লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

Linear, Quadratic & Polynomial Equation

মোট প্রশ্ন১১২এই পাতা১২প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

Linear, Quadratic & Polynomial Equation

PrepBank · পাতা ২ / ২ · ১০১–১১২ / ১১২

১০১.
If (2a + 1)(a + 3) = 12a , then find the value of a.
  1. ক
    5, 3
  2. খ
    3, 1/2
  3. গ
    2/3, 2
  4. ঘ
    1, 3/2
ব্যাখ্যা
Question: If (2a + 1)(a + 3) = 12a , then find the value of a.

Solution:
⇒ (2a + 1)(a + 3) = 12a
⇒ 2a2 + 6a + a + 3 - 12a = 0
⇒ 2a2 - 5a + 3 = 0
⇒ 2a2 - 2a - 3a + 3 = 0
⇒ 2a(a - 1) - 3(a - 1) = 0
⇒ (a - 1)(2a - 3) = 0

Now,
a - 1 = 0
∴ a = 1
or
2a - 3 = 0
∴  a = 3/2

∴ a = 1 or a = 3/2
১০২.
Solve: 16y2 = 32y3 + 2y
  1. ক
    1/4
  2. খ
    1
  3. গ
    4
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
Question: Solve: 16y2 = 32y3 + 2y

Solution:
16y2 = 32y3 + 2y
⇒ 16y = 32y2 + 2
⇒ 32y2 - 16y + 2 = 0
⇒ 16y2 - 8y + 1 = 0
⇒ (4y)2 - 2.4y.1 + 12 = 0
⇒ (4y - 1)2 = 0
⇒ 4y - 1 = 0
∴ y = 1/4
১০৩.
Question: 
  1. ক
    4/3
  2. খ
    8/9
  3. গ
    2/3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
Question: 

Solution:
১০৪.
Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-
  1. ক
    x2 - 4x + 1 = 0
  2. খ
    x2 - 4x - 1 = 0
  3. গ
    x2 + 4x + 1 = 0
  4. ঘ
    x2 + 4x - 1 = 0
ব্যাখ্যা
Question: Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

Solution:
The quadratic equation is: x2 - (Sum of roots)x + Product of roots = 0

Let the roots of the equation be A and B.
A = 2 + √5 and B = 2 - √5

∴ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4
∴ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = - 1

Then equation is x2 - 4x - 1 = 0
১০৫.
When x3 - 3x2 + x + 2 is divided by polynomial g(x), then quotient and remainder are x - 2 and - 2x + 4, respectively, g(x) is:
  1. ক
    x2 - x + 1
  2. খ
    x2 + x + 1
  3. গ
    x2 + x - 1
  4. ঘ
    x2 - x - 1
ব্যাখ্যা
Question: When x3 - 3x2 + x + 2 is divided by polynomial g(x), then quotient and remainder are x - 2 and - 2x + 4, respectively, g(x) is:

Solution:
According to the division algorithm,
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

We have,
Dividend = x3 - 3x2 + x + 2,
Divisor = g(x),
Quotient = x - 2
and Remainder = -2x + 4

Put the given values in the below equation and simplify it, to get the value of g (x).

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
(x3 - 3x2 + x + 2) = g(x) × (x - 2) + (- 2x + 4)
⇒ (x3 - 3x2 + x + 2) - (- 2x + 4) = g(x) × (x - 2)
⇒ (x3 - 3x2 + x + 2x + 2 - 4) = g(x) × (x - 2)
⇒ (x3 - 3x2 + 3x - 2) = g(x) × (x - 2)
⇒ g(x) = (x3 - 3x2 + 3x - 2)/(x - 2)

Therefore, g(x) = x2 - x + 1
১০৬.
The quadratic equation 2x2 - √5x + 1 = 0 has-
  1. ক
    no real roots
  2. খ
    two distinct real roots
  3. গ
    two equal real roots
  4. ঘ
    more than 2 real roots
ব্যাখ্যা
Question: The quadratic equation 2x2 - √5x + 1 = 0 has-

Solution:
Given,
2x2 - √5x + 1 = 0Comparing with the standard form of a quadratic equation,
a = 2, b = - √5, c = 1

Now,
b2 - 4ac = (- √5)2 - 4(2)(1)
= 5 - 8
= - 3 < 0

Therefore, the given equation has no real roots.
১০৭.
If 8x - 3y = 24 and y = 0, then x = ?
  1. ক
    0
  2. খ
    3
  3. গ
    8
  4. ঘ
    - 3
ব্যাখ্যা

Question: If 8x - 3y = 24 and y = 0, then x = ?

Solution:
Here,
8x - 3y = 24  ............(1)
y = 0  .............(2)

Putting y = 0 into equation (1) we get,
⇒ 8x - (3 × 0) = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x  = 24/8
∴ x = 3

১০৮.
Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-
  1. ক
    x2 - 4x - 1 = 0
  2. খ
    x2 + 4x - 1 = 0
  3. গ
    x2 - 4x + 1 = 0
  4. ঘ
    x2 + 4x + 1 = 0
ব্যাখ্যা
Question: Quadratic equation corresponding to the roots 2 + √5 and 2 - √5 is-

Solution:
The quadratic equation is: x2 - (Sum of roots)x + Product of roots = 0

Let the roots of the equation be A and B.
A = 2 + √5 and B = 2 - √5

∴ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

∴ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = - 1

Then equation is
x2 - 4x - 1 = 0
১০৯.
Find the slope of the line perpendicular to the line y = - 2x + 5. 
  1. ক
    1/2
  2. খ
    2
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

Question: Find the slope of the line perpendicular to the line y = - 2x + 5.

Solution:
Given line: y = - 2x + 5
The slope of this line is m1 = - 2 [Comparing with y = mx + c]

We know,
If two lines are perpendicular, their slopes satisfy m1 × m2 = - 1
Let m2 be the slope of the perpendicular line. Then,

(- 2) × m2 = - 1
⇒ m2 = (- 1)/(-2)
⇒ m2 = 1/2

So, the slope of the line perpendicular to the given line is 1/2.

১১০.
Find the equation of the vertical line passing through the point (5, - 3).
  1. ক
    y = - 3
  2. খ
    x = - 3
  3. গ
    y = 5
  4. ঘ
    x = 5
ব্যাখ্যা

Question: Find the equation of the vertical line passing through the point (5, - 3).

Solution:
একটি উল্লম্ব রেখা (vertical line) হলো এমন একটি সরলরেখা যা Y-অক্ষের সমান্তরাল। এই ধরনের রেখার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো, এই রেখার উপর অবস্থিত প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক (x-coordinate) একই থাকে, কিন্তু y-স্থানাঙ্ক (y-coordinate) পরিবর্তিত হতে পারে।

উল্লম্ব রেখার (vertical line) সাধারণ সমীকরণ হলো: x = a 
যেখানে a একটি ধ্রুবক সংখ্যা এবং রেখার প্রতিটি বিন্দুর x এর মান একই থাকে।

প্রশ্নে বলা হয়েছে রেখাটি (5, - 3) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।
যেহেতু, আমরা জানি, একটি উল্লম্ব রেখার প্রতিটি বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক একই থাকে, এবং এই বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক হলো 5, সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ হবে:
x = 5

১১১.
The equation 12x2 + 4kx + 3 = 0 has real and equal roots, if-
  1. ক
    k = ± 3
  2. খ
    k = ± 9
  3. গ
    k = 4
  4. ঘ
    k = ± 2
ব্যাখ্যা
Question: The equation 12x2 + 4kx + 3 = 0 has real and equal roots, if-

Solution:
Here a = 12, b = 4k, c = 3
Since the given equation has real and equal roots
∴ b2 - 4ac = 0
⇒ (4k)2 - 4 × 12 × 3 = 0
⇒ 16k2 - 144 = 0
⇒ 16k2 = 144
⇒ k2 = 9
⇒ k = ± 3
১১২.
  1. ক
    -1
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    None of these
ব্যাখ্যা

Question:

Solution: