লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

গাণিতিক যুক্তি

মোট প্রশ্ন৪৭,৮৩৩এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

গাণিতিক যুক্তি

PrepBank · পাতা ১১১ / ৪৭৫ · ১১,০০১–১১,১০০ / ৪৭,৮৩৩

১১,০০১.
শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা ১৫ বছরে সবৃদ্ধিমূল ১০৪০ টাকা হবে?
  1. ক
    ৫০০ টাকা
  2. খ
    ৫৫০ টাকা
  3. গ
    ৬০০ টাকা
  4. ঘ
    ৬৫০ টাকা
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
সবৃদ্ধিমূল, C = ১০৪০
সুদের হার, r = ৪/১০০
বয়স, n = ১৫
এবং আসল, p = ?

আমরা জানি,
C = P(1+rn)
বা, ১০৪০ = P {১ + (৪/১০০) × ১৫}
বা, ১০৪০ = P (১ + ৬০/১০০)
বা, ১০৪০ = P (১৬০/১০০)
বা, P = (১০৪০×১০০)/১৬০
বা, P = ৬৫০ টাকা।

১১,০০২.
একটি আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ ও ১৪ সে. মি. । অন্তর্ভুক্ত কোণ কত হলে আয়তটি আঁকা সম্ভব হবে?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ ও ১৪ সে. মি. । অন্তর্ভুক্ত কোণ কত হলে আয়তটি আঁকা সম্ভব হবে?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যাই হোক না কেন অন্তর্ভুক্ত প্রত্যেকটি কোণ ৯০° ।

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ অর্থাৎ ৯০° ।
১১,০০৩.
সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4}, B = {1, 3, 5} হলে, A′ ∩ B′ কত হবে?
  1. ক
    ক) φ
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) {2,3, 5}
  4. ঘ
    ঘ) {2,3,4,5}
ব্যাখ্যা
A′ = U - A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4} = {3, 5}
B′ = U - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 3, 5} = {2, 4}
A′ ∩ B′ = {3, 5} ∩ {2, 4} = φ
১১,০০৪.
কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?
  1. ক
    ক) ০.৩
  2. খ
    খ) √০.৩
  3. গ
    গ) ১/৩
  4. ঘ
    ঘ) ২/৫
ব্যাখ্যা
√০.৩ = ০.৫৪
১/৩ = ০.৩৩
২/৫ = ০.৪০
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা √০.৩
১১,০০৫.
একটি গাড়ি যাত্রার প্রথম ৩৯ কিলোমিটার ৪৫ মিনিটে এবং বাকি ২৫ কিলোমিটার ৩৫ মিনিটে অতিক্রম করে। গাড়িটির গড় গতিবেগ কত? 
  1. ক
    ক) ৩৬ কি.মি./ঘণ্টা 
  2. খ
    খ) ৪২ কি.মি./ঘণ্টা 
  3. গ
    গ) ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা 
  4. ঘ
    ঘ) ৫৪ কি.মি./ঘণ্টা 
ব্যাখ্যা
মোট দূরত্ব = (৩৯ + ২৫) কিলোমিটার
                 = ৬৪ কিলোমিটার

সময় = (৪৫ + ৩৫) মিনিট 
          = ৮০ মিনিট 
          = ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট   
           = ৪/৩ ঘণ্টা 

গাড়িটির গড় গতিবেগ = ৬৪/(৪/৩) কিলোমিটার/ঘণ্টা 
                                   = ৪৮ কি.মি./ঘণ্টা 
 
১১,০০৬.
2 + 4 + 8 + 16 +......... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 510 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    7
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +......... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 510 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে-
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn ​= a(rn−1)/(r−1​)

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ Sn = 510
⇒ 2(2n −1)/(2 - 1) = 510
⇒ 2n −1 = 510/2
⇒ 2n −1 = 255
⇒ 2n = 255 + 1
⇒ 2n = 256
⇒ 2n = 28
∴ n = 8
১১,০০৭.
একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ মিটার, ৯ মিটার এবং ১৩ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?
  1. ক
    ৪.৫ মিটার
  2. খ
    ৬ মিটার
  3. গ
    ৮ মিটার
  4. ঘ
    ৬.৫ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ মিটার, ৯ মিটার এবং ১৩ মিটার হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দু'টির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।

এখানে, বৃহত্তম বাহু = ১৩ মিটার
এবং ক্ষুদ্রতম বাহু = ৭ মিটার
সুতরাং, এদের মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব হবে তৃতীয় বাহু ৯ মিটার এর অর্ধেক।

∴ দূরত্ব = ৯/২ = ৪.৫ মিটার

১১,০০৮.
কোনো স্কুলে ৫৩ জন ছাত্রের মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করে; ১৮ জন কবিতা পছন্দ করে। ১০ জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন দুটোই পছন্দ করে?
  1. ক
    ১০ জন
  2. খ
    ১১ জন
  3. গ
    ১৩ জন
  4. ঘ
    ১৪ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো স্কুলে ৫৩ জন ছাত্রের মধ্যে ৩৬ জন গান পছন্দ করে; ১৮ জন কবিতা পছন্দ করে। ১০ জন কোনোটিই পছন্দ করে না। কতজন দুটোই পছন্দ করে?

সমাধান:
শুধু গান অথবা শুধু কবিতা অথবা উভয়টিই পছন্দ করে = (৫৩ - ১০) জন = ৪৩ জন 
৩৬ জন গান পছন্দ করে,
∴ শুধু কবিতা পছন্দ করে = (৪৩ - ৩৬) জন = ৭ জন 
কিন্তু মোট কবিতা পছন্দ করে ১৮ জন, 
∴ গান ও কবিতা উভয়টিই পছন্দ করে = (১৮-৭) জন = ১১ জন 

∴ দুটোই পছন্দ করে = ১১ জন।
১১,০০৯.
একটি ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা 13 কম। লবের সাথে 3 যোগ করলে এবং হর থেকে 5 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠিত হয়, তার মান 3/4 হলে, ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    12/25
  2. খ
    19/25
  3. গ
    18/25
  4. ঘ
    13/25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা 13 কম। লবের সাথে 3 যোগ করলে এবং হর থেকে 5 বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠিত হয়, তার মান 3/4 হলে, ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
লব = x
∴ হর = x + 13
∴ ভগ্নাংশটি = x/(x + 13)

প্রশ্নমতে,
(x + 3)/(x + 13 - 5) = 3/4
বা, (x + 3)/(x + 8) = 3/4
বা, 4x + 12 = 3x + 24
বা, 4x - 3x = 24 - 12
∴ x = 12
অর্থাৎ লব = 12
∴ হর = (12 + 13) = 25

∴ ভগ্নাংশটি = 12/25  ।
১১,০১০.
যদি ২ টা ডিম একসাথে সিদ্ধ করতে ১০ মিনিট সময় লাগে, তা হলে ২০ টা ডিম একসাথে সিদ্ধ করতে কত সময় লাগে?
  1. ক
    ১০০ মিনিট
  2. খ
    ১০ মিনিট
  3. গ
    ২০ মিনিট
  4. ঘ
    ২০০ মিনিট
ব্যাখ্যা
যেহেতু ডিম গুলো একসাথে সিদ্ধ হচ্ছে তাই ২ টা ডিম এর জন্য ১০ মিনিট লাগলে ২০ টা ডিমের জন্যও ১০ মিনিট লাগবে।
১১,০১১.
loga√243 = 5/2 হয়, তবে a এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: loga√243 = 5/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
loga√243 = 5/2
⇒ a(5/2) = √243
⇒ (a5/2)2 = (√243)2
⇒ a5 = 243
⇒ a5 = 35
∴ a = 3
১১,০১২.
১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?
  1. ক
    ১১০
  2. খ
    ১৫০
  3. গ
    ১২৫
  4. ঘ
    ১৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

সমাধান:
ধরি
১২ এর ক শতাংশ ১৮ হবে

১২ এর ক% = ১৮
বা, ১২ক/১০০ = ১৮
বা, ক = (১৮ × ১০০)/১২ 
 ∴ ক  = ১৫০
১১,০১৩.
4x2 + 4xy - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক-
  1. ক
    ক) 2x - 1
  2. খ
    খ) 2x + 1
  3. গ
    গ) 2x - 2y + 1
  4. ঘ
    ঘ) 2x - 2y - 1
ব্যাখ্যা

4x2 + 4xy - 2y - 1
= (2x)2 - 12 + 2y(2x - 1)
= (2x + 1)(2x - 1) + 2y(2x - 1)
= (2x - 1)(2x + 2y + 1)

১১,০১৪.
cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - ∞
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল -1।

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [-1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = -1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান -1।

১১,০১৫.
৫, ৭ এবং ১০ এর চতুর্থ সমানুপাতী কত?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ১৪
  4. ঘ
    ঘ) ২০
ব্যাখ্যা

এখানে প্রথম রাশি = ৫
দ্বিতীয় রাশি = ৭
তৃতীয় রাশি = ১০
আমরা জানি,
১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
৪র্থ রাশি = (৭ × ১০) / ৫ = ১৪
∴ নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতি = ১৪

১১,০১৬.
10 - 2x ≥ x - 2 অসমতার সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, 4]
  2. খ
    (4, ∞]
  3. গ
    [4, ∞)
  4. ঘ
    (- ∞, - 4)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 - 2x ≥ x - 2 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
10 - 2x ≥ x - 2
⇒ - 2x - x ≥ - 2 - 10
⇒ - 3x ≥ - 12
∴ x ≤ 4 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 4]

(- ∞, 4] বলতে বোঝায় যে, 4 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

১১,০১৭.
২০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার। ঐ ট্রেনটি ৪২ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে । সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?
  1. ক
    ৬০০ মিটার
  2. খ
    ৫৫০ মিটার
  3. গ
    ৪০০ মিটার
  4. ঘ
    ৫০০ মিটার
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার। ঐ ট্রেনটি ৪২ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে । সেতুটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ট্রেনটি প্রতি ঘণ্টায় যায় ৬০ কিলোমিটার বা ৬০০০০ মিটার

আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড

∴ ট্রেনটি ৩৬০০ সেকেন্ড যায় ৬০০০০ মিটার
ট্রেনটি ১ সেকেন্ড যায় ৬০০০০/৩৬০০ মিটার
ট্রেনটি ৪২ সেকেন্ড যায় {(৬০০০০ × ৪২)/৩৬০০} = ৭০০ মিটার

∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ত - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= (৭০০ - ২০০) মিটার
= ৫০০ মিটার

∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য ৫০০ মিটার
১১,০১৮.
x4 ÷ x6 × x2 = ?
  1. ক
    4/3
  2. গ
    x
  3. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x4 ÷ x6 × x2 = ?

সমাধান:
x4 ÷ x6 × x2
= x4 - 6 × x2 (ভাগ থাকলে পাওয়ার বিয়োগ হয়)
= x-2 × x2
= x-2 + 2 (গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ হয়)
= x0 
= 1

১১,০১৯.
66 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    21 সে.মি. 
  2. খ
    42 সে.মি. 
  3. গ
    44 সে.মি. 
  4. ঘ
    48 সে.মি. 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 66 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = 66 সে.মি.

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য = (4 × 66) সে.মি. = 264 সে.মি.
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = 2πr 

প্রশ্নমতে,
2πr = 264
⇒ r = 264/2π
⇒ r = 264/{2 × (22/7)}
⇒ r = (264 × 7)/44
⇒ r = 42 সে.মি.
১১,০২০.
একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। মাঠটি ঢাকতে ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?
  1. ক
    ৬২৫টি
  2. খ
    ৬৫০টি
  3. গ
    ৬৭৫টি
  4. ঘ
    ৭২০টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার। মাঠটি ঢাকতে ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল = (৫০ × ৫০) বর্গমিটার = ২৫০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (২ × ২) বর্গমিটার = ৪ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ২৫০০/৪ টি
= ৬২৫ টি
∴ ৬২৫ টি টাইলস প্রয়োজন।

১১,০২১.
x2 - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    S = {x : x > 5 অথবা x > 3} 
  2. খ
    S = {x : x > 5 অথবা x < - 3} 
  3. গ
    S = {x : x > 5 অথবা x > - 3}
  4. ঘ
    S = {x : x > 5 অথবা x < 3}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান: 
x2 - 2x - 15 > 0
⇒ x2 - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5
এবং
x + 3 < 0
∴ x < - 3
কিন্তু, 
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 
∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3

∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3} । 

১১,০২২.
এক ব্যক্তি বার্ষিক ২০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৫০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ২য় বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?
  1. ক
    ৭৮০ টাকা
  2. খ
    ৭৬০ টাকা
  3. গ
    ৭৪০ টাকা
  4. ঘ
    ৭২০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ২০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৫০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। ২য় বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান:
চক্রবৃদ্ধির সুদাসল = P(1 + r)n
P = আসল
r = চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার
n = বছর

∴ ২য় বছর শেষ ঐ ব্যক্তি সুদসহ পাবেন = ৫০০ × (১ + ২০/১০০)২
= ৫০০ × (১ + ১/৫)২
= ৫০০ × (৬/৫)২
=  ৫০০ × ৩৬/২৫
= ৭২০ টাকা।
১১,০২৩.
(1/।3x - 5।) > 2 অসমতার সমাধান হলো- 
  1. ক
    1/2 < x < 11/3
  2. খ
    2/3 < x < 6/11
  3. গ
    3/2 < x < 11/6
  4. ঘ
    - 3/2 < x < 11/6
ব্যাখ্যা
ধনাত্মক চিহ্ন ধরে পাই.
(1/3x - 5) > 2
3x - 5 < 1/2
6x - 10 < 1
6x - 10 + 10 < 1 + 10 
6x < 11
6x/6 < 11/6
x < 11/6

ঋনাত্মক চিহ্ন ধরে পাই.
- (1/3x - 5) > 2
- (3x - 5) < 1/2
- (6x - 10) < 1
- 6x + 10 < 1 
- 6x + 10 - 10 < 1 - 10 
- 6x < - 9
- x < - 3/2
x > 3/2 
3/2 < x 

আবার,
3x - 5 = 0 
x = 5/3 হলে অসমতাটি অনির্ণেয়   x ≠ 5/3 

নির্ণেয় সমাধান 3/2 < x < 11/6
১১,০২৪.
নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়? 
  1. ক
    √০.৩
  2. খ
    ০.৩
  3. গ
    ০.২
  4. ঘ
    √০.২
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়? 

সমাধান: 
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

 সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

১১,০২৫.
৫৪০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?
  1. ক
    ২৪
  2. খ
    ২৬
  3. গ
    ২৮
  4. ঘ
    ৩০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৪০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
৫৪০ এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২২ × ৩৩ × ৫১

∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪ টি
১১,০২৬.
একটি বৃত্তের পরিধি 26πcm হলে, ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 52π
  2. খ
    খ) 13π
  3. গ
    গ) 109π
  4. ঘ
    ঘ) 169π
ব্যাখ্যা

ধরি ব্যাসার্ধ = r
∴ পরিধি 2πr = 26π
∴ r = 13 cm
∴ ক্ষেত্রফল = πr2
= 169π

১১,০২৭.
2 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    - 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
2 এর 4 ভিত্তিক লগারিদম = log42
= log441/2
= 1/2log44
= 1/2 .1 
= 1/2 
১১,০২৮.
যদি (x - y)2 = 1 এবং xy = 12 হয়, তবে x2 + y2 =কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    18
  3. গ
    25
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x - y)2 = 1 এবং xy = 12 হয়, তবে x2 + y2 =কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x - y)2 = 1
এবং
xy = 12

এখন, 
(x - y)2 = 1
বা, x2 + y2 - 2xy = 1 
বা, x2 + y2 - (2 × 12) = 1
বা, x2 + y2 - 24 = 1 
বা, x2 + y2 = 1 + 24
∴ x2 + y2 = 25
১১,০২৯.
7, 8, 9, 8, 6, 5, 8, 7 উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 7.5
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 8.5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7, 8, 9, 8, 6, 5, 8, 7 উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান: 
উপাত্তগুলো সাজিয়ে  পাই: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9
উপাত্তের সংখ্যা 8টি। যা জোড় সংখ্যা। 

∴ মধ্যক = {(8/2) তম পদ + (8/2 + 1) তম পদ}/2
= (4 তম পদ + 5 তম পদ)/2
= (7 + 8)/2
= 15/2
= 7.5 
১১,০৩০.
যদি দু’টি ঘটনার মধ্যে কোন সাধারণ বিন্দু না থাকে তবে ঘটনা দু’টিকে কি ধরনের ঘটনা বলে?
  1. ক
    ক) বর্জনশীল
  2. খ
    খ) অবর্জনশীল
  3. গ
    গ) স্বাধীন
  4. ঘ
    ঘ) অধীন
ব্যাখ্যা
দু’টি ঘটনার মধ্যে কোন সাধারণ বিন্দু না থাকলে ঘটনা দু’টিকে বর্জনশীল ঘটনা বলে।
১১,০৩১.
যদি m একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড়?
  1. ক
    2m
  2. খ
    m2 + 1
  3. গ
    3m
  4. ঘ
    3m +1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি m একটি বিজোড় সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

ক) 2m = 2 × 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
খ) m2 + 1 = (1)2 + 1 = 1 + 1 = 2 (জোড় সংখ্যা)
গ) 3m = 3 × 1 = 3 (বিজোড় সংখ্যা)
ঘ) 3m + 1 = (3 × 1) + 1 = 3 + 1 = 4 (জোড় সংখ্যা)

যেহেতু 3m এর মান বিজোড় এসেছে,
∴ 3m হলো বিজোড় সংখ্যা।

১১,০৩২.
একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 cm হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?
  1. ক
    ক) 12 sq.cm
  2. খ
    খ) 18 sq.cm
  3. গ
    গ) 24 sq.cm
  4. ঘ
    ঘ) 36 sq.cm
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6 cm হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বর্গের কর্ণ = a

প্রশ্নমতে,
a√2 = 6
বা, 2a2 = 36
∴ a2 = 18 cm.

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 18 sq.cm
১১,০৩৩.
ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের ৪/৫ হলে শতকরা লাভ কত?
  1. ক
    ক) ৩০%
  2. খ
    খ) ৪৫%
  3. গ
    গ) ২০%
  4. ঘ
    ঘ) ২৫%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের ৪/৫ হলে শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের ৪/৫ অংশ

সুতরাং বিক্রয়মূল্য = ৫ টাকা এবং ক্রয়মূল্য = ৪ টাকা।

সুতরাং শতকরা লাভ = {(৫ - ৪)/৪ × ১০০}%
= ২৫%
১১,০৩৪.
p2 + q2 = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1 - √2
  3. গ
    √2 - 1
  4. ঘ
    √2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p2 + q2 = 6 এবং p - 1 = √2 হলে, q + 1 এর মান কত?

সমাধান:
p - 1 = √2
⇒ p = 1 + √2

p2 + q2 = 6
⇒ (1 + √2)2 + q2 = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + q2 = 6
⇒ 3 + 2√2 + q2 = 6
⇒ q2 = 3 - 2√2
⇒ q2 = 2 -  2√2 + 1
⇒ q2 = (√2)2 -  2√2 + 12
⇒ q2 = (√2  - 1)2
⇒ q = √2 - 1
∴ q + 1 = √2

১১,০৩৫.
একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3/2 গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?
  1. ক
    60 মিটার
  2. খ
    50 মিটার
  3. গ
    70 মিটার
  4. ঘ
    80 মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের 3/2 গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ = x মি.
তাহলে, দৈর্ঘ্য = 3x/2 মি. 

শর্তমতে,
(3x/2) × x = 384
বা, 3x2 = 384 × 2
বা, x2 = (384 × 2)/3
বা, x2 = 128 × 2
বা, x2 = 256
বা, (x)2 = (16)2 
∴ x = 16 মি. 

এবং দৈর্ঘ্য = (3 × 16)/2 মি.
= 24 মি.

∴ আয়তাকার ঘরের পরিসীমা = 2 × (24 + 16) মি.
= 80 মি. 
১১,০৩৬.
১২০ মিটার ও ৮০ মিটার দৈর্ঘ্যের দুটি ট্রেন প্রতি ঘন্টায় যথাক্রমে ১৮ কি.মি. ও ১২ কি.মি. বেগে চলছে। ট্রেন দুটি পাশাপাশি অবস্থানে থেকে একই স্থান থেকে একই দিকে একই সময়ে অগ্রসর হলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?
  1. ক
    ১ মিনিট
  2. খ
    ২ মিনিট
  3. গ
    ৩ মিনিট
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১২০ মিটার ও ৮০ মিটার দৈর্ঘ্যের দুটি ট্রেন প্রতি ঘন্টায় যথাক্রমে ১৮ কি.মি. ও ১২ কি.মি. বেগে চলছে। ট্রেন দুটি পাশাপাশি অবস্থানে থেকে একই স্থান থেকে একই দিকে একই সময়ে অগ্রসর হলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেন দুটির দৈর্ঘ্য = ১২০ + ৮০ = ২০০ মিটার
আপেক্ষিক বেগ = ( ১৮ - ১২) কি.মি/ঘন্টা = ৬ কি.মি/ঘন্টা = ৬০০০ মি./ঘন্টা
∴ ২০০ মিটার অতিক্রম করতে সময় লাগবে:
২০০ × (১/৬০০০)
= ২০০/৬০০০
= ১/৩০ ঘণ্টা
= ৬০/৩০ মিনিট
= ২ মিনিট

১১,০৩৭.
বৃত্তের বহি:স্থ কোন বিন্দু হতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহি:স্থ কোন বিন্দু হতে কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান: 
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে 2 টি স্পর্শক আঁকা যাবে।
১১,০৩৮.
A = 60° হলে sin(3A/2) = কত?
  1. ক
    1.0
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    1/√3
  4. ঘ
    √3/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = 60° হলে sin(3A/2) = কত?

সমাধান: 
A = 60°

এখন, 
sin(3A/2)
= sin{(3 × 60°)/2}
= sin90°
= 1
১১,০৩৯.
পিতা ও তাঁর দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে, পিতার বয়স কত?
  1. ক
    ৪৮ বছর
  2. খ
    ৫০ বছর
  3. গ
    ৫২ বছর
  4. ঘ
    ৫৪ বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও তাঁর দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর হলে, পিতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও তাঁর দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩২ বছর
পিতা ও তাঁর দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ৩২ × ৩ বছর
= ৯৬ বছর 

দুই সন্তানের বয়সের গড় ২২ বছর
দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = ২২ × ২ বছর
= ৪৪ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯৬ - ৪৪)বছর
= ৫২ বছর 
১১,০৪০.
যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে (B')' = ?
  1. ক
    {1, 3, 5, 7}
  2. খ
    {2, 4, 7}
  3. গ
    ø
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6} হয়, তবে (B')' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {2, 4, 6}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {2, 4, 6} = {1, 3, 5, 7}

এখন,
(B')' = U - B'
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {1, 3, 5, 7}
= {2, 4, 6}

∴ (B')' = {2, 4, 6} = B

বি: দ্র: (B')' = B, অর্থাৎ কোনো সেটের ডাবল পরিপূরক সেই সেট নিজেই হয়।

১১,০৪১.
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    sinθ = 1/secθ
  2. খ
    cosθ = 1/secθ
  3. গ
    cotθ = 1/cosecθ
  4. ঘ
    tanθ = 1/cosθ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
sinθ = 1/cosecθ
cosecθ = 1/sinθ
cosθ = 1/secθ
secθ = 1/cosθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ

১১,০৪২.
log3∛3 = ?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 3/2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: log3∛3 = ?

সমাধান: 
log3∛3
= log331/3
= 1/3 log33
= 1/3 [logaa = 1]
১১,০৪৩.
একটি দেয়াল ৪০ ফুট উচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি দেয়ালের ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?
  1. ক
    ৪৫ফুট
  2. খ
    ৪৪ ফুট
  3. গ
    ৪৯ ফুট
  4. ঘ
    ৪১ ফুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দেয়াল ৪০ ফুট উচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি দেয়ালের ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে। সমকোণী ত্রিভুজের সুত্র হতে পাই,
⇒ (মইয়ের উচ্চতা)২ = (দেয়ালের উচ্চতা)২ + ভূমি২
⇒ (মইয়ের উচ্চতা)২ = (৪০)২ + ৯২
⇒ (মইয়ের উচ্চতা)২ = ১৬০০ + ৮১
⇒ (মইয়ের উচ্চতা)২ = ১৬৮১
⇒ মইয়ের উচ্চতা = √১৬৮১
∴ মইয়ের উচ্চতা = ৪১ ফুট 

১১,০৪৪.
একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ৩০° হলে মিনারটির উচ্চতা কত মিটার?
  1. ক
    ক) 20√3
  2. খ
    খ) √20/√3
  3. গ
    গ) 20/√3
  4. ঘ
    ঘ) 10√3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ৩০° হলে মিনারটির উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = ২০ মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = ৩০°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
বা, tan30° = h/20
বা, 1/√3 = h/20
∴ h = 20/√3

∴ মিনারটির উচ্চতা = 20/√3
১১,০৪৫.
রাফি ২৪০ টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য এক টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?
  1. ক
    ১৩টি
  2. খ
    ১৪টি
  3. গ
    ১৫টি
  4. ঘ
    ১৬টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রাফি ২৪০ টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য এক টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
∴ ১টি কলমের দাম= ২৪০/x টাকা

আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে ১টি কলমের দাম হত = ২৪০/(x +১) টাকা

প্রশ্নমতে,
২৪০/x - ২৪০/(x + ১) = ১
⇒ (২৪০x + ২৪০ - ২৪০x)/{x(x + ১)} = ১
⇒ x২ + x = ২৪০
⇒ x২ + ১৬x - ১৫x - ২৪০ = ০
⇒ x(x + ১৬) - ১৫(x + ১৬) = ০
⇒ (x - ১৫)(x + ১৬) = ০
হয় x - ১৫ = ০ অথবা x +১৬ = ০
∴ x = ১৫ অথবা  x = - ১৬ [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ সে ১৫টি কলম কিনেছিলো।
১১,০৪৬.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    15
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 105 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

সমাধান: 
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
nC2 = 105
⇒ n(n - 1)/2 = 105
⇒ n(n - 1) = 210
⇒ n2 - n - 210= 0
⇒ n2 - 15n + 14n - 210 = 0
⇒ n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
⇒ (n + 14)(n - 15) = 0

n = 15 কিন্তু n এর মান - 14 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ n এর মান ঋণাত্মক]
সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 15 জন লোক ছিল।
১১,০৪৭.
একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩৫০% হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) ৯ঃ২
  2. খ
    খ) ২ঃ৯
  3. গ
    গ) ৭ঃ২
  4. ঘ
    ঘ) ২ঃ৭
ব্যাখ্যা

ধরি, একটি সংখ্যা = x
∴ অপর সংখ্যাটি = x এর ৩৫০% = ৩৫০x/১০০ = ৭x/২
সংখ্যা দুটির অনুপাত = x/(৭x/২) = ২/৭ = ২ঃ৭

১১,০৪৮.
35x2 + 109x + 60 = ?
  1. ক
    (7x + 12)(5x + 5)
  2. খ
    (5x + 12)(7x + 5)
  3. গ
    (7x + 3)(5x + 4)
  4. ঘ
    (5x + 4 )(7x +15)
ব্যাখ্যা
সমাধান :
35x2 + 109x + 60
= 35x2 + 25x + 84x + 60
= 5x( 7x + 5) + 12(7x + 5 )
= ( 5x + 12)(7x + 5 )

[এই ক্ষেত্রে অপশন গুলো গুন করে চেক করলে দ্রুত সমাধান করা যায়।]
১১,০৪৯.
একটি সংখ্যা ৪৫০ থেকে যত বড় ৬২০ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ৫২৫
  2. খ
    ৫০৫
  3. গ
    ৫৬৫
  4. ঘ
    ৫৩৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫০ থেকে যত বড় ৬২০ থেকে তত ছোট, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
৬২০ - ক = ক - ৪৫০
৬২০ + ৪৫০ = ক + ক
বা ২ক = ১০৭০
বা ক = ১০৭০/২
ক = ৫৩৫
১১,০৫০.
3 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট এককেন্দ্রিক দুইটি বৃত্তক্ষেত্রের পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) π বর্গ সেমি 
  2. খ
    খ) 3π বর্গ সেমি 
  3. গ
    গ) 4π বর্গ সেমি 
  4. ঘ
    ঘ) 5π বর্গ সেমি 
ব্যাখ্যা
3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 32 = 9π বর্গ সেমি 
2 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × 22 = 4π বর্গ সেমি 
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = 9π - 4π = 5π বর্গ সেমি
------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল = π(32 - 22) = 5π বর্গ সেমি
১১,০৫১.
an = 1 হলে n = ?
  1. ক
    -1
  2. খ
    0
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

a0 = 1
∴ n = 0

১১,০৫২.
একজন কর্মকর্তা তার মূল বেতনের ২০% মহার্ঘ ভাতা পান। যদি তার মূল বেতন ৮৮০০ টাকা হয় তবে তার মোট বেতন কত?
  1. ক
    ১০২৪০ টাকা
  2. খ
    ১০৪২৪ টাকা
  3. গ
    ১০৫৬০ টাকা
  4. ঘ
    ১০৬১০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন কর্মকর্তা তার মূল বেতনের ২০% মহার্ঘ ভাতা পান। যদি তার মূল বেতন ৮৮০০ টাকা হয় তবে তার মোট বেতন কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় মহার্ঘ বেতন পান = ২০ টাকা
১ টাকায় মহার্ঘ বেতন পান = ২০/১০০ টাকা
৮৮০০ টাকায় মহার্ঘ বেতন পান = (২০ × ৮৮০০)/১০০ টাকা
= ১৭৬০ টাকা

∴ তার মোট বেতন = (৮৮০০ + ১৭৬০) টাকা
= ১০৫৬০ টাকা
১১,০৫৩.
দুটি সংখ্যার যোগফল 24 এবং তাদের গুণফল 108 হলে বড় সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    ক) 18
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 10
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 24 এবং তাদের গুণফল 108 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y
১ম শর্তমতে, x + y = 24
২য় শর্তমতে, xy = 108

আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2- 4xy
⇒ (x - y)2 = (24)2- 4 × 108
⇒ (x - y)2 = 576 - 432
⇒ (x - y)2 =144
∴ x - y = 12
এখন, (x + y) + (x - y) = 24 + 12
⇒ 2x = 36
∴ x = 18

আবার,
x - y = 24
⇒ 18 - y = 24
∴ y = 6
অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি 18
১১,০৫৪.
নিম্নের সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন:
A = {x : x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x2 - 9x + 20 = 0}
  1. ক
    {3, 3}
  2. খ
    {4, 5}
  3. গ
    {5, 3}
  4. ঘ
    {4, - 5}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নের সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন:
A = {x : x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x2 - 9x + 20 = 0} 

সমাধান: 
x2 - 9x + 20 = 0
⇒ x2 - 4x - 5x + 20 = 0
⇒ x(x - 4) - 5(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x - 5)
∴ x = 4, 5
যেহেতু x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং 4 ও 5 উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা, তাই,

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 5}
১১,০৫৫.
৬০ ফুট লম্বা একটি বাঁশকে এমন ভাবে রং করা হলো যেন লাল, সবুজ ও নীল রঙের অনুপাত ৩ঃ১ঃ২ হলো। বাঁশটির কত ফুট নীল রঙ করা হয়েছিল?
  1. ক
    ক) ১০ ফুট
  2. খ
    খ) ১৫ ফুট
  3. গ
    গ) ২০ ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৩০ ফুট
ব্যাখ্যা

অনুপাত গুলোর সমষ্টি = (৩+১+২) = ৬
সুতরাং, বাঁশটির ২/৬ অংশ নীল রং করা হয়েছিল
∴ ৬০ এর ২/৬ = ২০ ফুট

১১,০৫৬.
টাকায় ৫টি দরে আমলকি ক্রয় করে ৪ টি দরে বিক্রয় করলে কত শতাংশ লাভ হয়?
  1. ক
    ২৫ টাকা
  2. খ
    ৩৫ টাকা
  3. গ
    ২০ টাকা
  4. ঘ
    ৩০ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: টাকায় ৫টি দরে আমলকি ক্রয় করে ৪ টি দরে বিক্রয় করলে কত শতাংশ লাভ হয়?

সমাধান:
৫টির ক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ১টির ক্রয়মূল্য ১/৫ টাকা

৪টির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
∴ ১টির বিক্রয়মূল্য ১/৪ টাকা

∴ লাভ = (১/৪) - (১/৫) টাকা
= (৫ - ৪)/২০ টাকা
= ১/২০ টাকা 

১/৫ টাকায় লাভ হয় = ১/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৫/২০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৫ × ১০০)/২০ টাকা 
= ২৫ টাকা

∴ ২৫% লাভ হয়।
১১,০৫৭.
2a2 - 9a - 35 এবং a2 - 4a - 21 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a + 3)
  2. খ
    (2a + 5)
  3. গ
    (3a - 2)
  4. ঘ
    (a - 7)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a2 - 9a - 35 এবং a2 - 4a - 21 এর সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a2 - 9a - 35 
= 2a2  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

a2 - 4a - 21
= a2 - 7a + 3a - 21
= a(a - 7) + 3(a - 7)
= (a - 7)(a + 3)

১১,০৫৮.
নিচের কোনটি সকল সংখ্যার উৎপাদক?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 0 ও 1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) -1, 0, 1
ব্যাখ্যা
যৌগিক সংখ্যা (Composit Number): 
যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা শুধুমাত্র ঐ সংখ্যা এবং 1 ব্যতীত অন্য সংখ্যা দ্বারাও বিভাজ্য তাদেরকে যৌগিক সংখ্যা বলে।
 যেমন: 4,6,8,9,10, । 
যৌগিক সংখ্যাকে একাধিক মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। 1 সকল সংখ্যার উৎপাদক।
১১,০৫৯.
৫০ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাসমূহের গড় কত?
  1. ক
    ক) ৫৫
  2. খ
    খ) ৫৮
  3. গ
    গ) ৫৯
  4. ঘ
    ঘ) ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাসমূহের গড় কত?

সমাধান: 
৫০ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭
সমষ্টি = ২৪০

গড় = ২৪০/৪ = ৬০
১১,০৬০.
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক?
  1. ক
    c2 = a2 + b2
  2. খ
    a2 = b2 + c2
  3. গ
    b2 = c2 + a2
  4. ঘ
    c2 = a2 - b2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

(অতিভুজ)২ = (লম্ব)২ + (ভূমি)২
বা, GE2 = EF2 + FG2
∴ c2 = a2 + b2
১১,০৬১.
x2 + y2 = ১৩ এবং xy = ৬ হলে x,y এর মান যথাক্রমে -
  1. ক
    ক) (৩, -২)
  2. খ
    খ) (-৩, -২)
  3. গ
    গ) (-৩, ২)
  4. ঘ
    ঘ) (৬, ১)
ব্যাখ্যা

(x2 + y2)2 = (x2 - y2)2 + ৪ . x2 . y2
⇒ ১৩২ = (x2 - y2)2 + ৪.৬২
⇒ (x2 - y2)2 = ১৬৯ - ১৪৪
= ২৫
∴ x2 - y2 = 5

∴ x2 - y2 = ৫ …… (১)
x2 + y2 = ১৩ …… (২)

(১) নং + (২) নং দ্বারা পাই,
2x2 = ১৮
বা, x2 = ৯
∴ x = ±৩

(২) নং - (১)নং দ্বারা পাই,
2y2 = ৮
বা, y2 = ৪
∴ y = ±২
∴ xy > 0

∴ x, y একই চিহ্ন বিশিষ্ট হবে।

১১,০৬২.
একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    1771
  2. খ
    1176
  3. গ
    1110
  4. ঘ
    1875
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

১১,০৬৩.
ab + bc + ca = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হলে, a + b + c = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ab + bc + ca = 8 এবং a2 + b2 + c2 = 9 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇒ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)2 = 9 + (2 × 8)
⇒ (a + b + c)2 = 9 + 16
⇒ (a + b + c)2 = 25
∴ a + b + c = 5
১১,০৬৪.
৪ : ৭ এবং ২ : ১১ এর মিশ্র অনুপাত কত?
  1. ক
    ৬ : ৭৭
  2. খ
    ৭ : ১৮
  3. গ
    ৮ : ৭৭
  4. ঘ
    ১১ : ১৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ : ৭ এবং ২ : ১১ এর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
মিশ্র অনুপাত:
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

সুতরাং,
৪ : ৭ এবং ২ : ১১ এর মিশ্র অনুপাত = (৪ × ২) : (৭ × ১১)
= ৮ : ৭৭
১১,০৬৫.
ক্রিকেট খেলায় তামিম, সাকিব ও মুশফিক সর্বমোট ৩০০ রান করল। তামিম ও সাকিবের রানের অনুপাত ৫ : ৩, সাকিব ও মুশফিকের রানের অনুপাত ৩ : ২ হলে কে কত রান করেছে?
  1. ক
    ১৫০, ৯০, ৬০
  2. খ
    ১৫০, ৮০, ৬০
  3. গ
    ১৪০, ৬০, ৬০
  4. ঘ
    ১২০, ৯০, ৭০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ক্রিকেট খেলায় তামিম, সাকিব ও মুশফিক সর্বমোট ৩০০ রান করল। তামিম ও সাকিবের রানের অনুপাত ৫ : ৩, সাকিব ও মুশফিকের রানের অনুপাত ৩ : ২ হলে কে কত রান করেছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
তামিম : সাকিব = ৫ : ৩
সাকিব : মুশফিক = ৩ : ২
∴ তামিম : সাকিব : মুশফিক =৫ : ৩ : ২
∴ অনুপাতের যোগফল, ৫ + ৩ + ২ = ১০ 

তামিমের রান = ৩০০ এর ৫/১০ = ১৫০
সাকিবের রান = ৩০০ এর ৩/১০ = ৯০ 
মুশফিকের রান = ৩০০ এর ২/১০ = ৬০
১১,০৬৬.
বার্ষিক শতকরা কত হার মুনাফায় ৬৫০ টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৭৩ টাকা হবে? 
  1. ক
    ক) ৬%
  2. খ
    খ) ৭%
  3. গ
    গ) ৫%
  4. ঘ
    ঘ) ৮%
ব্যাখ্যা
মুনাফা I =২৭৩ টাকা
আসলP =৬৫০ টাকা
মুনাফার হার r = ?
সময়  n = ৬ বছর
 
আমরা জানি,
I = Prn
r = I/Pn
r = (২৭৩ ×১০০) /(৬৫০× ৬)
r = ৭%
১১,০৬৭.
স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    ১টি
  2. খ
    ২টি
  3. গ
    ৩টি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থুল কোণ সেই ত্রিভুজকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলা হয়। একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজের বাকি দুইটি কোণ অবশ্যই সূক্ষ্মকোণ।

১১,০৬৮.
2x - 2/x = 3 হলে 8(x3 - 1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 64
  3. গ
    গ) 63
  4. ঘ
    ঘ) 69
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x - 2/x = 3 হলে 8(x3 - 1/x3) এর মান কত?

সমাধান:
2x - 2/x = 3
2(x-  1/x) = 3
x - 1/x = 3/2

8(x3 - 1/x3) = 8{(x - 1/x)3 + 3.x.(1/x)(x - 1/x)}
= 8{(3/2)3 + 3(3/2)}
= 8{(27/8) + (9/2) }
= 8{(27 + 36)/8}
= 8 × (63/8)
= 63
১১,০৬৯.
ABC একটি ত্রিভুজটির BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে এবং ঐ ত্রিভুজটির ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80° হলে, ∠ACD-এর পরিমাণ হবে-
  1. ক
    ক) 100°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 60°
  4. ঘ
    ঘ) 140°
ব্যাখ্যা


চিত্র থেকে বুঝা যাচ্ছে BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ACD উৎপন্ন হয়।
এখানে ∠ACB এবং ∠ACD পরস্পর সম্পূরক কোণ।
∠ACB = 80° হলে, ∠ACD = 180° - 80° = 100°
১১,০৭০.
  1. ক
    a/√(b2 - a2)
  2. খ
    (b2 + a2)
  3. গ
    √(b2 + a2)/b
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 


সমাধান:

a/√(b2 - a2)
১১,০৭১.
একজন ব্যক্তি তার 4 জন বন্ধুকে কত উপায়ে দাওয়াত দিতে পারবেন? 
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
দাওয়াত দিতে পারবে = 4C1 +4C2 + 4C3 + 4C4  
                                 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15
১১,০৭২.
৫% চক্রবৃদ্ধি সুদে ১৫,০০০ টাকার ২ বছর পর কত টাকা সুদ পাওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) ১৫০০
  2. খ
    খ) ১৫৩০
  3. গ
    গ) ১৫৩৭.৫
  4. ঘ
    ঘ) ১৫৩০.৫
ব্যাখ্যা
P = ১৫০০, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০, n = ২
∴ C = P(১+r)n = ১৫০০(১ + ১/২০)২
= ১৫০০ × ২১/২০ × ২১/২০
= ১৬৫৩৭.৫
সুদ = ১৬৫৩৭.৫ - ১৫০০০
= ১৫৩৭.৫ টাকা
১১,০৭৩.
A = {2, 3, 4}, B = {a, b, c} এবং C = {b, c, d} হলে, A × (B ∪ C) এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?
  1. ক
    16 টি
  2. খ
    12 টি
  3. গ
    8 টি
  4. ঘ
    10 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {2, 3, 4}, B = {a, b, c} এবং C = {b, c, d} হলে, A × (B ∪ C) এর উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 4}, B = {a, b, c} এবং C = {b, c, d}

এখন,
B U C = {a, b, c} U {b, c, d} = {a, b, c, d}

এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা = 3
B ∪ C সেটের উপাদান সংখ্যা = 4

অতএব, A × (B ∪ C) এর উপাদান সংখ্যা = 3 × 4 = 12 টি

A × (B ∪ C) এর উপাদানগুলো,
{​(2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d), (4, a), (4, b), (4, c), (4, d)​} = 12 টি
১১,০৭৪.
A = {7, 14, 21, 28} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) A = {x:x, 7 এর গুণনীয়ক এবং 0 < x < 28}
  2. খ
    খ) A = {x:x, 7 এর গুনিতক এবং 0 < x < 28}
  3. গ
    গ) A = {x:x, 7 এর গুণনীয়ক এবং 0 < x ≤ 28}
  4. ঘ
    ঘ) A = {x:x, 7 এর গুনিতক এবং 0 < x ≤ 28}
ব্যাখ্যা
যেহেতু A = {7, 14, 21, 28} অর্থাৎ এখানে x , 7 এর গুনিতক। সুতরাং A = {x:x, 7 এর গুনিতক এবং 0 < x ≤ 28}
১১,০৭৫.
পাড়বাদে একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪৫ মি. এবং প্রস্থ ২৫ মি.। পুকুরের পাড়ের বিস্তার ৫ মি. হলে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত নির্ণয় করুন?
  1. ক
    ৮০০ বর্গ মি.
  2. খ
    ৭৫০ বর্গ মি.
  3. গ
    ৬০০ বর্গ মি.
  4. ঘ
    ৫৬০ বর্গ মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাড়বাদে একটি পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪৫ মি. এবং প্রস্থ ২৫ মি.। পুকুরের পাড়ের বিস্তার ৫ মি. হলে পুকুরের পাড়ের ক্ষেত্রফল কত নির্ণয় করুন?

সমাধান:
পাড়বাদে পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৪৫ × ২৫) = ১১২৫ বর্গ মি.

পাড়সহ পুকুরের দৈর্ঘ্য = {৪৫ + (৫ × ২)} = ৫৫ মি.
পাড়সহ পুকুরের প্রস্থ = {২৫ + (৫ × ২)} = ৩৫ মি.

∴ পাড়সহ পুকুরের ক্ষেত্রফল = (৫৫ × ৩৫ ) = ১৯২৫ বর্গ মি.

∴ পাড়ের ক্ষেত্রফল = ১৯২৫ - ১১২৫ = ৮০০ বর্গ মি.
১১,০৭৬.
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 8}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, A ∩ B = কত? 
  1. ক
    {2}
  2. খ
    {2, 3, 4, 5, 6, 8}
  3. গ
    {2, 3, 5, 6}
  4. ঘ
    {2, 4, 6, 8}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 8}, B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, A ∩ B = কত? 

সমাধান: 
A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং x < 8}
A = {2, 3, 5, 7}

B = {x : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 6}
B = {2, 4, 6, 8}

C = A ∩ B
= {2, 3, 5} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2}
১১,০৭৭.
মিরার বয়স অপুর বয়সের 4 গুণ। অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর। যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন মীরার বয়স কত হবে?
  1. ক
    12 বছর
  2. খ
    16 বছর
  3. গ
    18 বছর
  4. ঘ
    24 বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মিরার বয়স অপুর বয়সের 4 গুণ। অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর। যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন মীরার বয়স কত হবে?

সমাধান: 
অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর হলে মীরার বর্তমান বয়স 16 বছর।
ধরি, x বছর পরে মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্নমতে,
2 × (4 + x) = 16 + x
8 + 2x = 16 + x
∴ x = 8

সুতরাং, যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন মীরার বয়স হবে 16 + 8 = 24 বছর
১১,০৭৮.
x + 4/x = 4 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
x + 4/x = 4
বা, (x2 + 4)/x = 4
বা, x2 + 4 = 4x
বা, x2 - 4x + 4 = 0
বা, x2 - 2.2x.1 - 22 = 0
বা, (x - 2)2 = 0
বা, x = 2
১১,০৭৯.
এক ব্যাক্তি 240 টাকায় কতগুলো পেন্সিল কিনে দেখল যে, যদি সে একটি পেন্সিল বেশি পেত তাহলে প্রতিটি পেন্সিলের মূল্য 1 টাকা কম হত। ঐ ব্যাক্তি কতটি পেন্সিল কিনেছিল?
  1. ক
    ক) 13 টি
  2. খ
    খ) 14 টি
  3. গ
    গ) 15 টি
  4. ঘ
    ঘ) 16 টি
ব্যাখ্যা
ধরি 
কলম ক্রয় করেছিলো x টি 

প্রশ্নমতে, 
(240/x) - {240/(x + 1)} = 1
(240x + 240 - 240x)/{x(x + 1)} = 1 
240/(x2 + x) = 1 
240 = x2 + x
x2 + x - 240 = 0 
x2 + 16x - 15x - 240 = 0 
x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
(x + 16)(x - 15) = 0

হয়
x - 15 = 0
x = 15 

অথবা
x + 16 = 0
x = - 16 [কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

কলম ক্রয় করেছিলো 15 টি
১১,০৮০.
  1. ক
    30°
  2. খ
    45°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:


১১,০৮১.
EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    24
  2. খ
    96
  3. গ
    120
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
EQUITY শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, U, I) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ। 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় = 4!
= 24 
আবার, 
স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে
= 6 উপায়ে 

∴ সাজানোর মোট উপায় = (24 × 6)
= 144  ।
১১,০৮২.
2(a + b + c) = 18 এবং ab + bc + ca = 31 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    17
  3. গ
    19
  4. ঘ
    21
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(a + b + c) = 18 এবং ab + bc + ca = 31 হলে a2 + b2 + c2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(a + b + c) = 18
∴ a + b + c = 9
ab + bc + ca = 31 

আমরা জানি, 
a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
= 92 - (2 × 31)
= 81 - 62
= 19
১১,০৮৩.
(x2 + 1)2 = 3x2 হলে, x3 +(1/x3) এর মান কত?
  1. ক
    ক) √3
  2. খ
    খ) 3√3
  3. গ
    গ) -√3
  4. ঘ
    ঘ) 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 + 1)2 = 3x2 হলে, x3 +(1/x3) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
(x2 + 1)2 = 3x2
বা, x2 + 1 = √3.x
বা, (x2 + 1)/x = √3
∴ x + (1/x) = √3

∴ প্রদত্ত রাশি = x3 +(1/x3) 
= {x + (1/x)}3 - 3.x.1/x {x + (1/x)}
= (√3)3 - 3. √3 
= 3√3 - 3√3
= 0 
১১,০৮৪.
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-
  1. ক
    (a - y + 2)(a - y - 4)
  2. খ
    (a + y - 2)(a + y + 4)
  3. গ
    (a - y + 2)(a - y + 4)
  4. ঘ
    (a + y + 2)(a - y + 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + 6a + 8 - y2 + 2y এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 
 
সমাধান:
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y 
= a2 + 2.a.3 + 32 - y2 + 2y - 1
= (a + 3)2 - (y2 - 2.y.1 + 12)
= (a + 3)2 - (y - 1)2
= {(a + 3) + (y - 1)}{(a + 3) - (y - 1)}
= (a + 3 + y  - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)
১১,০৮৫.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন 
∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 6C2 
= (6 × 5)/(2 × 1) 
= 15
১১,০৮৬.
বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১১/১৩ 
  2. খ
    ১/৮ 
  3. গ
    ৩/১১ 
  4. ঘ
    ১৩/২২
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৭টি লাল, ৯টি কালো এবং ৬টি সাদা বল আছে। এলোমেলো ভাবে ১টি বল তুলে নেওয়া হলো। বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাক্সে লাল আছে = ৭টি 
বাক্সে  কালো আছে = ৯টি 
সাদা বল আছে = ৬টি 

∴ মোট বল = (৭ + ৯ + ৬)টি  = ২২ টি 

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১  
বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/২২

∴ বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা  = (৩/১১) + (৭/২২)
= (৬ + ৭)/২২
= ১৩/২২

সুতরাং, বলটি সাদা বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা ১৩/২২।

১১,০৮৭.
মা থেকে মেয়ে ২০ বছরের ছোট। ৫ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৫৬ বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?
  1. ক
    10 বছর
  2. খ
    11 বছর
  3. গ
    12 বছর
  4. ঘ
    13 বছর
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মা থেকে মেয়ে 20 বছরের ছোট। 5 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 56 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
মায়ের বর্তমান বয়স = x + 20 বছর

∴ 5 বছর পর মেয়ের বয়স = x + 5 বছর
∴ 5 বছর পর মায়ের বয়স = x + 5 + 20 বছর

প্রশ্নমতে,
(x + 5) + (x + 5 + 20) = 56
বা, 2x + 30 = 56
বা, 2x = 56 - 30
বা, x = 26/2
বা, x = 13

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = 13 বছর
১১,০৮৮.
কোন সংখ্যাটি ৫৩০ থেকে যত বড়, ৬১০ থেকে ঠিক ততই ছোট?
  1. ক
    ক) ৫৮৫
  2. খ
    খ) ৫৭০
  3. গ
    গ) ৫৫৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৫৩০ থেকে যত বড়, ৬১০ থেকে ঠিক ততই ছোট?

সমাধান: 
সংখ্যাটি উক্ত সংখ্যাদ্বয়ের গড়ের সমান।

∴ সংখ্যাটি = (৫৩০ + ৬১০)/২
= ১১৪০/২
= ৫৭০
১১,০৮৯.
৮% মুনাফায় ৫০০০ টাকা এবং ১২% মুনাফায় ৭০০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হারে মুনাফা পাওয়া যাবে?
  1. ক
    ১০.৩৩%
  2. খ
    ১২.২৪%
  3. গ
    ৯.১২%
  4. ঘ
    ১৪.৯%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮% মুনাফায় ৫০০০ টাকা এবং ১২% মুনাফায় ৭০০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা কত হারে মুনাফা পাওয়া যাবে?

সমাধান :
৮% হারে,
৫০০০ টাকার মুনাফা = (৫০০০ × ৮)/১০০ = ৪০০ টাকা

আবার ১২% হারে,
৭০০০ টাকার মুনাফা = (৭০০০ × ১২) / ১০০ = ৮৪০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = (৪০০ + ৮৪০) = ১২৪০ টাকা

সুতরাং, মোট মূলধনের উপর শতকরা গড় মুনাফা= (১২৪০ × ১০০) ∕ (৫০০০ + ৭০০০)
= (১২৪০০০/১২০০০)%
= ১০.৩৩%
১১,০৯০.
a + (1/a) = 4 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?
  1. ক
    2702
  2. খ
    2704
  3. গ
    2715
  4. ঘ
    2724
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a6 + (1/a6) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি = a6 + (1/a6)
= (a3)2 + (1/a3)2
= {a3 + (1/a3)}2 - 2 · a3 · (1/a3)
= [{a + (1/a)}3 - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]2 - 2
= {(4)3 - 3 · 4}2 - 2
= (64 - 12)2 - 2
= (52)2 - 2
= 2704 - 2
= 2702
১১,০৯১.
√2 + √8 + √18 + √32 +......... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 42√2
  2. খ
    খ) 32√2
  3. গ
    গ) 36√2
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √2 + √8 + √18 + √32 +......... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।
  
সমাধান:
√2 + √8 + √18 + √32 +.........
= √2 + 2√2 + 3√2 + 4√2 +.........

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার
প্রথম পদ, n = √2
সাধারণ অন্তর, d = 2√2 - √2 = √2
পদ সংখ্যা, n = 8

আমরা জানি,
সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (8/2){2√2 + (8 - 1).√2}
= 4 × (2√2 + 7√2)
= 4× 9√2
= 36√2
১১,০৯২.
200 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 120 জন ইংরেজিতে, 100 জন বিজ্ঞানে এবং 80 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে?
  1. ক
    40 জন
  2. খ
    70 জন
  3. গ
    50 জন
  4. ঘ
    60 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 120 জন ইংরেজিতে, 100 জন বিজ্ঞানে এবং 80 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে?

সমাধান:
মোট পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, n(S) = 200
ইংরেজিতে পাশ, n(E) = 120
বিজ্ঞানে পাশ, n(Sci) = 100
ইংরেজি ও বিজ্ঞানে পাশ, n (E ∩ Sci) = 80

এখন, n(E) + n(Sci) - n(E ∩ Sci) + n(E ∩ Sci)' = n(S)
⇒ 120 + 100 - 80 + n(E ∩ Sci)' = 200
⇒ 140 + n(E ∩ Sci)' = 200
⇒ n(E ∩ Sci)' = 200 - 140
⇒ n(E ∩ Sci)' = 60

উভয় বিষয়ে ফেল করে 60 জন।
১১,০৯৩.
20 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/3
  2. খ
    4/11
  3. গ
    5/11
  4. ঘ
    3/10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 থেকে 30 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20 থেকে 30 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 23, 29 = 2 টি
আবার, 20 থেকে 30 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 20, 25, 30 = 3 টি
20 থেকে 30 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 11 টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক সংখ্যা = (2 + 3) টি = 5টি

∴ মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = 5/11
১১,০৯৪.
২৬০° পরিমাণের কোণকে কি কোণ বলে?
  1. ক
    সম্পূরক কোণ
  2. খ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  3. গ
    পূরক কোণ
  4. ঘ
    স্থূলকোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৬০° পরিমাপের কোণকে কি কোণ বলে?

সমাধান:
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle ): দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
২৬০° হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। 
১১,০৯৫.
  1. ক
    cosθ
  2. খ
    sinθ
  3. গ
    tanθ
  4. ঘ
    cotθ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:


সমাধান:
১১,০৯৬.
৫, ৯, ১৩, ১৭,.......... ধারাটিতে কত তম পদ ১৬৫?
  1. ক
    ৪১
  2. খ
    ৩৮
  3. গ
    ৪৫
  4. ঘ
    ৪৩
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫, ৯, ১৩, ১৭,.......... ধারাটিতে কত তম পদ ১৬৫?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ পার্থক্য, d = ৯ - ৫ = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - ১) × d = ১৬৫
⇒ ৫ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৫ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬৫ - ১
⇒ ৪n = ১৬৪
⇒ n = ১৬৪/৪
⇒ n = ৪১

∴ ১৬৫ হল ধারাটির ৪১তম পদ
১১,০৯৭.
৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৫ বছর ও ৩ বছর ছিল। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?
  1. ক
    ক) ৩ঃ১
  2. খ
    খ) ৪ঃ১
  3. গ
    গ) ৩ঃ২
  4. ঘ
    ঘ) ৪ঃ৩
ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে, ৩ বছর পূর্বে মা ও মেয়ের বয়স যথাক্রমে ২৭/৫ বছর ও ৩ বছর ছিল।
তাহলে, বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৫+৩) বছর = ২৮ বছর এবং মেয়ের বয়স = (৩+৩) বছর = ৬ বছর।
সুতরাং, ৫ বছর পর মা ও মেয়ের বয়স হবে যথাক্রমে = (২৮+৫) বছর = ৩৩ বছর এবং (৬+৫) বছর = ১১ বছর
সুতরাং মা ও মেয়ের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৩ঃ১১
= ৩ঃ১

১১,০৯৮.
cosθ = 5/13 হলে, sinθ = ?
  1. ক
    13/17
  2. খ
    5/7
  3. গ
    13/5
  4. ঘ
    12/13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: cosθ = 5/13 হলে, sinθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, cosθ = 5/13
এখানে, ভূমি = 5 এবং অতিভুজ = 13
∴ লম্ব = √(132 - 52)
= √(169 - 25)
= √144
= 12

∴ Sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 12/13
১১,০৯৯.
কত টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান?
  1. ক
    ৬৪ টাকা
  2. খ
    ৬৮ টাকা
  3. গ
    ৭২ টাকা
  4. ঘ
    ৭৬ টাকা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৪৫ এর ৩/৫
বা, ৩ক/৮ = (৪৫ × ৩)/৫
বা, ৩ক/৮ = ২৭
বা, ৩ক = ২১৬
বা, ক = ২১৬/৩
∴ ক = ৭২

∴ ৭২ টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান।
১১,১০০.
A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?
  1. ক
    √3/2
  2. খ
    1/√2
  3. গ
    1
  4. ঘ
    1/2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = 40° হলে cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 40°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 40°)/2}
= cos60°
= 1/2