পাটিগণিত

Question: If two-fifth of one-seventh of a number is 16, then three-eighth of that number is ?

Solution:
105

Suppose,
The number is x.
According to the question:

Now,


∴ That number is 105

প্রশ্ন: ৫২ জন ছাত্রের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর আরও ৩২ জন ছাত্র আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৬ - ৫) দিন
= ২১ দিন 

এবং মোট ছাত্র সংখ্যা হলো = (৫২ + ৩২) জন
= ৮৪ জন 

এখন,
৫২ জন ছাত্রের চলে = ২১ দিন 
∴ ১ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২) দিন 
∴ ৮৪ জন ছাত্রের চলে = (২১ × ৫২)/৮৪ দিন 
= ১৩ দিন। 

অতএব, অবশিষ্ট খাদ্য ৮৪ জন ছাত্রের ১৩ দিন চলবে।

প্রশ্ন: যদি ক : খ = ৪ : ৭ , খ : গ = ৫ : ৭ হয়, তবে ক : খ : গ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ক : খ = ৪ : ৭ 
= (৪ × ৫) : (৭ × ৫) 
= ২০ : ৩৫ 

আবার, 
খ : গ = ৫ : ৭ 
= (৫ × ৭ ) : (৭ × ৭) 
= ৩৫ : ৪৯ 

∴ ক : খ : গ = ২০ : ৩৫ : ৪৯ ।

প্রশ্ন: করিম বইয়ের দোকান থেকে একটি ইংরেজি বই ৯০ টাকায় ক্রয় করল। কিন্তু বইটির কভারে মূল্য দেওয়া ছিল ১৫০ টাকা। সে শতকরা কত টাকা কমিশন পেল?

সমাধান:
কমিশন = (১৫০ - ৯০) টাকা  
= ৬০ টাকা

১৫০ টাকায় কমিশন পেল = ৬০ টাকা  
১ টাকায় কমিশন পেল = ৬০/১৫০ টাকা  
১০০ টাকায় কমিশন পেল = (৬০ × ১০০)/১৫০ টাকা  
= ৪০ টাকা

সুতরাং, ৪০% কমিশন পেল।

সঞ্চয় = ২০ - ১৫
= ৫
আয় ২০ টাকা হলে সঞ্চয় ৫ টাকা।
আয় ১ টাকা হলে সঞ্চয় ৫/২০ টাকা।
∴ আয় ১০০ টাকা হলে সঞ্চয় = (৫ X ১০০) / ২০ টাকা।
= ২৫ টাকা।

আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, সংখ্যা দুটির গুণফল = (১২/৭)×(১/১৪) = ৬/৪৯.

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬৮০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৬ বছরের সুদ + আসল = ৭২০ টাকা  
৪ বছরে সুদ + আসল = ৬৮০ টাকা  

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা  
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা  

∴ ৪ বছরের সুদ = (৪০ × ৪)/২ টাকা  
= ৮০ টাকা  

সময়, n = ৪ বছর  
আসল, P = ৬৮০ - ৮০ = ৬০০ টাকা  

আমরা জানি,  
I = Pnr
বা, r = I/Pn  
বা, r = (৮০ × ১০০)/(৬০০ × ৪)  
∴ r = ৩.৩৩%

৪/২৭ = ০.১৫
৭/৩৬ = ০.১৯
১১/৪৫ = ০.২৪
২/৯ = ০.২২
সুতরাং অপশনগুলোর মধ্যে ৪/২৭ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

প্রশ্ন: ক ও খ এর মূলধন সমান, কিন্তু গ এর মূলধন তাদের থেকে ২০% বেশি। মোট ৩৬০ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট লাভ = ৩৬০ টাকা

ধরি,
(ক ও খ) প্রত্যেকের মূলধন  = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = x + x এর ২০% = x + (২০/১০০)x
= ৬x/৫ টাকা

∴ মোট মূলধন = x + x + (৬x/৫) = ১৬x/৫ টাকা

 ∴ গ এর লাভ = (৬x/৫)/(১৬x/৫) × ৩৬০
= (৬x/৫) × (৫/১৬x)  × ৩৬০ 
= (৩/৮) × ৩৬০ 
= ১৩৫ টাকা

∴ গ এর লাভ = ১৩৫ টাকা

ট্রেনটি ৬০ × ৬০ সেকেন্ডে যায় ৪৮ × ১০০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি ৩০ সেকেন্ডে যায় (৪৮ × ১০০০ × ৩০)/(৬০ × ৬০) মিটার
= ৪০০ মিটার
⸫ ট্রেনটি দৈর্ঘ্য (৪০০ - ২২০) মিটার
= ১৮০ মিটার

প্রশ্ন: তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো। তারা যদি যথাক্রমে ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণির শিক্ষার্থী হয়, তবে ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী কত টাকা পাবে? 

সমাধান: 
তিনজন ছাত্রের মধ্যে ১০৫০ টাকা তাদের শ্রেণির অনুপাতে ভাগ করে দিয়ে দেয়া হলো।

তিনজনের শ্রেণির অনুপাত = ৬ : ৭ : ৮ 

∴ অনুপাতের রাশির যোগফল = ৬ + ৭ + ৮ = ২১ 

∴ ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থী পাবে = ১০৫০ এর ৬/২১ = ৩০০ টাকা 

8, 10, 12 এর ল.সা.গু = 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
এতে সৈন্যদের 8, 10, 12 সারিতে সাজানো যাবে।
এখন, তাদেরকে বর্গাকারে সাজাতে হলে ল.সা.গু কে 2 × 5 × 3 দ্বারা গুণ করতে হবে।
সুতরাং সৈন্যদেরকে বর্গাকারে সাজানো যাবে যদি সৈন্য সংখ্যা = (2 × 2) × (2 × 2) × (5 × 5) × (3 × 3)
= 3600 জন হয়। এবং এখানের অপশনগুলোর মধ্যে ৩৬০০ই ১২০ এর গুণিতক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ক, খ ও গ যথাক্রমে ২৭০০, ৮১০০ ও ৭২০০ টাকা বিনিয়োগ করে একটি ব্যবসা শুরু করলো। ১ বছর পর খ ৩৬০০ টাকা মুনাফা পেলে তাদের মোট মুনাফা কত? 

সমাধান: 
ক, খ এবং গ বিনিয়োগের অনুপাত = ২৭০০ : ৮১০০ : ৭২০০ 
= ২৭ : ৮১ : ৭২ 
= ৩ : ৯ : ৮ 
∴ অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৯ + ৮ 
= ২০ 

মনে করি, 
মোট মুনাফা = p টাকা 

প্রশ্নমতে, 
৯p/২০ = ৩৬০০ 
বা, ৯p= ৩৬০০ × ২০
বা, p = (৩৬০০ × ২০)/৯
∴ p = ৮০০০ টাকা

∴ মোট মুনাফা = ৮০০০ টাকা।

মনে করি টাকার পরিমাণ = a
∴ a এর ৩/৫ = ১০৫ এর ৬/৭
বা, ৩a/৫ = ৯০
∴ a = ১৫০

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের অনুপাত ৫ : ৯। লবের সাথে ৪ যোগ করলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ৮/৫ গুণ। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = ৫ক
 ভগ্নাংশের হর = ৯ক
∴ মূল ভগ্নাংশ = ৫ক/৯ক

প্রশ্নমতে,
(৫ক + ৪)/৯ক = (৫ক/৯ক) × (৮/৫)
⇒(৫ক + ৪)/৯ক = (৮/৯)
⇒ ৫ক + ৪ = (৮/৯) × ৯ক
⇒ ৫ক + ৪ = ৮ক
⇒ ৮ক - ৫ক = ৪  
⇒ ৩ক = ৪
⇒ ক = ৪/৩

∴ হর = ৯ক = ৯ × (৪/৩)
= ৩ × ৪
= ১২

∴ ভগ্নাংশটির হর হলো ১২।

প্রশ্ন: একটি চেয়ার ৭২০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% লাভ হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% ক্ষতি হবে?

সমাধান:
​২০% লাভে,
​বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
​বিক্রয়মূল্য ১ টাকায় ক্রয়মূল্য = ১০০/১২০ টাকা
​বিক্রয়মূল্য ৭২০ টাকায় ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৭২০)/১২০ টাকা
​= ৬০০ টাকা

আবার,
​১০% ক্ষতিতে,
​ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০ টাকা
​ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০/১০০ টাকা
​ক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৯০ × ৬০০)/১০০ টাকা
​ = ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় করুন যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণ সংখ্যা?

সমাধান:
অপশনসমূহের মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা হচ্ছে - খ) ২,৩ 

3² − 2² = 9 − 4 = 5
যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 

তাই, সঠিক উত্তর: খ) ২,৩ 

মনেকরি,
মোট বালিকা পরীক্ষার্থী ক জন
∴ মোট পরীক্ষার্থী (১০০+ক) জন
∴ ১২০০×(৫০/১০০)+ক×(৪০/১০০) = (১২০০+ক)×(৪৬/১০০)
বা, ৬০০০০+৪০ক = = ৫৫২০০+৪৬ক
বা ৪৬ক - ৪০ক = ৬০০০০-৫৫২০০
বা ৬ক = ৪৮০০
∴ ক = ৮০০ জন।

প্রশ্ন: ৪% হারে আট মাসে ৯০০০ টাকার উপর সুদ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
১২ মাস = ১ বছর
১ মাস = ১/১২ বছর
∴ ৮ মাস = ৮/১২ বছর
= ২/৩ বছর

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ৪/১০০ টাকা
∴ ৯০০০ টাকার ২/৩ বছরের সুদ = {৯০০০× (২/৩) × ৪}/১০০ টাকা
= (৯০০০ × ২ × ৪) / (১০০ × ৩) টাকা
= ৭২০০০ / ৩০০ টাকা
= ২৪০ টাকা

ধরি, বাবু ও জামালের মাসিক বেতন যথাক্রমে 7x ও 5x
প্রশ্নমতে,
7x + 5x = 24000
বা, 12x = 24000
বা, x = 2000
সুতরাং একবছর পর বাবুর বেতনঃজামালের বেতন = (7x + 500) : (5x + 350) = (7 × 2000 + 500) : (5 × 2000 + 350) = 14500 : 10350 = 290:207.

প্রশ্ন: ১৫ জন শ্রমিকের একটি কাজ করতে ২০ দিন সময় লাগে। কাজটি ১২ দিনে শেষ করতে হলে আরও কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক নিয়োগ করতে হবে?

 সমাধান: 
২০ দিনে একটি কাজ শেষ করতে শ্রমিক লাগে = ১৫ জন 
∴ ১ দিনে একটি কাজ শেষ করতে শ্রমিক লাগে = (১৫ × ২০) = ৩০০ জন 
∴ ১২ দিনে একটি কাজ শেষ করতে শ্রমিক লাগে = ৩০০/১২ = ২৫ জন 

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (২৫ - ১৫) জন 
= ১০ জন

সুতরাং, আরও ১০ জন অতিরিক্ত শ্রমিক নিয়োগ করতে হবে।

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?

সমাধান:
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২
= (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩

যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।

(২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ২ × ২) × (৩ × ৩) জন
= ১৬ × ৯
= ১৪৪ জন

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ৮ এবং ল.সা.গু. ১৯২। একটি সংখ্যা ২৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যা = ক

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
∴ প্রথম সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ২৪ × ক = ৮ × ১৯২
⇒ ২৪ × ক = ১৫৩৬
⇒ ক = ১৫৩৬/২৪
∴ ক = ৬৪

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৬৪

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়াতে মোট ৮০০০ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সমিতিতে সদস্য সংখ্যা = ক জন

প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (২০ × ক) টাকা
∴ ক জনে মোট চাঁদা দেয় = (২০ × ক × ক) টাকা
= ২০ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
২০ক^২ = ৮০০০
⇒ ক^২ = ৮০০০ ÷ ২০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক = √৪০০
∴ ক = ২০

∴ সমিতির সদস্য সংখ্যা = ২০ জন

প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ৯৫ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ৯২ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় = ৯৫
তিনটি সংখ্যার সমষ্টি (৯৫ × ৩) = ২৮৫

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় = ৯২ 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির সমষ্টি (৯২ × ২) = ১৮৪ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = (২৮৫ - ১৮৪) = ১০১ 

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১০১

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯০ এবং অন্তরফল ১০ হলে ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় সংখ্যাটি = ক 
∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০

প্রশ্নমতে, 
ক + (ক - ১০) = ৯০ 
⇒ ক + ক - ১০ = ৯০ 
⇒ ২ক - ১০ = ৯০ 
⇒ ২ক = ৯০ + ১০ 
⇒ ২ক = ১০০ 
⇒ ক = ১০০/২ 
∴ ক = ৫০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ক - ১০
= ৫০ - ১০ 
= ৪০ । 

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮ সেকেন্ডে ১৬২ মিটার লম্বা একটি স্টেশন অতিক্রম করে এবং ১৫ সেকেন্ডে ১২০ মিটার লম্বা অপর একটি স্টেশন অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ট্রেনটি ১৮ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১৬২ মিটার + ট্রেনের দৈর্ঘ্য 
∴ ট্রেনটি ১৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ১২০ মিটার + ট্রেনের দৈর্ঘ্য 
_____________________________________________________ 
(বিয়োগ করে) ট্রেনটি ৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪২ মিটার 

এখন,
৩ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪২ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = ৪২/৩ মিটার 
∴ ১৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করে = (৪২ × ১৫)/৩ মিটার 
= ২১০ মিটার 

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = (২১০ - ১২০) মিটার 
= ৯০ মিটার ।

প্রশ্ন: এক ডজন পেন্সিলের দাম ২৪০ টাকা হলে, দুই ডজন তিনটি পেন্সিলের দাম কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ডজন = ১২ টি পেন্সিল
∴ দুই ডজন তিনটি = (২ × ১২) + ৩
=  ২৭ টি পেন্সিল

১ ডজন পেন্সিলের দাম = ২৪০ টাকা
∴ ১ টি পেন্সিলের দাম = ২৪০/১২ টাকা
∴ ২৭ টি পেন্সিলের দাম = (২৪০ × ২৭)/১২ টাকা
= ৫৪০ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা বেশি হলে ১২% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

৮% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা।
এবং ১২% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) টাকা = ১১২ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২ - ৯২) = ২০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ × ৬০০/২০ টাকা  
= ৩০০০ টাকা।

∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৩০০০ টাকা।

১০০০ জনে বার্ষিক বৃদ্ধি পায় (৩২ - ১১) = ২১ জন
∴ শতকরা বার্ষিক বৃদ্ধির হার ( ২১/১০০০) × ১০০ = ২.১%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং ল.সা.গু. ২১০। ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম সংখ্যা = ৭ক
২য় সংখ্যা = ১০ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩ 

অর্থাৎ ১ম সংখ্যা = ৭ × ৩ = ২১
২য় সংখ্যা = ১০ × ৩ = ৩০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২১

প্রশ্ন: একটি নৌকা ৩ ঘণ্টায় স্রোতের দিকে ১৪ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টার মধ্যে ফিরে আসে। এই নৌকার প্রতি ঘণ্টার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৪ + ১৪ = ২৮ মাইল
মোট সময় = ৪ + ৩ = ৭ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ২৮/৭ মাইল/ঘণ্টা
= ৪ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: বার্ষিক 5% হার সরল সুদে কত বছরে কোনো নির্দিষ্ট মূলধনের সমান সুদ হবে?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন = P টাকা
সুদের হার = 5% প্রতি বছর
সুদের সময়কাল = T বছর
আমরা জানি,
SI = P. R. T/100
এখানে বলা হচ্ছে মূলধনের সমান সুদ হবে। অর্থাৎ:
SI = P
⇒ (P. 5. T)/100 = P
⇒ 5. T/100 = 1
⇒ T = 100/5
⇒ T = 20 

∴ 20 বছরে।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম দুইটি সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১

প্রশ্নমতে,
x - ১ + x + x + ১ = ১২৩
বা, ৩x = ১২৩
বা, x = ১২৩/৩
∴ x = ৪১
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৪০, ৪১ এবং ৪২

∴ ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম দুইটি সংখ্যার গুণফল = (৪০ × ৪২)
= ১৬৮০ । 

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৪ টাকা হারে ২০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে, মূলধন, P = ২০০০ টাকা,
সুদের হার, r = ৪% = ৪/১০০ 
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, I = Pnr
 = ২০০০ × ৩ × (৪/১০০) টাকা
= ২৪০ টাকা

∴ সরল মুনাফা = ২৪০ টাকা