ধারা

ধারাটির যোগফল
= 1/6 × n(n + 1)(2n + 1)
= (1/6) × 50 (50 + 1)(2 × 50 +1)
= (1/6) × 50 × 51 × 101
= 42925

1 + (-1/2)ⁿ সাধারণ পদটিতে,
n = 1 হলে, প্রথম পদটি = 1/2
n = 2 হলে, প্রথম পদটি = 5/4
n = 3 হলে, প্রথম পদটি = 7/8
n = 4 হলে, প্রথম পদটি = 17/16
-------------------------------
-------------------------------
অনুক্রমটি ঃ 1/2, 5/4, 7/8, 17/16, -------------------- 

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ২৭ 
এটি একটি সমান্তর ধারা, 
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১ 
ধারাটির শেষ পদ = ২৭ 

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২ 
= (২৭ + ১)/২ 
= ২৮/২ 
= ১৪

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত r = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 508
বা, 4 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 508
বা, 4(2ⁿ - 1) = 508
বা, 2ⁿ-1 = 127
বা, 2ⁿ = 128 = 2⁷
∴ n = 7

প্রশ্ন: (1/√2) - 1 + √2 - .........ধারাটির কত তম পদ 8√2?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1/(√2)
সাধারণ অনুপাত, r = (-1)/(1/√2) = (- √2)

মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 8√2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2)(-√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (-√2)^{n - 1} = (8√2 × √2)
⇒ (-√2)^{n - 1} = 8 × 2
⇒ (-√2)^{n - 1} = 16
⇒ (-√2)^{n - 1} = (-√2)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9

7 তম পদ = a + 6 × 10
⇒ 62 = a + 60
⇒ a = 2
16 তম পদ = 2 + 15 × 10 = 152

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +......+ 25 = কত?

সমাধান:
n তম সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

এখানে,
n = 25

তাহলে,
25 তম সংখ্যার যোগফল = 25(25 + 1)/2
= (25​ × 26)/2
= (25 × 13)
= 325

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ......... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 6

∴ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ) / (1 - r)
= 2 {1 - (- 2)⁶} / {1 - (- 2)} 
= {2 × (1 - 64)} / 3 
= {2 × (- 63)} / 3 
= - 42

a = 256,
r = 128/ 256
= 1/2
∴ দশম পদ = ar⁹
= 256 × (1/2)⁹
= 256/512
= 1/2

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 +…............  প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = -2,
পদসংখ্যা n = 6

S_n = a × [1 - (r)ⁿ/ 1 - r]
S₆ = 3 × [1 - (- 2)⁶ / 1 - (-2)]
= 3 × [1 - 64 / 3]
= 3 × [-63/3]
= 3 × (- 21)
= - 63

∴6টি পদের সমষ্টি - 63

সাধারণ অন্তর, d = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(2n - 1 - 3)/2} + 1
= n - 2 + 1
= n - 1

a = ৫,
d = ৪
∴ n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ৮১ = ৫ + (n - ১)৪
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, (n - ১) = ১৯
∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২০/২ × {২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: ২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ = ৩^৫ = ৩৪৩
দ্বিতীয় পদ = ৩^৪ = ৮১
তৃতীয় পদ = ৩^৩ = ২৭
চতুর্থ পদ = ৩^২ = ৯
পঞ্চম পদ = ৩^১ = ৩
ষষ্ঠ পদ = ৩^০ = ১

∴ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি = ২৭ ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
• একটি সমান্তর ধারা হলো এমন একটি ধারা, যেখানে যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (d) সর্বদা সমান থাকে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

• প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (গ) 4 + 7 + 10 + 13 + ... ধারাটির প্রতিটি পদের মধ্যে অন্তর সমান।
এখানে, সাধারণ অন্তর, d = 7 - 4 = 3
আবার, d = 10 - 7 = 3 এবং 13 - 10 = 3।
যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর একই (3), তাই এটি একটি সমান্তর ধারা।

• অন্যান্য অপশনসমূহ:
(ক) 2 + 5 + 9 + 17 + ... ধারাটিতে সাধারণ অন্তর সমান নয়, তাই এটি সমান্তর ধারা নয়।
(খ) (1/3) + (1/9) + (1/27) +.... ধারাটিতে সাধারণ অনুপাত (1/3) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

a = 12,
r = 24/12 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 768 = 12.2^n-1
বা, 2^n-1 = 64 = 2⁶
বা, n - 1 = 6
∴ n = 7
∴ সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 12 × 127
= 1524

a = 2, r = 1/2, n = 8
∴ সমষ্টি = a.{(1 - r⁸)/(1 - r)
= 2.{(1 - (1/2)⁸}/(1 - 1/2)
= 2.{1 - (1/256)}/(1/2)
= 2 × 2 × (255/256)
= 255/64

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2 
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1 

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r) 
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)} 
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1) 
= 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি  1771.

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1
= 0.1 [0.1 < 1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 0.1/(1 - 0.1) 
= 0.1/0.9
= 1/9

প্রশ্ন: ১৫ + ১৮ + ২১ + ২৪ +..............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৮ - ১৫) = ৩
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৩
= ১৫ + (২৪ × ৩)
= ১৫ + ৭২
= ৮৭

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = ৮৭

প্রশ্ন: 12 + 9 + 6 + ... ধারাটির 30 তম পদটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা, কারণ প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের থেকে 3 করে কমছে।
প্রথম পদ, a = 12,
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 12 = - 3

n তম পদের সূত্র, a_n = a + (n - 1) d

এখন 30 তম পদের জন্য, a₃₀ = 12 + (30 - 1)(- 3)
= 12 + 29(- 3)
= 12 - 87
= - 75

∴ 30 তম পদটি - 75

প্রশ্ন: 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো:
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 0.1/1 = 0.1

যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

আমরা জানি,
অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
⇒ S_∞ = 1/(1 - 0.1)
⇒ S_∞ = 1/0.9
⇒ S_∞ = 1/(9/10)
⇒ S_∞ = 10/9

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি =

a = ১,
r = ২/১ = ২,
n তম পদ = ar^n-১
বা, ১২৮ = ১ × r^n-১
বা, r^n-১ = ২^৭
বা, ২^n-১ = ২^৭
বা, n - ১ = ৭
∴ n = ৮

প্রশ্ন: ২ + ৭ + ১২ + ১৭ + ............ + ১৪৭ ধারায় কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৭ - ২ = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৭

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৭ = ২ + (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৭ - ২ = (n - ১) × ৫
⇒ ১৪৫ = (n - ১) × ৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে ৩০টি পদ আছে।

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি পদ ৫ ও ১৭ হলে, সাধারণ অন্তর = ১৭-৫ = ১২।
সুতরাং তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর
= ১৭+১২
= ২৯

প্রশ্ন: ১, ৮, ২৭, ৬৪, _______, ২১৬, এই ধারার শূন্যস্থানের লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ........., ২১৬ 
১^৩ = ১
২^৩ = ৮
৩^৩ = ২৭
৪^৩ = ৬৪
৫^৩ = ১২৫
৬^৩ = ২১৬
∴ লুপ্ত সংখ্যাটি হচ্ছে = ১২৫

∴ ধারাটি হচ্ছে ১, ৮, ২৭, ৬৪, ১২৫, ২১৬  ।