গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, প্রস্থ ৬ মিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
প্রস্থ ৬ মিটার 
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য^২+ প্রস্থ^২)
= √(ক^২+ ৬^২) মিটার
= √(ক^২+ ৩৬) মিটার

শর্তমতে,
√(ক^২+ ৩৬) = ১০
বা, ক^২+ ৩৬ = ১০^২
বা, ক^২= ১০০ - ৩৬
বা, ক^২= ৬৪
বা, ক = √৬৪
∴ ক = ৮

তাহলে, আয়তাকার ক্ষেত্রের  দৈর্ঘ্য ৮ মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা 10 মিটার এবং আয়তন 500π ঘন মিটার। ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 10 মিটার
আয়তন, V = 500π ঘন মিটার

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে,
πr²h = 500π
⇒ r² = 500/10
⇒ r² = 50
⇒ r = √50
∴ r = 5√2

সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 5√2  মিটার। 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 + ............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 512 
বা, 2ⁿ = 512 
বা, 2ⁿ = 2⁹ 
∴ n = 9 

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512. 

1/(log_a(abc)) + 1/(log_b(abc)) + 1/(log_c(abc))
= log_ka/(log_k(abc)) + log_kb/(log_k(abc)) + log_kc/(log_k(abc))
= (log_ka + log_kb + log_kc)/( log_k(abc)) {সূত্র log_aM= (log_bM)/(log_ba)}
= ( log_k(abc)) / ( log_k(abc))
= 1

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার। বাগানটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 120 মিটার এবং প্রস্থ 90 মিটার।

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 120 × 4 = 480 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (90 - 4) × 4 = 344 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 + 344) বর্গমিটার
= 824 বর্গমিটার

প্রশ্ন: p² - r² + q² - 2pq এর সঠিক উৎপাদক কোনটি?     

সমাধান:
p² - 2pq + q² - r²
=(p - q)² - (r)²
=(p - q + r) (p - q - r)

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সংখ্যাগুলো ১ এবং সেই সংখ্যাটি ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তারাই মৌলিক সংখ্যা।

৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = ৭ টি।
সুতরাং, ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা হলো ৭ টি।

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

a³ - 21a -20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a ( a + 1) - 20(a + 1)
= (a+1)(a² -a - 20)

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২।
∴ (৫১ + ১)/২ = ২৬

৮০+১৬ = ৯৬
৯৬+১৬ = ১১২
১১২+১৬ = ১২৮
অর্থাৎ শূন্যস্থানে ৯৬ বসবে।

প্রশ্ন: ৬৩ টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে ৭৩ টাকা কেজি দরের চা কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রিত চায়ের প্রতি কেজির দাম ৬৫.৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি,
৬৩ টাকা কেজি দরের চা = x কেজি
৭৩ টাকা কেজি দরের চা = y কেজি

প্রশ্নমতে,
 ৬৩x + ৭৩y = ৬৫.৫(x + y)
⇒ ৬৫.৫x + ৬৫.৫y = ৭৩y + ৬৩x
⇒ ৬৫.৫x - ৬৩x = ৭৩y - ৬৫.৫y
⇒ ২.৫x = ৭.৫y
⇒ x/y = ৭.৫/২.৫
⇒ x : y = ৩ : ১

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 5 এবং a² + b² + c² = 9 হয়, তবে ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 5
এবং 
a² + b² + c² = 9 

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = {(5)2 - 9}
বা, 2(ab + bc + ca) = (25 - 9)
বা, 2(ab + bc + ca) = 16
বা, (ab + bc + ca) = 16/2
∴ (ab + bc + ca) = 8

পুরস্কার বিতরণ করার উপায় =(লোকসংখ্যা)^{পুরস্কার} = 10 ³= 1000

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3}
⇒ (p/q)^{3x - 7} = (p/q)^{-(x - 3)}
⇒ 3x - 7 = -(x - 3)
⇒ 3x - 7 = -x + 3
⇒ 3x + x = 3 + 7
⇒ 4x = 10
∴ x = 10/4 = 2.5

প্রশ্ন: জনাব রহিম একটি সঞ্চয় স্কিমে ১৫,০০০ টাকা বিনিয়োগ করলেন। ব্যাংক তাকে বার্ষিক ১০% হারে মুনাফা প্রদানের নিশ্চয়তা দিল। ২ বছর পর তিনি দেখলেন যে, মুনাফা যদি সরল হারের বদলে চক্রবৃদ্ধি হারে হিসাব করা হতো, তবে তিনি কিছু টাকা বেশি পেতেন। মুনাফার সেই পার্থক্যের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ১৫,০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = (P × r × n)/১০০
= (১৫,০০০ × ১০ × ২)/১০০
= ৩,০০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r/১০০)ⁿ
= ১৫,০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ১৫,০০০ × (১১০/১০০)^২
= ১৫,০০০ × (১১/১০) × (১১/১০)
= ১৫০ × ১২১
= ১৮,১৫০ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P = ১৮,১৫০ - ১৫,০০০ = ৩,১৫০ টাকা

∴ মুনাফার পার্থক্য = ৩,১৫০ - ৩,০০০ = ১৫০ টাকা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

 অতিভূজ ৫ সে.মি. এবং লম্ব ৩ সে.মি. হলে,
ভূমি = √(৫^২ - ৩^২)= ৪ সে.মি.

∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ৪+৪ = ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: ৬% হারে নয় মাসে ১,০০০ টাকার উপর সুদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = ১০০০, 
R = ৬%, 
T = ৯ মাস = ৯/১২ বছর = ০.৭৫

সরল সুদ সূত্র:
SI = (P × R × T)/১০০
= (১০০০ × ৬ × ০.৭৫)/১০০
= ৪৫০০/১০০
= ৪৫

∴ ৬% হারে নয় মাসে ১,০০০ টাকার উপর সুদ ৪৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 21 মিটার। চাকাটি 924 মিটার পথ অতিক্রম করতে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাসার্ধ r = 21 মিটার
∴ চাকার পরিধি = 2πr = 2 × (22/7) × 21
= 132 মিটার
ফলে চাকাটি একবার ঘুরলে 132 মিটার যায়।

∴ 924 মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে = 924/132 = 7 বার

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: |x + 4| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 4 ≤ 7
⇒ - 7 - 4 ≤ x ≤ 7 - 4
⇒ - 11 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

৬০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ ১২০° কোণের এক চতুর্থাংশ = ১২০°/৪ = ৩০°

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 41 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 41 এবং a + b = 9

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ (9)² = 41 + 2ab
⇒ 81 = 41 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 41
⇒ 2ab = 40
⇒ ab = 40/2
⇒ ab = 20

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - (3 × 20 × 9)
= 729 - 540
= 189

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগে উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু = 5টি
আমরা জানি,
ত্রিভুজ গঠনের জন্য 3টি শীর্ষবিন্দু প্রয়োজন।

এখন,
পঞ্চভুজের 5টি বিন্দু থেকে 3টি বিন্দু নিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ⁵C₃
= 5!/3!(5 - 3)!
= 5!/(3! × 2!) 
= (5 × 4 × 3!)/(3! × 2 × 1)
= 20/2
= 10

∴ উৎপন্ন ত্রিভুজের সংখ্যা 10টি।

প্রশ্ন: যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y) = 7 এবং xy = 10

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = 7² - (4 × 10)
⇒ (x - y)² = 49 - 40
⇒ (x - y)² = 9
⇒ x - y = √9
∴ x - y = 3

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ৩৬ হলে, এর মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি = ৯ এবং 
৩য় রাশি = ৩৬ 
মধ্য সমানুপাতী = ? 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ৩৬
⇒ মধ্য রাশি = √৩২৪
∴ মধ্য রাশি = ১৮ । 

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো-  ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০
মোট উপাত্ত, n = ৫ টি

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ = (৫ + ১)/২ = ৬/২ = ৩য় পদ

∴  ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর
মধ্যক = ৩য় পদ অর্থাৎ ১২

ক = ৩ এবং খ = ২ হলে,
ক+ক = খ+খ+খ অর্থাৎ, ৬ = ৬ হয়। এবং ক+খ = ৩+২ = ৫ হয়।
এখন, ক^২+ খ^২ = ৯+৪ = ১৩।

প্রশ্ন: যদি p = 4 এবং q = 3 হলে, p - [q - {p - (q - 1)}] এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4 এবং q = 3

প্রদত্ত রাশি, 
p - [q - {p - (q - 1)}]
= p - [q - {p - q + 1}]
= p - [q - p + q - 1]
= p - [2q - p - 1]
= p - 2q + p + 1
= 2p - 2q + 1
= 2(4) - 2(3) + 1
= 8 - 6 + 1
= 3

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ১৫টি লেবু যে দামে ক্রয় করে, ১২টি লেবু সেই দামে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
ধরি, ১৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ক টাকা।
∴ ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ক/১৫ টাকা

আবার, ১২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ক টাকা
∴ ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ক/১২ টাকা

∴ প্রতি লেবুতে লাভ = (ক/১২) - (ক/১৫)

= (৫ক/৬০) - (৪ক/৬০)
= ক/৬০ টাকা

ক/১৫ টাকায় লাভ হয় = ক/৬০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ = (ক/৬০) × (১৫/ক) = ১/৪ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ = (১/৪) × ১০০ = ২৫ টাকা

সুতরাং, শতকরা লাভ = ২৫%

প্রশ্ন: বৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দুতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান: 
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
 

প্রশ্ন: একটি ফুটবলের ব্যাস 6 ইঞ্চি হলে, ফুটবলের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস, d = 6 ইঞ্চি
ব্যাসার্ধ, r = 6/2 = 3 ইঞ্চি

ফুটবল হল একটি গোলক, এবং গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র হল = (4/3)πr³
= (4/3) × 3.1416 × (3)³
= 36 × 3.1416
= 113.09 ঘন ইঞ্চি

∴ ফুটবলের আয়তন 113.09 ঘন ইঞ্চি