গাণিতিক যুক্তি

1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2
= (99 × 100)/2
= 4950

প্রশ্ন: p² + 12p + 36 কে (p + 3) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
f(p) = p² + 12p + 36

∴ f(- 3) = (- 3)² + 12(- 3) + 36
= 9 - 36 + 36
= 9

∴ ভাগশেষ 9 হবে।

প্রশ্ন: যদি 3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27
⇒ (3^x)² - (3^x × 3²) = (3^x × 3¹) - 27

ধরি, 3^x = p
⇒ p² - 9p = 3p - 27
⇒ p² - 12p + 27 = 0
⇒ p² - 9p - 3p + 27 = 0
⇒ p(p - 9) - 3(p - 9) = 0
⇒ (p - 9)(p - 3) = 0
হয়, 
p - 9 = 0 
⇒ p = 9 
⇒ 3^x = 3²   ;   [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 2

অথবা, 
p - 3 = 0
⇒ p = 3 
⇒ 3^x = 3¹     ; [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 1

সুতরাং, x এর মান (1, 2) 

প্রশ্ন: secθ = √4 হলে tanθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = √4
⇒ sec²θ = (√4)² 
⇒ sec²θ = 4

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ 4 - tan²θ = 1
⇒ tan²θ = 4 - 1
⇒ tan²θ = 3 
⇒ tanθ = √3

প্রশ্ন: px + qy = r এবং qx + py = s সহ-সমীকরণের সমাধানে x + y এর মান কত?
সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
px + qy = r .........(i) 
qx + py = s ......(ii) 

সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
(px + qy) + (qx + py) = r + s
⇒ (px + py) + (qx + qy) = r + s
⇒ p(x + y) + q(x + y) = r + s
⇒ (p + q)(x + y) = r + s
∴ x + y = (r + s) / (p + q)

প্রশ্ন: A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ এবং C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ। A ও B-এর আয়ের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 A-এর আয় C-এর আয়ের ৬/৫ অংশ
∴ A : C = ৬ : ৫ ...... (১) 
এবং 
C-এর আয় B-এর আয়ের ৩/৪ অংশ 
∴ C : B = ৩ : ৪ ......(২)

এখন, (১) নং কে ৩ দ্বারা গুণ করে পাই, 
  A : C = (৬ × ৩) : (৫ × ৩) = ১৮ : ১৫ 

এবং (২) নং কে ৫ দ্বারা গুণ করে পাই,
C : B = (৩ × ৫) : (৪ × ৫) = ১৫ : ২০ 

∴A : C : B = ১৮ : ১৫ : ২০

∴ A : B = ১৮ : ২০ = ৯ : ১০ 

সুতরাং, A ও B এর আয়ের অনুপাত ৯ : ১০

এখানে,
৬৩ = ২১ × ৩,
৬৯ = ২৩ × ৩,
৮৭ = ২৯ × ৩,
৯৭ = ৯৭ × ১
∴ ৯৭ মৌলিক সংখ্যা।

এখানে,
3x + 4x + 2x = 360°
বা, 9x = 360°
∴ x = 40°
বা, 2x = 80°
∴ ∠ACB = 180° - 80°
= 100°

দেওয়া আছে,
(100000)^(x/5) = 100
বা, (10⁵)^(x/5) = (10)²
বা, (10)^x = (10)²
বা, x = 2

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 1/2
আমরা জানি,
ষষ্ঠ পদ = ar^{(6 - 1)}
= ar⁵
= 1× (1/2)⁵
= 1/32

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ................ ধারাটির কোন পদ 267?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3 
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 267

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 267
বা, 3 + (n - 1)4 = 267
বা, 4(n - 1) = 267 - 3
বা, 4(n - 1) = 264
বা, n - 1= 264/4
বা, n - 1 = 66
বা, n = 66 + 1
∴ n = 67

ধারাটির 67 তম পদ = 267

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

যেহেতু কোণটি নেগেটিভ, তাই তা ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরবে।
-300 = - (3x90 + 30)
অর্থাৎ, ১ম সমকোণ চতুর্থ ভাগ,
২য় সমকোণ তৃতীয় ভাগ,
৩য় সমকোণ দ্বিতীয় ভাগ,
এবং +30 মানে প্রথম ভাগ।

প্রশ্ন: (১/১০) টাকায় (১/১০০) টাকা লাভ হলে, শতকরা লাভের হার কত?  

সমাধান: 
 ১/১০ টাকায় লাভ হয় = ১/১০০ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = (১/১০০)/(১/১০) = ১/১০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ১)/১০ = ১০ টাকা 

সুতরাং, শতকরা লাভের হার ১০% 

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} তাহলে B - A = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 20 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

আবার,
B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
এখানে, 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতকসমূহ: 5, 10, 15, 20
∴ B = {5, 10, 15, 20}

এখন,
B - A  = {5, 10, 15, 20} - {1, 2, 4, 5, 10, 20}
= {15}

নির্ণেয় সেট: {15}

প্রশ্ন: log_xy⁸ = 4a এবং log_yx⁹ = 6b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁸ = 4a
⇒ 8 log_xy = 4a
⇒ log_xy = 4a/8
⇒ log_xy = a/2 ......(1)

আবার, log_yx⁹ = 6b
⇒ 9 log_yx = 6b
⇒ log_yx = 6b/9
⇒ log_yx = 2b/3 .......(2)

আমরা জানি, log_xy × log_yx = 1
∴ (a/2) × (2b/3) = 1
⇒ 2ab/6 = 1
⇒ ab/3 = 1
⇒ ab = 3

৬০ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে ১৮ দিনে
সুতরাং, ৩৬ জন লোক সে কাজ শেষ করতে পারবে = (৬০ × ১৮) / ৩৬ = ৩০ দিনে

ধরি, সুদের হার = x%
প্রশ্নমতে, (600×x×2)/100 + (150×x×4)/100 = 90
বা, 18x = 90
সুতরাং, x = 5%

(a^-2)^-1 = (1/a²)^-1
= 1/(1/a²)
= 1 × a²/1
= a²

০, ১, ২, ৩ এবং ৪ দ্বারা গঠিত,
পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০
এবং পাঁচ অংকের ক্ষদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৪
∴ বিয়োগফল = ৩২৯৭৬

a - 3/a = 1
বা, (a² - 3)/a = 1
বা, ‍a² - 3 = a
বা, ‍a² - a = 3
সুতরাং
3/(a² - a + 1)
= 3/(3 + 1)
= 3/4

8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
=(2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
=(2x + 3y)³

মনে করি, সংখ্যাটি ক
∴৪ক+২ক=৯০
বা,৬ক=৯০
∴ক=১৫

১০০ টাকায় ডিসকাউন্ট পাওয়া ২৫ টাকা
∴ ৫০০ টাকায় ডিসকাউন্ট পাওয়া যাবে = (৫০০×২৫) / ১০০ = ১২৫ টাকা 

প্রশ্ন: sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30° এর মান কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
sin 60° = cos 30° = √3/2
cos 60° = sin 30° = 1/2

এখন, 
sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°
= (√3/2) . (√3/2) + (1/2) . (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪ → একটি সসীম দশমিক, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √২৮৯ = ১৭, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৩/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; এটি পূর্ণসংখ্যা নয় এবং p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

∴ √১২ অমূলদ সংখ্যা।

দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
কোণটির মান x হলে,
x + x - 16 = 90
⇒ 2x = 106
∴ x = 53

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x1/256 = - 8
বা, x ^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256 
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2