লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

মোট প্রশ্ন১,৩৩৪এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

PrepBank · পাতা ৮ / ১৪ · ৭০১–৮০০ / ১,৩৩৪

৭০১.
সকল পূর্ণসংখ্যার সেট কোনটি?
  1. ক
    R
  2. খ
    Q
  3. গ
    N
  4. ঘ
    Z
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সকল পূর্ণসংখ্যার সেট কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই (N) পূর্ণসংখ্যা (Z), আবার সকল পূর্ণসংখ্যাই (Z) মূলদ সংখ্যা (Q), আবার সকল মূলদ সংখ্যাই (Q) বাস্তব সংখ্যার (R) অন্তর্ভুক্ত। যেহেতু এরা প্রত্যেকেই পরস্পরের উপসেট তাই এদেরকে N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R এভাবে প্রকাশ করা যায়।
৭০২.
{x ∈ N : 31 < x < 37 এবং x মৌলিক সংখ্যা} কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হয়?
  1. ক
    {Ø}
  2. খ
    { 0 }
  3. গ
    { }
  4. ঘ
    {6, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {x ∈ N : 31 < x < 37 এবং x মৌলিক সংখ্যা} কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে কোনটি হয়?

সমাধান:
x ∈ N : 31 < x < 37 হলে এর মান ৩১ থেকে ৩৭ এর মধ্যে এবং x একটি মৌলিক সংখ্যা।
৩১ এবং ৩৭ এর মধ্যে সংখ্যাগুলো হলো- ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬।
এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনোটিই মৌলিক সংখ্যা নয়। কারণ, ৩২, ৩৪, ৩৬ জোড় সংখ্যা এবং ৩৩, ৩৫ সংখ্যাগুলো ৩ এবং ৫ দিয়ে বিভাজ্য।
সুতরাং সেটটি খালি।
তাই সঠিক উত্তর হবে { } বা ফাঁকা সেট।
৭০৩.
কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ৩০
  4. ঘ
    ৫০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
 
সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = ৪০ - ২০ = ২০ জন
শুধু বাংলায় ফেল করে = ৩০ - ২০ = ১০ জন
এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = ২০ জন

∴ মোট ফেল করে = ২০ + ১০ + ২০ = ৫০ জন
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০ - ৫০ = ৫০ জন

৭০৪.
একটি স্কুলের 120 জন ছাত্রের মধ্যে 75 জন বাংলা ভাষায় এবং 60 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?
  1. ক
    12 জন
  2. খ
    15 জন
  3. গ
    18 জন
  4. ঘ
    21 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্কুলের 120 জন ছাত্রের মধ্যে 75 জন বাংলা ভাষায় এবং 60 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(B ∪ E) = 120
n(B) = 75
n(E) = 60

∴ n(B ∩ E) = n(B) + n(E) - n(B ∪ E)
= 75 + 60 - 120
= 135 - 120
= 15
অর্থাৎ, 15 জন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে।
৭০৫.
একটি স্কুলের ৫০ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে কিন্তু ভোরের কাগজ পড়ে না এবং ৩৪ জন প্রথম আলো পড়ে। কতজন ভোরের কাগজ পড়ে কিন্তু প্রথম আলো পড়ে না?
  1. ক
    ১৬ জন 
  2. খ
    ১৮ জন 
  3. গ
    ২০ জন 
  4. ঘ
    ২৪ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৫০ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে কিন্তু ভোরের কাগজ পড়ে না এবং ৩৪ জন প্রথম আলো পড়ে। কতজন ভোরের কাগজ পড়ে কিন্তু প্রথম আলো পড়ে না? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মোট ছাত্র = ৫০ জন
প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে কিন্তু ভোরের কাগজ পড়ে না = ১৮ জন
প্রথম আলো পত্রিকা পড়ে = ৩৪ জন 

ধরি,
শুধুমাত্র ভোরের কাগজ পত্রিকা পড়ে এমন ছাত্রের সংখ্যা = x

প্রশ্নানুসারে,
১৮ + x + (৩৪ - ১৮) = ৫০
=> ১৮ + x + ১৬ = ৫০
=> x + ৩৪ = ৫০
=> x = ৫০ - ৩৪
=> x = ১৬

সুতরাং, ১৬ জন ছাত্র ভোরের কাগজ পড়ে কিন্তু প্রথম আলো পড়ে না।
৭০৬.
৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোন পরীক্ষায় ৩৮ জন বাংলা, ৪১ জন ইংরেজি এবং ৩৫ জন উভয় বিষয় পছন্দ করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয় অপছন্দ করে, তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ৪
  2. খ
    ৩
  3. গ
    ৫
  4. ঘ
    ৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোন পরীক্ষায় ৩৮ জন বাংলা, ৪১ জন ইংরেজি এবং ৩৫ জন উভয় বিষয় পছন্দ করে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয় অপছন্দ করে, তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
শুধু বাংলা পছন্দ করে = (৩৮ - ৩৫) জন = ৩ জন
শুধু ইংরেজি পছন্দ করে = (৪১ - ৩৫) জন = ৬ জন
উভয় বিষয় পছন্দ করে = ৩৫ জন
যে কোন একটি বিষয় এবং উভয় বিষয় পছন্দ করে = (৩ + ৬ + ৩৫) জন
= ৪৪ জন

∴ উভয় বিষয় অপছন্দ করে = (৫০ - ৪৪) জন
= ৬ জন
৭০৭.
যদি A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {4, 6, 7, 8} এবং C = {4, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 
  1. ক
    {4, 6, 8} 
  2. খ
    {4, 5, 6, 9} 
  3. গ
    {5, 8, 9} 
  4. ঘ
    {4, 5, 8, 9} 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {4, 6, 7, 8} এবং C = {4, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {4, 6, 7, 8}
এবং C = {4, 8, 9} 

এখন, 
A - B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} - {4, 6, 7, 8} 
= {5, 9} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {5, 9} ∪ {4, 8, 9} 
= {4, 5, 8, 9} 

৭০৮.
{x ∈ N : x2 > 15 এবং x3 < 100} তালিকা পদ্ধতির সেট কোনটি?
  1. ক
    {4, 5}
  2. খ
    {2} 
  3. গ
    {2, 3} 
  4. ঘ
    {4}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {x ∈ N : x2 > 15 এবং x3 < 100} তালিকা পদ্ধতির সেট কোনটি? 

সমাধান: 
স্বাভাবিক সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, ...}
এখন, 
x = 1 হলে x2 = 12 = 1 > 15 এবং x3 = 13 = 1 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী 
x = 2 হলে x2 = 22 = 4 > 15 এবং x3 = 23 = 8 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 3 হলে x2 = 32 = 9 > 15 এবং x3 = 33 = 27 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 4 হলে x2 = 42 = 16 > 15 এবং x3 = 43 = 64 < 100 ; যা শর্ত সিদ্ধ করে
x = 5 হলে x2 = 52 = 25 > 15 এবং x3 = 53 = 125 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {4} 

৭০৯.
f(x) = x3 + kx2 - 4x - 4, k এর মান কত হলে f(2) = 0 হবে? 
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x3 + kx2 - 4x - 4, k এর মান কত হলে f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(2) = 0

এখন,
f(x) = x3 + kx2 - 4x - 4

∴ f(2) = (2)3 + k(2)2 - 4 × 2 - 4 = 0

বা, 8 + 4k - 8 - 4 = 0
বা, 4k - 4 = 0
বা, 4k = 4
বা, k = 4/4
∴ k = 1

৭১০.
কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা না থাকলে, এর উপসেটের সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা না থাকলে, এর উপসেটের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান: 
কোন সদস্য না থাকলে n = 0 ,
উপসেটের সংখ্যা হবে = 2n = 20 = 1
৭১১.
U= {1,2,3,4,5}, A ={1,2,4}, B={2,4,5} হলে Ac ∪ Bc হবে- 
  1. ক
    ক) {1,3,4}
  2. খ
    খ) {1,3,5}
  3. গ
    গ) {1,2,5}
  4. ঘ
    ঘ) {2,3,5}
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে 
U= {1,2,3,4,5}
A ={1,2,4}
B={2,4,5} 

Ac = U - A = {1,2,3,4,5} - {1,2,4} = {3,5}
Bc = U - B = {1,2,3,4,5} - {2,4,5} = {1,3}
 Ac∪Bc = {3,5} ∪ {1,3} = {1,3,5}
৭১২.
কোন পরীক্ষায় ৮০% গণিত এবং ৬০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
  1. ক
    ৫০%
  2. খ
    ৩০%
  3. গ
    ১৫%
  4. ঘ
    ১০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৮০% গণিত এবং ৬০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
গণিতে পাশ = n(M) = ৮০%
বাংলায় পাশ = n(B) = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∩ B) = ৫০%

যে কোনো এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∪ B)

n(M ∪ B) = n(M) + n(B) - n(M ∩ B)
= ৮০% + ৬০% - ৫০%
= ১৪০% - ৫০%
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করল = ১০০% - ৯০%
= ১০%
৭১৩.
নিচের কোনটি সঠিক? (এখানে R বাস্তব সংখ্যা, Q মূলদ সংখ্যা, N স্বাভাবিক সংখ্যা, Z পূর্ণসংখ্যা)
  1. ক
    ক) Q⊂Z⊂N⊂R
  2. খ
    খ) Z⊂N⊂Q⊂R
  3. গ
    গ) N⊂Z⊂Q⊂R
  4. ঘ
    ঘ) N⊂Q⊂Z⊂R
ব্যাখ্যা
আমরা জানি সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই (N) পূর্ণসংখ্যা (Z), আবার সকল পূর্ণসংখ্যাই (Z), মূলদ সংখ্যা (Q), আবার সকল মূলদ সংখ্যাই (Q) বাস্তব সংখ্যার (R) অন্তর্ভুক্ত।
যেহেতু এরা প্রত্যেকেই পরস্পরের উপসেট তাই উত্তর হবে N⊂Z⊂Q⊂R
৭১৪.
সার্বিক সেট U এর যে কোন উপসেট A ও B এর জন্য কোনটি সঠিক? 
  1. ক
    A\B=A ∪ B' 
  2. খ
    (A ∪ B)'=A' ∪ B'
  3. গ
     (A ∩ B)'=A' ∪ B'
  4. ঘ
     (A ∩ B)'=A' ∩ B'
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U এর যে কোন উপসেট A ও B এর জন্য কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
• De Morgan's Law (ডি মরগ্যানের সূত্র)
1. (A ∩ B)' = A' ∪ B'
2. (A ∪ B)' = A' ∩ B'

• অপশনসমূহ যাচাই:
ধরি,
U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,3,4}
ক) A\B = A ∪ B' 
A\B = {1}
B' = {1,5}, তাই A∪B' = {1,2,3,5}
{1} ≠ {1,2,3,5} ∴ ভুল

খ) (A ∪ B)' = A' ∪ B' 
A ∪ B = {1,2,3,4}, তাই (A ∪ B)' = {5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{5} ≠ {1,4,5} ∴ ভুল

গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B' 
A ∩ B = {2,3}, তাই (A ∩ B)' = {1,4,5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{1,4,5} = {1,4,5} ∴ সঠিক 

ঘ) (A ∩ B)' = A' ∩ B' 
(A ∩ B)' = {1,4,5}
A' ∩ B' = {5}
{1,4,5} ≠ {5} ∴ ভুল

অতএব, সঠিক উত্তর: গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

৭১৫.
A={1,2,3}, B=∅, A∪B=?
  1. ক
    ক) {1,2,3}
  2. খ
    খ) {1,2,∅}
  3. গ
    গ) {2,3,∅}
  4. ঘ
    ঘ) ∅
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
A = {1,2,3} B = ∅
∴ A∪B = {1,2,3} ∪ {∅} = {1,2,3}

৭১৬.
যদি A সান্ত সেট হয় এবং B, A এর প্রকৃত উপসেট হয়, তবে B সান্ত সেট হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) n(A) < n(B)
  2. খ
    খ) n(B) < n(A)
  3. গ
    গ) n(B) = n(A)
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
- কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।
যেমন, A {3, 4, 5, 6} এবং B = {3,5}দুইটি সেট।
- B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।
- B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊂ A লিখে প্রকাশ করা হয়।
- ফাঁকা সেট বা Ø যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।
- যদি A সান্ত সেট হয় এবং B, A এর প্রকৃত উপসেট হয়, তবে B সান্ত সেট এবং n(B) < n(A) হবে।
৭১৭.
U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d, e}, B = {b, d, f, h} হলে, A´ ∩ B´ হবে?
  1. ক
    {g}
  2. খ
    {e}
  3. গ
    {e, g}
  4. ঘ
    {}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d, e}, B = {b, d, f, h} হলে, A´ ∩ B´ হবে?

সমাধান:
A´ = U - A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

B´ = U - B
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ A´ ∩ B´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}
৭১৮.
P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4} এবং R = {x, y} হলে, (P ∩ Q) x R নির্নয় করুন।
  1. ক
    ক) {(3, x), (4, x), (3, y), (4, y)}
  2. খ
    খ) {(x, y), (y, x), (3, 4)}
  3. গ
    গ) {(3, 3), (3, 4)}
  4. ঘ
    ঘ) {(3, x) (3, y)}
ব্যাখ্যা

(P ∩ Q) = {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}
(P ∩ Q) x R = {3} x {x, y}
= {(3, x) (3, y)}

৭১৯.
নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) Z ⊂ N ⊂ Q ⊂ R
  2. খ
    খ) N ⊂ Q ⊂ Z ⊂ R
  3. গ
    গ) N ⊂ Z ⊂ R ⊂ Q
  4. ঘ
    ঘ) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
ব্যাখ্যা
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
N = স্বাভাবিক সংখ্যার সেট = {১, ২, ৩, ৪, ---------------------- }
Z = পূর্ণসংখ্যার সেট = { ------ -৩, -২, -১, ০, ১, ২, ৩, -----------}
Q = মুলদ সংখ্যার সেট = { ----- ১/২, ১, ৩/২, ৭/৩, ৮, ----------}
R = বাস্তব সংখ্যার সেট = { সকল মুলদ ও অমূলদ সংখ্যা }
৭২০.
A, B নিশ্ছেদ সেট হলে n(A ∪ B) = ?
  1. ক
    n(A) + n(B)
  2. খ
    n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
  3. গ
    n(A) + n(B) + n(A ∩ B)
  4. ঘ
    n(A) ∪ n(B)
ব্যাখ্যা

A, B নিশ্ছেদ
∴ A ∩ B = Φ
ফলে n(A ∩ B) = 0
∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

৭২১.
f(x) = x3 - 2x + 10 হলে f(0) কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    8
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = x3 - 2x + 10 হলে f(0) কত?

সমাধান:
f(x) = x3 - 2x + 10
f(0) = 03 - 2 × 0 + 10
f(0) = 0 - 0 + 10
f(0) = 10

৭২২.
x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    ক) S = {x ∈ R : x < 4}
  2. খ
    খ) S = {x ∈ R : x ≥ 4}
  3. গ
    গ) S = {x ∈ R : x ≤ 4}
  4. ঘ
    ঘ) S = {x ∈ R : x > 4}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
x ≤ (x/4) + 3 
⇒ 4x ≤ x + 12
⇒ 3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}
৭২৩.
x2 - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে?
  1. ক
    0
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে? 

সমাধান: 
ƒ(- 1) এর মানই হবে নির্ণেয় ভাগশেষ 
∴ ƒ(x) = x2 - 3x - 2 
∴ ƒ(- 1) = (- 1)2 - 3. (- 1) - 2  [∴ x + 1 = 0, x = - 1] 
= 1 + 3 - 2 
= 4 - 2 
= 2
৭২৪.
M = {x ∈ N, 2 < x ≤ 11 এবং x মৌলিক সংখ্যা} হলে, M এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M = {x ∈ N, 2 < x ≤ 11 এবং x মৌলিক সংখ্যা} হলে, M এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
2 থেকে বড় 11 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর হলো  3, 5, 7, 11
আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2n - 1 এবং উপসেট = 2n
M সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 
M এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 24 - 1 = 16 - 1 = 15
৭২৫.
রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ের ৯০% ছাত্র বাস ব্যবহার করে ১৫% ছাত্র রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করে এবং প্রত্যেক ছাত্র বাস অথবা রাইড শেয়ারিং অথবা দুটি ব্যবহার করে। রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করা ছাত্রদের কত শতাংশ বাস ব্যবহার করে?
  1. ক
    ৫%
  2. খ
    ১০%
  3. গ
    ৬৬.৬৬%
  4. ঘ
    ৩৩.৩৩%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ের ৯০% ছাত্র বাস ব্যবহার করে ১৫% ছাত্র রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করে এবং প্রত্যেক ছাত্র বাস অথবা রাইড শেয়ারিং অথবা দুটি ব্যবহার করে। রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করা ছাত্রদের কত শতাংশ বাস ব্যবহার করে?

সমাধান:
বাস ব্যবহার কারী ছাত্রের সেট A
রাইড শেয়ারিং ব্যবহার কারী ছাত্রের সেট B
বাস এবং রাইড শেয়ারিং উভয় ব্যবহার কারী ছাত্রের সেট  A ∩ B

আমরা জানি,
(A U B) = A + B - (A ∩ B)
⇒ (A ∩ B) = A + B - (A U B)
= {(৯০ + ১৫) - ১০০}%
= ৫%

রাইড শেয়ারিং ব্যবহার করা ছাত্র বাস ব্যবহার করে = (৫/১৫) ×  ১০০% = ৩৩.৩৩%
৭২৬.
100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 88 জন বাংলায়, 80 জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    2 জন
  2. খ
    5 জন
  3. গ
    4 জন
  4. ঘ
    10 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 88 জন বাংলায়, 80 জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:

ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।
উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B∩M, যার সদস্য সংখ্যা 70

P = শুধু বাংলায় পাশ করেছে = ৪৪ – 70 = 18 জন
R = শুধু গণিতে পাশ করেছে = 80 – 70 = 10 জন
যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, P∪Q∪R = 18 + 10 + 70 = 98

∴F = উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = 100 – 98 = 2 জন
৭২৭.
কোন পরীক্ষায় ২৫% পরীক্ষার্থী বাংলায়, ৩৫% গণিতে এবং ১৫% উভয় বিষয়ে ফেল করেছে। শতকরা কত জন সব বিষয়ে পাশ করেছে?
  1. ক
    ক) ৬০%
  2. খ
    খ) ৫৫%
  3. গ
    গ) ৪০%
  4. ঘ
    ঘ) ৪৫%
ব্যাখ্যা

বাংলায় ফেল ২৫%
গণিতে ফেল ৩৫%
উভয় বিষয়ে ফেল ১৫%
যেকোন একটি বিষয়ে ফেল = (২৫ + ৩৫ - ১৫)%
= ৪৫%
∴ সব বিষয়ে পাশ = (১০০ - ৪৫)%
= ৫৫%

৭২৮.
A = {x:x2 = 9, 2x = 4} হয়, A = কত?
  1. ক
    ক) {3, 2}
  2. খ
    খ) {-3, 2}
  3. গ
    গ) ∅
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

x2 = 9
∴ x = ±3
আবার, 2x = 4
∴ x = 2
শর্ত দুইটি পরস্পর সাংঘার্ষিক।
তাই তাদের উপাদান হবে = ∅

৭২৯.
A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5 } হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    15 টি
  2. খ
    7 টি
  3. গ
    31 টি
  4. ঘ
    16 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5 } হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। 
দেওয়া আছে
A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 5 }
A = {2, 3, 4, 5}
A সেটের উপাদান =4টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 24 = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1= 15 টি
৭৩০.
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে? 
  1. ক
    n(n - 1)
  2. খ
    n2
  3. গ
    2n
  4. ঘ
    2n + 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n  । 

অর্থাৎ, 
যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 3 হয়,  
তাহলে,  
প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n 
= 23 
= 8 

৭৩১.
P = {x ∈ N, 11 ≤ x ≤ 20 এবং x মৌলিক সংখ্যা} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x ∈ N, 11 ≤ x ≤ 20 এবং x মৌলিক সংখ্যা} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
11 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর হলো  11, 13, 17,19
আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2n - 1 এবং উপসেট = 2n
P সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 
P এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 24 - 1 = 16 - 1 = 15
৭৩২.
12 এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?
  1. ক
    ক) {1, 2, 3, 4, 6, 12}
  2. খ
    খ) {0, 1, 2, 3, 4, 6, 12}
  3. গ
    গ) {2, 3, 4, 6, 12}
  4. ঘ
    ঘ) {2, 3, 4, 6}
ব্যাখ্যা

12 - এর উৎপাদকসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 12 এর গুণনীয়কের সেট = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

৭৩৩.
যদি, A = {x ∈ N : 4x < 24} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 
  1. ক
    32
  2. খ
    31
  3. গ
    16
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি, A = {x ∈ N : 4x < 24} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 4x < 24}
4x < 24
∴ x < 6

6 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5}

∴ A সেটের উপসেট সংখ্যা = 25
= 32

∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 32 - 1 = 31 টি
৭৩৪.
একটি শ্রেণীতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিলো। বার্ষিক পরীক্ষায় ৭০ জন বাংলায় এবং ৮৫ জন গণিতে পাশ করেছে। ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে কত জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ২ জন
  2. খ
    ৩ জন
  3. গ
    ৫ জন
  4. ঘ
    ৬ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিলো। বার্ষিক পরীক্ষায় ৭০ জন বাংলায় এবং ৮৫ জন গণিতে পাশ করেছে। ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে কত জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০ জন
গণিতে পাশ করেছে = ৮৫ জন
এবং, উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০ জন

∴ শুধু বাংলায় পাশ করে = (৭০ - ৬০) = ১০ জন
  শুধু গণিতে পাশ করে = (৮৫ - ৬০) = ২৫ জন
এক ও উভয় বিষয়ে পাশ করে = (২৫ + ১০ + ৬০) = ৯৫ জন

সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৯৫) = ৫ জন
৭৩৫.
সেট A = {x ∈ N : x2 > 10 এবং x3 < 70} হলে, A = কত?
  1. ক
    {4}
  2. খ
    {}
  3. গ
    {1, 2, 3}
  4. ঘ
    {2, 3}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x2 > 10 এবং x3 < 70} হলে, A = কত?

সমাধান:
x2 > 10; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {4, 5, 6 .......}
x3 < 70; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3, 4}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {4, 5, 6 .......} ∩ {1, 2, 3, 4}
= {4}
৭৩৬.
 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) f(2) = 3
  2. খ
    খ) f(- 1) = 5
  3. গ
    গ) f(1) = 0
  4. ঘ
    ঘ) f(1) = 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
f(x) = x2 + (x2 - 1)/3 - 1

এখন,
f(1) = 12 + (12 - 1)/3 - 1
= 1 + (0/3) - 1
= 0
৭৩৭.
যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে নিচের কোনটি A ∪ B নির্দেশ করবে?
  1. ক
    ক) {5, 15, 20}
  2. খ
    খ) {3, 18, 30}
  3. গ
    গ) {3, 5, 15, 18, 20, 30}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 5, 15, 18}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে নিচের কোনটি A ∪ B নির্দেশ করবে?

সমাধান: 
A ∪ B
= {5, 15, 20, 30} ∪ {3, 5, 15, 18, 20}
= {3, 5, 15, 18, 20, 30}
৭৩৮.
If sets A and B have 3 and 6 elements each, then minimum number of elements in A ∪ B is-
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
If sets A and B have 3 and 6 elements each, then minimum number of elements in A ∪ B is 6.
৭৩৯.
কোনো একটি সেটের উপাদান সংখ্যা ৫ হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ২৯
  2. খ
    ৩০
  3. গ
    ৩১
  4. ঘ
    ৩২
ব্যাখ্যা
ঐ সেটের শক্তি সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = ২৫ - ১ = ৩২ - ১ = ৩১
৭৪০.
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, (A - B) এর মান কত?
  1. ক
    {4, 6, 8}
  2. খ
    {3, 5, 7}
  3. গ
    {3, 4, 5}
  4. ঘ
    { }
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, (A - B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

এবং
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
= {1, 3, 5, 7, 9}

∴ (A - B) = {3, 4, 5, 6, 7, 8} - {1, 3, 5, 7, 9}
= {4, 6, 8}

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 6, 8}

৭৪১.
যদি একটি ছক্কা পরপর দুইবার ফেলা হয়, তবে মোট ৯ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ১/৭
  2. খ
    ১/৮
  3. গ
    ১/১১
  4. ঘ
    ১/৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি একটি ছক্কা পরপর দুইবার ফেলা হয়, তবে মোট ৯ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা (ডাইস) ফেলার সময় সম্ভাব্য সংখ্যা হল: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬।
যদি এটি পরপর দুইবার ফেলা হয়, তাহলে মোট সম্ভব জোড়া (combination) হবে:

(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)
=> মোট ৬ × ৬ = ৩৬টি সম্ভাব্য জোড়া।

আমরা এখন দেখতে চাই, কোন কোন জোড়ায় দুই সংখ্যার যোগফল ৯ হয়।

(3,6) → 3 + 6 = 9

(4,5) → 4 + 5 = 9

(5,4) → 5 + 4 = 9

(6,3) → 6 + 3 = 9

তাহলে মোট ৪টি জোড়া আছে যেগুলোর যোগফল ৯।

∴ মোট ৯ পাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৩৬
= ১/৯
৭৪২.
{-1, 0, 1, 2} এর উপসেট নয় কোনটি?
  1. ক
    ক) {-1, 0, 3}
  2. খ
    খ) {-1, 0, 1}
  3. গ
    গ) {-1, 1, 2}
  4. ঘ
    ঘ) {-1, 0, 2}
ব্যাখ্যা
{-1, 0, 1, 2} সেটে 3 নেই, তাই {-1, 0, 3} প্রদত্ত সেটের উপসেট নয়।
৭৪৩.
যদি A = {3, 4}, B = {1, 3} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-
  1. ক
    {(3,1), (3, 3), (4,1)}
  2. খ
    {(3,1), (4,1), (4, 3)}
  3. গ
    {(3, 3), (4,1), (4, 3)}
  4. ঘ
    {(3, 1), (3,3), (4, 3)}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {3, 4}, B = {1, 3} এবং A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা থাকে, তবে অন্বয়টি-

সমাধান: 
A = {3, 4}
B = {1, 3}

A × B = {3, 4} × {1, 3}
= {(3,1), (3, 3), (4,1), (4, 3)}

A ও B এর উপাদানগুলো মধ্যে x > y সম্পর্কটি বিবেচনা করে  অন্বয়টি {(3,1), (4,1), (4, 3)}
৭৪৪.
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য নিয়ে গঠিত সেটকে কী বলা হয়?
  1. ক
    ক) স্বাভাবিক সংখ্যার সেট
  2. খ
    খ) পূর্ণ সংখ্যার সেট
  3. গ
    গ) বাস্তব সংখ্যার সেট
  4. ঘ
    ঘ) মুলদ সংখ্যার সেট
ব্যাখ্যা
শূন্য সহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে। 
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য নিয়ে গঠিত সেটকে পূর্ণ সংখ্যার সেট বলে।
পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Z = { - - - - - - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,  - - - - - - }
৭৪৫.
যদি M = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 20} এবং N = {x | x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10} হয়, তাহলে M ∩ N = কোনটি?
  1. ক
    {3, 5, 7}
  2. খ
    {1, 3, 5, 7}
  3. গ
    { }
  4. ঘ
    {2, 11, 13, 17, 19}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি M = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 20} এবং N = {x | x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10} হয়, তাহলে M ∩ N = কোনটি?

সমাধান:
M = {x | x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 20}
∴ M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}

N = {x | x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10}
∴ N = {1, 3, 5, 7, 9}

∴ M ∩ N = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
৭৪৬.
A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য
(i) A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}
(ii) n(A) = a, n(B) = b হলে, n(A × B) = ab
(iii) A × B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড়।
উপর্যুক্ত তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) (i) ও (ii)
  2. খ
    খ) (i) ও (iii)
  3. গ
    গ) (ii) ও (iii)
  4. ঘ
    ঘ) (i), (ii) ও (iii)
ব্যাখ্যা
মনে করি, A = {1, 2} B = {3}
A × B = {(1, 3), (2, 3)}
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (i) A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B} সত্য 
n(A) = 2, n(B) = 1 হলে, n(A × B) = 2
n(A × n(B) = 2 × 1 = 2
n(A × B) = n(A × n(B) 
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (ii) n(A) = a, n(B) = b হলে, n(A × B) = ab সত্য 
A × B = {(1, 3), (2, 3)} ⇒ A × B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড়
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (iii) A × B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড় সত্য।
৭৪৭.
f(x) = (x - 3)/(2x + 1) হলে, f(0) = কত?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) - 3
  3. গ
    গ) 1/3
  4. ঘ
    ঘ) - 1/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = (x - 3)/(2x + 1) হলে, ƒ(0) = কত?

সমাধান:
f(x) = (x - 3)/(2x + 1)
f(0) =(0 - 3)/(2 × 0 + 1)
f(0) = - 3/1
 = - 3
৭৪৮.
সেট A = {x ∈N : x2 > 8, x3 < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x2 > 8, x3 < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x2 > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x3 < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}
৭৪৯.
একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 6 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 54
  2. খ
    খ) 32
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

সেটের উপাদান সংখ্যা n = 6
পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা = 2n = 26 = 64

৭৫০.
ভেনচিত্র অনুসারে A∩B∩C = ?
  1. ক
    ক) {2, 3, 4}
  2. খ
    খ) {4}
  3. গ
    গ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  4. ঘ
    ঘ) ∅
ব্যাখ্যা
A, B, C বৃত্তের সাধারণ (Common) অংশ হলে A∩B∩C
∴ A∩B∩C = {4}
৭৫১.
সেট A = {x ∈ N : x2 > 8, x3 < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x2 > 8, x3 < 30} হলে x এর সঠিক মান কোনটি?

সমাধান:
x2 > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x3 < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}
৭৫২.
B = {x : x, 28 এর গুণনীয়ক} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ হবে-
  1. ক
    {1, 2, 4, 7, 14}
  2. খ
    {2, 4, 7, 14}
  3. গ
    {1, 2, 4, 7, 14, 28}
  4. ঘ
    { }
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: B = {x : x, 28 এর গুণনীয়ক} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ হবে-

সমাধান:
এখানে, 28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7
∴ 28 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 7, 14, 28
নির্ণেয় সেট B = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
৭৫৩.
100 জন শিক্ষার্থীর একটি শ্রেণিতে পদার্থবিদ্যায় 55 জন এবং গণিতে 67 জন শিক্ষার্থী পাস করেছে। পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 33
  2. খ
    খ) 22
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 44
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর একটি শ্রেণিতে পদার্থবিদ্যায় 55 জন এবং গণিতে 67 জন শিক্ষার্থী পাস করেছে। পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী সংখ্যা কত? 

সমাধান:
 মোট শিক্ষার্থী n(P∪M)=100
পদার্থবিদ্যায় পাস করেছে n(P)= 55 জন 
গণিতে পাস করেছে n(M)= 67  জন 
পদার্থবিদ্যা এবং গণিত উভয় বিষয়ে পাস করেছে n (P ∩ M) = ? 
আমরা জানি 
n(P ∪ M) = n(P) + n(M) - n(P∩M)
100 = 55 + 67 - n(P∩M)
n(P∩M) = 122 - 100
n(P ∩ M) = 22
৭৫৪.
R = {x, y, z} হলে R এর উপসেট সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: R = {x, y, z} হলে R এর উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2n-1 এবং উপসেট = 2n
R এর উপাদান সংখ্যা n = 3 
R এর উপসেট = 23 = 8 
৭৫৫.
A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা কতটি?
  1. ক
    ক) 3টি
  2. খ
    খ) 6টি
  3. গ
    গ) 8টি
  4. ঘ
    ঘ) 11টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
A = {x ∈ N | 2 < x ≤ 8}
   = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {x ∈ N | x বিজোড় এবং x ≤ 9}
   = {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
                    ={1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∪ B এর উপাদান সংখ্যা ৮টি
৭৫৬.
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} হলে P ∩ Q = কত?
  1. ক
    {1, 2, 4} 
  2. খ
    {4, 6, 9} 
  3. গ
    {3, 6, 12} 
  4. ঘ
    {3, 6, 9, 12} 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} হলে P ∩ Q = কত?

সমাধান: 
এখানে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} 
12 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 12 
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 

আবার, 
Q = {x : x, 3 এর গুনিতক এবং x ≤ 12} 
3 এর গুনিতক 3, 6, 9, 12 
∴ Q = {3, 6, 9, 12} 

∴ P ∩ Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ∩ {3, 6, 9, 12}
= {3, 6, 12}  । 
৭৫৭.
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে P(A) সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    16
  3. গ
    25
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11} হলে P(A) সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
A = A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 11}
∴ A = {2, 3, 5, 7, 11}
A এর উপাদান সংখ্যা = 5

আমরা জানি,
P(A) = 2n = 25 = 32

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 32.
৭৫৮.
U = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, A = {2, 4, 6} এবং B = {3, 5, 7} হলে, A'∩B = কত?
  1. ক
    {2, 3,5,7}
  2. খ
    { }
  3. গ
    {3,5,7}
  4. ঘ
    {3,7,9 }
ব্যাখ্যা
A'= U-A ={2,3,4,5,6,7,9} - {2,4,6}={3,5,7,9}

A'∩B = {3,5,7,9}∩{3,5,7} = {3,5,7}
৭৫৯.
f(x) = x3 - 12x2 + 48x - 64 হলে, f(5) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
f(x) = x3 - 12x2 + 48x - 64 
f(5) = 53 - 12 × 52 + 48 × 5 - 64
      = 125 - 300 + 240 - 64 
      = 365 - 364
      = 1
৭৬০.
In a class of 30 students, 14 have taken Physics, 9 have taken Physics but not Chemistry. What is the number of students who have taken both Physics and Chemistry?
  1. ক
    ক) 2/5
  2. খ
    খ) 3/5
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) None of the above
ব্যাখ্যা
Question: In a class of 30 students, 14 have taken Physics, 9 have taken Physics but not Chemistry. What is the number of students who have taken both Physics and Chemistry?

Solution:
মনে করি,
n(P) = 14
n(P ∪ C) = 30
n(P - C) = 9

সুতরাং, পদার্থ ও রসায়ন উভয়টি নিয়েছে = n(P ∩ C)
= n(P)  - n(P - C)
= 14 - 9
= 5

[অপশনে 5 না থাকায় None of the above উত্তর হবে]

 
৭৬১.
U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c}, B = {c, d, e} হলে (A ∪ B)c = ?
  1. ক
    {a, b, e}
  2. খ
    {f}
  3. গ
    {d, f}
  4. ঘ
    {c}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c}, B = {c, d, e} হলে (A ∪ B)c = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
U = {a, b, c, d, e, f}
A = {a, b, c}
B = {c, d, e}

∴ A ∪ B = {a, b, c} ∪ {c, d, e}   
= {a, b, c, d, e}

প্রদত্ত রাশি, 
(A ∪ B)c = U - (A ∪ B)   
= {a, b, c, d, e, f} - {a, b, c, d, e}   
= {f}

৭৬২.
C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 < 18}; C সেটের উপাদানগুলো হবে-
  1. ক
    {- 1, - 2, - 3, - 4}
  2. খ
    {1, 2, 3, 4}
  3. গ
    {- 2, - 4, - 6, - 8}
  4. ঘ
    {- 1, - 3, - 5, - 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 < 18}; C সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান:
ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট = {-1, -2, -3, -4, -5, ....... }
x2 <18 শর্তাধীনে, C সেটের উপাদান = {- 1, - 2, - 3, - 4}
৭৬৩.
U = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, A = {1, 5, 10} হলে, Ac =?
  1. ক
    {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
  2. খ
    {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
  3. গ
    {1, 5, 10}
  4. ঘ
    {4, 6, 7, 8, 9, 10}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: U = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}, A = {1, 5, 10} হলে, Ac =? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
U = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 5, 10}

Ac = U - A 
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 5, 10}
= {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
৭৬৪.
A = {12, 13, 19} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    ৪ টি
  2. খ
    ৫ টি
  3. গ
    ৭ টি
  4. ঘ
    ৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {12, 13, 19} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = ৩ টি
A এর প্রকৃত উপসেট = ২৩ = ৮ টি
প্রকৃত উপসেট = ৮ - ১ = ৭ টি
৭৬৫.
n(X ∪ Y) = 70, n(X ∩ Y) = 20 এবং n(Y) = 40 হলে, n(X) = ?
  1. ক
    30
  2. খ
    40
  3. গ
    50
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: n(X ∪ Y) = 70, n(X ∩ Y) = 20 এবং n(Y) = 40 হলে, n(X) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X ∪ Y) = 70
n(X ∩ Y) = 20
n(Y) = 40

আমরা জানি, 
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 70 = n(X) + 40 - 20
⇒ 70 = n(X) + 20
⇒ n(X) = 70 - 20
∴ n(X) = 50

∴ n(X) = 50

৭৬৬.
f(x) = x3 + 8 হলে, f(- 1) + f(- 3) =?
  1. ক
    26
  2. খ
    28
  3. গ
    - 24
  4. ঘ
    - 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + 8 হলে, f(- 1) + f(- 3) =?

সমাধান:
f(x) = x3 + 8
∴ f(- 1) = (- 1)3 + 8
= - 1 + 8 
= 7

f(x) = x3 + 8
∴ f(- 3) = (- 3)3 + 8
= - 27 + 8 
= - 19

∴ f(- 1) + f(- 3)
= 7 + (- 19)
= 7 - 19
= - 12
৭৬৭.
ভেনচিত্র অনুসারে, n(A∪B∪C) = ?
  1. ক
    ক) 142
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 166
  4. ঘ
    ঘ) 225
ব্যাখ্যা

ভেনচিত্র অনুসারে,
n(A) = 82, n(B) = 79
n(c) = 64,
n(A∩B) = 21,
n(B∩C) = 15,
n(C∩A) = 16,
n(A∩B∩C) = 7
∴ n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(c) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) + n(A∩B∩C)
= 82 + 79 + 64 - 21 - 15 - 16 + 7
= 180

৭৬৮.
A = {x ∈ N, x, 24 এর গুণনীয়ক এবং 4 এর গুণিতক, x ≤ 24 } হলে নিচের কোনটি সঠিক? 
  1. ক
    ক) A= {4, 6,12, 24}
  2. খ
    খ) A= {4, 8,12, 24}
  3. গ
    গ) A= {2, 8,12, 24}
  4. ঘ
    ঘ) A= {2, 4,12, 24}
ব্যাখ্যা
24 এর গুণনীয়ক গুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
গুণনীয়ক গুলোর মধ্যে 4, 8,12, 24 হলো 4 এর গুণিতক

নির্ণেয় সেট A= {4, 8,12, 24}
৭৬৯.
{x ∈ N : x ≤ 20 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি? 
  1. ক
    {5, 10, 15}
  2. খ
    {5, 10, 20}
  3. গ
    {10, 15, 20}
  4. ঘ
    {5, 10, 15, 20}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 20 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 5 এর গুণিতক।
5 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 5 = 5
2 × 5 = 10
3 × 5 = 15
4 × 5 = 20
5 × 5 = 25
∴ নির্ণেয় সেট = {5, 10, 15, 20}

৭৭০.
P = {1, e} হলে P(P) কোনটি?
  1. ক
    {{1}, {e}, {1, e}}
  2. খ
    { }
  3. গ
    {∅, {1}, {e}, {1, e}}
  4. ঘ
    অসংজ্ঞায়িত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {1, e} হলে P(P) কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 P = {1, e}
∴ P(P) = {∅, {1}, {e}, {1, e}}

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n 
৭৭১.
নিচের কোনটি যেকোনো সেটের উপসেট?
  1. ক
    Ø
  2. খ
    (Ø)
  3. গ
    {Ø}
  4. ঘ
    {0}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি যেকোনো সেটের উপসেট?

সমাধান:
- কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয়। 
-  প্রত্যেকটি সেট নিজের উপসেট। 
- Ø (ফাঁকা সেট) যেকোনো সেটের উপসেট।

ধরি
A = {x, y} একটি সেট।
এই সেটের উপাদান থেকে {x, y}, {x}, {y} সেটগুলো গঠন করা যায়।
আবার, কোনো উপাদান না নিয়ে Ø সেট গঠন কর যায়।
এখানে, গঠিত {x, y}, {x}, {y}, Ø প্রত্যেকটি A সেটের উপসেট।
৭৭২.
A, B যেকোন দু’টি সেট এর ক্ষেত্রে, কোনটি সত্য?
  1. ক
    A ∪ B = A ∩ B
  2. খ
    (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′
  3. গ
    (A ∪ B)′ = (A ∩ B)′
  4. ঘ
    (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
ব্যাখ্যা

দ্যা মরগানের সুত্রানুসারে (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

৭৭৩.
Q = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 ≤ 22}; Q সেটের উপাদানগুলো হবে-
  1. ক
    {1, 2, 3, 4}
  2. খ
    {- 2, - 4, - 6, - 8}
  3. গ
    {- 1, - 2, - 3, - 4}
  4. ঘ
    {1, 3, 5, 7}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Q = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 ≤ 22}; Q সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x2 < 22}
এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা মানে, …, - 4, - 3, - 2, - 1

এখন, 
Q সেটের উপাদানগুলো হবে সেইসব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (negative integers) যাদের বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
আমরা প্রতিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গ করে দেখি,
(- 1)2 = 1 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 2)2 = 4 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 3)2 = 9 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 4)2 = 16 (যা 22 এর চেয়ে ছোট)
(- 5)2 = 25 (যা 22 এর চেয়ে বড়) ; যা গ্রহণযোগ্য নয় 
সুতরাং, যে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোর বর্গ 22 এর চেয়ে ছোট বা সমান, সেগুলো হলো - 1, - 2, - 3, এবং - 4।

অতএব, Q = {- 1, - 2, - 3, - 4}।

৭৭৪.
A = {3, 6, 9} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    6 টি
  2. খ
    7 টি
  3. গ
    8 টি
  4. ঘ
    9 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {3, 6, 9} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, { b, c }, {a }, {b}, {c}, এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
A = {3, 6, 9}
উপাদানের সংখ্যা, n = 3
আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1
= 23 - 1
= 8 - 1
= 7
৭৭৫.
যদি সেট A = {3,43,13,15,23,37} এবং B = {3,5,13,33,18,23} হয় তবে নিচের কোনটি A∩B নির্দেশ করবে?
  1. ক
    ক) {3,43,33}
  2. খ
    খ) {3,18,23,37}
  3. গ
    গ) {3,13,23}
  4. ঘ
    ঘ) {3,18,23,37,43}
ব্যাখ্যা
A∩B = {3,43,13,15,23,37} ∩ {3,5,13,33,18,23} = {3,13,23}
৭৭৬.
A ও B দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) P(A∪B) = P(A) + P(B)
  2. খ
    খ) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
  3. গ
    গ) P(A∪B) = P(A) × P(B)
  4. ঘ
    ঘ) P(A∪B) = P(A \ B)
ব্যাখ্যা
A ও B দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A∪B) = P(A) + P(B)
A ও B দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

সূত্র - উচ্চ মাধ্যমিক উচ্চতর গণিত, NCTB কর্তৃক অনুমোদিত যেকোনো বই। 
৭৭৭.
A = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≥ 20}
  2. খ
    A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
  3. গ
    A = {x : x, 8 এর গুণিতক এবং x ≤ 25}
  4. ঘ
    A = {x : x, 8 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
বস্তু জগতের বা চিন্তাজগতের বস্তু বা ধারণার যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা, সংগ্রহ বা শ্রেণিকে সেট বলে।
সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়।
যথা:
(১) তালিকা পদ্ধতি  এবং
(২)সেট গঠন পদ্ধতি 

A = {4, 8, 12, 16, 20}
A সেটের উপাদান গুলো হলো 4, 8, 12, 16, 20
যা 20 এর সমান বা 20 থেকে ছোট 4 এর গুণিতক। 

∴ A সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
৭৭৮.
f(x) = 3/(x - 1) ; x ≠ 1 হলে f-1(x) = কত?
  1. ক
    (3 - x)/2x
  2. খ
    (2 + x)/3x
  3. গ
    (3 + x)/2x
  4. ঘ
    (3 + x)/x
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = 3/(x - 1) ; x ≠ 1 হলে f-1(x) = কত?

সমাধান:
ধরি
f-1(y) = f-1{f(x)}
f-1(y) = x

এখন
y = 3/(x - 1)
y(x - 1) = 3
xy - y = 3
xy = 3 + y
x = (3 + y)/y
f-1(y) = (3 + y)/y
f-1(x) = (3 + x)/x
৭৭৯.
U = {1, 2, 3, 4}, A = {1, 2} ও B = {1, 3} হলে (A∩B)′ =?
  1. ক
    ক) ∅
  2. খ
    খ) {1, 2, 3, 4}
  3. গ
    গ) {2, 3, 4}
  4. ঘ
    ঘ) {1, 2, 3}
ব্যাখ্যা

A = {1, 2}, B = {1, 3},
∴ A∩B = {1}
এখন, (A∩B)′
= U - (A∩B)
= (1, 2, 3, 4} - {1}
= {2, 4, 3}

৭৮০.
A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে, A ∩ B = ?
  1. ক
    {x ∶ x ∈ Z}
  2. খ
    ∅
  3. গ
    {1, - 1}
  4. ঘ
    {0}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x: x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} এবং B = {x: x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা} হলে, A ∩ B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5, …}
এবং 
B = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা}
∴ B = {…, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1}
অর্থাৎ A এবং B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই।
সুতরাং, A ∩ B = ∅

৭৮১.
ফাংশনের ডোমেইন কী নির্দেশ করে?
  1. ক
    ইনপুট এবং আউটপুটের অনুপাত
  2. খ
    ফাংশনের মান
  3. গ
    ফাংশনের সকল সম্ভাব্য ইনপুট
  4. ঘ
    ফাংশনের সকল সম্ভাব্য আউটপুট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ফাংশনের ডোমেইন কী নির্দেশ করে?

সমাধান:
• একটি ফাংশনের ডোমেইন হল সমস্ত সম্ভাব্য ইনপুট মানগুলির সেট (প্রায়শই ডোমেইনকে x দ্বারা উপস্থাপন করা হয়) যার জন্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়।
- f(x) একটি ফাংশন হলে, x এর যেসকল বাস্তব মানের জন্য f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে, x এর ঐসকল মানকে ডোমেন বলে।
৭৮২.
৯ এর গুণিতকের সেট কেমন সেট ?
  1. ক
    সার্বিক সেট
  2. খ
    ফাঁকা সেট
  3. গ
    সসীম সেট
  4. ঘ
    অসীম সেট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  ৯ এর গুণিতকের সেট কেমন সেট ?

সমাধান:
৯ এর গুণিতক ৯, ১৮, ২৭, ৩৬, ৪৫............ .
তাই উত্তর অসীম সেট হবে।
৭৮৩.
 f(x) = x3 - 3x2 + 5x + 2 হলে, f(1) = কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    -2
ব্যাখ্যা
f(x) = x3 - 3x2 + 5x + 2 হলে,
f(1) = 13 - 3 × 12 + 5 × 1 + 2 = 1 -3 + 5 + 2 = 5
৭৮৪.
যদি f(x) = 2x3 - mx2 + 2mx - 9 হলে f(4) এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে m = tan 45°
  1. ক
    111
  2. খ
    95
  3. গ
    129
  4. ঘ
    105
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : যদি f(x) = 2x3 - mx2 + 2mx - 9 হলে f(4) এর মান নির্ণয় করুন, যেখানে m = tan 45°  

সমাধান :
দেয়া আছে, 
m = tan 45° 
বা, m = 1

এখন, 
f(x) = 2x3 - mx2 + 2mx - 9 
∴ f(4) = 2 × 43 - 1 × 42 + 2 × 1 × 4 - 9
= 2 × 64 - 16 + 8 - 9
= 128 - 16 + 8 - 9
= 111
৭৮৫.
যদি C = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হয়, তবে P(C) এর সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    24
  2. খ
    15
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি C = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হয়, তবে P(C) এর সদস্য সংখ্যা কত?
 
সমাধান:
12 অথবা 12 এর চেয়ে ছোট 3 এর গুণিতকগুলো হলো- 3, 6, 9, 12।
সুতরাং, C = {3, 6, 9, 12}
C সেটের উপাদান সংখ্যা 4।
P(C) হলো C সেটের শক্তি সেট, যা C সেটের সকল উপসেটের সেট।
যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হয়, তবে তার শক্তি সেটের সদস্য সংখ্যা 2n।
এখানে, n = 4,
তাই P(C) এর সদস্য সংখ্যা 24 = 16
সুতরাং, P(C) এর সদস্য সংখ্যা 16
৭৮৬.
যদি f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8 হয়, তবে p এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 
  1. ক
    1
  2. খ
    - 4
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8 হয়, তবে p এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8
f(- 2) = (- 2)3 + p(- 2)2 - 4(- 2) - 8
= - 8 + 4p + 8 - 8
∴ f(- 2) = 4p - 8

প্রশ্নমতে, 
4p - 8 = 0
⇒ 4p = 8
⇒ p = 8/4
∴ p = 2

সুতরাং,  p এর মান 2 হলে  f(- 2) = 0 হবে।

৭৮৭.
A = {1, b, c} সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৩ টি
  2. খ
    ৭ টি
  3. গ
    ৮ টি
  4. ঘ
    ৯ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {1, b, c} সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
A এর উপাদান = ৩টি
A এর উপসেট সংখ্যা = ২৩ টি
= ৮টি

∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা,
= ৮ - ১ টি [ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = ২n - ১]
= ৭টি
৭৮৮.
কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন পাস করেছে?
  1. ক
    ক) ৩০%
  2. খ
    খ) ৪০%
  3. গ
    গ) ৫০%
  4. ঘ
    ঘ) ৬০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৮০% গণিতে এবং ৭০% বাংলায় পাস করল। উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন পাস করেছে?

সমাধান:
 উভয় বিষয়ে ১০% ফেল করলো।
উভয় বিষয়ে বা কোন এক বিষয়ে পাস = ১০০% - ১০% = ৯০% 

∴ উভয় বিষয়ে বা কোন এক বিষয়ে পাস = গণিতে পাস + বাংলায় পাস - উভয় বিষয়ে পাস
⇒ ৯০% = ৮০% + ৭০% - উভয় বিষয়ে পাস
∴ উভয় বিষয়ে পাস = ১৫০% - ৯০%
= ৬০%
৭৮৯.
P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}, R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?
  1. ক
    {(3, 1), (3, 3), (3, 4)}
  2. খ
    {3, 4}
  3. গ
    {3}
  4. ঘ
    {(3, 3), (3, 4)}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}, R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {1, 2, 3}, এবং Q = {3, 4}
এবং R = P ∩ Q = {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3} 

∴ R × Q = {3} × {3, 4} = {(3, 3), (3, 4)}
৭৯০.
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3} হলে {A×B}∩(B×A) = ?
  1. ক
    ক) {(2,2), (2,3), (3,2)}
  2. খ
    খ) {(2,3), (3,2), (3,3)}
  3. গ
    গ) {(2,2), (3,2), (3,3)}
  4. ঘ
    ঘ) {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
ব্যাখ্যা

A × B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
B × A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
∴ {A × B}∩(B × A) = {(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}

৭৯১.
A = {1, 2, 3, 4, 5} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    31
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {1, 2, 3, 4, 5} সেটের প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা n = 5 তাই

∴ মোট উপসেট = 2n = 25= 32

প্রকৃত উপসেট হলো মোট উপসেট থেকে মূল সেটটিকে বাদ দিলে যা থাকে।

∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 32 - 1 = 31
৭৯২.
S = {x ∈ N : 11 < x ≤ 29 এবং x মৌলিক সংখ্যা} এর সমাধান কত?
  1. ক
    {13, 17, 19, 23}
  2. খ
    {11, 13, 17, 19, 23, 29}
  3. গ
    {13, 17, 19, 23, 29}
  4. ঘ
    {11, 13, 17, 19, 23}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x ∈ N : 11 < x ≤ 29 এবং x মৌলিক সংখ্যা} এর সমাধান কত?

সমাধান:
S = {x ∈ N : 11 < x ≤ 29 এবং x মৌলিক সংখ্যা}

উপর্যুক্ত শর্তানুযায়ী মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো - 13, 17, 19, 23, 29 

∴নির্ণেয় সেট = {13, 17, 19, 23, 29}
৭৯৩.
যদি A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e, f} এবং C = {c, d, f, g} হয়, তবে (A ∩ B) ∪ (B - C) = কত?
  1. ক
    {b, d}
  2. খ
    {b, e}
  3. গ
    {a, b, d, e}
  4. ঘ
    {b, d, e}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {a, b, c, d}, B = {b, d, e, f} এবং C = {c, d, f, g} হয়, তবে (A ∩ B) ∪ (B - C) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c, d}
B = {b, d, e, f}
এবং C = {c, d, f, g}

এখন,
A ∩ B = {a, b, c, d} ∩ {b, d, e, f}
= {b, d}
এবং
B - C = {b, d, e, f} - {c, d, f, g}
= {b, e}

∴ (A ∩ B) ∪ (B - C)
= {b, d} ∪ {b, e}
= {b, d, e}
৭৯৪.
একটি স্কুলের ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে কিন্তু ফুটবল খেলে না এবং ৪০ জন ক্রিকেট খেলে। কতজন ছাত্র ফুটবল খেলে কিন্তু ক্রিকেট খেলে না?
  1. ক
    ২০ জন
  2. খ
    ১৫ জন
  3. গ
    ৩০ জন
  4. ঘ
    ২৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ২৫ জন ক্রিকেট খেলে কিন্তু ফুটবল খেলে না এবং ৪০ জন ক্রিকেট খেলে। কতজন ছাত্র ফুটবল খেলে কিন্তু ক্রিকেট খেলে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৬০ জন
ক্রিকেট খেলে কিন্তু ফুটবল খেলে না = ২৫ জন
ক্রিকেট খেলে = ৪০ জন

ধরি,
শুধুমাত্র ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা = x

প্রশ্নানুসারে,
২৫ + x + (৪০ - ২৫) = ৬০
বা, ২৫ + x + ১৫ = ৬০
বা, x + ৪০ = ৬০
বা, x = ৬০ - ৪০
বা, x = ২০

∴ ২০ জন ছাত্র ফুটবল খেলে কিন্তু ক্রিকেট খেলে না।

৭৯৫.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B এর মান কত?
  1. ক
    {4, 5, 8}
  2. খ
    {2, 6, 8}
  3. গ
    {4, 6, 8}
  4. ঘ
    {2, 4, 6, 10}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} এবং B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10} হলে, A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6 ,7, 8}
এবং,
B = {x ∈ N: x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 10}
= {2, 4 , 6, 8, 10}

∴ A ∩ B = {3, 4, 5, 6 ,7, 8} ∩ {2, 4 , 6, 8, 10}
= {4, 6, 8}

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {4, 6, 8}
৭৯৬.
৬৫ টি বলের মধ্যে ৩৫ টির গায়ে লাল দাগ, ২০ টির গায়ে নীল দাগ এবং ১০ টির গায়ে লাল-নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই?
  1. ক
    ০
  2. খ
    ৪
  3. গ
    ৮
  4. ঘ
    ১০
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬৫ টি বলের মধ্যে ৩৫ টির গায়ে লাল দাগ, ২০ টির গায়ে নীল দাগ এবং ১০ টির গায়ে লাল-নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই?

সমাধান:
লাল দাগ আছে = ৩৫টি
নীল দাগ আছে = ২০টি

শুধু লাল দাগ আছে = ৩৫ - ১০ = ২৫ টি
শুধু নীল দাগ আছে = ২০ - ১০ = ১০ টি

লাল, নীল বা উভয় দাগ আছে = ২৫ + ১০ + ১০ = ৪৫ টি
লাল বা নীল কোনো দাগই নেই = (৬৫ - ৪৫)টি
= ২০টি
৭৯৭.
U = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, E = {1, 5, 9} এবং F = {3, 7, 11} হলে, E∩F= ?
  1. ক
    Φ
  2. খ
    0
  3. গ
    {0}
  4. ঘ
    {1, 3, 5, 7, 9, 11}
ব্যাখ্যা
U = {1, 3, 5, 7, 9, 11},
E = {1, 5, 9} এবং
F = {3, 7, 11}

E ∩ F
= {1, 5, 9} ∩ {3, 7, 11}
= Φ
৭৯৮.
যদি f(x) = x3 + ax2 - 4x - 8 হয়, তবে a এর কোন মানের জন্য f(- 1) = 0 হবে?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(x) = x3 + ax2 - 4x - 8 হয়, তবে a এর কোন মানের জন্য f(- 1) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = x3 + ax2 - 4x - 8 
⇒ f(- 1) = (- 1)3 + a(- 1)2 - 4(- 1) - 8 
⇒ f(- 1) = - 1 + a + 4 - 8 
∴ f(- 1) = a - 5 

যেহেতু, 
f(- 1) = 0 
⇒ a - 5 = 0
∴ a = 5
৭৯৯.
দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ______ সেট বলে?
  1. ক
    ক) সংযোগ
  2. খ
    খ) ছেদ
  3. গ
    গ) নিশ্ছেদ
  4. ঘ
    ঘ) ক্রম জোড়
ব্যাখ্যা
দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে।[৯ম-১০ম শ্রেণি গণিত বই, সেট ও ফাংশন অধ্যায়]
৮০০.
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} সেটটির সেট গঠন পদ্ধতি নিচের কোনটি?
  1. ক
    A = {x : x, 3 এর গুণনীয়ক এবং 0 < x ≤ 27}
  2. খ
    A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 0 ≤ x < 27}
  3. গ
    A = {x : x, 6 এর গুণনীয়ক এবং 0 ≤ x ≤ 14}
  4. ঘ
    A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 ≤ x ≤ 27}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27} সেটটির সেট গঠন পদ্ধতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
A সেটের উপাদানসমূহ 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান 3 দ্বারা বিভাজ্য, অর্থাৎ 3 এর গুণিতক এবং 27 এর বড় নয়।

∴ A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং 6 < x ≤ 27}