গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১১৮ / ৪৭৫ · ১১,৭০১–১১,৮০০ / ৪৭,৮৩৩

১১,৭০১.

একটি অংশীদারি কারবারের বণ্টনযোগ্য মুনাফা ৯০০০০ টাকা। ১/২ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা কত হবে?

ক
৫০০০০ টাকা
খ
৩০৫০০ টাকা
গ
৩০০০০ টাকা
ঘ
৪০০০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অংশীদারি কারবারের বণ্টনযোগ্য মুনাফা ৯০০০০ টাকা। ১/২ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত ১/২ : ১/৩ : ১/৬
= ৩ : ২ : ১

অনুপাতের যোগফল = (৩ + ২ + ১) = ৬

∴ দ্বিতীয় অংশীদারের মুনাফা = ৯০০০০ × (২/৬) টাকা
= ৩০০০০ টাকা

১১,৭০২.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১০ বর্গ সে.মি.
খ
১৬ বর্গ সে.মি.
গ
১২ বর্গ সে.মি.
ঘ
২২ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ সে.মি. এবং ৬ সে.মি.

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (৪ x ৬) বর্গ সে.মি.
= ১২ বর্গ সে.মি.

১১,৭০৩.

একটি ত্রিভূজের দু’টি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 24 সেঃমিঃ এবং 25 সেঃমিঃ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য কত হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে?

ক
ক) 7 সে.মি
খ
খ) 8 সে.মি
গ
গ) 9 সে.মি
ঘ
ঘ) 10 সে.মি

ব্যাখ্যা

এখানে,
25² = 24² + 7²
∴ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 7 সেমি.

১১,৭০৪.

x^-2 - 0.0001 = 0 হলে, √x এর মান কত ?

ক
100
খ
110
গ
10
ঘ
1
ঙ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : x^-2 - 0.0001 = 0 হলে, √x এর মান কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^-2 - 0.0001 = 0
⇒ x^-2 = 0.0001
⇒ 1 / x² = 1/10000
⇒ x² = 10000
⇒ x = √10000
⇒ x = 100
⇒ √x = √100
⇒ √x = √(10)²
∴ √x = 10

১১,৭০৫.

যদি 17^x = 4913 হয়, তাহলে 2^{2x - 1} এর মান কত?

ক
16
খ
32
গ
64
ঘ
128

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 17^x = 4913 হয়, তাহলে 2^{2x - 1} এর মান কত?

সমাধান:
17^x = 4913
⇒ 17^x = 17³
∴ x = 3

2^{2x - 1}
= 2^{2 × 3 - 1}
= 2^{6 - 1}
= 2⁵
= 32

১১,৭০৬.

শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১০ বছরে সবৃদ্ধিমূল ১০৫০ টাকা হবে?

ক
ক) ৬০০ টাকা
খ
খ) ৬৫০ টাকা
গ
গ) ৭০০ টাকা
ঘ
ঘ) ৭৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
আসল, p = ?
সময়, n = ১০
আমরা জানি, C = P(1 + rn)
বা, ১০৫০ = P {১ + (৪/১০০) × ১০}
বা, ১০৫০ = P (১ + ৪/১০)
বা, ১০৫০ = P (১৪/১০)
বা, P = ১০৫০ × ১০/১৪
বা, P = ৭৫০ টাকা।

১১,৭০৭.

x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে, x³ + y³ = কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে x³ + y³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 2² = 4 + 2xy
বা, 4 = 4 + 2xy
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

১১,৭০৮.

18 এবং 72 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

ক
45
খ
1296
গ
36
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 এবং 72 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

সমাধান:
গুণোত্তর গড়ের সূত্র: ⁿ√(a₁ × a₂ × ..... a_n)
এখানে a₁ = 18, a₂ = 72

গুণোত্তর গড় = √(18 × 72)
= √1296
= 36

১১,৭০৯.

এক ব্যক্তি ৯০০ টাকায় একটি জিনিস ক্রয় করে ৪ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করল। তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হলো?

ক
১৮ টাকা
খ
২৩ টাকা
গ
২১ টাকা
ঘ
২০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ৯০০ টাকায় একটি জিনিস ক্রয় করে ৪ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করল। তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রয়মূল্য = ৯০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ৯৬৩ টাকা
সময় = ৪ মাস = ৪/১২ = ১/৩ বছর

∴ লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ৯৬৩ - ৯০০
= ৬৩ টাকা

এখন,
৪ মাসে লাভ হয় = ৬৩ টাকা
∴ ১ মাসে লাভ হয় = ৬৩/৪ টাকা
∴ ১২ মাসে লাভ হয় = (৬৩ × ১২)/৪ = ১৮৯ টাকা

বার্ষিক শতকরা লাভের হার = (বার্ষিক লাভ × ১০০)/মূলধন
= (১৮৯ × ১০০)/৯০০
= ১৮৯/৯
= ২১ টাকা

∴ বার্ষিক ২১% লাভ হয়েছে।

অথবা
বার্ষিক লাভের হার = (লাভ × ১০০ × ১২)/(মূলধন × মাস সংখ্যা)
= (৬৩ × ১০০ × ১২)/(৯০০ × ৪)
= ৭৫৬০০/৩৬০০
= ২১%

১১,৭১০.

নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

ক
৩, ৮, ৮ সে.মি.
খ
১২, ১৪, ২৮ সে.মি.
গ
৭, ৬, ১১ সে.মি.
ঘ
২০, ৮, ১৩ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের প্রতিটি গুচ্ছে তিনটি করে সরলরেখার দৈর্ঘ্য দেয়া আছে। কোন গুচ্ছের সরলরেখাগুলোকে ‍দিয়ে ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
৩ + ৮ = ১১ > ৮
৭ + ৬ = ১৩ > ১১
২০ + ৮ = ২৮ > ১৩
কিন্তু, ১২ + ১৪ = ২৬ < ২৮

∴ ১২, ১৪, ২৮ সে.মি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অংকন সম্ভব নয়।

১১,৭১১.

৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ....... এর পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
ক) ১৬৯
খ
খ) ২২৫
গ
গ) ২৫৬
ঘ
ঘ) ২৭২

ব্যাখ্যা

ধারাটি হচ্ছে = ৩^২ = ৯, ৬^২ = ৩৬, ৯^২ = ৮১, ১২^২ = ১৪৪
∴ এর পরবর্তী সংখ্যা হবে = ১৫^২ = ২২৫

১১,৭১২.

দুটি সংখ্যার অন্তর বড় সংখ্যাটির ২০%। ছোট সংখ্যাটি ২০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৩০
খ
২৫
গ
৪৫
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অন্তর বড় সংখ্যাটির ২০%। ছোট সংখ্যাটি ২০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x - ২০ = x এর ২০%
বা, x - ২০ = ২০x /১০০
বা, ১০০x - ২০০০ = ২০x
বা, ১০০x - ২০x = ২০০০
বা, ৮০x = ২০০০
বা, x = ২০০০/৮০
∴ x = ২৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ২৫ ।

১১,৭১৩.

চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক
৫
খ
১০
গ
২০
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৫, ১০ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৫, ১০ ও ১৫ ল.সা.গু = ৩০

এখন,
১০০০ ÷ ৩০ ⇒
ভাগফল = ৩৩
ভাগশেষ = ১০

∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ১০

১১,৭১৪.

250 টাকার 4% কত?

ক
20
খ
10
গ
25
ঘ
50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 250 টাকার 4% কত?

সমাধান:
250 টাকার 4% = 250 এর 4/100
= 10 টাকা

১১,৭১৫.

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর _____ .

ক
ক) অর্ধেক
খ
খ) দুইগুণ
গ
গ) তিনগুণ
ঘ
ঘ) সমান

ব্যাখ্যা

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED

১১,৭১৬.

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে, জোড় অথবা চার দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ওঠার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ১/২
খ
খ) ২/৩
গ
গ) ১/৩
ঘ
ঘ) ১/৬

ব্যাখ্যা

ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হলো {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
এদের মধ্যে জোড় সংখ্যা {২, ৪, ৬} এবং ৪ দ্বারা বিভাজ্য {৪}
∴ জোড় সংখ্যা অথবা ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা {২, ৪, ৬}
∴ সম্ভাবনা = ৩/৬ = ১/২

১১,৭১৭.

log₃√x = -1 হলে, x = ?

ক
ক) 1/3
খ
খ) 1/9
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 2/9

ব্যাখ্যা

log₃√x = -1
বা, √x = 3^-1
বা, √x = 1/3
∴ x = 1/9

১১,৭১৮.

a + b + c = 8 এবং a² + b² + c² = 24 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
6
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 8 এবং a² + b² + c² = 24 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 8
a² + b² + c² = 24

∴ প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² + 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²
= 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= (2 × 24) - {(8)² - 24}
= (2 × 24) - (64 - 24)
= 48 - 40
= 8

১১,৭১৯.

একই হার ও মুনাফায় কোনো আসল ৫ বছরে মুনাফা আসলে তিনগুন হলে, কত বছরে তা মুনাফা-আসলে পাচগুণ হবে?

ক
৪ বছর
খ
৫ বছর
গ
৮ বছর
ঘ
১০ বছর

ব্যাখ্যা

১ম ক্ষেত্রে, আসল P হলে, মুনাফা আসল 3P
অতএব, মুনাফা = 3P - P = 2P
ও মুনাফার হার r হলে,
∴ 2P = P × r × 5/100
r = 40

২য় ক্ষেত্রে, আসল P হলে, মুনাফা আসল 5P
অতএব, মুনাফা = 5P - P = 4P
ও মুনাফার হার r হলে,
∴ 4P = P × 40 × সময়/100
⇒ সময় = 4/40 × 100 = 10 বছর

১১,৭২০.

2 - 2 + 2 - 2 +.. ধারাটির 2n + 2 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
1
খ
-1
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +....................... ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

১১,৭২১.

পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের দুই বছর পূর্বের বয়সের তিনগুণ। পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর হলে আট বছর পরে পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত কত হবে?

ক
২ : ১
খ
১ : ২
গ
৫ : ১১
ঘ
২ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের দুই বছর পূর্বের বয়সের তিনগুণ। পিতার বর্তমান বয়স ৩৬ বছর হলে আট বছর পরে পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে ,
পিতার বর্তমান বয়স = ৩৬ বছর

প্রশ্নমতে,
২ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স = ৩৬/৩ বছর
= ১২ বছর।

পুত্রের বর্তমান বয়স = ১২ + ২ বছর
= ১৪ বছর

আট বছর পরে পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = (১৪ + ৮) : (৩৬ + ৮)
= ২২ : ৪৪
= ১ : ২

১১,৭২২.

১ মেট্রিক টন চাল ৫০ জন শ্রমিকের মধ্যে সমানভাবে বণ্টন করা হলে, প্রত্যেকে কী পরিমাণ চাল পাবে?

ক
২ কেজি
খ
৫ কেজি
গ
২৫ কেজি
ঘ
২০ কেজি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ মেট্রিক টন চাল ৫০ জন শ্রমিকের মধ্যে সমানভাবে বণ্টন করা হলে, প্রত্যেকে কী পরিমাণ চাল পাবে?

সমাধান:
আমরা জানি
১ মেট্রিক টন = ১০০০ কেজি

৫০ জন শ্রমিক চাল পাবে ১০০০ কেজি
১ জন শ্রমিক চাল পাবে ১০০০/৫০ কেজি
= ২০ কেজি

১১,৭২৩.

।7 - 2x। < 11 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) 2 < x < 11
খ
খ) - 9 < x < 2
গ
গ) 2 < x < 9
ঘ
ঘ) - 2 < x < 9

ব্যাখ্যা

।7 - 2x। < 11
- 11 < 7 - 2x < 11
- 11 - 7 < 7 - 2x - 7< 11 - 7
- 18 < - 2x < 4
-18/2 < - 2x/2 < 4/2
- 9 < - x < 2
- 9( - 1) > (- x)(- 1) > 2 (- 1)
9 > x > - 2
- 2 < x < 9

১১,৭২৪.

কতগুলো ঘন্টা একসঙ্গে বাজার পর ১০ সেঃ, ২০ সেঃ, ৩০ সেঃ, ৪০ সেঃ পরপর বাজতে লাগল। উহারা আবার কতক্ষন পর একত্রে বাজবে?

ক
ক) ১ মিনিট
খ
খ) ২ মিনিট
গ
গ) ৩ মিনিট
ঘ
ঘ) ৫ মিনিট

ব্যাখ্যা

এখানে, ১০, ২০, ৩০, ৪০, এর ল.সা.গু. = ১২০ সেঃ = ২ মিনিট

১১,৭২৫.

'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?

ক
100
খ
120
গ
105
ঘ
210

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'AUTHORIZED' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?

সমাধান:
'AUTHORIZED' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 5টি
এবং স্বরবর্ণ আছে 5টি

5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁵C₃
= 10

5টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁵C₂
= 10

বাছাইয়ের মোট উপায় = 10 × 10
= 100

১১,৭২৬.

আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

ক
20টি
খ
15টি
গ
18টি
ঘ
16টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n - 3)/2

∴ আট বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণ আছে = 8(8 - 3)/2 = 20

১১,৭২৭.

8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

ক
ক) 6005
খ
খ) 5040
গ
গ) 2520
ঘ
ঘ) 40320

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
8জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে ( n - 1)! উপায়ে।
= (8 - 1)!
= 7!
= 5040

১১,৭২৮.

3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36?

ক
13 তম
খ
12 তম
গ
11 তম
ঘ
10 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ........... ধারাটির কততম পদ 36?

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

ধরি, ধারার n তম পদ = 36
শর্তমতে,
a + (n - 1)d = 36
বা, 3 + (n - 1)3 = 36
বা, (n - 1)3 = 33
বা, n - 1 = 11
∴ n = 12

১১,৭২৯.

a³ - 7a - 6 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

ক
ক) a + 1
খ
খ) a - 1
গ
গ) a + 2
ঘ
ঘ) a - 3

ব্যাখ্যা

a³ - 7a - 6
= a³ + a² - a² - a - 6a - 6
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 6(a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 6)
= (a + 1) (a² - 3a + 2a - 6)
= (a + 1) {a(a - 3) + 2(a - 3)}
= (a + 1) (a + 2) (a - 3)

১১,৭৩০.

8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

ক
324 উপায়ে
খ
720 উপায়ে
গ
5040 উপায়ে
ঘ
40320 উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে

১১,৭৩১.

কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?

ক
ক) ২৭
খ
খ) ১৬
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
৮ক - ২ক = ৭২
৬ক = ৭২
ক = ১২

১১,৭৩২.

দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 80°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 50°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°

১১,৭৩৩.

১ বর্গ ফুট = কত বর্গ ইঞ্চি?

ক
ক) ৫২৮০ বর্গ ইঞ্চি
খ
খ) ৩০.৪৮ বর্গ ইঞ্চি
গ
গ) ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি
ঘ
ঘ) ৩৯.৩৮ বর্গ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

১ বর্গ ফুট = ১ ফুট × ১ ফুট
= ১২ ইঞ্চি × ১২ ইঞ্চি
= ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি
∴ ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি = ১ বর্গ ফুট

১১,৭৩৪.

একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

ক
৫ সরলকোণ
খ
৬ সরলকোণ
গ
৭ সরলকোণ
ঘ
৮ সরলকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/ ১৮০⁰ সরলকোণ
= ৭ সরলকোণ

১১,৭৩৫.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের OB ব্যাসার্ধ, AC স্পর্শক বৃত্তটিকে B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠ABO = কত ডিগ্রি?

ক
ক) ৮০°
খ
খ) ৮৫°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ৯৫°

ব্যাখ্যা

যে কোন বিন্দুতে অংকিত স্পর্শক ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

১১,৭৩৬.

যদি log₂[log₃(log₂x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
0
খ
128
গ
12
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂x)] = 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂[log₃(log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512
∴ x = 512

১১,৭৩৭.

একটি ট্রেন ‘ক’ স্টেশন থেকে যাত্রা করে ৪৫ মিনিট পর ‘খ’ স্টেশনে থামে। স্টেশন দুটির দূরত্ব ৮৪ কিলোমিটার হলে ট্রেনটির গড় গতিবেগ হবে-

ক
ক) ১১২ কিমি/ঘন্টা
খ
খ) ১১৫ কিমি/ঘন্টা
গ
গ) ১১৮ কিমি/ঘন্টা
ঘ
ঘ) ১২০ কিমি/ঘন্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ‘ক’ স্টেশন থেকে যাত্রা করে ৪৫ মিনিট পর ‘খ’ স্টেশনে থামে। স্টেশন দুটির দূরত্ব ৮৪ কিলোমিটার হলে ট্রেনটির গড় গতিবেগ হবে-

সমাধান:
সময় = ৪৫মিনিট = ৪৫/৬০ ঘণ্টা
= ৩/৪ ঘণ্টা

গড় গতিবেগ = দূরত্ব / সময়
= ৮৪/(৩/৪)
= ৮৪ × (৪/৩)
= ১১২ কি.মি./ঘন্টা

১১,৭৩৮.

২ বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ ছিল। বাবার বর্তমান বয়স যদি পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবার বর্তমান বয়স কত হবে?

ক
ক) ২৬ বছর
খ
খ) ২৮ বছর
গ
গ) ৩০ বছর
ঘ
ঘ) ৩২ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ বছর আগে বাবার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪ গুণ ছিল। বাবার বর্তমান বয়স যদি পুত্রের বয়সের চেয়ে ২৬ বছর বেশি হয়, তবে বাবার বর্তমান বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (ক + ২৬) বছর

দুই বছর আগে পুত্রের বয়স= (ক - ২) বছর
দুই বছর আগে পিতার বয়স = ক + ২৬ - ২ = ক + ২৪ বছর

শর্তমতে,
১৪(ক - ২) = ক + ২৪
বা, ১৪ক - ২৮ = ক + ২৪
বা ১৪ক - ক = ২৪ + ২৮
বা, ১৩ক = ৫২
∴ ক = ৪

পিতার বর্তমান বয়স = ক + ২৬ = ৪ + ২৬ = ৩০ বছর

১১,৭৩৯.

৯৬ লিটার মিশ্রণে এসিড এবং পানির অনুপাত ৭ : ৫। ঐ মিশ্রণে পানির পরিমাণ কত?

ক
৪০ লিটার
খ
৫৬ লিটার
গ
৫০ লিটার
ঘ
৪৪ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯৬ লিটার মিশ্রণে এসিড এবং পানির অনুপাত ৭ : ৫। ঐ মিশ্রণে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
এসিড এবং পানির অনুপাত যথাক্রমে = ৭ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ৫ক = ৯৬
⇒ ১২ক = ৯৬
⇒ ক = ৯৬/১২
∴ ক = ৮

সুতরাং, পানির পরিমাণ = (৫ × ৮) = ৪০

১১,৭৪০.

আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

ক
২ : ৫
খ
৫ : ৩
গ
৪ : ৫
ঘ
১২ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আয়তাকার চতুর্ভুজের ভূমি ১২ একক ও উচ্চতা ৮ একক হলে ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
আয়তাকার চতুর্ভুজ বা আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১২ × ৮
= ৯৬ বর্গ একক

পরিধি = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১২ + ৮) = ৪০ একক

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ৯৬ : ৪০
= ২৪ : ১০
= ১২ : ৫
∴ ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত = ১২ : ৫

১১,৭৪১.

একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?

ক
7/6
খ
5/4
গ
9/8
ঘ
11/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 1

প্রশ্নানুসারে,
x + x +1 = 13
বা, 2x + 1 = 13
বা, 2x = 12
∴ x = 6

ভগ্নাংশটি =(6 + 1)/6 = 7/6

১১,৭৪২.

log_a√2 = 1/6 হলে, a এর মান কত?

ক
0
খ
2
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a√2 = 1/6 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√2 = 1/6
বা, a^1/6 = √2
বা, a^1/6 = 2^1/2
বা, a^1/6 = {(2)³}^1/(3×2)
বা, a^1/6 = {(2)³}^1/6
বা, a^1/6 = 8^1/6
∴ a = 8

১১,৭৪৩.

B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?

ক
{2, 6 }
খ
{2, 4}
গ
{4, 6}
ঘ
{Ø}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং C = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, (B ∩ C) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
= {3, 4, 5, 6}

এবং C = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
= {2, 4, 6, 8}

∴ (B ∩ C) = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4, 6}

∴ নির্ণেয় সেট = (4, 6}

১১,৭৪৪.

√০.০০০০০৮৪১ সমান কত?

ক
০.০২৯
খ
০.০০০২৯
গ
০.০০২৯
ঘ
০.০০০০২৯

ব্যাখ্যা

√০.০০০০০৮৪১
= √(০.০০২৯ × ০.০০২৯)
= √(০.০০২৯)^২
= ০.০০২৯

১১,৭৪৫.

দুইটি রাশির অনুপাত ৬ঃ১১, উত্তর রাশি ৯৯ হলে পূর্ব রাশি কত?

ক
ক) ৫৪
খ
খ) ৪২
গ
গ) ৪৮
ঘ
ঘ) ৬০

ব্যাখ্যা

এখানে পূর্ব রাশিঃউত্তর রাশি = ৬ঃ১১
বা, পূর্ব রাশি/উত্তর রাশি = ৬/১১
বা, পূর্ব রাশি/৯৯ = ৬/১১
সুতরাং পূর্ব রাশি = ৫৪

১১,৭৪৬.

একটি বর্গের পরিসীমা 48 সে.মি.। একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বর্গটির ক্ষেত্রফলের চেয়ে 4 বর্গ সে.মি. কম। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. হলে, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
24 সে.মি.
খ
48 সে.মি.
গ
50 সে.মি.
ঘ
42 সে.মি.

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
বর্গের পরিসীমা 48 সে.মি.
বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য = 48/4 = 12
বর্গের ক্ষেত্রফল = 12² = 144 বর্গ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (144 - 4) বর্গ সে.মি.
= 140 বর্গ সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য =14 সে.মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 140/14 = 10 সে.মি.

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(14 + 10) সে.মি.
= 2 × 24
= 48 সে.মি.

১১,৭৪৭.

চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২:৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

ক
১ : ৫০ টায়
খ
৩ : ৪০ টায়
গ
২ : ৩০ টায়
ঘ
৪ : ০০ টায়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২:৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ১২ : ৪০ + ৩ ঘণ্টা = ৩ : ৪০ টায়

১১,৭৪৮.

3^{p + 3} = 81 হলে, 10^{p - 3}= কত?

ক
1/10
খ
1/100
গ
1/1000
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{p + 3} = 81 হলে, 10^{p - 3} = কত?

সমাধান:
3^{p + 3} = 81
বা, 3^{p + 3} = 3⁴
বা, p + 3 = 4
বা, p = 4 - 3
∴ p = 1

তাহলে,
10^{p - 3} = 10^{1 -} ³ = 10^{- 2}= 1/10² = 1/100

১১,৭৪৯.

যদি a একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে 5a + 6 থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং 3a + 9 থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?

ক
2a
খ
5a + 15
গ
8a - 3
ঘ
2a + 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a একটি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে 5a + 6 থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা এবং 3a + 9 থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
5a + 6 থেকে বড় ক্ষুদ্রতম জোড় সংখ্যা = 5a + 6 + 2
= 5a + 8

3a + 9 থেকে ছোট বৃহত্তম জোড় সংখ্যা = 3a + 9 - 1
= 3a + 8

∴ পার্থক্য = 5a + 8 - 3a - 8
= 2a

১১,৭৫০.

বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

ক
ক) 60°
খ
খ) 30°
গ
গ) 120°
ঘ
ঘ) 180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 60° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 30°

১১,৭৫১.

একটি বই ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হত। বইটির ক্রয়মূল্য কত হবে?

ক
ক) ১৮০ টাকা
খ
খ) ২০০ টাকা
গ
গ) ২২০ টাকা
ঘ
ঘ) ১৯০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বই ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হয়। বিক্রয় মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ১০% লাভ হত। বইটির ক্রয়মূল্য কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা

ক্ষতি ও লাভে বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১১০ - ৯৫) = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি যখন ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি যখন ক্রয় মূল্য (১০০ × ৩০)/১৫ টাকা
= ২০০ টাকা

১১,৭৫২.

A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

ক
76√3
খ
76π
গ
76√2
ঘ
152√2

ব্যাখ্যা

Question: A square is drawn inside of a circle with a perimeter of 38π. What is the perimeter of that square?

Solution:
Circumference of the circle 2πr = 38π
r = 38π / 2π
r = 19
So, Diameter of a circle d = 2r
= 2 × 19
= 38
If the square’s side is a, its diagonal distance
d = a√2
⇒a = d / √2
⇒a = 38/√2
a = 19√2

So, perimeter 4a = 19√2 × 4
= 76√2

∴ Perimeter of a that square is 76√2

১১,৭৫৩.

P সংখ্যক সংখ্যার গড় a এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b। সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

ক
ক) P(a + b)/(P + Q)
খ
খ) (Pa + Qb)/(P + Q)
গ
গ) (Pa + Qb)/PQ
ঘ
ঘ) (P + Q)/(Pa + Qb)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় a এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b। সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
P সংখ্যক সংখ্যার গড় a
P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Pa

Q সংখ্যক সংখ্যার গড় b
Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = Qb

নির্ণেয় গড় = (Pa + Qb )/(P + Q)

১১,৭৫৪.

অশোকতলা থেকে আমড়াতলীর দূরত্ব ১৭৫ কিলোমিটার। একটি বাস ৭ ঘণ্টায় আমড়াতলী থেকে অশোকতলা চলে আসলো। পথে বাসটি ২ ঘণ্টা যাত্রা বিরতি নেয়। বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা?

ক
৩০ কি.মি./ঘণ্টা
খ
৩৫ কি.মি./ঘণ্টা
গ
৪০ কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অশোকতলা থেকে আমড়াতলীর দূরত্ব ১৭৫ কিলোমিটার। একটি বাস ৭ ঘণ্টায় আমড়াতলী থেকে অশোকতলা চলে আসলো। পথে বাসটি ২ ঘণ্টা যাত্রা বিরতি নেয়। বাসটির গড় গতিবেগ কত কিলোমিটার/ঘণ্টা?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৭৪ কিলোমিটার
যাত্রা বিরতি = ২ ঘণ্টা
∴ অতিক্রান্ত সময় = ৭ - ২ = ৫ ঘণ্টা

∴ গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/অতিক্রান্ত সময়
= ১৭৫/৫
= ৩৫ কি.মি./ঘণ্টা

১১,৭৫৫.

একটি চাকা ৪৪ কি.মি. পথ অতিক্রম করতে ১০০০ বার ঘুরলে চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?

ক
৬ মিটার
খ
৭ মিটার
গ
৯ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

এখানে, ৪৪ = ৪৪ × ১০০০ মি.
আমরা জানি, পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা = অতিক্রান্ত দূরত্ব
বা, 2πr × ১০০০ = ৪৪ ×১০০০
বা, 2πr = ৪৪
বা, r = ৪৪/2π
বা, r = ২২/π
বা, r = ২২/(২২/৭)
বা, r = ২২ × (৭/২২)
বা, r = ৭

১১,৭৫৬.

5x + 2y - 3 = 0 এবং 15x + 6y - 11 = 0 সমীকরণ দুইটির কয়টি সমাধান আছে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) অসংখ্য
ঘ
ঘ) কোন সমাধান নাই

ব্যাখ্যা

5x + 2y - 3 = 0 --------- (1)
15x + 6y - 11 = 0 ------ (2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা গুণ করে,
15x + 6y - 9 = 0 ------ (3)

সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে,
(15x + 6y - 11) - (15x + 6y - 9) = 0
বা, - 11 + 9 = 0 যা কোন সমাধান নয়।
----------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে,
দুইটি সমীকরণের a_{1 /}a_{2 =} b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির কোনো সমাধান থাকে না।
যেখানে,
a₁ = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b₁ = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c₁ = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c₂ = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
------------------------------------------------------------------------------------------------------

বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান না থাকায় সমীকরণ দুইটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট।

১১,৭৫৭.

যে সামন্তরিকের সকল বাহু সমান, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ, তাকে বলে-

ক
ক) বর্গক্ষেত্র
খ
খ) ট্রাপিজিয়াম
গ
গ) আয়তক্ষেত্র
ঘ
ঘ) রম্বস

ব্যাখ্যা

সামান্তরিক: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোনগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।
আয়তক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
বর্গক্ষেত্র: যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

১১,৭৫৮.

5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
5x - 4y = 6.................(1)
x + 2y = 4.................(2)

(1) × 1 + (2) × 2
5x - 4y + 2x + 4y = 6 + 8
7x = 14
x = 2

১১,৭৫৯.

লটারি প্রতিযোগিতায় ২৫টি লটারিতে পুরস্কার রয়েছে, কিন্তু ১৫টি লটারি খালি রয়েছে। যদি দৈবভাবে একটি লটারি টানা হয় তবে পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) ৫/৮
খ
খ) ১/৮
গ
গ) ১/৪
ঘ
ঘ) ৩/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: লটারি প্রতিযোগিতায় ২৫টি লটারিতে পুরস্কার রয়েছে, কিন্তু ১৫টি লটারি খালি রয়েছে। যদি দৈবভাবে একটি লটারি টানা হয় তবে পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
পুরস্কার আছে = ২৫ টি
খালি লটারি = ১৫ টি
মোট লটারি = ২৫ + ১৫ = ৪০ টি

পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = ২৫/৪০ = ৫/৮

∴ পুরস্কার না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৮) = ৩/৮

১১,৭৬০.

একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে ৪ : ১ হবে?

ক
৮ গ্রাম
খ
৬ গ্রাম
গ
৩ গ্রাম
ঘ
৪ গ্রাম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনার ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

সমাধান:
গহনার ওজন = ১৬ গ্রাম
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ সোনার পরিমাণ = (১৬ × ৩)/৪ = ১২ গ্রাম
∴ তামার পরিমাণ = (১৬ × ১)/৪ = ৪ গ্রাম

ধরি,
ক পরিমাণ সোনা মিশাতে হবে

প্রশ্নমতে,
ক + ১২ : ৪ = ৪ : ১
(ক + ১২)/৪ = ৪/১
ক + ১২ = ১৬
ক = ১৬ - ১২
ক = ৪

∴ অতিরিক্ত সোনা মেশাতে হবে ৪ গ্রাম

১১,৭৬১.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. এবং প্রস্থ 10 সে.মি. । আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
7.2 সে.মি.
খ
7.3 সে.মি.
গ
7.0 সে.মি.
ঘ
7.1 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. এবং প্রস্থ 10 সে.মি. । আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = 18 × 10 = 180 বর্গ সে.মি.
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x সে.মি. হলে,
ক্ষেত্রফল = 25x বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
25x = 180
⇒ x = 180/25
∴ x = 7.2 সে.মি.

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 7.2 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

১১,৭৬২.

একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং b = 2a। প্রিজমের উচ্চতা h = 10 সেমি এবং আয়তন 40 ঘন সেমি। a ও b এর মান কত?

ক
ক) 3 সেমি; 5 সেমি
খ
খ) 6 সেমি; 7 সেমি
গ
গ) 2 সেমি; 4 সেমি
ঘ
ঘ) 1সেমি; 9 সেমি

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন = (1/2)abh = 40
⇒a × b × 10 = 80
⇒ 2 a² = 8
⇒ a = 2 সেমি
∴ b = 4 সেমি

১১,৭৬৩.

A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে। যদি A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হয়, তাহলে A এর লভ্যাংশ কত?

ক
৫৪০ টাকা
খ
৫৫০ টাকা
গ
৬৫০ টাকা
ঘ
৭০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে। যদি A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ হয়, তাহলে A এর লভ্যাংশ কত?

সমাধান:
A, B, C একত্রে ব্যবসা করে ২৭০০ টাকা লাভ করে

A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭
মোট অনুপাতের যোগফল = ১৫

∴ A এর লভ্যাংশ = ২৭০০ এর ৩/১৫
= ১৮০ × ৩
= ৫৪০ টাকা

∴ A এর লভ্যাংশ ৫৪০ টাকা।

১১,৭৬৪.

A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে A ∩ B = কত?

ক
{3, 5, 7}
খ
{3, 5, 7, 9}
গ
{1, 5, 7, 9}
ঘ
{1, 3, 5, 7}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11} হলে A ∩ B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 10}
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 11}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

এখন,
A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {3, 5, 7, 9}

১১,৭৬৫.

৫, ১০ ও ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

ক
১২
খ
১৬
গ
২০
ঘ
১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫, ১০ ও ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমানুপাতিকের ক্ষেত্রে,
১ম সংখ্যা × ৪র্থ সংখ্যা = ২য় সংখ্যা × ৩য় সংখ্যা
বা, ৫ × ৪র্থ সংখ্যা = ১০ × ৮
বা, ৪র্থ সংখ্যা = (১০ × ৮)/৫
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ১৬

∴ ৫, ১০ ও ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক সংখ্যা হবে ১৬।

১১,৭৬৬.

যদি (- 8)²ⁿ = 2^{8 + 2n} হয়, তবে n এর মান কত?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (- 8)²ⁿ = 2^{8 + 2n} হয়, তবে n এর মান কত?

সমাধান:
(- 8)²ⁿ = 2^{8 + 2n}
বা, {(- 8)²}ⁿ = 2^{8 + 2n}
বা, (64)ⁿ = 2^{8 + 2n}
বা, (2⁶)ⁿ = 2^{8 + 2n}
বা, 2⁶ⁿ = 2^{8 + 2n}
বা, 6n = 8 + 2n
বা, 6n - 2n = 8
বা, 4n = 8
বা, n = 8/4
∴ n = 2

১১,৭৬৭.

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি., আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

ক
৬ সে.মি.
খ
৮ সে.মি.
গ
৪ সে.মি.
ঘ
৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৮ সে.মি. এবং প্রস্থ ১০ সে.মি., আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে ৩০ সে.মি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (১৮ × ১০) বর্গ সে.মি.
= ১৮০ বর্গ সে.মি.

এখন,
নতুন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক সে.মি. হলে,
∴ ক্ষেত্রফল = ৩০ক বর্গ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ১৮০
⇒ ক = ১৮০/৩০
∴ ক = ৬ সে.মি.

১১,৭৬৮.

একটি ধাতব মুদ্রার টানা পাঁচ বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা কত?

ক
ক) 1/16
খ
খ) 1/8
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/32

ব্যাখ্যা

একটি ধাতব মুদ্রার দুইটি অংশ আছে একটি হেড ও অপরটি টেইল।
একটি ধাতব মুদ্রার একবার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2
একটি ধাতব মুদ্রার টানা দুই বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 = 1/4
একটি ধাতব মুদ্রার টানা তিন বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
একটি ধাতব মুদ্রার টানা পাঁচ বার হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/32

১১,৭৬৯.

√2916 = ?

ক
64
খ
56
গ
46
ঘ
54

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √2916 = ?

সমাধান:

∴ √2916 = 54

১১,৭৭০.

নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্নয় করুন: ২৩, ১১, ২৫, ১৫, ২১, ১২, ২৭, ১৮, ২২, ২৯

ক
ক) ২২.৫
খ
খ) ২০
গ
গ) ২১.৫
ঘ
ঘ) ২২

ব্যাখ্যা

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক = {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২ = ২১.৫

১১,৭৭১.

১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

ক
গড় > মধ্যক
খ
গড় < মধ্যক
গ
গড় = মধ্যক
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ উপাত্তগুলো গড় ও মধ্যকের মাঝে সম্পর্ক কী?

সমাধান:
উপাত্তগুলোকে ঊর্ধ্ব ক্রম অনুসারে সাজালে পাওয়া যায় - ৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে (n + 1)/2 তম পদের মান।

এখানে
n = ১১
মধ্যক = (১১ + ১)/২ তম পদের মান
= ৬ তম পদের মান
= ১৫

গড় = (৫ + ৮ + ৯ + ১১ + ১২ + ১৫ + ১৭ + ২০ + ২১ + ২৩ + ২৫)/১১
= ১৬৬/১১
= ১৫.০৯০৯

∴ গড় > মধ্যক

১১,৭৭২.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

ক
৩০ সে.মি.
খ
২৫ সে.মি.
গ
৪০ সে.মি.
ঘ
৫০ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
এখন, (√৩/৪)(বাহু)^২ = ২৫√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ২৫
⇒ (বাহু)^২ = ২৫ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ১০০
⇒ বাহু = ১০

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = ১০ + ১০ + ১০
= ৩০ সে.মি.

১১,৭৭৩.

একটি ভবনের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ভবনের ছাদের উন্নতি কোণ 30° হলে, ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করুন।

ক
43.60 মিটার (প্রায়)
খ
43.50 মিটার (প্রায়)
গ
42.29 মিটার (প্রায়)
ঘ
43.30 মিটার (প্রায়)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভবনের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে ভবনের ছাদের উন্নতি কোণ 30° হলে, ভবনের উচ্চতা নির্ণয় করুন।

সমাধান:

মনে করি,
ভবনের উচ্চতা AB = h মিটার,
ভবনের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতলম্ব C বিন্দুতে ভবনের ছাদের A বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°
এখন
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan30° =h/75
বা,1/√3 = h/75
বা, h = 75/√3
বা, h = (75 ×√3)/(√3 ×√3)
বা, h = (75 ×√3)/3
বা, h = 25√3

ভবনের উচ্চতা 25√3 = 43.30 মিটার

১১,৭৭৪.

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

ক
সম্পূরক কোণ
খ
প্রবৃদ্ধ কোণ
গ
বিপ্রতীপ কোণ
ঘ
সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
• এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
• দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ বা 90° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের পূরক কোণ বলা হয়।
• দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলা হয়।
• যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

১১,৭৭৫.

একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/৩
খ
৩/৪
গ
৭/১৯
ঘ
৮/২১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৮টি লাল, ৭টি নীল এবং ৬টি সবুজ বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলো। বলটি লাল নয় এবং সবুজও নয়-এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৮ + ৭ + ৬ = ২১টি
লাল নয় এবং সবুজও নয়
অর্থাৎ, শুধু নীল বল।
∴ নীল বলের সংখ্যা = ৭টি

আমরা জানি,
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট সম্ভাব্য ফলাফল

∴ P(নীল বল) = ৭/২১ = ১/৩

১১,৭৭৬.

পিংকি ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও গণিত দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, গনিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

ক
7/20
খ
13/20
গ
3/10
ঘ
7/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিংকি ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/5, ইংরেজি ও গণিত দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 1/4 এবং দুইটির যেকোনো একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 7/10 হলে, গনিতে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/5
P(E ∩ S) = 1/4
P(E ∪ S) = 7/10
P(S) = ?

আমরা জানি ,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 7/10 = (3/5) + P(S) - (1/4)
⇒ (7/10) - (3/5) + (1/4) = P(S)
⇒ (14 - 12 + 5)/20 = P(S)
∴ P(S) = 7/20

১১,৭৭৭.

A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4। A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

ক
1 : 3
খ
3 : 4
গ
16 : 9
ঘ
1 : 4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
A বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
A বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

B বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3r/4
B বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r/4)²
= 9πr²/16

A এবং B বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = πr² : 9πr²/16
= 1 : 9/16
= 16 : 9

১১,৭৭৮.

a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তাহলে m³ + 2p³ = কত?

ক
3mn
খ
0
গ
mn
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তাহলে m³ + 2p³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = m
a² + b² = n

এখন,
m³ + 2p³
= (a + b)³ + 2(a³ + b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
= 3(a³ + a²b + ab² + b³)
= 3{a²(a + b) + b²(a + b)}
= 3(a + b)(a²+b²)
= 3 ⋅ m ⋅ n
= 3mn

১১,৭৭৯.

একটি বাক্সে ১০টি লাল, ১৫টি নীল, এবং ৫টি হলুদ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল বাছাই করলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
৫/৬
খ
২/৩
গ
১/২
ঘ
৩/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১০টি লাল, ১৫টি নীল, এবং ৫টি হলুদ মার্বেল আছে। একটি মার্বেল বাছাই করলে সেটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট মার্বেল সংখ্যা = ১০টি লাল + ১৫টি নীল + ৫টি হলুদ = ৩০টি

মার্বেলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = হলুদ মার্বেলের সংখ্যা/মোট মার্বেলের সংখ্যা
= ৫/৩০
= ১/৬

∴ মার্বেলটি হলুদ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৬)
= (৬ - ১)/৬
= ৫/৬

১১,৭৮০.

যদি x < y এবং p < q হয়, তবে কোনটি সঠিক?

ক
p + x = q + y
খ
p + x > q + y
গ
px = qy
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x < y এবং p < q হয়, তবে কোনটি সঠিক?

সমাধান:
এখানে,
x < y .........(1)
p <q .........(2)
(1) নং ও (2) নং যোগ করে পাই,
⇒ x + p < y + q
⇒ p + x < q + y

∴ অপশনের কোনটিই সঠিক নয়।

১১,৭৮১.

নিচের কোনটি 1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক ?

ক
(1 + a + b)(1 - a - b)
খ
(1 + a - b)(1 - a + b)
গ
(a + b)(a - b)
ঘ
(1 - a)(1 - b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক ?

সমাধান:
1 - a² - 2ab - b²
= 1 - (a + b)²
= (1)² - (a + b)²
= {1 + (a + b)} {1 - (a + b)}
= (1 + a + b) (1 - a - b)

১১,৭৮২.

ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC এবং DEF ত্রিভুজে, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF। যদি AB = 4x - 2 এবং DE = 3x - 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ΔABC এবং ΔDEF এ, ∠C = ∠F, AC = DF এবং BC = EF।

যেহেতু দুটি ত্রিভুজের দুটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান, তাই বাহু-কোণ-বাহু (SAS) সর্বসমতার শর্ত অনুযায়ী, △ABC এবং △DEF সর্বসম।অর্থাৎ, △ABC≅△DEF

∴ AB = DE
⇒ (4x - 2) = (3x - 1)
∴ x = 1

১১,৭৮৩.

কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

ক
৪৫০ জন
খ
৫০০ জন
গ
৬০০ জন
ঘ
৭২০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো কলেজে ৬৫% শিক্ষার্থী গণিত এবং ৭৫% শিক্ষার্থী পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে। কিন্তু ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭৫ জন শিক্ষার্থী পাস করে থাকে তবে ঐ কলেজে কতজন শিক্ষার্থী পরীক্ষা দিয়েছে?

সমাধান:
উভয় বিষয়ে ফেল করে = ১৫%
শুধু গণিতে ফেল = (৩৫ - ১৫)% = ২০%
শুধু পদার্থবিজ্ঞানে ফেল = (২৫ - ১৫)% = ১০%
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = {১০০ - (২০ + ১০ + ১৫)}%
= ৫৫%

প্রশ্নমতে,
৫৫% = ২৭৫ জন
বা, ১% = ২৭৫/৫৫ জন
বা, ১০০% = (২৭৫ × ১০০)/৫৫ জন
= ৫০০ জন

১১,৭৮৪.

১৫টি খাসির মূল্য ৫টি গরুর মূল্যের সমান। ২টি গরুর ‍মূল্য ৩০০০ টাকা হলে, ৩টি খাসির মূল্য কত?

ক
ক) ১৪০০ টাকা
খ
খ) ১৫০০ টাকা
গ
গ) ১৬০০ টাকা
ঘ
ঘ) ১৮০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫টি খাসির মূল্য ৫টি গরুর মূল্যের সমান। ২টি গরুর ‍মূল্য ৩০০০ টাকা হলে, ৩টি খাসির মূল্য কত?

সমাধান:
২ টি গরুর মূল্য = ৩০০০ টাকা
১ টি গরুর মূল্য = ৩০০০/২ টাকা
৫টি গরুর মূল্য = ৩০০০ × ৫/২ টাকা
= ৭৫০০ টাকা

১৫টি খাসির মূল্য = ৭৫০০ টাকা
১টি খাসির মূল্য = ৭৫০০/১৫ টাকা
২টি খাসির মূল্য = ৭৫০০ × ৩/১৫ টাকা
= ১৫০০ টাকা

১১,৭৮৫.

x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)² এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)² এর মান কত?

সমাধান:
(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= 7² - (4 × 10)
= 49 - 40
= 9

১১,৭৮৬.

চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

ক
৮৯০০
খ
৭০০৯
গ
৮৯৯৯
ঘ
১০৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

পার্থক্য = ৯৯৯৯ - ১০০০
= ৮৯৯৯

১১,৭৮৭.

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
4/9
খ
1/6
গ
3/4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের গুনফল 20 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
20 এর চেয়ে বড় হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = 6 টি

∴ সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

১১,৭৮৮.

log_x (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

ক
- 2
খ
2
গ
1/3
ঘ
2√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x (1/8) = - 3 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/8) = - 3
⇒ x^{- 3} = 1/8
⇒ x^{- 3} = 1/2³
⇒ x^{- 3} = 2^{- 3}
⇒ x = 2

১১,৭৮৯.

৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

ক
০°
খ
৯০°
গ
১০০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯০° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।

আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ
৯০°কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৯০°

১১,৭৯০.

দুইটি সংখ্যার গুণফল ১০৪৮। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৩১ হলে গ.সা.গু কত?

ক
৬
খ
৮
গ
১০
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১০৪৮। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১৩১ হলে গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ১০৪৮
দুইটির ল.সা.গু = ১৩১

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১০৪৮ = ১৩১ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ১০৪৮/১৩১
∴ গ.সা.গু = ৮

১১,৭৯১.

একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/5
খ
7/15
গ
2/3
ঘ
7/10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধানঃ
মোট বল = 5 + 7 + 3 = 15

নীল অথবা লাল না অর্থাৎ সাদা বল আছে = 3 টি
নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভবনা অর্থাৎ সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/15 = 1/5

১১,৭৯২.

একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

ক
১২ টি
খ
২৫ টি
গ
২২ টি
ঘ
১৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ^৬C_২
= ৬!/{২! × (৬ - ২)!}
= ৬!/(২! × ৪!)
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!)
= ১৫ টি

১১,৭৯৩.

দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু ১৩। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. কত?

ক
২৬০
খ
৭৮০
গ
১৩০
ঘ
৪৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ.সা.গু ১৩। সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. × গ.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল
∴সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির গুণফল/সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু
= ৩৩৮০/১৩
= ২৬০

১১,৭৯৪.

p = √6 + √5 হলে, {p³ + (1/p³)} - 5√6 এর মান কত?

ক
39√5
খ
37√6
গ
41√6
ঘ
43√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p = √6 + √5 হলে, {p³ + (1/p³)} - 5√6 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/{(√6)2 - (√5)2}
⇒ 1/p = √6 - √5

এখন,
p + (1/p) = √6 + √5 + √6 - √5 = 2√6
∴ p³ + (1/p³) = {p + (1/p)}³ - 3 × p × (1/p){p + (1/p)} - 5√6
= {(2√6)³ - 3 × 2√6} - 5√6
= (48√6 - 6√6) - 5√6
= 42√6 - 5√6
= 37√6

১১,৭৯৫.

যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a – b)² এর মান কত?

ক
580
খ
790
গ
820
ঘ
488

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a + b = 8 এবং ab = 7 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a – b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
এবং ab = 7

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a – b)²
= (a + b)³ – 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (8)³ – 3.8.7 + 4 (8² – 4.7) [মান বসিয়ে]
=512 - 168 + 4. (64 - 28)
= 512 - 168 + 4 × 36
= 512 - 168 + 144
= 488

:. নির্ণেয় মান 488

১১,৭৯৬.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

ক
4/5
খ
7/9
গ
5/7
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]

প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)² - x²= 32
⇒ x² + 4x + 4 - x² = 32
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ ভগ্নাংশটি = 7/9

১১,৭৯৭.

একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?

ক
৫০
খ
৬০
গ
৭০
ঘ
৮০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?

সমাধান:
মনে করি,
শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা = ক জন
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক/৪) + ৩

আবার,
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক - ৬)/৩
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং,
(ক/৪) + ৩ = (ক - ৬)/৩
⇒ (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
⇒ ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩৬ + ২৪
⇒ ক = ৬০

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।

১১,৭৯৮.

a+b = 2, ab = 1 হলে a ও b এর মান?

ক
ক) 0, 2
খ
খ) 1, 1
গ
গ) -1, 3
ঘ
ঘ) -3, -4

ব্যাখ্যা

ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1

সুতরাং, a=1, b=1.

১১,৭৯৯.

একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

ক
18 সে.মি.
খ
20 সে.মি.
গ
21 সে.মি.
ঘ
24 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় সেই বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ EX : EF = 2 : 1
⇒ 14 : EF = 2 : 1
⇒ 14/EF = 2/1
⇒ 2EF = 14
⇒ EF = 14/2
⇒ EF = 7

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা = FX = EX + EF = 14 + 7 = 21 সে.মি.

১১,৮০০.

সরল করুনঃ {(x^1/a)^{(a²-b²)/(a-b)}}^a/(a+b)

ক
ক) x+1
খ
খ) x-1
গ
গ) x
ঘ
ঘ) x²

ব্যাখ্যা

{(x^1/a)^{(a²-b²)/(a-b)}}^a/(a+b)
{(x^1/a)^{(a+b)(a-b)/(a-b)}}^a/(a+b)
(x^1/a)^{(a+b)a)/(a+b)}
x^a/a = x