১৮,৫০১.
log√3243 =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log√3243 =?
সমাধান:
log√3243
= log√335
= 5 × log√33
= 5 × log√3(√3)2
= 5 × 2 log√3√3
= 10 × 1
= 10
সমাধান:
log√3243
= log√335
= 5 × log√33
= 5 × log√3(√3)2
= 5 × 2 log√3√3
= 10 × 1
= 10
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
গাণিতিক যুক্তি
গাণিতিক যুক্তি
PrepBank · পাতা ১৮৬ / ৪৭৫ · ১৮,৫০১–১৮,৬০০ / ৪৭,৮৩৩
১৮,৫০২.
loga(1/27) = - 3 হলে, a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga(1/27) = - 3 হলে, a এর মান কত?
সমাধান:
loga(1/27) = - 3
⇒ a- 3 = 1/27
⇒ 1/a3 = 1/27
⇒ a3 = 27
⇒ a3 = 33
∴ a = 3
সমাধান:
loga(1/27) = - 3
⇒ a- 3 = 1/27
⇒ 1/a3 = 1/27
⇒ a3 = 27
⇒ a3 = 33
∴ a = 3
১৮,৫০৩.
a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 14 হলে, (a2 + b2 + c2) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 7 এবং ab + bc + ca = 14 হলে, (a2 + b2 + c2) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 7
এবং ab + bc + ca = 14
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ (7)2 = a2 + b2 + c2 + (2 × 14)
⇒ 49 = a2 + b2 + c2 + 28
⇒ a2 + b2 + c2 = 49 - 28
∴ a2 + b2 + c2 = 21
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 7
এবং ab + bc + ca = 14
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ (7)2 = a2 + b2 + c2 + (2 × 14)
⇒ 49 = a2 + b2 + c2 + 28
⇒ a2 + b2 + c2 = 49 - 28
∴ a2 + b2 + c2 = 21
১৮,৫০৪.
npn-r = ?
ব্যাখ্যা
npn-r
= n!/(n - n + r)!
= n!/r!
= n!/(n - n + r)!
= n!/r!
১৮,৫০৫.
যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ২০ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭৫ নম্বর পায় এবং ৩০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?
সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭৫ × ২০) = ১৫০০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৮৫ × ৩০) = ২৫৫০
মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১৫০০ + ২৫৫০ = ৪০৫০
সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৪০৫০/৫০
= ৮১
অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৮১।
১৮,৫০৬.
একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৩মি. ও পিছনের চাকার পরিধি ৪মি.। গাড়িটি কত পথ গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকার থেকে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
ধরি, x মি. গেলে সামনের চাকা পিছনের চাকা অপেক্ষা ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
x মি. যেতে সামনের চাকা ঘোরে x/৩ বার এবং পিছনের চাকা ঘোরে x/৪ বার।
প্রশ্নমতে, x/৩ - x/৪ = ১০০
⇒ (৪x - ৩x)/১২ = ১০০
⇒ x = ১২০০
∴ নির্ণেয় দূরত্ব = ১২০০ মিটার।
১৮,৫০৭.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'Daughter' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে?
ব্যাখ্যা
'Daughter' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।
8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! = 40320
স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 6টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3!
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= 720 × 6
= 4320
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 4320
= 36000
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।
8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! = 40320
স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 6টি
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3!
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= 720 × 6
= 4320
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 4320
= 36000
১৮,৫০৮.
The solution of equation x - y = 2 and x + y = 4 is :
ব্যাখ্যা
Question: The solution of equation x - y = 2 and x + y = 4 is :
Solution:
দেয়া আছে
x - y = 2............(1)
x + y = 4............(2)
(1) + (2) ⇒
x - y + x + y = 2 + 4
2x = 6
x = 3
(2) ⇒
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1
(x, y) = (3,1)
Solution:
দেয়া আছে
x - y = 2............(1)
x + y = 4............(2)
(1) + (2) ⇒
x - y + x + y = 2 + 4
2x = 6
x = 3
(2) ⇒
x + y = 4
3 + y = 4
y = 4 - 3
y = 1
(x, y) = (3,1)
১৮,৫০৯.
একটি স্কাউট দলকে ৯, ১০, এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদের বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কাউট দলে কমপক্ষে কতজন স্কাউট রয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্কাউট দলকে ৯, ১০, এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদের বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কাউট দলে কমপক্ষে কতজন স্কাউট রয়েছে?
সমাধান:
স্কাউট দলকে ৯, ১০, এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। ফলে স্কাউট এর সংখ্যা ৯, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য। এরুপ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১০, ১২ এর ল. সা. গু।
৯, ১০, ১২ এর ল. সা. গু = ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ২
= (২ × ২) × (৩ × ৩ ) × ৫
= ২২ × ৩২ × ৫
একে বর্গাকারে সাজানো যায় না। বর্গাকারে সাজাতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ ৯, ১০, ১২ সারিতে ও বর্গাকারে সাজানোর জন্য কমপক্ষে স্কাউট সংখ্যা প্রয়োজন
= ২২ × ৩২ × ৫ × ৫
= ২২ × ৩২ × ৫২
= ৯০০ জন
সমাধান:
স্কাউট দলকে ৯, ১০, এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। ফলে স্কাউট এর সংখ্যা ৯, ১০ এবং ১২ দ্বারা বিভাজ্য। এরুপ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১০, ১২ এর ল. সা. গু।
৯, ১০, ১২ এর ল. সা. গু = ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ২
= (২ × ২) × (৩ × ৩ ) × ৫
= ২২ × ৩২ × ৫
একে বর্গাকারে সাজানো যায় না। বর্গাকারে সাজাতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ ৯, ১০, ১২ সারিতে ও বর্গাকারে সাজানোর জন্য কমপক্ষে স্কাউট সংখ্যা প্রয়োজন
= ২২ × ৩২ × ৫ × ৫
= ২২ × ৩২ × ৫২
= ৯০০ জন
১৮,৫১০.
কোন সংখ্যার ২৭% থেকে ২৭ বিয়োগ দিলে বিয়োগফল ২৭ হবে?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, (x এর ২৭%) - ২৭ = ২৭
বা, (x × ২৭/১০০ = ২৭ + ২৭
বা, x = (৫৪ × ১০০)/২৭
বা, x = ২০০
∴ x = ২০০
১৮,৫১১.
একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় তাহলে পানির পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় তাহলে পানির পরিমাণ কত?
সমাধান:
সমাধান:
১৮,৫১২.
সালামের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২৪ : ১৮ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সালামের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২৪ : ১৮ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
সমাধান:
ধরি,
সালামের আয় = ২৪ক টাকা
সালামের ব্যয় = ১৮ক টাকা
∴ সঞ্চয় = (২৪ক - ১৮ক) টাকা
= ৬ক টাকা
∴ সঞ্চয় আয়ের শতকরা = {(৬ক/২৪ক) × ১০০}%
= ২৫%
∴ তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা = ২৫%
সমাধান:
ধরি,
সালামের আয় = ২৪ক টাকা
সালামের ব্যয় = ১৮ক টাকা
∴ সঞ্চয় = (২৪ক - ১৮ক) টাকা
= ৬ক টাকা
∴ সঞ্চয় আয়ের শতকরা = {(৬ক/২৪ক) × ১০০}%
= ২৫%
∴ তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা = ২৫%
১৮,৫১৩.
একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?
সমাধান:
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
সমাধান:
- একটি ত্রিভুজ ও একটি বৃত্ত ন্যূনতম দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
কারণ, ত্রিভুজের বাহু অবশ্যই বৃত্তের দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে উহা ছেদক হবে।
- আবার, একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।
১৮,৫১৪.
4 জন বালক ও 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 4 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 4 জন বালক ও 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 4 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
সমাধান:
মোট বালক বালিকা আছে 8 জন ।
চারজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা হবে 5 জন।
5 জনকে সাজানো যায় = 5!
4 জন বালক কে সাজানো যায় = 4!
∴ মোট সাজানো যাবে = 5! × 4!
= 120 × 24
= 2880
সমাধান:
মোট বালক বালিকা আছে 8 জন ।
চারজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা হবে 5 জন।
5 জনকে সাজানো যায় = 5!
4 জন বালক কে সাজানো যায় = 4!
∴ মোট সাজানো যাবে = 5! × 4!
= 120 × 24
= 2880
১৮,৫১৫.
272a - 5 a6a - 15 = 9a2, হলে a =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 272a - 5 a6a - 15 = 9a2, হলে a =?
সমাধান :
দেয়া আছে,
272a - 5 a6a - 15 = 9a2
বা, 33(2a - 5)a6a - 15 = 32a2
বা, 36a - 15a6a - 15 = (3a)2
বা, (3a)6a - 15 = (3a)2
বা, 6a - 15 = 2
বা, 6a = 17
বা, a = 17/6
সমাধান :
দেয়া আছে,
272a - 5 a6a - 15 = 9a2
বা, 33(2a - 5)a6a - 15 = 32a2
বা, 36a - 15a6a - 15 = (3a)2
বা, (3a)6a - 15 = (3a)2
বা, 6a - 15 = 2
বা, 6a = 17
বা, a = 17/6
১৮,৫১৬.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
১৮,৫১৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২০% ও ১০% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ২০% ও ১০% বৃদ্ধি করা হলে, ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক
প্রস্থ = খ
ক্ষেত্রফল = ক × খ = কখ
২০% বৃদ্ধি পেলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ( ক এর ২০%) = ১.২ক
১০% বৃদ্ধি পেলে নতুন প্রস্থ = খ + ( খ এর ১০%) = ১.১খ
নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২ক × ১.১খ) = ১.৩২কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(১.৩২ - ১)/১}১০০% = ৩২%
সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ক
প্রস্থ = খ
ক্ষেত্রফল = ক × খ = কখ
২০% বৃদ্ধি পেলে নতুন দৈর্ঘ্য = ক + ( ক এর ২০%) = ১.২ক
১০% বৃদ্ধি পেলে নতুন প্রস্থ = খ + ( খ এর ১০%) = ১.১খ
নতুন ক্ষেত্রফল = (১.২ক × ১.১খ) = ১.৩২কখ
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = {(১.৩২ - ১)/১}১০০% = ৩২%
১৮,৫১৮.
P = {2, 4, 12, 20, 33} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {2, 4, 12, 20, 33} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
সমাধান:
P সেটের উপাদান = 5 টি
P এর প্রকৃত উপসেট = 25 = 32 টি
∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 = 31 টি
সমাধান:
P সেটের উপাদান = 5 টি
P এর প্রকৃত উপসেট = 25 = 32 টি
∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 = 31 টি
১৮,৫১৯.
যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে P ∩ Q’ = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7} হয়, তবে P ∩ Q’ = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {1, 2, 5} এবং Q = {6, 7}
এখন,
Q’ = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {6, 7}
= {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}
P ∩ Q’ = {1, 2, 5} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} = {1, 2, 5} = P
∴ P ∩ Q’ = P
১৮,৫২০.
b এর মান কত হলে 25a2 - ab + 16 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 25a2 - ab + 16 রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান:
25a2 - ab + 16
= (5a)2 - 2 · 5a · 4 + 42 [ধরি, b = 2 × 5 × 4 = 40]
= (5a - 4)2
∴ b = 40 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
সমাধান:
25a2 - ab + 16
= (5a)2 - 2 · 5a · 4 + 42 [ধরি, b = 2 × 5 × 4 = 40]
= (5a - 4)2
∴ b = 40 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
১৮,৫২১.
If a + b = 3 and ab = 2, then a3 + b3 = ?
ব্যাখ্যা
Question: If a + b = 3 and ab = 2, then a3 + b3 = ?
Solution:
a + b = 3
ab = 2
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 33 - 3 × 3 × 2
= 27 - 18
= 9
Solution:
a + b = 3
ab = 2
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
= 33 - 3 × 3 × 2
= 27 - 18
= 9
১৮,৫২২.
a2 + b2 = 89 এবং a + b = 13 হলে a - b = ?
ব্যাখ্যা
a2 + b2 = 89
বা, 2(a2 + b2) = 178
বা, (a + b)2 + (a - b)2 = 178
বা, (a - b)2 = 178 - (a + b)2
বা, (a - b)2 = 178 - (13)2
বা, (a - b)2 = 178 - 169 = 9
∴ a - b = 3
১৮,৫২৩.
একটি চেয়ারের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য হলো ৮৪ টাকা এবং ১৫% হারে লাভ করলে চেয়ারটির বিক্রয়মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চেয়ারের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য হলো ৮৪ টাকা এবং ১৫% হারে লাভ করলে চেয়ারটির বিক্রয়মূল্য কত?
সমাধান:
১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য (লাভ) = (১১৫ - ১০০) টাকা =১৫ টাকা
লাভ ১৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
লাভ ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১৫ টাকা
লাভ ৮৪ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮৪ × ১১৫)/১৫ টাকা
= ৬৪৪ টাকা
সমাধান:
১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের পার্থক্য (লাভ) = (১১৫ - ১০০) টাকা =১৫ টাকা
লাভ ১৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা
লাভ ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১৫ টাকা
লাভ ৮৪ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮৪ × ১১৫)/১৫ টাকা
= ৬৪৪ টাকা
১৮,৫২৪.
log27x + log27(1/6) = 1/3 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
log27x + log27(1/6) = 1/3
log27{x(1/6)} = 1/3
log27(x/6)=1/3
x/6 = (27)1/3
x/6= (33)1/3
x/6 = 3
x = 18
log27{x(1/6)} = 1/3
log27(x/6)=1/3
x/6 = (27)1/3
x/6= (33)1/3
x/6 = 3
x = 18
১৮,৫২৫.
০.০০৫ এর ৩% কত?
ব্যাখ্যা
০.০০৫ এর ৩%
= ০.০০৫ × ৩/১০০
= ০.০১৫/১০০
= ০.০০০১৫
[ ৩ দ্বারা ৫ কে গুণ করলে ১৫ হয়; দশমিকের পর ৩ অঙ্ক থাকায় ০.০১৫ হবে।
আবার ০.০১৫ কে ১০০ দ্বারা ভাগ করলে দশমিক ২ ঘর বামে সরে আসবে।
দশমিকের পর ৫ ঘর থাকবে। তাই ০.০০০১৫ হবে। ]
= ০.০০৫ × ৩/১০০
= ০.০১৫/১০০
= ০.০০০১৫
[ ৩ দ্বারা ৫ কে গুণ করলে ১৫ হয়; দশমিকের পর ৩ অঙ্ক থাকায় ০.০১৫ হবে।
আবার ০.০১৫ কে ১০০ দ্বারা ভাগ করলে দশমিক ২ ঘর বামে সরে আসবে।
দশমিকের পর ৫ ঘর থাকবে। তাই ০.০০০১৫ হবে। ]
১৮,৫২৬.
a - [ a - { a - ( a - a + 1)}] = ?
ব্যাখ্যা
a - [ a - { a - ( a - a + 1)}]
= a - [ a - { a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1
= a - [ a - { a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1
১৮,৫২৭.
x - y = 2, x2 - y2 = 16 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - y = 2, x2 - y2 = 16 হলে x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 2 .......(1)
এবং x2 - y2 = 16
⇒ (x + y)(x - y ) = 16 ; [a2 - b2 = (a + b)(a - b)]
⇒ (x + y) × 2 = 16
⇒ (x + y) = 16/2
∴ x + y = 8 .........(2)
এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
⇒ x - y + x + y = 2 + 8
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5
১৮,৫২৮.
তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?
সমাধান:
মনে করি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক - ১, ক, ক + ১
প্রশ্নমতে,
(ক - ১)(ক)(ক + ১) = ৫(ক - ১ + ক + ক + ১)
বা, ক(ক২ - ১) = ৫ × ৩ক
বা, ক২ - ১ = ১৫
বা, ক২ = ১৬
∴ ক = ৪
সুতরাং সংখ্যা তিনটি হলো ৩, ৪, ৫
∴ সংখ্যা তিনটির গড় = (৩ + ৪ + ৫)/৩
= ১২/৩
= ৪
সমাধান:
মনে করি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক - ১, ক, ক + ১
প্রশ্নমতে,
(ক - ১)(ক)(ক + ১) = ৫(ক - ১ + ক + ক + ১)
বা, ক(ক২ - ১) = ৫ × ৩ক
বা, ক২ - ১ = ১৫
বা, ক২ = ১৬
∴ ক = ৪
সুতরাং সংখ্যা তিনটি হলো ৩, ৪, ৫
∴ সংখ্যা তিনটির গড় = (৩ + ৪ + ৫)/৩
= ১২/৩
= ৪
১৮,৫২৯.
- 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 8 < 3 - x < - 2 কে পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন:
সমাধান:
দেওয়া অসমতা,
- 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 < 3 - x < - 2
⇒ - 8 - 3 < - x < - 2 - 3
⇒ - 11 < - x < - 5
⇒ 11 > x > 5 ; [সবদিকে - 1 দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে]
⇒ 5 < x < 11
⇒ 5 - 8 < x - 8 < 11 - 8 ; [এই ব্যবধানের মধ্যবিন্দু হলো = (5 + 11)/2 = 8]
⇒ - 3 < x - 8 < 3
∴ |x - 8| < 3
১৮,৫৩০.
cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
sinθ ও cosθ এর রেঞ্জ: [-1, 1]
tanθ এর রেঞ্জ: (-∞, ∞)
অতএব, cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1
সমাধান:
আমরা জানি,
sinθ ও cosθ এর রেঞ্জ: [-1, 1]
tanθ এর রেঞ্জ: (-∞, ∞)
অতএব, cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1
১৮,৫৩১.
১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৩০ পর্যন্ত কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?
সমাধান:
• ১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭ মোট ৪ টি।
• ১১ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১১, ১৩, ১৭, ১৯ মোট ৪টি
• ২১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৩, ২৯ মোট ২টি
∴ ১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি।
সমাধান:
• ১ - ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৫, ৭ মোট ৪ টি।
• ১১ - ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১১, ১৩, ১৭, ১৯ মোট ৪টি
• ২১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৩, ২৯ মোট ২টি
∴ ১ - ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১০টি।
১৮,৫৩২.
a7 × a-5 × a3 × a-9 × a3 = ?
ব্যাখ্যা
a7 × a-5 × a3 × a-9 × a4
= a(7-5+3-9+4)
= a(14-14)
= a0
= 1
১৮,৫৩৩.
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭০ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ৩৫ হলে অপরটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭০ এবং গ.সা.গু ৭। একটি সংখ্যা ৩৫ হলে অপরটি কত?
সমাধান:
একটি সংখ্যা ৩৫
ধরি,
অপর সংখ্যা, ক
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = দুটি সংখ্যার ল.সা.গু × দুটি সংখ্যার গ.সা.গু
শর্তমতে,
ক × ৩৫ = ৭০ × ৭
বা, ক = ৪৯০/৩৫
∴ ক = ১৪
অপর সংখ্যা = ১৪
সমাধান:
একটি সংখ্যা ৩৫
ধরি,
অপর সংখ্যা, ক
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = দুটি সংখ্যার ল.সা.গু × দুটি সংখ্যার গ.সা.গু
শর্তমতে,
ক × ৩৫ = ৭০ × ৭
বা, ক = ৪৯০/৩৫
∴ ক = ১৪
অপর সংখ্যা = ১৪
১৮,৫৩৪.
√(9/4) সংখ্যাটি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √(9/4) সংখ্যাটি-
সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যা:
স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ১ থেকে শুরু হওয়া ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। যেমন: 1, 2, 3, ... ইত্যাদি
মূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি
অমূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি
জটিল সংখ্যা:
জটিল সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যেখানে একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কাল্পনিক অংশ থাকে। যেমন: 2 + 3i
এখন,
√(9/4) = √9/√4 = 3/2 = 1.5 যা একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যা:
স্বাভাবিক সংখ্যা হলো ১ থেকে শুরু হওয়া ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা। যেমন: 1, 2, 3, ... ইত্যাদি
মূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি
অমূলদ সংখ্যা:
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি
জটিল সংখ্যা:
জটিল সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যেখানে একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কাল্পনিক অংশ থাকে। যেমন: 2 + 3i
এখন,
√(9/4) = √9/√4 = 3/2 = 1.5 যা একটি মূলদ সংখ্যা।
১৮,৫৩৫.
৩, ৯, ২৭, _________ ধারার পরের সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩, ৯, ২৭, _________ ধারার পরের সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
১ম পদ = ৩
২য় পদ = ৩ * ৩ = ৯
৩য় পদ = ৯ * ৩ = ২৭
∴ ৪র্থ পদ = ২৭ * ৩ = ৮১
∴ ধারার পরের সংখ্যাটি হবে ৮১
সমাধান:
১ম পদ = ৩
২য় পদ = ৩ * ৩ = ৯
৩য় পদ = ৯ * ৩ = ২৭
∴ ৪র্থ পদ = ২৭ * ৩ = ৮১
∴ ধারার পরের সংখ্যাটি হবে ৮১
১৮,৫৩৬.
ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে বলে-
সমাধান:
পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
সমাধান:
পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র: ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
১৮,৫৩৭.
২৫০ টাকার ১/২% এর সাথে ১০০ টাকা যোগ করলে কত টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
২৫০ × ১/২% + ১০০
= ২.৫ × ০.৫ + ১০০
= ১.২৫ + ১০০
= ১০১.২৫
১৮,৫৩৮.
একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪০ × ৪) মিটার
= ১৬০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১৬০০ মিটার
= ৪০ মিটার
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪০ × ৪) মিটার
= ১৬০ মিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১৬০ মিটার।
১৮,৫৩৯.
(3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1)
4x + 3y = 33 ...... (2)
{(1) × 3} - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই,
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66
⇒ x = 6
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3
∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।
১৮,৫৪০.
বার্ষিক শতকরা ১০% হারে ১০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০% হারে ১০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০
আমরা জানি
সরল মুনাফা,
I = Pnr
= ১০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ৩০০
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(১+r)n
= ১০০০(১ + ১০/১০০)৩
= ১০০০ × (১১০/১০০)৩
= ১০০০ × ১.১ × ১.১ × ১.১
= ১৩৩১
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১৩৩১ - ১০০০
= ৩৩১
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৩৩১ - ৩০০) টাকা
= ৩১ টাকা।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০
আমরা জানি
সরল মুনাফা,
I = Pnr
= ১০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ৩০০
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(১+r)n
= ১০০০(১ + ১০/১০০)৩
= ১০০০ × (১১০/১০০)৩
= ১০০০ × ১.১ × ১.১ × ১.১
= ১৩৩১
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১৩৩১ - ১০০০
= ৩৩১
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৩৩১ - ৩০০) টাকা
= ৩১ টাকা।
১৮,৫৪১.
একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যতবড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
সংখ্যাটি, (৬৫০+৮২০)/২ = ৭৩৫
১৮,৫৪২.
একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ২ : ৪ : ৪ : ৫ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ২ : ৪ : ৪ : ৫ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল ৩৬০°
দেওয়া অনুপাত গুলো হলো = ২ : ৪ : ৪ : ৫
ধরি, কোণগুলো হলো ২x, ৪x, ৪x, ৫x
প্রশ্নমতে,
⇒ ২x + ৪x + ৪x + ৫x = ৩৬০°
⇒ ১৫x = ৩৬০°
⇒ x = ৩৬০°/১৫
∴ x = ২৪°
∴ বৃহত্তম কোণ = ৫ × ২৪° = ১২০°
∴ বৃহত্তম কোণ = ২ × ২৪° = ৪৮°
∴ পার্থক্য = ১২০° - ৪৮° = ৭২°
সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল ৩৬০°
দেওয়া অনুপাত গুলো হলো = ২ : ৪ : ৪ : ৫
ধরি, কোণগুলো হলো ২x, ৪x, ৪x, ৫x
প্রশ্নমতে,
⇒ ২x + ৪x + ৪x + ৫x = ৩৬০°
⇒ ১৫x = ৩৬০°
⇒ x = ৩৬০°/১৫
∴ x = ২৪°
∴ বৃহত্তম কোণ = ৫ × ২৪° = ১২০°
∴ বৃহত্তম কোণ = ২ × ২৪° = ৪৮°
∴ পার্থক্য = ১২০° - ৪৮° = ৭২°
১৮,৫৪৩.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
১৮,৫৪৪.
যদি log2[log3(log2a)] = 1, তাহলে a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি log2[log3(log2a)] = 1, তাহলে a এর মান কত?
সমাধান:
log2[ log3( log2a)] = 1
⇒ log3(log2a) = 21
⇒ log3(log2a) = 2
⇒ log2a = 32
⇒ log2a = 9
⇒ a = 29
∴ a = 512
সমাধান:
log2[ log3( log2a)] = 1
⇒ log3(log2a) = 21
⇒ log3(log2a) = 2
⇒ log2a = 32
⇒ log2a = 9
⇒ a = 29
∴ a = 512
১৮,৫৪৫.
8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
সমাধান:
4টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (8 - 4) + 1 = 5টি
5টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5! = 120
এবং বিশেষ বই 4টি সাজানোর মোট উপায় = 4! = 24
∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 120 × 24
= 2880
সুতরাং, 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে 2880 প্রকারে সাজানো যায়।
১৮,৫৪৬.
এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৭ বছরের বড় এবং স্ত্রীর বয়স তার ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৪ বছর পর ছেলের বয়স ১২ হলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৭ বছরের বড় এবং স্ত্রীর বয়স তার ছেলের বয়সের ৫ গুণ। ৪ বছর পর ছেলের বয়স ১২ হলে, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
ছেলের বর্তমান বয়স = (১২ - ৪) বছর
= ৮ বছর।
স্ত্রীর বর্তমান বয়স = ৫ × ৮ = ৪০ বছর।
∴ ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স = (৫ × ৮) + ৭ = ৪৭ বছর।
সমাধান:
ছেলের বর্তমান বয়স = (১২ - ৪) বছর
= ৮ বছর।
স্ত্রীর বর্তমান বয়স = ৫ × ৮ = ৪০ বছর।
∴ ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স = (৫ × ৮) + ৭ = ৪৭ বছর।
১৮,৫৪৭.
একটি দ্রব্য ৬০০ টাকায় বিক্রয় করে ২৫% লাভ হয়। দ্রব্যটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১৫% ক্ষতি হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৬০০ টাকায় বিক্রয় করে ২৫% লাভ হয়। দ্রব্যটি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১৫% ক্ষতি হবে?
সমাধান:
২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০)/১২৫ = ৪৮০ টাকা
আবার,
১৫% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮৫ × ৪৮০)/১০০ টাকা
= ৪০৮ টাকা
সমাধান:
২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০)/১২৫ = ৪৮০ টাকা
আবার,
১৫% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮৫/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮৫ × ৪৮০)/১০০ টাকা
= ৪০৮ টাকা
১৮,৫৪৮.
সুমন সাহেব প্রতি বছর তার আয়ের ২০% সঞ্চয় করেন। যদি পরের বছর তার আয় ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে ঐ বছর তার সঞ্চয় শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুমন সাহেব প্রতি বছর তার আয়ের ২০% সঞ্চয় করেন। যদি পরের বছর তার আয় ১০% বৃদ্ধি পায়, তবে ঐ বছর তার সঞ্চয় শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
মনে করি,
সমুনের আয় = ১০০ টাকা
সঞ্চয় করেন = ১০০ এর ২০%
= ১০০ এর ২০/১০০
= ২০ টাকা
২য় বছর সুমনের আয় = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ এর ১০/১০০
= ১০০ + ১০
= ১১০ টাকা
২য় বছর সুমনের সঞ্চয় = ১১০ এর ২০%
= ১১০ এর ২০/১০০
= ২২ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ২২ - ২০ = ২ টাকা
∴ সঞ্চয় শতকরা বৃদ্ধি পাবে = {(২/২০) × ১০০%}
= ১০%
১৮,৫৪৯.
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2) হলে, y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2) হলে, y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2)
⇒ y2 - y + 2y - 2 = y2 - 2y + 4y - 8
⇒ y2 + y - 2 = y2 + 2y - 8
⇒ y2 + y - y2 - 2y = - 8 + 2
⇒ - y = - 6
∴ y = 6
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2)
⇒ y2 - y + 2y - 2 = y2 - 2y + 4y - 8
⇒ y2 + y - 2 = y2 + 2y - 8
⇒ y2 + y - y2 - 2y = - 8 + 2
⇒ - y = - 6
∴ y = 6
১৮,৫৫০.
a4 + a2b2 + b4 = 21, a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 21, a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 =?
সমাধান:
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + a2b2 + (b2)2 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 +ab + b2) (a2 - ab + b2) = 21
⇒ 7(a2 - ab + b2) = 21
∴ a2 - ab + b2 = 3
সমাধান:
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + a2b2 + (b2)2 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 +ab + b2) (a2 - ab + b2) = 21
⇒ 7(a2 - ab + b2) = 21
∴ a2 - ab + b2 = 3
১৮,৫৫১.
logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an) = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an) = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an)
= logkan - logkbn + logkbn - logkcn + logkcn - logkan
= 0
সমাধান:
দেওয়া আছে,
logk(an/bn) + logk(bn/cn) + logk(cn/an)
= logkan - logkbn + logkbn - logkcn + logkcn - logkan
= 0
১৮,৫৫২.
বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা সুদে ৩ বছরে ৬৫০০ টাকার সরল সুদের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা সুদে ৩ বছরে ৬৫০০ টাকার সরল সুদের পরিমাণ কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০
সময়, n = ৩ বছর
আসল, p = ৬৫০০ টাকা
সুদ = I
∴ I = pnr
= (৬৫০০ × ৩ × ৪)/১০০
= (৬৫ × ১২)
= ৭৮০ টাকা
১৮,৫৫৩.
a3 + a2b, a2b + ab2 এর ল.সা.গু কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 + a2b, a2b + ab2 এর ল.সা.গু কোনটি?
সমাধান:
১ম রাশি = a3 + a2b
= a2(a + b)
২য় রাশি = a2b + ab2
= ab(a + b)
∴ ল.সা.গু = a2b(a + b)
সমাধান:
১ম রাশি = a3 + a2b
= a2(a + b)
২য় রাশি = a2b + ab2
= ab(a + b)
∴ ল.সা.গু = a2b(a + b)
১৮,৫৫৪.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৩৮° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৩৮° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে ৭৬°।
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৩৮° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে ৭৬°।
১৮,৫৫৫.
আজ শনিবার। আগামীকাল রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আজ শনিবার। আগামীকাল রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
আজ শনিবার, আগামীকাল রবিবার হবে।
নিশ্চিত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ১।
সমাধান:
আজ শনিবার, আগামীকাল রবিবার হবে।
নিশ্চিত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ১।
১৮,৫৫৬.
যদি (a/b) + (b/a) = 5 হয়, {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)} এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 5 হলে, {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)} এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5
প্রদত্ত রাশি = {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)}
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23
সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5
প্রদত্ত রাশি = {(a2)/(b2)} + {(b2)/(a2)}
= (a/b)2 + (b/a)2
= {(a/b) + (b/a)}2 - 2 · (a/b) · (b/a)
= 52 - 2
= 25 - 2
= 23
১৮,৫৫৭.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?
সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)২ = ১০০π
ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮
তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)২ = ৬৪π
∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π
১০০π ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে ৩৬π
∴ ১ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে (৩৬π/১০০π)
∴ ১০০ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = ৩৬%
১৮,৫৫৮.
যদি a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হয়, তবে a2 + b2 = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ যদি a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হয়, তবে a2 + b2 কত?
সমাধানঃ
a4 + a2b2 + b4 = (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2
⇒ 8 = (a2 + b2)2 - (ab)2
⇒ 8 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab)
⇒ 8 = (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
⇒ 8 = 4 (a2 - ab+ b2)
⇒ a2 - ab + b2 = 8/4 = 2
সুতরাং,
a2 + ab + b2 = 4 ......(i)
a2 - ab + b2 = 2 ........(ii)
এখন, (i) + (ii)
2(a2 + b2) = 6
∴ a2 + b2 = 3
সমাধানঃ
a4 + a2b2 + b4 = (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2
⇒ 8 = (a2 + b2)2 - (ab)2
⇒ 8 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab)
⇒ 8 = (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
⇒ 8 = 4 (a2 - ab+ b2)
⇒ a2 - ab + b2 = 8/4 = 2
সুতরাং,
a2 + ab + b2 = 4 ......(i)
a2 - ab + b2 = 2 ........(ii)
এখন, (i) + (ii)
2(a2 + b2) = 6
∴ a2 + b2 = 3
১৮,৫৫৯.
7 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে 25 সে.মি. দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোন বৃত্তের কেন্দ্র হতে 25 সে.মি. দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক কত সে.মি.?
সমাধান:
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ব্যাসার্ধ, OA = 7 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে দূরত্ব, OB = 25 সে.মি.
যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব।
∴ ΔOAB হতে পাই,
আমরা জানি,
OB2 = OA2 + AB2
⇒ AB2 = OB2 - OA2
⇒ AB2 = 252 - 72
⇒ AB2 = 625 - 49
⇒ AB = √576
∴ AB = 24
∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক = 24/2 = 12 সে.মি.
সমাধান:
মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ব্যাসার্ধ, OA = 7 সে.মি.
বৃত্তের কেন্দ্র হতে দূরত্ব, OB = 25 সে.মি.
যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব।
∴ ΔOAB হতে পাই,
আমরা জানি,
OB2 = OA2 + AB2
⇒ AB2 = OB2 - OA2
⇒ AB2 = 252 - 72
⇒ AB2 = 625 - 49
⇒ AB = √576
∴ AB = 24
∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অর্ধেক = 24/2 = 12 সে.মি.
১৮,৫৬০.
কবীর সাহেব ৬.২৫% সরল সুদে কিছু পরিমাণ টাকা ব্যাংকে রেখে ১৬ বছর পর সুদে-আসলে ৫০০০০ টাকা ফেরৎ পেলেন? তিনি কত টাকা ব্যাংকে রেখে ছিলেন?
ব্যাখ্যা
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, সুদাসল = আসল + সুদ ⇒ C = p + pnr/১০০
⇒ C = p (১ + nr/১০০)
⇒৫০০০ = p{(১০০+৬.২৫X১৬)/১০০}
⇒p = ৫০০০০০০/২০০
∴ p = ২৫০০০ টাকা
⇒ C = p (১ + nr/১০০)
⇒৫০০০ = p{(১০০+৬.২৫X১৬)/১০০}
⇒p = ৫০০০০০০/২০০
∴ p = ২৫০০০ টাকা
১৮,৫৬১.
১৩ এবং একটি সংখ্যার সমষ্টির এক-তৃতীয়াংশ, সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে ১ বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ এবং একটি সংখ্যার সমষ্টির এক-তৃতীয়াংশ, সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে ১ বেশি। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(১৩ + ক)/৩ = ২ক + ১
⇒ ৬ক + ৩ = ১৩ + ক
⇒ ৫ক = ১০
∴ ক = ২
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(১৩ + ক)/৩ = ২ক + ১
⇒ ৬ক + ৩ = ১৩ + ক
⇒ ৫ক = ১০
∴ ক = ২
১৮,৫৬২.
১২-এর বর্গ, ৮-এর ঘন এবং ১৬-এর বর্গ-এর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
১২-এর বর্গ = (১২ × ১২) = ১৪৪
৮ এর ঘন = (৮ × ৮ × ৮) = ৫১২
১৬ এর বর্গ = (১৬ × ১৬) = ২৫৬
১৪৪ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩) = (২৪× ৩২)
৫১২ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২) = (২৯) = (২৪ × ২৫)
২৫৬ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২) = (২৮) = (২৪ × ২৪)
সুতরাং, গ.সা.গু = (২৪) = (২ × ২ × ২ × ২) = ১৬
১৬ এর বর্গ = (১৬ × ১৬) = ২৫৬
১৪৪ = (২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩) = (২৪× ৩২)
৫১২ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২) = (২৯) = (২৪ × ২৫)
২৫৬ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২) = (২৮) = (২৪ × ২৪)
সুতরাং, গ.সা.গু = (২৪) = (২ × ২ × ২ × ২) = ১৬
১৮,৫৬৩.
বৃত্তের কেন্দ্র (6, 7) ও ব্যাসার্ধ 11 একক হলে, বৃত্তটির সমীকরণ হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র (6, 7) ও ব্যাসার্ধ 11 একক হলে, বৃত্তটির সমীকরণ হবে-
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
এখানে, a = 6, b = 7 এবং r = 11
∴ বৃত্তটির সমীকরণ, (x - 6)2 + (y − 7)2 = 112
⇒ x2 - 12x + 36 + y2 - 14y + 49 = 121
∴ x2 + y2 - 12x – 14y - 36 = 0
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ (x - a)2 + (y - b)2 = r2
এখানে, a = 6, b = 7 এবং r = 11
∴ বৃত্তটির সমীকরণ, (x - 6)2 + (y − 7)2 = 112
⇒ x2 - 12x + 36 + y2 - 14y + 49 = 121
∴ x2 + y2 - 12x – 14y - 36 = 0
১৮,৫৬৪.
9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2
প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n2 - 10n - 144 = 0
বা, n2 - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
অর্থাৎ n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n = 18 অথবা, n = - 8
এখানে n -এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2
প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n2 - 10n - 144 = 0
বা, n2 - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
অর্থাৎ n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n = 18 অথবা, n = - 8
এখানে n -এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18
১৮,৫৬৫.
একটি সুষম হেক্সাগনের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সুষম হেক্সাগনের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?
সমাধান :
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) × 90°
= 8 × 90°
= 720°
সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = 720° = আট সমকোণ
সমাধান :
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = (2 × 6 - 4) সমকোণ
= (12 - 4) × 90°
= 8 × 90°
= 720°
সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি = 720° = আট সমকোণ
১৮,৫৬৬.
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার
সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার
প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11
বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার
১৮,৫৬৭.
চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 হলে চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 হলে চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
কোনো একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি 1
চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3)
= 1/3
সমাধান:
কোনো একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাবনার সমষ্টি 1
চাকরি না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3)
= 1/3
১৮,৫৬৮.
x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = √8 + √7 হলে, x3 - 1/x3 এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7
∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7
এখন,
x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√7)3 + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = √8 + √7
∴ 1/x = √8 - √7
∴ x - 1/x
= √8 + √7 - √8 + √7
= 2√7
এখন,
x3 - 1/x3
= (x - 1/x)3 + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (2√7)3 + 3 × 2√7
= 56√7 + 6√7
= 62√7
১৮,৫৬৯.
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৫ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৮ সে.মি. ও ৫ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
এখানে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. এবং অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
সুতরাং,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৮ - ৫ সে.মি. = ৩ সে.মি.
সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
এখানে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৮ সে.মি. এবং অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
সুতরাং,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৮ - ৫ সে.মি. = ৩ সে.মি.
১৮,৫৭০.
একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর ৪ এবং ১০ তম পদটি ৪২ হলে ২৫ তম পদটি কত?
সমাধান:
ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ১০ তম পদ ৪২
সুতরাং a + (১০ - ১)×৪= ৪২
বা, a + ৩৬ = ৪২
a = ৬
সুতরাং, ২৫ তম পদ = ৬ + (২৫ - ১)× ৪
= ৬ + ৯৬
= ১০২
সমাধান:
ধরি
সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ১০ তম পদ ৪২
সুতরাং a + (১০ - ১)×৪= ৪২
বা, a + ৩৬ = ৪২
a = ৬
সুতরাং, ২৫ তম পদ = ৬ + (২৫ - ১)× ৪
= ৬ + ৯৬
= ১০২
১৮,৫৭১.
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা
এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ
সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।
১৮,৫৭২.
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৩৫। এদের একটি ৬/৭ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ১৮/৩৫। এদের একটি ৬/৭ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৩৫
এবং, একটি ভগ্নাংশ = ৬/৭
∴ অপর ভগ্নাংশটি = (১৮/৩৫)/(৬/৭)
= (১৮/৩৫) × (৭/৬)
= ৩/৫
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ১৮/৩৫
এবং, একটি ভগ্নাংশ = ৬/৭
∴ অপর ভগ্নাংশটি = (১৮/৩৫)/(৬/৭)
= (১৮/৩৫) × (৭/৬)
= ৩/৫
১৮,৫৭৩.
একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি আন্তঃনগর ট্রেনকে ঐ প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
আমরা জানি, প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।
∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
= (২৫০ + ১৫০) মিটার
= ৪০০ মিটার
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
আমরা জানি, প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য ও ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।
∴ ট্রেনটির অতিক্রান্ত দূরত্ব = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
= (২৫০ + ১৫০) মিটার
= ৪০০ মিটার
১৮,৫৭৪.
তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৫৯ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের অন্তর কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৫৯ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের অন্তর কত?
সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা:
ক, ক + ১, ক + ২
তাদের যোগফল দেওয়া আছে:
ক, ক + ১, ক + ২ = ১৫৯
⇒ ৩ক + ৩ = ১৫৯
⇒ ৩ক = ১৫৬
⇒ ক = ১৫৬/৩
⇒ ক = ৫২
সংখ্যাগুলো:
৫২, ৫৩, ৫৪
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বর্গের পার্থক্য:
৫৪২ - ৫২২
= (৫৪ + ৫২)(৫৪ - ৫২) [a2 - b2 = (a + b)(a - b) সূত্র ব্যবহার করে]
= ১০৬ × ২
= ২১২
১৮,৫৭৫.
PQ রেখাংশের উপর Z একটি বিন্দু হলে কোন সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQ রেখাংশের উপর Z একটি বিন্দু হলে কোন সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য?
সমাধান:
Z বিন্দুটি PQ রেখাংশের উপর অবস্থিত হলে, নিম্নলিখিত সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য হবে,
PZ + ZQ = PQ.
------------------
উল্লেখ্য -
খ) অপশনের ক্ষেত্রে PQ > PZ সব সময় প্রযোজ্য নয়, কেননা যদি বিন্দু Z ঠিক বিন্দু Q-এর ওপরই অবস্থান করে (অর্থাৎ Z ও Q অভিন্ন বিন্দু), তাহলে ঐ ক্ষেত্রে
𝑃𝑍 = 𝑃𝑄.
ফলে PQ > PZ আর সত্য থাকে না।
সমাধান:
Z বিন্দুটি PQ রেখাংশের উপর অবস্থিত হলে, নিম্নলিখিত সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য হবে,
PZ + ZQ = PQ.
------------------
উল্লেখ্য -
খ) অপশনের ক্ষেত্রে PQ > PZ সব সময় প্রযোজ্য নয়, কেননা যদি বিন্দু Z ঠিক বিন্দু Q-এর ওপরই অবস্থান করে (অর্থাৎ Z ও Q অভিন্ন বিন্দু), তাহলে ঐ ক্ষেত্রে
𝑃𝑍 = 𝑃𝑄.
ফলে PQ > PZ আর সত্য থাকে না।
১৮,৫৭৬.
13 + 23 + 33 +.......+ 143 = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 23 + 33 +.......+ 143 = ?
সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
= {14(14 + 1)/2}
= {(14 × 15)/2}2
= (210/2)2
= (105)2
= 11025
সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)/2}2
= {14(14 + 1)/2}
= {(14 × 15)/2}2
= (210/2)2
= (105)2
= 11025
১৮,৫৭৭.
x/a + a = x/b + b হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
x/a + a = x/b + b
or, x/a – x/b = b – a
or, x (1/a – 1/b) = b – a
or, x = (b – a)/(1/a – 1/b)
or, x = (b – a)/ {(b – a)/ab}
or, x = (b – a) × {ab/(b-a)}
or, x = ab
or, x/a – x/b = b – a
or, x (1/a – 1/b) = b – a
or, x = (b – a)/(1/a – 1/b)
or, x = (b – a)/ {(b – a)/ab}
or, x = (b – a) × {ab/(b-a)}
or, x = ab
১৮,৫৭৮.
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 12 টি হলে, এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 12 টি হলে এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = 12
ধরি,
বহিঃস্থ কোণ = θ
আমরা জানি,
nθ = 360°
θ = 360°/12
= 30°
∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = 180° - 30° = 150°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা n = 12
ধরি,
বহিঃস্থ কোণ = θ
আমরা জানি,
nθ = 360°
θ = 360°/12
= 30°
∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = 180° - 30° = 150°
১৮,৫৭৯.
১ মাইল = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ মাইল = কত?
সমাধান:
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার
১ কিলোমিটার = ০.৬২১৩ মাইল।
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
১ মাইল = ৫২৮০ ফুট
সমাধান:
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার
১ কিলোমিটার = ০.৬২১৩ মাইল।
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
১ মাইল = ৫২৮০ ফুট
১৮,৫৮০.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 27 হ্রাস পায়। অংক দুইটির যোগফল 9 হলে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
একক স্থানীয় অংক = x
এবং দশক স্থানীয় অংক = (9 - x)
∴ সংখ্যাটি = {x + 10(9 - x)} = 90 - 9x
আবার,
অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের পর সংখ্যাটি = {10x + (9 - x)} = 9x + 9
প্রশ্নমতে,
(90 - 9x) - (9x + 9) = 27
⇒ 90 - 9x - 9x - 9 = 27
⇒ - 18x + 81 = 27
⇒ - 18x = 27 - 81
⇒ - 18x = - 54
⇒ x = 54/18
⇒ x = 3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 90 - (9 × 3)
= 90 - 27 = 63
১৮,৫৮১.
৫ + ৯ + ১৩ + ...... + ৭৭ = ?
ব্যাখ্যা
a = ৫, d = ৪,
∴ ৭৭ = a + (n - ১)d
বা, ৭৭ = ৫ + (n - ১)৪
বা, ৭২ = ৪n - ৪
বা, ৪n = ৭৬
∴ n = ১৯
∴ s = (১৯/২){২×৫ + (১৯ - ১)৪}
= (১৯/২)(১০ + ৭২)
= (১৯×৮২)/২
= ৭৭৯
১৮,৫৮২.
৩০টি মেশিন ১ দিনে ৩০টি মোবাইল ফোন বানাতে পারে। ৬০টি মেশিন ৬ দিনে কয়টি মোবাইল ফোন বানাতে পারবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০টি মেশিন ১ দিনে ৩০টি মোবাইল ফোন বানাতে পারে। ৬০টি মেশিন ৬ দিনে কয়টি মোবাইল ফোন বানাতে পারবে?
সমাধান:
৩০টি মেশিন ১ দিনে বানাতে পারে ৩০ টি
১ টি মেশিন ১ দিনে বানাতে পারে (৩০ / ৩০) বা, ১ টি
৬০ টি মেশিন ৬ দিনে বানাতে পারে (১ × ৬০ × ৬) টি
= ৩৬০ টি
সমাধান:
৩০টি মেশিন ১ দিনে বানাতে পারে ৩০ টি
১ টি মেশিন ১ দিনে বানাতে পারে (৩০ / ৩০) বা, ১ টি
৬০ টি মেশিন ৬ দিনে বানাতে পারে (১ × ৬০ × ৬) টি
= ৩৬০ টি
১৮,৫৮৩.
আসল-মুনাফা একত্রে ৩৫০০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, আসল কত টাকা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: আসল-মুনাফা একত্রে ৩৫০০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, আসল কত টাকা?
সমাধান:
ধরি,
আসল = ৪ টাকা
মুনাফা = ৪ এর (১/৪) = ১ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (৪ + ১) = ৫ টাকা
এখন,
মুনাফা-আসল ৫ টাকা হলে আসল = ৪ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে আসল = ৪/৫ টাকা
মুনাফা-আসল ৩৫০০ টাকা হলে আসল = (৪ × ৩৫০০)/৫ টাকা
= ২৮০০ টাকা
সমাধান:
ধরি,
আসল = ৪ টাকা
মুনাফা = ৪ এর (১/৪) = ১ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (৪ + ১) = ৫ টাকা
এখন,
মুনাফা-আসল ৫ টাকা হলে আসল = ৪ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে আসল = ৪/৫ টাকা
মুনাফা-আসল ৩৫০০ টাকা হলে আসল = (৪ × ৩৫০০)/৫ টাকা
= ২৮০০ টাকা
১৮,৫৮৪.
একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?
সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √১০০০০ মিটার
= ১০০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ১০০) মিটার
= ৪০০ মিটার
সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √১০০০০ মিটার
= ১০০ মিটার
∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ১০০) মিটার
= ৪০০ মিটার
১৮,৫৮৫.
x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 1/x = 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/x = 5
(x2 + 1)/x = 5
x2 + 1 = 5x
প্রদত্ত রাশি = x/(x2 + x + 1)
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x
= 1/6
সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 1/x = 5
(x2 + 1)/x = 5
x2 + 1 = 5x
প্রদত্ত রাশি = x/(x2 + x + 1)
= x/(x2 + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x
= 1/6
১৮,৫৮৬.
A = y2 - y + 1 এবং B = 1 + y + y2 হলে, A × B = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = y2 - y + 1 এবং B = 1 + y + y2 হলে, A × B = কত?
সমাধান:
দেয়া আছে
A = y2 - y + 1
B = 1 + y + y2
A × B = (y2 - y + 1 ) × (1 + y + y2)
= y2(1 + y + y2) - y(1 + y + y2) + 1(1 + y + y2)
= y2 + y3 + y4 - y - y2 - y3 + 1 + y + y2
= 1 + y2 + y4
সমাধান:
দেয়া আছে
A = y2 - y + 1
B = 1 + y + y2
A × B = (y2 - y + 1 ) × (1 + y + y2)
= y2(1 + y + y2) - y(1 + y + y2) + 1(1 + y + y2)
= y2 + y3 + y4 - y - y2 - y3 + 1 + y + y2
= 1 + y2 + y4
১৮,৫৮৭.
৪% হার সুদে ৬২৫ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ এবং সরল সুদের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪% হার সুদে ৬২৫ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ এবং সরল সুদের পার্থক্য কত?
সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৬২৫,
সময়, n = ২ বছর,
মুনাফার হার, r = ৪%
আমরা জানি,
সরল সুদের ক্ষেত্রে,
সুদ = Pnr = ৬২৫ × ২ × (৪/১০০) = ৫০ টাকা
আবার,
চক্রবৃদ্ধি হারে,
সুদাসল = P(1 + r)n
= ৬২৫ × (১ + (৪/১০০))২
= ৬২৫ × {(১০৪ × ১০৪) / (১০০ × ১০০)} = ৬৭৬ টাকা
∴ সুদ = ৬৭৬ - ৬২৫ = ৫১ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ এবং সরল সুদের পার্থক্য = ৫১ - ৫০ = ১ টাকা।
সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৬২৫,
সময়, n = ২ বছর,
মুনাফার হার, r = ৪%
আমরা জানি,
সরল সুদের ক্ষেত্রে,
সুদ = Pnr = ৬২৫ × ২ × (৪/১০০) = ৫০ টাকা
আবার,
চক্রবৃদ্ধি হারে,
সুদাসল = P(1 + r)n
= ৬২৫ × (১ + (৪/১০০))২
= ৬২৫ × {(১০৪ × ১০৪) / (১০০ × ১০০)} = ৬৭৬ টাকা
∴ সুদ = ৬৭৬ - ৬২৫ = ৫১ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ এবং সরল সুদের পার্থক্য = ৫১ - ৫০ = ১ টাকা।
১৮,৫৮৮.
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5} হলে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
C = {2, 3, 4, 5}
C এর উপাদান সংখ্যা n=4
P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2n
= 24
= 16
C = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5}
C = {2, 3, 4, 5}
C এর উপাদান সংখ্যা n=4
P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2n
= 24
= 16
১৮,৫৮৯.
কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোনো ফল না ভেঙ্গে ১১৫টি কমলা এবং ১৩৫টি কলা ভাগ করে দেয়া যায়?
সমাধান:
১১৫ এর গুণিতক ৫, ২৩
এবং ১৩৫ এর গুণিতক ৫, ২৭
∴ ১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫
অতএব, ৫ জন শিশুর মধ্যে ভাগ করে দেয়া যাবে।
১৮,৫৯০.
একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
⇒ x2 = 512/2
⇒ x2 = 256
∴ x = 16
দৈর্ঘ্য = (16 × 2) মিটার
= 32 মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার
= 2 × 48 মিটার
= 96 মিটার
সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ঘরের বিস্তার = x মিটার
∴ আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
প্রশ্নমতে,
2x × x = 512
⇒ x2 = 512/2
⇒ x2 = 256
∴ x = 16
দৈর্ঘ্য = (16 × 2) মিটার
= 32 মিটার
আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2(32 + 16) মিটার
= 2 × 48 মিটার
= 96 মিটার
১৮,৫৯১.
টাকায় 5টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি মার্বেল বিক্রয় করতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: টাকায় 5টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি মার্বেল বিক্রয় করতে হবে?
সমাধান:
১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮৮ টাকা
আবার,
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য= ১১০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০/৮৮ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১০ × ১০০)/(১০০ × ৮৮) টাকা
= ১১০/৮৮ টাকা
১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৫ × ৮৮)/১১০ টি
= ৪ টি
সমাধান:
১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৮৮ টাকা
আবার,
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য= ১১০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১০০/৮৮ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১০ × ১০০)/(১০০ × ৮৮) টাকা
= ১১০/৮৮ টাকা
১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৫ × ৮৮)/১১০ টি
= ৪ টি
১৮,৫৯২.
x2 + y2 + z2 = 14 এবং (x + y + z)2 = 36 হলে xy + yz + zx =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + y2 + z2 = 14 এবং (x + y + z)2 = 36 হলে xy + yz + zx =?
সমাধান :
দেয়া আছে,
x2 + y2 + z2 = 14
(x + y + z)2 = 36
আমরা জানি,
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
বা, 36 = 14 + 2(xy + yz + zx)
বা, 2 (xy + yz + zx) = 36 - 14
বা, (xy + yz + zx) = 22
∴ xy + yz + zx = 11
সমাধান :
দেয়া আছে,
x2 + y2 + z2 = 14
(x + y + z)2 = 36
আমরা জানি,
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
বা, 36 = 14 + 2(xy + yz + zx)
বা, 2 (xy + yz + zx) = 36 - 14
বা, (xy + yz + zx) = 22
∴ xy + yz + zx = 11
১৮,৫৯৩.
বার্ষিক ৪.৫% সরল সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বার্ষিক ৪.৫% লাভে কত টাকা বিনিয়োগ কররে ৪ বছরে তা ৮২৬ টাকা হবে?
সমাধান:
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা =১৮ টাকা
সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল = (১০০ × ৮২৬)/১১৮ টাকা
= ৭০০ টাকা।
১৮,৫৯৪.
a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 7a - 6 এর উৎপাদক কত?
সমাধান:
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2 (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a (a - 3) + 2 (a -3)}
= (a + 1) (a - 3) (a + 2)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .
সমাধান:
a3 - 7a - 6
= a3 + a2 - a2 - a - 6a - 6
= a2 (a + 1) - a (a + 1) - 6 (a + 1)
= (a + 1) (a2 - a - 6)
= (a + 1) (a2 - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a (a - 3) + 2 (a -3)}
= (a + 1) (a - 3) (a + 2)
∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (a + 1)(a + 2)(a - 3) .
১৮,৫৯৫.
একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের ৪টি বাহু যথাক্রমে ৪, ৩, ২, ৫। এটি কোন ধরণের চতুর্ভুজ?
সমাধান:
• সমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু সমান
- বিপরীত বাহু সমান্তর
- বিপরীত কোণ সমান
• সামান্তরিক:
- বিপরীত বাহু সমান্তর।
- বিপরীত কোণ সমান।
- বিপরীত বাহু সমান।
• বিষমবাহু চতুর্ভুজ:
- সব বাহু ভিন্ন।
- সাধারণত কোনো কোণ বা বাহু সমান্তর নেই।
• আয়তক্ষেত্র:
- বিপরীত বাহুগুলো সমান।
- প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
∴ চতুর্ভুজটি হবে বিষমবাহু চতুর্ভুজ।
১৮,৫৯৬.
৭ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ : ৪ কে শতকরায় প্রকাশ করলে কত হবে?
সমাধান:
এখানে,
৭ : ৪
= ৭/৪
∴ শতকরায় প্রকাশ করলে,
= (৭/৪) × ১০০%
= (৭ × ২৫)%
= ১৭৫%
১৮,৫৯৭.
যদি x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200 হয়, তবে z এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200 হয়, তবে z এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে:
x : y = 4 : 3, y : z = 5 : 4 এবং x = 200
এখন,
x : y = 4 : 3
⇒ x/y = 4/3
⇒ 200/y = 4/3 [x = 200]
⇒ y = 200 × (3/4)
∴ y = 150
আবার,
y : z = 5 : 4
⇒ y/z = 5/4
⇒ 150/z = 5/4
⇒ z = 150 × (4/5)
∴ z = 120
১৮,৫৯৮.
কোনো দুর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে দুর্গে কত জন সৈন্য এসেছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো দুর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে দুর্গে কত জন সৈন্য এসেছিল?
সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন
১০ দিনের খাবার আছে ৭২০ জন সৈন্যের
১ দিনের খাবার আছে ১০ × ৭২০
৮ দিনের খাবার আছে (১০ × ৭২০) /৮
= ৯০০ জন
নতুন সৈন্য এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন
= ১৮০ জন
সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন
১০ দিনের খাবার আছে ৭২০ জন সৈন্যের
১ দিনের খাবার আছে ১০ × ৭২০
৮ দিনের খাবার আছে (১০ × ৭২০) /৮
= ৯০০ জন
নতুন সৈন্য এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন
= ১৮০ জন
১৮,৫৯৯.
চিত্রে n = ?
ব্যাখ্যা
এখানে,
n + 90° + 3n + 2n = 180°
বা, 6n = 90°
∴ n = 15°
১৮,৬০০.
logp(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: logp(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?
সমাধান:
logp(1/25) = - 2
⇒ p-2 = 1/25
⇒ p- 2 = 1/52
⇒ p-2 = 5- 2
⇒ p = 5
সমাধান:
logp(1/25) = - 2
⇒ p-2 = 1/25
⇒ p- 2 = 1/52
⇒ p-2 = 5- 2
⇒ p = 5