লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

মোট প্রশ্ন১,৩৩৪এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

PrepBank · পাতা ৬ / ১৪ · ৫০১–৬০০ / ১,৩৩৪

৫০১.
যদি A = {4, 5, 6, 7} এবং B = {3, 6, 8, 9} হয়, তাহলে A∪B = কত?
  1. ক
    ক) {4, 5, 6, 7, 8, 9}
  2. খ
    খ) {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}
  3. গ
    গ) {3, 5, 6, 7, 8, 9}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7}
এবং B = {3, 6, 8, 9}
এখন, A∪B = {4, 5, 6, 7} ∪ {3, 6, 8, 9}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

৫০২.
যদি A = {x : x2 = 25 অথবা 2x - 3 = 5} হয়, তবে A =?
  1. ক
    {- 5, 4, 5}
  2. খ
    {- 5, 5}
  3. গ
    {4, 4}
  4. ঘ
    { }
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {x : x2 = 25 অথবা 2x - 3 = 5} হয় তবে A =?

সমাধান:
x2 = 25
∴ x = ± 5

2x - 3 = 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

∴ A = {- 5, 4, 5}
৫০৩.
A = {x ∈ IN | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ IN | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?
  1. ক
    {3, 5, 8}
  2. খ
    {4, 5, 7}
  3. গ
    {3, 4, 5}
  4. ঘ
    {3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ IN | 2 < x ≤ 8}
B = {x ∈ IN | x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

B = {x ∈ IN : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

সুতরাং, A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
৫০৪.
যদি f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 2) - 5 হলে g(3) = কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 2) - 5 হলে g(3) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(5) = 15
g(x) = f(x + 2) - 5
এখন,
g(3) = f(3 + 2) - 5
= f(5) - 5
= 15 - 5
= 10

∴ g(3) = 10

৫০৫.
সেট A = {x∈Ν: x Fibonacci সংখ্যা এবং x2<500} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
সেট A = {x∈Ν: x Fibonacci সংখ্যা এবং x²<500} হলে,
A = {1, 2, 3, 5, 8,13, 21}
P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 27
৫০৬.
অসীম সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) A = {2, 4, 6……}
  2. খ
    খ) A = {2, 4, 6}
  3. গ
    গ) A = {2, 4, 7}
  4. ঘ
    ঘ) A = [2, 4, 6]
ব্যাখ্যা
যে সেটের সংখ্যা গণনা করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে। আর যে সেটের সংখ্যা গণনা করা যায় তাকে সসীম সেট বলে।এখানে A = {2, 4, 6……} দ্বারা বুঝায়, A এর উপাদান সংখ্যা অসংখ্য।
৫০৭.
যদি f(x) = x2 হয় তবে, f(a + b) + f(a - b) এর মান কত?
  1. ক
    ক) (a2 + b2)
  2. খ
    খ) 2(a2 + b2)
  3. গ
    গ) 2(a2 - b2)
  4. ঘ
    ঘ) (2a2 + b2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(x) = x2 হয় তবে, f(a + b) + f(a - b) এর মান কত?

সমাধান: 
f(x) = x2
∴ f(a + b) = (a + b)2
এবং, f(a - b) = (a - b)2
এখন, f(a + b) + f(a - b)
= (a + b)2 + (a - b)2
= 2a2 + 2b2
=2(a2 + b2)
৫০৮.
যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে (A ∩ B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    ক) 8
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে (A ∩ B) এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?


সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {5, 15, 20, 30}
B = {3, 5, 15, 18, 20}

এখন,
(A ∩ B) = {5, 15, 20, 30} ∩ {3, 5, 15, 18, 20}
= {5, 15, 20}

(A ∩ B) এর উপাদান সংখ্যা, n = 3

আমরা জানি,
(A ∩ B) এর প্রকৃত উপসেট = 2n - 1
= 23 - 1
= 8 - 1
= 7
৫০৯.
f(x) = x3 - x2 - x - (1/8) হলে f ( - 1/2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 0
  4. ঘ
    ঘ) - 1/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 - x2 - x - (1/8) হলে f ( - 1/2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = x3 - x2 - x - (1/8)
f ( - 1/2) = (- 1/2)3 - (- 1/2)2 - (- 1/2) - (1/8)
= - 1/8 - 1/4 + 1/2 - 1/8
= (- 1 - 2 + 4 - 1)/8
= 0/8
= 0
৫১০.
{x ∈ N : 2 < x ≤ 6} and Q = {x ∈ N : x even number and x ≤ 8} then what is the value of (P ∩ Q)?
  1. ক
    {4, 6}
  2. খ
    {4, 8}
  3. গ
    {2, 6}
  4. ঘ
    {6, 8}
ব্যাখ্যা
Question: If P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} and Q = {x ∈ N : x even number and x ≤ 8} then what is the value of (P ∩ Q)?

Solution:

দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
∴ P = {3, 4, 5, 6}

Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
∴ Q = {2, 4, 6, 8}

এখন,
(P ∩ Q) = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6}
৫১১.
x2 - (a + b) x + ab = 0 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) {- a, - b}
  2. খ
    খ) {a, - b}
  3. গ
    গ) {a, b}
  4. ঘ
    ঘ) {-a, b}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - (a + b)x + ab = 0 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x2 - (a + b)x + ab = 0 
⇒ x2 - ax - bx + ab = 0
⇒ x(x - a) - b(x - a) = 0 
∴ (x - a) (x - b) = 0 

এখন,
x - a = 0
∴ x = a

আবার,
x - b = 0 
∴ x = b

∴ x = {a , b} 
৫১২.
P = {x ∈ N, x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 3 এর গুণিতক, x ≤ 36 } হলে নিচের কোনটি সঠিক? 
  1. ক
    ক) {3, 6, 8, 12, 18, 36}
  2. খ
    খ) {3, 6, 9, 15, 18, 36}
  3. গ
    গ) {2, 6, 9, 12, 18, 36}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 6, 9, 12, 18, 36}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x ∈ N, x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 3 এর গুণিতক, x ≤ 36 } হলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
36 এর গুণনীয়ক গুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
গুণনীয়ক গুলোর মধ্যে 3, 6, 9, 12, 18, 36 হলো 3 এর গুণিতক

নির্ণেয় সেট P = {3, 6, 9, 12, 18, 36}
৫১৩.
একটি ক্লাসে মোট ছাত্র-ছাত্রী ১২০ জন। তাদের মধ্যে ৬৫ জন গণিতে পাশ করে, ৭০ জন পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করে এবং ৪০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কত জন ছাত্র-ছাত্রী কোন বিষয়েই পাশ করেনি?
  1. ক
    ২৩ জন
  2. খ
    ৩৫ জন
  3. গ
    ২২ জন
  4. ঘ
    ৩০ জন
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসে মোট ছাত্র-ছাত্রী ১২০ জন। তাদের মধ্যে ৬৫ জন গণিতে পাশ করে, ৭০ জন পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করে এবং ৪০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কত জন ছাত্র-ছাত্রী কোন বিষয়েই পাশ করেনি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র-ছাত্রী, n(S) = ১২০ জন
গণিতে পাশ করেছে, n(M) = ৬৫ জন
পদার্থবিজ্ঞানে পাশ করেছে, n(P) = ৭০ জন
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, n(M ∩ P) = ৪০ জন

যেকোনো একটি বিষয়ে পাশ করেছে,
n(M ∪ P) = n(M) + n(P) - n(M ∩ P)
= ৬৫ + ৭০ - ৪০
= ৯৫ জন

কোন বিষয়েই পাশ করেনি তাদের সংখ্যা = মোট ছাত্র-ছাত্রী - যারা অন্তত একটি বিষয়ে পাশ করেছে
= n(S) - n(M ∪ P)
= ১২০ - ৯৫
= ২৫ জন
৫১৪.
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?
  1. ক
    {3, 6, 12}
  2. খ
    {1, 2, 4}
  3. গ
    {1, 2, 3}
  4. ঘ
    {2, 4, 6, 12}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে P - Q = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}
এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ: 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার,
Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ: 3, 6, 9, 12
∴ Q = {3, 6, 9, 12}

এখন,
P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12}
= {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট: {1, 2, 4}

৫১৫.
50 টি বলের মধ্যে 35 টির গায়ে লাল দাগ, 20 টির গায়ে নীল দাগ এবং 12 টির গায়ে লাল ও নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই? 
  1. ক
    ক) 4 টি
  2. খ
    খ) 5 টি
  3. গ
    গ) 7 টি
  4. ঘ
    ঘ) 9 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50 টি বলের মধ্যে 35 টির গায়ে লাল দাগ, 20 টির গায়ে নীল দাগ এবং 12 টির গায়ে লাল ও নীল উভয় দাগ আছে। কতটি বলের মধ্যে লাল বা নীল কোনো দাগই নেই? 

সমাধান: 
শুধু লাল দাগ আছে = (35 - 12) টি বলে 
= 23 টি বলে 
আবার, 
শুধু নীল দাগ আছে = (20 - 12) টি বলে 
= 8 টি বলে 
∴ দাগ আছে = (23 + 8 + 12) টি বলে 
= 43 টি বলে 

∴ কোনো দাগ নেই = (50 - 43) টি বলে 
= 7 টি বলে 
৫১৬.
S = {x : x পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 100} হলে, S সেটের তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?
  1. ক
    {0, 2, 4, 5, 9, 58, 49, 56, 99, 12}
  2. খ
    {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
  3. গ
    {1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, 81, 85, 99}
  4. ঘ
    {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 121}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x : x পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 100} হলে, S সেটের তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে x = n2, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।
n2 < 100 এই শর্ত মেনে n এর সম্ভাব্য মান হলো 0, 1, 2,…,9

তাহলে, পূর্ণবর্গ সংখ্যা x হবে:
02, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81

∴ S = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
৫১৭.
মৌলিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম উপাদান-
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) 1
  3. গ
    গ) 2
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = 2;
∴ মৌলিক সংখ্যার সেটের ক্ষদ্রতম উপাদান 2

৫১৮.
n(A ∪ B) = 55, n(A) = 28, n(B) = 45 হয় তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?
  1. ক
    18
  2. খ
    25
  3. গ
    13
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: n(A ∪ B) = 55, n(A) = 28, n(B) = 45 হয় তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A ∪ B) = 55
n(A) = 28
n(B) = 45

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
=28 + 45 - 55
= 73 - 55
= 18
∴ n(A ∩ B) = 18
৫১৯.
যদি Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96} হয়, তবে P(Q) এর সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    16
  3. গ
    25
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি Q = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96} হয়, তবে P(Q) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 96}
6 ও 8 এর লসাগু = 24
96 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 6 ও 8 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 24, 48, 72, 96 = 4 টি

∴ P সেটের সদস্য সংখ্যা = 4
∴ P(Q) এর সদস্য সংখ্যা = 24
= 16 টি

৫২০.
A = {x ∈ N : x2 = 25} সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?
  1. ক
    ক) {5}
  2. খ
    খ) {- 5, 0}
  3. গ
    গ) {- 5}
  4. ঘ
    ঘ) {- 5, 5}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x2 = 25} সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : x2 = 25}

N = [1, 2, 3, 4, 5, ...................}

এখন, x2 = 25
x = ± 5
কিন্তু - 5 ∉ N

∴ A = {x ∈ N : x2 = 25} সেটের তালিকা পদ্ধতি = {5}
৫২১.
A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    8
  3. গ
    14
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
n(A) = 18, n(B) = 24 এবং n(A ∪ B) = 30

আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 18 + 24 - 30
= 42 - 30
= 12 

৫২২.
P = {x : x, 40 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 8 এর গুনিতক এবং x ≤ 40} হলে P ∩ Q = কত?
  1. ক
    {8, 20, 40}
  2. খ
    {8}
  3. গ
    {8, 40}
  4. ঘ
    {}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x : x, 40 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 8 এর গুনিতক এবং x ≤ 40} হলে P ∩ Q = কত?

সমাধান:
এখানে, P = {x : x, 40 এর গুণনীয়কসমূহ}
40 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
∴ P = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

Q = {x : x, 8 এর গুনিতক এবং x ≤ 40}
8 এর গুনিতকসমূহ = 8, 16, 24, 32, 40
∴ Q = {8, 16, 24, 32, 40}

∴ P ∩ Q = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} ∩ {8, 16, 24, 32, 40}
= {8, 40}
৫২৩.
120 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 90 জন বাংলায়, 75 জন গণিতে এবং 60 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে । কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে?
  1. ক
    12
  2. খ
    20
  3. গ
    15
  4. ঘ
    30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 120 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 90 জন বাংলায়, 75 জন গণিতে এবং 60 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে । কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করে?

সমাধান:
মোট পরীক্ষর্থীর সংখ্যা n(S) = 120
বাংলায় পাশ n(B) =90
গণিতে পাশ n(M) = 75
বাংলা ও গণিতে পাশ n(B ∩ M) = 60
n(B) + n(M) - n(B ∩ M) + n(B ∩ M)' = n(S)
⇒ 90 +75 - 60 + n(B ∩ M)' = 120
⇒ 105 +n(B ∩ M)' = 120
⇒ n(B ∩ M)' = 120 - 105
∴ উভয় বিষয়ে ফেল করে, n(B ∩ M)' = 15
৫২৪.
S = {x, y, z} হলে, S এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    8 টি
  2. খ
    9 টি
  3. গ
    7 টি
  4. ঘ
    10 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x, y, z} হলে, S এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
S = {x, y, z}
উপাদানের সংখ্যা, n = 3

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1
= 23 - 1
= 8 - 1
= 7

∴ A এর প্রকৃত উপসেট 7টি।
৫২৫.
S = {x ∈ N : x2 = 1} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) {- 1, 1}
  2. খ
    খ) {1}
  3. গ
    গ) {- 1}
  4. ঘ
    ঘ) {- 1, 0, 1}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x ∈ N : x2 = 1} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
N  বলতে স্বাভাবিক সংখ্যার সেট বুঝায়।
শূন্য থেকে বড় সকল  পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে । অন্যভাবে বলতে গেলে, সকল গণনার যোগ্য এমন সংখ্যা কে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। যেমন 1,2,3,4…N

এখানে,
 x2 = 1
∴ x = ± 1

কিন্তু - 1 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

তাই, S = {1}
৫২৬.
C = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} হলে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
C = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
C = {3, 4, 5,6}
C এর উপাদান সংখ্যা n=4

P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 2n 
                                      = 24
                                      = 16
৫২৭.
যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 18 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 6 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B নিচের কোনটি?
  1. ক
    { }
  2. খ
    {1, 2, 3}
  3. গ
    {1, 2, 3, 4, 5} 
  4. ঘ
    {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 18} 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 18 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 6 অপেক্ষা ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B নিচের কোনটি?
 
সমাধান:
এখানে,
A = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 
B = {1, 2, 3, 4, 5} 

তাহলে,
A ∩ B = {1, 2, 3, 6, 9, 18} ∩ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 3}
৫২৮.
যদি A = {3, 4, 5, 6, 7} এবং B = {5, 6, 7, 8, 10} হয়, তবে B-A = কত?
  1. ক
    ক) {3, 5}
  2. খ
    খ) {6, 10}
  3. গ
    গ) {4, 6}
  4. ঘ
    ঘ) {8, 10}
ব্যাখ্যা

B-A = {5, 6, 7, 8, 10} - {3, 4, 5, 6, 7}
= {8, 10}

৫২৯.
A = {x ∈ N : 1 < x < 10} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}, হলে A∩B = কত?
  1. ক
    {3, 4, 9}
  2. খ
    {3, 8, 9}
  3. গ
    {2, 6, 9}
  4. ঘ
    {3, 6, 9}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 < x < 10} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}, হলে A∩B = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A= {x ∈ N  :1 < x < 10}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}
= {3, 6, 9,12, 15} 
A∩B = {2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9} ∩ {3, 6, 9, 12, 15}
= {3, 6, 9}

∴ নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9}
৫৩০.
যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে?
  1. ক
    {5, 15, 20}
  2. খ
    {3, 18, 30}
  3. গ
    {3, 5, 15, 18, 20, 30}
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
A = {5, 15, 20, 30}
B = {3, 5, 15, 18, 20}

এখন
A ∩ B = {5, 15, 20, 30} ∩ {3, 5, 15, 18, 20}
={5, 15, 20}
৫৩১.
যদি A = {a, b, r, t, s, y} এবং B = {e, d, f, r, s} হয়, তাহলে B - A =?
  1. ক
    {a, b, t, y}
  2. খ
    {r, s}
  3. গ
    {e, d, f}
  4. ঘ
    {a, b, d, e, f, t, y}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {a, b, r, t, s, y} এবং B = {e, d, f, r, s} হয়, তাহলে B - A =?

সমাধান:
B - A = {e, d, f, r, s} - {a, b, r, t, s, y}
= {e, d, f}
৫৩২.
২৪ জনের একটি পার্টিতে অর্ধেক বাংলায় কথা বলতে পারে এক তৃতীয়াংশ ইংরেজিতে কথা বলতে পারে এক চতুর্থাংশ উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন এই দুই ভাষার একটিতে ও কথা বলেনা?
  1. ক
    ৫ জন
  2. খ
    ৮ জন
  3. গ
    ১০ জন
  4. ঘ
    ১১ জন
ব্যাখ্যা

এখানে,
বাংলায় কথা বলে n(B) = ১২ জন
ইংরেজিতে কথা বলে n(E) = ৮ জন
উভয় ভাষায় কথা বলে n(B ∩ E) = ৬ জন
∴ যেকোন একটি ভাষায় কথা বলে,
n(B ∪ E) = n(B) + n(E) - n(B ∩ E)
= ১২ + ৮ - ৬
= ১৪
∴ কোন ভাষায় কথা বলতে পারেনা = ২৪ - ১৪
= ১০ জন

৫৩৩.
f(x) = x3 + ax3 + 2x3 = 0 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + ax3 + 2x3 = 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
f(x) = x3 + ax3 + 2x3 = 0
বা, x3 + ax3 + 2x3 = 0
বা, 3x3 + ax3 = 0
বা, x3(3 + a) = 0
বা, x3 = 0
∴ x = 0
৫৩৪.
A = {a, b, c} এর P (A)- তে কতটি উপাদান থাকবে?
  1. ক
    ক) ৫টি
  2. খ
    খ) ৬টি
  3. গ
    গ) ৯টি
  4. ঘ
    ঘ) ৮টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {a, b, c} এর P (A)- তে কতটি উপাদান থাকবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}
A সেটের উপাদান সংখ্যা ৩টি 

আমরা জানি, 
পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা = 2n 
∴ P(A) = (২)৩ = ৮
৫৩৫.
U = {1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3}, B = {2,4,6} হলে A′ ∩ B′ হবে -
  1. ক
    ক) {5}
  2. খ
    খ) {1,3}
  3. গ
    গ) {2,5}
  4. ঘ
    ঘ) {4,6}
ব্যাখ্যা

A′ = U - A = {1,2,3,4,5,6} - {1,2,3} = {4,5,6}
B′ = U - B = {1,2,3,4,5,6} - {2,4,6} = {1,3,5}
∴ A′ ∩ B′ = {4,5,6} ∩ {1,3,5} = {5}

৫৩৬.
A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∩ B) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    4
  3. গ
    2
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {a, b, c}, B = {b, c, d} হলে, n(A ∩ B) = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {a, b, c}
B = {b, c, d}
A ∩ B = {a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2
৫৩৭.
A = {x : x ∈ R এবং x2 - 9x + 20 = 0} এবং B = {2, 3, 4, 5} হলে, n(A ∩ B) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 6
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x ∈ R এবং x2 - 9x + 20 = 0} এবং B = {2, 3, 4, 5} হলে, n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
A = {x : x ∈ R এবং x2 - 9x + 20 = 0}
B = {2, 3, 4, 5}

এখন,
x2 - 9x + 20 = 0
বা, x2 - 4x - 5x + 20 = 0
বা, x(x - 4) - 5(x - 4) = 0
বা, (x - 4)(x - 5) = 0
∴ x = 4, 5
A = {4, 5}

A ∩ B = {4, 5} ∩ {2, 3, 4, 5}
= {4, 5}

∴ n(A ∩ B) = 2
৫৩৮.
U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h} হলে, A´ ∩ B´ হবে?
  1. ক
    {a, c, e, f, g, h}
  2. খ
    {f, g, h}
  3. গ
    {e, g}
  4. ঘ
    {h}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h} হলে, A´ ∩ B´ হবে?

সমাধান:
A´ = U - A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d}
= {e, f, g, h}

B´ = U - B
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ A´ ∩ B´ = {e, f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {e, g}
৫৩৯.
n(A∪B) = 100 এবং n(A), n(A∩B) এর মান ভেনচিত্রে প্রদত্ত হলে, n(B) = ?
  1. ক
    ক) 45
  2. খ
    খ) 55
  3. গ
    গ) 65
  4. ঘ
    ঘ) 75
ব্যাখ্যা

n(A∪B) = 100, n(A) = 80, n(A∩B) = 25,  n(B) =?
∴ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
বা, 100 = 80 + n(B) - 25
বা, n(B) = 100 - 80 + 25 = 45

৫৪০.
A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) নির্ণয় করুন।
  1. ক
    10
  2. খ
    11
  3. গ
    12
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). 

∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 
৫৪১.
একটি পরীক্ষায় ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১০ জন ইংরেজিতে, ১০০ জন ইতিহাসে এবং ৮০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ১০ জন
  2. খ
    ১২ জন
  3. গ
    ২০ জন
  4. ঘ
    ৩০ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ১৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১১০ জন ইংরেজিতে, ১০০ জন ইতিহাসে এবং ৮০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে পাস করেছে = (১১০ - ৮০) জন = ৩০ জন
শুধু ইতিহাসে পাস করেছে = (১০০ - ৮০) জন = ২০ জন
উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৮০ জন
যেকোনো একটি বিষয় এবং উভয় বিষয়ে পাস করেছে = (৩০ + ২০ + ৮০) জন = ১৩০ জন
উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (১৫০ - ১৩০) জন = ২০ জন

অতএব, উভয় বিষয়ে ২০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

৫৪২.
৮০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৬ জন ইংরেজি, ৬০ জন গণিতে এবং ৫০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ২ জন
  2. খ
    ৪ জন
  3. গ
    ৫ জন
  4. ঘ
    ৬ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৬ জন ইংরেজি, ৬০ জন গণিতে এবং ৫০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট শিক্ষার্থী = ৮০
ইংরেজিতে পাশ করেছেন = ৬৬
গণিতে পাশ করেছেন = ৬০
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৫০

∴ শুধু ইংরেজিতে পাশ = (৬৬ - ৫০) জন = ১৬ জন
∴ শুধু গণিতে পাশ = (৬০ - ৫০) জন = ১০ জন

সুতরাং কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (১৬ + ১০ + ৫০) জন
= ৭৬ জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (৮০ - ৭৬) জন
= ৪ জন
৫৪৩.
f(x) = x3 - ax - 9, a এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা
f(3) = 0
বা, 33 - a.3 - 9 = 0
বা, 18 - 3a = 0
∴ a = 6
৫৪৪.
A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ} তাহলে A ∩ B এর মান কত?
  1. ক
    {1}
  2. খ
    {3, 5}
  3. গ
    {7}
  4. ঘ
    ∅
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ} তাহলে A ∩ B এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7}
∴ বিজোড় সংখ্যা যেগুলো 1 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট সেই সংখ্যা গুলো হলো - 3, 5
∴ A = {3, 5}

এবং 
B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

8 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 8
∴ B = {1, 2, 4, 8}

∴ A ∩ B = {3, 5} ∩ {1, 2, 4, 8} = ∅ ; (অর্থাৎ কোনো সাধারণ উপাদান নেই)

৫৪৫.
সেট C হতে সেট B-এর একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) R⊂C
  2. খ
    খ) R⊂B
  3. গ
    গ) R⊆C×B
  4. ঘ
    ঘ) C×B⊆R
ব্যাখ্যা

অপশনগুলো R⊂C, R⊂B, R⊆C×B, C×B⊆R হলে গ হতো উত্তর

৫৪৬.
A = {x : x, 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}, হলে A ∩ B =?
  1. ক
    ক) {4, 8, 12, 16}
  2. খ
    খ) {4, 8, 16}
  3. গ
    গ) {1, 2}
  4. ঘ
    ঘ) {1, 2, 4, 8, 12, 16}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x, 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}, হলে A ∩ B =?

সমাধান: 
A = {1, 2, 4, 8, 16}
B = {4, 8, 12, 16}

∴ A ∩ B  = {1, 2, 4, 8, 16} ∩ {4, 8, 12, 16}
= {4, 8, 16}
৫৪৭.
সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 6} এবং C = {1, 3, 5, a, b,} হলে, (A' ∪ B') ∩ C =?
  1. ক
    {1, 3, 5}
  2. খ
    {1, 2, 3, 4, 5}
  3. গ
    {1, 2, 3, 4, 5, a, b}
  4. ঘ
    {1, 3, 5, a}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 6} এবং C = {1, 3, 5, a, b,} হলে, (A' ∪ B') ∩ C =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A = {2, 4, 6}
এবং B = {1, 3, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6}
= {1, 3, 5}

B' = U - B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 3, 6}
= {2, 4, 5}

A' ∪ B' = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 5}
= {1, 2, 3, 4, 5}

∴ (A′ ∪ B′) ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 5, a, b} = {1, 3, 5}

৫৪৮.
F(x) = x3 + 1 হলে, F(-2) =?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) - 9
  3. গ
    গ) - 7
  4. ঘ
    ঘ) 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: F(x) = x3 + 1 হলে, F(-2) =?


সমাধান:
F(x) = x3 + 1

∴ F(-2) = (-2)3 + 1
= - 8 + 1
= - 7
৫৪৯.
যদি A = {x ∈ N : 2x = 16} এবং B = {x : x ∈ N, x সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য} হয়, তাহলে A ∩ B = ?
  1. ক
    {2, 4}
  2. খ
    ∅
  3. গ
    {4}
  4. ঘ
    {4, 8, 12, 16}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {x ∈ N : 2x = 16} এবং B = {x : x ∈ N, x সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য} হয়, তাহলে A ∩ B = ?

সমাধান:
এখানে, 2x = 16
⇒ 2x = 24
⇒ x = 4

∴ A = {4}
আবার, B = {4, 8, 12, …… }

∴ A ∩ B = {4} ∩ {4, 8, 12, …… }
= {4}
৫৫০.
f(x) = 2x2 + 3x - 1 হলে, f(0) = কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. ঘ
    - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = 2x2 + 3x - 1 হলে, f(0) = কত?

সমাধান:
f(x) = 2x2 + 3x - 1 
f(0) = 2.02 + 3.0 - 1
= 0 + 0 - 1
= - 1
৫৫১.
M ও N দুটি সসীম সেট। যদি n(M) = 12, n(N) = 18 এবং n(M ∪ N) = 22 হয়, তাহলে n(M ∩ N) =?
  1. ক
    6
  2. খ
    10
  3. গ
    18
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M ও N দুটি সসীম সেট। যদি n(M) = 12, n(N) = 18 এবং n(M ∪ N) = 22 হয়, তাহলে n(M ∩ N) =?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(M ∪ N) = n(M) + n(N) - n(M ∩ N)
⇒ 22 = 12 + 18 - n(M ∩ N)
⇒ n(M ∩ N) = 30 - 22
⇒ n(M ∩ N) = 8
৫৫২.
সেট A = {3, 6, 9, 12, 15} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
  1. ক
    A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, ও এর গুণিতক, 3 ≤ x ≤ 15}
  2. খ
    A = {x : x হবে 3 এর গুণিতক, x > 0 অথবা x < 15}
  3. গ
    A = {x : x পূর্ণসংখ্যা, x > 0 এবং x < 15}
  4. ঘ
    A = {x : x পূর্ণসংখ্যা, 0 < x < 15}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট A = {3, 6, 9, 12, 15} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা, 3 এর চেয়ে ছোট নয় আবার 15 এর চেয়ে বড় নয় এবং ও এর গুণিতক।
সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে, A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, ও এর গুণিতক, 3 ≤ x ≤ 15}
৫৫৩.
৮০% পরীক্ষার্থী গণিতে উত্তীর্ণ হয়েছে, এবং ৬০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে উত্তীর্ণ হয়েছে। ৪০% পরীক্ষার্থী গণিত এবং ইংরেজি উভয় বিষয়েই উত্তীর্ণ হয়েছে। কত শতাংশ পরীক্ষার্থী কোনো একটি বিষয়েও উত্তীর্ণ হয়নি?
  1. ক
    ২০%
  2. খ
    ১০%
  3. গ
    ২৫%
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮০% পরীক্ষার্থী গণিতে উত্তীর্ণ হয়েছে, এবং ৬০% পরীক্ষার্থী ইংরেজিতে উত্তীর্ণ হয়েছে। ৪০% পরীক্ষার্থী গণিত এবং ইংরেজি উভয় বিষয়েই উত্তীর্ণ হয়েছে। কত শতাংশ পরীক্ষার্থী কোনো একটি বিষয়েও উত্তীর্ণ হয়নি?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
গণিতে উত্তীর্ণ পরীক্ষার্থীর শতাংশ, P(M) = 80%
ইংরেজিতে উত্তীর্ণ পরীক্ষার্থীর শতাংশ, P(E) = 60%
উভয় বিষয়েই উত্তীর্ণ পরীক্ষার্থীর শতাংশ, P(M ∩ E) = 40%

P(M ∪ E) = P(M) + P(E) - P(M∩E) = 80% + 60% - 40% = 100%
এটি দেখায় যে 100% পরীক্ষার্থী অন্তত একটি বিষয় উত্তীর্ণ হয়েছে। অতএব, কোনো পরীক্ষার্থীই এমন নেই যে কোনো একটি বিষয়েও উত্তীর্ণ হয়নি।
৫৫৪.
নিচের কোন দু’টি সেটের ছেদ সেট একটি ফাঁকা সেট?
  1. ক
    ক) {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}
  2. খ
    খ) {0, 1, 2}{0, 5, 6}
  3. গ
    গ) {x : x মৌলিক সংখ্যার সেট এবং x < 5}, {x : x মৌলিক সংখ্যার সেট এবং x2 = 25}
  4. ঘ
    ঘ) {x : x, 4 এর গুণিতক}, {x : x, 3 এর গুণিতক}
ব্যাখ্যা

(ক) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}

(খ) এর ছেদ সেট = {0}

(গ) এর সেটসমূহ {2, 3} ও {5}
∴ ছেদ সেট = Φ

(ঘ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}

৫৫৫.
100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 94 জন বাংলায়, 80 গণিতে এবং 75 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কতজন শিক্ষার্থী এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ করে?
  1. ক
    87
  2. খ
    92
  3. গ
    99
  4. ঘ
    94
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 94 জন বাংলায়, 80 গণিতে এবং 75 জন উভয় বিষয়ে পাশ করে। কতজন শিক্ষার্থী এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ করে?

সমাধান:
বাংলায় পাশ করেছে, n(A) = 94 জন
গণিতে পাশ করেছে, n(B) = 80 জন
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে, n(A ∩ B) = 75 জন

∴ এক এবং উভয় বিষয়ে পাশ করে,
অর্থাৎ, কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে, A ∪ B = A + B - (A ∩ B)
= 94 + 80 - 75
= 174 - 75
= 99 

৫৫৬.
কোন শ্রেণিতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিল। বার্ষিক পরীক্ষায় ৯১ জন বাংলায় এবং ৭৭ জন গণিতে পাস করেছে। ৭০ জন উভয় বিষয়ে পাস করলে কতজন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ২
  3. গ
    গ) ১
  4. ঘ
    ঘ) ৫
ব্যাখ্যা

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯১ - ৭০) জন।
= ২১ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৭৭ - ৭০) জন।
= ৭ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭০ + ২১ + ৭) জন।
= (১০০ - ৯৮) জন।
= ২ জন।

৫৫৭.
যদি n(A ∪ B) = 61, n(A) = 30, n(A ∩ B) = 23 হয়, তাহলে n(B) এর মান কত?
  1. ক
    47
  2. খ
    57
  3. গ
    44
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে 
n(A ∪ B)= 61
n(A ∩ B) = 23
n(A)= 30

আমরাজানি  
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 61 = 30 + n(B) - 23
বা, 61 = n(B) + 7
∴ n(B) = 61 - 7 = 54
৫৫৮.
যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে কোনটি A ∩ B নির্দেশ করে?
  1. ক
    {5, 15, 20, 30}
  2. খ
    {3, 18, 20}
  3. গ
    {5, 15, 20}
  4. ঘ
    {3, 5, 15, 18, 20, 30}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {5, 15, 20, 30} এবং B = {3, 5, 15, 18, 20} হয়, তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করে?

সমাধান: 
 A ∩ B
= {5, 15, 20, 30} ∩ {3, 5, 15, 18, 20}
= {5, 15, 20}
৫৫৯.
A = {4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4} হলে, A ও B এর ছেদ সেট এর মান কোনটি? 
  1. ক
    {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  2. খ
    { }
  3. গ
    {4}
  4. ঘ
    {4, 5, 6, 7}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4} হলে, A ও B এর ছেদ সেট এর মান কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
A = {4, 5, 6, 7}
B = {0, 1, 2, 3, 4}

A ও B এর ছেদ সেট = A ∩ B
 A ∩ B = {4, 5, 6, 7} ∩ {0, 1, 2, 3, 4}
= {4}

৫৬০.
যদি A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 3, 5} হয় তাহলে A\B = কত?
  1. ক
    {1, 5}
  2. খ
    {1/2, 2/3, 3/5}
  3. গ
    {1/2, 1/3, 1/5}
  4. ঘ
    {1}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3} এবং B = {2, 3, 5} হয় তাহলে A\B = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A = {1, 2, 3}
B = {2,3, 5}

A\B = {1, 2, 3}\{2, 3, 5}
= {1}

৫৬১.
সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} এবং A = {2, 4, 6, 0} হলে n(Ac) =?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    10
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} এবং A = {2, 4, 6, 0} হলে n(Ac) =?

সমাধান:
Ac = U - A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} - {2, 4, 6, 0}
= {1, 3, 5, 7, 8, 9}

∴ n(Ac) = 6
৫৬২.
যদি কোনো সেটের nটি উপাদান থাকে, তবে সেই সেটের সকল প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত?
  1. ক
     2n
  2. খ
     2n + 1
  3. গ
    2n - 1
  4. ঘ
     22
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি কোনো সেটের nটি উপাদান থাকে, তবে সেই সেটের সকল প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপসেট (Subset):
- কোনো সেটের উপাদানগুলো নিয়ে যতগুলো নতুন সেট গঠন করা যায়, তাদের প্রত্যেকটিকে মূল সেটের উপসেট বলে।
- কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় 2n।
- ফাঁকা সেট (∅) এবং মূল সেট নিজেও তার উপসেট।

প্রকৃত উপসেট (Proper Subset):
- মূল সেট ব্যতীত বাকি সব উপসেটকে প্রকৃত উপসেট বলা হয়।
- অর্থাৎ, একটি সেটের সকল উপসেটের মধ্য থেকে শুধু মূল সেটটিকে বাদ দিলেই প্রকৃত উপসেটগুলো পাওয়া যায়।

- যেহেতু মোট উপসেটের সংখ্যা 2n এবং এর মধ্যে একটি হলো মূল সেট নিজেই, তাই প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে 2n - 1।

৫৬৩.
R = {(x,y) : x ∈ p, y ∈ Q এবং y = 2x} এবং P = {2, 3, 4}, Q = {4, 6}, তাহলে নিচের কোন অন্বয়টি সঠিক?
  1. ক
    ক) {(2, 4), (3, 6)}
  2. খ
    খ) {(2, 4), (3, 6), (2, 6)}
  3. গ
    গ) {(4, 6), (3, 4)}
  4. ঘ
    ঘ) {(3, 4), (4, 6)}
ব্যাখ্যা

P x Q = {2, 3, 4} x {4, 6}
= {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 4), (4, 4), (4, 6)}
R = {(2, 4), (3, 6)}
নির্নেয় অন্বয় {(2, 4), (3, 6)}

৫৬৪.
সার্বিক সেট U = {a, b, c, d, e, f}, P = {a, c, e}, Q = {c, e, f} হলে, P‘ ∩ Q‘ এর মান কত?
  1. ক
    {a, d}
  2. খ
    {b, e}
  3. গ
    {d, f}
  4. ঘ
    {b, d}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সার্বিক সেট U = {a, b, c, d, e, f}, P = {a, c, e}, Q = {c, e, f} হলে, P‘ ∩ Q‘ এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
P‘ = U - P
= {a, b, c, d, e, f} - {a, c, e}
= {b, d, f}
আবার, Q‘ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f} - {c, e, f}
= {a, b, d}
∴ P‘ ∩ Q‘ = {b, d, f} ∩ {a, b, d}
= {b, d}
৫৬৫.
কোন পরীক্ষায় ৮০% গণিত এবং ৬০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাস করল ৫০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
  1. ক
    ক) ৫০%
  2. খ
    খ) ৩০%
  3. গ
    গ) ১৫%
  4. ঘ
    ঘ) ১০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৮০% গণিত এবং ৬০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
গণিতে পাশ = n(M) = ৮০%
বাংলায় পাশ = n(B) = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∩ B) = ৫০%

যে কোনো এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∪ B)

 n(M ∪ B) = n(M) + n(B) - n(M ∩ B) 
= ৮০% + ৬০% - ৫০%
= ১৪০% - ৫০%
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করল = ১০০% - ৯০%
= ১০%
৫৬৬.
ফাঁকা সেট একটি____ .
  1. ক
    ক) অনন্ত সেট
  2. খ
    খ) সান্ত সেট
  3. গ
    গ) পূরক সেট
  4. ঘ
    ঘ) ক ও খ
ব্যাখ্যা
সান্ত সেট: গণনা করে যে সকল সেটের সদস্য সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়, এদের সান্ত সেট বলা হয়।
- কোনো সেট A সান্ত সেট না হলে, একে অনন্ত সেট বলা হয়।
- ফাঁকা সেট Ø সান্ত সেট, এর সদস্য সংখ্যা 0।
- A কোনো সান্ত সেট হলে, A এর সদস্য সংখ্যাকে n(A) দ্বারা সূচিত করা হয়।
৫৬৭.
A = {a, b}, B = {a, b, c} এবং C = A ∪ B হলে, C এর প্রকৃত উপসেট কয়টি হবে?
  1. ক
    ক) ৩টি
  2. খ
    খ) ৭টি
  3. গ
    গ) ৮টি
  4. ঘ
    ঘ) ১৫টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {a, b}, B = {a, b, c} এবং C = A ∪ B হলে, C এর প্রকৃত উপসেট কয়টি হবে?

সমাধান: 
C = A ∪ B 
= {a, b} ∪ {a, b, c}
= {a, b, c}

এখানে C এর উপাদান সংখ্যা n = 3 
C এর প্রকৃত উপসেট 23 - 1টি
= 8 - 1টি
= 7টি 
৫৬৮.
যদি A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} তাহলে সেট A নিচের কোনটি?
  1. ক
    {1}
  2. খ
    {1, 2}
  3. গ
    {1, a}
  4. ঘ
    {a, b, c}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} তাহলে সেট A নিচের কোনটি?

সমাধান:
A × B = {(x, y) : x, A সেটের উপাদান এবং y, B সেটের উপাদান}
∴ 1, 2 ∈ A
A = {1, 2}
৫৬৯.
-এর সমান নিচের কোনটি?
  1. ক
    f’ (x)
  2. খ
    f″ (a)
  3. গ
    f’ (a)
  4. ঘ
    df (x) / dx
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: -এর সমান নিচের কোনটি?

সমাধান:
৫৭০.
৩, ৫, ৪, ৫, ৬, ৯, ৪, ৭, ৫, ৩, ৯ উপাত্তগুলোর প্রচুরক-
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৫
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা

- কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
- ৩, ৫, ৪, ৫, ৬, ৯, ৪, ৭, ৫, ৩, ৯ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
- সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫।

৫৭১.
x, y ∈ R এবং f(x, y) = x2y2 যদি g(x) = x2 - 1 হয়, তবে f{2, g(2)} = ?
  1. ক
    36
  2. খ
    63
  3. গ
    45
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা

g(x) = x2 - 1
∴ g(2) = 22 - 1
= 4 - 1
= 3
এখন, f(x, y) = x2y2, f{2, g(2)}
= f(2, 3)
= 22.32
= 36

৫৭২.
যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান কত?
  1. ক
    { }
  2. খ
    {a, b}
  3. গ
    { 0 }
  4. ঘ
    {- a, - b}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2}

প্রদত্ত রাশি, 
N - M = {1, 2} - {a, b, 1, 2} = { }
N - M = { }

অথবা, 
যদি M = {a, b, 1, 2} এবং N = {1, 2} হয়, তবে N - M এর মান হলো একটি খালি সেট, অর্থাৎ ∅ বা { }। এর কারণ হলো N সেটের সকল উপাদান (1 এবং 2) M সেটে উপস্থিত রয়েছে। N - M মানে হলো N সেটের এমন সকল উপাদান যা M সেটে নেই, এবং এই ক্ষেত্রে এমন কোনো উপাদান নেই। 

সুতরাং, N - M = ∅ বা  {}

৫৭৩.
A= { x : 7≤ x < 11 } B = { x : x  মৌলিক সংখ্যা < 15 } হলে A ∩ B  কোনটি? 
  1. ক
    ক) {5,7}
  2. খ
    খ) {9}
  3. গ
    গ) {7}
  4. ঘ
    ঘ) {2,7}
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
A = {x : 7≤ x <11} = {7, 8, 9, 10}
এবং B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15} = {2, 3, 5, 7, 11, 13}

∴ A ∩ B = {7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 5, 7, 11, 13} = {7}
৫৭৪.
A = {x : x বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x < 11 }, তালিকা পদ্ধতিতে কী হবে?
  1. ক
    {2, 3, 5, 7}
  2. খ
    {3, 5, 7, 11}
  3. গ
    {3, 5, 7}
  4. ঘ
    {2, 3, 5, 7, 11}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x < 11 }, তালিকা পদ্ধতিতে কী হবে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যাগুলোর মাঝে 11 থেকে ছোট বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হল = 3, 5, 7
তাহলে তালিকা সেট {3, 5, 7}
৫৭৫.
যদি S = {x | x স্বাভাবিক ও পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 100} হয়, তাহলে S এর তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?
  1. ক
    {0, 2, 4, 5, 9, 58, 49, 56, 99}
  2. খ
    {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
  3. গ
    {1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, 81, 85, 99}
  4. ঘ
    {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 121}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি S = {x | x স্বাভাবিক ও পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং x < 100} হয়, তাহলে S এর তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান:
12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81
∴ S = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
৫৭৬.
একটি ফাংশন f: R⇒R, f(x) = 2x + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে f-1(2) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1/2
  3. গ
    5
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফাংশন f: R⇒R, f(x) = 2x + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে f-1(2) এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
y = f(x) = 2x + 1
বা, y = 2x + 1
বা, 2x = y - 1
বা, x = (y - 1)/2

∴ y = f(x)
বা, f-1(y) = x
বা, f-1(y) = (y - 1)/2
∴ f-1(x) = (x - 1)/2
∴ f-1(2) = (2 - 1)/2 = 1/2
৫৭৭.
A ও B দুটি সেটের মধ্যে (A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা 18, A ও B সেটের উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে 8 ও 15 হলে,  A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা কত হতে পারে? 
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 7
  4. ঘ
    ঘ) 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ও B দুটি সেটের মধ্যে (A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা 18, A ও B সেটের উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে 8 ও 15 হলে,  A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা কত হতে পারে? 

সমাধান: 
n(A ∪ B) = 18
n(A) = 8
n(B) = 15
n(A ∩ B) = ?

আমরা জানি 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B)  -  n(A ∪ B)
n(A ∩ B) = 15 + 8 - 18
     =5
৫৭৮.
যদি U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4} এবং B = {2, 4, 5} হলে A' U B' = ? 
  1. ক
    {1, 3, 4}
  2. খ
    {2, 3, 5}
  3. গ
    {2, 5}
  4. ঘ
    {1, 3, 5}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 4} এবং B = {2, 4, 5} হলে A' U B' = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5},
A = {1, 2, 4}
এবং B = {2, 4, 5}

A‘ = U - A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4}
= {3, 5}

এবং 
B’ = U - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 4, 5}
= {1, 3}

∴ A‘ U B’ = {3, 5} U {1, 3}
= {1, 3, 5}

৫৭৯.
কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীরা ৮০% গণিত এবং ৭৫% বাংলায় পাশ করল । উভয় বিষয়ে পাশ করল ৭০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?
  1. ক
    ক) ১০%
  2. খ
    খ) ১৫%
  3. গ
    গ) ২০%
  4. ঘ
    ঘ) ৩০%
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীরা ৮০% গণিত এবং ৭০% বাংলায় পাশ করল । উভয় বিষয়ে পাশ করল ৭০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
কোন এক বিষয়ে পাশ বা উভয় বিষয়ে পাশ = গণিতে পাশ + বাংলায় পাশ - উভয় বিষয়ে পাশ
= ৮০% + ৭৫% - ৭০%
= ৮৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল = ১০০% - ৮৫%
=১৫%
৫৮০.
A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 13} হলে, A\B = কত?
  1. ক
    {5, 6, 8, 10, 12}
  2. খ
    {4, 6, 8, 9, 10, 12}
  3. গ
    {5, 7, 9, 11, 13}
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12} এবং B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 13} হলে, A\B = কত?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 12}
এখানে x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, এবং x এর মান 3-এর চেয়ে বড় ও 12-এর সমান বা ছোট হতে পারে।
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 13}
অর্থাৎ, 13-এর চেয়ে ছোট বা সমান সকল বিজোড় সংখ্যার সেট ।
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

∴ A\B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} - {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}
= {4, 6, 8, 10, 12}
৫৮১.
1 থেকে 150 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    1/20
  2. খ
    4/75
  3. গ
    1/25
  4. ঘ
    2/25
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1 থেকে 150 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
1 থেকে 150 পর্যন্ত মোট সংখ্যা 150টি।
150 এর মধ্যে পূর্ণ বর্গসংখ্যা 12টি, অর্থাৎ, 1 থেকে 12 পর্যন্ত।

∴ বর্গসংখ্যাগুলো হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 12/150
= 2/25
৫৮২.
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 20} হলে, P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    128
  2. খ
    180
  3. গ
    256
  4. ঘ
    512
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 20} হলে, P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 20}

20 থেকে ছোট বা 20 এর পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = 8 টি সংখ্যা

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 28
= 256
৫৮৩.
n(A ∩ B) = 13, n(A) = 40, n(B) = 64 হয়, তাহলে n(A ∪ B) এর মান নির্নয় করুন।
  1. ক
    ক) 81
  2. খ
    খ) 91
  3. গ
    গ) 93
  4. ঘ
    ঘ) 101
ব্যাখ্যা

n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) - (A ∩ B)
= 40 + 64 – 13
= 91

৫৮৪.
A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    7
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 63 হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1

প্রশ্নমতে,
2n - 1 = 63
⇒ 2n = 63 + 1
⇒ 2n = 64
⇒ 2n = 26
∴ n = 6

[• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}, ∅
এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।]
৫৮৫.
P = {4, 8, 12, 16, 20} সেট কে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    ক) P = { x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x≤20}
  2. খ
    খ) P = { x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x=20}
  3. গ
    গ) P = { x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 6 এর গুণিতক এবং x≤20}
  4. ঘ
    ঘ) P = { x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x>20}
ব্যাখ্যা

P সেটের উপাদান সমূহ 4, 8, 12, 16, 20
এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4- এর গুণিতক এবং 20 - এর চেয়ে বড় নয়
P = {x:x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x≤20}

৫৮৬.
P = {a, b, c, d}, Q = {d, e} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?
  1. ক
    { }
  2. খ
    {(d, d), (d, e)}
  3. গ
    {d, e}
  4. ঘ
    {(a, d)(b, d)(c, d)}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {a, b, c, d}, Q = {d, e} এবং R = P ∩ Q হলে R × Q = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {a, b, c, d}
Q = {d, e}

∴ R = P ∩ Q
= {a, b, c, d} ∩ {d, e}
= {d}

এখন,
R × Q = {d} × {d, e}
= {(d, d), (d, e)}
৫৮৭.
U = {x : x < 9 , x ∈ N}, A = {x : x ∈ N এবং 4 ≤ x ≤ 6} হলে A' = কত?
  1. ক
    {1, 3, 5, 7}
  2. খ
    {1, 2, 4, 7}
  3. গ
    {2, 3, 4, 5, 6}
  4. ঘ
    {1, 2, 3, 7, 8}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: U = {x : x < 9 , x ∈ N}, A = {x : x ∈ N এবং 4 ≤ x ≤ 6} হলে A' = কত?

সমাধান:
U = {x : x < 9, x ∈ N}
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {x : x ∈ N এবং 4 ≤ x ≤ 6}
A = {4, 5, 6}

A' = U - A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} - {4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 7, 8}
৫৮৮.
যদি n(A ∪ B) = 85, n(A) = 37 এবং n(B) = 63 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?
  1. ক
    13
  2. খ
    15
  3. গ
    20
  4. ঘ
    23
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি n(A ∪ B) = 85, n(A) = 37 এবং n(B) = 63 হয়, তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(A ∪ B) = 85
n(A) = 37
n(B) = 63

আমরা জানি, সংযোগ সেটের সূত্র হলো:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
বা, 85 = 37 + 63 - n(A ∩ B)
বা, 85 = 100 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 100 - 85
∴ n(A ∩ B) = 15

৫৮৯.
একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    20
  2. খ
    4
  3. গ
    16
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
এখানে, সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা 2n = 24 = 16 [পাওয়ার সেটের উপাদানকে 2n দ্বারা প্রকাশ করা হয়]
৫৯০.
স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ১৯ জন
  2. খ
    ২১ জন
  3. গ
    ২৩ জন
  4. ঘ
    ২৫ জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্কুলের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ১৫ জন ১০০ মিটার দৌড়ে, ১২ জন ২০০ মিটার দৌড়ে এবং ৭ জন দুটিতেই অংশগ্রহণ করে। ৩ জন প্রতিযোগী কোনোটিতেই অংশগ্রহণ না করলে মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
কোনোটিতেই অংশগ্রহণ করে না = ৩ জন 
উভয় খেলায় অংশগ্রহণ করে = ৭ জন 
শুধু ১০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১৫ - ৭) জন 
= ৮ জন 

আবার, 
শুধু ২০০ মিটার দৌড়ে অংশগ্রহণ করে = (১২ - ৭) জন 
= ৫ জন 

∴ মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা = (৩ + ৭ + ৮ + ৫) জন 
= ২৩ জন। 

৫৯১.
কোন শ্রেণীর 50 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 30 জন ফুটবল, 25 জন ক্রিকেট এবং 11 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন শিক্ষার্থী দুটোর কোনটিই পছন্দ করে না?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 8
  4. ঘ
    ঘ) 9
ব্যাখ্যা

এখানে, n(F) = 30, n(C) = 25 এবং n(F ∩ C) =11
আমরা জানি, n(F U C) = n(F) + n(C) – n(F ∩ C)
= 30 + 25 - 11
= 44
∴ অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে 44 জন।
∴ কোনটিই পছন্দ করে না = 50 - 44 = 6 জন।

৫৯২.
50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন বাংলায় এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?
  1. ক
    ক) 10 জন
  2. খ
    খ) 15 জন
  3. গ
    গ) 30 জন
  4. ঘ
    ঘ) 25 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন বাংলায় এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে। কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান: 
মনে করি,
ইংরেজি ভাষায় কথা বলে n(E) = 35 জন
বাংলা ভাষায় কথা বলে n(B) = 25 জন
উভয় ভাষায় কথা বলে n(E ∩ B) জন

আমরা জানি,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B)
⇒ n(E ∩ B) = n(E) + n(B) - n(E ∪ B)
= 35 + 25 - 50
= 60 - 50
= 10 জন 
৫৯৩.
60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?
  1. ক
    {1, 2, 3, 4, 5}
  2. খ
    {2, 3, 5}
  3. গ
    { }
  4. ঘ
    {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

60 এর উৎপাদক সমূহ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
∴ 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট = {2, 3,5}

অতএব, 60 এর মৌলিক উৎপাদক সমূহ হলো {2, 3,5}
৫৯৪.
যদি f(x) = x2 এবং g(x) = x + 1 হয়, তবে f(g(x)) এর মান কী হবে?
  1. ক
    x2 + 1
  2. খ
    (x + 1)2
  3. গ
    2x + 1
  4. ঘ
    x + 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(x) = x2 এবং g(x) = x + 1 হয়, তবে f(g(x)) এর মান কী হবে?

সমাধান:
f(x) = x2
f(g(x)) = (x + 1)2
৫৯৫.
A - (B ∪ C) is…...
  1. ক
    ক) (A - B) ∪ (A - C)
  2. খ
    খ) A - B - C
  3. গ
    গ) (A - B) ∩ (A - C)
  4. ঘ
    ঘ) A - (B ∩ C)′
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)
৫৯৬.
যেকোনো দুইটি সেট A, B এর ক্ষেত্রে (A ∩ B)' = ?
  1. ক
    ক) A' ∩ B'
  2. খ
    খ) A ∩ B
  3. গ
    গ) A ∪ B
  4. ঘ
    ঘ) A' ∪ B'
ব্যাখ্যা
De Morgan’s Law অনুসারে,
(A ∩ B)' = A' ∪ B'
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
৫৯৭.
যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6} হয়, তবে P ∩ Q' = কত?
  1. ক
    P'
  2. খ
    Ø
  3. গ
    Q
  4. ঘ
    P
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} এবং P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6} হয়, তবে P ∩ Q' = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
P = {2, 3, 5} এবং Q = {4, 6}

এখন, Q' = U - Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} - {4, 6}
= {1, 2, 3, 5, 7}

P ∩ Q' = {2, 3, 5} ∩ {1, 2, 3, 5, 7} = {2, 3, 5} = P

∴ P ∩ Q' = P

৫৯৮.
A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে নিচের কোন সম্পর্কের জন্য n(A) < n(B) লেখা যাবে?
  1. ক
    ক) A ⊂ B
  2. খ
    খ) A ⊆ B
  3. গ
    গ) A ⊄ B
  4. ঘ
    ঘ) A = B
ব্যাখ্যা
n(A) < n(B) লেখা যাবে  যখন A সেটটি B  সেটের প্রকৃত উপসেট  অর্থাৎ A ⊂ B হবে।  

কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2n -1 এবং উপসেট = 2n

ধরি 
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 তাহলে,
ঐ সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2­3 - 1
                                     = 8 - 1
                                      = 7
এবং উপসেটের সংখ্যা= 23 = 8
৫৯৯.
P = {x : x, 15 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 15 এর গুণিতকসমূহ} হলে, P ∩ Q এর মান কত?
  1. ক
    ক) {1, 3, 5,15}
  2. খ
    খ) {5}
  3. গ
    গ) {15}
  4. ঘ
    ঘ) {1, 3, 5, 15, 30, 45, ... .... .... }
ব্যাখ্যা
P
= {x : x, 15 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 3, 5, 15}

Q
= {x : x, 15 এর গুণিতকসমূহ}
= {15, 30, 45, 60, 75, ... .... ....}

অতএব,
P ∩ Q
= {1, 3, 5, 15} ∩ {15, 30, 45, 60, 75, ... .... ....}
= {15}
৬০০.
{x ∈ N : x < 20 এবং x, 3 এর গুণিতক} সেট গুলোর তালিকা পদ্ধতি কোনটি?
  1. ক
    {3, 6, 9, 12, 15}
  2. খ
    {6, 9, 12, 15, 18}
  3. গ
    {3, 6, 9, 12, 15, 18}
  4. ঘ
    {3, 6, 12, 15, 18}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {x ∈ N : x < 20 এবং x, 3 এর গুণিতক} সেট গুলোর তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট এবং 3 এর গুণিতক।
3 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
5 × 3 = 15
6 × 3 = 18
∴ নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9, 12, 15, 18}