পাটিগণিত

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = (লবগুলোর ল.সা.গু)/(হরগুলোর গ.সা.গু)
বা, ভগ্নাংশের ল.সা.গু = ১২/১ = ১২

প্রশ্ন: ৬ টাকার ৩/৪ অংশ এবং ৫ টাকার ২/৫ অংশের মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
৬ টাকার ৩/৪ অংশ = (৬ × ৩/৪) টাকা = ৪.৫ টাকা
আবার,
৫ টাকার ২/৫ অংশ = (৫ × ২/৫) টাকা = ২ টাকা

∴ নির্ণেয় পার্থক্য = ৪.৫ - ২ = ২.৫ টাকা

∴ পার্থক্য = ২.৫ টাকা

ধরি, সাজুর বর্তমান বেতন x টাকা
প্রশ্নমতে, x + ৬০ = ২০০০ × ৫০/১০০
বা x = ১০০০ - ৬০
বা x = ৯৪০

• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।
• যেহেতু √২২৫ = ১৫
• সুতরাং √২২৫ একটি মূলদ সংখ্যা।

৯ টি সংখ্যার গড় ৪৩ হলে এদের সমষ্টি ৯×৪৩ = ৩৮৭ 
আবার ২ টি সংখ্যার সমষ্টি ২×১০ = ২০
সুতরাং ৯ + ২ = ১১ টি সংখ্যার সমষ্টি  ৩৮৭ + ২০ = ৪০৭ 
অর্থাৎ, এদের গড় = ৪০৭/১১ = ৩৭

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত মুনাফার 3000 টাকার 5 বছরের মুনাফা 1500 টাকা হবে?

সমাধান: 
এখানে,
P = আসল = 3000 টাকা
I = মুনাফা = 1500 টাকা
r = মুনাফার হার = ? 
n = সময় = 5 বছর 

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r/100 = I/Pn
বা, r/100 = 1500/(3000 × 5)
বা, r = (1500 × 100)/(3000 × 5)
∴ r = 10% 

∴ মুনাফার হার = 10%  

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল। ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল? 

সমাধান: 
১৫% লাভে, 
১০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ১১৫ টাকা 
∴ ১ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ১১৫/১০০ টাকা 
∴ ১২০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ১২০০)/১০০ টাকা 
= ১৩৮০ টাকা 

৫% ক্ষতিতে, 
১০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ৯৫ টাকা 
∴ ১ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = ৯৫/১০০ টাকা 
∴ ১৩৮০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (৯৫ × ১৩৮০)/১০০ টাকা 
= ১৩১১ টাকা 

∴ শেষ বিক্রয়মূল্য = ১৩১১ টাকা।

৪ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯
১৫, ২৫, ৪০ এবং ৭৫ এর ল.সা.গু. = ৬০০
৯৯৯৯ কে ৬০০ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ৩৯৯ থাকে।
তাহলে, নির্ণেয় সংখ্যা = (৯৯৯৯ - ৩৯৯) = ৯৬০০

প্রশ্ন: 100 টাকা 10% হারে 5 বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = 100 টাকা
সুদের হার, r = 10% = 10/100 = 1/10
সময়, n = 5 বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
SI = P × r × n
= 100 × (1/10) × 5
= 50 টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,
C = P(1 + r)ⁿ
= 100 × (1 + 1/10)⁵
= 100 × (11/10)⁵
= 100 × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10) × (11/10)
= 100 × (161051/100000)
= 161051/1000
= 161.051 টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P
= (161.051 - 100) টাকা
= 61.051 টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = 61.051 - 50 = 11.051 টাকা

প্রশ্ন: ০.০২৮৯ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
√(০.০২৮৯)
= √{(০.০২৮৯ × ১০০০০)/১০০০০}
= √(২৮৯/১০০০০)
= ১৭/১০০
= ০.১৭ 

প্রশ্ন: ১২% হারে ২৫,০০০ টাকার ২ বছরে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে,
আসল (P) = ২৫,০০০ টাকা
মুনাফার হার (r) = ১২%
সময় (n) = ২ বছর

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি বা যৌগিক মূলধন (A) = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
= ২৫,০০০ × {১ + (১২/১০০)}^২
= ২৫,০০০ × (১১২/১০০)^২
= ২৫,০০০ × (১১২/১০০) × (১১২/১০০) 
= ৩১,৩৬০ টাকা

∴ মুনাফা = চক্রবৃদ্ধি বা যৌগিক মূলধন - আসল
= ৩১,৩৬০ - ২৫,০০০
= ৬৩৬০ টাকা

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৬ মাসে ১৫,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১৫,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০
সময়, n = ৬ মাস = ৬/১২ = ১/২ বছর

সুদ, I = Pnr
= ১৫০০০ × (১/২) × (৮/১০০)
= ৬০০০০/১০০
= ৬০০ টাকা

প্রশ্ন: একজন কর্মকর্তা তার মূল বেতনের ১৫% মহার্ঘ ভাতা পান। যদি তার মূল বেতন ৭৫০০ টাকা হয় তবে তার মোট বেতন কত হবে?

সমাধান:
১০০ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান ১৫ টাকা
১ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান ১৫/১০০ টাকা
৭৫০০ টাকায় মহার্ঘ ভাতা পান = (১৫ × ৭৫০০)/১০০ টাকা
= ১১২৫ টাকা

∴ তার মোট বেতন = (৭৫০০ + ১১২৫) = ৮৬২৫ টাকা

প্রশ্ন: সরল করুন:  {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 {(৯/১৮) ÷ (৪/৮)} × {(১৫/৫) ÷ (৯/৩)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × {৩ ÷ ৩}
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১ 
= ১

প্রশ্ন: k এর 200% - 50 এর (k + 2)% = k হলে, k এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
k এর 200% - 50 এর (k + 2)% = k
⇒ (200/100) × k - {(k + 2)/100} × 50 = k
⇒ 2k - (k + 2)/2 = k
⇒ 4k - k - 2 = 2k
⇒ 4k - 2k - k = 2
⇒ 4k - 3k = 2
⇒ k = 2

∴ k এর মান 2

প্রশ্ন: নৌকাটি স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যা সময় লাগে, স্রোতের অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যদি পুরো যাত্রায় ৯ ঘণ্টা সময় লাগে, তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
মনে করি, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা  

প্রশ্নমতে,
x + ২x = ৯ 
বা, ৩x = ৯ 
বা, x = ৯/৩ 
∴ x = ৩

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৩ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ১০ টি চেয়ার এবং ৫ টি টেবিলের দাম সমান। যদি ৪ টি চেয়ার এবং ৩ টি টেবিলের দাম ২২০০ টাকা হয়, তবে ৬ টি চেয়ার এবং ৪ টি টেবিলের মোট দাম কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
১ টি চেয়ারের দাম = X টাকা
১ টি টেবিলের দাম = Y টাকা

১০ চেয়ারের দাম = ১০X

৫ টেবিলের দাম = ৫Y

প্রশ্নমতে:
১০X = ৫Y
∴ Y = ২X

দেওয়া আছে:
৪X + ৩Y = ২২০০
বা, ৪X + ৩(২X) = ২২০০
বা, ৪X + ৬X = ২২০০
বা, ১০X = ২২০০
∴ X = ২২০

তাহলে, Y = ২ × ২২০ = ৪৪০

৬ চেয়ারের দাম = ৬ × ২২০ = ১৩২০
৪ টেবিলের দাম = ৪ × ৪৪০ = ১৭৬০

মোট দাম = ১৩২০ + ১৭৬০ = ৩০৮০ টাকা

ক, খ এবং গ রাশি তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী হলে মধ্যসমানুপাতী হবে,
খ^২ = ক × গ
বা, খ = √(ক × গ)
সুতরাং ৪ এবং ১৬ সংখ্যা দুটির মধ্যসমানুপাতী = √(৪ × ১৬)
= ২ × ৪
= ৮

প্রশ্ন: একটি ক্যাম্পে ৮ জন লোকের ৬ দিনে ৪৮ লিটার পানি লাগে। যদি ক্যাম্পে ৪ জন নতুন লোক আসে, তবে সব লোকের জন্য ৯ দিনে কত লিটার পানি লাগবে?

সমাধান:
৪ জন লোক নতুন আসায় মোট লোকসংখ্যা হয় = ৮ + ৪ = ১২ জন

৮ জন লোকের ৬ দিনে পানি লাগে = ৪৮ লিটার
∴ ১ জন লোকের ১ দিনে পানি লাগে = ৪৮/(৮ × ৬) লিটার
∴ ১২ জন লোকের ৯ দিনে পানি লাগবে = (৪৮ × ১২ × ৯)/(৮ × ৬) লিটার
                                         = ৫১৮৪/৪৮ = ১০৮ লিটার

ধরি,
সংখ্যা দু'টি ৫a, ৬a
∴ গ.সা.গু. a = ৪
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৬ × a
= ৩০ × ৪
= ১২০

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর। ০৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৮ : ১। ০৬ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬৬ বছর।

৬ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ছিল = {৬৬ - (৬ + ৬)} বছর
= (৬৬ - ১২) বছর
= ৫৪ বছর

মনে করি,
৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = ৮ক বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ক বছর

প্রশ্নমতে,
৮ক + ক = ৫৪
⇒ ৯ক = ৫৪
⇒ ক = ৫৪/৯
⇒ ক = ৬

৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল = (৮ × ৬) বছর = ৪৮ বছর
৬ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল = ৬ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪৮ + ৬) বছর = ৫৪ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৬ + ৬) বছর = ১২ বছর

৬ বছর পর,
পিতার বয়স হবে = (৫৪ + ৬) বছর = ৬০ বছর
পুত্রের বয়স হবে = (১২ + ৬) বছর = ১৮ বছর

৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৬০ : ১৮
= ১০ : ৩

প্রশ্ন: ৬০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে তেল ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। ঐ মিশ্রণে আর কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে তেল ও পানির অনুপাত ৩ : ৪ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
তেল : পানি = ৭ : ৩
অনুপাত রাশির যোগফল = ৭ + ৩ = ১০ 

∴ মিশ্রণে তেলের পরিমাণ = ৬০ × (৭/১০) = ৪২ লিটার ।
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৬০ × (৩/১০) = ১৮ লিটার 

অতিরিক্ত পানি মেশানোর পর,
তেল : পানি = ৩ : ৪ 

ধরি,
মেশানোর পর মিশ্রণের পরিমাণ হয় ক লিটার 

শর্তমতে,
৪২/(১৮ + ক) = ৩/৪ 
⇒ ১৬৮ = ৫৪ + ৩ক 
⇒ ৩ক = ১৬৮ - ৫৪ 
⇒ ৩ক = ১১৪ 
⇒ ক = ১১৪/৩ 
∴ ক = ৩৮ 

সুতরাং, ৩৮ লিটার পানি আরও মিশাতে হবে। 

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 20, 28, 40 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 7 অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
12, 20, 28, 40 এর ল. সা. গু এর সাথে 7 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

12 = 2 × 2 × 3
20 = 2 × 2 × 5
28 = 2 × 2 × 7
40 = 2 × 2 × 2 × 5

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2³
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5¹
7 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 7¹
ল. সা. গু = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

∴ সংখ্যাটি = 840 + 7 = 847

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. ও ২ কি.মি. হলে স্রোতের অনুকূলে ৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১০ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১০ + ২) = ১২ কি.মি./ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১০ - ২) = ৮ কি.মি./ঘণ্টা 

এখন,
৭২ কি.মি. পথ অতিক্রম করে যেতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/১২ = ৬ ঘণ্টা 
এবং, ৭২ কি.মি. পথ পুনরায় ফিরে আসতে প্রয়োজনীয় সময় = ৭২/৮ = ৯ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = (৬ + ৯) ঘণ্টা = ১৫ ঘণ্টা

১২% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১২ = ৮৮ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৮ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা   ''      ''      = ১০০/৮৮ টাকা

আবার ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০
    ''       ১     ''      ''       ''        = ১১০/১০০
    ''  ১০০/৮৮  ''     ''         ''     = (১১০×১০০) / (১০০×৮৮) = ১১০/৮৮

১১০/৮৮ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ৫ টি মার্বেল
∴   ১         ''      ''        ''     '' = (৫×৮৮) / ১১০ = ৪ টি মার্বেল

প্রশ্নানুসারে, ৮০% = ৪০ টাকা
∴ ১% = ৪০/৮০ টাকা
সুতরাং বইয়ের প্রকৃত মূল্য অর্থাৎ, ১০০% = (৪০ × ১০০)/৮০ টাকা = ৫০ টাকা।
অতএব সরকার প্রতি বইয়ে ভর্তুকি দেয় (৫০ - ৪০) টাকা = ১০ টাকা।

প্রশ্ন: তিনজন খেলোয়াড়ের রানের সমষ্টি ২০৫। প্রথম ও দ্বিতীয় জনের অনুপাত ৪ : ৩ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় জনের অনুপাত ৫ : ২ হলে, প্রথম জন কত রান করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনজনের মোট রান = ২০৫
প্রথম : দ্বিতীয় = ৪ : ৩
দ্বিতীয় : তৃতীয় = ৫ : ২

প্রথম : দ্বিতীয় : তৃতীয় = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) : (২ × ৩)
= ২০ : ১৫ : ৬

সুতরাং, তিনজনের অনুপাত = ২০ : ১৫ : ৬
∴ অনুপাতের সমষ্টি = ২০ + ১৫ + ৬ = ৪১ অংশ

∴ প্রথম খেলোয়াড়ের = (২০/৪১) × ২০৫ = ২০ × ৫ = ১০০ রান 

সুতরাং, প্রথম জন ১০০ রান করেছে।