গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৮২ / ৪৭৫ · ১৮,১০১–১৮,২০০ / ৪৭,৮৩৩

১৮,১০১.

x² - 7x + 10 < 0 অসমতাটির সমাধান কী?

ক
ক) 2 < x < 5
খ
খ) - 2 < x < 5
গ
গ) - 5 < x < 2
ঘ
ঘ) 3 < x < 7

ব্যাখ্যা

x² - 7x + 10 < 0
x² - 2x - 5x + 10 < 0
x(x - 2) - 5 (x - 2 ) < 0
∴ (x - 2)(x - 5) < 0

x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 2< 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ, x < 2 এবং x > 5
2 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 7x + 10 < 0 সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন, x - 2 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x > 2 এবং x < 5
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 2 < x < 5

১৮,১০২.

বার্ষিক শতকরা ২৫ টাকা হার চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ৮০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত?

ক
১২৫০
খ
৪৫০
গ
১৫৫০
ঘ
৬৫০

ব্যাখ্যা

C = ৮০০(১ + ২৫%)^২
C = ৮০০ × ১২৫ × ১২৫ ÷ (১০০ × ১০০)
C = ১২৫০
নির্ণেয় চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১২৫০ - ৮০০ = ৪৫০

১৮,১০৩.

secA + tanA = 5/2 হলে secA - tanA = কত?

ক
1/2
খ
5/2
গ
1/5
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: secA + tanA = 5/2 হলে secA - tanA = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
বা, (secA + tanA) (secA - tanA) = 1
বা, secA - tanA = 1/(secA + tanA)
বা, secA - tanA = 1/(5/2)
∴ secA - tanA = 2/5

১৮,১০৪.

বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
- 3 ≤ x ≤ 2
খ
- (7/3) ≤ x ≤ 1
গ
- 2 ≤ x ≤ 5
ঘ
- (5/3) ≤ x ≤ 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় ∣3x+2∣ ≤ 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x + 2| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ 3x + 2 ≤ 5
⇒ - 5 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 5 - 2
⇒ - 7 ≤ 3x ≤ 3
⇒ - (7/3) ≤ x ≤ 1

১৮,১০৫.

x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
x + y + 1
খ
x + y - 1
গ
x - y - 1
ঘ
x - y

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- y²+ 2y - 1 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y +1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y +1)

∴ x² - y² + 2y - 1 এর দুটি উৎপাদক (x + y - 1) এবং (x - y +1)

১৮,১০৬.

x⁴ - 4x + 3 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x + 1
খ
খ) x - 1
গ
গ) x + 2
ঘ
ঘ) x - 2

ব্যাখ্যা

f(x) = x⁴ - 4x + 3
এখানে,
f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক।

১৮,১০৭.

একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ 160° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

ক
16
খ
17
গ
18
ঘ
19

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ 160° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অন্তঃস্থ কোণ = 160°
∴ বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ
= 180° - 160°
= 20°

∴ বাহুর সংখ্যা = 360°/20°
= 18

১৮,১০৮.

যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং xy = 9 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
x + y = 6 ........ (i)
xy = 9 ........ (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
y = 6 - x

এখন, y এর এই মানটি সমীকরণ (ii)-তে বসিয়ে পাই,
x(6 - x) = 9
বা, 6x - x² = 9
বা, x² - 6x + 9 = 0
বা, (x - 3)² = 0
বা, x - 3 = 0
∴ x = 3

১৮,১০৯.

২০টি কমলা ৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলো। তাহলে প্রতি ডজন কমলার ক্রয়মূল্য কত?

ক
৪০ টাকা
খ
৩৬ টাকা
গ
৫৪ টাকা
ঘ
৪৮ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০টি কমলা ৮০ টাকায় বিক্রি করায় ২০% লাভ হলো। তাহলে প্রতি ডজন কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% লাভে, বিক্রয় মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৮০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৮০০০/১২০ = ২০০/৩ টাকা

এখন,
২০ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/৩ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০/(৩ × ২০) টাকা
∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (২০০ × ১২)/(৩ × ২০) টাকা
= ৪০ টাকা

১৮,১১০.

আপনার বিদ্যুতের মাসিক বিল বর্তমানে ৫০০ টাকা। যদি ৬ মাস পর বিল ১২% বৃদ্ধি পায় এবং তারপর আরো ১ বছর পর ১৫% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে?

ক
৫৮৪ টাকা
খ
৬১৫ টাকা
গ
৬৩০ টাকা
ঘ
৬৪৪ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আপনার বিদ্যুতের মাসিক বিল বর্তমানে ৫০০ টাকা। যদি ৬ মাস পর বিল ১২% বৃদ্ধি পায় এবং তারপর আরো ১ বছর পর ১৫% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে?

সমাধান:
১২% বৃদ্ধিতে,
৬ মাস পর নতুন বিল = ৫০০ + (৫০০ এর ১২%)
= ৫০০ + {৫০০ × (১২/১০০)}
= (৫০০ + ৬০) = ৫৬০ টাকা

আবার,
১৫% বৃদ্ধিতে
১ বছর পর নতুন বিল = ৫৬০ + (৫৬০ এর ১৫%)
= ৫৬০ + {৫৬০ + (১৫/১০০)}
= (৫৬০ + ৮৪) = ৬৪৪ টাকা।

∴ ১৮ মাস পর আপনার বিল হবে ৬৪৪ টাকা।

১৮,১১১.

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০০ বর্গমিটার
খ
২৫৬ বর্গমিটার
গ
২৮০ বর্গমিটার
ঘ
২০৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৩২ মিটার এবং প্রস্থ ২৪ মিটার। এর ভিতরের চারদিকে ২ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৩২ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ২৪ মিটার
∴ আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৩২ × ২৪) বর্গমিটার
= ৭৬৮ বর্গমিটার

আবার,
রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = {৩২ - (২ × ২)} মিটার
=২৮ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = {২৪ - (২ × ২)} মিটার
= ২০ মিটার
∴ রাস্তাবাদে আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (২৮ × ২০) বর্গমিটার
= ৫৬০ বর্গমিটার

∴ রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৭৬৮ - ৫৬০) বর্গমিটার
= ২০৮ বর্গমিটার।

১৮,১১২.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসলে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
30 জন
খ
40 জন
গ
50 জন
ঘ
60 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসলে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি, ছাত্র সংখ্যা = x
6 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x/6) + 3
আবার, 3 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x - 6)/3

প্রশ্নমতে,
∴ (x/6) + 3 = (x - 6)/3
⇒ (x + 18)/6 = (x - 6)/3
⇒ 6x - 36 = 3x + 54
⇒ 6x - 3x = 54 + 36
⇒ 3x = 90
⇒ x = 90/3
∴ x = 30

∴ ছাত্র সংখ্যা = 30 জন ।

১৮,১১৩.

x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) z/x < z/y
গ
গ) x/z > y/z
ঘ
ঘ) xz < yz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

১৮,১১৪.

x = √6 + √5 হলে, x²+ 1/x² এর মান কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 18
গ
গ) 22
ঘ
ঘ) 26

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = √6 + √5 হলে, x²+ 1/x² এর মান কত?

সমাধান:
x = √6 + √5
⇒ 1/x = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/x = (√6 - √5)/(6 - 5)
∴ 1/x = √6 - √5

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 × x × 1/x
⇒ x² + (1/x²) = (√6 + √5 + √6 - √5)² - 2
⇒ x² + (1/x²) = (2√6)² - 2
⇒ x² + (1/x²) = 24 - 2
∴ x² + (1/x²) = 22

১৮,১১৫.

যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

ক
1/6
খ
1/5
গ
1/7
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan 53° = 4/3

আমরা জানি,
8° = 53° - 45°
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°) ; [tan(x - y) = (tanx - tany)/(1 + tanx . tany)]
⇒ tan8° = {(4/3) - 1){/{(1 + (4/3)}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
⇒ tan8° = (1/3) × (3/7)
∴ tan8° = 1/7

১৮,১১৬.

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯২° তাহলে ঐ ত্রিভুজের অপর একটি কোণের মান কত হবে?

ক
ক) ৪৪°
খ
খ) ৪২°
গ
গ) ৫৪°
ঘ
ঘ) ৪৫°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির অপর কোণ দুটির সমষ্টি = ১৮০° - ৯২° = ৮৮°

অপর কোণদ্বয় = ৮৮°/২ = ৪৪°

১৮,১১৭.

AFGHANISTAN শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

ক
ক) 6!/3!2!
খ
খ) 11!
গ
গ) 11!/3!2!
ঘ
ঘ) 11!/5!

ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে, যাদের 3টি A এবং 2টি N বাকী অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 11!/3!2!

১৮,১১৮.

অনুপাত কী?

ক
ক) একটি পূর্ণসংখ্যা
খ
খ) একটি মৌলিক সংখ্যা
গ
গ) একটি ভগ্নাংশ
ঘ
ঘ) একটি জোড় সংখ্যা

ব্যাখ্যা

দুইটি সমজাতীয় রাশির একটি উপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।
রাশি দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোনো একক নেই।

১৮,১১৯.

0.001 / (0.1 X 0.1) = কত?

ক
ক) 0.001
খ
খ) 0.01
গ
গ) 0.1
ঘ
ঘ) 1.0

ব্যাখ্যা

0.001 / (0.1 X 0.1)
= 0.001 / 0.01
= 0.1

১৮,১২০.

x - (1/x) = 3√5 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

ক
378
খ
525
গ
322
ঘ
364

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - (1/x) = 3√5 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 3√5

আমরা জানি,
{x + (1/x)}² = {x - (1/x)}² + 4x(1/x)
⇒ {x + (1/x)}² = (3√5)² + 4
⇒ {x + (1/x)}² = 45 + 4 = 49
⇒ {x + (1/x)}² = 49 = 7²
∴ x + (1/x) = 7

প্রদত্ত রাশি,
x³ + (1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3 . x . (1/x)(x + 1/x)
= 7³ - 3 . 7
= 343 - 21
= 322

১৮,১২১.

log_x(1/40√5) = - 3 হলে, x এর মান কত?

ক
4√5
খ
√5
গ
2√5
ঘ
3√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/40√5) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/40√5) = - 3
বা, x^-3 = 1/40√5
বা, 1/x³ = 1/40√5
বা, x³ = 40√5
বা, x³ = (2√5)³
∴ x = 2√5

১৮,১২২.

৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

ক
১৩৫°
খ
১৪০°
গ
১৪৫°
ঘ
১৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের সূত্র:
= [(n - ২) × ১৮০°] / n
= [(8 - ২) × ১৮০°] / ৮
= (৬ × ১৮০°) / ৮
= ১০৮০°/ ৮
= ১৩৫°

∴ ৮ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১৩৫°

১৮,১২৩.

১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ...................... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
ক) ৪০
খ
খ) ৫৫
গ
গ) ৬৮
ঘ
ঘ) ৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ...................... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধারাটি
১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১,.........
পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান

এখানে,
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
৮ + ১৩ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫

১৮,১২৪.

3p² - p - 14 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(p - 2)(2p + 7)
খ
(p + 2)(3p - 7)
গ
(p + 7)(2p + 3)
ঘ
(p - 7)(2p - 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3p² - p - 14 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
3p² - p - 14
= 3p² - 7p + 6p - 14
= p(3p - 7) + 2(3p - 7)
= (p + 2)(3p - 7)

১৮,১২৫.

(4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1}= কত?

ক
2
খ
- 2
গ
1/2
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1} = কত?

সমাধান:
4.2^{n - 2} ÷ 2^{n + 1}
= (2² . 2^{n - 2}) / 2^{n + 1}
= 2^{2 + n - 2} / 2^{n + 1}
= 2ⁿ / 2^{n + 1}= 2^{n - n - 1}
= 2^-1
= 1/2

১৮,১২৬.

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, এর ভূমি কত ?

ক
১০ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
১২ মিটার
ঘ
১১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৫০ বর্গমিটার এবং উচ্চতা ১৫ মিটার হলে, এর ভূমি কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ১৫০ বর্গমিটার
উচ্চতা = ১৫ মিটার

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
⇒ ১৫০ = ভূমি × ১৫
⇒ ভূমি = ১৫০ ÷ ১৫
∴ ভূমি = ১০

∴ সামান্তরিকটির ভূমি = ১০ মিটার

১৮,১২৭.

x = 2 + 2^2/3 + 2^1/3 হলে, x³ - 6x² + 6x - 2 মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 27
গ
গ) 54
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

x = 2 + 2^2/3 + 2^1/3
⇒ x - 2 = 2^2/3 + 2^1/3
⇒ (x - 2)³ = (2^2/3 + 2^1/3)³
⇒ x³ - 3.x².2 + 3.x.2² - 2³ = (2^2/3)³ + (2^1/3)³ + 3.2^2/3.2^1/3( 2^2/3 + 2^1/3)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 2² + 2¹ + 3.2(x - 2)
⇒ x³ - 6x² + 12x - 8 = 4 + 2 + 6x - 12
⇒ x³ - 6x² + 6x - 2 = 0

১৮,১২৮.

'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কোনটি?

ক
3 : 1
খ
1 : 2
গ
1 : 1
ঘ
4 : 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি P, 1টি O, 1টি E এবং 1টি R আছে।

শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 720/2
= 360 উপায়ে৷

DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, E আছে 3 টি।
∴ DEGREE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 360 : 120
= 3 : 1

১৮,১২৯.

ΔABC এর AB = AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) BC + CD > 2AC
খ
খ) ∠BCD = এক সমকোণ
গ
গ) ∠BDC = ∠ACD
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

AB = AC = AD
ΔBCD এ,
BC + CD > BD
BC + CD > AB + AD
BC + CD > AD + AD
BC + CD > 2AD
BC + CD > 2AC

AB = AC
∠ABC = ∠ACB
∠DBC = ∠ACB

AC = AD
∠ADC = ∠ACD
∠BDC = ∠ACD

ΔBCD এ
∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = দুই সমকোণ
∠ACD + ∠ACB + ∠BCD = দুই সমকোণ
∠BCD + ∠BCD = দুই সমকোণ
2∠BCD = দুই সমকোণ
∠BCD = এক সমকোণ

১৮,১৩০.

স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ৫২ মিনিটে ১৩ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ ৪ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

ক
১৫ কি.মি./ঘণ্টা
খ
১৭ কি.মি./ঘণ্টা
গ
১৯ কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
২১ কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্রোতের বিপরীতে একটি নৌকা ৫২ মিনিটে ১৩ কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের বেগ ৪ কি.মি./ঘণ্টা হলে স্থির পানিতে নৌকার বেগ কত?

সমাধান:
স্রোতের বিপরীতে নৌকাটি ৫২ মিনিটে যায় = ১৩ কি.মি.
∴ স্রোতের বিপরীতে নৌকাটি ৬০ মিনিটে যায় = (১৩ × ৬০)/৫২ কি.মি.
= ১৫ কি.মি.

∴ স্থির পানিতে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৫ + ৪ কি.মি./ঘণ্টা
= ১৯ কি.মি./ঘণ্টা

১৮,১৩১.

a + (2/a) = 3 হলে a³ + (8/a³) এর মান কত?

ক
2
খ
8
গ
9
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + (2/a) = 3 হলে a³ + (8/a³) এর মান কত?

সমাধান:
a³ + 8/a³
= a³ + (2/a)³
= (a + 2/a)³ - 3.a.(2/a).(a + 2/a)
= 3³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

১৮,১৩২.

A man can row at 5 kmph in still water. If the velocity of current is 1 kmph and it takes him 1 hour to row to a place and come back, how far is the place?

ক
ক) 2.4 km
খ
খ) 2.5 km
গ
গ) 3 km
ঘ
ঘ) 3.6 km
ঙ
ঙ) None of these

ব্যাখ্যা

Speed downstream = (5 + 1) kmph = 6 kmph
Speed upstream = (5 - 1) kmph = 4 kmph
Let the required distance be x km
Then,
(x/6)+(x/4) = 1
⇒ 2x + 3x = 12
⇒ 5x = 12
⇒ x = 2.4 km

১৮,১৩৩.

৪০ টি আপেলের ৪০% পচা হলে, ভালো আপেলের সংখ্যা কত?

ক
২৪
খ
১৬
গ
২৫
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০ টি আপেলের ৪০% পচা হলে, ভালো আপেলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
পচা আপেলের সংখ্যা = ৪০ এর ৪০%
= ৪০ × ৪০/১০০
= ১৬টি

∴ ভালো আপেলের সংখ্যা = (৪০ - ১৬) টি
= ২৪ টি

১৮,১৩৪.

(1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1
গ
1/4
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) + (1/4²) + (1/4³) + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

১৮,১৩৫.

২০ এর কত শতাংশ ১ এর ২০ শতাংশের সমান হবে?

ক
২০%
খ
১%
গ
০.১%
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ এর কত শতাংশ ১ এর ২০ শতাংশের সমান হবে?

সমাধান:
১ এর ২০ শতাংশ = (১ × ২০)/১০০ = ১/৫

২০ এ আছে = ১/৫
∴ ১ এ আছে = ১/(৫ × ২০)= ১/১০০
∴ ১০০ এ আছে = ১০০/১০০ = ১

∴ ২০ এর ১ শতাংশ, ১ এর ২০ শতাংশের সমান হবে।

১৮,১৩৬.

x² = 3x - 1 হলে (x⁸ + 1)/x⁴ এর মান কত?

ক
47
খ
31
গ
74
ঘ
49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = 3x - 1 হলে (x⁸ + 1)/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x²= 3x - 1
x² + 1 = 3x
x²/x + 1/x = 3x/x
x + 1/x = 3

(x⁸ + 1)/x⁴ = x⁸/x⁴ + 1/x⁴
= x⁴ + 1/x⁴
= (x²)² + (1/x²)
= (x² + 1/x²)2 - 2.x².1/x²
= {(x + 1/x)² - 2.x.1/x}² - 2
= {3²- 2}² - 2
= (9 - 2)²- 2
= 7² - 2
= 49 - 2
= 47

১৮,১৩৭.

৫০ সংখ্যাটির ছোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

ক
১২
খ
১৪
গ
১৫
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ সংখ্যাটির ছোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

আমরা জানি,
১ থেকে ৫০ পর্যন্ত ১৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ এবং ৪৭।

১৮,১৩৮.

একটি বাক্সে 2টি সাদা বল, 3টি লাল বল এবং 5টি কালো বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল থাকে?

ক
ক) 63
খ
খ) 85
গ
গ) 120
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 2টি সাদা বল, 3টি লাল বল এবং 5টি কালো বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
লাল বল = 3টি
কালো বল = 5টি

3টি লাল বল থেকে 1টি এবং 7 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি নিয়ে উপায় =³C₁ × ⁷C₂
3টি লাল বল থেকে 2টি এবং 7 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি নিয়ে উপায় =³C₂ ×⁷C₁
3টি লাল বল থেকে 3টি = ³C₃

মোট উপায় = (³C₁ × ⁷C₂) + (³C₂ × ⁷C₁) + (³C₃)
= 3 × 21 + 3 × 7 + 1
= (63 + 21 + 1)
= 85

১৮,১৩৯.

লেবুর দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি লেবু বেশি পাওয়া গেলে বর্তমান একটি লেবুর দাম কত?

ক
১.২ টাকা
খ
২.৫ টাকা
গ
৩.০০ টাকা
ঘ
৪.০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: লেবুর দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি লেবু বেশি পাওয়া গেলে বর্তমান একটি লেবুর দাম কত?

প্রশ্ন:
২০% হ্রাসে,
পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা
পূর্বমূল্য ১ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০/১০০ টাকা
পূর্বমূল্য ১২ টাকা হলে বর্তমান মূল্য (৮০ × ১২)/ ১০০ টাকা
= ৯.৬ টাকা

২টি লেবুর বর্তমান মূল্য = (১২ - ৯.৬) = ২.৪ টাকা
∴ ১টি কলার বর্তমান মূল্য = ২.৪ ÷ ২ = ১.২ টাকা

১৮,১৪০.

log₂log₃(log₃27³) = ?

ক
0
খ
2
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂ log₃ (log₃27³) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂ log₃ (log₃27³)
= log₂ log₃(3log₃3³)
= log₂ log₃(9log₃3)
= log₂ log₃9 ; [log_aa = 1]
= log₂ (log₃3²)
= log₂ (2log₃3)
= log₂2
= 1

১৮,১৪১.

একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
৫০
খ
৬০
গ
৭০
ঘ
৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি
ছাত্রসংখ্যা = (ক - ৩) × ৪ জন
= (১৮ - ৩) × ৪ জন
= ১৫ × ৪ জন
= ৬০ জন

১৮,১৪২.

১ ট্রিলিয়ন = কত?

ক
১ লক্ষ কোটি
খ
১০ লক্ষ কোটি
গ
১০০ কোটি
ঘ
১০ কোটি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ ট্রিলিয়ন = কত?

সমাধান:
১ ট্রিলিয়ন = ১০^১২
= ১০^৫ × ১০^৭
= ১০^৫ × ১ কোটি
= ১ লক্ষ কোটি

১৮,১৪৩.

একজন নির্মাতা এবং একজন খুচরা বিক্রেতা উভয় ২০% লাভে একটি দ্রব্য বিক্রয় করে, যদি ঐ দ্রব্যের নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

ক
৪২০ টাকা
খ
৪৩২ টাকা
গ
৩৮৮ টাকা
ঘ
৫৮৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন নির্মাতা এবং একজন খুচরা বিক্রেতা উভয় ২০% লাভে একটি দ্রব্য বিক্রয় করে, যদি ঐ দ্রব্যের নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হয় তবে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২০% লাভে,
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রেতার ক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩০০)/১০০ টাকা
= ৩৬০ টাকা

আবার,
খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে খুচরা বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৩৬০)/১০০ টাকা
= ৪৩২ টাকা

∴ খুচরা মূল্য = ৪৩২ টাকা ।

১৮,১৪৪.

5 + 10 + 20 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1515
খ
খ) 5225
গ
গ) 5115
ঘ
ঘ) 2560

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ......... ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10/5 = 2 > 1
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি Sn = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

প্রথম 10টি পদের সমষ্টি = [5{(2)¹⁰ - 1}]/(2 - 1)
= [5 × (1024 - 1)]
= 5 × 1023
= 5115

১৮,১৪৫.

১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় এবং বাকী গুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতি বারে ৫টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক
১৭০
খ
১৮২
গ
১৯০
ঘ
১৯২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় এবং বাকী গুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতি বারে ৫টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাছাই করতে হবে ৫টি। বাছাই করার উপায় আছে দুভাবে,
i) ৫টির সবগুলোই ভিন্ন ভিন্ন।
ii) একজাতীয় ২টি একসাথে এবং অন্য ৩টি ভিন্ন।

ক) এর ক্ষেত্রে ১০টি জিনিসের মধ্যে যে ২টি জিনিস একই রকম তাদেরকে একটি ধরে মোট ৯টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৫টি জিনিস বাছাই করা যায়
৯C৫
= ৯!/{৫!×(৯ - ৫)!}
= (৯×৮×৭×৬×৫!)/(৫!×৪!)
= (৯×৮×৭×৬)/২৪
= ১২৬ ভাবে।

খ) এর ক্ষেত্রে প্রথমে, ২টি একজাতীয় এর ২টি-ই নেয়ার পর অবশিষ্ট ১০ - ২ = ৮টি থেকে পরের (৫ - ২) = ৩টি নেয়া যায়
২C২×৮C৩
= {২!/(২!×(২ - ২)!)} × {৮!/(৩!×(৮ - ৩)!)}
= {২!/(২!×০!)} × {(৮×৭×৬×৫!)/(৬×৫!)}
= ১×৫৬
= ৫৬ ভাবে।

∴ মোট বাছাই করা যাবে = ১২৬+৫৬
= ১৮২ ভাবে।

১৮,১৪৬.

A = 30° হলে sin(3A/2) = কত?

ক
√3
খ
√2/3
গ
1/√3
ঘ
1/√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = 30° হলে sin(3A/2) = কত?

সমাধান:
A = 30°

এখন
sin(3A/2)
= sin{(3 × 30°)/2}
= sin45°
= 1/√2

১৮,১৪৭.

একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান। বস্তুর আয়তন ৫১২ ঘন সে.মি. হলে, তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৮০ বর্গ সে.মি.
খ
৪৪ বর্গ সে.মি.
গ
৩৬ বর্গ সে.মি.
ঘ
৬৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান। বস্তুর আয়তন ৫১২ ঘন সে.মি. হলে, তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = ক হলে, ঘনবস্তুর বস্তুর আয়তন = ক^৩

প্রশ্নমতে,
ক^৩= ৫১২
⇒ ক^৩= ৮^৩
∴ ক = ৮

∴ ঘনবস্তুর একটি তলের ক্ষেত্রফল = ৮^২ = ৬৪ বর্গ সে.মি.

১৮,১৪৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
ক) ১২ মিটার
খ
খ) ৮ মিটার
গ
গ) ৬ মিটার
ঘ
ঘ) ৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হল ১২√৩ মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে
3a = 12√3
⇒ a = 4√3

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (4√3)2
= (√3/4) × 16 × 3
= 12√3

সমবাহু ত্রিভুজ এর উচ্চতা =h

এখন,
(1/2)ah = 12√3
⇒ (1/2) × 4√3 × h = 12√3
⇒ 2√3h = 12√3
⇒ h = 12√3/2√3
⇒ h = 6

সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা ৬ মিটার।

১৮,১৪৯.

কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

ক
540 ঘন সে.মি.
খ
524 ঘন সে.মি.
গ
516 ঘন সে.মি.
ঘ
512 ঘন সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 8√2 সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
মনে করি,
ঘনকের এক ধার = a
ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2

প্রশ্নমতে,
a√2 = 8√2
∴ a = 8

ঘনকটির আয়তন = a³
= 83
= 512 ঘন সে.মি.

১৮,১৫০.

৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

ক
১২ টি
খ
১৪ টি
গ
১৬ টি
ঘ
১৮ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৩C_১ × ^৪C_২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে

১৮,১৫১.

2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] এর সরলমান কত?

ক
a
খ
b
গ
a + b
ঘ
a - b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}] এর সরলমান কত?

সমাধান:
2a - b - [2b - {3c - (a - 3b + 3c)}]
= 2a - b - [2b - {3c - a + 3b - 3c}]
= 2a - b - [2b - 3c + a - 3b + 3c]
= 2a - b - [a - b]
= 2a - b - a + b
= 2a - a
= a

১৮,১৫২.

একটি মুদ্রা 2 বার নিক্ষেপ করলে অন্তত: 1 বার Head পরার সম্ভাবনা কত?

ক
১/২
খ
২/৩
গ
৩/৪
ঘ
১ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা 2 বার নিক্ষেপ করলে অন্তত: 1 বার Head পরার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা 2 বার নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে = HH, HT, TH, TT
সঅন্তত: 1 বার Head পরার এমন ঘটনা = HT, TH, HH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে সর্বোচ্চ একটি H আসার সম্ভবনা = ৩/৪

১৮,১৫৩.

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

ক
ক) n(n + 1)/2
খ
খ) n/2
গ
গ) n(n + 1)
ঘ
ঘ) (n + 1)/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
আবার,
গড় = সংখ্যার সমষ্টি/মোট সংখ্যা

∴ n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = {n (n + 1)/2}/n
= {n(n + 1)/2} × 1/n
= (n + 1)/2

১৮,১৫৪.

১৮ ফিট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

ক
১৫ ফুট
খ
১২ ফুট
গ
৯ ফুট
ঘ
৬ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৮ ফিট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান

ধরি,
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি,
sin30° = লম্ব/অতিভূজ
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
∴ h = ৬
অর্থাৎ, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

১৮,১৫৫.

প্রতি বছর একটি গ্রামের লোকসংখ্যার ৯% জন্মগ্রহণ করে এবং ৫% মারা যায়। এক বছরে ঐ গ্রামে ৬০০ জন লোক বাড়লে, ঐ গ্রামের মোট লোকসংখ্যা কত?

ক
১৪০০০ জন
খ
১৫০০০ জন
গ
১৬০০০ জন
ঘ
২০০০০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি বছর একটি গ্রামের লোকসংখ্যার ৯% জন্মগ্রহণ করে এবং ৫% মারা যায়। এক বছরে ঐ গ্রামে ৬০০ জন লোক বাড়লে, ঐ গ্রামের মোট লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
জন্মগ্রহণ করে = ৯%
মারা যায় = ৫%

∴বৃদ্ধি পায় = ৯% - ৫% = ৪%
অর্থাৎ, ১০০ জনে বৃদ্ধি পায় ৪ জন

এখন,
৪ জন বৃদ্ধি পেলে মোট লোকসংখ্যা = ১০০ জন
১ জন বৃদ্ধি পেলে মোট লোকসংখ্যা = ১০০/৪ জন
∴ ৬০০ জন বৃদ্ধি পেলে মোট লোকসংখ্যা = (১০০/৪) × ৬০০ জন
= ১৫০০০ জন

১৮,১৫৬.

ঘড়িতে যখন ৮ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?

ক
১১০°
খ
১২০°
গ
১৩৬°
ঘ
১৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন ৮ টা বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = | ( ১১ × M - H × ৬০ )/২ |°

∴ নির্ণেয় কোণ = | ( ১১ × ০০ - ৬০ × ৮)/২ |°
= |(০০ - ৪২০)/২ |°
= | - ৪৮০/২ |
= ২৪০°
= ৩৬০° - ২৪০° [১৮০° অপেক্ষা বড় হওয়ায় ৩৬০° থেকে বিয়োগ করা হয়েছে]
= ১২০°

১৮,১৫৭.

১ থেকে ২৪ পর্যন্ত ২ এর গুণিতক সংখ্যাগুলোকে বড় থেকে ছোট আকারে সাজালে নিচের দিক থেকে অষ্টম স্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ১৪
খ
খ) ১৬
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ১০

ব্যাখ্যা

১ থেকে ২৪ পর্যন্ত ২ এর গুণিতক সংখ্যাগুলো বড় থেকে ছোট আকারে সাজালে পাই = ২৪, ২২, ২০, ১৮, ১৬, ১৪, ১২, ১০, ৮, ৬, ৪, ২

২ থেকে শুরু করে অষ্টম স্থানে সংখ্যাটি হবে= ১৬

১৮,১৫৮.

১৫ টাকায় ৬টি করে লিচু কিনে ১২০ টাকায় কয়টি লিচু বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

ক
৩০ টি
খ
৩৬ টি
গ
৪০ টি
ঘ
৪৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ টাকায় ৬টি করে লিচু কিনে ১২০ টাকায় কয়টি লিচু বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% লাভে,
৬টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১৫ × (১২০/১০০) টাকা = ১৮ টাকা

১৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৬ টি লিচু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৬/১৮ টি লিচু
∴ ১২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (৬/১৮) × ১২০ টি লিচু
= ৪০ টি লিচু
∴ ১২০ টাকায় বিক্রয় করতে হলে ৪০ টি লিচু বিক্রি করতে হবে।

১৮,১৫৯.

যদি 3x + y = 7 এবং 3x - y = 5 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

ক
(2, 1)
খ
(2, 2)
গ
(3, 2)
ঘ
(3, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 3x - y = 5 হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

সমাধান:
3x + y = 7
⇒ y = 7 - 3x ............... (1)
3x - y = 5 ............. (2)

y এর মান (2) নং সমীকরণে বসাই,
⇒ 3x - (7 - 3x) = 5
⇒ 3x - 7 + 3x = 5
⇒ 6x - 7 = 5
⇒ 6x = 12
∴ x = 2

x এর মান (1) নং হতে পাই,
y = 7 - (3 × 2)
⇒ y = 7 - 6
∴ y = 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (2, 1)

১৮,১৬০.

৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

ক
৪৫
খ
৯০
গ
৮৬
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৬C_১ × ^৫C_২
= ৬ × ১০
= ৬০ ।

১৮,১৬১.

দুটি পাইপ A এবং B যথাক্রমে ১২ মিনিট এবং ১৫ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পানিপূর্ণ করতে পারে এবং অন্য একটি পাইপ C পূর্ণ চৌবাচ্চাকে ২০ মিনিটে খালি করতে পারে। সবগুলি পাইপ একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি ভর্তি হতে কতক্ষণ লাগবে?

ক
ক) ১৫ মিনিট
খ
খ) ১০ মিনিট
গ
গ) ১২ মিনিট
ঘ
ঘ) ১৪ মিনিট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি পাইপ A এবং B যথাক্রমে ১২ মিনিট এবং ১৫ মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পানিপূর্ণ করতে পারে এবং অন্য একটি পাইপ C পূর্ণ চৌবাচ্চাকে ২০ মিনিটে খালি করতে পারে। সবগুলি পাইপ একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি ভর্তি হতে কতক্ষণ লাগবে?

সমাধান:
সবগুলি পাইপ একসাথে খুলে দিলে,
১ মিনিটে ভর্তি হয় = (১/১২+ ১/১৫ - ১/২০) অংশ
= (৫ + ৪ - ৩)/৬০ অংশ
= ৬/৬০ অংশ
= ১/১০ অংশ

∴ সবগুলি পাইপ একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি ভর্তি হতে ১০ মিনিট সময় লাগবে।

১৮,১৬২.

x + y = 8 হলে , xy এর বৃহত্তম মান কত?

ক
20
খ
12
গ
16
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8 হলে , xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 7 হয়।
∴ xy = 7
x এর মান 2 হলে y এর মান 6 হয়।
∴ xy = 12
x এর মান 3 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 15
x এর মান 4 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 16
x এর মান 5 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 15
সুতরাং xy এর বৃহত্তম মান 16.

১৮,১৬৩.

A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৫ ও ১/৯। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

ক
১১/৪০
খ
৩/১০
গ
১৫/৩২
ঘ
১৩/৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৫ ও ১/৯। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৫)
= ৪/৫

B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৯)
= ৮/৯

∴ A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= (৪/৫) × (৮/৯)
= ৩২/৪৫

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (৩২/৪৫)
= ১৩/৪৫

১৮,১৬৪.

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ দুইটি সংখ্যা ২৬ এবং ৩৭ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ২২
খ
খ) ৩৩
গ
গ) ৩৬
ঘ
ঘ) ৪২

ব্যাখ্যা

৩টি সংখ্যার গড় ৩৩ হলে এদের সমষ্টি = ৩ × ৩৩ = ৯৯
দুইটি সংখ্যা ২৬ এবং ৩৭ হলে অপর সংখ্যাটি হবে = ৯৯ - (২৬ + ৩৭) = ৩৬

১৮,১৬৫.

একটি সংখ্যা ৭৫৭ থেকে যত ছোট ৫৫৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

ক
৬৮০
খ
৬৭২
গ
৬৬০
ঘ
৬৫৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৫৭ থেকে যত ছোট ৫৫৫ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ”ক”

প্রশ্নমতে,
ক - ৫৫৫ = ৭৫৭ - ক
⇒ ক + ক = ৭৫৭ + ৫৫৫
⇒ ২ক = ১৩১২
⇒ ক = ১৩১২ ÷ ২
∴ ক = ৬৫৬

১৮,১৬৬.

x + 1/x = 2√3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

ক
102
খ
82
গ
98
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1/x = 2√3 হলে x⁴ + 1/x⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2√3
⇒ {x + (1/x)}² = (2√3)² [বর্গ করে] [(a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ x² + 2 × x × (1/x) + (1/x)² = 12
⇒ x² + (1/x²) = 12 - 2
⇒ {x² + (1/x²)}² = 10² [আবার বর্গ করে]
⇒ (x²)² + 2 × x² × (1/x²) + (1/x²)}² = 100
⇒ x⁴ + 1/x⁴ = 100 - 2
∴ x⁴ + 1/x⁴ = 98

১৮,১৬৭.

256 + 128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
2^{9 - n}
খ
2^{8 - n}
গ
2^{n - 10}
ঘ
2^{n - 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 + 128 + 64 + 32 + ------ ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = 256
সাধারণ অনুপাত, r = 128/256 = 1/2

আমরা জানি,
সাধারণ পদ বা n-তম পদ = ar^{n - 1}
= 256 × (1/2)^{n - 1}
= 2⁸ × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{- 8} × 1/2^{n - 1}
= 1/2^{n - 1 - 8}
= 1/2^{n - 9}
= 2^{-(n - 9)}
= 2^{9 - n}

১৮,১৬৮.

৮ জনের একটি দল থেকে ৫৬ কেজি ওজনের একজন চলে গেলো। তার পরিবর্তে একজন নতুন সদস্য যোগদান করলে দলের সদস্যদের গড় ওজন ২.৫ কেজি হ্রাস পায়। নতুন সদস্যের ওজন কত?

ক
২৪ কেজি
খ
৩৬ কেজি
গ
৪২ কেজি
ঘ
৬৮ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জনের একটি দল থেকে ৫৬ কেজি ওজনের একজন চলে গেলো। তার পরিবর্তে একজন নতুন সদস্য যোগদান করলে দলের সদস্যদের গড় ওজন ২.৫ কেজি হ্রাস পায়। নতুন সদস্যের ওজন কত?

সমাধান:

১৮,১৬৯.

2x² - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
ক) বাস্তব ও অসমান
খ
খ) অবাস্তব ও অসমান
গ
গ) সমান
ঘ
ঘ) পূর্ণবর্গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² - 4x + 5 = 0
নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= ( - 4)² - 4 × 2 × 5
= 16 - 40
= - 24 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

১৮,১৭০.

কলার দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে ১০টি কলার মূল্য কত টাকা?

ক
ক) ১৮ টাকা
খ
খ) ১২ টাকা
গ
গ) ১০ টাকা
ঘ
ঘ) ১৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : কলার দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে ১০টি কলার মূল্য কত টাকা?

সমাধান :

২০% হ্রাসে, বর্তমান মূল্য = ৮০ টাকা
পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা

পূর্বমূল্য ১ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০/১০০ টাকা
পূর্বমূল্য ১২ টাকা হলে বর্তমান মূল্য (৮০ × ১২)/ ১০০ টাকা
= ৯.৬ টাকা
২ টি কলার বর্তমান মূল্য = (১২ - ৯.৬) = ২.৪ টাকা
∴ ১ টি কলার বর্তমান মূল্য = ২.৪ ÷ ২ = ১.২ টাকা

∴ ১০ টি কলার বর্তমান মূল্য = (১.২ × ১০)টাকা

= ১২ টাকা

১৮,১৭১.

সরল করুন :

ক
ক) 2/9
খ
খ) 12/7
গ
গ) 9/2
ঘ
ঘ) 25/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সরল করুন :

সমাধান:

= 17/2 - [13/4 + {5/4 - 1/2(3/2 - 1/3 - 1/6)}]
= 17/2 - [13/4 + {5/4 - 1/2(9 - 2 - 1)/6}]
= 17/2 - [13/4 + {5/4 - (1/2 ×1)}]
= 17/2 - [13/4 + {(5 - 2)/4}]
= 17/2 - [13/4 + 3/4]
= 17/2 - 16/4
= (34 - 16)/4
= 18/4
= 9/2

১৮,১৭২.

(m - 3n), (m² - 3mn) ও (m² - 9n²) এর ল.সা.গু. কত?

ক
(m - 3n)
খ
(m + 3n)
গ
(m + 3n)(m - 3n)
ঘ
m(m² - 9n²)

ব্যাখ্যা

১ম রাশি = (m - 3n)
২য় রাশি = (m² - 3mn) = m(m - 3n)
৩য় রাশি = (m² - 9n²) = {m² - (3n)²} = (m + 3n)(m - 3n)
অতএব, রাশি তিনটির ল.সা.গু. = m(m - 3n)(m + 3n) = m(m² - 9n²)

১৮,১৭৩.

নিচের কোনটি সঠিক?

ক
রেখাংশের একটি প্রান্তবিন্দু থাকে
খ
রেখার একটি প্রান্তবিন্দু থাকে
গ
রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু থাকে
ঘ
সবগুলোই সঠিক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
- একটি বিন্দু থেকে অসংখ্য রশ্মি আঁকা যায়।

১৮,১৭৪.

বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে ১০০০ টাকা ১৩৩১ টাকা হবে?

ক
ক) ২ বছর
খ
খ) ৩ বছর
গ
গ) ৪ বছর
ঘ
ঘ) ৫ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% চক্রবৃদ্ধি সুদের হারে কত বছরে ১০০০ টাকা ১৩৩১ টাকা হবে?

সমাধান:
এখানে,
P = ১০০০ টাকা
r = ১০%,
n = ?
চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = ১৩৩১ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = P (1 + r)ⁿ
১৩৩১ = ১০০০ × {১ + (১০/১০০)}ⁿ
১৩৩১/১০০০ = (১১/১০)ⁿ
(১১/১০)^৩ =(১১/১০)ⁿ
n = ৩

১৮,১৭৫.

২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক কোনটি?

ক
২
খ
৫
গ
১০
ঘ
প্রচুরক নেই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক কোনটি?

সমাধান:
কোন উপাত্তসমূহের মধ্যে কোন উপাত্ত সর্বাধিকবার থাকলে তাকে প্রচুরক বলে।

২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় কোন সংখ্যা একাধিকবার নেই।

∴ ২, ৭, ৫, ৪, ৬, ১০, ৮ সংখ্যাগুলোয় প্রচুরক নেই।

১৮,১৭৬.

একটি বর্গাকার বাগানের চতুর্দিকে বেড়া দেওয়া আছে। সম্পূর্ণ বেড়ার দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হলে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

ক
২০০০ বর্গমিটার
খ
২০২৫ বর্গমিটার
গ
১২৯৬ বর্গমিটার
ঘ
৩৬০০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের চতুর্দিকে বেড়া দেওয়া আছে। সম্পূর্ণ বেড়ার দৈর্ঘ্য ১৮০ মিটার হলে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
বর্গাকার বাগানের এক পাশের দৈর্ঘ্য = ক মিটার
∴ বর্গাকার বাগানের বেড়ার দৈর্ঘ্য = পরিসীমা = ৪ক মিটার

প্রশ্নমতে,
৪ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৪
⇒ ক = ৪৫

∴ বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = (৪৫)^২ = ২০২৫ বর্গমিটার

১৮,১৭৭.

(x + y)² = 3 এবং x² = √6 + y² হলে 2x এর মান কত?

ক
ক) √3 + 2√2
খ
খ) 2√3 + √2
গ
গ) (√3 + √2)/2
ঘ
ঘ) √3 + √2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + y)² = 3 এবং x² = √6 + y² হলে 2x এর মান কত?

সমাধান:
(x + y)² = 3
x + y = √3

x² = √6 + y²
x² - y² = √6
(x + y)(x - y) = √6
√3(x - y) =√6
x - y = √6/√3
x - y = √2

x + y + x - y = √3 + √2
2x = √3 + √2

১৮,১৭৮.

4 + 8 + 16 + 32 +............. ধারাটির 7 তম পদ কত?

ক
ক) 1024
খ
খ) 128
গ
গ) 256
ঘ
ঘ) 512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + 32 +............. ধারাটির 7 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4
∴ r = 2

7 তম পদ = ar^{7 - 1}
= ar⁶
= 4 × (2)⁶
= 4 × 64
= 256

∴ ধারাটির 7 তম পদ 256

১৮,১৭৯.

রশিদ ২৩% ক্ষতিতে একটি চেয়ার বিক্রি করে। চেয়ারটি ৩২৪ টাকা বেশি দামে বিক্রি করলে তার ১৩% লাভ হতো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

ক
৭৫০ টাকা
খ
৭০০ টাকা
গ
৮০০ টাকা
ঘ
৯০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রশিদ ২৩% ক্ষতিতে একটি চেয়ার বিক্রি করে। চেয়ারটি ৩২৪ টাকা বেশি দামে বিক্রি করলে তার ১৩% লাভ হতো। চেয়ারটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
২৩% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৩) টাকা = ৭৭ টাকা
১৩% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১৩) টাকা = ১১৩ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১৩ - ৭৭) টাকা = ৩৬ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩৬ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩২৪ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩২৪)/৩৬ টাকা
= ৯০০ টাকা

∴ চেয়ারটির ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা।

১৮,১৮০.

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০২ × ০.০০২) এর মান কত?

ক
ক) ০.১
খ
খ) ০.০১
গ
গ) ০.০২
ঘ
ঘ) ০.০০০১

ব্যাখ্যা

(০.১ × ০.০১ × ০.০০৪) / (০.০২ × ০.০০২)
= ০.০০০০০৪ / ০.০০০০৪
= ০.৪ / ৪
= ০.১

১৮,১৮১.

একদল জেলে সমান দুই ভাগ হয়ে একটি নদীর দুই ঘাটে গেল, সমান তিন ভাগ হয়ে দুপুরের খাবার খেল ও সমান সাত ভাগ হয়ে বাজারে গিয়ে মাছ বিক্রয় করলো। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন জেলে ছিল?

ক
ক) ৪২
খ
খ) ২১
গ
গ) ৮৪
ঘ
ঘ) ১৬৮

ব্যাখ্যা

২ টি দল ঘাটে গেল,
৩ টি দল দুপুরের খাবার খেল ও
৭ টি দল বাজারে গেল।
ঐ দলে কমপক্ষে জেলে ছিল = ২, ৩ ও ৭ এর লসাগু
= ৪২

১৮,১৮২.

একটি স্কুলের দশম শ্রেণির টেস্ট পরীক্ষায় মোট ছাত্রের ৭০% জীববিজ্ঞানে এবং ৮০% পদার্থবিদ্যায় পাস করলো। কোনো ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেনি। ৩২০ জন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাস করে থাকলে, পরীক্ষায় মোট কতজন পরিক্ষার্থী ছিল?

ক
৪৯০ জন
খ
৫২০ জন
গ
৫৭০ জন
ঘ
৬৪০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের দশম শ্রেণির টেস্ট পরীক্ষায় মোট ছাত্রের ৭০% জীববিজ্ঞানে এবং ৮০% পদার্থবিদ্যায় পাস করলো। কোনো ছাত্র উভয় বিষয়ে ফেল করেনি। ৩২০ জন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাস করে থাকলে, পরীক্ষায় মোট কতজন পরিক্ষার্থী ছিল?

সমাধান:
জীববিজ্ঞানে ফেল করে = ১০০% - ৭০% = ৩০%
পদার্থবিদ্যায় ফেল করে = ১০০% - ৮০% = ২০%
জীববিজ্ঞান ও পদার্থবিদ্যায় ফেল করে = ৩০% + ২০% = ৫০%
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাস করে = ১০০% - ৫০% = ৫০%

এখন,
৫০ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = ১০০
১ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = ১০০/৫০
৩২০ জন পাস হলে ছাত্রসংখ্যা = (১০০ × ৩২০)/৫০
= ৬৪০ জন

১৮,১৮৩.

8^2/3 + 81^1/4 = 7k হয় তবে k এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 3
গ
গ) 7/2
ঘ
ঘ) 4/3

ব্যাখ্যা

8^2/3 + 81^1/4 = 7k
or, 2^6/3 + 3^4/4 = 7k
or, 2² + 3¹ = 7k
or, 4 + 3 = 7k
or, 7 = 7k
or, k = 1
k = 1

১৮,১৮৪.

|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
2
খ
- 15
গ
- 24
ঘ
- 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
⇒ - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
⇒ - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 11

১৮,১৮৫.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ৩০ মিটার
খ
খ) ৬০ মিটার
গ
গ) ৭০ মিটার
ঘ
ঘ) ৮০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৭ক এর ৩/৭ = ৩ক

প্রশ্নমতে
২(৭ক + ৩ক) = ২০০
২০ক = ২০০
ক = ১০

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ মিটার

১৮,১৮৬.

একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংসের রান ৪৫, ৫১, ১২, ৭, ৯৯, ১০৫, ৫, ১, ৯৯, ৯৯। ক্রিকেটারের রানের মধ্যক কত?

ক
৯৯
খ
৪৮
গ
১০২
ঘ
৫১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংসের রান ৪৫, ৫১, ১২, ৭, ৯৯, ১০৫, ৫, ১, ৯৯, ৯৯। ক্রিকেটারের রানের মধ্যক কত?

সমাধান:
রানগুলোকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
১, ৫, ৭, ১২, ৪৫, ৫১, ৯৯, ৯৯, ৯৯, ১০৫
মোট উপাত্ত আছে ১০টি যা একটি জোড় সংখ্যা
∴মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৪৫ + ৫১)/২
= ৯৬/২
= ৪৮

১৮,১৮৭.

x² - 11x + 30 এবং x³- 4x² - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

ক
x - 5
খ
x - 6
গ
x² + x - 3
ঘ
x² - x - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x³ - 4x² - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 11x + 30
= x² - 5x - 6x + 30
=x(x - 5) - 6(x - 5)
= (x - 5)(x - 6)

২য় রাশি =x³ - 4x² - 2x - 15

ধরি
f(x) = x³ - 4x² - 2x - 15
f(5) = 5³ - 4. 5² - 2 × 5 - 15
= 125 - 100 - 10 - 15
= 125 - 125
= 0
(x - 5), f(x) এর একটি উৎপাদক

f(x) = x³ - 4x² - 2x - 15
=x³ - 5x² + x² - 5x + 3x - 15
= x²(x - 5) + x (x - 5) + (x - 5)
= (x - 5) (x² + x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5

১৮,১৮৮.

(log√11)/(log11) = কত?

ক
1
খ
1/2
গ
3
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log√11)/(log11) = কত?

সমাধান:
log√11/log11
= log(11)^1/2/log11
= (1/2)log11/log11
= (1/2) × 1
= 1/2

১৮,১৮৯.

a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

ক
5
খ
11
গ
7
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 21 এবং a² - ab + b² = 3 হলে, a² + ab + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 21
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 21
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 21
⇒ (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 21
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 21
⇒ (a² + ab+ b²). 3 = 21
⇒ a² + ab + b² = 21/3
∴ a² + ab + b² = 7

১৮,১৯০.

একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

ক
৩ : ৭
খ
৯ : ৮
গ
২ : ৩
ঘ
১ : ৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা পরস্পর সমান। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়, তবে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২ক একক
∴ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক একক
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(২ক + ক) একক
= ৬ক একক

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৬ক
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = ৬ক/৪
= ৩ক/২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( ৩ক/২)২ = (৯ক২)/৪
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২ক × ক = ২ক২

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৯ক২)/৪ : (২ক২)
= (৯/৪) : ২
= (৯/৪) × ৪ : ২ × ৪
= ৯ : ৮

১৮,১৯১.

'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

ক
ক) 330
খ
খ) 332
গ
গ) 334
ঘ
ঘ) 336

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: “EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“Equation" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃
= 336

১৮,১৯২.

x⁴ + x² + 1 এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (x² + x + 1) (x² + x - 1)
খ
খ) (x² - x + 1) (x² + x - 1)
গ
গ) (x² + x + 1) (x² - x + 1)
ঘ
ঘ) (x² + x + 1) (x² + x + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁴ + x² + 1
=(x²)² + 2x² + 1 - x²
=(x² + 1)² - x²
=(x² + x + 1)(x² - x + 1)

১৮,১৯৩.

কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

ক
০.৪
খ
০.০৪
গ
০.০০০০৪
ঘ
০.০০৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
০.০০০০৪ < ০.০০৪ < ০.০৪ < ০.৪

সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম ০.০০০০৪

১৮,১৯৪.

নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে?

ক
b² - 4ac > 0
খ
b² - 4ac < 0
গ
b² - 4ac = 0
ঘ
b² - 4ac একটি পূর্ণবর্গ হলে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে?

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

১৮,১৯৫.

শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকায় ৫ বছরের সুদাসল ৯০০ টাকা হবে?

ক
ক) ৭০০ টাকা
খ
খ) ৬০০ টাকা
গ
গ) ৭৫০ টাকা
ঘ
ঘ) ৬৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ৫ × ৪ = ২০ টাকা
∴ ১০০ টাকা ৫ বছরে সুদে আসলে হলে (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা।
প্রশ্নমতে, সুদাসল ১২০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৯০০ টাকা হলে আসল ১০০/১২০ × ৯০০ = ৭৫০ টাকা।

১৮,১৯৬.

যদি ১৫ জন মিস্ত্রী ১০ দিনে ১২টি ঘর নির্মাণ করতে পারে, তবে ৯ জন মিস্ত্রী কত দিনে ১৮টি ঘর নির্মাণ করবে?

ক
২৩ দিনে
খ
২৫ দিনে
গ
২৭ দিনে
ঘ
৩০ দিনে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ১৫ জন মিস্ত্রী ১০ দিনে ১২টি ঘর নির্মাণ করতে পারে, তবে ৯ জন মিস্ত্রী কত দিনে ১৮টি ঘর নির্মাণ করবে?

সমাধান:
১৫ জন মিস্ত্রী ১২টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = ১০ দিনে
১ জন মিস্ত্রী ১টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = (১০ × ১৫)/১২ দিনে
∴ ৯ জন মিস্ত্রী ১৮টি ঘর নির্মাণ করতে পারে = (১০ × ১৫ × ১৮)/(১২ × ৯) দিনে
= ২৫ দিনে

১৮,১৯৭.

একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের মান ৪৫° ও ৬০° হলে ত্রিভুজের অপর কোণের মান কত?

ক
৫৫°
খ
৬৫°
গ
৮৫°
ঘ
৭৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের মান ৪৫° ও ৬০° হলে ত্রিভুজের অপর কোণের মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

অপর কোণের মান = ১৮০° - (৪৫° + ৬০°)

=১৮০° - ১০৫°

=৭৫°

১৮,১৯৮.

a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2 হলে a - (- b) - (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 1, b = 1, c = 2, d = - 2

প্রদত্ত রাশি = a - (- b) - (- c) - (- d)
= a + b + c + d
= 1 + 1 + 2 + (- 2)
= 2 + 2 - 2
= 2

১৮,১৯৯.

৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির কোন পদ ৩৯২?

ক
১২৭
খ
১৪৫
গ
১৩০
ঘ
১১৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির কোন পদ ৩৯২?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৫ = ৩

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - 1)d = ৩৯২
⇒ ৫ + (n - 1)৩ = ৩৯২
⇒ ৫ + ৩n - ৩ = ৩৯২
⇒ ৩n + ২ = ৩৯২
⇒ ৩n = ৩৯২ - ২
⇒ ৩n = ৩৯০
⇒ n = ৩৯০/৩
∴ n = ১৩০

∴ ধারাটির ১৩০ তম পদটি ৩৯২.

১৮,২০০.

এক ব্যক্তির পারিশ্রমিক তার পুত্রের পারিশ্রমিক অপেক্ষা ২০% বেশি। পুত্রের পারিশ্রমিক পিতার পারিশ্রমিকের শতকরা কত ভাগ?

ক
৭৫ টাকা (প্রায়)
খ
৭৮ টাকা (প্রায়)
গ
৮৩ টাকা (প্রায়)
ঘ
৮৫ টাকা (প্রায়)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির পারিশ্রমিক তার পুত্রের পারিশ্রমিক অপেক্ষা ২০% বেশি। পুত্রের পারিশ্রমিক পিতার পারিশ্রমিকের শতকরা কত ভাগ?

সমাধান:
পুত্রের বেতন ১০০ টাকা হলে পিতার বেতন = (১০০ + ২০) টাকা
= ১২০ টাকা

পিতার বেতন ১২০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০ টাকা
∴ পিতার বেতন ১ টাকা হলে পুত্রের বেতন = ১০০/১২০ টাকা
∴ পিতার বেতন ১০০ টাকা হলে পুত্রের বেতন = (১০০ × ১০০)/১২০ টাকা
= ৮৩.৩৩ টাকা