পাটিগণিত

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় 6। যদি প্রত্যেক সংখ্যা থেকে 3 বিয়োগ করা হয়, তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
ছয়টি সংখ্যার গড় = ৬ 
∴ ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬ × ৬)
= ৩৬

আবার,
প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করা হলে-
ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = {৩৬ - (৬ × ৩)}
= (৩৬ - ১৮)
= ১৮

∴ নতুন সংখ্যাগুলোর গড় = ১৮/৬
= ৩

১২ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা
∴ ৪ টি কলার ক্রয়মূল্য (৪৮ × ৪)/১২ = ১৬ টাকা
২৫% লাভে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১৬ টাকায় বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ১৬)/১০০ = ২০ টাকা

প্রশ্ন: ১৪৭৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ১৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
১৯) ১৪৭৫ ( ৭৭
       ১৩৩ 
_____________
         ১৪৫
         ১৩৩ 
______________
           ১২  

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৯ - ১২ = ৭

প্রশ্ন: রহিম ৫০০ টাকার একটি জামা কিনলেন। দোকানদার তাকে ১২.৫% কমিশন দিলেন। তাহলে রহিম কত টাকা কমিশন পেলেন?

সমাধান:
৫০০ টাকার ১২.৫% কমিশন
= ৫০০ × (১২.৫/১০০) টাকা
= ৫০০ × ১২৫/(১০ × ১০০)
= (৫ × ১২৫)/১০ 
= ৬২.৫ টাকা

সমাধান:
(এভাবে বছরের সাথে মাসও থাকলে একসাথে গুণ করে মাসগুলোকে বছর বানাতে হবে)

২০ জনের মোট বয়স = ২০ × ১২ = ২৪০ বছর।

নতুন ৪ জন সহ ২০ + ৪ = ২৪ জনের মোট বয়স = ২৪ × (১১ বছর ৮ মাস) [যেহেতু নতুন ৪ জন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় ৪ মাস কমে]

= ২৬৪ বছর ১৯২ মাস 
 ২৬৪ বছর + ১৬ বছর (১৯২ মাসে ১৬ বছর হয়)
= ২৮০ বছর 

এখন নতুন ৪ জনের বয়স = ২৮০ - ২৪০ = ৪০ বছর।

সুতরাং নতুন ৪ জনের গড় বয়স = ৪০ ÷ ৪ = ১০ বছর

১ টি লিচুর ক্রয়মূল্য ১০/১০ টাকা = ১ টাকা
১ টি লিচুর বিক্রয়মূল্য ১০/৮ টাকা = ১.২৫ টাকা।
∴ লাভ = (১.২৫ - ১) = ০.২৫ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ × ১০০ টাকা
= ২৫ টাকা
∴ লাভ ২৫%

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি ঘণ্টায় m কিমি গতিতে হাঁটতে পারে। তিনি n কিমি দূরত্ব অতিক্রম করতে কত মিনিট সময় নেবেন?

সমাধান:
m কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ১ ঘণ্টা বা ৬০ মিনিট
∴ ১ কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ৬০/m মিনিট
∴ n কি. মি. হাঁটতে সময় লাগে ৬০n/m মিনিট

ধরি, অনু, মিম, নিঝুম ও জারিনের কাপড়ের পরিমাণ যথাক্রমে ৫ক, ৪ক, ৩ক এবং ২ক
প্রশ্নমতে, ৫ক+৪ক+৩ক+২ক = ৪২
বা, ১৪ক = ৪২
∴ ক = ৩ মিটার
অনু জারিন থেকে বেশি পেল = ৫ক - ২ক = ১৫-৬ = ৯ মিটার কাপড়

প্রশ্ন: মাতা ও কন্যার বর্তমান বয়সের অনুপাত ৭ : ২। পাঁচ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত হবে ৮ : ৩। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, মাতার বর্তমান বয়স = ৭ক বছর
কন্যার বর্তমান বয়স = ২ক বছর

৫ বছর পরে, মাতার বয়স হবে = (৭ক + ৫) বছর
কন্যার বয়স হবে = (২ক + ৫) বছর

প্রশ্নমতে,
(৭ক + ৫)/(২ক + ৫) = ৮/৩
বা, ৩(৭ক + ৫) = ৮(২ক + ৫)
বা, ২১ক + ১৫ = ১৬ক + ৪০
বা, ২১ক - ১৬ক = ৪০ - ১৫
বা, ৫ক = ২৫
বা, ক = ২৫/৫
বা, ক = ৫

∴ মাতার বর্তমান বয়স = (৭ × ৫) বছর = ৩৫ বছর

ধরি, বিক্রয়মূল্য = ক
তাহলে ক্রয়মূল্য = ক এর ৪/৫ = ৪ক/৫
সুতরাং শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য)×১০০/ক্রয়মূল্য = {(ক - ৪ক/৫)×১০০/৪ক/৫} = ২৫%.

১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা         ''      ''        '' = ১০০/৮৮ টাকা
আবার ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০
    ''       ১     ''      ''       '' = ১১০/১০০
    ''   ১০০/৮৮ '' '' '' = (১১০×১০০) / (১০০×৮৮) = ১১০/৮৮
১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি মার্বেল
∴   ১         ''      ''        ''     '' = (৫×৮৮) / ১১০ = ৪ টি মার্বেল

15% of 578 + 22.5% of 644 = ((15/100)×578)+((225/10)×(1/100)×644
= 86.7+144.9
= 231.6

প্রশ্ন: ১৪৪ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ৪০%?

সমাধান: 
মনে করি 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪০% = ১৪৪
বা, ৪০ক/১০০ = ১৪৪
বা, ৪০ক = ১৪৪ × ১০০
বা, ক = (১৪৪ × ১০০)/৪০
∴ ক = ৩৬০

∴ সংখ্যাটি ৩৬০।

সুদের হার = (সুদ × ১০০)/(আসল × সময়)
= (২১০ × ১০০)/(৭৫০ × ২)
= ১৪

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ ৬ কি.মি/ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে যেতে নৌকাটির যত সময় লাগে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার তিনগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = ক 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ + স্রোতের বেগ = (৬ + ক) কি.মি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ = (৬ - ক) কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(৬ + ক) = ৩(৬ - ক)
⇒ ৬ + ক = ১৮ - ৩ক
⇒ ৩ক + ক = ১৮ - ৬
⇒ ৪ক = ১২
⇒ ক = ১২/৪ = ৩ 

অতএব, স্রোতের  বেগ = ৩ কি.মি/ঘণ্টা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৭৫ এবং গ.সা.গু ৫। একটি সংখ্যার দ্বিগুণ ৩০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩০
বা, একটি সংখ্যা = ৩০ ÷ ২ = ১৫

ধরি, অপর সংখ্যাটি = ক

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১৫ × ক = ৭৫ × ৫
বা, ১৫ক = ৩৭৫
বা, ক = ৩৭৫ ÷ ১৫
বা, ক = ২৫

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি = ২৫

প্রশ্ন: যদি আখের রসের পরিমাণ ১০০ মি.লি. হয় এবং চিনি-পানি অনুপাত ৩:৭ হয়, তাহলে পানির পরিমাণ চিনির চেয়ে কত বেশি?

সমাধান:
ধরি,
আখের রসে চিনের পরিমাণ = ৩ক
ও
পানির পরিমাণ = ৭ক

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৭ক = ১০০
বা, ১০ক = ১০০
বা, ক = ১০০/১০ = ১০

∴ চিনির পরিমাণ = (৩ × ১০) মি.লি. = ৩০ মি.লি.
ও
পানির পরিমাণ = (৭ × ১০) মি.লি. = ৭০ মি.লি.

অতএব,
চিনির তুলনায় পানি বেশি = (৭০ - ৩০) মি.লি.= ৪০ মি.লি.

প্রশ্ন: একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা। কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি ও বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো। বইটির মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
কলমের মূল্য = x টাকা এবং
বইয়ের মূল্য = (৯৫ - x) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + ১৫ = ২ {(৯৫ - x) - ১৪}
বা, x + ১৫ = ১৯০ - ২x -২৮
বা, x + ২x = ১৬২ - ১৫
বা, ৩x = ১৪৭
বা, x = ১৪৭/৩
∴ x = ৪৯

∴ বইটির মূল্য = (৯৫ - ৪৯) টাকা
= ৪৬ টাকা।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি পণ্য ৪০% ছাড়ে ১৮০০ টাকায় বিক্রয় করে। পণ্যটি ১৫% ছাড়ে বিক্রি করতে চাইলে বিক্রয়মূল্য কত টাকা হবে?

সমাধান:
৪০% ছাড়ে,
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য ১০০/৬০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১৮০০ টাকা হলে প্রকৃত মূল্য (১০০ × ১৮০০)/৬০ টাকা
= ৩০০০ টাকা

এখন,
১৫% ছাড়ে,
প্রকৃত মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮৫ টাকা
∴ প্রকৃত মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮৫/১০০ টাকা
∴ প্রকৃত মূল্য ৩০০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (৮৫ × ৩০০০)/১০০ টাকা
 = ২৫৫০ টাকা

∴ ১৫% ছাড়ে বিক্রয়মূল্য হবে ২৫৫০ টাকা।

প্রশ্ন: এক শহরের জনসংখ্যা বছরে ১৫% বৃদ্ধি পায়। বছরের শেষে জনসংখ্যা ৪৬০০ হলে, বছরের শুরুতে জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১৫% বৃদ্ধিতে,
বছরের শেষে ১১৫ জন হলে শুরুতে ছিলো ১০০ জন
∴ বছরের শেষে ১ জন হলে শুরুতে ছিলো (১০০/১১৫) জন
∴ বছরের শেষে ৪৬০০ জন হলে শুরুতে ছিলো (১০০ × ৪৬০০)/১১৫ জন
= ৪০০০ জন

∴ বছরের শুরুতে জনসংখ্যা ছিল ৪০০০ জন।

প্রশ্ন: যদি ২ জন পুরুষ অথবা ৩ জন মহিলা অথবা ৪ জন বালক একটি কাজ ৫২ দিনে করতে পারে তবে একই কাজ ১ জন পুরুষ,১ জন মহিলা এবং ১ জন বালক কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
এখানে,
 ৩ জন মহিলা = ২ জন পুরুষ 
∴ ১ জন মহিলা = ২/৩ জন পুরুষ 

৪ জন বালক = ২ জন পুরুষ
∴ ১ জন বালক = ২/৪ = ১/২ জন পুরুষ 

১ জন পুরুষ + ১ জন মহিলা + ১ জন বালক = (১ + ২/৩ + ১/২) জন পুরুষ
= ১৩/৬ জন পুরুষ

২ জন পুরুষে কাজ করে ৫২ দিনে
∴ ১ জন পুরুষে কাজ করে ৫২ ✕ ২ দিনে = ১০৪ দিনে
∴ ১৩/৬ জন পুরুষে কাজ করে (৬/১৩) ✕ ১০৪ দিন
= ৪৮ দিন 

প্রশ্ন : টাকায় ৪টি আম ক্রয় করে ৩টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান :
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা  
১টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১/৩ টাকা  

∴ ১টি আম বিক্রয়ে লাভ = (১/৩) - (১/৪)  
= ১/১২ টাকা  

∴ লাভের হার = {(১/১২) × ১০০}/ (১/৪)  
= ৩৩.৩৩ %

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ৪০০ টাকা নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। ক ও খ এর মূলধন সমান কিন্তু গ এর মূলধন ৪০ টাকা বেশি। মোট ১১০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
ধরি, ক ও খ এর প্রত্যেকের মূলধন x টাকা।
∴ গ এর মূলধন = (x + ৪০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x + ৪০) = ৪০০
⇒ ৩x + ৪০ = ৪০০
⇒ ৩x = ৪০০ - ৪০
⇒ ৩x = ৩৬০
⇒ x = ৩৬০/৩
⇒ x = ১২০

∴ ক ও খ এর প্রত্যেকের মূলধন = ১২০ টাকা
∴ গ এর মূলধন = (১২০ + ৪০) টাকা = ১৬০ টাকা

ক : খ : গ = ১২০ : ১২০ : ১৬০ = ১২ : ১২ : ১৬
= ৩ : ৩ : ৪

অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ৩ + ৩ + ৪ = ১০

∴ গ পাবে = ১১০ এর (৪/১০) টাকা
= (১১ × ৪) টাকা
= ৪৪ টাকা

প্রশ্ন: কোন আসলে ৩ বছরের মুনাফা-আসলে ১৫৭৮ টাকা এবং ৫ বছরের মুনাফা-আসলে ১৮৩০ টাকা হয়। আসল ও মুনাফার হার নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ১৮৩০ টাকা 
আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ১৫৭৮ টাকা 
২ বছরের মুনাফা = (১৮৩০ - ১৫৭৮) টাকা = ২৫২ টাকা 
∴ ১ বছরের মুনাফা = ২৫২/২ টাকা 
∴ ৫ বছরের মুনাফা = (২৫২ × ৫)/২ = ৬৩০ টাকা 
                            
∴ আসল = (১৮৩০ - ৬৩০) টাকা 
= ১২০০ টাকা 

আবার, 
আমরা জানি, 
মুনাফার হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়) 
= (৬৩০ × ১০০)/(১২০০ × ৫) 
= ৬৩০/৬০
= ৬৩/৬
= ১০.৫%

সুতরাং, আসল ১২০০ টাকা এবং মুনাফার হার ১০.৫%। 

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৬ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৮ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৬ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৬ অংশ = ১/৩ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (১ - ১/৩) = ২/৩ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৮ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৬) - (১/৮)
= (৪ - ৩)/২৪
= ১/২৪

১/২৪ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ পূর্ণ হয় = (২ × ২৪)/৩ = ১৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ১৬) ঘণ্টা = ১৮ ঘণ্টা 

৭০ লিটার মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = ৭০ এর ৫ / (৫+২) = ৫০ লিটার
∴ অকটেনের পরিমাণ = (৭০ - ৫০) = ২০ লিটার।
ধরি, মিশ্রণে x লিটার অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ২ : ১ হবে।
অর্থাৎ,
৫০ : (২০+x) = ২ : ১
⇒ ৫০/(২০+x) = ২/১
⇒ ৪০ + ২x = ৫০
⇒ ২x = ১০
∴ x = ৫
∴ ৫ লিটার অকটেন মিশাতে হবে।

৬০ লিটার মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = ৬০ এর ৭/১০ = ৪২ লিটার
৬০ লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ এর ৩/১০ = ১৮ লিটার
ধরি x লিটার পানি মিশালে মিশ্রণের অনুপাত ৩:৭ হবে।
শর্তমতে,
৪২/(১৮+x) = ৩/৭
⇒ ৫৪ + ৩x = ২৯৪
∴ x =৮০ লিটার

ধরি, ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা;
২৫% লাভে বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা
বিক্রয় মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয় মূল্য ৬০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য ( ১০০ × ৬০ )/১২৫ = ৪৮ টাকা
৪৮ টাকায় পাওয়া যায় ২০ টি দ্রব্য 
৬০ টাকায় পাওয়া যায় ( ২০ × ৬০ )/৪৮ = ২৫ টি দ্রব্য
∴ মানিক ৬০ টাকায় ২৫ টি দ্রব্য কিনেছিল।

২০ মিনিটের মূল্য = ২০×১.৫ = ৩০ টাকা
∴ ১৫% ভ্যাট সহ মোট বিল = ৩০ × ১.১৫ = ৩৪.৫

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫ থেকে যত বেশি ৮৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪৫ = ৮৫ - ক
⇒ ক + ক = ৮৫ + ৪৫
⇒ ২ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/২ 
⇒ ক = ৬৫

∴ সংখ্যাটি = ৬৫

এখানে,
২৭৩ = ১৩×৭×৩ এবং ২২১ = ১৩×১৭
∴ গ.সা.গু. = ১৩
অর্থাৎ ১৩ জন শিশুর মাঝে।

( 2x + 3y )/( 3x + 2y ) = 5/6
Or, 15x + 10y = 12x + 18y
Or, 15x – 12x = 18y – 10y
Or, 3x = 8y
Or x/y = 8/3
x : y = 8 : 3