গাণিতিক যুক্তি

প্রতি ট্রিপে অবশ্যই রাজু সাহেবকে থাকতে হবে।
∴ ভ্রমন করার মোট উপায় ^(10-1)c_(5-1)
= ⁹c₄
= 126

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে কমলাপুর স্টেশন থেকে নারায়ণগঞ্জ স্টেশনে পৌঁছাল। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগত। দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, কমলাপুর থেকে নারায়ণগঞ্জের দূরত্ব = d কি.মি.

তাহলে, বেগ ৩০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/30 ঘণ্টা
এবং বেগ ২৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/25 ঘণ্টা

আবার, 
25 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে 10 মিনিট বেশি সময় লাগে।
∴ 10 মিনিট = 10/60 = 1/6 ঘণ্টা

প্রশ্নানুসারে,
(d/25) - (d/30) = 1/6
⇒ (6d - 5d)/150 = 1/6
⇒ d/150 = 1/6
⇒ d = 150 × (1/6)
∴ d = 25 কি.মি.

সুতরাং, দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 25 কিলোমিটার। 

এখানে a = 3, d = 2,
সুতরাং ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)×2
= 2n + 1

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির ৭ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৭ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৭ - ১
= ১২৮ - ১ = ১২৭ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

সুতরাং, তিনি ১ বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে ১২৭ উপায়ে পারেন।

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, ‍x + 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x⁴ + 2x² + 1 = 5x² 
⇒ x² + 2 + 1/x² = 5 
⇒ x² + 1/x² = 5 - 2 
⇒ x² + 1/x² = 3 
⇒ (x + 1/x)² – 2.x.(1/x) = 3 
⇒ (x + 1/x)² = 3 + 2
⇒ (x + 1/x)² = 5 
∴ x + 1/x = √5

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

সমাধান:
মনে করি,
x/y + p = y/x
বা, p = y/x - x/y
বা, p = (y² - x²) / xy

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}
= {3, 4, 5, 6, 7}
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {1, 3, 5, 7}
∴ A∩B = {3, 5, 7}

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
 x² - y² + 4y - 4 
= x² - (y² - 4y + 4) 
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²} 
= x² - (y - 2)² 
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)} 
= (x + y - 2) (x - y + 2) 

x² - y² - 2x + 1
= (x² - 2x + 1) - y²
= (x - 1)² - y²
= (x + y - 1)(x - y - 1)

২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০+২০) টাকা = ১২০ টাকা
মোট উৎপাদন খরচ = (৮০,০০০ + ৭৫,০০,০০০)
                          = ৭৫,৮০,০০০ টাকা
উৎপাদন খরচ ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
উৎপাদন খরচ ৭৫,৮০,০০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য = (১২০×৭৫,৮০,০০০)/১০০ টাকা 
                                                                 = ৯০,৯৬,০০০ টাকা
৫০,০০০ ব্যাগ সিমেন্টের বিক্রয়মূল্য = ৯০,৯৬,০০০ টাকা
∴ ১           ''         ''              ''       = ১৮১.৯২ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ এবং এদের গ.সা.গু. ৬ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

​সমাধান: 
​ধরি,
​সংখ্যা দুইটি ৪ক এবং ৫ক

​∴ এদের গ.সা.গু. = ক
এবং ​ল.সা.গু = ২০ক

​প্রশ্নমতে,
​ক = ৬

​​∴ ল.সা.গু = ২০ক
​= ২০ × ৬ = ১২০

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ১ ঘণ্টা, ২ ঘণ্টা ও ৩ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১, ২ ও ৩ এর ল.সা.গু = ৬
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ৬ ঘণ্টা পর।

∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/৬) বার 
= ৪ বার 

১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘন্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘন্টাটি সর্বোচ্চ ৪ বার বাজবে। 

(x - y)/xy + (y - z)/yz + (z - x)/zx
= (zx - yz + xy - zx + yz - xy)/xyz
= 0/xyz
= 0

(x - y)²  = x² + y² -2xy
= 14 - 6
= 8

একই চাপের উপর দন্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোণ সমান।
AD চাপের উপর দন্ডায়মান ∠ACD ও ∠ABD পরস্পর সমান।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার, প্রস্থ ৩ মিটার এবং উচ্চতা ২ মিটার হলে বস্তুটি কত লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হবে?

সমাধান:
এখানে, 
দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার = ৫০০ সে.মি.
প্রস্থ = ৩ মিটার = ৩০০ সে.মি.
উচ্চতা = ২ মিটার = ২০০ সে.মি.

∴ আয়তন = (৫০০ × ৩০০ × ২০০) ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০ ঘন সে.মি.
= ৩০০০০০০০/১০০০ লিটার 
= ৩০০০০ লিটার                                [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2)× কর্ণদ্বয়ের গুনফল
বা, 120 = (1/2)× ২য় কর্ণ × 24
বা, 120/24 =(1/2)× ২য় কর্ণ = অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য
বা, অপর কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু হতে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য = 5 cm.

যেহেতু, সমীকরনটির একটি মূল ২
∴ a(2)³ + a.2 + 10 = 0
বা, 8a + 2a + 10 = 0
বা, 10a + 10 = 0
বা, a + 1 = 0
∴ a = -1

গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/ মোট সময়
= (৬+৬)/(২+৪) = ১২/৬ = ২ মাইল/ঘণ্টা

(2^{x + 4} - 4.2^{x + 1})/2^{x + 2}
= (2^x.2⁴ - 2².2^x.2)/2^x.2²
= (16.2^x - 8.2^x)/4.2^x
= (16 - 8)/4
= 8/4
= 2

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।
S = n/2{2a + (n- 1)d}
= 20/2 {2 x 7+ (20-1)6}
= 10 (14+114)
= 10 x 128
= 1280

প্রশ্ন: a² - b² + 4bc - 4c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 4bc - 4c²
= a² - {b² - 2.b.2c + (2c)²}
= a² - (b - 2c)²
= (a + b - 2c) (a - b + 2c)

প্রশ্ন: ²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2} হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
²ⁿC_r = ²ⁿC_{r + 2}
⇒ ²ⁿC_{2n - r} = ²ⁿC_{r + 2}
⇒ 2n - r = r + 2
⇒ 2n - 2 = 2r
⇒ 2r = 2(n - 1) 
∴ r = n - 1

১২ জনে আয় করে = ৪ দিনে
∴ ৮ জনে আয় করে = (৪X১২)/৮ দিনে।
= ৬ দিনে।

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে সুদে-আসলে ৬০০০ টাকা, যেখানে সুদ, আসলের ১/৪ অংশ। সুদের বার্ষিক হার কত?

সমাধান:
আসল = P
সময়,n = ৫ বছর
সুদ = আসলের ১/৪ অংশ = (১/৪) × P
মোট টাকা (সুদ + আসল) = ৬০০০ টাকা

অর্থাৎ,
P + (১/৪)P = ৬০০০
বা, P(১ + ১/৪) = ৬০০০
বা, P(৫/৪) = ৬০০০
বা, P = (৬০০০ × ৪)/৫
∴ P = ৪৮০০ টাকা

∴ সুদ = (১/৪) × ৪৮০০ = ১২০০ টাকা

আমরা জানি, 
SI = (P × r × t)/১০০
বা, ১২০০ = (৪৮০০ × r × ৫)/১০০
বা, ১২০০ = (২৪০০০ × r)/১০০
বা, r = (১২০০ × ১০০)/২৪০
∴ r = ৫

∴বার্ষিক সুদের হার ৫%।

লসাগু = ৪৯৫, গসাগু = ৫
মনে করি, সংখ্যা দুটি, ৫ক এবং ৫খ
লসাগু = ৫কখ = ৪৯৫
সুতরাং, কখ = ৯৯
এখানে, ১, ৯৯ - ৯, ১১ - ৩, ৩৩ এরকম সম্ভাব্য মান হতে পারে।
সেক্ষেত্রে,
সংখ্যা দুটি হবে,
৫, ৪৯৫
৪৫, ৫৫
১৫, ১৬৫
যেহেতু, দেয়াই আছে যে যোগফল ১০০ তাই বুঝাই যাচ্ছে যে নির্ণেয় সংখ্যা দুটি ৪৫ এবং ৫৫। তাই, পার্থক্য, ৪৫ - ৫৫ = ১০।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ২৩ মিটার বড়। আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ২০৬ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান: 
মনে করি, 
আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 
∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (x - ২৩) মিটার
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = ২{x + (x - ২৩)} মিটার
= ২(২x - ২৩) মিটার
= (৪x - ৪৬) মিটার

প্রশ্নমতে,
৪x - ৪৬ = ২০৬
বা, ৪x = ২০৬ + ৪৬ 
বা, ৪x = ২৫২ 
বা, x = ২৫২/৪ 
∴ x = ৬৩
 আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = ৬৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = (৬৩ - ২৩) মিটার
= ৪০ মিটার। 

প্রশ্ন: pq নামীয় একটি কোম্পানীর ৩৬০০ জন চাকুরিজীবীর মধ্যে ১/৩ অংশ কম্পিউটার অপারেটর। যদি কম্পিউটার অপারেটরদের মধ্যে ১/৩ অংশ হ্রাস করা হয় তাহলে অবশিষ্ট চাকুরিজীবীদের শতকরা কতজন কম্পিউটার অপারেটর থাকবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট চাকুরিজীবী = ৩৬০০ জন
কম্পিউটার অপারেটর = ৩৬০০ এর ১/৩ অংশ
= ৩৬০০/৩
= ১২০০ জন

আবার, 
এখন কম্পিউটার অপারেটরদের ১/৩ অংশ হ্রাস করা হলে,
হ্রাস পাবে = ১২০০ × (১/৩) জন 
= ৪০০ জন

∴ অবশিষ্ট কম্পিউটার অপারেটর = ১২০০ - ৪০০ = ৮০০ জন
∴ হ্রাসের পর মোট অবশিষ্ট চাকুরিজীবী = ৩৬০০ - ৪০০ = ৩২০০ জন

এখন অবশিষ্ট চাকুরিজীবীদের মধ্যে কম্পিউটার অপারেটরের শতকরা হার = (৮০০/৩২০০) × ১০০%
= (৮/৩২) × ১০০%
= (১/৪) × ১০০%
= ২৫%

অর্থাৎ, অবশিষ্ট চাকুরিজীবীদের ২৫% কম্পিউটার অপারেটর। 

দেওয়া আছে, x : y = a : b
বা, 6 : 5 = 42 : b
বা, b = (42×5)/6 = 35