গাণিতিক যুক্তি

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 5 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ = 2x, 3x এবং 5x
অতএব,
2x + 3x + 5x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

∴ কোণগুলো হলো:
2x = 36°, 3x = 54°, 5x = 90°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: দুইটি ঘড়ি প্রতিটি ৬০০ টাকা বিক্রয়মূল্যে বিক্রি হয়েছে। একটি ২০% লাভে বিক্রি হয়েছে, অন্যটি ২৫% ক্ষতিতে বিক্রি হয়েছে। মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২০% লাভে ১০০ টাকার ঘড়ির বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০) / ১২০ টাকা
= ৫০০ টাকা

২৫% ক্ষতিতে ১০০ টাকার ঘড়ির বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা
৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০) / ৭৫ টাকা
= ৮০০ টাকা

ঘড়ি দুইটির ক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৮০০ = ১৩০০ টাকা
ঘড়ি দুইটির বিক্রয়মূল্য = ৬০০ + ৬০০ = ১২০০ টাকা

ক্ষতি = ১৩০০ - ১২০০ = ১০০ টাকা

∴ ক্ষতি = ১০০ টাকা

ধরি,
বাঁশের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩a, ৭a, ১০a মিঃ
∴ ৩a + ৭a = ৩০ মিঃ
বা, ১০a = ৩০
∴ a = ৩
∴ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ৩a + ৭a + ১০a
= ২০a
= ২০ × ৩ মিটার
= ৬০ মিটার

ধরি,
সংখ্যাটি = a
∴ a এর ১৪% = ৭০
বা, ১৪a/১০০ = ৭০
বা, a = (৭০×১০০)/১৪
= ৫০০
∴ ৫০০ এর ৪০% = ২০০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 7x এবং 5x 
∴সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু = x
এবং ল.সা.গু = 35x

প্রশ্নমতে,
35x = 140
⇒ x = 140/35
∴ x = 4

অতএব, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু 4

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২৪ মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)  ×  (a)^২ বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (২৪)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৫৭৬ বর্গমিটার
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

3x + 3y + 3z = 108
⇒ 3(x + y + z) = 108
⇒ (x + y + z) = 36

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 36

প্রশ্ন: ABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি অতিভুজ AC, লম্ব AB এর 2/√3 গুণ হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = (2/√3)x

sin(C) = লম্ব/অতিভুজ 
⇒ sin(C) =  x/{(2/√3)x}
⇒ sin(C) = √3/2 
⇒ sin(C) = sin60° 
⇒ C = 60°  

∴ ∠C এর মান 60° 

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব² + ভূমি ²= অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 25x² = 625
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15মিটার
∴অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15:20 = 3:4

প্রশ্ন: বার্ষিক ৭% হারে কত বছরে ১২০০ টাকার সরল মুনাফা ২৫২ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​আসল, P = ১২০০ টাকা 
​মুনাফার হার, r = ৭% = ৭/১০০
​মুনাফা, I = ২৫২ টাকা 
​সময়, n = ?
​
সরল মুনাফা, ​I = Pnr
⇒ ​n = I/Pr
​⇒ ​n = ২৫২/{১২০০ × (৭/১০০)}
⇒ ​n​ = ২৫২/৮৪
⇒ ​n​ = ৩
​

প্রশ্ন: একটি দলের ৭ জন সদস্যের গড় বয়স ১৫ বছর। পরে আরও ৫ জন সদস্য যোগ দেওয়ায় গড় বয়স ১৬ বছর হলো। নতুন ৫ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি কত?

সমাধান:
৭ জন সদস্যের গড় বয়স ১৫ বছর
∴ ৭ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি (১৫ × ৭) বছর
= ১০৫ বছর

নতুন ৫ জন সদস্য সহ দলের মোট সদস্য = (৭ + ৫) = ১২ জন

১২ জন সদস্যের গড় বয়স ১৬ বছর
∴ ১২ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি = (১৬ × ১২) = ১৯২ বছর

∴ নতুন ৫ জন সদস্যের বয়সের সমষ্টি = (১৯২ - ১০৫) = ৮৭ বছর

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩০ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩০ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩০ × ৩) বছর
= ৯০ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯০ - ৪২) বছর 
= ৪৮ বছর।

x + 1/x = 2
= x² - 2x + 1 = 0
= ( x - 1 )² = 0
= x = 1
x⁵⁰⁰ - (1/x)⁶⁰⁰ = (1)⁵⁰⁰- (1/1)⁶⁰⁰
⇒ 1 - 1 = 0

০.৩
১/৩ = ০.৩৩
২/৭ = ০.২৯
৩/১১ = ০.২৭
অর্থাৎ সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ হচ্ছে - ১/৩

মোট ছাত্র n(S) = ৫০,
ফুটবল খেলে n(F) = ৩৫ জন,
ক্রিকেট খেলে n(C) = ২২ জন,
কিছুই খেলেনা n(C∪F)′ = ৮ জন।
যেকোন একটি খেলা খেলে, n(C∪F) = n(S) - n(C∪F)′
= ৫০ - ৮
= ৪২ জন
∴ উভয় খেলা খেলে n(C∩F) = ?
∴ n(C∪F) = n(C) + n(F) - n(C∩F)
বা, ৪২ = ২২ + ৩৫ - n(C∩F)
∴ n(C∩F) = ১৫

প্রশ্ন: log_ap = 2, log_aq = 3, log_ar = 4 হলে, log_a{(p²q²)/r} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶
= 6 log_aa
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: তিনজন অংশীদারের লাভের অনুপাত ৪ : ৫ : ৬। তারা যথাক্রমে ৮ মাস, ১০ মাস ও ৫ মাস ব্যবসা করে। বিনিয়োগের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ক : খ : গ

প্রশ্নমতে,
৮ক : ১০খ : ৫গ = ৪ : ৫ : ৬

এখানে,
৮ক/১০খ = ৪/৫
⇒ ৪ক/৫খ = ৪/৫
⇒ ক : খ = ২০ : ২০
∴ ক : খ = ৫ : ৫  ; [৪ দ্বারা ভাগ করে]

আবার,
১০খ/৫গ = ৫/৬
⇒ ২খ/গ = ৫/৬
⇒ খ/গ = ৫/১২
⇒ খ : গ = ৫ : ১২ 

∴ ক : খ : গ = ৫ : ৫ : ১২

সুতরাং, বিনিয়োগের অনুপাত = ৫ : ৫ : ১২

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি. এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৯ সে.মি. ও ১৫ সে.মি.
এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৯ সে.মি.

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) ×  (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব বা উচ্চতা
= (১/২) ×  (১৯ + ১৫) × ৯ বর্গ সে.মি.
= (১/২) × ৩৪ × ৯
= ১৫৩ বর্গ সে.মি.

বৃত্তের ব্যাস 2r = 56 ফুট
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 28 ফুট
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = 22/7 × 28 × 28 = 2464 বর্গফুট
তাহলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৪৬৩ বর্গ
∴ বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √২৪৬৩ = ৪৯.৬৪ ফুট

প্রশ্ন: যদি ১৫ জন ছাত্র গণিতে গড়ে ৭০ নম্বর পায় এবং ৩৫ জন ছাত্র গড়ে ৮০ নম্বর পায়, তাহলে মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
১৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর (৭০ × ১৫) = ১০৫০
৩৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর (৮০× ৩৫) = ২৮০০
∴ মোট ছাত্র সংখ্যা = ২০ + ৩০ = ৫০
∴ মোট প্রাপ্ত নম্বর = ১০৫০ + ২৮০০ = ৩৮৫০
সুতরাং, ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর = ৩৮৫০/৫০ = ৭৭

অতএব, মোট ৫০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৭

AB = AC ∴ ∠B = ∠C
এখন, ∠B + ∠C = 180° - 80°
বা, 2∠C = 100°   
∴ ∠C = 50°
বা, ∠ACD = 180° - 50° = 130° 
∴ 1/2∠ACD = 65°

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= 2log₁₀5 + 2log₁₀6 - 2log₁₀3
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3²   ; [ plog_kM = log_kM^p]
= log₁₀ {(5² × 6²)/3²}  ; [log_kM + log_kN = logk(MN), log_kM - log_kN = log_k(M/N)]
= log₁₀{(25 × 36)/9}
= log₁₀100
= log₁₀10²
= 2log₁₀10
= 2.1
= 2

এখানে, ১^২+১^২ = ২; ২^২+১^২ = ৫; ২^২+২^২ = ৮; ৩^২+১^২ = ১০। ২, ৫, ৮, ১০ এই চারটি সংখ্যাকে দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি রূপে লেখা যায়।
এখন,
১ থেকে ১০ এর মধ্যে দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- তিনটি সংখ্যাকে (২, ৫ এবং ৮)।
১ এবং ১০ এর মধ্যে দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- তিনটি সংখ্যাকে (২, ৫ এবং ৮)।
১ থেকে ১০ পর্যন্ত দুইটি বর্গের সমষ্টিরুপে প্রকাশ করা যায়- চারটি সংখ্যাকে (২, ৫, ৮ এবং ১০)।

প্রশ্ন: দশভুজের (Decagon) অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (2n − 4) × 90° (যেখানে n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা)

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = {(2 × 10) − 4} × 90°
= (20 − 4) × 90°
= 16 × 90°
= 1440°

∴ দশভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি 1440°

ধরি,
ভগ্নাংশটি a/(a + 2)
∴ (a - 5)/(a + 2 - 5) + 1/4 = 1
বা, (a - 5)/(a - 3) = 1 - 1/4
(a - 5)/(a - 3) = 3/4
বা, 4a - 20 = 3a - 9
বা, a = -9 + 20
= 11
∴ ভগ্নাংশটি = a/a + 2 = 11/(11 + 2)
= 11/13

প্রশ্ন: ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় = (৮ × ১৬ × ৩২)^১/৩
= (২^৩ × ২^৪ × ২^৫)^১/৩
= (২^১২)^১/৩
= ২^৪
= ১৬

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 
​
আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে,
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮
বা, ২x + ২০y = ২৮
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮
বা, (x + ১০y) = ২৮/২
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১৮ মিটার। মাঠটির চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ১০৫ টাকা খরচ হলে, পুরো মাঠটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার
আয়তাকার মাঠের প্রস্থ ১৮ মিটার

আয়তাকার মাঠের পরিসীমা = ২ × (২৫ + ১৮) মিটার
= (২ × ৪৩) মিটার
= ৮৬ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ১০৫ টাকা
∴ ৮৬ মিটারে খরচ হয় (৮৬ × ১০৫) টাকা
= ৯০৩০ টাকা

এখানে,
৬০ সংখ্যাটি শুধুমাত্র ৩ + ২ = ৫ দ্বারা বিভাজ্য
এবং ৬০/৫ = ১২
অর্থাৎ, (৩×১২) = ৩৬ এবং (২×১২) = ২৪ জন হবে।

ঘ ছাড়া বাকী অনুপাতগুলোর ক্ষেত্রে ছাত্র বা ছাত্রীর সংখ্যা ভগ্নাংশ হিসেবে আসবে। মানুষের সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না।

∴ উত্তর - ৩ঃ২

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৩৮৫টি আম আছে। এর সাথে আরো কমপক্ষে কতগুলো আম যোগ করলে সেগুলো ৫, ৮ এবং ১০ জন শিশুর মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
আমের মোট সংখ্যা এমন হবে যাতে তা ৫, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৫, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু বের করতে হবে।

এখন,
৫ = ৫
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৫ = ৪০

এখন ৩৮৫ কে ৪০ দ্বারা ভাগ করি,
৪০ × ৯ = ৩৬০
অবশিষ্ট = ৩৮৫ - ৩৬০ = ২৫

যেহেতু ৪০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ৪০ - ২৫ = ১৫

∴ কমপক্ষে ১৫টি আম যোগ করতে হবে।

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
জোড় অথবা মৌলিক সংখ্যার অনুকূলে নমূনাবিন্দুর সংখ্যা = {2, 3, 4, 5, 6} = 5টি
∴ সম্ভাবনা = 5/6

৩ এবং ৪ এর ল.সা.গু = ১২
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ১২ মিটার গেলে
∴ ১০০ বার বেশি ঘুরবে = ১২ × ১০ = ১২০০ মিটার = ১.২ কি.মি. পথ গেলে

প্রশ্ন: 5 - (x/2) ≤ 3 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5 - (x/2) ≤ 3
⇒ 5 - (x/2) - 5 ≤ 3 - 5  ; [উভয় পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে] 
⇒ - (x/2) ≤ - 2
⇒ x/2 ≥ 2   ; [এখন উভয় পক্ষকে - 2 দিয়ে গুণ করে (ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ/ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়)] 
∴ x ≥ 4

x³+1/x^{3
= ( x + 1/x )}3 ^{- 3.x.1/x (x + 1/x)
= (√3)³- 3√3
= 3√3 - 3√3
= 0}

মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y = m x
2x + 3y = 0
3y = -2x
y= -2x/3 যা y = mx আকারের যেখানে m = -2/3
সুতরাং, 2x + 3y = 0 রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে সিদ্ধ হয়।
অর্থাৎ, এটি মূলবিন্দুগামী।