গাণিতিক যুক্তি

ধরি, অনু, মিম, নিঝুম ও জারিনের কাপড়ের পরিমাণ যথাক্রমে ৫ক, ৪ক, ৩ক এবং ২ক
প্রশ্নমতে, ৫ক+৪ক+৩ক+২ক = ৪২
বা, ১৪ক = ৪২
∴ ক = ৩ মিটার
অনু জারিন থেকে বেশি পেল = ৫ক - ২ক = ১৫-৬ = ৯ মিটার কাপড়

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭ : ২। পাঁচ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৮ : ৩। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, মাতার বর্তমান বয়স = ৭ক বছর
কন্যার বর্তমান বয়স = ২ক বছর

৫ বছর পরে, মাতার বয়স হবে = (৭ক + ৫) বছর
কন্যার বয়স হবে = (২ক + ৫) বছর

প্রশ্নমতে,
(৭ক + ৫)/(২ক + ৫) = ৮/৩
বা, ৩(৭ক + ৫) = ৮(২ক + ৫)
বা, ২১ক + ১৫ = ১৬ক + ৪০
বা, ২১ক - ১৬ক = ৪০ - ১৫
বা, ৫ক = ২৫
বা, ক = ২৫/৫
বা, ক = ৫

∴ মাতার বর্তমান বয়স = (৭ × ৫) বছর = ৩৫ বছর

ধরি, বিক্রয়মূল্য = ক
তাহলে ক্রয়মূল্য = ক এর ৪/৫ = ৪ক/৫
সুতরাং শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য)×১০০/ক্রয়মূল্য = {(ক - ৪ক/৫)×১০০/৪ক/৫} = ২৫%.

প্রশ্ন: (x/3) − (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x/3) − (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x − 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x − 6x = − 12
বা, 6x = − 12
বা, x = −12/6
∴ x = − 2

১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা         ''      ''        '' = ১০০/৮৮ টাকা
আবার ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০
    ''       ১     ''      ''       '' = ১১০/১০০
    ''   ১০০/৮৮ '' '' '' = (১১০×১০০) / (১০০×৮৮) = ১১০/৮৮
১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি মার্বেল
∴   ১         ''      ''        ''     '' = (৫×৮৮) / ১১০ = ৪ টি মার্বেল

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2Πr
প্রশ্নমতে, 2Πr = 23
=> r = 23/2Π
∴ r = 3.66

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে 3টি সাদা, 3টি লাল এবং 4টি নীল বল আছে। ব্যাগটি থেকে দৈবভাবে 2টি বল তুলে নেওয়া হলো। সবগুলো বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

প্রদত্ত:
মোট বলের সংখ্যা = 3 + 3 + 4 = 10টি

মোট সম্ভাব্য ফলাফল:
10টি বল থেকে 2টি বল নির্বাচন করার উপায়:
= ¹⁰C₂
= 10!/(2! × 8!)
= (10 × 9)/(2 × 1)
= 45

3টি সাদা বল থেকে 2টি সাদা বল নির্বাচন করার উপায়:
= ³C₂
= 3!/(2! × 1!)
= (3 × 2!)/(2! × 1)
= 3

P(দুইটি বলই সাদা) = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 3/45
= 1/15 

ⁿc_r = 120,
ⁿp_r = 240
বা, r! × ⁿc_r = 240
বা, r! × 120 = 240
বা, r! = 2 = 2!
∴ r = 2

15% of 578 + 22.5% of 644 = ((15/100)×578)+((225/10)×(1/100)×644
= 86.7+144.9
= 231.6

2(3x²-1) + x = 0
বা, 6x² - 2 + x = 0
বা, 6x² + x -2 = 0
সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল = -2/6 = -1/3

প্রশ্ন: ১৪৪ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৪০%?

সমাধান: 
মনে করি 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪০% = ১৪৪
বা, ৪০ক/১০০ = ১৪৪
বা, ৪০ক = ১৪৪ × ১০০
বা, ক = (১৪৪ × ১০০)/৪০
∴ ক = ৩৬০

∴ সংখ্যাটি ৩৬০।

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে ৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে পূর্বের চেয়ে ৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি প্রথম ১৫ মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
প্রথম পদ, a = ৫০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৫০ টাকা
পদ সংখ্যা, n = ১৫

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১৫ = (১৫/২) × [২ × ৫০০ + (১৫ - ১) × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ১৪ × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ৭০০]
= (১৫/২) × ১৭০০
= ১৫ × ৮৫০
= ১২৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: 16 সে.মি. ব্যাস এবং 2 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বেলন গলিয়ে 12 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতি গোলকের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³
বেলনের আয়তন = πr²h

প্রশ্নমতে, 
12 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন 
⇒ 12 × (4/3) π × r³ = π × (8)² × 2
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

∴ গোলকের ব্যাসার্ধ = 2 সে.মি. ।

গননার গুনন বিধি অনুসারে ভ্রমনের উপায় = ৫×৪ = ২০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - s² - 2st - t² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - s² - 2st - t²
= 1 - (s + t)²
= (1)² - (s + t)²
= {1 + (s + t)} {1 - (s + t)}
= (1 + s + t) (1 - s - t)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
i. যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় x + 4, তবে P(- 4) = 0
ii. যদি P(x) কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P (1/2)
iii. যদি x = 1 হলে P(1) = 0, তবে বহুপদীর সব সহগের যোগফল হবে 1.

সমাধান:
i)যদি x + 4, P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে P(- 4) = 0,
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে এটি সঠিক।

ii) যদি P(x)-কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(1/2)।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী: ax − b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় P(b/a)।
এখানে a = 2, b = 1, তাই ভাগশেষ = P(1/2), এটি সঠিক।

iii) যদি P(1) = 0 হয়, তাহলে যোগফল 0, 1 নয়।
সুতরাং এটি ভুল।

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

সুদের হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (২১০ × ১০০)/(৭৫০ × ২)
= ১৪

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি/ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির যত সময় লাগে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার তিনগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = ক 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = (৬ + ক) কি.মি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = (৬ - ক) কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬ + ক) = ৩(৬ - ক)
⇒ ৬ + ক = ১৮ - ৩ক
⇒ ৩ক + ক = ১৮ - ৬
⇒ ৪ক = ১২
⇒ ক = ১২/৪ = ৩ 

অতএব, স্রোতের  বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি থলিতে ৪টি লাল, ৬টি সবুজ এবং ১২টি নীল বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলিতে মোট বল আছে (৪ + ৬ + ১২)টি = ২২টি।

∴ বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১১)
= (১১ - ৩)/১১ = ৮/১১

৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৫C_১ × ^৪C_২
= ৫ × ৬
= ৩০

প্রশ্ন: 2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] এর সরলমান কত? 

সমাধান: 
2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] 
= 2a − b − [2b − {3c − a + 3b − 3c}]
= 2a − b − [2b − 3c + a − 3b + 3c]
= 2a − b − [a - b]
= 2a − b − a + b
= 2a − a
= a

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 25 = কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 25
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1 

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (25/2){2 · 1 + (25 - 1) · 1}
= 25/2(2 + 24)
= (25/2) × 26
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭৫ এবং গ.সা.গু ৫। একটি সংখ্যার দ্বিগুণ ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩০
বা, একটি সংখ্যা = ৩০ ÷ ২ = ১৫

ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৫ × ক = ৭৫ × ৫
বা, ১৫ক = ৩৭৫
বা, ক = ৩৭৫ ÷ ১৫
বা, ক = ২৫

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত? 

সমাধান: 
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ- 
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2)  [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0 

আবার, 
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0 
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2

প্রশ্ন: যদি আখের রসের পরিমাণ ১০০ মি.লি. হয় এবং চিনি-পানি অনুপাত ৩:৭ হয়, তাহলে পানির পরিমাণ চিনির চেয়ে কত বেশি?

সমাধান:
ধরি,
আখের রসে চিনের পরিমাণ = ৩ক
ও
পানির পরিমাণ = ৭ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৭ক = ১০০
বা, ১০ক = ১০০
বা, ক = ১০০/১০ = ১০

∴ চিনির পরিমাণ = (৩ × ১০) মি.লি. = ৩০ মি.লি.
ও
পানির পরিমাণ = (৭ × ১০) মি.লি. = ৭০ মি.লি.

অতএব,
চিনির তুলনায় পানি বেশি = (৭০ - ৩০) মি.লি.= ৪০ মি.লি.

বাছাই করার উপায় ^(১২-২)c_৫ = ^১০c_৫ = ২৫২

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² + 6a - 80
= 2(a² + 3a - 40)
= 2(a² + 8a - 5a - 40)
= 2{a(a + 8) - 5 (a + 8)}
= 2(a + 8)(a - 5)

∴ 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক (a + 8)

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে. মি হলে
এর অর্ধ পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (৯ + ১০ + ১১)/২
= ৩০/২
= ১৫ সে.মি

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি পণ্য ৪০% ছাড়ে ১৮০০ টাকায় বিক্রয় করে। পণ্যটি ১৫% ছাড়ে বিক্রি করতে চাইলে বিক্রয়মূল্য কত টাকা হবে?

সমাধান:
৪০% ছাড়ে,
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য ১০০/৬০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৮০০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য (১০০ × ১৮০০)/৬০ টাকা
= ৩০০০ টাকা

এখন,
১৫% ছাড়ে,
প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা
∴ প্রকৃত মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮৫/১০০ টাকা
∴ প্রকৃত মূল্য ৩০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (৮৫ × ৩০০০)/১০০ টাকা
 = ২৫৫০ টাকা

∴ ১৫% ছাড়ে বিক্রয়মূল্য হবে ২৫৫০ টাকা।

প্রশ্ন: এক শহরের জনসংখ্যা বছরে ১৫% বৃদ্ধি পায়। বছরের শেষে জনসংখ্যা ৪৬০০ হলে, বছরের শুরুতে জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১৫% বৃদ্ধিতে,
বছরের শেষে ১১৫ জন হলে শুরুতে ছিলো ১০০ জন
∴ বছরের শেষে ১ জন হলে শুরুতে ছিলো (১০০/১১৫) জন
∴ বছরের শেষে ৪৬০০ জন হলে শুরুতে ছিলো (১০০ × ৪৬০০)/১১৫ জন
= ৪০০০ জন

∴ বছরের শুরুতে জনসংখ্যা ছিল ৪০০০ জন।

প্রশ্ন: পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার ৫ মিটার হয়, তবে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার এবং প্রস্থ ৪০ মিটার
∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৪০) বর্গমিটার 
= ২০০০ বর্গমিটার

পাড় ছাড়া পুকুরের দৈর্ঘ্য = {৫০ - (৫ × ২)} মিটার
= (৫০ - ১০) মিটার
= ৪০ মিটার 

পাড় ছাড়া পুকুরের প্রস্থ = {৪০ – (৫ × ২)} মিটার
= (৪০ - ১০) মিটার
= ৩০ মিটার

∴ পাড় ছাড়া পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৪০ × ৩০) বর্গমিটার 
= ১২০০ বর্গমিটার

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = (২০০০ – ১২০০) বর্গমিটার 
= ৮০০ বর্গমিটার

5 টি বিন্দু সমরেখ হওয়াতে সে গুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না
∴ গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁵C₃ - ⁵C₃ = 445

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ........ + ১৯৯ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১৯৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৯৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৯৯
⇒ ৩ + (n - ১) × ৪ = ১৯৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৯৬
⇒ n - ১ = ১৯৬/৪
⇒ n - ১ = ৪৯
⇒ n = ৫০

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (৫০/২) × {২ × ৩ + (৫০ - ১) × ৪}
= ২৫ × {৬ + ৪৯ × ৪}
= ২৫ × {৬ + ১৯৬}
= ২৫ × ২০২
= ৫০৫০