পাটিগণিত

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

অনুপাতের সমষ্টি = ৭+৩ = ১০
∴ ৬০ লিটার মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = ৬০ এর ৭/১০ = ৪২ লিটার।

প্রশ্ন: ১৬ জন লোক প্রতিদিন ৬ ঘণ্টা করে কাজ করলে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারবে। ১০ জন লোক প্রতিদিন ৮ ঘণ্টা কাজ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
 M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ 
⇒ ১৬ × ১০ × ৬ = ১০ × D₂ × ৮
⇒ D₂ × ৮ = ১৬ × ৬
⇒ D₂ = (১৬ × ৬)/৮ 
∴ D₂ = ১২ 

সুতরাং, কাজটি ১২ দিনে শেষ হবে।

৪০ লিটার মিশ্রণে লিচুর রস আছে (৪০×৩)/(৩+১) = ৩০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস আছে (৪০-৩০) = ১০ লিটার।
মিশ্রণটিতে লিচু ও কমলার রসের অনুপাত ১:২ হতে হলে কমলার রস থাকতে হবে (৩০×২) = ৬০ লিটার।
সুতরাং কমলার রস মিশাতে হবে (৬০-১০) = ৫০ লিটার

২টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি লেবুর ক্রয়মূল্য ৫/২ টাকা
৪০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১৪০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫/২ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (৫/২) × (১৪০/১০০)
= ৭/২ টাকা
৭/২ টাকায় বিক্রয় করতে হয় ১ টি
∴ ৩৫ টাকায় বিক্রয় করতে হয় = (২ × ৩৫)/৭
= ১০ টি

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবী তার বেতনের ১/৫ অংশ বাড়িভাড়া, ১/৪ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৩ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = ১/৫ + ১/৪ + ১/৩
= ১২/৬০ + ১৫/৬০ + ২০/৬০
= ৪৭/৬০

অবশিষ্ট = ১ - (৪৭/৬০)
= ১৩/৬০

শতকরা অবশিষ্ট = (১৩/৬০)/১ × ১০০%
= ১৩০০/৬০%
= ২১.৬৭%

প্রশ্ন: একটি দুর্গে ৫৫ দিনের জন্য ১২০০ সৈন্যের খাবার রয়েছে। ১০ দিন পর ২০০ সৈন্য দুর্গ ছেড়ে যায়। অবশিষ্ট খাবার কত দিন চলবে? 

সমাধান: 
১০ দিন পর সৈন্য আছে= (১২০০ - ২০০) জন
= ১০০০ জন
এবং
দিন বাকি = (৫৫ - ১০) দিন
= ৪৫ দিন

এখন,
১২০০ জন সৈন্যের খাবার আছে = ৪৫ দিনের 
∴ ১ জন সৈন্যের খাবার আছে = ৪৫ × ১২০০ দিনের 
∴ ১০০০ জন সৈন্যের খাবার আছে = (৪৫ ×১২০০)/১০০০ দিনের 
= ৫৪ দিনের 

∴  অবশিষ্ট খাবার চলবে = ৫৪ দিন । 

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৩ ও ১২ হলে মধ্য সমানুপাতিক কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক্রমিক সমানুপাতের ১ম রাশি = ৩ 
ক্রমিক সমানুপাতের ৩য় রাশি = ১২ 
ক্রমিক সমানুপাতের দ্বিতীয় রাশিটিকে প্রথম ও তৃতীয় রাশির মধ্য সমানুপাতিক বলে। 

∴ (দ্বিতীয় রাশি)^২ = প্রথম রাশি × তৃতীয় রাশি 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩ × ১২ 
বা, (দ্বিতীয় রাশি)^২ = ৩৬ 
বা, দ্বিতীয় রাশি = √(৩৬) 
∴ দ্বিতীয় রাশি = ৬ 

∴ মধ্য সমানুপাতিক = ৬।

প্রশ্ন: পিতাও পুত্রের বয়সের অনুপাত 3 : 1, 5 বছর পূর্বে তাদের বয়সের সমষ্টি ছিল 50 বছর। পুত্রের বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান:
ধরি, বর্তমানে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = 3 : 1
অর্থাৎ পিতার বয়স = 3x বছর, পুত্রের বয়স = x বছর

5 বছর আগে তাদের বয়স ছিল যথাক্রমে (3x - 5) ও (x - 5)
বয়সের সমষ্টি = 50 বছর

প্রশ্নমতে,  
(3x - 5) + (x - 5) = 50
⇒ 4x - 10 = 50 
⇒ 4x = 60
⇒ x = 15

অতএব পুত্রের বর্তমান বয়স = 15 বছর 

যে সকল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান সে অনুপাতকে একক অনুপাত বল।
যেমনঃ- ১৫ঃ১৫, ১ঃ১, ২০ঃ২০ ইত্যাদি

প্রশ্নঃ দুটি রাশির যোগফল ১৬০। তাদের অনুপাত ৩ : ৫ হলে, ১ম রাশি ২য় রাশির শতকরা কত অংশ তা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ
রাশি দুটির যোগফল = ১৬০
অনুপাত = ৩ : ৫
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ = ৮
১ম রাশি = ১৬০ এর  ৩/৮ অংশ = ৬০
২য় রাশি = ১৬০ এর ৫/৮​ অংশ = ১০০

∴ ১ম রাশি, ২য় রাশির শতকরা = (৬০/১০০)×১০০ = ৬০%

আমরা জানি,
I = pnr = 6000 × 5 × (8/100) = 2400
আবার, 2400 = 10000 × 3 × r/100
সুতরাং, r = 2400/300 = 8% = 0.08

Question: In a class, the number of boys is 35% more than that of the girls. The total number of students in the class is 94. If 6 more boys are admitted to the class, the ratio of the number of boys to that of the girls is-

Solution:
ধরি,
ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা হলো x
প্রশ্নানুযায়ী, ছাত্রের সংখ্যা ছাত্রীর সংখ্যার চেয়ে 35% বেশি।
সুতরাং, ছাত্রের সংখ্যা = x + (x এর 35%)
= x + (35x/100)
= x + (7x/20)
= 27x/20

এবং
দেওয়া আছে,
ক্লাসে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 94 জন

প্রশ্নমতে,
 x + (27x/20) = 94
⇒ 47x/20 = 94
⇒ x = (94 × 20)/47 
∴ x = 40
 অতএব, ক্লাসে ছাত্রীর সংখ্যা হলো 40 জন।
সুতরাং, ছাত্রের সংখ্যা হলো = (27/20) × 40 = 54 জন।

আবার,
ক্লাসে আরও 6 জন নতুন ছাত্র ভর্তি হয়।
∴ মোট ছাত্রের সংখ্যা = 54 + 6 = 60 জন।

এখন,
∴ ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত = 60 : 40 = 3 : 2

• ৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ১টি।
• ৯৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।
• ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।

আমরা জানি,
৬০ থেকে ৯০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৮৯ এবং ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১।
সুতরাং সংখ্যা দুটির মধ্যে পার্থক্য = ৮৯ - ৬১
= ২৮

প্রশ্ন: একটি সাইকেল ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। সাইকেলটি আরও ১২০০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রয় করলে ১০% লাভ হতো। সাইকেলটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
সাইকেলটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৫) টাকা = ৯৫ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১১০ - ৯৫) টাকা = ১৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১২০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১২০০)/১৫ টাকা = ৮০০০ টাকা

প্রশ্ন: রুবেল ও রাফির আয়ের অনুপাত ৭ : ৫ এবং রাফি ও মামুনের আয়ের অনুপাত ২ : ৩। রুবেলের আয় ২১০ টাকা হলে মামুনের আয় কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
রুবেল : রাফি = ৭ : ৫
রাফি : মামুন = ২ : ৩
রুবেল : রাফি : মামুন = ৭ × ২ : ৫ × ২ : ৫ × ৩ = ১৪ : ১০ : ১৫
অতএব,
রুবেল : মামুন = ১৪ : ১৫

∴ মামুনের আয় = (রুবেলের আয় × ১৫​)/১৪
= (২১০ × ১৫)/ ১৪
= ২২৫

∴ মামুনের আয় ২২৫ টাকা।

প্রশ্ন: 4.3^. এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

সমাধান:
4.333..
= 4 + 0.3333 
= 4 + 1/3
= (12 + 1)/3
= 13/3

প্রশ্ন: m ও n উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 1 = (1 × 3) + 1 = 4  ⇒ জোড়
গ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
ঘ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒  বিজোড়

∴ শুধুমাত্র খ) mn + 1 জোড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৩.৫% সরল মুনাফায় কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৬ বছরে মুনাফা-আসলে ১৩৩১ টাকা হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সরল মুনাফার হার, r = ৩.৫%
সময়, n = ৬ বছর
মুনাফা-আসলে, A = ১৩৩১ টাকা

আমরা জানি, 
মুনাফা = Prn/১০০
= (P × ৬ × ৩.৫)/১০০
= ২১P/১০০ 
∴ মুনাফা = ০.২১P

আমরা জানি, 
মুনাফা-আসলে = আসল + মুনাফা
⇒ P + ০.২১P = ১৩৩১
⇒ P(১ + ০.২১) = ১৩৩১
⇒ P = ১৩৩১/১.২১
∴ P = ১১০০ টাকা 

সুতরাং, ১১০০ টাকা বিনিয়োগ করলে ৬ বছরে ১৩৩১ টাকা হবে।

প্রশ্ন: চালের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়াতে একটি পরিবার চাল খাওয়া এমনিভাবে কমালো যে চাল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পেল না। ঐ পরিবার চাল খাওয়া বাবদ শতকরা কত কমালো?

সমাধান:
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

∴ বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমুল্য = (১০০×১০০)/১২৫
= ৮০ টাকা

∴ঐ পরিবার চাল খাওয়া কমালো (১০০ - ৮০) = ২০%

আমরা জানি,
মুনাফা, I = pnr
দেওয়া আছে,
মুনাফা, I = ৪৮০ টাকা
আসল, p = ৮০০ টাকা
সুদের হার, r = ৬/১০০
এবং সময়, n = ?
এখন, I = pnr
বা, n = I/pr
বা, n = ৪৮০/(৮০০×৬/১০০)
বা, n = ৪৮০/৪৮
বা, n = ১০

২০% কমে,
১০০ টাকায় কমে ২০ টাকা
১ টাকায় কমে ২০/১০০ টাকা
১২ টাকায় কমে ২০×১২/১০০ টাকা
= ২.৪ টাকা

শর্তমতে,
লিচুর দাম ২.৪ টাকা কমে যাওয়ায় ২ টি লিচু বেশি পাওয়া যায়।

সুতরাং ২টি লিচুর দাম = ২.৪ টাকা
তাহলে ১টি লিচুর দাম = ১.২ টাকা।

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক গাছকে ১২, ১৮, ২৪ এবং ৩৬ টি সারিতে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে রোপণ করা সম্ভব?

সমাধান:
১২ = ২ × ২ × ৩ = ২^২ × ৩^১
১৮ = ২ × ৩ × ৩ = ২^১ × ৩^২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৩ × ৩^১
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ২^২ × ৩^২

∴ ল.সা.গু = ২^৩ × ৩^২ = ৮ × ৯ = ৭২

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের ঘাত জোড় হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত = ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত = ২ (জোড়)।
∴ এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, নির্ণেয় সর্বনিম্ন গাছের সংখ্যা = ৭২ × ২ = ১৪৪

∴ সর্বনিম্ন ১৪৪টি গাছকে সারিতে ভাগ করে বর্গাকারে রোপণ করা সম্ভব।

প্রশ্ন: ৮১ লিটার মিশ্রনে দুধ ও পানি ৭ : ২ অনুপাতে মিশ্রিত আছে। কি পরিমাণ দুধ যোগ করলে মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত ৮ : ২ হবে? 

সমাধান: 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাত = ৭ : ২ 
মিশ্রনে দুধ ও পানির অনুপাতের সমষ্টি = ৯ 
∴ দুধ = (৮১ × ৭)/৯ = ৬৩ লিটার 
এবং 
পানি = (৮১ × ২)/৯ = ১৮ লিটার 

মনে করি, 
ক লিটার দুধ যোগ করতে হবে। 

প্রশ্নমতে, 
 ৬৩ + ক : ১৮ = ৮ : ২
বা, (৬৩ + ক)/১৮ = ৮/২
​বা, (৬৩ + ক)/১৮  = ৪  
​​বা, ৬৩ + ক  = ৪ × ১৮
বা, ৬৩ + ক = ৭২ 
বা, ক = ৭২ - ৬৩ 
∴ ক = ৯ 

∴ দুধ যোগ করতে হবে = ৯ লিটার ।

প্রশ্ন: ১২০০ মিটার একটি ট্রেন ৪০০ মিটারের একটি ব্রিজকে ৪০ সেকেন্ডে অতিক্রম করতে চাইলে তার গতি কত রাখতে হবে?

সমাধান: 
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১২০০ মিটার
ব্রিজের দৈর্ঘ্য = ৪০০ মিটার
সময় = ৪০ সেকেন্ড

মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ব্রিজের দৈর্ঘ্য 
= ১২০০ + ৪০০
= ১৬০০ মিটার

গতি রাখতে হবে = ১৬০০/৪০ মিটার/সেকেন্ড
= ৪০ মিটার/সেকেন্ড
= (৪০ × ৩.৬) কি.মি./ঘন্টা [যেহেতু ১ মিটার/সেকেন্ড = ৩৬০০/১০০০ = ৩.৬ কি.মি./ঘণ্টা]
= ১৪৪ কি.মি./ঘন্টা

∴ ট্রেনটির গতি রাখতে হবে ১৪৪ কি.মি./ঘন্টা। 

প্রশ্ন: তিনটি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১৬৫। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, (ক + ২) এবং (ক + ৪)
​
প্রশ্নমতে,
ক+ (ক + ২) + (ক + ৪) = ১৬৫
⇒ ৩ক + ৬ = ১৬৫
⇒ ৩ক = ১৬৫- ৬
⇒ ৩ক = ১৫৯
⇒ ক = ১৫৯/৩
⇒ ক = ৫৩

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (৫৩ + ২) = ৫৫

ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা
= ১০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৯০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১৮০) / ৯০ টাকা
= ২০০ টাকা

৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৬০+৩ = ৬৩