গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ১.৫ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ১০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ৩,৮৪০ টাকা ব্যয় হলে, ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
মোট ব্যয় = ৩,৮৪০ টাকা
প্রতি বর্গমিটার কার্পেটিং খরচ = ১০ টাকা

সুতরাং, ঘরটির ক্ষেত্রফল = মোট ব্যয় ÷ প্রতি বর্গমিটার খরচ
= ৩,৮৪০ ÷ ১০
= ৩৮৪ বর্গমিটার

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = ১.৫ক মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

প্রশ্নমতে,
১.৫ক × ক = ৩৮৪
⇒ ১.৫ক^২ = ৩৮৪
⇒ ক^২ = ৩৮৪/১.৫
⇒ ক^২ = ২৫৬
⇒ ক = √২৫৬
∴ ক = ১৬

সুতরাং, প্রস্থ = ১৬ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ১৬ = ২৪ মিটার

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।

ধরি,
ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি = x
বৃহত্তর সংখ্যাটি = x + 25
শর্তমতে,
4 X (x + 25) = 5x
বা, 4x + 100 = 5x
∴ x = 100
অতএব, ক্ষুদ্রতর সংখ্যা 100 এবং বৃহত্তর সংখ্যা 125.

প্রশ্ন: প্রথম ১০টি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম সংখ্যা = ১
শেষ সংখ্যা = ১০
পদ সংখ্যা = ১০

সমষ্টি = {(১ম পদ + শেষ পদ) × পদ সংখ্যা}/২
= {(১ + ১০) × ১০}/২
= (১১ × ১০)/২
= ৫৫

∴ প্রথম ১০টি সংখ্যার গড় = ৫৫ ÷ ১০
= ৫.৫

প্রশ্ন: ৬ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে একটি ৪ সদস্যের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে যেখানে ২ জন মহিলা সর্বদা কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
৬ জন মহিলা থেকে ২ জন ও ৫ জন পুরুষ থেকে ২ জন নিয়ে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করা যায়,
= ^৬C_২ × ^৫C_২ 
= {৬!/(২! × ৪! )} × {৫!/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫ × ৪!)/(২! × ৪!)} × {(৫ × ৪ × ৩!)/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫)/২} × {৫ × ৪)/২}
= ১৫ × ১০ 
= ১৫০ উপায়ে

30 − {5^-1(2−3)^-3}^-2
= 30 - {1/5 (-1)^-3}^-2
= 30 - {(1/5 × (-1)}^-2
= 30 - (- 1/5)^-2
= 30 - 5²
= 5

প্রশ্ন: ০.০২ এর ৫% কত?

সমাধান:
শতাংশ নির্ণয়ের সূত্র:
শতাংশ = মূল সংখ্যা × শতকরা / ১০০
= ০.০২ × ৫/১০০
​= ০.০২ × ০.০৫
= ০.০০১ 

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: 2(x + 3) ≥ 10 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2(x + 3) ≥ 10
⇒ x + 3 ≥ 10/2
⇒ x + 3 ≥ 5
⇒ x + 3 - 3 ≥ 5 - 3 ; [উভয় পাশ থেকে 3 বিয়োগ করি]
∴ x ≥ 2

সমাধান সেট = [2, ∞)

প্রশ্ন: একটি কোণের পাঁচগুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি একটি কোণ = x

প্রশ্নমতে, 5x = 180
⇒ x = 180/5
∴ x = 36

দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 36° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 36° = 144°

২০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ২০×৮০ = ১৬০০
১০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ১০×৭০ = ৭০০
এবং ছাত্রদের মোট নম্বর = ১৬০০-৭০০ = ৯০০
সুতরাং ছাত্রদের গড় নম্বর = ৯০০/১০
= ৯০

Log (1/3)⁸¹ = x
বা, (1/3)^x = 81
বা, (1/3)^x = 3⁴
বা, (1/3)^x = (3)⁴
বা, (1/3)^x = (1/3)^-4
বা, x = -4

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4. সংখ্যা দুটি থেকে 2 করে কমালে অনুপাত হয় 2 : 3. সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে তাদের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি 3x ও 4x

প্রশ্নমতে,
(3x - 2)/(4x - 2) = 2/3
⇒ 9x - 6 = 8x - 4
⇒ x = 2
সংখ্যা দুটি: 3 × 2 = 6 ও 4 × 2 = 8 
সংখ্যা দুটির সাথে 4 যোগ করলে: 6 + 4 = 10 ও 8 + 4 = 12

∴ সংখ্যা দুটির অনুপাত = 10 : 12 = 5 : 6

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ৫০° হয় তবে, তার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।

কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ
কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°

∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ 
= ২ × ৫০°
= ১০০°

মুনাফা ১৬ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ মুনাফা ১ টাকা হলে আসল ১০০/১৬ টাকা
∴ মুনাফা ১৭০০ টাকা হলে আসল (১০০ x ১৭০০)/১৬ টাকা
= ১০৬২৫ টাকা

প্রশ্ন: যদি একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ 90° হয়, তাহলে সেই বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ = 90°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/90°
= 4

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {4(4 - 3)}/2
= (4 × 1)/2
= 4/2
= 2 টি

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

ধারাটির প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে, a = 1 এবং r = 1/2 ÷ 1 = 1/2 যা 1 অপেক্ষা ছোট।
ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি = a(1 - r⁸)/(1 - r)
= {1 - (1/2)8}/(1 - 1/2)
= 255/128

প্রশ্ন: করিম সাহেব ১৬১ টাকায় শার্ট বিক্রি করে ক্রয়মূল্যের ১/৬ অংশ লাভ করেন। শার্টটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বিক্রয়মূল্য = ১৬১ টাকা
লাভ = ক্রয়মূল্যের ১/৬​ অংশ

ধরি,
ক্রয়মূল্য = ক টাকা
∴ লাভ = ক/৬

আমরা জানি, 
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
⇒ ১৬১ = ক + (ক/৬)
⇒ (৬ক + ক)/৬ = ১৬১
⇒ ৭ক = ১৬১ × ৬
⇒ ক = (১৬১ × ৬)/৭ 
⇒ ক = ২৩ × ৬
∴ ক = ১৩৮ টাকা 

সুতরাং, শার্টটির ক্রয়মূল্য ১৩৮ টাকা। 

এখানে, AC বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC² = 100
∴ AC = 10
∴ AB = AC/√2
= 10/√2
= 10√2 /2
= 5√2

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= (x)² - 2.x.4 - 2.y.4 + (4)² + y²
= (4)² + (x)² + y² - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4 - 2xy
= (4 - x - y)² - 2xy

∴ x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

ধরি,
মাটি থেকে ক ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।
আমরা জানি, sin৩০° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = ক/(৩০-ক)
বা, (৩০-ক) = ২ক
বা,৩ক = ৩০
∴ক = ১০
অর্থাৎ, মাটি থেকে ১০ ফুট উচুতে খুটিটি ভেঙে যায়।

প্রশ্ন: কোনো আসল সরল সুদে ৪ বছরে সুদে-আসলে ১০৮০ টাকা এবং ১০ বছরে সুদে-আসলে ১৩৮০ টাকা হয়। আসল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৪ বছরে সুদে-আসল = ১০৮০ টাকা
১০ বছরে সুদে-আসল = ১৩৮০ টাকা

∴ ১০ বছর ও ৪ বছরের মধ্যে পার্থক্য = ৬ বছরের সুদ
∴ ৬ বছরের সুদ = ১৩৮০ - ১০৮০ = ৩০০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৩০০/৬ = ৫০ টাকা
∴ ৪ বছরের সুদ = ৪ × ৫০ = ২০০ টাকা

∴ আসল = ৪ বছরের সুদে-আসল - ৪ বছরের সুদ
= ১০৮০ - ২০০
= ৮৮০ টাকা

অতএব, আসল = ৮৮০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ -৫০ক + ৫২৫০ = ২৫৫০
⇒ -৫০ক = ২৫৫০ - ৫২৫০
⇒ -৫০ক = -২৭০০
⇒ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 < x < 11

এখানে,
1 < x < 11 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (1 + 11)/2
= 12/2
= 6

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 6 বিয়োগ করে পাই,
1 < x < 11
⇒ 1 - 6 < x - 6 < 11 - 6
⇒ - 5 < x - 6 < 5
⇒ |x - 6| < 5

প্রশ্ন: p + q = 6 হলে p³ + q³ + 18pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = 6

∴ p³ + q³ + 18pq = (p + q)³ - 3pq(p + q) + 18pq
= (6)³ - 3pq × 6 + 18pq
= 216 - 18pq + 18pq
= 216