গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১১৪ / ৪৭৫ · ১১,৩০১–১১,৪০০ / ৪৭,৮৩৩

১১,৩০১.

(1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
S_∞ = 20/3
খ
S_∞ = 3/20
গ
S_∞ = 20
ঘ
S_∞ = 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/4)/{1 - (-2/3)}
= (1/4) / (1 + 2/3)
= (1/4) / (5/3)
= 3/20

১১,৩০২.

৬০ জন লোক কোন কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। উক্ত কাজটি ৩৬ জন লোকে কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে?

ক
ক) ২৪ দিনে
খ
খ) ২৮ দিনে
গ
গ) ৩০ দিনে
ঘ
ঘ) ৩৬ দিনে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ জন লোক কোন কাজ ১৮ দিনে করতে পারে। উক্ত কাজটি ৩৬ জন লোকে কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে?

সমাধান:
কোন কাজ,
৬০ জন লোক করতে পারে ১৮ দিনে
১ জন লোক করতে পারে (৬০ × ১৮) দিনে
∴ ৩৬ জন লোক করতে পারে (৬০ × ১৮)/৩৬ দিনে
= ৩০ দিনে

১১,৩০৩.

বার্ষিক শতকরা কত হার সুদে ৪২৫ টাকা ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৭৬ টাকা হবে?

ক
৩%
খ
৪%
গ
৬%
ঘ
৮%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা কত হার সুদে ৪২৫ টাকা ৩ বছরে সুদে-আসলে ৪৭৬ টাকা হবে?

সমাধান:
এখানে,
সুদ, I = ৪৭৬ - ৪২৫ = ৫১ টাকা
আসল, P = ৪২৫ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r =?

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, ৫১ = ৪২৫ × ৩ × (r/১০০)
বা, r = (৫১ × ১০০)/(৪২৫ × ৩)
বা, r = ৪

∴ সুদের হার = ৪% ।

১১,৩০৪.

If two-fifth of one-seventh of a number is 16, then three-eighth of that number is ?

ক
96
খ
100
গ
105
ঘ
110

ব্যাখ্যা

Question: If two-fifth of one-seventh of a number is 16, then three-eighth of that number is ?

Solution:
105

Suppose,
The number is x.
According to the question:

Now,

∴ That number is 105

১১,৩০৫.

একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে. মি. হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হচ্ছে -

ক
ক) 5√2 বর্গ সেমি
খ
খ) 25 বর্গ সেমি
গ
গ) 50 বর্গ সেমি
ঘ
ঘ) 25√2 বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a = √2.5
∴ কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√2.5)² বর্গসেমি
= 2 × 25 বর্গসেমি
= 50 বর্গসেমি

১১,৩০৬.

বশিরের বর্তমান বয়স বুলবুলের বয়সের ৩ গুণ। বুলবুলের বর্তমান বয়স ২০ বছর। কত বছর আগে বশিরের বয়স বুলবুলের বয়সের পাঁচগুণ ছিলো?

ক
১০
খ
৮
গ
১২
ঘ
১৫
ঙ
৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বশিরের বর্তমান বয়স বুলবুলের বয়সের ৩ গুণ। বুলবুলের বর্তমান বয়স ২০ বছর। কত বছর আগে বশিরের বয়স বুলবুলের বয়সের পাঁচগুণ ছিলো?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বুলবুলের বর্তমান বয়স = ২০ বছর
বশিরের বর্তমান বয়স = বুলবুলের বয়সের ৩ গুণ = ২০ × ৩ = ৬০ বছর

মনে করি,
ক বছর আগে বুলবুলের বয়স ছিলো = (২০ - ক) বছর
ক বছর আগে বশিরের বয়স ছিলো = (৬০ - ক) বছর

প্রশ্নমতে,
(৬০ - ক) = ৫ × (২০ - ক)
⇒ ৬০ - ক = ১০০ - ৫ক
⇒ ৫ক - ক = ১০০ - ৬০
⇒ ৪ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৪
⇒ ক = ১০

সুতরাং ১০ বছর আগে বশিরের বয়স বুলবুলের বয়সের ৫ গুণ ছিলো।

১১,৩০৭.

যদি θ = 45° হয়, তাহলে sec²θ - tan²θ এর মান কত?

ক
- 1
খ
1
গ
2
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি θ = 45° হয়, তাহলে sec²θ - tan²θ এর মান কত?

সমাধান:
θ = 45°

given,
sec²θ - tan²θ
= (√2)² - (1)²
= 2 - 1
= 1

১১,৩০৮.

সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে বক্রতল ক্ষেত্রফল কত?

ক
30π
খ
25π
গ
20π
ঘ
40π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে বক্রতল ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 3 সে.মি এবং
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 5 সে.মি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
= 2 π × 3 × 5
= 30π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 30π বর্গ সে.মি।

১১,৩০৯.

X^X = x সমীকরণটির x এর মান কত?

ক
2
খ
0
গ
± 1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

Consider:
x^x= x

Take Natural Logarithms on both sides

⟹ln|x^x| = ln|x|
⟹xln|x| = ln|x|
⟹xln|x| − ln|x| = 0
⟹ln|x|(x−1) = 0

⟹ Either (x−1)=0 or ln|x|=0
⟹ Either x=1 or |x|=e⁰
⟹ Either x=1 or |x|=1
⟹ Either x=1 or x=±1

Hence the solutions are:

x= ± 1

১১,৩১০.

নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2?

ক
x² + 5x - 6
খ
x² - 5x + 3
গ
x² - 3x + 2
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2?

সমাধান:
f(x) এর একটি উৎপাদক x - 2 হলে f(2) = 0 হবে।
x = 2 হলে,
x² + 5x - 6
= (2)² + 5(2) - 6
= 4 - 10 - 6
= - 12 ≠ 0

x³ - 5x + 3
= (2)³ - 5(2) + 3
= 8 - 10 + 3
= 1 ≠ 0

x² - 3x + 2
= (2)² - 3(2) + 2
= 4 - 6 + 2
= 0
∴ (x - 2), x² - 3x + 2 এর একটি উৎপাদক।

১১,৩১১.

X একটি কাজ ১০ দিনে এবং Y একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করে। তারা ৪ দিন একসাথে কাজ করার পর X চলে যায়। বাকি কাজ Y একা কত দিনে শেষ করবে?

ক
৭ দিন
খ
৪ দিন
গ
৮ দিন
ঘ
৫ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X একটি কাজ ১০ দিনে এবং Y একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করে। তারা ৪ দিন একসাথে কাজ করার পর X চলে যায়। বাকি কাজ Y একা কত দিনে শেষ করবে?

সমাধান:
X-এর একদিনের কাজ = ১/১০ অংশ
Y-এর একদিনের কাজ = ১/১৫ অংশ

∴ একত্রে একদিনের কাজ = (১/১০) + (১/১৫) = (৩ + ২)/৩০ = ৫/৩০ = ১/৬ অংশ

আবার,
৪ দিনে একত্রে = ৪ × (১/৬) = ৪/৬ = ২/৩ অংশ

∴ বাকি কাজ = ১ - (২/৩) = (৩ - ২)/৩ = ১/৩ অংশ

∴ Y একদিনে করে ১/১৫ অংশ
∴ ১/৩ অংশ করতে সময় লাগবে = (১/৩) ÷ (১/১৫) = (১/৩) × ১৫ = ৫ দিন

১১,৩১২.

যে পরিমাণ খাদ্যে ২০০ জন লোকের ২০ সপ্তাহ চলে ঐ পরিমাণ খাদ্যে কতজন লোকের ৮ সপ্তাহ চলবে?

ক
ক) ৩০০ জন
খ
খ) ৫০০ জন
গ
গ) ৪০০ জন
ঘ
ঘ) ৬০০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে পরিমাণ খাদ্যে ২০০ জন লোকের ২০ সপ্তাহ চলে ঐ পরিমাণ খাদ্যে কতজন লোকের ৮ সপ্তাহ চলবে?

সমাধান:
২০ সপ্তাহ খাদ্য চলে ২০০ জন লোকের
১ সপ্তাহ খাদ্য চলে ২০০ × ২০ জন লোকের
∴ ৮ সপ্তাহ খাদ্য চলে (২০০ × ২০)/৮ জন লোকের
= ৫০০ জন লোকের।

১১,৩১৩.

4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান হবে -

ক
ক) 1/3
খ
খ) 3/2
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 3/4

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
4^x+1 = 32
⇒ (2²)^x+1 = 2⁵
⇒ 2^2x+2 = 2⁵
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

১১,৩১৪.

ক
7/10
খ
5/6
গ
12/13
ঘ
7/12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১১,৩১৫.

sinθ এর বৃহত্তম মান কত?

ক
ক) 0.1
খ
খ) 1
গ
গ) 0.5
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : sinθ এর বৃহত্তম মান কত?
সমাধান :
θ কোণ নির্দেশ করলে
sinθ এর বৃহত্তম মান = 1
sinθ এর ক্ষুদ্রতম মান = -1

১১,৩১৬.

টাকায় ৬ টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫টি লেবু বিক্রয় করলে শতকরা লাভের হার কত?

ক
২৫%
খ
১৫%
গ
২০%
ঘ
১০%

ব্যাখ্যা

পদ্ধতি-১ঃ
১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।
∴ লাভ হয় = ১/৫ - ১/৬ = ১/৩০
এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ৬/৩০ টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬×১০০)/৩০ টাকা।
= ২০ টাকা।

পদ্ধতি-০২ঃ
৬ টি লেবুর ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা হলে-
৫ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১০০/৫ টাকা।
৬ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = (১০০×৬)/৫
= ১২০ টাকা।
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১২০ - ১০০ টাকা = ২০ টাকা।

পদ্ধতি-০৩:
১ টাকায় ক্রয় করে = ৬ টি লেবু
১০০ '' '' '' = ৬×১০০ = ৬০০ টি লেবু
৫ টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
৬০০টি ″ ″ = {(‌১ × ৬০০)÷৫} = ১২০ টাকা
∴ লাভ = (১২০ - ১০০)% = ২০%

শর্টকাট মেথডঃ
লাভের হার = (১০০/৫) (৬-৫)% = ২০% ।

১১,৩১৭.

যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে?

ক
রেখা
খ
বিন্দু
গ
বক্রতা
ঘ
তল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে কী বলে?

সমাধান:
রেখা : যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাকে রেখা বলে।

অন্য অপশনগুলো-
বিন্দু : যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা কিছুই নাই শুধু অবস্থান আছে, তাকে বিন্দু।

বক্রতা : বক্রতা হলো একটি জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য যা কোনো বক্ররেখার মাপের সাথে সম্পর্কিত। বক্রতা ছোট হলে, বক্ররেখাটি মসৃণ হবে এবং অনেক দীর্ঘ হবে। বক্রতা বড় হলে, এটি দ্রুত বাঁকানো হয়। যেমন : একটি সোজা রেখার বক্রতা শূন্য (০) হবে, আর একটি ছোট ব্যাসার্ধের বৃত্তের বক্রতা বড় হবে।

তল : যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাকে তল বলে।

১১,৩১৮.

৬০০০ টাকার জিনিস ৬৩০০ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হয়?

ক
২% লাভ
খ
৩% লাভ
গ
৪% লাভ
ঘ
৫% লাভ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০০০ টাকার জিনিস ৬৩০০ টাকায় বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হয়?

সমাধান:
দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = (৬৩০০ - ৬০০০) = ৩০০ টাকা

৬০০০ টাকায় লাভ হয় = ৩০০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = ৩০০/৬০০০ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩০০ × ১০০)/৬০০০ টাকা
= ৫%

১১,৩১৯.

৪ : ৭ এবং ৫ : ৮ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

ক
ক) ৬ : ১৭
খ
খ) ৫ : ১৬
গ
গ) ৫ : ১৪
ঘ
ঘ) ৫ : ১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ : ৭ এবং ৫ : ৮ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

৪ : ৭ এবং ৫ : ৮ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (৪ × ৫): (৭ × ৮) = ২০ : ৫৬ = ৫ : ১৪

১১,৩২০.

দু’ব্যক্তি একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। ১ম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। ২য় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারে?

ক
ক) ২২ দিনে
খ
খ) ২০ দিনে
গ
গ) ২৪ দিনে
ঘ
ঘ) ২৬ দিনে

ব্যাখ্যা

১ম ব্যক্তি ১২ দিনে করে কাজটির ১ অংশ
∴ ৮ দিনে করে = ৮/১২ = ২/৩ অংশ
বাকী থাকে = ১ - ২/৩ = ১/৩ অংশ
২য় ব্যক্তি ১/৩ অংশ করে ৮ দিনে
∴ ১ অংশ করে = (৮ × ৩) / ১ = ২৪ দিনে।

১১,৩২১.

একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান । বস্তুটির আয়তন ৫১২ ঘন সে. মি. হলে তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৬ বর্গ সে. মি.
খ
৪৯ বর্গ সে. মি.
গ
৬৪ বর্গ সে. মি.
ঘ
১৬ বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান । বস্তুটির আয়তন ৫১২ ঘন সে. মি. হলে তার একটি তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
যেহেতু, ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান।
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে. মি.

ঘনকের আয়তন,
⇒ a^৩ = ৫১২
⇒ a^৩ = ৮^৩
∴ a = ৮

∴ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = a^২ = ৮^২ = ৬৪ বর্গ সে. মি.

১১,৩২২.

³√{³√(x³)}

ক
ক) x^1/2
খ
খ) x^2/3
গ
গ) x^1/3
ঘ
ঘ) x^1/8

ব্যাখ্যা

³√{³√(x³)}
= ³√(x^{3 × 1/3})
= x^1/3

১১,৩২৩.

২৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশ কেটে এমনভাবে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের ২/৩ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

ক
ক) ১০ ফুট
খ
খ) ৮ ফুট
গ
গ) ১২ ফুট
ঘ
ঘ) ১৫ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশ কেটে এমনভাবে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের ২/৩ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

সমাধান:
মনে করি,
বড় অংশের দৈর্ঘ্য x ফুট
∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য ২x/৩ ফুট

প্রশ্নমতে,
x + (২x/৩) = ২৫
⇒ (৩x + ২x)/৩ = ২৫
⇒ ৫x/৩ = ২৫
⇒ ৫x = (২৫ × ৩)
⇒ ৫x = (২৫ × ৩)/৫
∴ x = ১৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ১৫)/৩ ফুট = ১০ ফুট

১১,৩২৪.

যদি x = 5^m+1 এবং y = 5^m-1 হয় তাহলে log₅x/y এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
0

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x = 5^m+1 এবং y = 5^m-1
এখন, log₅x/y
= log₅5^m+1/5^m-1
= log₅5^m+1-m+1
= log₅5²
= 2log₅5
= 2 × 1
= 2

১১,৩২৫.

চলকের মান 6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 হলে, মধ্যক নির্ণয় করুন।

ক
5
খ
8
গ
7
ঘ
7.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চলকের মান 6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 হলে, মধ্যক নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাওয়া যায় 1, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 16.

এখানে পদের সংখ্যা 10.
সুতরাং 10/2 তম এবং এবং (10/2 + 1) তম অর্থাৎ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদ দুইটি মধ্যম পদ যাদের মান যথাক্রমে 7 ও 7. এ দুইটির গাণিতিক গড় হল 7.
সুতরাং মধ্যক হল 7.

১১,৩২৬.

কোনো পরীক্ষায় ১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ৮৪ জন ফেল করলে পাস ও ফেলের শতকরা হারের পার্থক্য কত?

ক
২০
খ
৩০
গ
৪০
ঘ
৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ৮৪ জন ফেল করলে পাস ও ফেলের শতকরা হারের পার্থক্য কত?

সমাধান:
১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে ৮৪ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে ৮৪/১২০ জন
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে (৮৪ × ১০০)/১২০ জন
= ৭০ জন

শতকরা ফেল করে = ৭০ জন
শতকরা পাস করে = (১০০ - ৭০) জন = ৩০ জন

পাস ও ফেলের শতকরা হারের পার্থক্য = ৭০ - ৩০ = ৪০ জন

১১,৩২৭.

2^{x- 1} + 2^{x + 1} = 320 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

2^{x- 1} + 2^{x + 1} = 320
2^x. 2^{- 1} + 2^x .2¹ = 320
(2^x/2) + 2^x .2 = 320
2^x(2 + 1/2) = 320
2^x{(4 + 1)/2} = 320
2^x (5/2) = 320
2^x = 320 × 2/5
2^x = 128
2^x = 2⁷
x = 7

১১,৩২৮.

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

ক
ক) ১২ সে.মি.
খ
খ) ১৮ সে.মি.
গ
গ) ২৪ সে.মি.
ঘ
ঘ) ৩৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২×৮×৯ = ৩৬ বর্গ সে.মি.।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a
প্রশ্নমতে, a² = ৩৬
∴ a = ৬
∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪a = ৪×৬ = ২৪ সে.মি.।

১১,৩২৯.

কোনটি মূলদ সংখ্যা?

ক
√16
খ
√18
গ
√12
ঘ
√27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা, পরস্পর সহমৌলিক এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 = 4/1 , 3 = 3/1, 5.5 = 11/2, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা:
যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।

পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটিপূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

১১,৩৩০.

সুদের হার ৮% থেকে কমে ৫% হলে এক ব্যক্তির আয় ৫ বছরে ৭৫ টাকা কমে যায়, তার মূলধন কত টাকা?

ক
ক) ৫০০ টাকা
খ
খ) ৬০০ টাকা
গ
গ) ৬৫০ টাকা
ঘ
ঘ) ৭০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুদের হার ৮% থেকে কমে ৫% হলে এক ব্যক্তির আয় ৫ বছরে ৭৫ টাকা কমে যায়, তার মূলধন কত টাকা?

সমাধান:
১০০ টাকায় ১ বছরে আয় কমে = (৮% - ৫%)
= ৩%
∴ ১০০ টাকায় ৫ বছরে আয় কমে = (৫ × ৩) টাকা
= ১৫ টাকা

এখন,
১৫ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = ১০০/১৫ টাকা
∴ ৭৫ টাকা আয় কমে যখন মূলধন = (১০০ × ৭৫)/১৫ টাকা
= ৫০০ টাকা

১১,৩৩১.

কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে কেন্দ্র হতে ৩ সেমি দূরবর্তী জ্যা’র দৈর্ঘ্য হবে -

ক
৪ সেমি
খ
৮ সেমি
গ
৬ সেমি
ঘ
১০ সেমি

ব্যাখ্যা

কেন্দ্রগামী জ্যা বা ব্যাস = ১০ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ²⁾ - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)²}
= √{(৫²⁾ - (৩)²}
= √১৬ = ৪

∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ = ৮

১১,৩৩২.

৩০ - ৪০ এর শ্রেণি ব্যবধান কত?

ক
৯
খ
১০
গ
১১
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩০ - ৪০ এর শ্রেণি ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০ - ৪০ এর শ্রেণি ব্যবধান = (৪০ - ৩০) + ১
= ১০ + ১
= ১১

১১,৩৩৩.

100 টাকায় 10টি ডিম কিনে 100 টাকায় ৪টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত হবে?

ক
16%
খ
20%
গ
25%
ঘ
28%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100 টাকায় 10টি ডিম কিনে 100 টাকায় ৪টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত হবে?

সমাধান:
10 টি ডিমের ক্রয়মূল্য 100 টাকা
1টি ডিমের ক্রয়মূল্য 100/10 টাকা
= 10 টাকা

8 টি ডিমের বিক্রয়মূল্য 100 টাকা
1টি ডিমের বিক্রয়মূল্য 100/8 টাকা
= 25/2 টাকা

লাভ = (25/2) - 10
= (25 - 20)/2
= 5/2 টাকা

শতকরা লাভ = [{(5/2)/10} × 100]%
= (5/20) × 100%
= 25%

১১,৩৩৪.

x - y = 8, xy = 5 হলে, x³ - y³ + 8 (x+y)² কত?

ক
ক) 1304
খ
খ) 1034
গ
গ) 1044
ঘ
ঘ) 1372

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 8, xy = 5 হলে, x³ - y³ + 8 (x + y)² কত?

সমাধান:
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 8² + (4 × 5)
= 64 + 20
= 84

∴ x³- y³ + 8 (x + y)² = (x - y) (x²+ xy + y²) + (8 × 84)
= 8 × (x² + 2xy + y² - xy) + 672
= 8 × {(x + y)² - 5} + 672
= 8 (84 - 5) + 672
= (8 × 79) + 672
= 632 + 672
= 1304

১১,৩৩৫.

বার্ষিক শতকরা ১৫% হার সুদে ৮০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে?

ক
ক) ২২৬০ টাকা
খ
খ) ২৫৮০ টাকা
গ
গ) ৩২৮০ টাকা
ঘ
ঘ) ২৮৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

এখানে,
আসল p = ৮০০০ টাকা,
সময় n = ২ বছর,
সুদের হার r = ১৫% = ১৫/১০০

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = P(১ + r)ⁿ
= ৮০০০× (১ + ১৫/১০০)^২
= ৮০০০ × {(১০০ + ১৫)/১০০}^২
= ৮০০০ × (১১৫×১১৫)/(১০০×১০০)
= ১০৫৮০

∴ সুদ = (১০৫৮০ - ৮০০০) টাকা
= ২৫৮০ টাকা

১১,৩৩৬.

৫২ জন ছাত্রের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর আরও ৩২ জন ছাত্র আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে?

ক
১৫ দিন
খ
১১ দিন
গ
১৩ দিন
ঘ
৮ দিন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২ জন ছাত্রের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর আরও ৩২ জন ছাত্র আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন বাকী আছে (২৬ - ৫) দিন
= ২১ দিন

এবং মোট ছাত্র সংখ্যা হলো = (৫২ + ৩২) জন
= ৮৪ জন

এখন,
৫২ জন ছাত্রের চলে = ২১ দিন
∴ ১ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২) দিন
∴ ৮৪ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২)/৮৪ দিন
= ১৩ দিন।

অতএব, অবশিষ্ট খাদ্য ৮৪ জন ছাত্রের ১৩ দিন চলবে।

১১,৩৩৭.

নিচের চিত্রে b এর মান কোনটি?

ক
60°
খ
90°
গ
120°
ঘ
180°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে b এর মান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,
b = বিপ্রতীপ কোণ

এখন,
b = 180° - 60°
∴ b = 120°

১১,৩৩৮.

৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে-

ক
ক) ৮
খ
খ) ১২
গ
গ) ১৮
ঘ
ঘ) ২২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে -

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯
৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১

৬০ থেকে ৮০ মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে,
৭৯ - ৬১
= ১৮

১১,৩৩৯.

যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত?

ক
২০ : ৩৫ : ৪৯
খ
১২ : ৩৫ : ৪৯
গ
২০ : ৩৫ : ৪০
ঘ
২০ : ৩৩ : ৪৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক : খ = ৪ : ৭
= (৪ × ৫) : (৭ × ৫)
= ২০ : ৩৫

আবার,
খ : গ = ৫ : ৭
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭)
= ৩৫ : ৪৯

∴ ক : খ : গ = ২০ : ৩৫ : ৪৯ ।

১১,৩৪০.

যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

ক
5
খ
-5
গ
7
ঘ
-7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 2 এবং log⁡_ac = 3 হয়, তবে log⁡_a(b²c) এর মান কত?

সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুসারে,
log⁡_a(MN) = log⁡_aM + log_⁡aN
log_⁡a(b^x) = xlog_⁡ab

এখন,
log_⁡a(b²c) = log_⁡a(b²) + log_⁡a(c)
= 2log_a(b) + log⁡_a(c)
= 2 × 2 + 3 [মান বসিয়ে]
= 4 + 3
= 7

∴ log⁡_a(b²c) এর মান = 7

১১,৩৪১.

2r, 4r + 1, 6r + 2 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে r =?

ক
- 1/2
খ
1/2
গ
- 1/3
ঘ
- 17/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2r, 4r + 1, 6r + 2 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে r =?

সমাধান:
2r, 4r + 1, 6r + 2 গুণোত্তর প্রগতি।

∴ (4r + 1)/(2r) = (6r + 2)/(4r + 1)
⇒ (4r + 1)² = (6r + 2)2r
⇒ 16r² + 8r + 1 = 12r² + 4r
⇒ 4r² + 4r + 1 = 0
⇒ (2r)² + 2.2r.1 + 1² = 0
⇒ (2r + 1)² = 0
⇒ 2r + 1 = 0
⇒ 2r = - 1
∴ r = - 1/2

১১,৩৪২.

What are the factors(উৎপাদক) of a³ - 7a + 6?

ক
ক) (a + 1)(a + 2)(a - 3)
খ
খ) (a + 1)(a + 2)(a + 3)
গ
গ) (a - 1)(a - 2)(a + 3)
ঘ
ঘ) (a - 1)(a + 2)(a - 3)

ব্যাখ্যা

a³ - 7a + 6 = a³ - a² + a² - a - 6a + 6 = a²(a - 1) + a(a -1) - 6(a - 1) = (a - 1)(a² + a - 6) = ( a - 1)(a² + 3a - 2a - 6) = (a - 1){a(a + 3) - 2(a + 3)} = (a - 1)(a + 3)(a - 2)

১১,৩৪৩.

4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

ক
11
খ
13
গ
12
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

১১,৩৪৪.

একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

ক
1/3
খ
1/4
গ
2/5
ঘ
1/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুইটি পিঠ (H, T) এবং একটি ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6) থাকে।

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12

সম্ভাব্য ঘটনাসমূহ:
(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

হেড এবং বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা:
(H, 1), (H, 3), (H, 5)
∴ মোট অনুকূল ঘটনা = 3

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা / মোট ঘটনা সংখ্যা
= 3/12
= 1/4

১১,৩৪৫.

১২ সে.মি. উচ্চতার একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

ক
ক) ৩০০π ঘনসে.মি.
খ
খ) ১০০π ঘনসে.মি.
গ
গ) ৬০π ঘনসে.মি.
ঘ
ঘ) ২৫π ঘনসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২ সে.মি. উচ্চতার একটি বেলনের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের উচ্চতা, h = ১২ সে.মি.
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = ৫ সে.মি.

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h ঘন একক
= π × ৫^২ × ১২ ঘনসে.মি.
= π × ২৫ × ১২ ঘনসে.মি.
= ৩০০π ঘনসে.মি.

১১,৩৪৬.

একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৭২ মিটার এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

ক
ক) ২৫৬ বর্গমিটার
খ
খ) ২৬৬ বর্গমিটার
গ
গ) ২৮০ বর্গমিটার
ঘ
ঘ) ২৮৮ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৭২ মিটার এবং প্রস্থ দৈর্ঘ্যের অর্ধেক হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ ক মিটার
∴ দৈর্ঘ্য ২ক মিটার

প্রশ্নমতে,
২(ক + ২ক) = ৭২
৬ক = ৭২
ক = ১২ মিটার

প্রস্থ = ১২ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = (১২ × ২৪) বর্গমিটার
= ২৮৮ বর্গমিটার

১১,৩৪৭.

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 4x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 45°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি 4x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°

শর্তমতে,
4x = 360°
বা, x = 360°/4
∴ x = 90°

১১,৩৪৮.

সৈয়দপুর থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 576 কি.মি.। চট্টগ্রাম হতে একটি ট্রেন ভোর 6 টায় ছেড়ে দুপুর 2 টায় সৈয়দপুর পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

ক
ক) 96 কি.মি./ঘণ্টা
খ
খ) 92 কি.মি./ঘণ্টা
গ
গ) 72 কি.মি./ঘণ্টা
ঘ
ঘ) 62 কি.মি./ঘণ্টা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সৈয়দপুর থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 576 কি.মি.। চট্টগ্রাম হতে একটি ট্রেন ভোর 6 টায় ছেড়ে দুপুর 2 টায় সৈয়দপুর পৌঁছে। ট্রেনটির গড় গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সৈয়দপুর থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 576 কি.মি.
ট্রেনটি ভোর 6 টায় ছেড়ে দুপুর 2 টায় পৌঁছে।
∴ মোট সময় = 8 ঘণ্টা

∴ ট্রেনটির গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট সময়
= 576/8 কি.মি./ঘণ্টা
= 72 কি.মি./ঘণ্টা

১১,৩৪৯.

করিম বইয়ের দোকান থেকে একটি ইংরেজি বই ৯০ টাকায় ক্রয় করল। কিন্তু বইটির কভারে মূল্য দেওয়া ছিল ১৫০ টাকা। সে শতকরা কত টাকা কমিশন পেল?

ক
২০%
খ
২৫%
গ
৩০%
ঘ
৪০%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: করিম বইয়ের দোকান থেকে একটি ইংরেজি বই ৯০ টাকায় ক্রয় করল। কিন্তু বইটির কভারে মূল্য দেওয়া ছিল ১৫০ টাকা। সে শতকরা কত টাকা কমিশন পেল?

সমাধান:
কমিশন = (১৫০ - ৯০) টাকা
= ৬০ টাকা

১৫০ টাকায় কমিশন পেল = ৬০ টাকা
১ টাকায় কমিশন পেল = ৬০/১৫০ টাকা
১০০ টাকায় কমিশন পেল = (৬০ × ১০০)/১৫০ টাকা
= ৪০ টাকা

সুতরাং, ৪০% কমিশন পেল।

১১,৩৫০.

2a + b = 14 এবং 3a - 2b = 7 হলে, (a, b) এর মান কত?

ক
(4, 3)
খ
(2, 1)
গ
(3, 2)
ঘ
(5, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + b = 14 এবং 3a - 2b = 7 হলে, (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + b = 14 ............ (1)
3a - 2b = 7 ............. (2)

(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (2) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
4a + 2b + 3a - 2b = 28 + 7
⇒ 7a = 35
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
(2 × 5) + b = 14
⇒ 10 + b = 14
⇒ b = 14 - 10
∴ b = 4

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (a, b) = (5, 4)

১১,৩৫১.

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

ক
৩৬
খ
৩২
গ
২৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৬৮° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ =(১৮০° - ১৬৮°) = ১২°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা,
= ৩৬০°/ বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ
= ৩৬০°/১২°
= ৩০ টি

১১,৩৫২.

a এর মান কত হলে, 104 ⋅ 4^{3a - 4} = 26 হবে?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 104 ⋅ 4^{3a - 4} = 26 হবে?

সমাধান:
104 ⋅ 4^{3a - 4} = 26
⇒ 4^{3a - 4} = 26/104
⇒ 4^{3a - 4} = 1/4
⇒ 4^{3a - 4} = 4^{- 1}
⇒ 3a - 4 = - 1
⇒ 3a = - 1 + 4
⇒ 3a = 3
∴ a = 1

১১,৩৫৩.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
ক) 65 জন
খ
খ) 70 জন
গ
গ) 75 জন
ঘ
ঘ) 80 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x + 30) = 70 × 100 [∵ 70 টাকা = 7000 পয়সা]
⇒ x² + 30x - 7000 = 0
⇒ x² +100x - 70x - 7000 = 0
⇒ x(x + 100) - 70(x + 100) = 0

হয়
x - 70 = 0
∴ x = 70

অথবা
x + 100=0
x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

১১,৩৫৪.

পেঁয়াজের মূল্য ৪০ টাকা থেকে বৃদ্ধি পেয়ে ৪৫ টাকা হলে, মূল্য কত শতাংশ বৃদ্ধি পেল?

ক
১০.৫০%
খ
১২.৫০%
গ
১৩%
ঘ
১৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পেঁয়াজের মূল্য ৪০ টাকা থেকে বৃদ্ধি পেয়ে ৪৫ টাকা হলে, মূল্য কত শতাংশ বৃদ্ধি পেল?

সমাধান:
পেঁয়াজের মূল্য বৃদ্ধি পায় = ৪৫ - ৪০ = ৫ টাকা
পেঁয়াজের মূল্য ৪০ টাকায় বৃদ্ধি পায় = ৫ টাকা
∴ পেঁয়াজের মূল্য ১ টাকায় বৃদ্ধি পায় = ৫/৪০ টাকা
∴ পেঁয়াজের মূল্য ১০০ টাকায় বৃদ্ধি পায় = (৫ × ১০০)/৪০ টাকা
= ১২.৫০ টাকা

∴ মূল্য বৃদ্ধির হার = ১২.৫০%

১১,৩৫৫.

6log5 - log25 = কত?

ক
log125
খ
log25
গ
log625
ঘ
log3125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6log5 - log 25 = কত?

সমাধান:
6log5 - log25
= 6log5 - log5²
= 6log5 - 2log5
= (6 - 2)log5
= 4log5
= log5⁴
= log625

১১,৩৫৬.

x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

ক
1
খ
2
গ
3/5
ঘ
5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72.3^{3x - 5} = 2³
বা, 2³.3².3^{3x - 5} = 2³
বা, 3².3^{3x - 5} = 2³/2³
বা, 3^{2 + 3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 3} = 3⁰
বা, 3x - 3 = 0
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

১১,৩৫৭.

শামীমের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০ :১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?

ক
ক) ২০%
খ
খ) ১৫%
গ
গ) ২৫%
ঘ
ঘ) ৩০%

ব্যাখ্যা

সঞ্চয় = ২০ - ১৫
= ৫
আয় ২০ টাকা হলে সঞ্চয় ৫ টাকা।
আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৫/২০ টাকা।
∴ আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় = (৫ X ১০০) / ২০ টাকা।
= ২৫ টাকা।

১১,৩৫৮.

5^{2x - 1} = 125^{x + 2} হলে, x এর মান কত?

ক
5
খ
7
গ
3
ঘ
- 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125^{x + 2} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = (5³)^{x + 2}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3(x + 2)}
⇒ 5^{2x - 1} = 5^{3x + 6}
⇒ 2x - 1 = 3x + 6
⇒ 2x - 3x = 6 + 1
⇒ - x = 7
∴ x = - 7

১১,৩৫৯.

৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত

ক
৩২.৫
খ
৩০
গ
৩৫.৫
ঘ
৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।
∴ মধ্যক = (৩০ + ৩৫)/২
= ৬৫/২
= ৩২.৫
অতএব, ৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ৩২.৫।

১১,৩৬০.

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

ক
সমকোণী ত্রিভুজ
খ
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
গ
স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ
সমবাহু ত্রিভুজ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫ হলে, ত্রিভুজটি হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের একটি কোণ যদি অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।

দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৫

এখানে,
২ + ৩ = ৫
অর্থাৎ, দুইটি কোণের সমষ্টি তৃতীয় কোণের সমান।

∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে।

১১,৩৬১.

দুইটি ভগ্নাংশের গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে (১২/৭)ও (১/১৪) হলে, সংখ্যা গুলোর গুনফল কত?

ক
ক) (৬/৪৯)
খ
খ) (১/২৪)
গ
গ) (৭/২৪)
ঘ
ঘ) (৪৯/৬)

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, সংখ্যা দুটির গুণফল = (১২/৭)×(১/১৪) = ৬/৪৯.

১১,৩৬২.

৬^২ + ৭^২ + ৮^২ + ৯^২ +--- --- --- --- + ২০^২ = ?

ক
২৮৭০
খ
২৮১৫
গ
২১০
ঘ
৪২০

ব্যাখ্যা

৬^২ + ৭^২ + ৮^২ + ৯^২ + --- --- --- + ২০^২
= ১^২ + ২^২ + ৩^২ + --- --- --- + ২০^২) - (১^২ + ২^২ + ৩^২ + --- --- --- + ৫^২)
= ২০(২০ + ১)(২ × ২০ + ১)/৬ - ৫(৫ + ১)(২ × ৫ + ১)/৬
= ২০ × ২১ × ৪১/৬ - ৫ × ৬ × ১১/৬
= ২৮৭০ - ৫৫
= ২৮১৫

১১,৩৬৩.

729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
8
খ
12
গ
26
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
729 এর √3 ভিত্তিক লগারিদম = log_√3729
= log_√33⁶
= 6log_√33
= 6log_√3(√3)²
= 6 × 2 × log_√3√3
= 12log_√3^√3
= 12 × 1
= 12

১১,৩৬৪.

যদি p + q = 7n এবং pq = 10n² হয়, তবে (p - q) এর মান কত?

ক
± 2n
খ
± 3
গ
± 4n
ঘ
± 3n

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q = 7n এবং pq = 10n² হয়, তবে (p - q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
p + q = 7n
pq = 10n²

আমরা জানি,
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = (7n)² - 4 × 10n²
⇒ (p - q)² = 49n² - 40n2
⇒ (p - q)² = 9n²
⇒ p - q = ±√(9n²)
∴ p - q = ± 3n

১১,৩৬৫.

log2 + log4 + log8 + ………. ধারাটির ১ম 10 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
43log2
খ
55log2
গ
92log2
ঘ
135log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ………. ধারাটির ১ম 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log21 + log22 + log23 +............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= 1 log2 + 2 log2 + 3 log2 + ............... + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)log2
= {10(10 + 1)/2}log2
= (5 × 11)log2
= 55log2

১১,৩৬৬.

ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু 7 সে.মি. ও 11 সে.মি। তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 5 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

ক
55 বর্গ সে.মি.
খ
30 বর্গ সে.মি.
গ
90 বর্গ সে.মি.
ঘ
45 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু 7 সে.মি. ও 11 সে.মি। তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 5 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু a = 7সে.মি. ও b = 11সে.মি. এবং মধ্যবর্তী দূরত্ব h = 5 সে.মি.

আমরা জানি,
∴ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = {(1/2) × (a + b) × h}
= (1/2) × (7 + 11) × 5
= (1/2) × 18 × 5
= 9 × 5
= 45

১১,৩৬৭.

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত?

ক
ক) 40°
খ
খ) 35°
গ
গ) 70°
ঘ
ঘ) 80°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 35° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 70°।

১১,৩৬৮.

একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ১ মিটার। এতে কী পরিমাণ বিশুদ্ধ পানি ধরবে?

ক
ক) ৬ লিটার
খ
খ) ৬০০ লিটার
গ
গ) ৬০ লিটার
ঘ
ঘ) ৬০০০ লিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ১ মিটার। এতে কী পরিমাণ বিশুদ্ধ পানি ধরবে?

সমাধান:
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার, প্রস্থ ২ মিটার ও উচ্চতা ১ মিটার।
চৌবাচ্চাটির আয়তন = ৩ × ২ × ১ ঘনমিটার
= ৬ ঘনমিটার
= ৬ × ১০০০ লিটার [১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার]
= ৬০০০ লিটার

১১,৩৬৯.

যদি tanθ + cotθ = 7, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

ক
18
খ
29
গ
37
ঘ
47

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = 7, তাহলে tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 7
⇒ tanθ + cotθ = 7
⇒ (tanθ + cotθ)²= 7² [উভয় পাশে বর্গ করে]
⇒ (tanθ + cotθ)² = 49
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 49
⇒ tan²θ + cot²θ = 49 − 2 [∵ tanθ.cotθ = 1]
⇒ tan²θ + cot²θ = 47

১১,৩৭০.

কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬৮০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

ক
৩.৬৭%
খ
৫.৬৭%
গ
৩.৩৩%
ঘ
৫.৩৩%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬৮০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৬ বছরের সুদ + আসল = ৭২০ টাকা
৪ বছরে সুদ + আসল = ৬৮০ টাকা

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা

∴ ৪ বছরের সুদ = (৪০ × ৪)/২ টাকা
= ৮০ টাকা

সময়, n = ৪ বছর
আসল, P = ৬৮০ - ৮০ = ৬০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/Pn
বা, r = (৮০ × ১০০)/(৬০০ × ৪)
∴ r = ৩.৩৩%

১১,৩৭১.

A = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ এবং B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে A - B = কত?

ক
{1, 2, 4}
খ
{2, 4}
গ
{1, 2, 4, 12}
ঘ
{1, 2, 3, 4, 6, 12}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ এবং B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে A - B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার, B = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ = 3, 6, 9, 12
∴ B = {3, 6, 9, 12}

∴ A - B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

∴ নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

১১,৩৭২.

1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

ক
4950
খ
5050
গ
5354
ঘ
5525

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

১১,৩৭৩.

একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

ক
105
খ
114
গ
120
ঘ
130

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 16

∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 · 15 · 14!)/(2! × 14!)
= 120

১১,৩৭৪.

করিম ১০ টাকায় ৫টি বল ক্রয় করে ৫ টাকায় ১০টি বল বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

ক
৫০%
খ
৫৫%
গ
৬৫%
ঘ
৭৫%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: করিম ১০ টাকায় ৫টি বল ক্রয় করে ৫ টাকায় ১০টি বল বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

সমাধান:
৫টি বলের ক্রয়মূল্য = ১০ টাকা
১টি বলের ক্রয়মূল্য = ১০/৫ = ২ টাকা
আবার,
১০টি বলের বিক্রয়মূল্য = ৫ টাকা
১টি বলের বিক্রয়মূল্য = ৫/১০ = ০.৫ টাকা
∴ ক্ষতি = ২ - ০.৫
= ১.৫ টাকা

২ টাকায় ক্ষতি হয় = ১.৫ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ১.৫/২ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (১.৫ × ১০০)/২ টাকা
= ৭৫ টাকা
∴ ক্ষতির হার ৭৫%

১১,৩৭৫.

একজন রাখাল ৯০০ টাকায় একটি ভেড়া ক্রয় করে ৬ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করলে তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হবে?

ক
৭%
খ
১৪%
গ
১৯%
ঘ
২১%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন রাখাল ৯০০ টাকায় একটি ভেড়া ক্রয় করে ৬ মাস পর ৯৬৩ টাকায় বিক্রয় করলে তার বার্ষিক শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
লাভ = ৯৬৩ - ৯০০ = ৬৩ টাকা

৯০০ টাকার ৬ মাসের লাভ = ৬৩ টাকা
১ টাকার ১ মাসের লাভ = ৬৩/(৯০০ × ৬) টাকা
১০০ টাকার ১২ মাসের লাভ = (৬৩ × ১০০ × ১২)/(৯০০ × ৬) টাকা
= ১৪ টাকা বা ১৪%

১১,৩৭৬.

৩ বছর আগে একজন শিক্ষক ও একজন ছাত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪ : ১ এবং তাদের বয়সের গুণফল ছিল ১৯৬। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

ক
ক) ১২ : ৫
খ
খ) ৫ : ১২
গ
গ) ১৩ : ৬
ঘ
ঘ) ১৩ : ৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ বছর আগে একজন শিক্ষক ও একজন ছাত্রের বয়সের অনুপাত ছিল ৪ : ১ এবং তাদের বয়সের গুণফল ছিল ১৯৬। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
৩ বছর আগে শিক্ষকের বয়স ছিল ৪ক বছর
৩ বছর আগে ছাত্রের বয়স ছিল ক বছর

প্রশ্নমতে,
৪ক × ক = ১৯৬
বা, ক^২ = ১৯৬/৪
বা, ক^২ = ৪৯
বা, ক^২ = ৪৯
∴ ক = ৭

বর্তমানে শিক্ষকের বয়স = (৪ × ৭ + ৩) = ৩১ বছর
বর্তমানে ছাত্রের বয়স = (৭ + ৩) = ১০ বছর

∴ ৮ বছর পর শিক্ষক ও ছাত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৩১ + ৮) : (১০ + ৮)
= ৩৯ : ১৮
= ১৩ : ৬

১১,৩৭৭.

১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

ক
১১৫
খ
১২৫
গ
১৩৬
ঘ
১৪৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ........., ২১৬
১^৩ = ১
২^৩ = ৮
৩^৩ = ২৭
৪^৩ = ৬৪
৫^৩ = ১২৫
৬^৩ = ২১৬

∴ লুপ্ত সংখ্যাটি হচ্ছে = ১২৫

∴ ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬ ।

১১,৩৭৮.

0.05 এর 3% কত?

ক
ক) 0.0015
খ
খ) 0.015
গ
গ) 0.15
ঘ
ঘ) 0.00015

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.05 এর 3% কত?

সমাধান:
0.05 এর 3%
= 0.05 এর 3/100
= 0.15/100
= 0.0015

১১,৩৭৯.

2a + 7 > 11 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
S = {a ∈ R: a > 4}
খ
S = {a ∈ R: a < 4}
গ
S = {a ∈ R: a < 2}
ঘ
S = {a ∈ R: a > 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + 7 > 11 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
2a + 7 > 11
⇒ 2a + 7 - 7 > 11 - 7
⇒ 2a > 4
⇒ 2a/2 > 4/2
⇒ a > 2
∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 2

এবং সমাধান সেট, S = {a ∈ R: a > 2}

১১,৩৮০.

কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

ক
ক) ৪/২৭
খ
খ) ৭/৩৬
গ
গ) ১১/৪৫
ঘ
ঘ) ২/৯

ব্যাখ্যা

৪/২৭ = ০.১৫
৭/৩৬ = ০.১৯
১১/৪৫ = ০.২৪
২/৯ = ০.২২
সুতরাং অপশনগুলোর মধ্যে ৪/২৭ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

১১,৩৮১.

x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?

ক
৬০°
খ
৫৫°
গ
৫০°
ঘ
৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x

প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
⇒ 180° - x = 270° - 3x
⇒ 2x = 90°
∴ x = 45°

১১,৩৮২.

y^y√y = (y√y)^y হলে, y = ?

ক
3/2
খ
9/4
গ
1/2
ঘ
2

ব্যাখ্যা

y^y√y = (y√y)^y
⇒ (y^y)^√y = (y.y^1/2)^y
⇒ (y^y)^√y = (y^{1 + 1/2})^y
⇒ (y^y)^√y = (y^3/2)^y
⇒ (y^y)^√y = (y^y)^3/2
⇒ √y = 3/2
⇒ y = 9/4

১১,৩৮৩.

একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থকোণ 144° হলে, ঐ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত হবে?

ক
ক) 9টি
খ
খ) 8টি
গ
গ) 10টি
ঘ
ঘ) 7টি

ব্যাখ্যা

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থকোণের পরিমাণ 144°
সুতরাং সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = 180° - 144°
= 36°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = 360°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = 360°/36°
= 10

১১,৩৮৪.

6 ≤ 2q + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান হবে:

ক
[5/3, 4)
খ
[- 3, 6]
গ
[3/2, 6)
ঘ
(5/3, 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 ≤ 2q + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান হবে:

সমাধান:
6 ≤ 2q + 3 < 15
⇒ 6 - 3 ≤ 2q + 3 - 3 < 15 - 3
⇒ 3 ≤ 2q < 12
⇒ 3/2 ≤ q < 12/2
⇒ 3/2 ≤ q < 6

∴ অসমতাটির সমাধান = [3/2, 6)

১১,৩৮৫.

দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯। ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৯০
খ
৯৯
গ
১০০
ঘ
১১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৯৯
⇒ ক^২+ ২ক + ১ - ক^২= ১৯৯
⇒ ২ক = ১৯৯ - ১
⇒ ক = ১৯৮/২
⇒ ক = ৯৯
∴ ছোট সংখ্যাটি = ৯৯

১১,৩৮৬.

7 + 13 + 19 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 729
খ
খ) 741
গ
গ) 735
ঘ
ঘ) 745

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, ‍S = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 15 টি পদের সমষ্টি = (15/2) × {(2 × 7) + (15 - 1) × 6}
= (15/2) × (14 + 84)
= (15/2) × 98
= 15 × 49
= 735

১১,৩৮৭.

১২৫ এর ২০% = কত?

ক
১৫
খ
২০
গ
২৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২৫ এর ২০% = কত?

সমাধান:
১২৫ এর ২০% = ১২৫ × ২০%
= ১২৫ × ২০/১০০
= ১২৫/৫
= ২৫

১১,৩৮৮.

cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি?

ক
1
খ
1/2
গ
0
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos(nπ/2) অনুক্রমটির তৃতীয় পদ কোনটি?

সমাধান:
অনুক্রমটি হলো, cos(nπ/2) ; যেখানে n = 1, 2, 3, 4, …

এখন,
n = 1 হলে cos(1 × π/2) = cos(π/2) = 0
n = 2 হলে cos(2 × π/2) = cos(π) = - 1
n = 3 হলে cos(3 × π/2) = cos(3π/2) = 0
n = 4 হলে cos(4 × π/2) = cos(2π) = 1
n = 5 হলে cos(5 × π/2) = cos(5π/2) = 0
..............................................................

সুতরাং, তৃতীয় পদ (n = 3) এর মান = cos(3π/2) = 0

১১,৩৮৯.

একটি কাজ ক ও খ একত্রে ১৬ দিনে, খ ও গ একত্রে ১২ দিনে এবং ক ও গ একত্রে ২৪ দিনে করতে পারে। ক, খ ও গ একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

ক
ক) ২৮/৩ দিনে
খ
খ) ২৯/৩ দিনে
গ
গ) ১৬/৩ দিনে
ঘ
ঘ) ৩২/৩ দিনে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি কাজ ক ও খ একত্রে ১৬ দিনে, খ ও গ একত্রে ১২ দিনে এবং ক ও গ একত্রে ২৪ দিনে করতে পারে। ক, খ ও গ একত্রে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
ক + খ ১ দিনে করে ১/১৬ অংশ
খ + গ ১ দিনে করে ১/১২ অংশ
ক + গ ১ দিনে করে ১/২৪ অংশ

∴ ২(ক + খ + গ) ১ দিনে করে = (১/১৬) + (১/১২) + (১/২৪) অংশ
= (৩ + ৪ + ২)/৪৮
=৯/৪৮ অংশ
= ৩/১৬
(ক + খ + গ) ১ দিনে করে = ৩ / (১৬ × ২) = ৩/৩২ অংশ

৩/৩২ অংশ কাজ করে ১ দিনে
১ অংশ বা সম্পূর্ণ কাজ করে = ৩২/৩ দিনে

১১,৩৯০.

x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
x + y + 2
খ
x + y - 2
গ
x - y - 2
ঘ
x - 2y + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2. y. 2 + (2)²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)} {x - (y - 2)}
= (x + y - 2) (x - y + 2)

১১,৩৯১.

২^১/২, ৩^১/৩, ৪^১/৪, ৬^১/৬ এবং ১২^১/১২ এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

ক
২^১/২
খ
৩^১/৩
গ
৪^১/৪
ঘ
১২^১/১২

ব্যাখ্যা

২, ৩, ৪, ৬ ও ১২ এর লসাগু ১২
ঘাতগুলোকে ১২ দ্বারা গুণ করে,
২^{১/২ × ১২}, ৩^{১/৩ × ১২}, ৪^{১/৪ × ১২}, ৬^{১/৬ × ১২} এবং ১২^{১/১২ × ১২}
= ২^৬, ৩^৪, ৪^৩, ৬^২ ও ১২
= ৬৪, ৮১, ৬৪, ৩৬ ও ১২
২^১/২, ৩^১/৩, ৪^১/৪, ৬^১/৬ এবং ১২^১/১২ এর মধ্যে ৩^১/৩ বৃহত্তম।

১১,৩৯২.

আলাদাভাবে রনি ও সুমির একটি অংকের সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা 1/2। তারা একত্রে অংকটি সমাধানের চেষ্টা করলে অংকটি সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/4
খ
খ) 3/4
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

রনির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/2 = 1/2
সুমির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/2 = 1/2
রনি ও সুমির একত্রে অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = 1/2 × 1/2 = 1/4
রনি ও সুমির একত্রে অংকটি পারার সম্ভাব্যতা = 1 - 1/4 = 3/4

১১,৩৯৩.

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ২৮৮বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

ক
৬৬ মিটার
খ
৮৪ মিটার
গ
৭২ মিটার
ঘ
৮৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ২৮৮বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার

তাহলে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ২৮৮
⇒ ক^২ = ২৮৮/২
⇒ ক^২= ১৪৪
∴ ক = ১২ মিটার

∴ পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= ২ × ৩ × ১২
= ৭২ মিটার

১১,৩৯৪.

কোনো বৃত্তের পরিধি 22 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
9/4π বর্গমিটার
খ
(49/4)π বর্গমিটার
গ
49π বর্গমিটার
ঘ
9π বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 22 মিটার হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr = 22
⇒ r = 22/(2π)
⇒ r = 22/{2 × (22/7)}
⇒ r = (22 × 7)/(2 × 22)
∴ r = 7/2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গমিটার
= π × (7/2)² বর্গমিটার
= (49/4)π বর্গমিটার

১১,৩৯৫.

ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮ ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

ক
২ মিটার
খ
৪ মিটার
গ
৬ মিটার
ঘ
৮ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬, ৮ ও ১০ মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং অর্ধেক।
∴ DE = ১/২ × BC
= ১/২ × ৮
= ৪ মিটার ।

১১,৩৯৬.

X = {1, 2, 3, 4} হলে, X এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
12 টি
খ
13 টি
গ
15 টি
ঘ
16 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X = {1, 2, 3, 4} হলে, X এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট:
- কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট:
- কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, Ø এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
X = {1, 2, 3, 4}
∴ উপাদানের সংখ্যা, n = 4

আমরা জানি, n প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15
সুতরাং, X এর প্রকৃত উপসেট 15 টি।

১১,৩৯৭.

দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সংখ্যা হবে কয়টি?

ক
একটি
খ
দুইটি
গ
তিনটি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সংখ্যা হবে কয়টি?

সমাধান:

(১) দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায় ।

(২) যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।

(৩) একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব।

(৪) প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

১১,৩৯৮.

ক
30°
খ
60°
গ
45°
ঘ
90°

১১,৩৯৯.

ক ও খ এর মূলধন সমান, কিন্তু গ এর মূলধন তাদের থেকে ২০% বেশি। মোট ৩৬০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

ক
১২৫ টাকা
খ
১৩৫ টাকা
গ
১৬৮ টাকা
ঘ
১৭২ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ক ও খ এর মূলধন সমান, কিন্তু গ এর মূলধন তাদের থেকে ২০% বেশি। মোট ৩৬০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লাভ = ৩৬০ টাকা

ধরি,
(ক ও খ) প্রত্যেকের মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = x + x এর ২০% = x + (২০/১০০)x
= ৬x/৫ টাকা

∴ মোট মূলধন = x + x + (৬x/৫) = ১৬x/৫ টাকা

∴ গ এর লাভ = (৬x/৫)/(১৬x/৫) × ৩৬০
= (৬x/৫) × (৫/১৬x) × ৩৬০
= (৩/৮) × ৩৬০
= ১৩৫ টাকা

∴ গ এর লাভ = ১৩৫ টাকা

১১,৪০০.

একটি ট্রেন ঘন্টায় ৪৮ কি.মি. বেগে চলে ২২০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফরম ৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) ১৪০ মিটার
খ
খ) ১৬০ মিটার
গ
গ) ১৮০ মিটার
ঘ
ঘ) ২০০ মিটার

ব্যাখ্যা

ট্রেনটি ৬০ × ৬০ সেকেন্ডে যায় ৪৮ × ১০০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি ৩০ সেকেন্ডে যায় (৪৮ × ১০০০ × ৩০)/(৬০ × ৬০) মিটার
= ৪০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি দৈর্ঘ্য (৪০০ - ২২০) মিটার
= ১৮০ মিটার