গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১৫৪ / ৪৭৫ · ১৫,৩০১–১৫,৪০০ / ৪৭,৮৩৩

১৫,৩০১.

প্রতি ডজন কলা ২৪ টাকায় ক্রয় করে প্রতি কুড়ি কি দরে বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

ক
৩৫ টাকা
খ
৪০ টাকা
গ
৪৮ টাকা
ঘ
৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রতি ডজন কলা ২৪ টাকায় ক্রয় করে প্রতি কুড়ি কি দরে বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ডজন = ১২টি ও ১ কুড়ি = ২০টি

১২টি কলার ক্রয়মূল্য ২৪ টাকা
১টি কলার ক্রয়মূল্য ২৪/১২ টাকা

২০টি কলার ক্রয়মূল্য (২৪ × ২০)/১২ = ৪০ টাকা
২০% লাভে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ৪০)/১০০
= ৪৮ টাকা

১৫,৩০২.

একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২০% বাড়ালো। অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ১০% কমালো। সর্বশেষ মূল্য প্রথম মূল্যের তুলনায়-

ক
১২%বেশি
খ
৮% কম
গ
৮% বেশি
ঘ
১২% কম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী একটি পণ্যের মূল্য ২০% বাড়ালো। অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ১০% কমালো। সর্বশেষ মূল্য প্রথম মূল্যের তুলনায়-

সমাধান:
একটি পণ্যের মূল্য ২০% বৃদ্ধি করায় নতুন মূল্য হয় = ১০০ + ২০ টাকা
= ১২০ টাকা।

অতঃপর বর্ধিত মূল্য থেকে ১০% কমালে = (১২০ - ১২০ × ১০/১০০) টাকা
= (১২০ - ১২ ) টাকা
= ১০৮ টাকা।

সর্বশেষ মূল্য প্রথম মূল্যের তুলনায় বেশি = (১০৮ - ১০০) টাকা
= ৮ টাকা

১৫,৩০৩.

নিচের কোনটি p² + mp - (3m - 2)(4m - 2) এর একটি উৎপাদক?

ক
(p - 4m - 3)
খ
(p + 3m - 2)
গ
(p - 3m + 4)
ঘ
(p + 4m - 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি p² + mp - (3m - 2)(4m - 2) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
p² + mp - (3m - 2)(4m - 2)
= p² + mp - (3m - 2)(m + 3m - 2)
= p² + mp - x(m + x) [3m - 2 = x ধরে]
= p² + mp - xm - x²
= p² - x² + m(p - x)
= (p + x)(p - x) + m(p - x)
= (p - x)(p + x + m)
= (p - 3m + 2)(p + 3m - 2 + m)
= (p - 3m + 2)(p + 4m - 2)

১৫,৩০৪.

x² - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

ক
ক) (x + a + b) (x + a - b)
খ
খ) (x - a + b) (x - a + b)
গ
গ) (x - a + b) (x + a - b)
ঘ
ঘ) (x - a + b) (x - a - b)

ব্যাখ্যা

x² - 2ax + (a + b)(a - b)
= x² - 2ax + a²- b²
= (x - a)² - b²
= (x - a + b) (x - a - b)

১৫,৩০৫.

একটি সংখ্যার ১৫% যদি ১২ হয় তবে, সংখ্যাটির ৪০% = কত?

ক
২৮
খ
৩২
গ
৩৬
ঘ
৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ১৫% যদি ১২ হয় তবে, সংখ্যাটির ৪০% = কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ১৫% = ১২
⇒ ক × (১৫/১০০) = ১২
⇒ ক = ১২০০/১৫
∴ ক = ৮০

৮০ এর ৪০% = (৮০ × ৪০)/১০০
= ৩২

১৫,৩০৬.

16x³ - 46x² + 15x এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

ক
(2x + 5)
খ
(8x - 3)
গ
(3x - 5)
ঘ
(4x + 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

১৫,৩০৭.

যদি tan53° = 4/3 হয়, তাহলে tan8° এর মান কত?

ক
1/6
খ
1/8
গ
1/7
ঘ
1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tan53° = 4/3 হয়, তাহলে tan8° এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
tan(A - B) = (tanA - tanB)/(1 + tanAtanB)

এখন,
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)
⇒ tan8° = (4/3 - 1)/{1 + (4/3) × 1}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
∴ tan8° = 1/7

১৫,৩০৮.

36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
12
খ
18
গ
9
ঘ
29

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36a² + 36a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

36a² + 36a

= 36a² + 36a + 9 - 9

= (6a)² + 2 ×(6a) × (3)+ (3)² - 9

= (6a + 3)² - 9

সুতরাং, 36a² + 36a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

১৫,৩০৯.

পিতা-পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৮০ বছর, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ হলে, পুত্রের বয়স-

ক
৪০
খ
৫০
গ
২০
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা-পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৮০ বছর, পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩ গুণ হলে, পুত্রের বয়স-

সমাধান:
ধরি
পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৩ক বছর

প্রশ্নমতে
৩ক + ক = ৮০
⇒ ৪ক = ৮০
∴ ক = ২০ বছর

পুত্রের বয়স = ২০ বছর

১৫,৩১০.

একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯২.৪ কিমি বেগে চলে। ট্রেনটি ১০ মিনিটে কত মিটার অতিক্রম করবে?

ক
১৫৪০
খ
১৫৪০০
গ
১৫৪
ঘ
১৫৪০০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯২.৪ কিলোমিটার বেগে চলে। ট্রেনটি ১০ মিনিটে কত মিটার অতিক্রম করবে?

সমাধান:
৯২.৪ কিলোমিটার = (৯২.৪ × ১০০০) মিটার
= ৯২৪০০ মিটার

৬০ মিনিটে অতিক্রম করে ৯২৪০০ মিটার
১ মিনিটে অতিক্রম করে ৯২৪০০/৬০ মিটার
১০ মিনিটে অতিক্রম করে (৯২৪০০× ১০)/৬০ মিটার
= ১৫৪০০ মিটার

১৫,৩১১.

ক
3/4
খ
1/4
গ
1/3
ঘ
5/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৫,৩১২.

সর্বাধিক কতজন বালকের মধ্যে ১৫৯ টি আম, ২২৭ টি জাম ও ৪০১ টি লিচু সমানভাবে ভাগ করে দিলে ৩ টি আম, ৬ টি জাম ও ১১ টি লিচু অবশিষ্ট থাকবে?

ক
ক) ১১
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৩
ঘ
ঘ) ২৬

১৫,৩১৩.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১৫,৩১৪.

সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার তিনগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

ক
২৪ মিটার
খ
৩২ মিটার
গ
৩৬ মিটার
ঘ
৪২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার তিনগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা = ক মিটার
ভূমি = ৩ক মিটার

আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ৩ক × ক বর্গমিটার
= ৩ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৩ক^২ = ১৯২
⇒ ক^২ = ১৯২ / ৩
⇒ ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮ মিটার

সামন্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার
ভূমি = ৩ক
= ৩ × ৮ মিটার
= ২৪ মিটার

১৫,৩১৫.

4x² + (1/x²) = 2 হলে, (2x + 1/x)² এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x² + (1/x²) = 2 হলে, (2x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
4x²+ (1/x²) = 2
⇒ (2x)² + (1/x²) = 2
⇒ (2x + 1/x)² - 4 = 2
⇒ (2x + 1/x)² = 6

১৫,৩১৬.

কোন সংখ্যার ৩/৭ অংশ ৫৪ এর সমান?

ক
ক) ১২৮
খ
খ) ১৩২
গ
গ) ১২৬
ঘ
ঘ) ১৪০

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে, x এর ৩/৭ = ৫৪
∴ x = (৫৪ × ৭)/৩ = ১২৬

১৫,৩১৭.

Buses start from a bus terminal with a speed of 20 km/h at interval of 10 minutes. What is the speed of a man coming from the opposite direction towards the bus terminal if he meets the buses at interval of 8 minutes?

ক
ক) 3 km/h
খ
খ) 4 km/h
গ
গ) 5 km/h
ঘ
ঘ) 6 km/h
ঙ
ঙ) 7 km/h

ব্যাখ্যা

Let Speed of the man is x kmph.
Distance covered in 10 minutes at 20 kmph = distance covered in 8 minutes at (20 + x) kmph.
Or, 20×(10/60) = 8/(60(20+x))
Or, 200 = 160 + 8x
Or, 8x = 40
Hence, x = 5kmph.

১৫,৩১৮.

৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

ক
৪ টি
খ
৮ টি
গ
২৪ টি
ঘ
৯৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮টি কলম ও ১২টি পেন্সিল সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান:
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ৮ ও ১২ এর গ.সা.গু এর সমান।

এখন,
৮ ও ১২ এর গ.সা.গু = ৪

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

১৫,৩১৯.

আনিস, বাপ্পি এবং জামাল তিনজন একসাথে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 10, 15 এবং 30 দিনে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

ক
10 দিন
খ
12 দিন
গ
5 দিন
ঘ
8 দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আনিস, বাপ্পি এবং জামাল তিনজন একসাথে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 10, 15 এবং 30 দিনে। তারা একত্রে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
আনিস, বাপ্পি এবং জামাল 1 দিনে কাজ করতে পারে যথাক্রমে 1/10, 1/15 এবং 1/30 অংশ

3 জন একত্রে 1 দিনে করে = 1/10 + 1/15 + 1/30 অংশ
= 1/10 + 1/15 + 1/30
= 3/30 + 2/30 + 1/30
= 6/30
= 1/5 অংশ 1 দিনে

∴ তারা একত্রে 1 কাজ করতে পারবে = 1 ÷ (1/5) = 5 দিন

∴ কাজটি সম্পূর্ণ করতে লাগবে = 5 দিন

১৫,৩২০.

একটি ধারার n-তম পদ m²ⁿ - 5, ধারাটির ২য় পদ 76 হলে m এর মান -

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

ধারাটির n-তম পদ m²ⁿ - 5
এবং ধারাটির দ্বিতীয় পদ = m^2.2 - 5 = m⁴ - 5
প্রশ্নমতে, m⁴ - 5 = 76
বা, m⁴ = 76 + 5 = 81 = 3⁴
∴ m = 3

১৫,৩২১.

(1 - tan²60°)/(1 + tan²60°) + sin²60° = ?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) √3/2
ঘ
ঘ) √3/4

ব্যাখ্যা

(1-tan²60°)/(1+tan²60°) + sin²60°
= (1-(√3)²)/(1+(√3)²) + (√3/2)²
= (1-3)/(1+3) + 3/4
= -2/4 + 3/4
= 1/4

১৫,৩২২.

একটি থলিতে 6টি নীল বল, 8টি সাদা বল এবং 10টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 1/3
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলিতে 6টি নীল বল, 8টি সাদা বল এবং 10টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/(6 + 8 + 10)
= 6/ 24
= 1/4

∴ বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (1/4)}
= (4 - 1)/4
= 3/4

১৫,৩২৩.

একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
88 বর্গসে.মি.
খ
92 বর্গসে.মি.
গ
68 বর্গসে.মি.
ঘ
44 বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পিজ্জা বৃত্তাকার এবং এর ব্যাস 28 সে.মি.। পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিজ্জার ব্যাস = 28 সে.মি.
∴ পিজ্জার ব্যাসার্ধ, r = 28/2 = 14 সে.মি.
পিজ্জাটি বৃত্তাকার, তাই এর মোট ক্ষেত্রফল = πr2
= π × (14)2
= (22/7) × 14 × 14
= 22 × 28
= 616 বর্গসে.মি.

এখন, পিজ্জাটিকে 7টি সমান অংশে ভাগ করা হলে,
প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল/7
= 616/7 বর্গসে.মি.
= 88 বর্গসে.মি.

∴ প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল 88 বর্গসে.মি.

১৫,৩২৪.

ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
cosA = 1/√2
খ
∠A + ∠C = এক সমকোণ
গ
2sinAcosA = 1
ঘ
উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA = 1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠B কোণটি সমকোণ।
এবং, tanA = লম্ব/ভূমি = 1
অর্থাৎ, ভূমি = 1, লম্ব = 1
ধরি, অতিভুজ = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
a² = 1² + 1²
⇒ a² = 1 + 1
⇒ a² = 2
⇒ a = √2

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2sinAcosA = 2 × (1/√2) × (1/√2)
= 2 × (1/2)
= 1

আবার,
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 2 সমকোণ
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - ∠B
⇒ ∠A + ∠C = 2 সমকোণ - 1 সমকোণ
∴ ∠A + ∠C = 1 সমকোণ

১৫,৩২৫.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর লব অপেক্ষা 40 বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

ক
2/9
খ
3/7
গ
4/11
ঘ
2/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর লব অপেক্ষা 40 বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর x + 4
∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + 4)

ভগ্নাংশটির বর্গ = x²/(x + 4)²
= x²/(x² + 8x + 16)

প্রশ্নমতে,
x² + 8x + 16 - x² = 40
⇒ 8x + 16 = 40
⇒ 8x = 40 - 16
⇒ 8x = 24
∴ x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/(3 + 4) = 3/7

১৫,৩২৬.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২৪
খ
৪৮
গ
৬০
ঘ
৭২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৯ : ১২ এবং ল.সা.গু. ২১৬। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ১ম সংখ্যা = ৯ক
২য় সংখ্যা = ১২ক

∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৩৬ক

প্রশ্নমতে, ৩৬ক = ২১৬
⇒ ক = ২১৬/৩৬
⇒ ক = ৬

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৯ × ৬ = ৫৪
২য় সংখ্যা = ১২ × ৬ = ৭২

∴ বড় সংখ্যাটি = ৭২

১৫,৩২৭.

একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, ২ থেকে বড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/২
খ
খ) ১/৩
গ
গ) ৫/৬
ঘ
ঘ) ২/৩

ব্যাখ্যা

২ থেকে বড় সংখ্যা আছে ৪ টি।
সুতরাং সম্ভাবনা = ৪/৬ = ২/৩

১৫,৩২৮.

কমিশনের হার ২.৫০ টাকা হলে ২০০০ টাকা মূল্যের জিনিস বিক্রয় করে কত কমিশন পাওয়া যাবে?

ক
৪২ টাকা
খ
৪৫ টাকা
গ
৫৪ টাকা
ঘ
৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কমিশনের হার ২.৫০ টাকা হলে ২০০০ টাকা মূল্যের জিনিস বিক্রয় করে কত কমিশন পাওয়া যাবে?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০ টাকা
∴ ১ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = ২.৫০/১০০ টাকা
∴ ২০০০ টাকায় কমিশন পাওয়া যায় = (২.৫০ × ২০০০)/১০০ টাকা
= ৫০ টাকা

১৫,৩২৯.

64 + 32 + 16 + 8 + .............. ধারাটির ৯ম পদ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/4
গ
গ) 1/8
ঘ
ঘ) 1/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + .............. ধারাটির ৯ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
32/64 = 1/2
16/32 = 1/2

∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা, যার-
প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2

ধারার ৯ম পদ = ar^{(9 - 1)}= 64 ×(1/2)⁸
= 2⁶ × 1/2⁸
= 1/2²
= 1/4

১৫,৩৩০.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
৭৫
খ
৬৪
গ
৫৩
ঘ
৩১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

১৫,৩৩১.

কোনো শিবিরে ৪,০০০ লোকের ১৮০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। যদি ২০দিন পর ৮০০ জন লোক চলে যায় তবে অবশিষ্ট খাদ্যে বাকি লোকের কত দিন চলবে?

ক
ক) ১৬০ দিন
খ
খ) ২৫০ দিন
গ
গ) ৩০০ দিন
ঘ
ঘ) ২০০ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো শিবিরে ৪,০০০ লোকের ১৮০ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। যদি ২০দিন পর ৮০০ জন লোক চলে যায় তবে অবশিষ্ট খাদ্যে বাকি লোকের কত দিন চলবে?

সমাধান:
দিন অবশিষ্ট থাকে = ১৮০ - ২০ = ১৬০ দিন
লোক অবশিষ্ট থাকে = ৪০০০ - ৮০০ = ৩২০০ জন

৪০০০ জন লোকের খাদ্য মজুদ আছে ১৬০ দিনের
১ জন লোকের খাদ্য মজুদ আছে ১৬০ × ৪০০০ দিনের
৩২০০ জন লোকের খাদ্য মজুদ আছে (১৬০ × ৪০০০)/৩২০০ দিনের
= ২০০ দিনের

১৫,৩৩২.

যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

ক
(6, - 5)
খ
(5, - 2)
গ
(- 3, - 2)
ঘ
(4, - 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² - 2gx - 2fy + c = 0, যেখানে (g, f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রশ্নমতে,
- 2g = - 8
⇒ 2g = 8
∴ g = 4

এবং, - 2f = 10
∴ f = - 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র (4, - 5)।

১৫,৩৩৩.

নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?

ক
ক) ২৩/৩০
খ
খ) ১৩/১৫
গ
গ) ৪/৫
ঘ
ঘ) ২/৩

ব্যাখ্যা

২৩/৩০ = ০.৭৭
১৩/১৫ = ০.৮৭
৪/৫ = ০.৮
২/৩ = ০.৬৭
সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশটি = ১৩/১৫।

১৫,৩৩৪.

বার্ষিক শতকরা ৬ টাকা হারে চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় ১৫০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত?

ক
২৮৬৫.২৪ টাকা
খ
২৭৬৫.২৪ টাকা
গ
২৬৬৫.২৪ টাকা
ঘ
২৫৬৫.২৪ টাকা

ব্যাখ্যা

P = ১৫,০০০ টাকা
n = ৩ বছর
r = ৬%
C = P(1 + r)ⁿ
= ১৫,০০০(১ + ৬/১০০)^৩
= ১৭৮৬৫.২৪ টাকা
∴ ১৫০০০ টাকার ৩ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১৭৮৬৫.২৪ টাকা - ১৫০০০ টাকা
= ২৮৬৫.২৪ টাকা

১৫,৩৩৫.

বর্গক্ষেত্রের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে উহার এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত একক?

ক
5 একক
খ
25 একক
গ
50 একক
ঘ
100 একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বর্গক্ষেত্রের একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5√2 একক হলে উহার এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত একক?

সমাধান:

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = x√2

প্রশ্নমতে,
x√2 = 5√2
বা, x = 5

∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 একক।

১৫,৩৩৬.

রাজশাহী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৬০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে রাজশাহী চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ২ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

ক
৪০ কিলোমিটার/ঘণ্টা
খ
৫৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা
গ
৬৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা
ঘ
৭০ কিলোমিটার/ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রাজশাহী থেকে ঢাকার দূরত্ব ২৬০ কিলোমিটার। একটি ট্রেন ৬ ঘণ্টায় ঢাকা থেকে রাজশাহী চলে আসল। যাত্রা পথে ট্রেনটি ২ ঘণ্টা বিরতি নেয়। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব = ২৬০ কিলোমিটার
∴ ট্রেনটি মোট (৬ - ২) ঘণ্টা = ৪ ঘণ্টা যাত্রা করে

আমরা জানি,
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= ২৬০/৪
= ৬৫ কিলোমিটার/ঘণ্টা

১৫,৩৩৭.

১৫৩ কোন সংখ্যার ১২.৭৫% এর সমান?

ক
৮০০
খ
১০০০
গ
১২০০
ঘ
১৫০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫৩ কোন সংখ্যার ১২.৭৫% এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ১২.৭৫% = ১৫৩
⇒ ক × ১২.৭৫ × (১/১০০) = ১৫৩
⇒ ক × (১২৭৫/১০০) × (১/১০০) = ১৫৩
⇒ ক = (১৫৩ × ১০০ × ১০০)/১২৭৫
= ১২০০

১৫,৩৩৮.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হলো 18√3 মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
9 মিটার
খ
8√3 মিটার
গ
12 মিটার
ঘ
6√3 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা হলো 18√3 মিটার। ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজ এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
3a = 18√3
⇒ a = 6√3

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা, h = (√3/2) × a
= (√3/2) × 6√3
= 3 × (√3)²
= 3 × 3
= 9 মিটার

∴ সমবাহু ত্রিভুজটির উচ্চতা 9 মিটার।

১৫,৩৩৯.

নিচের কোনটি সত্য? যেখানে প্রতীকগুলো প্রচলিত অর্থ বহন করে।

ক
ক) I = P - A
খ
খ) A = P(1 + nr)
গ
গ) C = P(1 + n)^r
ঘ
ঘ) চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P - C

ব্যাখ্যা

C = P(1 + n)^r এর পরিবর্তে C = P(1 + r)rⁿ
I = P - A এর পরিবর্তে I = A - P
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P - C এর পরিবর্তে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
মুনাফা-আসল, A = P(1 + nr)

এখানে,
C = চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে, সবৃদ্ধি মূল
P = সরল মুনাফা বা চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় আসল বা মূলধন বা আমানত বা ব্যাংকে গচ্ছিত সম্পদ বা অর্থ
n = সময়
r = শতকরা মুনাফার হার
I = মুনাফা বা সুদ
A = সরল মুনাফার ক্ষেত্রে, মুনাফা-আসল

১৫,৩৪০.

x = 37 হলে, 8x³ + 72x² + 216x + 216 এর মান কত?

ক
ক) 600909
খ
খ) 512000
গ
গ) 12500
ঘ
ঘ) 251000

ব্যাখ্যা

x = 37 হলে,
8x³ + 72x² + 216x + 216
= (2x)³ + 3 . (2x)² . 6 + 3 . (2x) . (6)² + (6)³
= ( 2 × 37 + 6 )³ = 512000

১৫,৩৪১.

৫১৭ টাকাকে ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি কত টাকা?

ক
ক) ২৩৫ টাকা
খ
খ) ৩২৫ টাকা
গ
গ) ৩২৯ টাকা
ঘ
ঘ) ৩৩৫ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫১৭ টাকাকে ৫ : ৪ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের সমষ্টি কত টাকা?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৪ + 2)
= ১১
বৃহত্তম অংশ = ৫১৭ এর ৫/১১
= ২৩৫ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ = ৫১৭ এর ২/১১
= ৯৪ টাকা

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = (২৩৫ + ৯৪) টাকা
= ৩২৯ টাকা

১৫,৩৪২.

দুটি নল A ও B একটি চৌবাচ্চাকে যথাক্রমে 2x ও 3x মিনিটে পূর্ণ করে। তারা একত্রে চৌবাচ্চাটি 36 মিনিটে পূর্ণ করলে x-এর মান কত?

ক
২০
খ
২৫
গ
৩০
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি নল A ও B একটি চৌবাচ্চাকে যথাক্রমে 2x ও 3x মিনিটে পূর্ণ করে। তারা একত্রে চৌবাচ্চাটি 36 মিনিটে পূর্ণ করলে x-এর মান কত?

সমাধান:
নল A চৌবাচ্চা পূর্ণ করে = ২x মিনিটে
→ ১ মিনিটে পূর্ণ করে = ১/২x অংশ
নল B চৌবাচ্চা পূর্ণ করে = ৩x মিনিটে
→ ১ মিনিটে পূর্ণ করে = ১/৩x অংশ
দুটি নল একত্রে চৌবাচ্চা পূর্ণ করে = ৩৬ মিনিটে
→ ১ মিনিটে পূর্ণ করে = ১/৩৬ অংশ

দুইটি নল একসাথে পূর্ণ করে , ( ১/২x ) + ( ১/৩x ) = ১/৩৬
বা, ( ৩+২ ) /৬x = ১/৩৬
বা, ৫ / ৬x = ১/৩৬
বা, ৬x = ৫ × ৩৬
বা, x = ( ৫×৩৬ ) / ৬= ৩০

১৫,৩৪৩.

একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি হলুদ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি হলুদ বল থাকে?

ক
16
খ
32
গ
48
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি হলুদ বল এবং 4টি লাল বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি হলুদ বল থাকে?

সমাধান:
সাদা বল = 2টি
হলুদ বল = 3টি
লাল বল = 4টি

3টি হলুদ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি হলুদ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি নিয়ে উপায় = ³C₂ × ⁶C₁
3টি হলুদ বল থেকে 3টি = ³C₃

মোট উপায় = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃)
= (45 + 18 + 1)
= 64

১৫,৩৪৪.

একটি সমান্তর ধারার তৃতীয় ও দ্বাদশ পদের যোগফল 20। তাহলে প্রথম 14 টি পদের যোগফল কত?

ক
155
খ
145
গ
130
ঘ
140

ব্যাখ্যা

ধরি
প্রথম পদ a এবং
সাধারণ অন্তর d

তৃতীয় পদ = a + (3 - 1)d = a + 2d
দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 2d + a + 11d = 20
2a + 13d = 20

14 টি পদের যোগফল = (14/2){2a + (14 -1)d}
= 7{2a +13d}
= 7 × 20
= 140

১৫,৩৪৫.

একটি দ্রব্য ২৫% লাভে বিক্রয় করা হলে, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয় মূল্যের অনুপাত নিচের কোনটি?

ক
ক) ৫ : ৪
খ
খ) ৬ : ৪
গ
গ) ৪: ৫
ঘ
ঘ) ৫ :৬

ব্যাখ্যা

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা,
২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ও ক্রয় মূল্য এর অনুপাত = ১২৫ : ১০০ = ৫ : ৪

১৫,৩৪৬.

p³qr, pq³r এবং pqr³ এর ল.সা.গু কত?

ক
0
খ
1
গ
pqr
ঘ
p³q³r³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³qr, pq³r এবং pqr³ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
p³qr, pq³r এবং pqr³ রাশি তিনিটিতে,
p, q এবং r এর গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে p³, q³ এবং r³

∴ ল.সা.গু = p³q³r³

১৫,৩৪৭.

উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে কি বলে?

ক
ক) শ্রেণী ব্যবধান
খ
খ) পরিমিত ব্যবধান
গ
গ) পরিসর
ঘ
ঘ) গড় ব্যবধান

ব্যাখ্যা

উপাত্তসমূহের সর্বোচ্চ মান এবং সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে পরিসর বলে।

১৫,৩৪৮.

দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬ সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু. ৯৬ হলে গ. সা. গু. কত?

ক
২৪
খ
৩২
গ
১৬
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬, সংখ্যা দুটির ল. সা. গু. ৯৬ হলে গ. সা. গু. কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ. সা. গু × ল.সা.গু
⇒ ১৫৩৬ = ৯৬ × গ. সা. গু.
গ.সা.গু. = ১৫৩৬/৯৬ = ১৬

১৫,৩৪৯.

x + 2/x = 3 হলে, x³ + 8/x³ এর মান কত?

ক
ক) 16
খ
খ) 9
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2/x = 3 হলে, x³+ 8/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 2/x = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ + 8/x³
= (x)³ + (2/x)³
= (x + 2/x)³ - 3.x.(2/x)(x + 2/x)
= 3³ - 3 .2 .3
= 27 - 18
= 9

১৫,৩৫০.

১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৯, তাদের সমষ্টি কত?

ক
১০৫
খ
১০৩
গ
১০৭
ঘ
১১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৯, তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত একক স্থানীয় অঙ্ক ৯ বিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো-
১৯, ২৯ এবং ৫৯

∴ তাদের সমষ্টি = (১৯ + ২৯ + ৫৯)
= ১০৭ ।

১৫,৩৫১.

নিচের কোনটির প্রান্তবিন্দু নেই?

ক
রেখা
খ
রশ্মি
গ
রেখাংশ
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটির প্রান্তবিন্দু নেই?

সমাধান:
রেখা (line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ স্থলে ১টি রেখা উৎপন্ন হয়।
- অথবা বিন্দুর সঞ্চারপথকে রেখা বলে।
- সরলরেখাকে সংক্ষেপে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও বেধ নাই।
- রেখার প্রান্তবিন্দু নেই।
- রেখা প্রধানত দুই প্রকার। যথা-
ক) সরলরেখা
খ) বক্ররেখা।

রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

১৫,৩৫২.

নিচের উপাত্তসমূহের গড় কত?
৫, ৮, ১২, ১৫

ক
৭.৫
খ
১০
গ
১১
ঘ
১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তসমূহের গড় কত?
৫, ৮, ১২, ১৫

সমাধান:
উপাত্তসমূহের গড় = (৫ + ৮ + ১২ + ১৫)/৪
= ৪০/৪
= ১০

১৫,৩৫৩.

২ হেক্টর = কত একর?

ক
২.৪৭
খ
৪.৯৪
গ
৬.৪৫
ঘ
৩৯.৩৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ হেক্টর = কত একর?

সমাধান:
১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)
∴ ২ হেক্টর = (২ × ২.৪৭) একর
= ৪.৯৪ একর (প্রায়)

• হেক্টর সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ কিছু পরিমাপ:
১ হেক্টর = ১০০ এয়র
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার
১ বর্গ ইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.

১৫,৩৫৪.

এক ডজন লেবুর ক্রয়মূল্য ১২ টাকা। এবং এক হালি লেবুর বিক্রয় মূল্য ৫ টাকা। শতকরা কত লাভ হলো?

ক
ক) ২০%
খ
খ) ২৫%
গ
গ) ১৫%
ঘ
ঘ) ৩০%

ব্যাখ্যা

১ ডজন = ৩ হালি
১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ ডজন এর বিক্রয় মূল্য (৫×৩) = ১৫ টাকা
সুতরাং, লাভ = (১৫-১২) = ৩ টাকা
১২ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/১২ টাকা
= ২৫ টাকা

১৫,৩৫৫.

কোন শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রীর বয়সের গড় ১২ বছর। ৪ জন নতুন ছাত্রী ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে গেল। নতুন ৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় কত?

ক
ক) ৮ বছর
খ
খ) ৯ বছর
গ
গ) ১০ বছর
ঘ
ঘ) ১১ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ২০ জন ছাত্রীর বয়সের গড় ১২ বছর। ৪ জন নতুন ছাত্রী ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে গেল। নতুন ৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২০ × ১২) বছর।
= ২৪০ বছর।

২৪ জন ছাত্রীর বয়সের গড় = ১২ - (৪/১২) বছর।
= ৩৫/৩ বছর।

২৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (৩৫/৩) × ২৪) বছর।
= ২৮০ বছর।

৪ জন ছাত্রীর মোট বয়স = (২৮০ - ২৪০) বছর।
= ৪০ বছর।
৪ জন ছাত্রীর গড় বয়স = ৪০/৪ বছর।
= ১০ বছর।

১৫,৩৫৬.

কলার দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে ১টি কলার দাম কত?

ক
২ টাকা
খ
১.২০ টাকা
গ
১.৮০ টাকা
ঘ
৩ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কলার দাম ২০% কমে যাওয়ায় ১২ টাকায় পূর্ব অপেক্ষা ২টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে একটি কলার দাম কত টাকা?

সমাধান:

১২ টাকার ২০% = ১২ এর ২০/১০০টাকা = ২.৪ টাকা

২টি কলার বর্তমান দাম = ২.৪ টাকা

১টি কলার বর্তমান দাম =২.৪/২ = ১.২ টাকা

১৫,৩৫৭.

1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত?

ক
4950
খ
3820
গ
2893
ঘ
3003

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ……………. + 77 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2

∴ 77 স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 77(77 + 1)/2
= (78 × 77)/2
= 39 × 77
= 3003

১৫,৩৫৮.

রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর। রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর। হামজার বয়স ১১ বছর হলে করিমের বয়স কত?

ক
৪০ বছর
খ
৪১ বছর
গ
৪২ বছর
ঘ
৪৩ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর। রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর। হামজার বয়স ১১ বছর হলে করিমের বয়স কত?

সমাধান:
রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর।
রহিম ও হামজার মোট বয়স = ২০ × ২ = ৪০ বছর।
হামজার বয়স = ১১ বছর
রহিমের বয়স = ৪০ - ১১ = ২৯ বছর

রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর
রহিম ও করিমের মোট বয়স = ৩৫ × ২ = ৭০ বছর

করিমের বয়স = ৭০ - ২৯ = ৪১ বছর

১৫,৩৫৯.

১২, ৭, ১৫ সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ১১
খ
খ) ১১.৫
গ
গ) ১১.৩৩
ঘ
ঘ) ১১/২

ব্যাখ্যা

(১২ + ৭ + ১৫)/৩
= ১১.৩৩

১৫,৩৬০.

একটি ঘনকে কয়টি বর্গক্ষেত্র বিদ্যমান?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

একটি ঘনকে ৬ টি বর্গক্ষেত্র বিদ্যমান।

১৫,৩৬১.

A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে 1/3 এবং 1/4 । তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

ক
1/2
খ
1/4
গ
1/6
ঘ
1/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অঙ্কের সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে 1/3 এবং 1/4 । তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা = 1/3
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/3)
= (3 - 1)/3
= 2/3

আবার,
B এর অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা = 1/4
B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/4)
= (4 - 1)/4
= 3/4

এখন,
A ও B এর একত্রে না পারার সম্ভাব্যতা = (2/3) × (3/4) = 1/2
∴ A ও B এর একত্রে পারার সম্ভাব্যতা = 1 - (1/2)
= (2 - 1)/2
= 1/2 ।

১৫,৩৬২.

পুলক আবিরের চেয়ে দ্বিগুণ দক্ষ এবং একই কাজ আবিরের চেয়ে ৬০ দিন কম সময়ে সম্পন্ন করতে পারে। তারা উভয়ে একত্রে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

ক
ক) ৯০ দিন
খ
খ) ৬০ দিন
গ
গ) ৪০ দিন
ঘ
ঘ) ৩০ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পুলক আবিরের চেয়ে দ্বিগুণ দক্ষ এবং একই কাজ আবিরের চেয়ে ৬০ দিন কম সময়ে সম্পন্ন করতে পারে। তারা উভয়ে একত্রে কতদিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
যেহেতু, পুলক আবিরের চেয়ে দ্বিগুণ দক্ষ।
আবিরের প্রয়োজন ১২০ দিন
∴ পুলকের প্রয়োজন ৬০ দিন

∴ একত্রে করলে সময় লাগবে = (১২০ × ৬০)/(১২০ + ৬০) দিন
= ৪০ দিন

১৫,৩৬৩.

x : y = 3 : 1 হলে (x² + y²) : (x² - y²) = কত?

ক
ক) 4 : 5
খ
খ) 5 : 3
গ
গ) 3 : 4
ঘ
ঘ) 5 : 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x : y = 3 : 1 হলে (x² + y²) : (x² - y²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x : y = 3 : 1
বা, x/y = 3/1
বা, x²/y² = 9/1 [বর্গ করে]
বা, (x² + y²)/(x² - y²) = 9 + 1/9 - 1 [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, (x² + y²)/(x² - y²) = 10/8
∴ (x² + y²) : (x² - y²) = 5 : 4

১৫,৩৬৪.

হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

ক
3 বছর
খ
4 বছর
গ
5 বছর
ঘ
7 বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হাসান তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করে এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করে। সে কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম মাসের সঞ্চয়, প্রথম পদ a = 1200
প্রতি মাসে সঞ্চয় বৃদ্ধি, সাধারণ অন্তর d = 100
মোট সঞ্চয়, S = 106200 টাকা

মনে করি, তিনি n মাসে 106200 টাকা সঞ্চয় করেন।
প্রশ্নানুসারে,
n/2 × {2a + (n - 1) × d} = 106200
বা, n/2 × {2 × 1200 + (n - 1) × 100} = 106200
বা, n(2400 + 100n - 100) = 212400
বা, 100n² + 2300n - 212400 = 0
বা, n² + 23n - 2124 = 0
বা, n² + 59n - 36n - 2124 = 0
বা, (n + 59)(n - 36) = 0
অর্থাৎ, n = - 59 অথবা n = 36
মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

∴ নির্ণেয় সময়: 36 মাস বা 3 বছর।

১৫,৩৬৫.

রহিম ও করিম একটি কাজ ২৪ দিনে সম্পন্ন করে। রহিম, করিম ও রাকিব ঐ কাজটি ৮ দিনে সম্পন্ন করে। রাকিব ঐ কাজটি একা করতে কতদিন সময় লাগবে?

ক
১২ দিন
খ
১৮ দিন
গ
২৪ দিন
ঘ
৩৬ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম ও করিম একটি কাজ ২৪ দিনে সম্পন্ন করে। রহিম, করিম ও রাকিব ঐ কাজটি ৮ দিনে সম্পন্ন করে। রাকিব ঐ কাজটি একা করতে কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান:
রহিম ও করিম ১ দিনে করে কাজটির = ১/২৪ অংশ
রহিম, করিম ও রাকিব ১ দিনে করে কাজটির = ১/৮ অংশ

∴ রাকিব ১ দিনে করে কাজটির = (১/৮) - (১/২৪) অংশ
= (৩ - ১)/২৪
= ১/১২ অংশ

অতএব, রাকিব ঐ কাজটি একা করতে ১২ দিন সময় লাগবে।

১৫,৩৬৬.

৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

ক
২৫২০০
খ
১০৫০
গ
২১০
ঘ
২১৪০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৪টি স্বরবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ২টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
৭টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় ^৭C_৩ = ৩৫
৪টি স্বরবর্ণ থেকে ২টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় ^৪C_২= ৬
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = ৩৫ × ৬ = ২১০

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে ৫টি এদের সাজানোর উপায় = ৫! = ১২০

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = ২১০ × ১২০ = ২৫২০০

১৫,৩৬৭.

দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩, যদি তাদের যোগফল ২০ হয়, তাহলে সংখ্যা দুটির বর্গফলের যোগফল কত?

ক
৩২৪
খ
২০০
গ
১৯৬
ঘ
২০৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ২ : ৩, যদি তাদের যোগফল ২০ হয়, তাহলে সংখ্যা দুটির বর্গফলের যোগফল কত?

সমাধান:
সংখ্যা দুটির যোগফল = ২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ২ : ৩
ধরি,
সংখ্যা দুটি হল ২x এবং ৩x,
প্রশ্নমতে,
২x + ৩x = ২০
⇒ ৫x = ২০
⇒ x = ৪

∴ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৮ এবং ১২
তাদের বর্গের সমষ্টি = ৮^২ + ১২^২ = ৬৪ + ১৪৪ = ২০৮
∴ নির্ণেয় ফলাফল ২০৮ হবে।

১৫,৩৬৮.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

ক
৬০
খ
৭২
গ
৮০
ঘ
৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ১২০ এবং অনুপাত ৩ : ৫। সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ১২০
সংখ্যা দুটির অনুপাত = ৩ : ৫

ধরি, সংখ্যা দুটি = ৩x এবং ৫x
এখন, ৩x এবং ৫x এর ল.সা.গু. = ১৫x

প্রশ্নমতে,
১৫x = ১২০
বা, x = ১২০/১৫
∴ x = ৮

এখন সংখ্যা দুটি হলো,
৩x = ৩ × ৮ = ২৪ এবং ৫x = ৫ × ৮ = ৪০

∴ যোগফল = ২৪ + ৪০ = ৬৪

১৫,৩৬৯.

x + 1/x = 5 হলে, 1/(x² - 5x + 1) = ?

ক
0
খ
1
গ
∞
ঘ
উপরের কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

x + 1/x = 5
⇒ (x² + 1)/x = 5
⇒ x² + 1 = 5x
⇒ x² - 5x + 1 = 0

এখন,
1/(x² - 5x + 1)
= 1/0
= ∞

১৫,৩৭০.

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য গ্রন্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ৯.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১৮২৪ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
ক) ২১
খ
খ) ২০
গ
গ) ২৪
ঘ
ঘ) ২৫

ব্যাখ্যা

ধরি,
ঘরটির প্রস্থ x মিটার
ঘরটির দৈর্ঘ্য ৩x মিটার
ঘরটির ক্ষেত্রফল = ৩x × x = ৩x^২ বর্গমিটার।

৯.৫০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে
১ টাকা খরচ হয় ১/৯.৫০ বর্গমিটারে
১৮২৪ টাকা খরচ হয় ১৮২৪/৯.৫০ বর্গমিটারে
= ১৯২

প্রশ্নমতে,
৩x^২ = ১৯২
x^২ = ১৯২/৩
x^২= ৬৪
x^২ = ৮^২
x = ৮

ঘরটির দৈর্ঘ্য= ৩ × ৮ = ২৪ মিটার

১৫,৩৭১.

কতজন বালকের মধ্যে ১২৫টি আম ও ১৪৫টি লিচু সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়?

ক
২৫ জন
খ
১৫ জন
গ
১০ জন
ঘ
০৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কতজন বালকের মধ্যে ১২৫ টি আম ও ১৪৫ টি লিচু সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু.
১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু. হলো ৫
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

১৫,৩৭২.

একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯৬ কি. মি. বেগে চলে। ট্রেনটি ৯০০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু ১ মিনিটে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক
৮০০
খ
৭০০
গ
৬৫০
ঘ
৬০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৯৬ কি. মি. বেগে চলে। ট্রেনটি ৯০০ মিটার দীর্ঘ একটি সেতু ১ মিনিটে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
এখানে,
৯৬ কি.মি. = ৯৬০০০ মি
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড

৩৬০০ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৯৬০০০ মি
১ সেকেন্ড অতিক্রম করে ৯৬০০০/৩৬০০ মি
৬০ সেকেন্ড অতিক্রম করে (৯৬০০০ × ৬০)/৩৬০০ মি
= ১৬০০ মি

প্রশ্নমতে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফরমের দৈর্ঘ্য = ১৬০০ মি.
বা, ট্রেনের দৈর্ঘ্য = (১৬০০ - ৯০০) মি. = ৭০০ মি

১৫,৩৭৩.

(১১ ÷ ১১ × ১০)/(১০ ÷ ১০ এর ১০) = কত?

ক
১
খ
১০
গ
১০০
ঘ
১১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (১১ ÷ ১১ × ১০)/(১০ ÷ ১০ এর ১০) = কত?

সমাধান:
(১১ ÷ ১১ × ১০)/(১০ ÷ ১০ এর ১০)
= (১ × ১০)/(১০ ÷ ১০০) [সরলের নিয়ম অনুসারে ”ভাগের(÷)” আগে ”এর” কাজ করতে হয়]
= ১০/(১০/১০০)
= ১০/(১/১০)
= (১০ × ১০)/১
= ১০০

১৫,৩৭৪.

কোনো ধারার n তম পদ 2n.2^{n - 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 43
খ
খ) 34
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 2n.2^{n - 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 2n.2^{n - 1}
১ম পদ = 2 . 1 . 2^{1 - 1}= 2 . 2⁰ = 2
২য় পদ = 2 . 2 . 2^{2 - 1} = 8
৩য় পদ = 2 . 3 . 2^{3 - 1} = 24

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 2 + 8 + 24
= 34

১৫,৩৭৫.

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষকোণদ্বয়ের অন্তর ২° হলে সূক্ষকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণ কত ডিগ্রী?

ক
ক) ৮৮
খ
খ) ৪৪
গ
গ) ৪৬
ঘ
ঘ) ৪২

ব্যাখ্যা

ধরি, একটি কোন X
অপর কোন ৯০-X
সুতরাং ৯০-X-X=২
কারণ এখানে সমকোণী ত্রিভুজের বাকি কোন দুটির সমষ্টি ৯০°
২X=৮৮
X=৪৪
৯০-৪৪=৪৬

১৫,৩৭৬.

২৫৫০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দেয়। মেয়ে কত টাকা পাবে?

ক
১০২০ টাকা
খ
৫০০ টাকা
গ
৫২০ টাকা
ঘ
৫১০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫৫০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে দেয়। মেয়ে কত টাকা পাবে?

সমাধান:
এখানে,
ক ও খ এর অনুপাত = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫

∴ ক পায় = ১/৫ × ২৫৫০ টাকা
= ৫১০ টাকা

খ পায় = ৪/৫ × ২৫৫০টাকা
= ২০৪০ টাকা।

এখন,
খ, মা ও তার মেয়ের অনুপাত = ২ : ১ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ২ + ১ + ১ = ৪

∴ মেয়ে পায় = (১/৪) × ২০৪০ টাকা
= ৫১০ টাকা।

১৫,৩৭৭.

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

ক
n(n + 1)(2n + 1)/6
খ
(n + 1)/2
গ
n²
ঘ
n² + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 3 + 5 + ..... + n
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
এবং পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2) {2 × 1 + (n - 1)2}
= (n/2) (2 + 2n - 2)
= (n/2) · 2n
= n²

১৫,৩৭৮.

³√{³√(a^-27)} = ?

ক
ক) a
খ
খ) 1
গ
গ) -a³
ঘ
ঘ) 1/a³

ব্যাখ্যা

³√{³√(a^-27)}
= ³√{(a^-27)^1/3}
= ³√(a^-9)
= (a^-9)^1/3
= a^-3
= 1/a³

১৫,৩৭৯.

টাকায় ৬ টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫ টি লেবু বিক্রয় করলে লাভের হার কত?

ক
১৫%
খ
২০%
গ
২৫%
ঘ
৩০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: টাকায় ৬ টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫ টি লেবু বিক্রয় করলে লাভের হার কত?

সমাধান:
১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।

∴ লাভ = (১/৫) - (১/৬)
= (৬ - ৫)/৩০
= ১/৩০

এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় (১/৩০)(৬/১) টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬ × ১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

১৫,৩৮০.

১/৯, ১৩/৯৭, ৫/৫১ ও ৯/৭৩ এদের মধ্যে কোন ভগ্নাংশ বড়?

ক
১/৯
খ
১৩/৯৭
গ
৫/৫১
ঘ
৯/৭৩

ব্যাখ্যা

১/৯ → ১৩/৯৭ ⇒ ৯৭ < ১১৭ তাই ১/৯ ও ১৩/৯৭ এদের মধ্যে ১৩/৯৭ বড়।
১৩/৯৭ → ৫/৫১ ⇒ ৬৬৩ > ৪৮৫ তাই ১৩/৯৭ ও ৫/৫১ এদের মধ্যে ১৩/৯৭ বড়।
১৩/৯৭ → ৯/৭৩ ⇒ ৯৪৯ > ৮৭৩ তাই ১৩/৯৭ ও ৯/৭৩ এদের মধ্যে ১৩/৯৭ বড়।

১৫,৩৮১.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% বাড়ে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

ক
৪০%
খ
৪৪%
গ
৪২%
ঘ
৪৬%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% বাড়ে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% বাড়লে ২ বার ২০% করে বাড়বে।
প্রথম বার বৃদ্ধিতে, নতুন ব্যাসার্ধ = ১০০% + ২০% = ১২০%
দ্বিতীয় বার বৃদ্ধিতে অতিরিক্ত বৃদ্ধি = ১২০% এর ২০%
= ১২০ × (২০/১০০)
= ২৪%

মোট বৃদ্ধি = = ২০% + ২৪%
= ৪৪%
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে।

১৫,৩৮২.

(a/b)^{(x - 5)} = (b/a)^{(x - 7)} হলে x এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

(a/b)^{(x - 5)} = (b/a)^{(x - 7)}
⇒ (a/b)^{(x - 5)} = (a/b)^{(7 - x)}
⇒ x - 5 = 7 - x
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

১৫,৩৮৩.

৮০ এর ৭৫% এর ২৫% = কত?

ক
১০
খ
১৫
গ
২০
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮০ এর ৭৫% এর ২৫% = কত?

সমাধান:
৮০ এর ৭৫% এর ২৫%
= ৮০ × (৭৫/১০০) × (২৫/১০০)
= ৮০ × (৩/৪) × (১/৪)
= ১৫

১৫,৩৮৪.

১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

ক
২/৭
খ
৩/১০
গ
২/৯
ঘ
৩/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ টি।
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৬ টি।
(মৌলিক সংখ্যাগুলো - ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯)

∴ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা / সর্বমোট সংখ্যা
= ৬/২১
= ২/৭

১৫,৩৮৫.

log_x(1/49) = - 2 হলে x এর মান কত?

ক
3
খ
1/7
গ
7
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/49) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/49) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/49
⇒ 1/x² = 1/49
⇒ x² = 49
⇒ x² = 7²
∴ x = 7

১৫,৩৮৬.

cosθ = √3/2 হলে cotθ এর মান কত?

ক
1/2
খ
1/√3
গ
√3
ঘ
√3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ = √3/2 হলে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = √3/2
বা, cosθ = cos30°
∴ θ = 30°

এখন,
cotθ
= cot30°
= √3

১৫,৩৮৭.

7 + 10 + 13 + ........ ধারাটির কোন পদ 100 হবে?

ক
32 তম পদ
খ
36 তম পদ
গ
42 তম পদ
ঘ
44 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + ......... ধারাটির কোন পদ 100 হবে?

সমাধান:
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি, r তম পদ = 100

তাহলে,
a + (r - 1)d = 100
⇒ 7 + (r - 1)3 = 100
⇒ 7 + 3r - 3 = 100
⇒ 3r = 100 - 4
⇒ 3r = 96
∴ r = 32

অতএব, ধারাটির 32 তম পদ 100 হবে।

১৫,৩৮৮.

একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

ক
140 বর্গ মিটার
খ
160 বর্গ মিটার
গ
180 বর্গ মিটার
ঘ
190 বর্গ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার
বাগানের প্রস্থ = 16 মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
= (20 × 16) বর্গ মিটার
= 320 বর্গ মিটার

আবার, যেহেতু বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {20 + (2 + 2)} মিটার = 24 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = {16 + (2 + 2)} মিটার = 20 মিটার
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (24 × 20) বর্গ মিটার
= 480 বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 - 320) বর্গ মিটার
= 160 বর্গ মিটার।

১৫,৩৮৯.

2x³ - 8x² + 7 = 0 সমীকরণের x এর সহগ কত?

ক
1
খ
0
গ
- 8
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x³ - 8x² + 7 = 0 সমীকরণের x এর সহগ কত?

সমাধান:
2x³ - 8x² + 7 = 0
বা, 2x³ - 8x² + 0 . x + 7 = 0

∴ 2x³ - 7x² + 7 = 0 সমীকরণে x এর সহগ 0

১৫,৩৯০.

A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে (A ∩ B) = ?

ক
{7, 11}
খ
{7}
গ
{11}
ঘ
{5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে (A ∩ B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}

এখন,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}
= {2, 3, 5, 7, 11, 13}

(A ∩ B) = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13}
= {7}

১৫,৩৯১.

পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর। আবার পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৯ বছর। মাতার বয়স কত?

ক
৩৩ বছর
খ
৩৪ বছর
গ
৩৭ বছর
ঘ
৩২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর। আবার পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৯ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর
পিতা ও পুত্রের মোট বয়স (৪২ × ২) বছর = ৮৪ বছর

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৯ বছর
পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স= (৩৯ × ৩) বছর
= ১১৭ বছর

∴ পুত্রের বয়স = (১১৭ - ৮৪) = ৩৩ বছর

১৫,৩৯২.

যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বলে-

ক
সম্পূরক কোণ
খ
পূরক কোণ
গ
বিপ্রতীপ কোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বলে-

সমাধান:
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।

১৫,৩৯৩.

p² - p - (y + 1)(y + 2) এর পদসংখ্যা কয়টি?

ক
6 টি
খ
5 টি
গ
3 টি
ঘ
4 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p² - p - (y + 1)(y + 2) এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
p² - p - (y + 1)(y + 2)
= p² - p - y² - 2y - y - 2
= p² - p - y² - 3y - 2

∴ নির্ণেয় পদসংখা = 5 টি।

১৫,৩৯৪.

(2/3)^n-3 = (8/27)^n-4 হলে n = ?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 9/2
ঘ
ঘ) 2/9

ব্যাখ্যা

(2/3)^n-3 = (8/27)^n-4
বা, (2/3)^n-3 = {(2/3)³}^n-4
বা, (2/3)^n-3 = (2/3)^{3n - 12}
বা, n - 3 = 3n - 12
বা, 2n = 9
∴ n = 9/2

১৫,৩৯৫.

কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

ক
৫ ফুট ৭ ইঞ্চি
খ
৬ ফুট ৩ ইঞ্চি
গ
৬ ফুট ৫ ইঞ্চি
ঘ
৬ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন,
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার,
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
= ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

১৫,৩৯৬.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র নিচের কোনটি?

ক
ক) (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
খ
খ) (√3/2) × a²
গ
গ) (√3/4) × a²
ঘ
ঘ) ভূমি × উচ্চতা

ব্যাখ্যা

মনে করি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র = (√3/4) × a²

১৫,৩৯৭.

কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

ক
180°
খ
540°
গ
720°
ঘ
360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি 180°।

যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণ যথাক্রমে A, B এবং C হয়, তবে,
A + B + C = 180°
একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা তার অন্তঃস্থ সন্নিহিত কোণের সাথে 180° কোণ তৈরি করে।
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণ = 180° - অন্তঃস্থ কোণ।

সকল বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 3 × 180° - (A + B + C)
= 540° - 180° = 360°

∴ যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 360°।

১৫,৩৯৮.

সামিয়ার বয়স রিপার বয়সের ৪ গুণ। রিপার বর্তমান বয়স ৪ বছর। যখন সামিয়ার বয়স রিপার বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন সামিয়ার বয়স কত বছর হবে?

ক
২৪ বছর
খ
৩৬ বছর
গ
৪২ বছর
ঘ
৩২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সামিয়ার বয়স রিপার বয়সের ৪ গুণ। রিপার বর্তমান বয়স ৪ বছর। যখন সামিয়ার বয়স রিপার বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন সামিয়ার বয়স কত বছর হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
রিপার বর্তমান বয়স = ৪ বছর
তাহলে,
সামিয়ার বর্তমান বয়স = (৪ × ৪) বছর
= ১৬ বছর
ধরি,
ক বছর পর সামিয়ার বয়স রিপার বয়সের দ্বিগুণ হবে।
১৬ + ক = ২(৪ + ক)
⇒ ১৬ + ক = ৮ + ২ক
⇒ ২ক - ক = ১৬ - ৮
∴ ক = ৮

সুতরাং, তখন সামিয়ার বয়স হবে = (১৬ + ৮) বছর
= ২৪ বছর

১৫,৩৯৯.

a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

ক
ক) (a - 2)
খ
খ) (a - 1)
গ
গ) (a + 2)
ঘ
ঘ) (a + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a -20
= a²(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)

১৫,৪০০.

৪৮০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করা হয়েছে। একটি ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করা হয়েছে। সব মিলিয়ে কত লোকসান হয়েছে?

ক
ক) ৩০০ টাকা
খ
খ) ৪০০ টাকা
গ
গ) ৫০০ টাকা
ঘ
ঘ) ৬০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪৮০০ টাকা করে দুটি চেয়ার বিক্রয় করা হয়েছে। একটি ২০% লাভে এবং অন্যটি ২০% লোকসানে বিক্রয় করা হয়েছে। সব মিলিয়ে কত লোকসান হয়েছে?

সমাধান:
২০% লাভে,
১২০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৪৮০০ টাকা বিক্রয়মূল্য হলে ক্রয়মূল্য (৪৮০০ × ১০০)/১২০ = ৪০০০টাকা

২০% ক্ষতিতে,
৮০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ ৪৮০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (৪৮০০ × ১০০)/৮০ = ৬০০০ টাকা

মোট ক্রয়মূল্য ৪০০০ + ৬০০০ = ১০০০০টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৮০০ + ৪৮০০ = ৯৬০০ টাকা
∴ লোকসান = ১০০০০ - ৯৬০০ টাকা
= ৪০০ টাকা