গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিন 3 টাকা দান করে এবং প্রতিদিন তার দানের পরিমাণ আগের দিনের দ্বিগুণ হয়। 10 দিন পর্যন্ত সে মোট কত টাকা দান করেছে?

 সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 2
এবং মোট দিন, n = 10

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা সমষ্টি,  Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)  ; [r > 1] 
S₁₀ = 3 × (2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 3 × (1024 - 1)
= 3 × 1023
= 3069 টাকা

সুতরাং, ঐ  ব্যক্তি 10 দিনে মোট 3069 টাকা দান করেছেন। 

প্রশ্ন: x = 2 + √3 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2 + √3
⇒ 1/x = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/(2 + √3)(2 - √3)
= (2 - √3)/(2² - √3²)
= (2 - √3)/(4 - 3)
= 2 - √3

এখন,
x + 1/x
= 2 + √3 + 2 - √3
= 4

আমরা জানি,
x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: যদি log_x 2500 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x 2500 = 4
⇒ x⁴ = 2500
⇒ x⁴ = 625 × 4
⇒ x⁴ = 5⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 5⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (5√2)⁴
∴ x = 5√2

প্রশ্ন: দুইটি সমান্তরাল রেখা পরস্পরকে কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান: 

 
সমান্তরাল রেখা পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + ১)/২
∴ ১ থেকে ৮০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {৮০ × (৮০ + ১)}/২
= (৮১ × ৮০)/২
= ৮১ × ৪০
= ৩২৪০

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, x⁴/x² - x²/x² + 1/x² = 0
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি খেলনা ৯০০ টাকায় বিক্রি করায় তার কিছু ক্ষতি হলো। যদি তিনি খেলনাটি ১২০০ টাকায় বিক্রি করতেন, তবে তার যত টাকা ক্ষতি হয়েছিলো তার ২০০% লাভ হতো। খেলনাটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান: 
ধরি,
৯০০ টাকায় বিক্রি করলে ক টাকা ক্ষতি হয়।
∴ ক্রয়মূল্য = (৯০০ + ক) টাকা

আবার, 
১২০০ টাকায় বিক্রয় করায় লাভ হয় = (ক এর ২০০/১০০)টাকা = ২ক টাকা
∴ ক্রয়মূল্য = ১২০০ - ২ক

প্রশ্নমতে,
৯০০ + ক = ১২০০ - ২ক
⇒ ক + ২ক = ১২০০ - ৯০০
⇒ ৩ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৩ 
∴ ক = ১০০

∴ ক্রয়মূল্য = ৯০০ + ১০০ = ১০০০ টাকা

সুতরাং, খেলনাটির ক্রয়মূল্য = ১০০০ টাকা। 

ধরি, f(p) = p² + 7p + c
f(p), (p-5) দ্বারা বিভাজ্য হলে f(5) = 0 হবে।
এখন, f(5) = 5² + 7.5 + c
প্রশ্নমতে,
5² + 7.5 + c = ০
25+ 35 + c = 0
C = - 60

উপাত্তগুলো = ২, ৫, ৯, ১০, ৪, a মোট ৬টি
মানের ক্রমানুসারে সাজালে = ২, ৪, ৫, ৯, ১০ এবং a
∴ মধ্যক ৬ = (৫ + অন্য একটি সংখ্যা)/২
এখানে a ছাড়া অন্য কোনটা ধরলে মধ্যক ৬ হয় না। সুতরাং ধরে নেয়া যায় যে সংখ্যাটি a হবে।
∴ (৫+a)/২ = ৬
বা, ৫+a = ১২
∴ a = ৭

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভেতরে একটি বৃত্ত এমনভাবে আঁকা হয়েছে যে বৃত্তটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করে। ত্রিভুজটির দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি ও ২৪ সেমি। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2 
যেখানে a ও b হলো কোণটির সংলগ্ন বাহু, আর c হলো অতিভুজ

দেওয়া আছে, 
সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে, 
10 সে.মি. এবং 24 সে.মি.

অতিভুজ, c = √(a² + b²)
= √(10² + 24²)
= √(100 + 576)
= √676
= 26 সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
r = (a + b - c)/2
= (10 + 24 - 26)/2
= 8/2
= 4 সে.মি.

সুতরাং, অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 4 সে.মি.। 

লব ক হলে হর ক+২,
সুতরাং ভগ্নাংশটি ক/(ক+২)

প্রশ্নমতে, {(ক - ৩)/(ক + ২ - ৩)} + ১/৪ = ১
বা, (ক - ৩)/(ক - ১) = ১ - (১/৪) = ৩/৪
বা, ৪ক - ১২ = ৩ক - ৩
বা, ক = ৯
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ ৯/(৯ + ২) = ৯/১১

প্রশ্ন: একটি আয়তকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১১৫২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ক মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২ক × ক) বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

শর্তমতে,
২ক^২ = ১১৫২
বা, ক^২ = ৫৭৬
∴ ক = ২৪

অর্থাৎ, আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ২৪ × ২ = ৪৮ মিটার

∴ আয়তাকার বাগানের পরিসীমা= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৪৮ + ২৪) মিটার
= ২ × ৭২ মিটার
= ১৪৪ মিটার

অতএব, আয়তাকার বাগানের পরিসীমা ১৪৪ মিটার।

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

সমাধান: 
শুধু বিজ্ঞানে ফেল করে = (৫২ - ২৭)% 
= ২৫% 

আবার, 
শুধু অঙ্কে ফেল করে = (৪০ - ২৭)% 
= ১৩% 

∴ শুধু বিজ্ঞান অথবা অঙ্ক বা উভয় বিষয়ে মোট ফেল করে = (২৫ + ১৩ + ২৭)% 
= ৬৫% 

∴ শতকরা পাস করে = (১০০ - ৬৫)% 
= ৩৫% ।

x^x√x = (x√x)^x
বা, (x^x)^√x = (x . x^1/2)^x
বা, (x^x)^√x = (x^3/2)^x
বা, (x^x)^√x = (x^x)^3/2
বা, √x=3/2
বা, x = (3/2)²
সুতরাং, x = 9/4

প্রশ্ন: হানিফের বয়স আরাফের বয়সের 1/2 অংশ। জিদনি আরাফের চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, জিদনির বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, আরাফের বয়স y বছর 
হানিফের বয়স y/2 বছর 
জিদনির বয়স y + 3 বছর

প্রশ্নমতে, 
y + (y/2) + (y + 3) ≤ 25
⇒ 2y + (y/2) + 3 ≤ 25 
⇒ (4y + y + 6)/2 ≤ 25
⇒ 5y + 6 ≤ 25 × 2 
⇒ 5y ≤ 50 - 6
⇒ y ≤ 44/5
⇒ y ≤ 8.8
⇒ y + 3 ≤ 8.8 + 3 
∴ y + 3 ≤ 11.8

অতএব, জিদনির বয়স ≤ 11.8 বছর

প্রশ্ন: log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀8 + log₁₀(3b + 1) = log₁₀(2b + 3) + 1
⇒ log₁₀8 + log₁₀(3b + 1)] = log₁₀(2b + 3) + log₁₀10
⇒ log₁₀{8 × (3b + 1) = log₁₀{10 × (2b + 3)} [log_a​M+log_a​N=log_a​(M×N)]
⇒ log₁₀(24b + 8) = log₁₀(20b + 30)
⇒ (24b + 8) = (20b + 30)
⇒ 24b - 20b = 30 - 8
⇒ 4b = 22
⇒ b = 22/4
∴ b = 11/2

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে, যদি AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি. হয়, তাহলে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC-তে,
AB = AC = 26 সে.মি. এবং BC = 20 সে.মি.।

এই ত্রিভুজ ABC তে, ∆ADC = 90° ( সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বিপরীত শীর্ষ থেকে অসম বাহুর মধ্যবিন্দুতে অঙ্কিত রেখা দ্বারা গঠিত কোণ হল 90°)

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
AD² + BD² = AB²
⇒ AD² = 26² - 10²
⇒ AD2 = 676 - 100
⇒ AD² = 576
⇒ AD = √576 = 24
∴ AD = 24 সে.মি.

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (ভূমি × উচ্চতা)
= (1/2) ×(20 × 24)
= 240 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং এর উচ্চতা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 সে.মি. বেশি হলে, কোণকের আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 5 সে.মি.
কোণকের উচ্চতা, h = (2 × 5 + 2) সে.মি.
= 12 সে.মি.

আমরা জানি, 
কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h
 (1/3)π × 5² × 12
= (1/3)π × 25 × 12
= π × 25 × 4
= 100π cm³

সুতরাং, কোণকের আয়তন 100π cm³

প্রশ্ন: ২০-এর কত শতাংশ ৩০ হবে?

সমাধান:
ধরি, ২০-এর ক শতাংশ = ৩০

তাহলে, (২০ × ক)/১০০ = ৩০
⇒ ক = (৩০ × ১০০)/২০

∴ ক = ১৫০%

log₂64
= log₂2⁶
= 6 × log₂2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা বেশি হলে বিক্রেতার ১০% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১৫% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা
১০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১১০ - ৮৫ = ২৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা বেশি হয় যখন ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৬০)/২৫ টাকা
= ১৪৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সেমি। বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সেমি।
প্রশ্নমতে,
πr² = 616
⇒ (22/7) × r² = 616
⇒ r² = (616 × 7) / 22
⇒ r² = 28 × 7
⇒ r² = 196

বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ব্যাসার্ধ)²
= r²
= 196 বর্গ সেমি।

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল 196 বর্গ সেমি।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x
এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y  
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a² + (1/a)²
= (a - 1/a)² + 2. a. 1/a
= 3² + 2
= 9 + 2
∴ a² + (1/a)² = 11
বাঁ, {(a² + (1/a)²}²= 11²
বাঁ, a⁴ + 2.a².1/a² + (1/a)⁴ = 121
∴ a⁴ + (1/a)⁴ = 121 - 2 = 119

Ratio of the speed of A, B and C = 6 : 3 : 1
Then, ratio of time taken= 1/6 : 1/3 : 1 = 1 : 2 : 6
Hence, time taken by A = 72/6 = 12 minutes.

সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (১০০ × ৭০) = ৭০০০
এবং ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০) = ৪৫০০

∴ ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৬০) = ৪০ জন
∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০) = ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০ = ৬২.৫

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার বেগ ৮ কি.মি./ঘণ্টা এবং স্রোতের বেগ ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা। একজন ব্যক্তি ১০৫ কি.মি. দূরত্বের একটি স্থানে নৌকা বেয়ে যায় এবং আবার শুরুর স্থানে ফিরে আসে। তার মোট সময় কত লাগবে?

সমাধান: 

স্থির পানিতে নৌকার বেগ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = ২.৫ কি.মি./ঘণ্টা
দূরত্ব = ১০৫ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে বেগ = ৮ + ২.৫ = ১০.৫ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ৮ − ২.৫ = ৫.৫ কি.মি./ঘণ্টা

যাওয়ার সময় = (১০৫/১০.৫) ঘণ্টা
= ১০ ঘণ্টা
আসার সময় = (১০৫/৫.৫) ঘণ্টা
= ১৯.০৯ ঘণ্টা

মোট সময় = (১০ + ১৯.০৯) ঘণ্টা
= ২৯.০৯ ঘণ্টা (প্রায়)   

একটি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে ২৫% লাভে এর বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা
ক্রয়মূল্য : বিক্রয়ময়ল্য = ১০০ : ১২৫ = ৪ : ৫

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল 1152 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (2x × x) = 2x² বর্গমিটার
পরিসীমা = 2(2x + x) = 6x মিটার

প্রশ্নমতে,
2x² = 1152
⇒ x² = 1152/2
⇒ x² = 576
∴ x = 24

সুতরাং, পরিসীমা = (6 × 24) = 144 মিটার।

প্রশ্ন: সুষম পঞ্চভুজের কোণগুলোর সমষ্টি সমান কত সমকোণ? 

সমাধান: 
পঞ্চভূজের কোণগুলোর সমষ্টি = (৫ - ২) × ১৮০° 
= ৫৪০° 
= ৫৪০°/৯০° 
= ৬ সমকোণ । 

প্রশ্ন: কোনো সেনাবাহিনীতে যদি আরো ১১ জন সৈন্য নিয়োগ করা যেত তবে তাদেরকে ২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সেনাবাহিনীতে কত জন সৈন্য ছিল? 

সমাধান: 
২০, ৩০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু = ৬০০
∴ নির্ণেয় সৈন্য সংখ্যা = (৬০০ - ১১) জন
= ৫৮৯ জন।

8 এর গু্ণনীয়ক = 1, 2, 4, 8
∴ সেট = {1, 2, 4, 8}

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 38π। এই বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 38π  
⇒ r = 38π/2π  
∴ r = 19

∴ বৃত্তের ব্যাস, d = 2r  
= 2 × 19  
= 38

বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণই বৃত্তের ব্যাস হবে।  
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a  
∴ কর্ণ = a√2  
⇒ a√2 = 38  
⇒ a = 38/√2  
⇒ a = (38 × √2)/(√2 × √2)  
⇒ a = (38√2)/2  
∴ a = 19√2

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a  
= 4 × 19√2  
= 76√2

অতএব, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 76√2

সার্বিক সেট U এর যেকোনো উপসেট A ও B হলে, দ্যা মরগ্যানের সূত্রঃ
১) (A ∪ B)' = A' ∩ B'
২) (A ∩ B)' = A' ∪ B'