ধারা

PrepBank · পাতা ২০ / ২৮ · ১,৯০১–২,০০০ / ২,৭১৮

১,৯০১.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম এবং ২য় পদ যথাক্রমে 64 এবং 16 হলে ধারাটির 10 পদ কত ?

ক
1/4096
খ
1/4000
গ
1/4050
ঘ
1/5000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম এবং ২য় পদ যথাক্রমে 64 এবং 16 হলে ধারাটির 10 পদ কত ?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত,r
= 16/64
= 1/4

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ,
= ar^{n - 1}
= 64 × (1/4)^{10 - 1}
= 4³ × 1/4⁹
= 43 × 1/(4³ × 4⁶)
= 1/4⁶
= 1/4096

১,৯০২.

1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?

ক
28
খ
32
গ
36
ঘ
40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 6, 10, ..... অনুক্রমটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
অনুক্রমটির,
১ম পদ = 1
২য় পদ = 1 + 2 = 3
৩য় পদ = 3 + 3 = 6
৪র্থ পদ = 6 + 4 = 10
৫ম পদ = 10 + 5 = 15
৬ষ্ঠ পদ = 15 + 6 = 21
৭ম পদ = 21 + 7 = 28
৮ম পদ = 28 + 8 = 36

১,৯০৩.

1² + 2² + 3² + 4² + ........... + 40² = কত?

ক
ক) 22240
খ
খ) 22140
গ
গ) 22340
ঘ
ঘ) 22440

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
1² + 2² + 3² + 4² + ........... + n² = (1/6){n(n+1)(2n + 1)}

1²+ 2²+ 3²+ 4²+ ........... + 40²= (1/6){40(40+1)(2×40 + 1)}
= (40×41×81)/6
= 22140

১,৯০৪.

7 + 10 + 13 + ....... ধারাটির কোন পদ 295 হবে?

ক
89 তম
খ
92 তম
গ
95 তম
ঘ
97 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + ....... ধারাটির কোন পদ 295 হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7 = 3

ধরি, r-তম পদ = 295

তাহলে,
a + (r - 1) d = 295
⇒ 7 + (r - 1)3 = 295
⇒ 7 + 3r - 3 = 295
⇒ 3r = 291
⇒ r = 97

অতএব, ধারাটির 97 তম পদ 295 হবে।

১,৯০৫.

1² + 2² + 3² + ..... + 15² = কত?

ক
1080
খ
1125
গ
1240
ঘ
1356

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 15² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {15(15 + 1)(2 · 15 + 1)}/6
= (15 · 16 · 31)/6
= 7440/6
= 1240

১,৯০৬.

ক
2
খ
3
গ
3/2
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (2/3)/2 = 1/3

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 2/{1 - (1/3)}
= 2/{(3 - 1)/3}
= 2/(2/3)
= 2 × (3/2)
= 3

১,৯০৭.

একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?

ক
৫২০০ টাকা
খ
৪৮০০ টাকা
গ
৫০০০ টাকা
ঘ
৪২০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের সদস্য প্রথম মাসে ৩০০ টাকা চাঁদা দেন এবং প্রতি মাসে ৪০ টাকা বেশি দেন। প্রথম ১০ মাসে মোট কত টাকা চাঁদা দিবে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
যার, প্রথম পদ, a = ৩০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৪০ টাকা

প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা পরিমাণ,

আমরা জানি,
প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১০ = ১০/২ × [২ × ৩০০ + (১০ - ১) × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৯ × ৪০]
= ৫ × [৬০০ + ৩৬০]
= ৫ × ৯৬০
= ৪৮০০ টাকা

সুতরাং, প্রথম ১০ মাসে মোট চাঁদা দিবে ৪৮০০ টাকা।

১,৯০৮.

একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি 24 এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
16
খ
10
গ
12
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি 24 এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল 100 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a

দেওয়া আছে,
৫ম পদ = 24
∴ a + (5 - 1)d = 24
⇒ a + 4d = 24 .............. (1)

এখন,
৫টি পদের যোগফল = 100
⇒ (5/2){2a + (5 - 1)d} = 100
⇒ (5/2){2a + 4d} = 100
⇒ 2a + 4d = 40 ............... (2)

এখন,
(2) নং – (1) × 2 নং হতে পাই,
2a + 4d − 2(a + 4d) = 40 − 24 × 2
বা, 2a + 4d - 2a - 8d = 40 - 48
বা, 4d - 8d = - 8
বা, - 4d = - 8
বা, d = - 8/- 4
∴ d = 2

এখন d = 2 (1) নং সমীকরণে বসাই,
a + 4 × 2 = 24
⇒ a + 8 = 24
⇒ a = 24 - 8
⇒ a = 16

∴ প্রথম পদ = 16 ।

১,৯০৯.

1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 12তম পদ কত?

ক
41
খ
37
গ
45
ঘ
49

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 12তম পদ কত?

সমাধান:
২য় পদ - ১ম পদ = 5 - 1 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 9 - 5 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (12 - 1)× 4
= 1 + 11 × 4
= 1 + 44
= 45

১,৯১০.

3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101 = ?

ক
ক) 5148
খ
খ) 5149
গ
গ) 5150
ঘ
ঘ) 5151

ব্যাখ্যা

ধারাটি = 3 + 4 + 5 + 6 + ......+ 101
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..... + 101 - (1 + 2)
= [{101 × (101 + 1)}/2] - 3
= 101 × 51 - 3
= 5148

১,৯১১.

কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 17টি পদের সমষ্টি কত?

ক
336
খ
316
গ
326
ঘ
306

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 17টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)
প্রথম 17টি পদের সমষ্টি = 17(17 + 1)
= 18 × 17
= 306

১,৯১২.

৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + ..... ধারাটির কোন পদ ৩০২?

ক
১০০তম পদ
খ
১০১তম পদ
গ
১০২তম পদ
ঘ
১০৩তম পদ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে,
৫ + (n - ১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

১,৯১৩.

একটি সমান্তর ধারার সপ্তম পদ ৫২ সাধারণ অন্তর ৮ হলে ২১-তম পদ কত?

ক
ক) ১৬৪
খ
খ) ১৬০
গ
গ) ১৮০
ঘ
ঘ) ১৮৪

ব্যাখ্যা

১ম পদ a,
সাধারণ অন্তর d = ৮,

৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৫২
বা, a + ৬ × ৮ = ৫২
বা, a = ৫২ - ৪৮ = ৪

∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ৪ + ২০ × ৮
= ৪ + ১৬০
= ১৬৪

১,৯১৪.

6 + 9 + 12 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ 300?

ক
99 তম পদ
খ
100 তম পদ
গ
101 তম পদ
ঘ
97 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 9 + 12 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ 300?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 6,
সাধারণ অন্তর d = 9 - 6 = 3
ধরি,
n তম পদ = 300

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 6 + (n - 1) 3 = 300
বা, 3n - 3 = 294
বা, 3n = 297
বা, n = 99

∴ ধারাটির 99 তম পদ 300 হবে।

১,৯১৫.

15 + 30 + 60 + ........................ ধারাটির অষ্টম পদ?

ক
2025
খ
1925
গ
1920
ঘ
2520

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 15 + 30 + 60 + ........................ ধারাটির অষ্টম পদ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a = 15
সাধারণ অনুপাত, r = 30/15 =2
আমরা জানি ,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r ^{n - 1}
গুণোত্তর ধারার অষ্টম পদ =15 × 2 ^{8 - 1}
= 15 × 2⁷
= 15 × 128
= 1920

১,৯১৬.

1/√2 + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
৯ম পদ
খ
১০ম পদ
গ
১১শ পদ
ঘ
১২শ পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√2 + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা। কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 1/(1/√2) = √2
১ম পদ a = 1/√2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 2³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)^{6 + 1}
⇒ n - 2 = 7
∴ n = 9

১,৯১৭.

1²+ 2²+ 3²+....... + x² এর মান কত?

ক
x
খ
{x(x + 1)(2x + 1)}/6
গ
x^{1 + 4}
ঘ
xⁿ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1²+ 2²+ 3²+....... + x² এর মান কত?

সমাধান:
1²+ 2²+ 3²+....... + x² = {x(x + 1)(2x + 1)}/6

[বর্গরাশির জোড় সংখ্যা ও বিজোড় সংখ্যার ধারার যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6]

১,৯১৮.

৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ....... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত?

ক
১/২
খ
২
গ
১
ঘ
১/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ....... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = ৬৪
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = ৩২/৬৪
= ১/২

আমরা জানি,
ধারাটির n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{৮ - 1}
= ৬৪ × (১/২)^{৮ - ১}
= ৬৪ × (১/২)^৭
= ৬৪ × (১/১২৮)
= ১/২

১,৯১৯.

কোন ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে ধারাটি নির্ণয় করুন।

ক
1 + 3 + 5 +……
খ
1.2 + 2.2 + 3.2 +……
গ
1 + 2 + 3 +……
ঘ
2 + 4 + 6 +…..

ব্যাখ্যা

n = 1 হলে, ধারাটির ১ম পদ (a) /১ম পদের সমষ্টি (s) = 1(1 + 1) = 2

n = 2 হলে, ধারাটির ১ম দুটি পদের সমষ্টি (s) = 2(2 + 1) = 6
∴ ধারাটির ২য় পদ = 6 – 2 = 4

n = 3 হলে, ধারাটির ১ম তিনটি পদের সমষ্টি = 3(3 + 1) = 12
∴ ধারাটির ৩য় পদ = 12 – (2 + 4) = 6

তাহলে, ধারাটি 2 + 4 + 6 +………………………

১,৯২০.

৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

ক
৩৭
খ
৪৩
গ
৪৭
ঘ
৫১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

১,৯২১.

1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ................. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 2
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ................. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = (1/2)/1
= 1/2
অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 1/{1 - (1/2)}
= 1/{(2 - 1)/2}
= 1/(1/2)
= 1 × 2/1
= 2

১,৯২২.

৯, ২৫, ৪৯, ৮১, …. পরবর্তী সংখ্যা কত?

ক
ক) ১০০
খ
খ) ১২১
গ
গ) ১৪৪
ঘ
ঘ) ১৬৯

ব্যাখ্যা

ধারাটি ৩^২, ৫^২, ৭^২, ৯^২, ১১^২, ....
∴ পরবর্তী সংখ্যা ১২১

১,৯২৩.

একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 20 এবং প্রথম ৬টি পদের যোগফল 90 হয়, তাহলে প্রথম পদটি কত?

ক
10
খ
8
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 20 এবং প্রথম ৬টি পদের যোগফল 90 হয়, তাহলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

প্রশ্নমতে,
a + (6 - 1)d = 20
⇒ a + 5d = 20 .........(1)

এবং
(6/2){2a + (6 - 1)d} = 90
⇒ 2a + 5d = 30 .......(2)

এখন সমীকরণ (2) - (1) করে পাই,
(2a + 5d) - (a + 5d) = 30 - 20
⇒ 2a + 5d - a - 5d = 10
∴ a = 10

∴ সমান্তর অনুক্রমের প্রথম পদটি 10

১,৯২৪.

কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n²+1) হলে, ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 320
খ
খ) 330
গ
গ) 350
ঘ
ঘ) 360

ব্যাখ্যা

কোনাে ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n²+1) হলে, ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি
= 7(7² + 1)
= 7(49 + 1)
= 7 × 50
= 350

১,৯২৫.

2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

ক
23
খ
24
গ
25
ঘ
26

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 6, 10, 14,.....অনুক্রমটির কত তম পদ 102 হবে?

সমাধান:
ধারাটি হলো: 2, 6, 10, 14, …
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
a_n = a + (n - 1)d
⇒ 102 = 2 + (n - 1) × 4
⇒ 102 - 2 = 4(n - 1)
⇒ 100 = 4n - 4
⇒ 4n = 104
⇒ n = 104/4
∴ n = 26

১,৯২৬.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?

ক
105
খ
92
গ
87
ঘ
112

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 5 এবং চতুর্থ পদ 32 হলে 15 তম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি, কোনো সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d
সুতরাং, 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d
বা, 32 = a + 3 × 5
বা, 32 = a + 15
বা, a = 32 - 15
∴ a = 17

এখন,15তম পদ = a + (15 - 1)d
= 17 + 14 × 5
= 17 + 70
= 87

সুতরাং, ধারাটির 15তম পদ হলো 87.

১,৯২৭.

1 + 2 + 4 +..... ধারাটির কততম পদের মান = 256

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = 1,
সাধারণ অনুপাত (r) = 2/1 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1,
বা, 256 = 1.2^n-1বা, 2⁸ = 2^n-1
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

১,৯২৮.

৮ + ১০ + ১২ +......... + ৫২ =?

ক
৬৯০
খ
৭৫০
গ
৭৮৮
ঘ
৮২০
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ + ১০ + ১২ +......... + ৫২ =?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা
যার ১ম পদ = ৮
শেষ পদ = ৫২
এবং সাধারণ অন্তর = ২

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৫২ - ৮)/২} + ১
= (৪৪/২) + ১
= ২২ + ১
= ২৩

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(৫২ + ৮)/২} × ২৩
= (৬০/২) × ২৩
= ৩০ × ২৩
= ৬৯০

∴ ধারাটির সমষ্টি ৬৯০

১,৯২৯.

3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির কোন পদ 263?

ক
66 তম
খ
67 তম
গ
68 তম
ঘ
69 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির কোন পদ 263?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
ধারাটির n তম পদ = 263

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d.
a + (n - 1)d = 263
বা, 3 + (n - 1)4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3
বা, 4(n - 1) = 260
বা, n - 1= 260/4
বা, n - 1 = 65
বা, n = 65 + 1
∴ n = 66

ধারাটির 66 তম পদ = 263

১,৯৩০.

১০+১১+১২+১৩+………………+১০০ পর্যন্ত পদ গুলোর যোগফল কত?

ক
ক) ৫০৫০
খ
খ) ৪৯৫০
গ
গ) ২৪৫০
ঘ
ঘ) ৫০০৫

ব্যাখ্যা

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (১০০+১০)/২ x ((১০০-১০)/১) +১
= ৫৫ x ৯১
= ৫০০৫

১,৯৩১.

কোন গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 8 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

ক
4096
খ
32768
গ
262144
ঘ
10240

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 8 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ ar² = 8

প্রথম পাঁচ পদের সমষ্টি S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 8⁵
= 32768

১,৯৩২.

ক
ক) ৫
খ
খ) ১১/৩
গ
গ) ৭
ঘ
ঘ) ১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
১^২ + ২^২ + ৩^২ +...... + n^২ = n(n + 1)(2n + 1)/6

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ +...... + ১০^২ = ১০(১০ + ১)(২০ + ১)/৬
= (১০ × ১১ × ২১)/৬
= ৩৮৫

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ = ৫ (৫ + ১)(১০ + ১)/৬
= ৫৫

∴ (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ +...... + ১০^২)/(১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২)
= ৩৮৫/৫৫
= ৭

১,৯৩৩.

প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

ক
10200
খ
12400
গ
13400
ঘ
14400

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 15 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= (240/2)²
= (120)²
= 14400

১,৯৩৪.

কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1458
খ
খ) 1500
গ
গ) 1448
ঘ
ঘ) 1520

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

১,৯৩৫.

একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 25 এবং ষষ্ঠ পদ 1/25 হলে, ধারাটির ১ম পদ কত?

ক
25
খ
135
গ
125
ঘ
625

ব্যাখ্যা

ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r

∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
r⁴ = (1/25)/25
r⁴ =1/25 × 25
r⁴ = (1/5)⁴
r = 1/5

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5
ar = 25
a/5 = 25
a = 25 × 5 = 125

১,৯৩৬.

30 + 33 + 36 + 39 + 42 + .................. ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
378
খ
435
গ
495
ঘ
405

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + .................. ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
33 - 30 = 3
36 - 33 = 3
39 - 36 = 3
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 30
পদসংখ্যা, n = 10
সাধারণ অন্তর, d = 3

∴ ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (10/2){2 × 30 + (10 - 1)3}
= 5(60 + 27)
= 5 × 87
= 435

১,৯৩৭.

একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

ক
5n + 3
খ
5 × 3ⁿ
গ
5n
ঘ
2 + 3n

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 5 + (n - 1)3
= 5 + 3n - 3
= 2 + 3n

১,৯৩৮.

৩ + ৫ + ৭ + ............ + ৮১ ধারটির পদসংখ্যা কয়টি?

ক
৪০টি
খ
৪১টি
গ
৩৯টি
ঘ
৪২টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ + ৫ + ৭ + ............ + ৮১ ধারটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারন অন্তর, d = 5 - 3 = 2
ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 81

∴ a + (n - 1)d = 81
বা, 3 + (n - 1)2 = 81
বা, (n - 1)2 = 78
বা, (n - 1) = 39
∴ n = 40

১,৯৩৯.

1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

ক
63
খ
255
গ
127
ঘ
511

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির-
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁸ - 1)/2 - 1
= (256 - 1)/1
= 255

∴ 8টি পদের সমষ্টি = 255 ।

১,৯৪০.

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫…… পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৩১৮
খ
খ) ৩২২
গ
গ) ৩২৪
ঘ
ঘ) ৩২৬

ব্যাখ্যা

৩৬, ৮১, ১৪৪, ২২৫.....
= ৬^২, ৯^২, ১২^২, ১৫^২
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি = (১৮)^২
= ৩২৪

১,৯৪১.

5 + 15 + 45 + 135 + ...... এই ধারাটির কততম পদের মান 1215?

ক
8
খ
7
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + 135 + ...... এই ধারাটির কততম পদের মান 1215?

সমাধান:
প্রশ্নে প্রদত্ত ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 1215
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

অতএব, ধারাটির 6 তম পদের মান 1215.

১,৯৪২.

1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 +........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
2
খ
4
গ
5
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1
= (5/10)/1
= (1/2)/1
= 1/2
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5)
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

১,৯৪৩.

পাঁচটি পদের একটি সমান্তর ধারার পঞ্চম পদটি হল ১০। তাদের যোগফল ৩০ হলে, প্রথম পদটি কত?

ক
ক) ২
খ
খ) ৪
গ
গ) ৬
ঘ
ঘ) -২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পাঁচটি পদের একটি সমান্তর ধারার পঞ্চম পদটি হল ১০। তাদের যোগফল ৩০ হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
৫ম পদটি হল ৬
a + (5 - 1) d = 10
⇒ a + 4d = 10

তাদের যোগফল ৩০

(5/2) (2a + (5 - 1) ×d ) = 30
⇒ 2a + 4d = 12
⇒ a + a + 4d = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 2

১,৯৪৪.

কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
- 1
খ
m/n
গ
2
ঘ
n/m

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার mতম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
m তম পদ = a + (m - 1)d
⇒ n = a + md - d
∴ a + md - d = n .......................(1)

আবার,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ m = a + nd - d
∴ a + nd - d = m...................(2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই
⇒ a + md - d - (a + nd - d)= n - m
⇒ a + md - d - a - nd + d = n - m
⇒ md - nd = n - m
⇒ d(m - n) = n - m
⇒ d = - 1(m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

সুতরাং, সাধারণ অন্তর - 1

১,৯৪৫.

২৫৬ + ১২৮ + ৬৪ + ...... ধারাটির কোন পদ ১/২ হবে?

ক
৯তম পদ
খ
১০তম পদ
গ
৮তম পদ
ঘ
১১তম পদ

ব্যাখ্যা

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ১২৮/২৫৬ = ১/২
প্রথম পদ, a = ২৫৬ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে,
ar^(n-১) = ১/২
বা, ২৫৬ × (১/২)^{(n - ১)} = ১/২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/(২৫৬ × ২)
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/৫১২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = (১/২)^৯
বা, n - ১ = ৯
বা, n = ৯ + ১
বা, n = ১০

১,৯৪৬.

1 + 2 + 3 + 4 + ......... + 33 = কত?

ক
456
খ
488
গ
561
ঘ
590

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + 33 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {n(n + 1)}/2
অর্থাৎ 1 + 2 + 3 + .................. + n = {n(n + 1)}/2
⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 33 = {33(33 + 1)}/2
= (33 × 34)/2
= 561

১,৯৪৭.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে 2য় পদটি 40 এবং ৪র্থ পদটি 160 হলে ১ম পদটি কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 20
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 40

ব্যাখ্যা

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
সমীকরণ (2) কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

১,৯৪৮.

৯ + ১৪ + ১৯ +..................ধারাটির প্রথম ২০ টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১১৫০
খ
১১৩০
গ
১০৮০
ঘ
১০২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯ + ১৪ + ১৯ +..................ধারাটির প্রথম ২০ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 9 = 5

এখানে পদ সংখ্যা n = 20

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
⇒ S₂₀ = (20/2){(2 × 9) + (20 - 1)5}
= 10{18 + (19 × 5)}
= 10(18 + 95)
= 10 × 113
= 1130

১,৯৪৯.

১ থেকে ৫০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ২৪
খ
খ) ২৪.৫
গ
গ) ২৫
ঘ
ঘ) ২৫.৫

ব্যাখ্যা

এখানে ধারাটির পদগুলো ১, ৩, ৫, ৭, ......... ৪৯। এটি একটি সমান্তর ধারা।
সুতরাং ধারাটির নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (৪৯+১)/২
= ৫০/২
= ২৫

১,৯৫০.

5 - 5 + 5 - 5 +........ ধারাটির 2n + 5 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত ?

ক
1
খ
0
গ
5
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 5 - 5 + 5 - 5 +........ ধারাটির 2n + 5 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান :
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত r = -5/5
= -1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারা n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ গুণোত্তর ধারা (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 5{1 - (-1)^{2n + 5}}/{1 - (-1)}
= 5{1 -(-1)}/(1 + 1) [যেহেতু 2n সর্বদা জোড়, তাহলে (2n + 5) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং (-1)^{2n + 5} = -1 হবে।]
= (5 × 2)/2
= 5

১,৯৫১.

শুন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে? ২১৩, ১৮০, ১৪৬, ১১১ ___

ক
ক) ৭৪
খ
খ) ৭৫
গ
গ) ৮১
ঘ
ঘ) ৮৩

ব্যাখ্যা

২১৩ - ৩৩ = ১৮০
১৮০ - ৩৪ = ১৪৬
১৪৬ - ৩৫ = ১১১
১১১ - ৩৬ = ৭৫

১,৯৫২.

72 + 36 + 18 + 9 + ....... ধারাটির ৮ম তম পদ কত ?

ক
16/9
খ
3/4
গ
9/16
ঘ
16/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 72 + 36 + 18 + 9 + ....... ধারাটির ৮ম তম পদ কত ?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ , a = 72
সাধারণ অনুপাত , r = 36/72 = 1/2
আমরা জানি ,

n তম পদ = ar^{n - 1}
৮ম তম পদ = 72 × (1/2)^{8 - 1}
= 72 × (1/2)⁷
= 72 × 1/128
= 72/128
∴ 9/16

১,৯৫৩.

একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ -3 এবং চতুর্থ পদ -3/16 হলে, ১ম পদটি কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 48
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) -48

ব্যাখ্যা

১ম পদ a, এবং সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ ar = -3 .... (1)
৪র্থ পদ ar³ = - 3/16 .... (2)
∴ (2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
ar³/ar = (-3/16)/(-3/1)
বা, r²= (-3/16) × {-(1/3)}
বা, r² = 1/16
∴ r = ±(1/4)

(1)নং থেকে পাই,
a(±1/4) = -3
∴ a = ±12

১,৯৫৪.

6 + 12 + 24 + .................. ধারারটির কোন পদ 384?

ক
ক) 6
খ
খ) 7
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 12 + 24 + .................. ধারারটির কোন পদ 384?
সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = 6
সাধারণ অনুপাত r = 12/6 = 2

ধরি,
n তম পদ = 384
ar^{n -1}= 384
বা, 6 × 2^{n -1} = 384
বা, 2^{n - 1} = 384/6
বা, 2^{n - 1} = 64
বা, 2^{n - 1} = 2⁶
বা, n - 1 = 6
বা, n = 6 + 1
n = 7

১,৯৫৫.

1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

ক
5485
খ
5518
গ
5525
ঘ
5610

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

১,৯৫৬.

1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144 = কত?

ক
1950
খ
650
গ
6084
ঘ
1300

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144 = কত?

সমাধান:
1 + 4 + 9 + 16 + ..................... + 144
1² + 2²+ 3² + 4² + ...............+ 12²

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6

∴ 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {12(12 + 1)(2 × 12 + 1)}/6
= {12 × 13 × 25}/6
= 3900/6
= 650

১,৯৫৭.

3, 7, 15, ?, 63,............. ধারাটির প্রশ্নবোধক (?) স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

ক
24
খ
31
গ
34
ঘ
38

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 7, 15, ?, 63,............. ধারাটির প্রশ্নবোধক (?) স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?

সমাধান:
সিরিজের প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী সংখ্যার দ্বিগুণের চেয়ে 1 বেশি।

১ম সংখ্যা = 3
২য় সংখ্যা = (3 × 2) + 1 = 7
৩য় সংখ্যা = (7 × 2) + 1 = 15
৪র্থ সংখ্যা = (15 × 2) + 1 = 31
৫ম সংখ্যা = (31 × 2) + 1 = 63

১,৯৫৮.

4, -8, 16, -32, 64, (...)

ক
ক) 128
খ
খ) -128
গ
গ) 192
ঘ
ঘ) -192
ঙ
ঙ) 156

ব্যাখ্যা

Each number is the preceding number multiplied by -2. So, the required number is -128.

১,৯৫৯.

1 + 2 + 3 + ..... + 38 = কত?

ক
536
খ
741
গ
896
ঘ
1024

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

১,৯৬০.

১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = কত?

ক
ক) ৩১৭৫
খ
খ) ৩০৭৫
গ
গ) ৩০২৫
ঘ
ঘ) ২৯৭৫

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1)/2}^২
সুতরাং, ১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ......... + ১০^৩ = {১০(১০+১)/২}^৩
= (৫×১১)^২
= ৩০২৫

১,৯৬১.

3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

ক
n(n + 3)
খ
n(2n + 1)
গ
n(3n + 1)/2
ঘ
n(2n - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n = (n/2) [2a + (n - 1)d]
⇒ S_n = (n/2) [2 × 3 + (n - 1)4]
⇒ S_n = (n/2) [6 + 4n - 4]
⇒ S_n = (n/2) [4n + 2]
⇒ S_n = (n/2) × 2(2n + 1)
∴ S_n = n(2n + 1)

সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n(2n + 1)

১,৯৬২.

একটি ধারার n + 1তম পদ (n + 1)2ⁿ হলে, ধারাটির ১ম চারটি পদের সমষ্টি কত?

ক
45
খ
47
গ
49
ঘ
51

ব্যাখ্যা

n + 1 তম পদ = (n + 1)2ⁿ
∴ n = 0, 1, 2, 3
১ম পদ = 1.2⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = (1 + 1)2¹ = 2.2 = 4
৩য় পদ = (2 + 1)2² = 3.4 = 12
৪র্থ পদ = (3 + 1)2³ = 4.8 = 32
∴ সমষ্টি = 1 + 4 + 12 + 32 = 49

১,৯৬৩.

শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে? ২১২ ১৭৯ ১৪৬ ১১৩ _____

ক
ক) ১৩
খ
খ) ৪৩
গ
গ) ৩৩
ঘ
ঘ) ৮০

ব্যাখ্যা

212 - 179 = 33
179 - 146 = 33
146 - 113 = 33
ধারাটির অন্তর = 33
তাই শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে = 113 - 33 = 80

১,৯৬৪.

{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)²} + {1/(2x + 1)³} + .................. একটি গুণোত্তর ধারা। x = 1 হলে, ধারটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)²} + {1/(2x + 1)³} + .................. একটি গুণোত্তর ধারা।
x = 1 হলে
{1/(2 × 1 + 1)} + {1/(2 × 1 + 1)²} + {1/(2 × 1 + 1)³} + ..................
1/3 + (1/3²) + (1/3³) +.....................

ধারাটির সাধারণ অনুপাত = (1/3²) /(1/3)
= (1/9) × (3/1)
= 1/3

১,৯৬৫.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 9 এবং সাধারণ অনুপাত 1/3 হলে ধারাটি কত?

ক
9 + 6 + 1 + 0 + …....
খ
9 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + .....
গ
9 + 3 + 2 + (1/6) + .....
ঘ
9 + 3 + 1 + (1/3) + .....

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 9 এবং সাধারণ অনুপাত 1/3 হলে ধারাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3

আমরা জানি,
a + ar + ar² + ar³ + .......
= 9 + 9 × (1/3) + 9 × (1/3)² + 9 × (1/3)³ + ....
= 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

∴ গুণোত্তর ধারা 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

১,৯৬৬.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

ক
90
খ
96
গ
112
ঘ
136

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10

∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1) × 10
বা, 42 = a + 40
বা, a = 42 - 40
∴ a = 2

∴ দ্বাদশ পদটি = a + (12 - 1) × 10
= 2 + (12 - 1) × 10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112

১,৯৬৭.

4 + 16 + x + 256............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

ক
128
খ
64
গ
32
ঘ
80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 16 + x + 256............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 16/4
= 4
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 4 × 4²
= 4 × 16
= 64

১,৯৬৮.

2 + 4 + 8 + 16 + ....... ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
64
খ
128
গ
256
ঘ
512

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ....... ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ, a = 2
অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1}
= 2 × 2⁷
= 2 × 128
= 256

১,৯৬৯.

0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
2/11
খ
3/31
গ
7/66
ঘ
3/11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 + ......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = (0.0018)/(0.18)
= 0.01

∴ সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= (0.18)/(0.99)
= 18/99
= 2/11

১,৯৭০.

1 + 3 + 5 + ............. + 81 = কত?

ক
1681
খ
1690
গ
1712
ঘ
1730

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + ............. + 81 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(81 - 1)/2} + 1
= 41

∴ সমষ্টি = {(শেষপদ + ১মপদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(81 + 1)/2} × 41
= 1681

১,৯৭১.

5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

ক
100
খ
101
গ
102
ঘ
99

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

সমাধান:
5 + 8 + 11 + 14 + ............................
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 302

n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 302 = 5 + (n - 1)3
⇒ 302 = 5 + 3n - 3
⇒ 3n + 2 = 302
⇒ 3n = 302 - 2
⇒ 3n = 300
⇒ n = 300/3
∴ n = 100

১,৯৭২.

1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
125/64
খ
256/65
গ
1/128
ঘ
255/128

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 8
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 যা 1 থেকে ছোট

∴ 8 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁸}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/256)}/{1 - (1/2)}
= {(256 - 1)/256}/{(2 - 1)/2}
= (255/256)/(1/2)
= (255/256) × (2/1)
= 255/128

১,৯৭৩.

29 + 25 + 21 + ............ ধারাটির কততম পদ - 23?

ক
ক) 12
খ
খ) 13
গ
গ) 14
ঘ
ঘ) 15

ব্যাখ্যা

এখানে
১ম পদ a = 29,
সাধারণ অন্তর d = 25 - 29 = - 4
ধরি
n তম পদ = - 23

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা,- 23 = 29 +(n - 1)×(- 4)
বা,- 23 = 29 - 4n + 4
বা, 4n = 33 + 23
বা 4n = 56
n = 14

১,৯৭৪.

২৯ + ২৫ + ২১ + ...... -২৩ = কত?

ক
৮০
খ
৭৪
গ
৫৬
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ, a = ২৯
সাধারন অন্তর, d = -৪
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ -২৩ = ২৯ + (n - 1)(-৪)
⇒ -৪n + ৪ = -২৩ -২৯
⇒ ৪n = ২৩ + ২৯ + ৪ = ৫৬
∴ n = ১৪
এখন, S_n= n/2{2a + (n - 1)d}
=১৪/২{২×২৯ + (১৪ - ১)(-৪)}
=৭(৫৮-৫২)
= ৪২

১,৯৭৫.

একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি 80 এবং অষ্টম পদটি 640 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি 80 এবং অষ্টম পদটি 640 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির ১ম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}

∴ পঞ্চম পদ = a × r^{5 - 1} = a × r⁴ = 80 .............(1)
অষ্টম পদ = a × r^{8 - 1} = a × r⁷ = 640 ............(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 640/80
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³⇒ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো 2

১,৯৭৬.

1² + 2² + 3² +...............+ n² এর মান কত?

ক
n(n + 1)/3
খ
n(n + 1)(2n + 1)/6
গ
n(n + 1)/2
ঘ
{n(n + 1)/2}²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +...............+ n² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1² + 2² + 3² +...............+ n² ধারাটির সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)/6

অন্যদিকে,
1³ + 2³ + 3³ +...............+ n³ ধারাটির সমষ্টি = {n (n + 1)/2}².

১,৯৭৭.

3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির 6তম পদ কত?

ক
90
খ
93
গ
96
ঘ
100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির 6তম পদ কত?

সমধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3
= 2

আমরা জানি
nতম পদ = ar^{n - 1}
6তম পদ = a × r ^{6 - 1}
= 3 × 2⁵
= 96

১,৯৭৮.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 6 এবং 6-তম পদটি 48 হলে, 12-তম পদ কত?

ক
142
খ
84
গ
38
ঘ
128

ব্যাখ্যা

১ম পদ a হলে,
6-তম পদটি = a + (6 - 1)6 = a + 30
(যেখানে সাধারণ অন্তর = 6)

6-তম পদটি 48 হলে, আমরা পাই,
a + 30 = 48
⇒ a = 48- 30
= 18

12-তম পদ
= 18 + (12 - 1)6
= 18 + 66
= 84

১,৯৭৯.

log2 + log4 + log8 + --- --- --- ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

ক
ক)2
খ
খ) 4
গ
গ) log2
ঘ
ঘ) 2log2

ব্যাখ্যা

ধারাটির সাধারণ অন্তর
= ২য় পদ - ১ম পদ
= log4 - log2
= log2² - log2
= 2log2 - log2
= log2

১,৯৮০.

1³ + 2³ + 3³ ........ + 12³ ধারাটির যোগফল কত?

ক
ক) 6048
খ
খ) 6480
গ
গ) 6084
ঘ
ঘ) 6840

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n+1) / 2}²
সুতরাং, ধারাটির যোগফল = {12(12 + 1) / 2}² = 6084

১,৯৮১.

প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

ক
৮৯
খ
৮১
গ
৯৫
ঘ
১০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = (১০)^২
= ১০০

১,৯৮২.

4, 2a + 2, 64 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

ক
6
খ
9
গ
5
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4, 2a + 2, 64 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 2)/4 = 64/(2a + 2)
⇒ (2a + 2)² = 256
⇒ 2a + 2 = 16
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

১,৯৮৩.

19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 3)?

ক
11 তম
খ
12 তম
গ
13 তম
ঘ
14 তম

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ (- 3)?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 19
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 19
= - 2

এখন,
n তম পদ = - 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 3 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 3 = 19 - 2n + 2
বা, - 3 = 21 - 2n
বা, - 3 - 21 = - 2n
বা, - 24 = - 2n
বা, 24 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, n = 24/2
∴ n = 12

∴ ধারাটির 12 তম পদ (- 3).

১,৯৮৪.

1 - 1+ 1 - 1 + 1 - 1 + ........... + n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
0
খ
(1/2){1 - (- 1)ⁿ}
গ
1
ঘ
n²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 - 1+ 1 - 1 + 1 - 1 + ........... + n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর r = - 1/1 = - 1
যেহেতু ,r < - 1 সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 1{1 - (-1)ⁿ}/(1 - r)
= (1/2){1 - (- 1)ⁿ}

১,৯৮৫.

১৩, ১৭, ২৫, ৪১, ৭৩ ........ ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৮৯
খ
খ) ১০১
গ
গ) ১৩৭
ঘ
ঘ) ১৪৫

ব্যাখ্যা

১৩ + ৪ = ১৭
১৭ + ৮ = ২৫
২৫ + ১৬ = ৪১
৪১ + ৩২ = ৭৩
৭৩ + ৬৪ = ১৩৭
সুতরাং ৪, ৮, ১৬, ৩২, ৬৪ ক্রম ঠিক রাখতে উত্তর ১৩৭ হবে।

১,৯৮৬.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

ক
1/3
খ
1/9
গ
1/18
ঘ
1/27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

∴ ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵
= 27 × (1/3)⁵
= 27/243
= 1/9

১,৯৮৭.

3 + a + b + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, b এর মান কত?

ক
ক) 27
খ
খ) 18
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + a + b + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 3
দ্বিতীয় পদ = a
তৃতীয় পদ = b
এবং চতুর্থ পদ = 81

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1}
3r³ = 81
বা, r³ = 81/3
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
∴ r = 3

তৃতীয় পদ, b = ar^{3 - 1}
= ar²
= 3 × 3²
= 3 × 9
= 27

১,৯৮৮.

কোনো ধারার n তম পদ n . 3^n-1 হলে ধারাটির ১ম পাচটি পদের যোগফল কত?

ক
437
খ
547
গ
531
ঘ
513

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 3^{n - 1} হলে ধারাটির ১ম পাচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = n . 3^{n - 1}

সুতরাং,
⇒ ১ম পদ = 1 . 3^{1 - 1}
= 1 × 3⁰ = 1
⇒ ২য় পদ = 2 . 3^{2 - 1}
= 2 × 3 = 6
⇒৩য় পদ = 3 . 3^{3 - 1}
= 3 × 3² = 27
⇒৪র্থ পদ = 4 . 3^{4 - 1}
= 4 × 3³ = 108
⇒৫ম পদ = 5 . 3^{5 - 1}
= 5 × 3⁴ = 405

১ম পাচটি পদের সমষ্টি = (1 + 6 + 27 + 108 + 405) = 547

১,৯৮৯.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 5
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 25

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ...... (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ...... (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
a.2² = 20
∴ a = 5
সুতরাং, প্রথম পদ = 5

১,৯৯০.

একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৩তম পদ ৬৫। এর প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১১৫০
খ
১২৫০
গ
৯৮০
ঘ
১০৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৩তম পদ ৬৫। এর প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r.
n তম পদ = a + (n - 1)d
৭ম পদ = a + (৭ - ১)d = ৩৫
বা, a + ৬d = ৩৫ ............. (১)
এবং
a + ১২d = ৬৫ ............. (২)

এখন সমীকরণ ২ থেকে ১ বিয়োগ করে পাই,
⇒ a + ১২d - a - ৬d = ৬৫ - ৩৫
⇒ ৬d = ৩০
∴ d = ৫
d এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
a = ৩৫ - ৩০
∴ a = ৫

∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২) {২ × ৫ + (২০ - ১)৫}
= ১০ × (১০ + ৯৫)
= ১০ × ১০৫
= ১০৫০

১,৯৯১.

3 + (3/2) + (3/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
31/16
খ
53/36
গ
91/32
ঘ
93/16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 5
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 3 × {1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}
= 3 × {1 - (1/32)}/{1 - (1/2)}
= 3 × {(32 - 1)/32}/{(2 - 1)/2}
= 3 × {31/32}/{1/2}
= 3 × (31/16)
= 93/16

১,৯৯২.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে, ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
15
খ
29
গ
31
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে, ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 16
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
পদ সংখ্যা, n = 5

যেহেতু |r| < 1,
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি = 16{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}
= 16{1 - (1/32)}/(1/2)
= 16(31/32)/(1/2)
= (16 × 31/32) × 2
= (31/2) × 2
= 31

∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি 31

১,৯৯৩.

1 + 2 + 3 + ..... + 48 = কত?

ক
994
খ
1008
গ
1176
ঘ
1242

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ..... + 48 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 48
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1 = 1

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (48/2){2 · 1 + (48 - 1) · 1}
= 24(2 + 47)
= 1176

১,৯৯৪.

কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) - 420
খ
খ) - 320
গ
গ) - 520
ঘ
ঘ) - 620

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 16 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার 16তম পদ - 20 হলে,
a + (16 - 1)d = - 20
a + 15d = - 20

প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি
= (31/2){2a + (31 - 1)d}
= (31/2){2a + 30d)
= (31/2) × 2(a + 15d)
= 31 × - 20
= - 620

১,৯৯৫.

১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

ক
১০৬১
খ
৯৬১
গ
৮৬১
ঘ
৬৬১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d= ৫ - ১ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৮১
⇒ a + (n - )d = ৮১
⇒ ১ + (n - ১) × ৪ = ৮১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ (n - ১) = ২০
⇒ n = ২১

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) × (২ + ৮০)
= (২১/২) × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

১,৯৯৬.

5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 152?

ক
ক) 60 তম পদ
খ
খ) 40 তম পদ
গ
গ) 50 তম পদ
ঘ
ঘ) 30 তম পদ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + …… ধারাটির কত তম পদ 152?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 152
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 152
বা, 5 + 3n - 3 = 152
বা, 3n + 2 = 152
বা, 3n = 152 - 2
বা 3n = 150
n = 50
∴ ধারাটির 50 তম পদ 152 হবে।

১,৯৯৭.

১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
ক) ৩৫
খ
খ) ৪০
গ
গ) ৪৫
ঘ
ঘ) ৫০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১ হতে ৭৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (১ + ৭৯)/২
= ৮০/২
= ৪০

১,৯৯৮.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 6 এবং সপ্তম পদ 50 হলে 15 তম পদ কত?

ক
86
খ
92
গ
98
ঘ
102

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর 6 এবং সপ্তম পদ 50 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর, d = 6
তাহলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
7 তম পদ, 50 = a + (7 - 1)6
⇒ 50 = a + (6 × 6)
⇒ 50 = a + 36
⇒ a = 14

15 তম পদ = 14 + (15 - 1)6
= 14 + (14 × 6)
= 14 + 84
= 98

১,৯৯৯.

3 + 7 + 11 + 15 +.......... ধারাটির কোন পদ 263?

ক
56
খ
63
গ
66
ঘ
69

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 +.......... ধারাটির কোন পদ 263?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
এবং সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4 = 11 - 7
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 263

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d.
∴ a + (n - 1) d = 263
বা, 3 + (n - 1) 4 = 263
বা, 4(n - 1) = 263 - 3
বা, 4(n - 1) = 260
বা, (n - 1) = 260/4
বা, (n - 1) = 65
বা, n = 65 + 1
∴ n = 66

∴ প্রদত্ত ধারার 66 তম পদ = 263 ।

২,০০০.

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

ক
৯০
খ
১০০
গ
১০৫
ঘ
১০৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a
সাধারণ অন্তর, d = 9

দেয়া আছে,
৭ম পদ = 60

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

৭ম পদ = a + (7 - 1)d
বা, 60 = a + 6d
বা, 60 = a + 6 × 9
বা, 60 = a + 54
বা, a = 60 - 54
∴ a = 6

১২ তম পদ = a + (12 - 1)d
= 6 + 11 × 9
= 6 + 99
= 105