১০,১০১.
একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেককে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, ছাত্রসংখ্যা = ক
প্রশ্নমতে, ক২ = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১
প্রশ্নমতে, ক২ = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
গাণিতিক যুক্তি
গাণিতিক যুক্তি
PrepBank · পাতা ১০২ / ৪৭৫ · ১০,১০১–১০,২০০ / ৪৭,৮৩৩
১০,১০২.
৪, ৬, ৭, ১৮, ১২, ১৯, ৮, ১৪, ১৭, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪, ৬, ৭, ১৮, ১২, ১৯, ৮, ১৪, ১৭, ২১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৪, ৬, ৭, ৮, ১২, ১৪, ১৭, ১৮, ১৯, ২১
এখানে,
n = ১০
মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(১২ + ১৪)/২
= ২৬/২
= ১৩
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই,
৪, ৬, ৭, ৮, ১২, ১৪, ১৭, ১৮, ১৯, ২১
এখানে,
n = ১০
মধ্যক = {(১০/২) তম পদ ও (১০/২) + ১ তম পদের যোগফল}/২
= { ৫তম পদ ও ৬ তম পদের যোগফল}/২
=(১২ + ১৪)/২
= ২৬/২
= ১৩
১০,১০৩.
৫৯° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৯° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৫৯° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৯°
= ৩১°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৫৯° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৯°
= ৩১°
১০,১০৪.
3x - 7 > 14 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 7 > 14 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
সমাধান:
x - 7 > 14
⇒ 3x - 7 + 7 > 14 + 7
⇒ 3x > 21
⇒ (3x/3) > (21/3)
⇒ x > 7
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 7
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {X ∈ R : x > 7}
সমাধান:
x - 7 > 14
⇒ 3x - 7 + 7 > 14 + 7
⇒ 3x > 21
⇒ (3x/3) > (21/3)
⇒ x > 7
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 7
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {X ∈ R : x > 7}
১০,১০৫.
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260° এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260° এর মান কত?
সমাধান:
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260°
= 3(tan30°)2 + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)2 - (2/3)(sin60°)2
= 3 × (1/√3)2 + (1/4) × 2 + 5 × (1)2 - (2/3) × (√3/2)2
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + 1/2 + 5 - 1/2
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6
সমাধান:
3tan230° + (1/4)sec60° + 5cot245° - (2/3)sin260°
= 3(tan30°)2 + (1/4)sec(60°) + 5(cot45°)2 - (2/3)(sin60°)2
= 3 × (1/√3)2 + (1/4) × 2 + 5 × (1)2 - (2/3) × (√3/2)2
= (3 × 1/3) + (1/2) + 5 - (2/3 × 3/4)
= 1 + 1/2 + 5 - 1/2
= (2 + 1 + 10 - 1)/2
= 12/2
= 6
১০,১০৬.
(2x- 1)2 ÷ x- 5 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (2x- 1)2 ÷ x- 5 = কত?
সমাধান:
(2x- 1)2 ÷ x- 5
= 22 × x- 2 ÷ x- 5
= 4 × x- 2 - (- 5)
= 4 × x- 2 + 5
= 4 × x3
= 4x3
১০,১০৭.
'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
সমাধান:
'CUPCAKE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি (U, A, E)
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3! = 6
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60 [2 টি C আছে]
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 6 × 60
= 360
সমাধান:
'CUPCAKE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি (U, A, E)
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3! = 6
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60 [2 টি C আছে]
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 6 × 60
= 360
১০,১০৮.
পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ এবং ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৮ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৭ : ২ এবং ৫ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৮ : ৩ হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৭ : ২
মনে করি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৭x ও ২x
৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে = ৮ : ৩
শর্তমতে,
(৭x + ৫) : (২x + ৫) = ৮ : ৩
⇒ (৭x + ৫)/(২x + ৫) = ৮/৩
⇒ ২১x + ১৫ = ১৬x + ৪০
⇒ ৫x = ২৫
∴ x = ৫
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৭ × ৫) = ৩৫ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (২ × ৫) = ১০ বছর
সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত = ৭ : ২
মনে করি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে = ৭x ও ২x
৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে = ৮ : ৩
শর্তমতে,
(৭x + ৫) : (২x + ৫) = ৮ : ৩
⇒ (৭x + ৫)/(২x + ৫) = ৮/৩
⇒ ২১x + ১৫ = ১৬x + ৪০
⇒ ৫x = ২৫
∴ x = ৫
∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৭ × ৫) = ৩৫ বছর
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = (২ × ৫) = ১০ বছর
১০,১০৯.
P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P(2, 5) এবং Q(8, - 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কত?
সমাধান:
১০,১১০.
৬০ কোন সংখ্যার শতকরা ৮০?
ব্যাখ্যা
৬০ = ক এর ৮০%
বা, ৬০ = ক এর ৮০/১০০
বা, ৮০ক = ৬০০০
বা, ক = ৭৫
১০,১১১.
36 men can complete a piece of work in 18 days. In how many days will 27 men complete the same work?
ব্যাখ্যা
Question: 36 men can complete a piece of work in 18 days. In how many days will 27 men complete the same work?
Solution:
৩৬ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ দিনে
১ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে ১৮ × ৩৬ দিনে
২৭ জন লোকে একটি কাজ করতে পারে (১৮ × ৩৬)/২৭ দিনে
= ২৪ দিনে
১০,১১২.
'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
সমাধান:
'CALCULUS' শব্দটির মোট অক্ষর = 8টি
এদের মধ্যে,
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
L অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
U অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)}
= 40320/(2 × 2 × 2)
= 40320/8
= 5040
∴ 'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে 5040 উপায়ে সাজানো যায়।
১০,১১৩.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
১০,১১৪.
একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৭ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গরুর গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পিছনের চাকার পরিধি ৭ মিটার। গাড়িটি কতটুকু পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে?
সমাধান:
৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৫ × ৭ = ৩৫
৩৫ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩৫/৫ = ৭ বার
৩৫ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩৫/৭ = ৫ বার
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ২ বার বেশি ঘুরে = ৩৫ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে = ৩৫/২ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১০০ বার বেশি ঘুরে = (১০০ × ৩৫)/ ২ মিটারে
= ১৭৫০ মিটার
∴ গাড়িটি ১৭৫০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
সমাধান:
৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৫ × ৭ = ৩৫
৩৫ মিটার পথ চলতে সামনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩৫/৫ = ৭ বার
৩৫ মিটার পথ চলতে পিছনের চাকাকে ঘুরতে হয় = ৩৫/৭ = ৫ বার
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ২ বার বেশি ঘুরে = ৩৫ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১ বার বেশি ঘুরে = ৩৫/২ মিটারে
∴ সামনের চাকা পিছনের চাকা থেকে ১০০ বার বেশি ঘুরে = (১০০ × ৩৫)/ ২ মিটারে
= ১৭৫০ মিটার
∴ গাড়িটি ১৭৫০ মিটার পথ অতিক্রম করলে সামনের চাকা পিছনের চাকার চেয়ে ১০০ বার বেশি ঘুরবে।
১০,১১৫.
কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ১০ কি.মি. , ২০ কি.মি. , ২৪ কি.মি. ও ৩২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ১০ কি.মি. , ২০ কি.মি. , ২৪ কি.মি. ও ৩২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?
সমাধান:
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।
এখন,
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৪৮০
অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ৪৮০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।
সমাধান:
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।
এখন,
১০ = ২ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৩২ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২
১০, ২০, ২৪ ও ৩২ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৪৮০
অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ৪৮০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।
১০,১১৬.
কোন সংখ্যার ৩/৭ অংশ ৬০ এর সমান?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৩/৭ অংশ ৬০ এর সমান?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৭ = ৬০
বা, ৩ক/৭ = ৬০
বা, ৩ক = ৬০ × ৭
বা, ক = (৬০ × ৭)/৩
ক = ১৪০
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৭ = ৬০
বা, ৩ক/৭ = ৬০
বা, ৩ক = ৬০ × ৭
বা, ক = (৬০ × ৭)/৩
ক = ১৪০
১০,১১৭.
একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০সে.মি. বর্গের একবাহুকে ভূমি ধরে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার শীর্ষবিন্দু বর্গের বিপরীত বাহুর যে কোনো বিন্দুতে অবস্থিত। বর্গ থেকে ত্রিভুজটিকে কর্তন করা হলে অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১০সে.মি. বর্গের একবাহুকে ভূমি ধরে একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা হলো যার শীর্ষবিন্দু বর্গের বিপরীত বাহুর যে কোনো বিন্দুতে অবস্থিত। বর্গ থেকে ত্রিভুজটিকে কর্তন করা হলে অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ত্রিভুজের ভূমি = ১০সে.মি.
ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ১০ বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০ × ১০) বর্গসে.মি. = ১০০ বর্গসে.মি.
অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল = (১০০ - ৫০) বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.
সমাধান:
ত্রিভুজের ভূমি = ১০সে.মি.
ত্রিভুজের উচ্চতা = ১০ সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ১০ বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.
বর্গের ক্ষেত্রফল = (১০ × ১০) বর্গসে.মি. = ১০০ বর্গসে.মি.
অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল = (১০০ - ৫০) বর্গসে.মি.
= ৫০ বর্গসে.মি.
১০,১১৮.
নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?
সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববতী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববতী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে ।
যেমন :
1, − 2, 4, −8, 16, −32,…
3, 6, 12, 24, 48,…
সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববতী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববতী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে ।
যেমন :
1, − 2, 4, −8, 16, −32,…
3, 6, 12, 24, 48,…
১০,১১৯.
2x2 + x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2x2 + x - 15 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান:
2x2 + x - 15
= 2x2 + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3)
= (x + 3)(2x - 5)
সমাধান:
2x2 + x - 15
= 2x2 + 6x - 5x - 15
= 2x(x + 3) - 5(x + 3)
= (x + 3)(2x - 5)
১০,১২০.
যদি y = 5x2 - 2x এবং x = 3 হয়, তাহলে y =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি y = 5x2 - 2x এবং x = 3 হয়, তাহলে y =?
সমাধান:
x = 3
y = 5x2 - 2x
= 5 × 32 - 2 × 3
= 5 × 9 - 6
= 45 - 6
= 39
সমাধান:
x = 3
y = 5x2 - 2x
= 5 × 32 - 2 × 3
= 5 × 9 - 6
= 45 - 6
= 39
১০,১২১.
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, ১ম পদটি কত?
ব্যাখ্যা
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ = ar = 48
পঞ্চম পদ = ar4 = 3/4
অতএব, ar4/ar = 3/4 ÷ (48) = 1/64 = (1/4)3
⇒ r3 = (1/4)3
⇒ r = 1/4
a = 48 × 4 = 192
১ম পদটি 192
-----------------------------------------------
সংক্ষেপে,
সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে,
r5 - 2 = (3/4) ÷ 48 [ 5 = ৫ম পদ এবং 2 = ২য় পদ ; r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ r3 = 1/64 = (1/4)3 ⇒ r = 1/4
১ম পদ = ২য় পদ/r = 48 × 4 = 192
২য় পদ = ar = 48
পঞ্চম পদ = ar4 = 3/4
অতএব, ar4/ar = 3/4 ÷ (48) = 1/64 = (1/4)3
⇒ r3 = (1/4)3
⇒ r = 1/4
a = 48 × 4 = 192
১ম পদটি 192
-----------------------------------------------
সংক্ষেপে,
সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে,
r5 - 2 = (3/4) ÷ 48 [ 5 = ৫ম পদ এবং 2 = ২য় পদ ; r = সাধারণ অনুপাত ]
⇒ r3 = 1/64 = (1/4)3 ⇒ r = 1/4
১ম পদ = ২য় পদ/r = 48 × 4 = 192
১০,১২২.
ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে। খ একা কাজটি ১৪ দিনে শেষ করতে পারলে ক একা কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?
ব্যাখ্যা
খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৪ অংশ
∴ খ ১০〃 〃 〃 ১০/১৪ 〃
= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 ১০ × ৭/২ বা ৩৫ দিনে।
∴ খ ১০〃 〃 〃 ১০/১৪ 〃
= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 ১০ × ৭/২ বা ৩৫ দিনে।
১০,১২৩.
{(x2y-1)/(x-2y)}2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(x2y-1)/(x-2y)}2 এর মান কত?
সমাধান:
{(x2y-1)/(x-2y)}2
= {(x2/y)/(y/x2)}2
= {(x2/y) × (x2/y)}2
= (x4/y2)2
= x8/y4
সমাধান:
{(x2y-1)/(x-2y)}2
= {(x2/y)/(y/x2)}2
= {(x2/y) × (x2/y)}2
= (x4/y2)2
= x8/y4
১০,১২৪.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 4° হলে এর ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে,
ক - (90 - ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90 - ক = 90-47 = 43°
১০,১২৫.
A ও B এর আয়ের অনুপাত ৭ : ৬ এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩। যদি A ও B এর প্রত্যেকের সঞ্চয় যথাক্রমে ৫০০০ টাকা ও ৬৬০০ টাকা হয়। তবে B আয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ও B এর আয়ের অনুপাত ৭ : ৬ এবং তাদের ব্যয়ের অনুপাত ৫ : ৩। যদি A ও B এর প্রত্যেকের সঞ্চয় যথাক্রমে ৫০০০ টাকা ও ৬৬০০ টাকা হয়। তবে B আয় কত?
সমাধান:
ধরি,
A ও B এর আয় = ৭x ও ৬x
এবং A ও B এর ব্যয় = ৫y ও ৩y
প্রশ্নমতে,
৭x - ৫y = ৫০০০..................(১)
৬x - ৩y = ৬৬০০................(২)
(১) নং কে ৩ দ্বারা এবং (২) নং কে ৫ দ্বারা গুণ করে (২) নং থেকে (১) নং বিয়োগ করে পাই,
৩০x - ১৫y - ২১x + ১৫y = ৩৩০০০ - ১৫০০০
⇒ ৯x = ১৮০০০
∴ x = ২০০০
∴ B এর আয় = (৬ × ২০০০) টাকা
= ১২০০০ টাকা
সমাধান:
ধরি,
A ও B এর আয় = ৭x ও ৬x
এবং A ও B এর ব্যয় = ৫y ও ৩y
প্রশ্নমতে,
৭x - ৫y = ৫০০০..................(১)
৬x - ৩y = ৬৬০০................(২)
(১) নং কে ৩ দ্বারা এবং (২) নং কে ৫ দ্বারা গুণ করে (২) নং থেকে (১) নং বিয়োগ করে পাই,
৩০x - ১৫y - ২১x + ১৫y = ৩৩০০০ - ১৫০০০
⇒ ৯x = ১৮০০০
∴ x = ২০০০
∴ B এর আয় = (৬ × ২০০০) টাকা
= ১২০০০ টাকা
১০,১২৬.
2 tan31° tan59° এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 tan31° tan59° এর মান কত?
সমাধান:
2 tan31° tan59°
= 2 tan31° tan(90 - 31)
= 2 tan31° cot31°
= 2 tan31° (1/tan31°)
= 2
সমাধান:
2 tan31° tan59°
= 2 tan31° tan(90 - 31)
= 2 tan31° cot31°
= 2 tan31° (1/tan31°)
= 2
১০,১২৭.
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার । এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, প্রস্থ কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৩০ মিটার
এর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার
মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ × (১০ + ক) মিটার
শর্তমতে,
২ × (১০ + ক) = ৩০
বা, (১০ + ক) = ৩০/২
বা, ১০ + ক = ১৫
বা, ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫ মিটার
তাহলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার
১০,১২৮.
৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে?
সমাধান:
মিশ্রণে এসিড : পানির অনুপাত = ৩ : ২
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৬০ × (৩/৫)} = ৩৬ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৬০ × (২/৫)} = ২৪ লিটার
ধরি,
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩
প্রশ্নমতে,
৩৬ : (২৪ + x) = ২ : ৩
বা, ৩৬/(২৪ + x) = ২/৩
বা, ১০৮ = ৪৮ + ২x
বা, ২x = ১০৮ - ৪৮
বা, ২x = ৬০
বা, x = ৬০/২
∴ x = ৩০
∴ ৩০ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।
১০,১২৯.
3x + 1 = 9 হলে, logx এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 1 = 9 হলে, logx এর মান কত?
সমাধান:
3x + 1 = 9
বা, 3x + 1 = 32
বা, x + 1 = 2
বা, x = 2 - 1
∴ x = 1
logx = log1
= 0
সমাধান:
3x + 1 = 9
বা, 3x + 1 = 32
বা, x + 1 = 2
বা, x = 2 - 1
∴ x = 1
logx = log1
= 0
১০,১৩০.
একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে. মি. হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে. মি. হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে. মি. হলে -
ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(a)2 + (a)2}
= √(2a2)
= √2 a
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 a
সমাধান:
একটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সে. মি. হলে -
ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(a)2 + (a)2}
= √(2a2)
= √2 a
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 a
১০,১৩১.
x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, (x, y) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে, (x, y) = কত?
সমাধান:
x + 2y = 7......................(1)
2x - 3y = 0......................(2)
(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 21
7x = 21
x = 3
(1)নং হতে পাই,
3 + 2y = 7
2y = 7 - 3
2y = 4
y = 2
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,2)
সমাধান:
x + 2y = 7......................(1)
2x - 3y = 0......................(2)
(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 21
7x = 21
x = 3
(1)নং হতে পাই,
3 + 2y = 7
2y = 7 - 3
2y = 4
y = 2
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,2)
১০,১৩২.
১২০ লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত ৭ : ৫। ঐ মিশ্রণে অতিরিক্ত কী পরিমাণ পানি মিশালে সিরাপ ও পানির অনুপাত ৫ : ৭ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২০ লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত ৭ : ৫। ঐ মিশ্রণে অতিরিক্ত কী পরিমাণ পানি মিশালে সিরাপ ও পানির অনুপাত ৫ : ৭ হবে?
সমাধান:
১২০ লিটার মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = ১২০ × (৭/১২) = ৭০ লিটার
১২০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ১২০ × (৫/১২) = ৫০ লিটার
ধরি
ক লিটার পানি মিশালে মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৭ হবে।
শর্তমতে,
৭০/(৫০ + ক ) = ৫/৭
⇒ ২৫০ + ৫ক = ৪৯০
⇒ ৫ক = ৪৯০ - ২৫০
⇒ ৫ক = ২৪০
∴ ক = ৪৮ লিটার
সমাধান:
১২০ লিটার মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = ১২০ × (৭/১২) = ৭০ লিটার
১২০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ১২০ × (৫/১২) = ৫০ লিটার
ধরি
ক লিটার পানি মিশালে মিশ্রণের অনুপাত ৫ : ৭ হবে।
শর্তমতে,
৭০/(৫০ + ক ) = ৫/৭
⇒ ২৫০ + ৫ক = ৪৯০
⇒ ৫ক = ৪৯০ - ২৫০
⇒ ৫ক = ২৪০
∴ ক = ৪৮ লিটার
১০,১৩৩.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 9√3 বর্গ মিটার হলে এর পরিসীমা কত মিটার?
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a2 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
(√3/4) a2 = 9√3
বা, a2/4 = 9
বা, a2 = 36
∴ a = 6
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 6
= 18 মিটার
সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = (√3/4) a2 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
(√3/4) a2 = 9√3
বা, a2/4 = 9
বা, a2 = 36
∴ a = 6
∴ সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 3a
= 3 × 6
= 18 মিটার
১০,১৩৪.
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে ল.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে ল.সা.গু কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক ও ৯ক
তাহলে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৬৩ক
প্রশ্নমতে, ক = ৫
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৬৩ × ৫
= ৩১৫
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৭ক ও ৯ক
তাহলে, সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৬৩ক
প্রশ্নমতে, ক = ৫
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৬৩ × ৫
= ৩১৫
১০,১৩৫.
x এর মান কত হলে 24x - 12 = 16 হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 24x - 12 = 16 হবে?
সমাধান:
24x - 12 = 16
বা, 24x - 12 = 24
বা, 4x - 12 = 4
বা, 4x = 4 + 12
বা, 4x = 16
বা, x = 16/4
∴ x = 4
সমাধান:
24x - 12 = 16
বা, 24x - 12 = 24
বা, 4x - 12 = 4
বা, 4x = 4 + 12
বা, 4x = 16
বা, x = 16/4
∴ x = 4
১০,১৩৬.
যদি ৪৫ জন শ্রমিক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ১৮ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, তবে ঐ কাজটি ২৭ দিনে করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিককে কাজে লাগাতে হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ৪৫ জন শ্রমিক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ১৮ দিনে সম্পন্ন করতে পারে, তবে ঐ কাজটি ২৭ দিনে করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিককে কাজে লাগাতে হবে?
সমাধান:
১/২ অংশ করতে পারে = ১৮ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ১৮ × ২ = ৩৬ দিনে
৩৬ দিনে করতে পারে = ৪৫ জন
∴ ১ দিনে করতে প্রয়োজন = ৪৫ × ৩৬ = ১৬২০ জন
∴ ২৭ দিনে করতে প্রয়োজন = ১৬২০/২৭ জন
= ৬০ জন শ্রমিক
∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = ৬০ - ৪৫ = ১৫ জন
সমাধান:
১/২ অংশ করতে পারে = ১৮ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ১৮ × ২ = ৩৬ দিনে
৩৬ দিনে করতে পারে = ৪৫ জন
∴ ১ দিনে করতে প্রয়োজন = ৪৫ × ৩৬ = ১৬২০ জন
∴ ২৭ দিনে করতে প্রয়োজন = ১৬২০/২৭ জন
= ৬০ জন শ্রমিক
∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = ৬০ - ৪৫ = ১৫ জন
১০,১৩৭.
PQ ও RS সরলরেখা দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি ∠x = 3∠y হয় তাহলে ∠y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQ ও RS সরলরেখা দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি ∠x = 3∠y হয় তাহলে ∠y এর মান কত?
সমাধান:
ROS একটি সরলরেখা।
যেখানে,
∠x + ∠y = 180°
⇒ 3∠y + ∠y = 180°
⇒ 4∠y = 180°
⇒ ∠y = 180°/4
⇒ ∠y = 45°
সমাধান:
ROS একটি সরলরেখা।
যেখানে,
∠x + ∠y = 180°
⇒ 3∠y + ∠y = 180°
⇒ 4∠y = 180°
⇒ ∠y = 180°/4
⇒ ∠y = 45°
১০,১৩৮.
কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৮, ৪২, ৬৯ ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬, ৯ ভাগশেষ থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৬৪, ৮০, ৯৬ ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৮, ১২ ভাগশেষ থাকে?
সমাধান:
এখানে,
৬৪ - ৪ = ৬০
৮০ - ৮ = ৭২
৯৬ - ১২ = ৮৪
এখন, ৬০, ৭২ ও ৮৪ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
৮৪ = ২ × ২ × ৩ × ৭
সুতরাং, গ.সা.গু = ২ × ২ × ৩ = ১২
∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২
১০,১৩৯.
৫ টাকায় ২ টি করে কমলা কিনে ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে p% লাভ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ টাকায় ২ টি করে কমলা কিনে ৩৫ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে p% লাভ হবে?
সমাধান:
p% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p)/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = {(১০০ + p) × ৫}/১০০ টাকা
= (১০০ + p)/২০ টাকা
এখন,
(১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কমলা
∴ (১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (২ × ২০)/(১০০ + p) টি কমলা
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = {(২ × ২০) × ৩৫}/(১০০ + p) টি কমলা
= (২ × ২০ × ৩৫)/(১০০ + p) টি কমলা
= ১৪০০/(১০০ + p) টি কমলা।
সমাধান:
p% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p) টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + p)/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = {(১০০ + p) × ৫}/১০০ টাকা
= (১০০ + p)/২০ টাকা
এখন,
(১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ২ টি কমলা
∴ (১০০ + p)/২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = (২ × ২০)/(১০০ + p) টি কমলা
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = {(২ × ২০) × ৩৫}/(১০০ + p) টি কমলা
= (২ × ২০ × ৩৫)/(১০০ + p) টি কমলা
= ১৪০০/(১০০ + p) টি কমলা।
১০,১৪০.
'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
সমাধান:
COURAGE শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3P1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160
সমাধান:
COURAGE শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3P1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160
১০,১৪১.
216(√6)- 2x = 1 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 216(√6)- 2x = 1 হলে x এর মান কত?
সমাধান:
216(√6)- 2x = 1
বা, (√6)- 2x = 1/216
বা, (√6)- 2x = 1/(√6)6
বা, (√6)- 2x = (√6)- 6
বা, - 2x = - 6
∴ x = 3
সমাধান:
216(√6)- 2x = 1
বা, (√6)- 2x = 1/216
বা, (√6)- 2x = 1/(√6)6
বা, (√6)- 2x = (√6)- 6
বা, - 2x = - 6
∴ x = 3
১০,১৪২.
১৩৫% এর সমান ভগ্নাংশ কোনটি?
ব্যাখ্যা
১৩৫%
= ১৩৫/১০০
= ২৭/২০
= ১৩৫/১০০
= ২৭/২০
১০,১৪৩.
কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?
সমাধান:
১৭/২১ = ০.৮১
১৭/২৪ = ০.৭১
১২/১৫ = ০.৮
৯/৭ = ১.২৯
এখানে, ০.৭১ < ০.৮ < ০.৮১ < ১.২৯
অতএব, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি ১৭/২৪
সমাধান:
১৭/২১ = ০.৮১
১৭/২৪ = ০.৭১
১২/১৫ = ০.৮
৯/৭ = ১.২৯
এখানে, ০.৭১ < ০.৮ < ০.৮১ < ১.২৯
অতএব, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি ১৭/২৪
১০,১৪৪.
কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ১০ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ডে, ২০ সেকেন্ড এবং ২৫ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ১০ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ডে, ২০ সেকেন্ড এবং ২৫ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?
সমাধান:
১০, ১২, ২০, ২৫ এর ল.সা.গু যত ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
১০, ১২, ২০, ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট
সমাধান:
১০, ১২, ২০, ২৫ এর ল.সা.গু যত ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
১০, ১২, ২০, ২৫ এর ল.সা.গু = ৩০০
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে = ৩০০ সেকেন্ড
= ৩০০/৬০ মিনিট
= ৫ মিনিট
১০,১৪৫.
যদি ৬টি ঘোড়া ৪ দিনে ৩০ সের ছোলা খায়, তবে কয়টি ঘোড়া ঐ সময়ে ২৫ সের ছোলা খাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ৬টি ঘোড়া ৪ দিনে ৩০ সের ছোলা খায়, তবে কয়টি ঘোড়া ঐ সময়ে ২৫ সের ছোলা খাবে?
সমাধান:
৩০ সের ছোলা খায় ৬ টি ঘোড়া
১ সের ছোলা খায় ৬/৩০ টি ঘোড়া
∴ ২৫ সের ছোলা খায় (৬ × ২৫)/৩০ টি ঘোড়া
= ৫ টি ঘোড়া
সমাধান:
৩০ সের ছোলা খায় ৬ টি ঘোড়া
১ সের ছোলা খায় ৬/৩০ টি ঘোড়া
∴ ২৫ সের ছোলা খায় (৬ × ২৫)/৩০ টি ঘোড়া
= ৫ টি ঘোড়া
১০,১৪৬.
a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে?
সমাধান:
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে
প্রশ্নমতে,
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b2 - a2)/ab
∴ x = (2b2 - a2)/ab
১০,১৪৭.
কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৮, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১২ অবশিষ্ট থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৮, ১২ ও ১৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১২ অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান:
এখানে,
৮ - ৫ = ৩
১২ - ৯ = ৩
১৫ - ১২ = ৩
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
৮ = ২ × ২ × ২ = ২৩
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫
এখন, ৮, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১২০ - ৩ = ১১৭
১০,১৪৮.
একজন দোকানদার ১৮০ টাকা কেজি দামের কিছু চায়ের সঙ্গে ১৫০ টাকা কেজি দামের তিনগুণ পরিমাণ চা মিশ্রিত করে তা ১৭০ টাকা কেজি দামে বিক্রি করে মোট ২,৪০০ টাকা লাভ করল। দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারের কত কেজি চা ক্রয় করেছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন দোকানদার ১৮০ টাকা কেজি দামের কিছু চায়ের সঙ্গে ১৫০ টাকা কেজি দামের তিনগুণ পরিমাণ চা মিশ্রিত করে তা ১৭০ টাকা কেজি দামে বিক্রি করে মোট ২,৪০০ টাকা লাভ করল। দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারের কত কেজি চা ক্রয় করেছিল?
সমাধান:
ধরি,
১৮০ টাকা দামের চা = ক কেজি
১৫০ টাকা দামের চা = ৩ক কেজি
প্রশ্নমতে,
১৭০(ক + ৩ক) - (১৮০ক + ১৫০ × ৩ক) = ২৪০০
⇒ ১৭০(৪ক) - (১৮০ক + ৪৫০ক) = ২৪০০
⇒ ৬৮০ক - ৬৩০ক = ২৪০০
⇒ ৫০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৫০
∴ ক = ৪৮
সুতরাং, দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারে চা ক্রয় করেছিল = (৩ × ৪৮) কেজি
= ১৪৪ কেজি
সমাধান:
ধরি,
১৮০ টাকা দামের চা = ক কেজি
১৫০ টাকা দামের চা = ৩ক কেজি
প্রশ্নমতে,
১৭০(ক + ৩ক) - (১৮০ক + ১৫০ × ৩ক) = ২৪০০
⇒ ১৭০(৪ক) - (১৮০ক + ৪৫০ক) = ২৪০০
⇒ ৬৮০ক - ৬৩০ক = ২৪০০
⇒ ৫০ক = ২৪০০
⇒ ক = ২৪০০/৫০
∴ ক = ৪৮
সুতরাং, দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারে চা ক্রয় করেছিল = (৩ × ৪৮) কেজি
= ১৪৪ কেজি
১০,১৪৯.
x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x - 8y + 16 + y2 এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
সমাধান:
x2- 8x - 8y + 16 + y2
=x2 + y2 + 16 - 8x - 8y
=(x)2 + (y)2 + (- 4)2 + 2.x.y + 2.y.(- 4) + 2.(- 4).x - 2xy
=(x + y - 4)2 - 2xy
সুতরাং রাশিটির সাথে 2xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
সমাধান:
x2- 8x - 8y + 16 + y2
=x2 + y2 + 16 - 8x - 8y
=(x)2 + (y)2 + (- 4)2 + 2.x.y + 2.y.(- 4) + 2.(- 4).x - 2xy
=(x + y - 4)2 - 2xy
সুতরাং রাশিটির সাথে 2xy যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।
১০,১৫০.
দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ১৭০ এবং অন্তরফল ১০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ১৭০ এবং অন্তরফল ১০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ১০) = ১৭০
⇒ ২ক - ১০ = ১৭০
⇒ ২ক = ১৭০ + ১০
⇒ ২ক = ১৮০
∴ ক = ৯০
∴ বড় সংখ্যাটি = ৯০
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
= ৯০ - ১০
= ৮০
সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
প্রশ্নমতে,
ক + (ক - ১০) = ১৭০
⇒ ২ক - ১০ = ১৭০
⇒ ২ক = ১৭০ + ১০
⇒ ২ক = ১৮০
∴ ক = ৯০
∴ বড় সংখ্যাটি = ৯০
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
= ৯০ - ১০
= ৮০
১০,১৫১.
মোমেন একটি অনলাইন শপ থেকে একটি পণ্য কিনলো যার সাথে ৮% ডেলিভারি চার্জ সহ মোট ১০৮০ টাকা খরচ হলো। পণ্যের মূল দাম কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মোমেন একটি অনলাইন শপ থেকে একটি পণ্য কিনলো যার সাথে ৮% ডেলিভারি চার্জ সহ মোট ১০৮০ টাকা খরচ হলো। পণ্যের মূল দাম কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ডেলিভারি চার্জ = ৮%
∴ চার্জসহ মোট দাম = ১০০% + ৮% = ১০৮%
প্রশ্নমতে,
১০৮% = ১০৮০
⇒ ১% = ১০৮০/১০৮
∴ ১০০% = (১০৮০ × ১০০)/১০৮
= ১০০০
∴ পণ্যের মূল দাম ১০০০ টাকা
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ডেলিভারি চার্জ = ৮%
∴ চার্জসহ মোট দাম = ১০০% + ৮% = ১০৮%
প্রশ্নমতে,
১০৮% = ১০৮০
⇒ ১% = ১০৮০/১০৮
∴ ১০০% = (১০৮০ × ১০০)/১০৮
= ১০০০
∴ পণ্যের মূল দাম ১০০০ টাকা
১০,১৫২.
একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা এবং কত হাত কাঁদায় আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?
সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
প্রশ্নমতে
∴ ক - (ক/৩) - ৩ক/৫ = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ =৬
⇒ ক/১৫ = ৬
∴ ক = ৯০ মিটার
কাঁদায় আছে = ৯০/৩ = ৩০ মিটার
সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার
প্রশ্নমতে
∴ ক - (ক/৩) - ৩ক/৫ = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ =৬
⇒ ক/১৫ = ৬
∴ ক = ৯০ মিটার
কাঁদায় আছে = ৯০/৩ = ৩০ মিটার
১০,১৫৩.
একটি ১২০ ফুট দৈর্ঘ্য ও ৭০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তকার ঘরের মেঝেকে বর্গাকার টাইলস দিয়ে সম্পূর্ণ ঢেকে দিতে হবে। সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৭০ = ৮৪০০ বর্গফুট
৮৪০০ কে ১৫২ এবং ১১২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না
৮৪০০ কে ১০২ এবং ৫২ দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায়
সুতরাং, সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট
১০,১৫৪.
একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৫ ও ৬৫ ডিগ্রি হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৫° ও ৬৫° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
একটি ত্রিভুজের দুই কোণের পরিমান ২৫° ও ৬৫° হলে,
কোণ দুইটির যোগফল = ২৫° + ৬৫° = ৯০°
অতএব, অপর কোণ = ১৮০° - ৯০° = ৯০°
একটি ত্রিভুজের এক কোণ সমকোণ হলে তা সমকোণী
সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
১০,১৫৫.
10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
সমাধান:
১ম দল (10 জন) - ২য় দল (9 জন)
________________ _________________
1) 10 1
2) 9 2
3) 8 3
1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C10 × 9C1 = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C9 × 9C2 = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C8 × 9C3 = (45 × 84) = 3780
টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149
সমাধান:
১ম দল (10 জন) - ২য় দল (9 জন)
________________ _________________
1) 10 1
2) 9 2
3) 8 3
1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C10 × 9C1 = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C9 × 9C2 = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C8 × 9C3 = (45 × 84) = 3780
টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149
১০,১৫৬.
একটি প্যাকেটে ৫২০ টি চকলেট রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি চকলেট যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৫২০ টি চকলেট রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি চকলেট যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ অথবা ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?
সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২
এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
৪৮
___________
৪০
৩৬
_____________
৪
যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক চকলেট যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
∴ চকলেট যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি
সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২
এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
৪৮
___________
৪০
৩৬
_____________
৪
যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক চকলেট যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
∴ চকলেট যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি
১০,১৫৭.
সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সুষম অষ্টভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ কত?
সমাধান:
সুষম অষ্টভুজের
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮= ৪৫°
প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
সমাধান:
সুষম অষ্টভুজের
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ = ৩৬০°/৮= ৪৫°
প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
১০,১৫৮.
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১৮ মিটার বেশি। পরিসীমা ১৫২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের চেয়ে ১৮ মিটার বেশি। পরিসীমা ১৫২ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = x মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = x + ১৮ মিটার
আমরা জানি,
পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ ২ × [(x + ১৮) + x] = ১৫২
⇒ ২ × (২x + ১৮) = ১৫২
⇒ ৪x + ৩৬ = ১৫২
⇒ ৪x = ১৫২ - ৩৬
⇒ ৪x = ১১৬
⇒ x = ১১৬/৪
∴ x = ২৯
অতএব, প্রস্থ = ২৯ মিটার
দৈর্ঘ্য = ২৯ + ১৮ = ৪৭ মিটার
ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গমিটার
= (৪৭ × ২৯) বর্গমিটার
= ১৩৬৩ বর্গমিটার
∴ ক্ষেত্রফল ১৩৬৩ বর্গমিটার
১০,১৫৯.
4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কাঁচের গোলককে গলিয়ে 1 মিটার ব্যাসার্ধের কতগুলো গোলক বানানো যাবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m
গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR3}/{(4/3)πr3}
= R3/r3
= 43/13
= 64
∴ 64টি গোলক বানানো যাবে।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বড় গোলকের ব্যাসার্ধ, R = 4 m
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1 m
গোলক বানানো যাবে = বড় গোলকের আয়তন/ ছোট গোলকের আয়তন
= {(4/3)πR3}/{(4/3)πr3}
= R3/r3
= 43/13
= 64
∴ 64টি গোলক বানানো যাবে।
১০,১৬০.
একটি বাড়ির বিক্রয়মূল্য তার ক্রয়মূল্যের ৪/৫ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত হবে?
ব্যাখ্যা
এখানে,
ক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৪ টাকা।
সুতরাং ক্ষতি = (৫ - ৪) টাকা
= ১ টাকা
৫ টাকায় ক্ষতি হয় ১ টাকা
১ টাকায় ক্ষতি হয় ১/৫ টাকা
১০০ টাকায় ক্ষতি হয় ১০০/৫ টাকা
= ২০ টাকা।
১০,১৬১.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাপ কোনটি?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° এবং সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সুতরাং সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাণ = (180° - 90°) = 90° = 40°+ 50°
১০,১৬২.
3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13
Sn = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S13 = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S13 = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S13 = (13/2) [6 + 48]
⇒ S13 = (13/2) × 54
⇒ S13 = 13 × 27
⇒ S13 = 351
∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351
১০,১৬৩.
নিচের কোনটি 12a2 + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12a2 + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক?
সমাধান:
12a2 + 7a - 10
= 12a2 + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)
সমাধান:
12a2 + 7a - 10
= 12a2 + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)
১০,১৬৪.
x2 + (a + b)x + ab = 0 এর সমাধান সেট-
ব্যাখ্যা
x2 + (a + b)x + ab = 0
বা, x2 + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}
১০,১৬৫.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
i. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
ii. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
iii. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
১০,১৬৬.
একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 53 হলে, ধারাটির প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 53 হলে ধারাটির প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে, a + 9d = 53
আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) (2a + 18d)
= (19/2) × 2 (a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 53
= 1007
সমাধান:
মনে করি,
ধারাটি প্রথম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে, a + 9d = 53
আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
সুতরাং প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) (2a + 18d)
= (19/2) × 2 (a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 53
= 1007
১০,১৬৭.
১ থেকে ২০ পযর্ন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পযর্ন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো= ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০
∴ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় = (২ + ৪ + ৬ + ৮ + ১০ + ১২ + ১৪ + ১৬ + ১৮ + ২০)/ ১০
= ১১০/১০
= ১১
সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলো= ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০
∴ ১ থেকে ২০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর গড় = (২ + ৪ + ৬ + ৮ + ১০ + ১২ + ১৪ + ১৬ + ১৮ + ২০)/ ১০
= ১১০/১০
= ১১
১০,১৬৮.
কোন ভগ্নাংশটি ২/৩ থেকে বড়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি (২/৩) থেকে বড়?
সমাধান:
৮/১১ = ০.৭২
৩/৫ = ০.৬
১৩/২৭ = ০.৪৮
৩৩/৫০ =০.৬৬
আবার
২/৩ = ০.৬৬
সমাধান:
৮/১১ = ০.৭২
৩/৫ = ০.৬
১৩/২৭ = ০.৪৮
৩৩/৫০ =০.৬৬
আবার
২/৩ = ০.৬৬
১০,১৬৯.
secθ + tanθ = m, হলে tanθ = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: secθ + tanθ = m, হলে tanθ = ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ + tanθ = m ................. (1)
আমরা জানি,
sec2θ - tan2θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
বা, m(secθ - tanθ) = 1
বা, secθ - tanθ = 1/m ................ (2)
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
secθ + tanθ = m
secθ - tanθ = 1/m
2tanθ = m - (1/m)
বা, 2tanθ = (m2 - 1)/m
∴ tanθ = (m2 - 1)/2m
১০,১৭০.
নিচের কোন এককটি বড়?
ব্যাখ্যা
১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার; ১ ডেকামিটার = ১০ মিটার; ১ হেক্টোমিটার = ১০০ মিটার; ১ ডেসিমিটার = ০.১ মিটার
১০,১৭১.
16n - (1/2) = 64 হলে, n এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 16n - (1/2) = 64 হলে, n এর মান কত?
সমাধান:
16n - (1/2) = 64
⇒ (24)n - (1/2) = 26
⇒ 24n - 2 = 26
⇒ 4n - 2 = 6
⇒ 4n = 6 + 2
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2
১০,১৭২.
০.১২ × ০.০০১ × ০.০০১২ = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ০.১২ × ০.০০১ × ০.০০১২ = ?
সমাধান:
০.১২ × ০.০০১ × ০.০০১২ =০.০০০০০০১৪
সমাধান:
০.১২ × ০.০০১ × ০.০০১২ =০.০০০০০০১৪
১০,১৭৩.
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ১২ ও ৫ সেমি হলে এর অতিভুজ-এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ১২ ও ৫ সেমি হলে এর অতিভুজ-এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (লম্ব)2
বা, অতিভুজ = √(১২² + ৫²)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
∴ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
(অতিভুজ)2 = (ভূমি)2 + (লম্ব)2
বা, অতিভুজ = √(১২² + ৫²)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
∴ অতিভুজ = ১৩ সে.মি.
১০,১৭৪.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
= ২১/৪,
= ১৭/৮
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবের ল.সা.গু)/(হরের গ.সা.গু)
এখানে,
২১ এবং ১৭ এর ল.সা.গু = ২১ × ১৭ = ৩৫৭
৪ এবং ৮ এর গ.সা.গু:
৪ = ২ × ২
৮ = ২ × ২ × ২
∴ গ.সা.গু = ৪
∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ৩৫৭/৪
১০,১৭৫.
একটি সমকোণী ত্রিভূজের অতিভূজের দৈর্ঘ্য = ১৩ সে. মি. পরিসীমা ৩০ সে. মি.। ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
ব্যাখ্যা
ধরি,
ভূমি = a, লম্ব = b এবং
অতিভূজ c = ১৩
∴ পরিসীমা a + b + c = ৩০
বা, a + b = ৩০ - c = ৩০ - ১৩ = ১৭
বা, (a + b)2 = ১৭২
বা, a2 + b2+ 2ab = ২৮৯
বা, c2 + 2ab = ২৮৯ [পিথাগোরাসের সূত্রানূসারে]
বা, ১৩২ + ২ab = ২৮৯
বা, ২ab = ২৮৯ - ১৬৯ = ১২০
বা, ab = ৬০
বা, (১/২)ab = ৩০
∴ ১/২ × ভুমি × উচ্চতা = ৩০ বর্গ সে. মি.
১০,১৭৬.
কবির সাহেবের তিন পুত্রের বয়স যথাক্রমে ৫ বছর, ৭ বছর ও ৯ বছর। তিনি ৪২০০ টাকা তিন পুত্রকে তাদের বয়স অনুপাতে ভাগ করে দিলেন, বড় ছেলে কত টাকা পেল?
ব্যাখ্যা
তিন পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৫ ঃ ৭ ঃ ৯
অনুপাতের যোগফল = ( ৫ + ৭ + ৯ ) = ২১
∴ বড় ছেলে পাবে ( ৪২০০ এর ৯/২১ ) = ১৮০০ টাকা
১০,১৭৭.
৪ বর্গফুট একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৪ বর্গফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট কয়টি পাথর লাগবে?
ব্যাখ্যা
৪ বর্গফুট একটি বর্গাকার জায়গা ঢাকতে ৪ বর্গফুট ক্ষেত্রবিশিষ্ট একটি পাথর লাগবে।
১০,১৭৮.
২/৫, ৩/৮, ৭/৯ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২/৫, ৩/৮, ৭/৯ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু কত?
সমাধান:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু)
= (২, ৩, ৭ এর গ.সা.গু) / (৫, ৮, ৯ এর ল.সা.গু)
= ১/৩৬০
সমাধান:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লবগুলোর গ.সা.গু)/(হরগুলোর ল.সা.গু)
= (২, ৩, ৭ এর গ.সা.গু) / (৫, ৮, ৯ এর ল.সা.গু)
= ১/৩৬০
১০,১৭৯.
x কে ৬ দ্বারা ভাগ করা হলে ৩ ভাগশেষ থাকে। ৩x কে ৫ দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x কে ৬ দ্বারা ভাগ করা হলে ৩ ভাগশেষ থাকে। ৩x কে ৫ দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ কত?
সমাধান:
x = (৬ + ৩) = ৯ [ এখানে প্রথম সংখ্যাটি ৯ যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে]
তাহলে,
৩ × ৯ = ২৭ [ প্রথম সংখ্যার x এর মান বসিয়ে]
= ২৭ ÷ ৫ [ এখানে ভাগফল ৫, ভাগশেষ ২]
অর্থাৎ দ্বিতীয়ধাপের সংখ্যাটিকে তিনগুণ করলে ২৭ । এখন এই ২৭ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২ থাকবে।
সমাধান:
x = (৬ + ৩) = ৯ [ এখানে প্রথম সংখ্যাটি ৯ যাকে ৬ দিয়ে ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে]
তাহলে,
৩ × ৯ = ২৭ [ প্রথম সংখ্যার x এর মান বসিয়ে]
= ২৭ ÷ ৫ [ এখানে ভাগফল ৫, ভাগশেষ ২]
অর্থাৎ দ্বিতীয়ধাপের সংখ্যাটিকে তিনগুণ করলে ২৭ । এখন এই ২৭ কে ৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ২ থাকবে।
১০,১৮০.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সেন্টিমিটার বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য x সেমি
তাহলে, লম্বের দৈর্ঘ্য x-2 সেমি
এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য x+2 সেমি
এখন,
x² + (x-2)² = (x+2)²
⇒ x² + x² - 4x +4 = x² + 4x + 4
⇒ x² = 8x
⇒ x = 8
∴ অতিভুজের দৈর্ঘ্য 8+2 = 10 সেমি।
১০,১৮১.
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৮৪ বছর। ১০ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ৩ ছিল। ১০ বছর পর এ অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।
প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর
∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১
১০,১৮২.
১০০০ এর থেকে কম সর্বাধিক কতটি আপেল ৬, ১৫, ২০, ২৪ জন বালকের মাঝে নিঃশেষে ভাগ করে দেওয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
৬, ১৫, ২০, ২৪ এর ল.সা.গু. = ১২০
এখন,
৯৬০ ÷ ১২০ = ৮ এবং ৯৬০ < ১০০০
∴ উত্তরঃ ৯৬০
১০,১৮৩.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস 24 সে.মি. এবং অপরটির ব্যাস 16 সে.মি. হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব কত সে.মি. হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। এদের একটির ব্যাস 24 সে.মি. এবং অপরটির ব্যাস16 সে.মি. হলে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব কত সে.মি. হবে?
অনুসিদ্ধান্ত ১: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
অনুসিদ্ধান্ত ২: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান ।
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 24/2 = 12 সে.মি.
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সে.মি.
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = 12 + 8 = 20 সে.মি.
অনুসিদ্ধান্ত ১: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
অনুসিদ্ধান্ত ২: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান ।
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 24/2 = 12 সে.মি.
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 16/2 = 8 সে.মি.
দুইটি বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব = 12 + 8 = 20 সে.মি.
১০,১৮৪.
কালাম ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২১ বছর। কালামের স্ত্রী ও ঐ ৪ পুত্রের বয়সের গড় ১৯ বছর। কালামের বয়স ৪২ বছর হলে, স্ত্রীর বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কালাম ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় ২১ বছর। কালামের স্ত্রী ও ঐ ৪ পুত্রের বয়সের গড় ১৯ বছর। কালামের বয়স ৪২ বছর হলে, স্ত্রীর বয়স কত?
সমাধান:
কালাম ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় = ২১ বছর
কালাম ও ৪ পুত্রের মোট বয়স= ২১ × ৫ = ১০৫ বছর
কালামের বয়স = ৪২ বছর
৪ পুত্রের মোট বয়স = ১০৫ - ৪২ = ৬৩ বছর
কালামের স্ত্রী ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় = ১৯ বছর
কালামের স্ত্রী ও ৪ পুত্রের মোট বয়স = ১৯ × ৫ = ৯৫ বছর
কালামের স্ত্রীর বয়স = ৯৫ - ৬৩ = ৩২ বছর
সমাধান:
কালাম ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় = ২১ বছর
কালাম ও ৪ পুত্রের মোট বয়স= ২১ × ৫ = ১০৫ বছর
কালামের বয়স = ৪২ বছর
৪ পুত্রের মোট বয়স = ১০৫ - ৪২ = ৬৩ বছর
কালামের স্ত্রী ও ৪ পুত্রের বয়সের গড় = ১৯ বছর
কালামের স্ত্রী ও ৪ পুত্রের মোট বয়স = ১৯ × ৫ = ৯৫ বছর
কালামের স্ত্রীর বয়স = ৯৫ - ৬৩ = ৩২ বছর
১০,১৮৫.
যদি ২ জন পুরুষ বা ৩ জন মহিলা একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে তবে ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি ২ জন পুরুষ বা ৩ জন মহিলা একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে তবে ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
সমাধান:
৩ জন মহিলা = ২ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = ২/৩ জন পুরুষ
∴ ৬ জন মহিলা = (২/৩) × ৬ = ৪ জন পুরুষ
সুতরাং ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা = (২ + ৪) = ৬ জন পুরুষ
এখন,
২ জন পুরুষ কাজটি করে ২৪ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করে ২ × ২৪ = ৪৮ দিনে
∴ ৬ জন পুরুষ কাজটি করে ৪৮/৬ = ৮ দিনে
∴ ২ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলা ঐ কাজটি ৮ দিনে করতে পারবে।
১০,১৮৬.
রাফি ৬০ টাকায় একটি পণ্য বিক্রি করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে পণাটি ১৪৭ টাকায় বিক্রি করত তাহলে তার পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হত। পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রাফি ৬০ টাকায় একটি পণ্য বিক্রি করায় কিছু টাকা ক্ষতি হয়। যদি সে পণাটি ১৪৭ টাকায় বিক্রি করত তাহলে তার পূর্বের ক্ষতির দ্বিগুণ লাভ হত। পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?
সমাধান:
ধরি, পণ্যটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা
তাহলে, ৬০ টাকা বিক্রয়ে ক্ষতি হয় = ক - ৬০ টাকা
এবং, ১৪৭ টাকা বিক্রয়ে লাভ হয় = ১৪৭ - ক টাকা
প্রশ্নমতে,
২(ক - ৬০) = ১৪৭ - ক
বা, ২ক - ১২০ = ১৪৭ - ক
বা, ২ক + ক = ১৪৭ + ১২০
বা, ৩ক = ২৬৭
বা, ক = ২৬৭/৩
বা, ক = ৮৯
∴ পণ্যটির ক্রয়মূল্য = ৮৯ টাকা
সমাধান:
ধরি, পণ্যটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা
তাহলে, ৬০ টাকা বিক্রয়ে ক্ষতি হয় = ক - ৬০ টাকা
এবং, ১৪৭ টাকা বিক্রয়ে লাভ হয় = ১৪৭ - ক টাকা
প্রশ্নমতে,
২(ক - ৬০) = ১৪৭ - ক
বা, ২ক - ১২০ = ১৪৭ - ক
বা, ২ক + ক = ১৪৭ + ১২০
বা, ৩ক = ২৬৭
বা, ক = ২৬৭/৩
বা, ক = ৮৯
∴ পণ্যটির ক্রয়মূল্য = ৮৯ টাকা
১০,১৮৭.
(x - 6)(x - 6) = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 6)(x - 6) = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?
সমাধান:
(x - 6)(x - 6) = x2 + bx + c
⇒ (x - 6)2 = x2 + bx + c
⇒ x2 - 2. x. 6 + 62 = x2 + bx + c
⇒ x2 - 12x + 36 = x2 + bx + c
x ও ধ্রুবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = - 12
c = 36
সমাধান:
(x - 6)(x - 6) = x2 + bx + c
⇒ (x - 6)2 = x2 + bx + c
⇒ x2 - 2. x. 6 + 62 = x2 + bx + c
⇒ x2 - 12x + 36 = x2 + bx + c
x ও ধ্রুবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = - 12
c = 36
১০,১৮৮.
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ২০ মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির ৩/৪ অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি, ত্রিভুজটির ভূমি, b = ক মিটার
∴ ত্রিভুজটির সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪)ক মিটার
প্রশ্নমতে,
ক + (৩/৪)ক + (৩/৪)ক = ২০
⇒ (৪ক + ৩ক + ৩ক)/৪ = ২০
⇒ ১০ক/৪ = ২০
⇒ ১০ক = ২০ × ৪
⇒ ১০ক = ৮০
⇒ ক = ৮০/১০
⇒ ক = ৮
∴ ত্রিভুজটির ভূমি b = ৮ মিটার
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a = (৩/৪) × ৮ = ৬ মিটার
এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (b/৪) × √(৪a২ - b২)
= (৮/৪) × √{৪(৬)২ - (৮)২}
= ২ × √(৪ × ৩৬ - ৬৪)
= ২ × √(১৪৪ - ৬৪)
= ২ × √৮০
= ২ × √(১৬ × ৫)
= ২ × ৪√৫
= ৮√৫ বর্গমিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ৮√৫ বর্গমিটার।
১০,১৮৯.
একটি সমকোণী ত্রিভূজের লম্ব, ভূমির তিন চতুর্থাংশের সমান এবং অতিভূজ ৩০ সেঃমিঃ হলে ক্ষেত্রফল-
ব্যাখ্যা
ধরি,
ভূমি ৪a সেঃমিঃ
∴ লম্ব = ৪a × ৩/৪
= ৩a সেঃমি
∴ অতিভূজ = √{(৪a)২ + (৩a)2}
= √(২৫a)2
= ৫a
∴ ৫a = ৩০
∴ a = ৬
∴ ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩a × ৪a
= ৬a2
= ৬ × ৬2
= ২১৬ বর্গসেঃমিঃ
১০,১৯০.
কোন আসল ৫ বছরের মুনাফা আসলে ৫৬০০ টাকা হয়। মুনাফা আসলের ২/৫ অংশ হলে মুনাফার হার কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন আসল ৫ বছরের মুনাফা আসলে ৫৬০০ টাকা হয়। মুনাফার আসলের ২/৫ অংশ হলে মুনাফা হার কত?
সমাধান:
ধরি,
আসল = ৫ টাকা এবং মুনাফা = ২ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (৫ + ২) = ৭ টাকা
মুনাফা-আসল ৭ টাকা হলে আসল = ৫ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে আসল = ৫/৭ টাকা
মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা হলে আসল = (৫ × ৫৬০০)/৭ = ৪০০০ টাকা
∴ মুনাফা = (৫৬০০ - ৪০০০) = ১৬০০ টাকা
মুনাফার হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (১৬০০ × ১০০)/(৪০০০ × ৫)
= ৮%
সমাধান:
ধরি,
আসল = ৫ টাকা এবং মুনাফা = ২ টাকা
∴ মুনাফা-আসল = (৫ + ২) = ৭ টাকা
মুনাফা-আসল ৭ টাকা হলে আসল = ৫ টাকা
মুনাফা-আসল ১ টাকা হলে আসল = ৫/৭ টাকা
মুনাফা-আসল ৫৬০০ টাকা হলে আসল = (৫ × ৫৬০০)/৭ = ৪০০০ টাকা
∴ মুনাফা = (৫৬০০ - ৪০০০) = ১৬০০ টাকা
মুনাফার হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (১৬০০ × ১০০)/(৪০০০ × ৫)
= ৮%
১০,১৯১.
একটি স্কুলের ৭০% ছাত্র ফুটবল, ৭৫% ছাত্র হকি ও ৬০ % ছাত্র ক্রিকেট খেলতে পছন্দ করে। প্রত্যেক ছাত্র কমপক্ষে একটি খেলা পছন্দ করে। ঐ স্কুলের শতকরা কতজন তিনটি খেলাই পছন্দ করে না?
ব্যাখ্যা
ফুটবল পছন্দ করেনা = (১০০ - ৭০) জন = ৩০ জন
হকি পছন্দ করে না = (১০০ - ৭৫) জন = ২৫ জন
ক্রিকেট পছন্দ করে না = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
একত্রে ৩টি খেলাই পছন্দ করেনা = ৩০ + ২৫ + ৪০ = ৯৫ জন
হকি পছন্দ করে না = (১০০ - ৭৫) জন = ২৫ জন
ক্রিকেট পছন্দ করে না = (১০০ - ৬০) জন = ৪০ জন
একত্রে ৩টি খেলাই পছন্দ করেনা = ৩০ + ২৫ + ৪০ = ৯৫ জন
১০,১৯২.
5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
সমাধান:
মোট দুই প্রকারে বাছাই করা যাবে।
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = 5C2 × 4C2 = 10 × 6 = 60
3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = 5C3 × 4C1 = 10 × 4 = 40
∴ মোট উপায় = 60 + 40 = 100
সমাধান:
মোট দুই প্রকারে বাছাই করা যাবে।
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = 5C2 × 4C2 = 10 × 6 = 60
3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = 5C3 × 4C1 = 10 × 4 = 40
∴ মোট উপায় = 60 + 40 = 100
১০,১৯৩.
যদি ১৫ টি ফলের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ কমলা হয় এবং বাকিগুলো আপেল হয় তবে আপেলের সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
১০০ টি ফলের মধ্যে কমলা ৪০ টি
∴ ১৫〃 〃 〃 〃(৪০×১৫)/১০০ টি
= ৬ টি
∴ ১৫ টি ফলের মধ্যে আপেল (১৫-৬) = ৯ টি
১০,১৯৪.
x - {x - x - (x - 1)} এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - {x - x - (x - 1)} এর মান কত?
সমাধান:
x - {x - x - (x - 1)}
= x - {x - x - x + 1)}
= x - {-x + 1}
= x + x - 1
= 2x - 1
সমাধান:
x - {x - x - (x - 1)}
= x - {x - x - x + 1)}
= x - {-x + 1}
= x + x - 1
= 2x - 1
১০,১৯৫.
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 = 60
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 540° × (9/60)
= 81°
সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 9 + 10 + 12 + 14 + 15 = 60
একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের মান = 540° × (9/60)
= 81°
১০,১৯৬.
a - 1/a = 2 হলে, a3 - 1/a3 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a - 1/a = 2 হলে, a3 - 1/a3 এর মান কত?
সমাধান:
a3 - 1/a3
= (a - 1/a)3 + 3.a.(1/a)(a - 1/a)
= (2)3 + 3 × 2
= 8 + 6
= 14
সমাধান:
a3 - 1/a3
= (a - 1/a)3 + 3.a.(1/a)(a - 1/a)
= (2)3 + 3 × 2
= 8 + 6
= 14
১০,১৯৭.
সর্বোচ্চ কত জনের মধ্যে 81 টি আম এবং 36 টি পেয়ারা সমান ভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?
ব্যাখ্যা
81, 36 এর গ. সা.গু. = 9
১০,১৯৮.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 14 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 142
2x2 =196
x2 = 196/2
x2 = 98
x = √98
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√98)(√98) বর্গ সে.মি.
= (1/2) × 98
= 49 বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি
সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সে.মি.
এখানে,
x2 + x2 = 142
2x2 =196
x2 = 196/2
x2 = 98
x = √98
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল= (1/2)(√98)(√98) বর্গ সে.মি.
= (1/2) × 98
= 49 বর্গ সে.মি.
১০,১৯৯.
একটি পাত্রে ৮টি সাদা, ৬টি কালো এবং ৪টি নীল বল আছে। একটি বল বাছাই করলে বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাত্রে ৮টি সাদা, ৬টি কালো এবং ৪টি নীল বল আছে। একটি বল বাছাই করলে বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ৬ টি
নীল বল = ৪ টি
∴ মোট বল = ৮ + ৬ + ৪ = ১৮টি
∴ বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৮ = ১/৩
∴ বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩) = (৩ - ১)/৩ = ২/৩
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাদা বল = ৮টি
কালো বল = ৬ টি
নীল বল = ৪ টি
∴ মোট বল = ৮ + ৬ + ৪ = ১৮টি
∴ বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৮ = ১/৩
∴ বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩) = (৩ - ১)/৩ = ২/৩
১০,২০০.
5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাটির x ও y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
এখানে, ৪র্থ পদ aq4-1 = 135 বা aq3 = 135 ----------- (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----------- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq3/a = 135/5
q3 = 27
∴ q = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 3
সুতরাং, x = 5×3 = 15
y = 15 × 3 = 45
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----------- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq3/a = 135/5
q3 = 27
∴ q = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 3
সুতরাং, x = 5×3 = 15
y = 15 × 3 = 45