x = - 6
৪,৭৫৮.
একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?  
  1. ক
    ৬ বর্গ একক
  2. খ
    ৮ বর্গ একক
  3. গ
    ১২ বর্গ একক
  4. ঘ
    ১৪ বর্গ একক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ ও ৩ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?  

সমাধান: 
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য দেখে বোঝা যাচ্ছে ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ৪ × ৩ 
= ৬ বর্গ একক 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ৬ বর্গ একক।
৪,৭৫৯.
১ থেকে ১২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত? 
  1. ক
    ২১০ 
  2. খ
    ১২১০ 
  3. গ
    ২৩১০
  4. ঘ
    ২৫১০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তা হলো = ২, ৩, ৫, ৭ ও ১১
∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাগুলো গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৩৫ × ১১
= ২৩১০ ।

৪,৭৬০.
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২২ বছর। ৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১৩ হলে পিতার বর্তমান বয়স কত? 
  1. ক
    ৪০ বছর
  2. খ
    ৪৬ বছর
  3. গ
    ৪২ বছর
  4. ঘ
    ৪৮ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২২ বছর। ৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১৩ হলে পিতার বর্তমান বয়স কত?  

সমাধান: 
পিতা ও দুই পুত্রের গড় বয়স = ২২ বছর। 
∴ পিতা ও দুই পুত্রের মোট বয়স = (২২ × ৩) বছর 
= ৬৬ বছর 

আবার, 
৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স = ১৩ বছর 
∴ ৩ বছর পর দুই পুত্রের মোট বয়স = ১৩ × ২ বছর 
= ২৬ বছর 

বর্তমানে দুই পুত্রের মোট বয়স = (২৬ - ৩ - ৩) বছর
= ২০ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৬৬ - ২০) বছর 
= ৪৬ বছর।
৪,৭৬১.
বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    ৪
  2. খ
    ৮
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ১৬
ব্যাখ্যা
[প্রশ্নটিতে ভাষাগত ইস্যু থাকতে পারে। চারগুণ বৃদ্ধি বলতে যা আছে তার সাথে চারগুণ পরিমাণ যোগ করা বুঝাতে পারে। নিচের দুটি প্রশ্ন ভালোভাবে লক্ষ করুন।]

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস =  (2r + 8r) = 10r
∴ ব্যাসার্ধ =10r/2 = 5r  

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(5r)2 =25πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr2 - πr2 = 24πr2

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

=======================

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান: 
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 8r
∴ ব্যাসার্ধ = 8r/2 = 4r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 = 16πr2
 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16 গুণ  হবে।
৪,৭৬২.
যদি ক : খ = ৫ : ৪ এবং ক : গ =৬ : ৫ হয়, তবে গ : খ =?
  1. ক
    ক) ২৫ : ২৪
  2. খ
    খ) ২৪ : ২৫
  3. গ
    গ) ৩ : ২
  4. ঘ
    ঘ) এর কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৫ : ৪ এবং ক : গ =৬ : ৫ হয়, তবে গ : খ =?

সমাধান:
ক : খ = ৫ : ৪ = ৩০ : ২৪ [৬ দ্বারা গুণ করে]
ক : গ = ৬ : ৫ = ৩০ : ২৫ [৫ দ্বারা গুণ করে]

গ : খ = ২৫ : ২৪
৪,৭৬৩.
কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহু ও পরিসীমার বর্গের অনুপাত নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) 1 : 4
  2. খ
    খ) 2 : 3
  3. গ
    গ) 1 :√ 2
  4. ঘ
    ঘ) 1 : 16
ব্যাখ্যা

বর্গের বাহু a হলে, পরিসীমা 4a.
∴ বাহু ও পরিসীমার অনুপাত = a2 : (4a)2
= a2 : 16a2
= 1 : 16

৪,৭৬৪.
a²-b²-c²-2bc এবং b²-c²-a²-2ac এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    ক) a-b+c
  2. খ
    খ) a+b-c
  3. গ
    গ) b+c-a
  4. ঘ
    ঘ) a+b+c
ব্যাখ্যা

১ম রাশি = a²-b²-c²-2bc
= a²-(b²+2bc+c²)
= a²-(b+c)²
= (a+b+c)(a-b-c)
২য় রাশি = b²-c²-a²-2ac
= b²-(c²+2ac+a²)
= b²-(c+a)²
= (a+b+c)(b-c-a)
∴ সাধারণ উৎপাদক a+b+c

৪,৭৬৫.
ΔABC -এ AD, ∠A - এর সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠ADB সূক্ষ্মকোণ হলে -
  1. ক
    ক) AD > AC
  2. খ
    খ) AB > AC
  3. গ
    গ) AB < AC
  4. ঘ
    ঘ) BD < CD
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC -এ AD, ∠A - এর সমদ্বিখণ্ডক এবং ∠ADB সূক্ষ্মকোণ হলে -

সমাধান:

∠ADB = সূক্ষ্মকোণ
∴ ∠ADC = স্থূলকোণ

∴ ∠ADC > ∠ADB এই কোণদ্বয় একই রেখা BC এর D বিন্দুতে অবস্থিত।
সুতরাং, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

অতএব, AC > AB
⇒ AB < AC
৪,৭৬৬.
x - y, x2 - y2 এবং x3 - y3 এর গ.সা.গু. কত?
  1. ক
    ক) x + y
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) x - y
  4. ঘ
    ঘ) x2 - y2
ব্যাখ্যা

১ম রাশি = x - y
২য় রাশি = x2 - y2
= (x + y)(x - y)
৩য় রাশি = x3 - y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)
∴ গ.সা.গু. = x - y

৪,৭৬৭.
একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বচ্চ কতটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?
  1. ক
    ক) ১ টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩ টি
  4. ঘ
    ঘ) অসংখ্য
৪,৭৬৮.
x2 - 10xy - 11y2 এর উৎপাদক
  1. ক
    (x - y)(x + 11y)
  2. খ
    (x - 11y)(x + y)
  3. গ
    (x + 4y)(x - 5y)
  4. ঘ
    (x + 5y)(x - 4y)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 10xy - 11y2 এর উৎপাদক

সমাধান: 
x2 - 10xy - 11y2
= x2 - 11xy + xy - 11y2
= x(x - 11y) + y(x - 11y) 
= (x - 11y)(x + y)
৪,৭৬৯.
8 ≥ 2 - 2a অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    a ≥ - 2
  2. খ
    a ≥ - 4
  3. গ
    a ≥ - 3
  4. ঘ
    a ≥ - 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 ≥ 2 - 2a অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
8 ≥ 2 - 2a
⇒ 8 - 2 ≥ 2 - 2a - 2
⇒ 6 ≥ - 2a
⇒ - 6 ≤ 2a   [ উভয় পক্ষে - 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 2a ≥ - 6
⇒ a ≥ (- 6/2)
⇒ a ≥ - 3
৪,৭৭০.
একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) - 2
  4. ঘ
    ঘ) - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x2 + 1)/x = 2 
বা, x2 + 1 = 2x 
বা, x2 - 2x + 1 = 0
বা, x2 - 2.x.1 + 12 = 0
বা, (x - 1)2 = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

∴ সংখ্যাটি = 1
৪,৭৭১.
কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে, ধারাটি-
  1. ক
    0, 2, 4, 6,.......
  2. খ
    - 2, 0, 2, 4,.......
  3. গ
    4, 6, 8, 10,.....
  4. ঘ
    2, 4, 6, 8,....
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে, ধারাটি -

সমাধান: 
কোনো ধারার n তম পদ 2n - 4 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 - 4 = 2 - 4 = - 2
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 - 4 = 4 - 4 = 0
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 - 4 = 6 - 4 = 2
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 - 4 = 8 - 4 = 4

ধারাটি: - 2, 0, 2, 4, ............
৪,৭৭২.
a একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে-
  1. ক
    ক) a2 + 2
  2. খ
    খ) a2 + 1
  3. গ
    গ) a2 + 3
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হবে-

 সমাধান:
যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
a একটি বিজোড় সংখ্যা হলে a2 একটি বিজোড় সংখ্যা।
আবার 
a = 1 হলে 
a2 = 12 + 2 = 1 + 2 = 3
a2 + 1 = 12 + 1 = 2
a2 + 3 = 12 + 3 = 4
৪,৭৭৩.
x + y = 7, x2 - y2 = 21, x2 + y2 = 29 এবং xy = 10 হলে x3 - y3 = ?
  1. ক
    137
  2. খ
    107
  3. গ
    127
  4. ঘ
    117
ব্যাখ্যা
সমাধান:
দেয়া আছে, 
x+y = 7, 

x2+y2 = 29,

xy = 10,

x2-y2 = 21
বা, (x+y)(x-y) = 21
বা, 7(x-y) = 21
বা, (x-y) = 3

আমরা জানি, 
x3-y3 = (x-y) (x2+xy+y2)
= = (x-y) (x2+y2+xy)
= 3(29+10)
= 117

উত্তর: 117
৪,৭৭৪.
একটি বড় বাক্সের মধ্যে ৪টি বাক্স আছে। এর প্রত্যেকটির মধ্যে ৪টি করে ছোট বাক্স আছে। মোট বাক্সের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ২১
  2. খ
    খ) ২০
  3. গ
    গ) ১৮
  4. ঘ
    ঘ) ১৭
ব্যাখ্যা

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৪ = ১৬ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+১৬ = ২১ টি।

৪,৭৭৫.
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?
  1. ক
    ক) ২০°
  2. খ
    খ) ২০০°
  3. গ
    গ) ১১০°
  4. ঘ
    ঘ) ২৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭০° হলে বিপরীত কোণটির মান কত?

সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = ১৮০°
একটি কোন ৭০° হলে, অপরটি = (১৮০ - ৭০) বা ১১০°
৪,৭৭৬.
A = {x ∈ N : 1 <x < 8} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}, হলে A ∩ B = ?
  1. ক
    {2, 4}
  2. খ
    {3}
  3. গ
    {3, 6}
  4. ঘ
    {2, 3, 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 <x < 8} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}, হলে A ∩ B = ?

সমাধান:
৪,৭৭৭.
নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?
  1. ক
    ক) ৪৮
  2. খ
    খ) ৫৪
  3. গ
    গ) ৫৮
  4. ঘ
    ঘ) ৬০
ব্যাখ্যা

এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২ 
৬ - ৪ = ২
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ ও ৬ -এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম।
৩,৪,৫,৬ - এর ল.সা.গু = ৬০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০-২) = ৫৮

৪,৭৭৮.
বার্ষিক মুনাফা শতকরা ১০ টাকা থেকে কমে ৮ টাকা হলে, ৩০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা কত কমে যাবে?
  1. ক
    ক) ২০০ টাকা
  2. খ
    খ) ১০০ টাকা
  3. গ
    গ) ১৮০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ২২০ টাকা
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বার্ষিক মুনাফার হার হ্রাস পায় ২%
∴ I = মুনাফা হ্রাস
n = বছর
r = হ্রাস পাওয়া মুনাফার হার 
P = আসল
বা, I = Pnr/100
বা, I = (৩০০০ × ৩ × ২)/১০০
বা, I = ১৮০ টাকা
∴ ৩০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ১৮০ টাকা কমে যাবে।

৪,৭৭৯.
10x2 - 3x - 1  কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়-
  1. ক
    ক) (5x + 1)
  2. খ
    খ) (2x + 3)
  3. গ
    গ) (3x + 2)
  4. ঘ
    ঘ) (5x + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10x2 - 3x - 1  কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়- 

সমাধান: 
10x2 - 3x - 1 
= 10x2 + 2x - 5x - 1
= 2x(5x + 1) - 1(5x + 1)
= (5x + 1)(2x - 1)

(10x2 - 3x - 1)/(2x - 1) =  (5x + 1)(2x - 1)/(2x - 1)
                                  = (5x + 1)
৪,৭৮০.
CAMBRIDGE শব্দটির বর্ণগুলি থেকে ৫টি বর্ণ নিয়ে সমাবেশের সংখ্যা -
  1. ক
    ক) ৬০
  2. খ
    খ) ১২০
  3. গ
    গ) ৬৩
  4. ঘ
    ঘ) ১২৬
ব্যাখ্যা
CAMBRIDGE শব্দটিতে মোট ৯টি বর্ণ আছে। ৫টি বর্ণ নিয়ে গঠিত সমাবেশের সংখ্যা
৯c৫
= (৯×৮×৭×৬×৫!)/(৫!×৪!)
= (৯×৮×৭×৬)/(৪×৩×২)
= ১২৬ টি
∴ নির্ণেয় সমাবেশের সংখ্যা ১২৬টি।
৪,৭৮১.
f(x) = x3 - kx2 + 6x - 4, k এর মান কত হলে x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 - kx2 + 6x - 4, k এর মান কত হলে x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হবে?

সমাধান:
x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হলে f(2) = 0
বা, 23 - k.22 + 6.2 - 4 = 0
বা, 8 - 4k + 12 - 4 = 0
বা, 16 - 4k = 0
বা, 4k = 16
∴ k = 4 
৪,৭৮২.
4(x2 + ax)2, 6(x3 - a2x) এবং 14x3(x3 - a3) এর লসাগু কত?
  1. ক
    ক) 72x2(x + a)2(x3 - a3)
  2. খ
    খ) 84x3(x + a)3(x2 - a3)
  3. গ
    গ) 84x3(x + a)2(x3 - a3)
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রথম রাশিঃ
4(x2 + ax)2,
= 2×2 x2 (x + a)2
দ্বিতীয় রাশিঃ
6(x3 - a2x)
= 2×3 x(x + a)(x - a)
তৃতীয় রাশিঃ
14x3(x3 - a3)
= 2 × 7 × x3(x - a)(x2 + ax + a2)
∴ ল.সা.গু. = 84x3(x + a)2(x3 - a3) 

৪,৭৮৩.
5, 3, 7, 5 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5, 3, 7, 5 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান:
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 3 + 7 + 5)/4
= 20/4
= 5

ভেদাঙ্ক = {(5 - 5)2 + (3 - 5)2 + (7 - 5)2 + (5 - 5)2}/4
= (0 + 4 + 4 + 0)/4
= 8/4
= 2
৪,৭৮৪.
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 73 হলে সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন?
  1. ক
    41, 42
  2. খ
    35, 36
  3. গ
    27, 28
  4. ঘ
    36, 37
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 73 হলে সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় করুন?

সমাধান:
ধরি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা হল x এবং x+1
এবং তাদের বর্গের অন্তর দেওয়া আছে 73

প্রশ্নমতে,
⇒ (x+1)2 − x2 = 73
⇒ x2 + 2x + 1 − x2 = 73
⇒ 2x + 1 = 73
⇒ 2x = 73 − 1
⇒ 2x = 72
⇒ x = 72/2
∴ x=36
অপর সংখ্যা = 36 + 1 = 37
৪,৭৮৫.
14 + 17 + 20 + ................... ধারাটির কোন পদ 269 হবে?
  1. ক
    84 তম
  2. খ
    85 তম
  3. গ
    86 তম
  4. ঘ
    87 তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 + 17 + 20 + ........................ ধারাটির কোন পদ 269 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 14
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 14 = 3

ধরি, r-তম পদ = 269
তাহলে, a + (r - 1)d = 269
⇒ 14 + (r - 1)3 = 269
⇒ 14 + 3r - 3 = 269
⇒ 3r = 258
∴ r = 86
অতএব, ধারাটির 86 তম পদ 269 হবে।
৪,৭৮৬.
যদি x2 - x - 6 এবং x2 + 3x - 18 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 - x - 6 এবং x2 + 3x - 18 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
১ম রাশি,
x2 - x - 6
= x2 - 3x + 2x - 6
= x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(x + 2)

x2 + 3x - 18
= x2 + 6x - 3x - 18
= x(x + 6) - 3(x + 6)
= (x + 6)(x - 3)

∴ গ.সা.গু = x - 3

প্রশ্নমতে,
x - a = x - 3
∴ a = 3
৪,৭৮৭.
  1. ক
    36√3
  2. খ
    45
  3. গ
    52
  4. ঘ
    68
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪,৭৮৮.
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ঃ৫ এবং ল.সা.গু. ৬০ হলে গ.সা.গু কত ?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৫
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা

ধরি,
একটি সংখ্যা 4x এবং অন্যটি 5x.
∴ ল.সা.গু = 20x
এবং গ.সা.গু. = x
প্রশ্নমতে,
20x = 60
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 3

৪,৭৮৯.
একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে। গ্যালারির প্রতি ১.৫ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে?
  1. ক
    ৭০০টি
  2. খ
    ৭৫০টি
  3. গ
    ৮০০টি
  4. ঘ
    ৮৫০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার ও প্রস্থ ৪০ মিটার। মাঠের ভিতরে চারপাশে ৭.৫ মিটার চওড়া একটি গ্যালারি আছে। গ্যালারির প্রতি ১.৫ বর্গমিটার জায়গায় একটি চেয়ার বসানো গেলে, উক্ত গ্যালারিতে কয়টি চেয়ার বসানো যাবে? 

সমাধান:
মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) = ২০০০ বর্গমিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ - (২ × ৭.৫) = ৩৫ মিটার
গ্যালারি বাদে মাঠের প্রস্থ = ৪০ - (২ × ৭.৫) = ২৫ মিটার

গ্যালারি বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গমিটার
গ্যালারির ক্ষেত্রফল =(২০০০ - ৮৭৫) = ১১২৫ বর্গমিটার

∴ মোট চেয়ার বসানো যাবে = ১১২৫/১.৫ টি
= ৭৫০টি
৪,৭৯০.
চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?
  1. ক
    ২ : ৫০ টা 
  2. খ
    ৩ : ৪০ টা 
  3. গ
    ৪ : ৪০ টা 
  4. ঘ
    ৫ : ২০ টা 
  5. ঙ
    ৪ : ০০ টা 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো একবার দুপুর ১২.৪০ টায় বাজার পর পুনরায় একত্রে বাজবে= ১২.৪০ টা + ৩ ঘণ্টা
= ৩ টা ৪০ মিনিটে

৪,৭৯১.
x = 3 + 2√2 হলে, x + (1/x) এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4√2
  3. গ
    6√2
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 3 + 2√2 হলে, x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x = 3 + 2√2

∴ 1/x = 1/(3 + 2√2)
= (3 - 2√2)/{(3 - 2√2)(3 + 2√2)}
= (3 - 2√2)/(9 - 8)
= 3 - 2√2

∴ x + (1/x) = 3 + 2√2 + 3 - 2√2
= 6
৪,৭৯২.
9 + 7 + 5 + 3 ............ ধারাটির কয়টি পদের সমষ্টি -144 ?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 19
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n2 - 10n - 144 = 0
বা, n2 - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) =0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

৪,৭৯৩.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২৯৬ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?
  1. ক
    ১৪৪ মিটার
  2. খ
    ২৫৬ মিটার
  3. গ
    ২৮৮ মিটার
  4. ঘ
    ৩০০ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২৯৬ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১২৯৬ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য= √১২৯৬ মিটার
= ৩৬ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = (৪ × বাহু) মিটার
= (৪ × ৩৬) মিটার
= ১৪৪ মিটার
৪,৭৯৪.
১০% চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ২০০ টাকার ২ বছরের সুদে-আসলে কত টাকা হয়?
  1. ক
    ক) ২৪২ টাকা
  2. খ
    খ) ২৩৬ টাকা
  3. গ
    গ) ২২০ টাকা
  4. ঘ
    ঘ) ২৫৬টাকা
ব্যাখ্যা
এখানে,
আসল p = ২০০ টাকা,
সময় n = ২ বছর,
সুদের হার r = ১০%

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = p(১ + r)n
= ২০০ × (১ + ১০/১০০)২
= ২০০ × (১১০×১১০)/(১০০×১০০)
=  ২৪২ টাকা 
৪,৭৯৫.
4 : 30 মিনিটে ঘড়ির ঘণ্টার ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত? 
  1. ক
    ক) 30°
  2. খ
    খ) 45°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 75°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = | (11 × M - H × 60 )/2 |°

নির্ণেয় কোণ = | ( 11 × 30 -  60 × 4)/2 |°
                   = ।330 - 240/2 |°     
                   = 90°/2
                   = 45°
৪,৭৯৬.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 
  1. ক
    ক) 2 মিটার
  2. খ
    খ) 3 মিটার
  3. গ
    গ) 4 মিটার
  4. ঘ
    ঘ) 5 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে 6√3 বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a2/4
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= √3(a + 2)2/4

প্রশ্নমতে,
{√3(a + 2)2/4} - {√3a2/4} = 6√3
(√3/4){(a + 2)2 - a2} = 6√3
a2 + 4a + 4 - a2 = 24
4a + 4 = 24
4a = 24 - 4
4a = 20
a = 5

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার
৪,৭৯৭.
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
  1. ক
    ক) ৯
  2. খ
    খ) ১২
  3. গ
    গ) ১৫
  4. ঘ
    ঘ) ১৮
ব্যাখ্যা
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১
এখানে,
n  = ৭ 
∴ মধ্যক = (n  + ১)/২ তম পদ 
               = (৭ + ১)/২ তম পদ 
                = ৮/২  তম পদ
               = ৪ তম পদ 
                = ১২
৪,৭৯৮.
পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৪
  4. ঘ
    ১৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৬ × ৫ 

সুতরাং,
সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬ 

এদের যোগফল, ৪ + ৫ + ৬ 
= ১৫
৪,৭৯৯.
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত?
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ১১ 
  3. গ
    ১৩ 
  4. ঘ
    ১৫ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

৪,৮০০.
১ মিটার সমান কত ইঞ্চি?
  1. ক
    ক) ৩৬ ইঞ্চি
  2. খ
    খ) ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
  3. গ
    গ) ৩৯.৫৭ ইঞ্চি
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬.৫ ইঞ্চি
ব্যাখ্যা
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)
১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)
১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)
১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)
১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)