গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে তুলনা করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সেগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা।
 ২/৫ = ০.৪
 ১/২ = ০.৫
 ৪/৫ = ০.৮
 ৪/৯ = ০.৪৪...

দশমিক মানগুলো তুলনা করলে আমরা দেখতে পাই যে ০.৮ সবচেয়ে বড়।

সুতরাং, ৪/৫ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: (2a^-1 + 3b^-1)^-1 এর মান কত?

সমাধান:
(2a^-1 + 3b^-1)^-1
= {2(1/a) + 3(1/b)}^-1 [যেহেতু a^-n = (1/aⁿ)]
= {(2/a) + (3/b)}^-1
= {(2b + 3a)/ab}^-1
= ab/(2b + 3a)

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36 এর মান কত?

সমাধান:
= 2log₅25 + 3log₇343 + 4log₆36
= 2log₅(5²) + 3log₇(7³) + 4log₆(6²)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₇7 + 4 × 2log₆6
= 4log₅5 + 9log₇7 + 8log₆6
= 4 × 1 + 9 × 1 + 8 × 1   [ log_aa = 1]
= 4 + 9 + 8
= 21

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
মোট ১০ টি সংখ্যা
∴ মধ্যক = ১০/২ এবং (১০/২ + ১) তম পদের গড়
= ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের গড়
= (১৫ + ১৮)/২
= ৩৩/২
= ১৬.৫

প্রশ্ন: 3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x + 6y = 12
⇒ 3(x + 2y) = 12
⇒ x + 2y = 12/3
⇒ x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - x
∴ y = (4 - x)/2

এখন, সমীকরণটিতে x ও y দুইটি চলক। x চলকের বিভিন্ন বাস্তব মানের জন্য y চলকের বিভিন্ন বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান অসীম। 
যেমন,
যদি x = 2 হয়, তবে, y = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
যদি x = 4 হয়, তবে, y = (4 - 4)/2 = 0/2 = 0
যদি x = - 2 হয়, তবে, y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
অর্থাৎ, এভাবে অসংখ্য জোড়া মান পাওয়া যায়।

প্রশ্ন:

সমাধান:
​
​

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী 90 জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণের চেয়ে 10 টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 5200 টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী = (90 - x) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (40 × 2 + 10) টাকা
= 80 + 10 = 90 টাকা

প্রশ্নমতে,
40x + 90(90 - x) = 5200
⇒ 40x + 8100 - 90x = 5200
⇒ 8100 - 50x = 5200
⇒ 50x = 8100 - 5200
⇒ 50x = 2900
⇒ x = 2900/50
∴ x = 58

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 90 - 58 = 32 জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x এবং y

প্রশ্নমতে,
x - y = ১০ ...........(1)

এবং,
x + y = ৪(x - y)
⇒ x + y = ৪(১০) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৪০ ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = ১০ + ৪০
⇒ ২x = ৫০
⇒ x = ৫০/২
⇒ x = ২৫

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
২৫ + y = ৪০
⇒ y = ৪০ - ২৫
⇒ y = ১৫

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ২৫ এবং ১৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ১২ এবং তাদের ল.সা.গু ৩০০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১২ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৫ × ১২)ক = ৬০ক

প্রশ্নমতে,
৬০ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৬০
⇒ ক = ৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১২ × ক = ১২ × ৫ = ৬০

৬৬(২/৩)%
= (২০০/৩)%
= (২০০/৩) × (১/১০০)
= ২/৩

BC||DE এবং AB ছেদক হলে ∠ADE = ∠ABC
ΔADE -এ ∠AEF = ∠DAE + ∠ADE = ∠DAE + ∠ABC

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + 25 + … ধারাটির কোন পদ 157?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Series)।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 157

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
7 + (n - 1) × 6 = 157
⇒ 6(n - 1) = 157 - 7
⇒ 6(n - 1) = 150
⇒ n - 1 = 150 / 6
⇒ n - 1 = 25
⇒ n = 25 + 1
∴ n = 26

∴ ধারাটির 26 তম পদ = 157

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৪৮ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৮৪। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে, প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৪৮
এবং দ্বিতীয় সংখ্যা × তৃতীয় সংখ্যা = ৮৪
দেখা যাচ্ছে যে, 'দ্বিতীয় সংখ্যা' উভয় গুণফলের মধ্যেই সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বিদ্যমান।

∴ ২য় সংখ্যাটি হবে ৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু

৪৮ এবং ৮৪ এর গ.সা.গু বের করি:

৪৮ = ২^৪ × ৩
৮৪ = ২^২ × ৩ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২^২ × ৩ = ১২
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১২

a + a^-1 = 2
বা, a + 1/a = 2
বা, a² + 1 = 2a
বা, a² - a + 1 = a
বা, 1/(a² - a + 1) = 1/a
বা, 2a/(a² - a + 1) = 2a/a
∴ 2a/(a² - a + 1) = 2

প্রশ্ন: 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

ধরি, প্রস্থ = x
∴ দৈর্ঘ্য = 2x
প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
বা, x = 16
সুতরাং পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(2×16 + 16) = 96 m.

প্রশ্ন: ২৩৪ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৮, ১২ এবং ১৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:

সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ২৩৪ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৮, ১২ ও ১৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৮, ১২ ও ১৮ এর ল.সা.গু বের করে ২৩৪ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

এখন, ৮, ১২ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ৭২

২৩৪ কে ৭২ দ্বারা ভাগ করলে,
৭২ × ৩ = ২১৬
অবশিষ্ট = ২৩৪ - ২১৬ = ১৮

যেহেতু ৭২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৭২ - ১৮ = ৫৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৫৪ ।

বিজয়ী প্রার্থী পায় ৫৫% ভোট আর পরাজিত প্রার্থী পায় ৪৫% ভোট। সুতরাং ভোটের পার্থক্য = (৫৫-৪৫)% = ১০%
এখানে ১০% = ১০,০০০
তাহলে ১০০% = ১,০০,০০।

প্রশ্ন: টাকায় ৭টি করে পণ্য ক্রয় করে টাকায় ৫টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হয়?

সমাধান:
৭টি পণ্যের ক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি পণ্যের ক্রয়মূল্য = ১/৭ টাকা

আবার, 
৫টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ১টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ লাভ = (১/৫) - (১/৭) টাকা
= (৭ - ৫)/৩৫
= ২/৩৫ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (২/৩৫)/(১/৭) × ১০০%
= (২/৫) × ১০০%
= ৪০%

সুতরাং, শতকরা ৪০% লাভ হয়। 

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)^২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
∴ n পদের সমষ্টি, s = a . {(১-rⁿ)/(১-r)}
= ০.১২ × {(১-(০.০১)ⁿ)/(১-০.০১)}
= ০.১২ × {(১-(১/১০০)ⁿ)/০.৯৯)}
= (০.১২/০.৯৯) × {১-(১/১০^২)ⁿ}
= (১২/৯৯) × {১-(১/১০^২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১-(১/১০^∞)}
= (৪/৩৩)(১-০)
= ৪/৩৩

মনে করি, দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'ক' টি।
তাহলে পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - ক) টি।
প্রশ্নমতে, ক × 2 + (100 - ক) × 5 = 440
বা, 2ক + 500 - 5ক = 440
বা, - 3ক = 440 - 500
বা, - 3ক = - 60
সুতরাং ক = 20
সুতরাং দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 20টি এবং পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - 20) বা, 80 টি।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে যদি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হয়, তবে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসকে ভূমি ধরে ত্রিভুজ অঙ্কন করলে, বৃত্তের ব্যাসের বিপরীত কোণ সর্বদা ৯০° হয়। এটি “বৃত্তের ব্যাস থিওরেম” বা Thales’ theorem দ্বারা প্রমাণিত। 

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। 

উৎস: Britannica [Link]

‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 10!/2!2!
‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
‘CHATTOGRAM’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা ‘CUMILLA’ শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার (10!/2!2!)/(7!/2!) গুণ বা 360 গুণ।

প্রশ্ন: যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20

প্রদত্ত রাশি, 
20p - 15q + 40r
= 20 × (7/10) - 15 × (4/5) + 40 × (11/20)
= (2 × 7) - (3 × 4) + (2 × 11)
= 14 - 12 + 22
= 2 + 22
= 24

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + 2 . a . 3 + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y + 1) 
=  (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

প্রশ্ন: যদি (x - y)² = 14, xy = 2, তবে  x ² + y ² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে
(x - y)² = 14 
xy = 2

আমরা জানি, 
x² + y² = (x - y)² + 2xy 
= 14 + (2 × 2)  
= 14 + 4 
= 18 

ত্রিভুজটির তিনটি কোণ বিষম আকৃতির হওয়ায় এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যও বিষম আকৃতির হবে।
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটি বিষমবাহু হবে।

প্রশ্নমতে, (৩ক + ১০)/(৭ক + ১০) = ১/২
বা, ৬ক + ২০ = ৭ক + ১০
বা, ক = ১০
সুতরাং, ছোটো সংখ্যাটি = ৩ক = ৩০

প্রশ্ন: যদি tan(x) = 1 হয়, তবে sin(x) - cos(-x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan(x) = 1
⇒ sin(x)/cos(x) = 1
⇒ sin(x) = cos(x)

∴ sin(x) - cos(-x)
= cos(x) - cos(-x)             
= cos(x) - cos(x)                    [∵ cos(- θ) = cosθ]
= 0 

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা এক পাইপ দিয়ে ৬ ঘণ্টায় ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ৪ ঘণ্টায়। দুইটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চার ১/২ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম পাইপ এবং ২য় পাইপ ১ ঘণ্টায় পূর্ন করে = (১/৬) + (১/৪)
= (২ + ৩)/১২ = ৫/১২ অংশ

এখন, 
৫/১২ অংশ পূর্ন করে = ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ন করে = ১২/৫ ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ন করে = (১২/৫) × ১/২ = ৬/৫ ঘণ্টায়

সুররাং, ১/২ অংশ ভর্তি করতে সময় লাগবে ৬/৫ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: 2x² + kx - 10 রাশিটির একটি উৎপাদক x - 5 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 2x² + kx - 10
x - 5, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(5) = 0 হবে।

∴ f(5) = 2(5)² + k(5) - 10
= 50 + 5k - 10
= 5k + 40

শর্তমতে,
5k + 40
⇒ 5k = - 40
⇒ k = - 40/5
∴ k = - 8

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪.৫% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?

সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা = ১৮ টাকা

সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা

∴ সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০ টাক
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৮২৬)/১১৮ টাকা
=  ৭০০ টাকা।

এখানে, Fibonacci সংখ্যা 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13................
এখানে, 8³ = 512
∴ {0, 1, 1, 2, 3, 5}
= {0, 1, 2, 3, 5}, n(A) = 5
∴ n{P(A)} = 2⁵ = 32

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
• sin(- θ) = - sinθ
• cos(- θ) = cosθ
• tan(- θ) = - tanθ
• cosec(- θ) = - cosecθ
• sec(- θ) = secθ
• cot(- θ) = - cotθ

প্রশ্ন: ২০ লিটার মিশ্রনে ২০% অ্যালকোহল এবং বাকিটা পানি আছে। যদি মিশ্রনে ৫ লিটার পানি যোগ করা হয় তবে মিশ্রনে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২০ লিটার
অ্যালকোহল = ২০%
পানি = (১০০ - ২০)% = ৮০% 

∴ মিশ্রণে অ্যালকোহলের পরিমাণ = ২০ এর ২০%
= ২০ এর ২০/১০০ = ৪ লিটার 

∴ পানির পরিমাণ = ২০ - ৪ = ১৬ লিটার

আবার,
৫ লিটার জল যোগ করার পর, 
নতুন পানি  = ১৬ + ৫ = ২১ লিটার
নতুন মোট মিশ্রণ = ৪ + ২১ = ২৫ লিটার

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = (৪/২৫) × ১০০% = ১৬% 

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = ১৬%

এখানে, ক × ৩/১০০ = ০.৩
বা, ৩ক = ৩০
বা, ক = ৩০/৩
বা, ক = ১০

প্রশ্ন: a = 5, b = 3, c = 6 এবং d = 2 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 5 + 3 - 6 + 2
= 4

যেহেতু সমদ্বিবাহু ত্রিভূজটির অতিভূজের দৈর্ঘ্য AC = ১৮ সেঃমিঃ
∴ AB = BC = ১৮/√২ সেঃমিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × AC × BC
= ১/২ × ১৮/√২ × ১৮/√২
= ১/২ × ১/২ × ১৮ × ১৮
= ৮১ বর্গসেঃমিঃ

প্রশ্ন: cos⁡45° ⋅ cos⁡15° + sin⁡45° ⋅ sin⁡15° = ? 
​
​সমাধান:
​আমরা জানি,
​cos⁡A cos⁡B + sin⁡A sin⁡B = cos⁡(A - B)
​
​এখন,
​cos⁡45° cos⁡15° + sin⁡45° sin⁡15° 
​= cos⁡(45° - 15°)
​= cos⁡30°
​= √3/2

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a² এবং পরিসীমা 3a।
শর্তমতে,
√3/4 × a² = 16√3
বা, a² = 16 × 4
বা, a² = 64
বা, a = 8
সুতরাং পরিসীমা = 3a
= 3 × 8
= 24 সে.মি.

প্রশ্ন: মনিরা বার্ষিক পরীক্ষায় ৮০% নম্বর পেয়েছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ৮০০ হলে, মনিরা পরীক্ষায় মোট কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরীক্ষায় মোট নম্বর = ৮০০
মনিরা পেয়েছে ৮০% নম্বর

আমরা জানি,
৮০% অর্থ হলো ১০০ নম্বরের মধ্যে ৮০ নম্বর।

সুতরাং,
১০০ এর মধ্যে নম্বর পায় ৮০
∴ ১ এর মধ্যে নম্বর পায় ৮০/১০০
∴ ৮০০ এর মধ্যে নম্বর পায় (৮০ × ৮০০)/১০০
= ৮০ × ৮
= ৬৪০

সুতরাং, মনিরা পরীক্ষায় মোট ৬৪০ নম্বর পেয়েছে।

এখানে, 
।x - 3। ≤ 5 
বা,- 5 ≤ x - 3 ≤ 5
বা,- 5 + 3 ≤ x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
∴, - 2 ≤ x ≤ 8