লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

মোট প্রশ্ন১,৩৩৪এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সেট, ফাংশন ও ভেনচিত্র

PrepBank · পাতা ২ / ১৪ · ১০১–২০০ / ১,৩৩৪

১০১.
নিচের কোন দু’টি সেটের ছেদ সেট একটি ফাঁকা সেট?
  1. ক
    ক) {x : x মৌলিক সংখ্যার সেট এবং x < 6} এবং {x : x মৌলিক সংখ্যার সেট এবং x2 = 49}
  2. খ
    খ) {x : x, 4 এর গুণিতক}, {x : x, 3 এর গুণিতক}
  3. গ
    গ) {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}
  4. ঘ
    ঘ) {0, 1, 2}, {0, 5, 6}
ব্যাখ্যা
(ক) এর সেটসমূহ {2, 3, 5} ও {7}
∴ ছেদ সেট = Φ
(খ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}
(গ) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}
(ঘ) এর ছেদ সেট = {0}
১০২.
A = {0, 1, 2} হলে নিচের কোনটি A সেটের উপসেট নয়?
  1. ক
    { }
  2. খ
    {0, 1, 2}
  3. গ
    {2, 4}
  4. ঘ
    {0, 2}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {0, 1, 2} হলে নিচের কোনটি A সেটের উপসেট নয়?

সমাধান:
A = {0, 1, 2}
A সেটের উপসেট গুলো হলো: { }, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}
১০৩.
M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 30} হলে M - N = কত?
  1. ক
    {1, 2, 3, 5}
  2. খ
    {1, 2, 3, 6}
  3. গ
    {}
  4. ঘ
    {1, 2, 4, 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 30} হলে M - N = কত?

সমাধান:
এখানে, M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ}
30 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
∴ M = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 30}
5 এর গুনিতকসমূহ = 5, 10, 15, 20, 25, 30, ....
∴ N = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

∴ M - N = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} - {5, 10, 15, 20, 25, 30}
= {1, 2, 3, 6}
১০৪.
A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?
  1. ক
    {6, 9}
  2. খ
    {1, 3, 6 9}
  3. গ
    { }
  4. ঘ
    {1, 3, 9}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?
 
সমাধান:
36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 9, 15, 45
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45} 
= {1, 3, 9}
১০৫.
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে A\B = কত?
  1. ক
    {1, 2, 4, 5, 10, 20}
  2. খ
    {5, 10, 20}
  3. গ
    {5, 10, 15, 20}
  4. ঘ
    {1, 2, 4}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে A\B = কত?

সমাধান:
এখানে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
20 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 20}
3 এর গুনিতক 5, 10, 15, 20, ....
∴ B = {5, 10, 15, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{5, 10, 15, 20}
= {1, 2, 4}
১০৬.
B = {2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. গ
    18
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: B = {2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
B = {2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2n-1
এখানে,
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 4

∴ প্রকৃত উপসেট =  2n-1 = 24-1=16 - 1 = 15

১০৭.
সেট P = {2, 4, 6, 8, 10} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
  1. ক
    P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 10}
  2. খ
    P = {x : x হবে 2 এর গুণিতক, x > 0 অথবা x < 10}
  3. গ
    P = {x : x পূর্ণসংখ্যা, 0 < x < 10}
  4. ঘ
    P = {x : x পূর্ণসংখ্যা, x > 0 এবং x < 10}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট P = {2, 4, 6, 8, 10} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 10 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 10}
১০৮.
একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 4 হলে তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 20
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4
∴ পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা 2n = 24 = 16
১০৯.
A = {4, 5, 6} এবং B = {5, 6, 7} হলে, n(A ∩ B) = কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {4, 5, 6} এবং B = {5, 6, 7} হলে, n(A ∩ B) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6}
B = {5, 6, 7}
A ∩ B = {4, 5, 6} ∩ {5, 6, 7}
= {5, 6}

∴ A ∩ B এর উপাদান সংখ্যা n(A ∩ B) = 2
১১০.
Z = {1, 5} সেটটি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} সার্বিক সেটটির উপসেট হলে, (Z')' সেটটি নির্ণয় করুন-
  1. ক
    {1, 5}
  2. খ
    {2, 3, 4, 6}
  3. গ
    {1, 2}
  4. ঘ
    {2, 3, 5, 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Z = {1, 5} সেটটি U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} সার্বিক সেটটির উপসেট হলে, (Z')' সেটটি নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Z = {1, 5}

এখন, Z' = U - Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {1, 5} = {2, 3, 4, 6}

আবার, (Z')' = U - Z' = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4, 6}
= {1, 5}
১১১.
কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 40 জন বাংলা, 15 জন ইংরেজি এবং 5 জন বাংলা ও ইংরেজি বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষা কতজন বলতে পারে?
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 45
  3. গ
    গ) 50
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 40 জন বাংলা, 15 জন ইংরেজি এবং 5 জন বাংলা ও ইংরেজি বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষা কতজন বলতে পারে?

সমাধান:
এখানে, বাংলায় বলতে পারে, n(B) = 40
ইংরেজিতে বলতে পারে, n(E) = 15
বাংলা ও ইংরেজি বলতে পারে, n(B ∩ E) = 5

আমরা জানি,
n(B ∪ E) = n(B) + n(E) - n(B ∩ E)
⇒ n(B ∪ E) = 40 + 15 - 5
∴ n(B ∪ E) = 50
১১২.
একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 3 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 3 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
একটি সেটের সদস্য সংখ্যা n হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা = 2n - 1

∴ একটি সেটের সদস্য সংখ্যা 3 হলে, প্রকৃত উপসেটের সদস্য সংখ্যা = 23 - 1
= 8 -1
= 7
১১৩.
স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য হলো-
  1. ক
    2
  2. খ
    0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য হলো- 

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট = {1, 2, 3, 4, …}

∴ ক্ষুদ্রতম সদস্য = 1

১১৪.
A = {2, 3, 7, 9} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    14 টি
  2. খ
    15 টি
  3. গ
    16 টি
  4. ঘ
    17 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {2, 3, 7, 9} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = 4 টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 24
= 16 টি

∴ প্রকৃত উপসেট = 16 - 1
= 15 টি
১১৫.
A = {x : x জোড় মৌলিক সংখ্যা}, B = {-1, 1, 2} হলে A - B = ?
  1. ক
    ক) Φ
  2. খ
    খ) {0}

  3. গ
    গ) {2}
  4. ঘ
    ঘ) {-1, 1}
ব্যাখ্যা

এখানে,
A = {2},
B = {-1, 1, 2}
∴ A - B = ∅

১১৬.
f(x) = √(9 - x2) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?
  1. ক
    [- 3, 0)
  2. খ
    (- 3, 3]
  3. গ
    [0, 3]
  4. ঘ
    (0, 3]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = √(9 - x2) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?

সমাধান:
ধরি, y = f(x) = √(9 - x2)

রেঞ্জ বের করার জন্য আমাদের দেখতে হবে y-এর সম্ভাব্য মানগুলো কী কী হতে পারে।

1. বর্গমূলের (√) ভেতরে থাকা রাশি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই ডোমেন নির্ণয়ের জন্য,
9 - x2 ≥ 0
⇒ x2 ≤ 9
⇒ - 3 ≤ x ≤ 3 (এটি হলো ডোমেন)

2. যেহেতু y = √(9 - x2), এবং বর্গমূলের ফলাফল কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই y ≥ 0 হবে।

3. এখন x-এর সীমার মধ্যে y-এর মানগুলো লক্ষ্য করি:
যখন x = 0, তখন y = √(9 - 0) = 3 (এটি সর্বোচ্চ মান)
যখন x = 3 বা - 3, তখন y = √(9 - 9) = 0 (এটি সর্বনিম্ন মান)

অতএব, y-এর মান 0 থেকে শুরু করে 3 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে।

∴ রেঞ্জ = [0, 3]

১১৭.
A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 8}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে A ∩ B = কত?
  1. ক
    {3, 5, 7}
  2. খ
    {3, 5, 9}
  3. গ
    {2, 5, 7}
  4. ঘ
    {4, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 8}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} হলে A ∩ B = কত?

সমাধান: 
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {1, 3, 5, 7, 9}

A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}
১১৮.
A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x2 < 64} হলে P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 256
  2. খ
    খ) 128
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 32
ব্যাখ্যা
Fibonacci ধারাঃ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
∴ A = {0, 1, 2, 3, 5}
ফলে, P(A) = 25 = 32
১১৯.
A ∪ (A ∩ B) = কত?
  1. ক
    ক) (A ∩ B)
  2. খ
    খ) B
  3. গ
    গ) A
  4. ঘ
    ঘ) (A &cup B)
ব্যাখ্যা

ধরি, A = {1, 2, 3, 7, 8}
B = {3, 4, 5, 7}
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∩ {3, 4, 5, 7} = {3, 7}
তাহলে, A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∪ {3, 7}
= {1, 2, 3, 7, 8}
একটু চিন্তা করলেই বুঝা যাবে।

১২০.
কোন শ্রেণীর 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 19 জন অর্থনীতি, 17 জন ভূগোল, 11 জন পৌরনীতি, 12 জন অর্থনীতি ও ভূগোল, 7 জন অর্থনীতি ও পৌরনীতি, 5 জন ভূগোল ও পৌরনীতি এবং 2 জন সবগুলো বিষয় নিয়েছে। কত জন শিক্ষার্থী কোন বিষয়ই নেয় নি?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৫
  3. গ
    গ) ৭
  4. ঘ
    ঘ) ৯
ব্যাখ্যা

অর্থনীতি নিয়েছে, E = 19 জন
ভূগোল নিয়েছে, G = 17 জন
পৌরনীতি নিয়েছে, C = 11 জন
অর্থনীতি ও ভূগোল নিয়েছে, E ∩ G = 12 জন
অর্থনীতি ও পৌরনীতি নিয়েছে, E ∩ C = 7 জন
ভূগোল ও পৌরনীতি নিয়েছে, G ∩ C = 5 জন
সবগুলো বিষয় নিয়েছে, E ∩ G ∩ C = 2 জন
কমপক্ষে একটি বিষয় নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা -
E + G + C - (E ∩ G) - (E ∩ C) - (G ∩ C) + (E ∩ G ∩ C)
= 19 + 17 + 11 - 12 - 7 - 5 + 2
= 25 জন
∴ কোন বিষয়ই নেয়নি (30-25) = 5 জন

১২১.
M = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, M - N কত?
  1. ক
    { }
  2. খ
    {3, 6, 9, 18}
  3. গ
    {1, 2, 3}
  4. ঘ
    {1, 2}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} হলে, M - N কত?

সমাধান:
M = {x : x, 18 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

N = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18}

∴ M - N = {1, 2, 3, 6, 9, 18} - {3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {1, 2}
১২২.
A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    28
  3. গ
    44
  4. ঘ
    72
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 

১২৩.
A = {21, 22, 23, 24} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. গ
    24
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 4 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 24 = 16 

∴ প্রকৃত উপসেট = 16 - 1 
= 15 ।
১২৪.
g(x) = x2 + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:
  1. ক
    (1, - 6)
  2. খ
    (3, - 2)
  3. গ
    (2, 3)
  4. ঘ
    (2, - 3) 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: g(x) = x2 + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
g(x) = x2 + x - 6
আবার,
g(x) = 0

এখন,
x2 + x - 6 = 0
⇒ x2 + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

১২৫.
স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৬ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কত জন কোনোটিই খেলে না?
  1. ক
    ৭ জন
  2. খ
    ৫ জন
  3. গ
    ৮ জন
  4. ঘ
    ১০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্কুলের কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৬ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কত জন কোনোটিই খেলে না? 

সমাধান:
শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
এক বা উভয় খেলা খেলে = ১১ + ৯ + ৭ = ২৭ জন

কোনটিই খেলে না = (৩২ - ২৭) জন
= ৫ জন
১২৬.
3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -
  1. ক
    x + 1
  2. খ
    x + 2
  3. গ
    x - 1
  4. ঘ
    x - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x3 + 2x2 - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে - 

সমাধান: 
ধরি, 
P(x) = 3x3 + 2x2 - 21x - 20 

এখানে, 
P(-1) = 3(-1)3 + 2(-1)2 - 21. (-1) - 20 
= -3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23 
= 0 
∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।
১২৭.
f(x) = x3 + 8 হলে, f(- 2) + f(0) এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    - 12
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + 8 হলে, f(- 2) + f(0) এর মান কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ফাংশন, f(x) = x3 + 8
f(- 2) = (- 2)3 + 8 = - 8 + 8 = 0
এবং
f(0) = (0)3 + 8 = 8
 
∴ f(- 2) + f(0) = 0 + 8 = 8
১২৮.
যদি B = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B)-এর উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    16
  2. খ
    8
  3. গ
    25
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি B = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B)-এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
B = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100}
2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য মানে সংখ্যাটি তাদের ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
∴ ল.সা.গু(2, 3, 5) = 30

∴ 100 অপেক্ষা ছোট 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 30, 60, 90
∴ B = {30, 60, 90} = 3 টি

∴ P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2n = 23 = 8 টি 

সুতরাং, P(B)-এর উপাদান সংখ্যা 8। 

১২৯.
সেট A = {x ∈ N : x2 > 8 এবং x3 < 20} হলে, A = কত?
  1. ক
    {1,2}
  2. খ
    { }
  3. গ
    {1}
  4. ঘ
    {2}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট A = {x ∈ N : x2 > 8 এবং x3 < 20} হলে, A = কত?

সমাধান:
x2 > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x3 < 20; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2}
= {}
১৩০.
Q(x) = 3x3 + 7x2 - 2x - 3 হলে  Q(- 2) এর মান কত?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) - 5
  3. গ
    গ) - 7
  4. ঘ
    ঘ) 7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: Q(x) = 3x3 + 7x2 - 2x - 3 হলে  Q(- 2) এর মান কত?

সমাধান: 
Q(- 2) = 3(- 2)3 + 7(- 2)2 - 2(-2) - 3
= - 24 + 28 + 4 - 3
= 5
১৩১.
S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} হলে n(S) এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} হলে n(S) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
S = {x : x জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ x ≤ 7} 
S  = {2, 4, 6}
n(S) দ্বারা S এর উপাদান সংখ্যা বুঝানো হয়। 
 S এর উপাদান সংখ্যা = 3
n(S) = 3
১৩২.
A = {x ∈ N : 1 <x < 8} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}, হলে A ∩ B = ?
  1. ক
    {2, 4}
  2. খ
    {3}
  3. গ
    {3, 6}
  4. ঘ
    {2, 3, 6}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 <x < 8} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}, হলে A ∩ B = ?

সমাধান:
১৩৩.
একটি  থলেতে 10 টি সাদা এবং 15 টি লাল বল আছে। দৈবচয়নে দুটি বল তুললে দুটিই একই রংয়ের হবার সম্ভাব্যতা -
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 2/25
  3. গ
    গ) 7/20
  4. ঘ
    ঘ) 3/5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি  থলেতে 10 টি সাদা এবং 15 টি লাল বল আছে। দৈবচয়নে দুটি বল তুললে দুটিই একই রংয়ের হবার সম্ভাব্যতা -

সমাধান:
থলেতে 10 টি সাদা এবং 15 টি লাল বল আছে
 মোট বল = 10+15 = 25 টি

সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = (10/25)×(9/24)
                                      = 3/20
লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = (15/25)×(14/24)
                                      =7/20

মোট সম্ভাবনা = (3/20) + (7/20)
 = (3 + 7)/20
= 10/20
= 1/2
১৩৪.
A ও B যথাক্রমে 42 ও 70-এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A∩B নির্ণয় করুন?
  1. ক
    {1, 2, 7, 14}
  2. খ
    {2, 7, 9, 14}
  3. গ
    {1, 2, 7, 16}
  4. ঘ
    {3, 7, 9, 14}
ব্যাখ্যা

এখানে, 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7
42 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
∴ A = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

আবার, 70 = 1 × 70 = 2 × 35 = 5 × 14 = 7 × 10
70 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

∴ A ∩ B= {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} ∩ {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
= {1, 2, 7, 14}

১৩৫.
A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x2 < 16} হলে সেটের উপাদানগুলো হবে?
  1. ক
    {1, 2, 3}
  2. খ
    {- 2, - 4, - 6}
  3. গ
    {1, 3, 5}
  4. ঘ
    {- 1, - 2, - 3}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x2 < 16} হলে সেটের উপাদানগুলো হবে?

সমাধান:
এখানে,
x একটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
x2 < 16 অর্থাৎ, x2 এর মান 16-এর চেয়ে ছোট হতে হবে।
সুতরাং,
(- 1)2 = 1 < 16  ;[ যা 16 এর ছোট]
(- 2)2 = 4 < 16  ;[ যা 16 এর ছোট]
(- 3)2 = 9 < 16  ;[ যা 16 এর ছোট]
(- 4)2 = 16 < 16  ;[ যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ A = {- 1, - 2, - 3}
১৩৬.
যদি A = {1,2,3} হলে B={4,5,6} A ∩ B=?
  1. ক
    {2,3,4,5,6}
  2. খ
    {1,2,3,4,5,6}
  3. গ
    ∅
  4. ঘ
    {2,3,5}
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 
A = {1,2,3}
B={4,5,6} 

A ∩ B= {1,2,3} ∩ {4,5,6} = ∅
১৩৭.
{q ∈ N এবং q2 - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    {4}
  2. খ
    {4, - 4}
  3. গ
    {16, 4}
  4. ঘ
    {- 4, 1}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {q ∈ N এবং q2 - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q2 - 16 = 0
⇒ q2 = 16
⇒ q = √16
∴ q = ± 4

কিন্তু q স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ q = 4

১৩৮.
A = {x : x জোড় মৌলিক সংখ্যা} তালিকা পদ্ধতিতে A = ?
  1. ক
    2
  2. খ
    ∅
  3. গ
    [2]
  4. ঘ
    {2}
ব্যাখ্যা

মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র 2 ই জোড় সংখ্যা
∴ A = {2}

১৩৯.
এক ব্যক্তির 4 জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারে?
  1. ক
    ক) 16
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 31
ব্যাখ্যা

• 4 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে।
• তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
• যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
• অতএব 4 জন বন্ধুকে মোট 2 × 2 × 2 × 2 = 24 উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।
• কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 24 - 1
= 16 - 1
= 15

১৪০.
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা<10} তালিকা পদ্ধতিতে কি হবে?
  1. ক
    ক) [2, 3, 5, 7]
  2. খ
    খ) (2, 3, 5, 7)
  3. গ
    গ) {2, 3, 5, 7}
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলোই
ব্যাখ্যা
10 এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা 2, 3, 4 ও 7। সুতরাং তালিকা পদ্ধতিতে A = {2, 3, 5, 7}
১৪১.
A = {a, b}, B = {b, c} এবং C = {1, 2} হলে, (A ∩ B) ∪ C = ?
  1. ক
    ক) {a, 1, 2}
  2. খ
    খ) ∅
  3. গ
    গ) {b, 1, 2}
  4. ঘ
    ঘ) {c, 1, 2}
ব্যাখ্যা

A ∩ B = {b},
(A ∩ B) ∪ C = {b, 1, 2}

১৪২.
n(A ∪ B) = 19, n(A) = 11 এবং n(A ∩ B) = 5 হলে, n(B) = ?  
  1. ক
    17
  2. খ
    13
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: n(A ∪ B) = 19, n(A) = 11 এবং n(A ∩ B) = 5 হলে, n(B) = ?  

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
n(A ∪ B) = 19
n(A) = 11
এবং n(A ∩ B) = 5

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 19 = 11 + n(B) - 5
⇒ 19 = 6 + n(B)
⇒ n(B) = 19 - 6
∴ n(B) = 13

১৪৩.
যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B এর মান নিচের কোনটি?
  1. ক
    {1, 2, 4} 
  2. খ
    {2, 4, 8}
  3. গ
    {1, 2, 3, 4}
  4. ঘ
    {1, 2, 4, 8}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 16 এর গুণনীয়ক}
A = {1, 2, 4, 8, 16}
একই ভাবে, 
B = {x : x হলো 8 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

তাহলে A ∩ B = {1, 2, 4, 8, 16} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
= {1, 2, 4}

∴ A ∩ B = {1, 2, 4} 

১৪৪.
P = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} এবং Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 
  1. ক
    ক) {6, 12}
  2. খ
    খ) {8, 12}
  3. গ
    গ) {12}
  4. ঘ
    ঘ) {6, 9, 12}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} এবং Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 12} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে, 
P ={x : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}
Q = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 12}

P = {3, 6, 9, 12}
Q = {4, 8, 12}

P ∩ Q = {3, 6, 9, 12} ∩ {4, 8, 12}
           = {12}
১৪৫.
U = {2, 3, 5, 7}, A={2, 5} এবং B = {3, 5, 7} হলে A∩Bc এর মান কত?
  1. ক
    ক) {2}
  2. খ
    খ) {5}
  3. গ
    গ) {2, 5}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 7}
ব্যাখ্যা

U = {2, 3, 5, 7}
A={2, 5}
এবং B = {3, 5, 7}
Bc = {2}
A∩Bc = {2, 5}∩{2} = {2}

১৪৬.
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}, B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, A\B এর মান কত?
  1. ক
    {3, 5, 7}
  2. খ
    {3, 5}
  3. গ
    {3, 5, 7, 8}
  4. ঘ
    {2, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}, B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, A\B এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}
B = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

A = {3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 4, 6, 8}

A\B = {3, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 4, 6, 8}
= {3, 5, 7}
১৪৭.
যদি P = {2, 3, 4}, Q = {4, 6} এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?
  1. ক
    {(2, 4), (3, 6)}
  2. খ
    {(4, 2), (3, 6)}
  3. গ
    {{4, 6}, {3, 6}}
  4. ঘ
    {(3, 4), (2, 6)}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি P = {2, 3, 4}, Q = {4, 6} এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = {2, 3, 4} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x}
এখানে, P × Q = {2, 3, 4} × {4, 6} = {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 4), ( 4, 6)}
∴ R = {(2, 4), (3, 6)}

 ∴ নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), (3, 6)}
১৪৮.
প্রদত্ত চিত্রে (C ∩ D)c = কত?
  1. ক
    ক) {4}
  2. খ
    খ) {3, 4, 5, 6, 8}
  3. গ
    গ) {3, 5, 6, 8}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 5, 8}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে (C ∩ D)c = কত?
 

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্র হতে,
U = {3, 4, 5, 6, 8}
C = {3, 4, 5}
D = {4, 6, 8}

এখন, C ∩ D = {3, 4, 5} ∩ {4, 6, 8}
= {4}
 
(C ∩ D)c = U -  (C ∩ D)
= {3, 4, 5, 6, 8} - {4}
= {3, 5, 6, 8}
১৪৯.
১০০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?
  1. ক
    {৫}
  2. খ
    {২, ৫}
  3. গ
    {৫, ১০, ২০, ২৫, ৫০}
  4. ঘ
    {৫, ১০, ২০, ২৫, ৫০, ১০০}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

১০০ এর উৎপাদক সমূহ = {১, ২, ৪, ৫, ১০, ২০, ২৫, ৫০, ১০০}
∴ ১০০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট = {২, ৫}
১৫০.
১০০ জন সদস্যের একটি পর্যটক দলের ৫৫ জন ল্যাটিন এবং ৪০ জন জার্মান ভাষায় কথা বলে। তাঁদের মধ্যে ২০ জন ল্যাটিন বা জার্মান কোন ভাষাতেই কথা বলে না। তাহলে কতজন কেবলমাত্র একটি ভাষাতেই কথা বলে?
  1. ক
    ১৫
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ৪০
  4. ঘ
    ৬৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ জন সদস্যের একটি পর্যটক দলের ৫৫ জন ল্যাটিন এবং ৪০ জন জার্মান ভাষায় কথা বলে। তাঁদের মধ্যে ২০ জন ল্যাটিন বা জার্মান কোন ভাষাতেই কথা বলে না। তাহলে কতজন কেবলমাত্র একটি ভাষাতেই কথা বলে?

সমাধান:
মোট সদস্য সংখ্যা, n(U) = ১০০ জন
ল্যাটিন বা জার্মান কোনো ভাষাতেই কথা বলে না = ২০ জন
অন্তত একটি ভাষায় কথা বলে, n(L ∪ G) = ১০০ - ২০ = ৮০ জন

ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে, n(L) = ৫৫ জন
জার্মান ভাষায় কথা বলে, n(G) = ৪০ জন

আমরা জানি,
n(L ∪ G) = n(L) + n(G) - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৫৫ + ৪০ - n(L ∩ G)
⇒ ৮০ = ৯৫ - n(L ∩ G)
⇒ n(L ∩ G) = ৯৫ - ৮০
∴ n(L ∩ G) অর্থাৎ, যারা উভয় ভাষায় কথা বলে = ১৫ জন 

কেবল ল্যাটিন ভাষায় কথা বলে = ৫৫ - ১৫ = ৪০ জন
কেবল জার্মান ভাষায় কথা বলে = ৪০ - ১৫ = ২৫ জন

∴ কেবলমাত্র একটি ভাষায় কথা বলে = ৪০ + ২৫ = ৬৫ জন

১৫১.
x3 - 3x2 + 4x - 4 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
  1. ক
    ক) (x - 1)
  2. খ
    খ) (x + 1)
  3. গ
    গ) (x - 2)
  4. ঘ
    ঘ) (x + 2)
ব্যাখ্যা
ধরি,
F(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4
F(2)=23 - 3×22 + 4×2 - 4
      = 8 - 12 + 8 - 4
       = 16 - 16 
       = 0

(x - 2), x3 - 3x2 + 4x - 4 এর একটি উৎপাদক।
১৫২.
কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর ৭০% গণিতে এবং ৮০% বাংলায় পাশ করলো। উভয় বিষয়ে পাশ করলো ৭০%, উভয় বিষয়ে শতকরা কত জন ফেল করলো?
  1. ক
    ৮০%
  2. খ
    ১০%
  3. গ
    ১৫%
  4. ঘ
    ২০%
ব্যাখ্যা

মোট পরীক্ষার্থী, n(S) = ১০০%
গণিতে পাশ, n(M) = ৭০%
বাংলায় পাশ, n(B) = ৮০%
গণিত এবং বাংলায় পাশ, n(M∩B) = ৭০%
গণিত অথবা বাংলায় পাশ, n(M∪B) = ?
আমরা জানি,
n(M∪B) = n(M) + n(B) - n(M∩B)
= ৭০% + ৮০% - ৭০%
= ৮০%
সুতরাং গণিত অথবা বাংলা দুটি বিষয়েই ফেল = ১০০% - ৮০%
= ২০%

১৫৩.
A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 18} হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    127
  2. খ
    64
  3. গ
    81
  4. ঘ
    128
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 18} হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
Z = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 18}
∴ Z = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
Z এর উপাদান সংখ্যা = 7

আমরা জানি,
P(A) = 2n = 27 = 128

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 128
১৫৪.
P = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, P-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    15 টি
  2. খ
    8 টি
  3. গ
    7 টি
  4. ঘ
    16 টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, P-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 4x < 20},
4x < 20
⇒ x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা P সেটের উপাদান।
∴ P = {1, 2, 3, 4}

P সেটের উপসেটের সংখ্যা = 24 = 16
∴ P-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1 = 15 টি

১৫৫.
৩ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?
  1. ক
    অসীম সেট
  2. খ
    ফাঁকা সেট
  3. গ
    সার্বিক সেট
  4. ঘ
    সসীম সেট
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৩ এর গুণিতকসমূহ = ৩,৬, ৯, ১২, . . . ইত্যাদি
∴ ৩ এর গুণিতকের সেট = {৩,৬, ৯, ১২, . . . }

অর্থাৎ, ৩ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।
১৫৬.
P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3; P ও Q স্বাধীন হলে P(Q/P) = কত?
  1. ক
    - 1/9
  2. খ
     2/3
  3. গ
    1/5
  4. ঘ
    5/3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3; P ও Q স্বাধীন হলে P(Q/P) = কত?

সমাধান:
P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3 

P(P ∩ Q) = P(P) × P(Q)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(Q/P) = P(P ∩ Q)/P(P)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

১৫৭.
f(x) = x2 - kx - 48 এবং x - 8, f(x) এর একটি উৎপাদক হলে k = ?
  1. ক
    -2
  2. খ
    -3
  3. গ
    3
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা

x - 8, f(x) এর একটি উৎপাদক
∴ f(8) = 0
বা, 82 - k.8 - 48 = 0
বা, 64 - 8k - 48 = 0
16 - 8k = 0
8k = 16
∴ k = 2

১৫৮.
A = {5, 10, 15, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?
  1. ক
    A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
  2. খ
    A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x < 20}
  3. গ
    A = {x : x, 10 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
  4. ঘ
    A = {5, 10,15, 20}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {5, 10, 15, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান: 
A সেটের উপাদান গুলো 5 এর গুণিতক 20 পর্যন্ত।  
সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
১৫৯.
একটি ক্লাসে 200 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 120 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে, 100 জন ভলিবল খেলা পছন্দ করে এবং 80 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন ছাত্র কোন খেলাই পছন্দ করে না?
  1. ক
    60 জন
  2. খ
    40 জন
  3. গ
    35 জন
  4. ঘ
    45 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 200 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 120 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে, 100 জন ভলিবল খেলা পছন্দ করে এবং 80 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন ছাত্র কোন খেলাই পছন্দ করে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 জন
ভলিবল পছন্দ করে = 100 জন
উভয় খেলা পছন্দ করে = 80 জন

∴ শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 - 80 = 40 জন
∴ শুধু ভলিবল পছন্দ করে = 100 - 80 = 20 জন

∴  অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে = 40 + 20 + 80 = 140 জন

∴ কোন খেলাই পছন্দ করে না = 200 - 140 = 60 জন

১৬০.
A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    31
  3. গ
    15
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25}
⇒ A = {5, 10, 15, 20, 25}

এখানে,
A এর উপাদান সংখ্যা = 5

∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1
= 25 - 1
= 32 - 1
= 31
১৬১.
যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4} এবং C = {4, 1, 2} হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য নয়?
  1. ক
    3 ∈ A
  2. খ
    A ⊂ B
  3. গ
    B ⊂ A
  4. ঘ
    B = C
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4} এবং C = {4, 1, 2} হয়, তবে নিচের কোনটি সত্য নয়?

সমাধান:
• 3 ∈ A (সত্য)
• A ⊂ B (মিথ্যা), কারণ A এর সকল উপাদান B তে নেই।
• B ⊂ A (সত্য)
• B = C (সত্য)
১৬২.
যদি f(x) = 2x - 1 হয়, এর বিপরীত ফাংশন নিচের কোনটি?
  1. ক
    (x - 1)/2
  2. খ
    (x + 2)/2
  3. গ
    (x + 1)/2
  4. ঘ
    (x - 2)/2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x - 1 হয়, এর বিপরীত ফাংশন নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি,
y = f(x) = 2x - 1
or, y = 2x - 1
or, 2x = y + 1
or, x = (y + 1)/2

∴ y = f(x)
Or, f -1(y) = x 
or, f -1(y) = (y + 1)/2
∴ f -1(x) = (x + 1)/2
১৬৩.
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে?
  1. ক
    ক) n(n +1)
  2. খ
    খ) 2n - 1
  3. গ
    গ) 2n
  4. ঘ
    ঘ) n2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n 

অর্থাৎ 
যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 4 হয়, 
তাহলে,  
প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n 
= 24 
= 16
১৬৪.
যদি n(U) = 30, n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ⋂ B) = 4, যেখানে U হল সর্বজনীন সেট, A এবং B হল U এর উপসেট হয়, তাহলে n{(A ⋃ B)c} = কত?
  1. ক
    7
  2. খ
    13
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি n(U) = 30, n(A) = 12, n(B) = 9, n(A ⋂ B) = 4, যেখানে U হল সর্বজনীন সেট, A এবং B হল U এর উপসেট হয়, তাহলে n{(A ⋃ B)c} = কত?

সমাধান:
n(U), n(A), এবং n(B) যথাক্রমে U, A, এবং B সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দেশ করে।
A ⋃ B = A + B - (A ∩ B)
(A ⋃ B)c = U - (A ⋃ B)

n(U) = 20, n(A) = 12, n(B) = 9 এবং n(A ∩ B) = 4

সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 9 - 4 = 17

আবার, উপরে উল্লিখিত সূত্র অনুযায়ী,
n(A ⋃ B)c
= n(U) - n(A ⋃ B) = 30 - 17 = 13
১৬৫.
A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
  1. ক
    30
  2. খ
    31
  3. গ
    32
  4. ঘ
    25
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 25} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
A = {5, 10, 15, 20, 25}
উপাদান সংখ্যা n = 5

আমরা জানি,
A এর মোট উপসেট = 2n = 25 = 32

আবার, 
প্রকৃত উপসেট = মোট উপসেট - 1 = 32 - 1 = 31

∴ প্রকৃত উপসেট 31 

১৬৬.
A = {3, 4, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 
  1. ক
    ৩ টি
  2. খ
    ৬ টি
  3. গ
    ৭ টি
  4. ঘ
    ৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {3, 4, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
A সেটের উপাদান = ৩ টি
= {3, 4, 5}
A এর প্রকৃত উপসেট = ২৩ টি
= ৮ টি
∴ প্রকৃত উপসেট = (৮ - ১) টি
= ৭ টি । 
১৬৭.
P ∪ (P ∩ Q) = কত?
  1. ক
    ∅
  2. খ
    P
  3. গ
    Q
  4. ঘ
    P ∩ Q
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P ∪ (P ∩ Q) = কত?

সমাধান:
ধরি,
P = {a, b, c} এবং Q = {c, d, e}
এখন,
P ∩ Q = {a, b, c} ∩ {c, d, e} = {c}

∴ P ∪ (P ∩ Q) = {a, b, c} ∪ {c} = {a, b, c} = P

১৬৮.
যদি P = {x ∈ N : x,9 এর গুণনীয়ক} এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 6} হয়, তাহলে P\Q এর মান কত?
  1. ক
    {1, 9}
  2. খ
    {1, 5}
  3. গ
    {3, 5}
  4. ঘ
    {1, 3, 4, 5, 9}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : x,9 এর গুণনীয়ক} এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 6} হয়, তাহলে P\Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
P = {x ∈ N : x,9 এর গুণনীয়ক} = {1, 3, 9} 
এবং Q = {x ∈ N : 2 < x < 6} = {3, 4, 5} 

∴ P\Q = {1, 3, 9} \ {3, 4, 5} 
= {1, 9} 

∴ নির্ণেয় সেট: {1, 9} ।
১৬৯.
একটি দলে মোট সদস্য n(s) = ৭০ জন ঐ দলে আরবী ভাষায় কথা বলতে পারে n(A) = ৩৫ জন ফরাসী ভাষায় কথা বলতে পারে n(F) = ৪০ জন যা ভেন চিত্রে দেওয়া আছে। তাহলে দুই ভাষার কোনটিতেই কথা বলতে পারেনা এরুপ সদস্য সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ২০
  4. ঘ
    ঘ) ২৫
ব্যাখ্যা

এখানে,
n(A) = ৩৫,
n(F) = ৪০,
n(A ∩ F) = ২৫
∴ n(A ∩ F) = n(A) + n(F) - n(A ∩ F)
= ৩৫ + ৪০ - ২৫
= ৫০
∴ কোন ভাষায় কথা বলতে পারেনা এরুপ সদস্য সংখ্যা
= n(S) - n(A ∩ F)
= ৭০ - ৫০
= ২০

১৭০.
A = Ø, B = {1, 2} এবং C = {a, b, c} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 14
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = Ø, B = {1, 2} এবং C = {a, b, c} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
P(A) = {0}
A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 20 = 1

আবার,
P(B) = {{1, 2}, {1}, {2}, Ø}
∴ B সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা  = 22 = 4

এবং P(C) = {{a, b,c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, Ø}
∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা 3 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 23 = 8

∴ সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 4 + 8 = 13
১৭১.
কোন স্কুলে ১২০ ছাত্রের মধ্যে ৭৫ জন বাংলা ভাষায় এবং ৬০ জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কত জন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ১৫
  3. গ
    গ) ২০
  4. ঘ
    ঘ) ৩৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  কোন স্কুলে ১২০ ছাত্রের মধ্যে ৭৫ জন বাংলা ভাষায় এবং ৬০ জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে। কত জন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে?

সমাধান: 
শুধু ইংরেজী ভাষায় কথায় বলতে পারে = ১২০ - ৭৫ জন 
= ৪৫ জন 

∴ উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে = ৬০ - ৪৫ জন 
= ১৫ জন 
১৭২.
f(x) = (5x - 13)/(2x - 4) হয়, তবে f(2) = কত?
  1. ক
    10/13
  2. খ
    - 5/3
  3. গ
    - 3
  4. ঘ
    অসংজ্ঞায়িত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = (5x - 13)/(2x - 4) হয়, তবে f(2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(x) = (5x - 13)/(2x - 4)
f(2) = {5(2) − 13}/{2(2) − 4}
f(2) = (10 - 13)/ (4 - 4)
f(2) = - 3/0
অতএব, কোনো ভগ্নাংশের হর শূন্য হলে ভগ্নাংশটির মান নির্ণয় করা যায় না ।
১৭৩.
A = {x : x2 - 3x + 2 = 0} হলে, A সেটটির উপসেট কতটি?
  1. ক
    2 টি 
  2. খ
    3 টি 
  3. গ
    4 টি 
  4. ঘ
    6 টি 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x2 - 3x + 2 = 0} হলে, A সেটটির উপসেট কতটি?

সমাধান:
A = {x : x2 - 3x + 2 = 0}
= {x : x2 - x - 2x + 2 = 0}
= {x : (x - 1) (x - 2) = 0}
= {1, 2}

এখানে,
A সেটের উপাদান সংখ্যা 2 টি 
∴ A সেটের উপসেট সংখ্যা 22 টি = 4 টি
১৭৪.
একটি ক্লাসে 55 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে 35 জন ক্রিকেট খেলে, 28 জন ফুটবল খেলে এবং 13 জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?
  1. ক
    16
  2. খ
    13
  3. গ
    10
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 55 জন শিক্ষার্থী আছে। তাদের মধ্যে 35 জন ক্রিকেট খেলে, 28 জন ফুটবল খেলে এবং 13 জন উভয় খেলায় অংশ নেয়। তাহলে কতজন শিক্ষার্থী কোনো খেলাই খেলে না?

সমাধান:
ক্রিকেট খেলে, n(C) = 35 জন
ফুটবল খেলে, n(F) = 28 জন
উভয় খেলা খেলে, n(C ∩ F) = 13 জন

আমরা জানি,
n(C ∪ F) = n(C) + n(F) - n(C ∩ F)
= 35 + 28 - 13
= 63 - 13
= 50

∴ না খেলা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 55 - 50 = 5 জন

১৭৫.
50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। শুধু বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন?
  1. ক
    18 জন
  2. খ
    10 জন
  3. গ
    13 জন
  4. ঘ
    15 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। শুধু বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন?

সমাধান: 
উভয় ভাষায় কথা বলতে পারেন = 25 জন 
শুধু ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = (35 - 25) জন = 10 জন 
∴ বাংলায় কথা বলতে পারেন = {50 - (25 + 10)} জন 
= (50 - 35) জন 
= 15 জন 

∴ শুধু বাংলায় কত জন কথা বলতে পারেন =  15 জন।
১৭৬.
কোনো ক্লাসের ৩২ জন ছাত্রের মধ্যে ১৮ জন ক্রিকেট খেলে, ১৬ জন ফুটবল খেলে এবং ৭ জন দুটিই খেলে। কতজন কোনটিই খেলে না?
  1. ক
    ক) ২ জন
  2. খ
    খ) ৩ জন
  3. গ
    গ) ৫ জন
  4. ঘ
    ঘ) ৭ জন
ব্যাখ্যা

শুধু ক্রিকেট খেলে = ১৮ - ৭ = ১১ জন।
শুধু ফুটবল খেলে = ১৬ - ৭ = ৯ জন।
কোনটিই খেলে না = ৩২ - (১১ + ৯ + ৭)
= ৩২ - ২৭
= ৫ জন

১৭৭.
f(x) = x3 + 8x2 - 2x + 8 হলে, f(- 2) = কত?
  1. ক
    - 23
  2. খ
    32
  3. গ
    - 63
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: f(x) = x3 + 8x2 - 2x + 8 হলে, f(- 2) = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ফাংশন,
f(x) = x3 + 8x2 - 2x + 8
f(- 2) = (- 2)3 + 8( - 2)2 - 2(- 2) + 8
= -8 + 32 + 4 + 8
= 36
১৭৮.
A = {2, e} হলে P(A) কোনটি?
  1. ক
    ক) {{2}, {e}}
  2. খ
    খ) { }
  3. গ
    গ) {{2}, {e}, {2, e}}
  4. ঘ
    ঘ) {{2, e}, {e}, {2}, ∅} 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {2, e} হলে P(A) কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 A = {2, e}
∴ P(A) = {{2, e}, {e}, {2}, ∅} 

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2n 
১৭৯.
সেট P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?
  1. ক
    P = {x : x হবে 2 এর গুণিতক, x > 0 অথবা x < 12}
  2. খ
    P = {x : x পূর্ণসংখ্যা, x > 0 এবং x < 12}
  3. গ
    P = {x : x পূর্ণসংখ্যা, 0 < x < 12}
  4. ঘ
    {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 12}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সেট P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা
2 এর চেয়ে ছোটো নয় আবার 12 এর চেয়ে বড়ো নয়
প্রতিটি সংখ্যা 2 এর গুণিতক

সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে,
P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 2 এর গুণিতক, 2 ≤ x ≤ 12}
১৮০.
যদি A = {a, b, c} হয়, তবে A এর অপ্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    ক) 9টি
  2. খ
    খ) 8টি
  3. গ
    গ) 7টি
  4. ঘ
    ঘ) 1টি
ব্যাখ্যা

A এর উপসেট সংখ্যা = 2n = 23 = 8 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 23 - 1 = 8-1 = 7 টি।
এবং A এর অপ্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 1 টি।

১৮১.
P = {x, y, z} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. গ
    7
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: P = {x, y, z} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x, y, z} সেটের উপাদান সংখ্যা 3 টি।

আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1 ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ P সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 23 - 1 = 8 - 1 = 7
১৮২.
যদি n(A∩B) = 15, n(A) = 40, n(B) = 35 হয় তাহলে n(A∪B) এর মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    60
  3. গ
    50
  4. ঘ
    65
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি n(A∩B) = 15, n(A) = 40, n(B) = 35 হয় তাহলে n(A∪B) এর মান কত?

সমাধান:
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 40 + 35 - 15
= 60
১৮৩.
সেট A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x2 ≤ 64} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 64
  3. গ
    গ) 128
  4. ঘ
    ঘ) 256
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
A = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x2 ≤ 64} = {0, 1, 2, 3, 5, 8}    [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2n
এখানে, n = 6
∴ P(A) সেটের উপাদান সংখ্যা = 26 = 64টি।

১৮৪.
A = {x:x ∈ N এবং x2 < 25} এবং B = {x:x মৌলিক সংখ্যা এবং x2 < 25} হলে A∩B = ?
  1. ক
    (2, 3)
  2. খ
    {2, 3}
  3. গ
    [2, 3]
  4. ঘ
    {1, 2, 3}
ব্যাখ্যা
এখানে, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3}
∴ A∩B = {2, 3}.
১৮৫.
A∪B = {a, b, c} হলে কোনটি সঠিক?
i. A = {a, b}, B = {a, b, c} ii. A = {a, b, c}, B = {b, c} iii. A = {a, b}, B = {c}
  1. ক
    i
  2. খ
    ii
  3. গ
    i, ii
  4. ঘ
    i, ii, iii
ব্যাখ্যা
i. A = {a, b}, B = {a, b, c}
A∪B = {a, b}∪ {a, b, c} = {a, b, c}
ii. A = {a, b, c}, B = {b, c}
A∪B = {a, b, c}∪ {b, c} = {a, b, c}
iii. A = {a, b}, B = {c}
A∪B = {a, b}∪ {c} = {a, b, c}
১৮৬.
A = {11, 12, 13, 14} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?
  1. ক
    15 টি
  2. খ
    16 টি
  3. গ
    3 টি
  4. ঘ
    9 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {11, 12, 13, 14} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = 4 টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 24 = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1 = 15 টি
১৮৭.
৯০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৪ জন ইংরেজি, ৫৮ জন গণিতে এবং ৪৮ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?
  1. ক
    ১৬ জন
  2. খ
    ১২ জন
  3. গ
    ২০ জন
  4. ঘ
    ৮ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৯০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৪ জন ইংরেজি, ৫৮ জন গণিতে এবং ৪৮ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট শিক্ষার্থী = ৯০
ইংরেজিতে পাশ করেছেন = ৬৪
গণিতে পাশ করেছেন = ৫৮
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৪৮

∴ শুধু ইংরেজিতে পাশ = (৬৪ - ৪৮) জন = ১৬ জন
∴ শুধু গণিতে পাশ = (৫৮ - ৪৮) জন = ১০ জন

সুতরাং কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (১৬ + ১০ + ৪৮) জন
= ৭৪ জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (৯০ - ৭৪) জন
= ১৬ জন
১৮৮.
f(x) = (6x + 3)/(4x - 2) হলে, f(3/2) এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    6
  3. গ
    1
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: f(x) = (6x + 3)/(4x - 2) হলে, f(3/2) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = (6x + 3)/(4x - 2)
∴ f(3/2) = {6 × (3/2) + 3}/{4 × (3/2) - 2}
= (9 + 3)/(6 - 2)
= 12/4
= 3

১৮৯.
50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় মোট কত জন কথা বলতে পারেন? 
  1. ক
    20 জন
  2. খ
    25 জন
  3. গ
    30 জন
  4. ঘ
    40 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজ ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় মোট কত জন কথা বলতে পারেন? 

সমাধান: 
মোট লোক সংখ্যা = ৫০
ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = ৩৫ জন
ইংরেজি ও বাংলা উভয় ভাষায় কথা বলতে পারেন = ২৫ জন 
∴ শুধু ইংরেজিতে কথা বলতে পারেন = (35 - 25) জন
= 10 জন 

আবার,
শুধু বাংলা বলতে পারেন এমন লোকের সংখ্যা = (50 − 35) জন
= 15 জন 

∴ মোট বাংলায় কথা বলতে পারেন এমন লোকের সংখ্যা = {15 (শুধু বাংলা) + 25 (ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই)} জন
= 40 জন 

∴ বাংলায় কথা বলতে পারেন = 40 জন ।
১৯০.
A = {x ∈ N : x, 24 এর গুণনীয়ক এবং 4 এর গুণিতক} হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে? 
  1. ক
    ক) A = {2, 4, 8, 12}
  2. খ
    খ) A = {2, 3, 6, 12}
  3. গ
    গ) A = {4, 8, 12, 24}
  4. ঘ
    ঘ) A = {2, 4, 12, 24}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A= {x ∈ N : x, 24 এর গুণনীয়ক এবং 4 এর গুণিতক} হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে? 

সমাধান:
24 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
24 এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে 4 এর গুণিতকগুলো হলো: 4, 8, 12, 24
A = {4, 8, 12, 24}
১৯১.
৫ উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের মোট কতটি উপসেট আছে?
  1. ক
    ক) ১৬
  2. খ
    খ) ৫n
  3. গ
    গ) ৩২
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

৫ উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের মোট উপসেট আছে = ২৫ = ৩২ টি

১৯২.
A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A\B এর মান কত?
  1. ক
    {3, 5}
  2. খ
    {4, 6}
  3. গ
    {3, 5, 6}
  4. ঘ
    {3, 5, 2, 8}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A\B এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
এখানে, x এর মান 2 থেকে বড় এবং 6 এর ছোট বা সমান স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6}

আবার, 
B  = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা যা 8 এর ছোট বা সমান। 
∴ B = {2, 4, 6, 8}

প্রদত্ত রাশি, 
A\B = {3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6, 8} = {3, 5}
∴ A\B =  {3, 5}

১৯৩.
যদি S = {1, 2} এবং T = {1, 2, 3} হলে, (S × T) এর মান কত?
  1. ক
    {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
  2. খ
     {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
  3. গ
     {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি S = {1, 2} এবং T = {1, 2, 3} হলে, (S × T) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
S = {1, 2}
এবং T = {1, 2, 3}

 S × T = {1, 2} × {1, 2, 3}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

১৯৪.
A = {1, 2, 3, a, b} হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?
  1. ক
    32
  2. খ
    16
  3. গ
    128
  4. ঘ
    64
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {1, 2, 3, a, b} হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3, a, b}
এখানে A এর উপাদান সংখ্যা 5 টি।
∴ P(A) = 2n
= 25
= 32
১৯৫.
A = {x : x2 - 5x + 6 = 0} এবং B = {x : x2 - 11x + 24 = 0} হয় তবে (A - B) এর মান কত?
  1. ক
    ক) {2, 3}
  2. খ
    খ) {2}
  3. গ
    গ) {8}
  4. ঘ
    ঘ) {3, 8}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: A = {x : x2 - 5x + 6 = 0} এবং B = {x : x2 - 11x + 24 = 0} হয় তবে (A - B) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
x2 - 5x + 6 = 0
বা, x2 - 2x - 3x + 6 = 0
বা, x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
বা, (x - 2)(x - 3) = 0

হয় x - 2 = 0
বা, x = 2
অথবা,
x - 3 = 0
বা, x = 3

∴ A = {2, 3}

আবার,
x2 - 11x + 24 = 0
বা, x2 - 3x - 8x + 24 = 0
বা, x(x - 3) - 8(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 8) = 0

হয়
x - 3 = 0
বা, x = 3
অথবা,
x - 8 = 0
বা, x = 8

∴ B = {3, 8}

এখন,
A - B = {2, 3} - {3, 8}
= {2}
১৯৬.
A = {1, 2, 3} এবং B = {1, 3} হলে -
  1. ক
    ক) A ⊂ B
  2. খ
    খ) A × B = B × A
  3. গ
    গ) A × A = B × B
  4. ঘ
    ঘ) B × B ⊂ A × A
ব্যাখ্যা
A × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)}
B × B = {(1, 1), (1, 3), (3, 1) (3, 3)}
∴ A × A ⊂ B × B.
১৯৭.
যদি g(x) = x4 + 2x3 + bx2 + cx + 6 একটি বহুপদী ফাংশন যেখানে g(1) = 0 এবং g(- 2) = 0 হয়, তবে b এর মান নির্ণয় করুন?
  1. ক
    - 1
  2. খ
    3
  3. গ
    - 4
  4. ঘ
    2
  5. ঙ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি g(x) = x4 + 2x3 + bx2 + cx + 6 একটি বহুপদী ফাংশন যেখানে g(1) = 0 এবং g(- 2) = 0 হয়, তবে b এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
g(x) = x4 + 2x3 + bx2 + cx + 6
⇒ g(1) = (1)4 + 2(1)3 + b(1)2 + c(1) + 6
⇒ g(1) = 1 + 2 + b + c + 6
⇒ g(1) = b + c + 9
∴ b + c + 9 = 0 ...... (1) ;[g(1) = 0]

আবার,
g(x) = x4 + 2x3 + bx2 + cx + 6
⇒ g(- 2) = (- 2)4 + 2(- 2)3 + b(- 2)2 + c(- 2) + 6
⇒ g(- 2) = 16 - 16 + 4b - 2c + 6
⇒ g(- 2) = 4b - 2c + 6
⇒ 4b - 2c + 6 = 0  ;[g(- 2) = 0]
∴ 2b - c + 3 = 0 ......... (2)

এখন (1) + (2) করে পাই,
⇒ b + c + 9 + (2b - c + 3) = 0
⇒ b + c + 9 + 2b - c + 3 = 0
⇒ 3b = - 12
∴ b = - 4
১৯৮.
কোনো শ্রেণির 35 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে । দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না? 
  1. ক
    ক) 5 জন
  2. খ
    খ) 10 জন
  3. গ
    গ) 15 জন
  4. ঘ
    ঘ) 20 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো শ্রেণির 35 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে । দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না? 

সমাধান: 
দুটি খেলা পছন্দ করে = 10 জন
শুধু ফুটবল পছন্দ করে = 20 - 10 = 10 জন
শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 15 - 10 = 5 জন

∴খেলা পছন্দ করে = 10 + 10 + 5 = 25 জন

দুটি খেলাই পছন্দ করে না = 35 - 25 = 10 জন।
১৯৯.
{x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} সেটটির তালিকা পদ্ধতি নিচের কোনটি?
  1. ক
    {1, 3, 5}
  2. খ
    {1, 2, 5}
  3. গ
    {2, 3, 5}
  4. ঘ
    {3, 5, 7}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} সেটটির তালিকা পদ্ধতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। - এগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

∴ {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} = {2, 3, 5}
২০০.
3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?
  1. ক
    ক) সসীম সেট
  2. খ
    খ) অসীম সেট
  3. গ
    গ) ফাঁকা সেট
  4. ঘ
    ঘ) পূরক সেট
ব্যাখ্যা
অসীম সেট (Infinite set):
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে ।
অসীম সেটের একটি উদাহরণ 3 এর গুণিতকের সেট , A = {3, 6, 9, 12, 15,.......} 
এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না ।