পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি গাড়ির ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের ৩/৪ অংশের সমান। শতকরা লাভ বা ক্ষতি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মনে করি,
গাড়িটির বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

∴ গাড়িটির ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩/৪) টাকা
= ৭৫ টাকা

ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায় এখানে লাভ হয়েছে।
∴ লাভ = ((১০০ - ৭৫) টাকা = ২৫ টাকা

৭৫ টাকায় লাভ হয় ২৫ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (২৫/৭৫) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (২৫/৭৫) × ১০০ টাকা
= ৩৩.৩৩ টাকা
∴ ৩৩.৩৩% লাভ হয়েছে।

৯ জনে আয় করে ৪ দিনে
∴ ১ জনে আয় করে ৯ × ৪ দিনে
∴ ১২ জনে আয় করে (৪ × ৯) / ১২
= ৩ দিনে

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪৮ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

ধরি,
অপর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৪৮ = ১২ × ২৪০
⇒ ক = (১২ × ২৪০)/৪৮
∴ ক = ৬০

∴ অপর সংখ্যাটি = ৬০

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩৬

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ২) = ৬০
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬ × ৩) = ১০৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি - প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি)
= (১০৮ - ৬০)
= ৪৮

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি ৪৮ ।

ধরি, আয় = ১০০ টাকা
∴ খরচ = ৭৫ টাকা
∴ সঞ্চয় = ২৫ টাকা
৪০% বৃদ্ধিতে আয় ১৪০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে খরচ = ৭৫ × (১২০/১০০)
= ৯০ টাকা
∴ সঞ্চয় = ১৪০-৯০
= ৫০ টাকা
∴ সঞ্চয় বৃদ্ধি = ৫০ - ২৫
= ২৫ টাকা
∴ বৃদ্ধির হার = (২৫×১০০%)/২৫
= ১০০%

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

প্রশ্ন: ১০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১০০ = ২ × ২ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৫^২

এখানে ২ এর সূচক ২ এবং ৫ এর সূচক ২।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩
= ৯

অর্থাৎ, ১০০ এর মোট ৯টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩০১ হলে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
 ক - ৩০১ = ৩৮১ - ক
বা, ক + ক = ৩৮১ + ৩০১
বা, ২ক = ৬৮২
∴ ক = ৩৪১

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৩৪১

দেওয়া আছে,
a:b = ৩ঃ২ = ৯ঃ৬
b:c = ৩ঃ২ = ৬ঃ৪

∴ a:b:c = ৯ঃ৬ঃ৪
∴ a:c = ৯ঃ৪

প্রশ্ন: সরল মুনাফার হার ৬% হলে, ২৫০০ টাকার ৫ বছরের মুনাফা কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬%
সময়, n = ৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = (P × r × n)/১০০
= (২৫০০ × ৬ × ৫)/১০০
= (২৫০০ × ৩০)/১০০
= ৭৫০০০/১০০
= ৭৫০ টাকা

সুতরাং, ৫ বছরের মুনাফা ৭৫০ টাকা। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১২ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১২ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তা হলো = ২, ৩, ৫, ৭ ও ১১
∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাগুলো গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১
= ৬ × ৩৫ × ১১
= ২৩১০ ।

১ম রাশি = x - y
২য় রাশি = x² - y²
= (x + y)(x - y)
৩য় রাশি = x³ - y³
= (x - y)(x² + xy + y²)
∴ গ.সা.গু. = x - y

বড় বাক্স = ১ টি।
মাঝারি বাক্স = ৪ টি।
এবং ছোট বাক্স = ৪ X ৪ = ১৬ টি।
সুতরাং মোট বাক্স আছে = ১+৪+১৬ = ২১ টি।

এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২ 
৬ - ৪ = ২
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ ও ৬ -এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম।
৩,৪,৫,৬ - এর ল.সা.গু = ৬০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০-২) = ৫৮

আমরা জানি,
বার্ষিক মুনাফার হার হ্রাস পায় ২%
∴ I = মুনাফা হ্রাস
n = বছর
r = হ্রাস পাওয়া মুনাফার হার 
P = আসল
বা, I = Pnr/100
বা, I = (৩০০০ × ৩ × ২)/১০০
বা, I = ১৮০ টাকা
∴ ৩০০০ টাকার ৩ বছরের মুনাফা ১৮০ টাকা কমে যাবে।

ধরি,
একটি সংখ্যা 4x এবং অন্যটি 5x.
∴ ল.সা.গু = 20x
এবং গ.সা.গু. = x
প্রশ্নমতে,
20x = 60
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. = 3

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা যথাক্রমে ৬ মিনিট, ৯ মিনিট, ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিট পরপর বাজে। যদি দুপুর ১২ : ৪০ টায় ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজে, তাহলে ঘণ্টাগুলো পুনরায় কখন একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো একবার একত্রে বাজার পর ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গুর সমান সময়ের পর আবার একত্রে বাজবে।

সংখ্যা গুলোর মৌলিক উৎপাদক,
৬ = ২ × ৩
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৫ × ৩

∴ ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ১৮০ মিনিট = ৩ ঘণ্টা

সুতরাং, ঘণ্টাগুলো একবার দুপুর ১২.৪০ টায় বাজার পর পুনরায় একত্রে বাজবে= ১২.৪০ টা + ৩ ঘণ্টা
= ৩ টা ৪০ মিনিটে

প্রশ্ন: সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯। যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়, তবে রাফিন এর বার্ষিক বেতন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সাফিন, রাফিন এবং রাফান-এর মাসিক বেতনের অনুপাত ৩ : ৫ : ৯

মনে করি,
সাফিন এর মাসিক বেতন ৩ক টাকা
রাফিন এর মাসিক বেতন ৫ক টাকা
রাফান এর মাসিক বেতন ৯ক টাকা

যদি রাফান এর মাসিক বেতন সাফিন এর থেকে ৬০০০ টাকা বেশি হয়,

প্রশ্নমতে,
৯ক - ৩ক = ৬০০০
⇒ ৬ক = ৬০০০
⇒ ক = ৬০০০/৬
∴ ক = ১০০০

∴ রাফিন এর মাসিক বেতন (৫ × ১০০০) = ৫০০০ টাকা

∴ রাফিন এর বার্ষিক বেতন = (৫০০০ × ১২) = ৬০০০০ টাকা

প্রশ্ন: ৩০ টাকায় ১০টি দরে ও ১৫টি দরে সমান সংখ্যক কলা ক্রয় করে সবগুলো কলা ৩০ টাকায় ১০টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১০টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১০টাকা = ৩ টাকা
আবার,
১৫টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য = ৩০/১৫ টাকা = ২ টাকা

∴ (১ + ১) = ২ টি কলার ক্রয়মূল্য = (৩ + ২) টাকা = ৫ টাকা

আবার,
১০ টি কলার বিক্রয়মূল্য = ৩০ টাকা
∴ ২ টি কলার বিক্রয়মূল্য =(৩০ × ২)/১০ = ৬ টাকা

∴ লাভ = (৬ - ৫) টাকা = ১ টাকা

এখন,
৫ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = ১০০/৫ টাকা = ২০ টাকা

অর্থাৎ লাভ = ২০% 

প্রশ্ন: একটি গ্রামের মোট জনসংখ্যার ৬০% পুরুষ। যদি ঐ গ্রামে মোট ৪০০ জন মহিলা থাকে, তবে ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
গ্রামের মোট জনসংখ্যা = ক জন

দেওয়া আছে,
পুরুষের সংখ্যা = ৬০%
∴ মহিলার সংখ্যা = (১০০ - ৬০)% = ৪০%

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪০% = ৪০০
বা, (ক × ৪০)/১০০ = ৪০০
বা, ক = (৪০০ × ১০০)/৪০
বা, ক = ৪০০০০/৪০
বা, ক = ১০০০

সুতরাং ঐ গ্রামের মোট জনসংখ্যা ১০০০ জন।

Let N be the no. of persons in the group.
Required number of person is given by;
Member in group × aged increased = difference of replacement
N × 5 = 38 - 18
Or, 5N = 20
Or, N = 4

প্রশ্ন: ০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ?

সমাধান:
০.৬ × ০.০৬ × ০.০০৬ = ০.০০০২১৬

যে সংখ্যাগুলো গুণ করতে হবে সেসব সংখ্যায় দশমিকের পর মোট যত ঘর আছে গুণফলেও দশমিকের পর ঠিক তত ঘর থাকবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৬ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ১০ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ৬ = ক + ১০
বা, ২ক - ক = ১০ - ৬
∴  ক = ৪

∴ সংখ্যাটি = ৪ ।

ষান্মাসিক হিসাবে সুদের হার ৫%
∴ ১ বছর পর সুদাসল = ২০,০০০× (১০৫/১০০) × (১০৫/১০০)
= ২২০৫০ টাকা
∴ সুদ = ২২০৫০ - ২০০০০
= ২০৫০ টাকা

In 20 litres of mixture
Quantity of milk ⇒ (3/4)×20 = 15 litres

Quantity of water ⇒ (1/4)×20 = 5 litres

Let the quantity of milk added be x litres.
According to the question,
⇒ (15+x)/5 = 41
⇒ 15+x = 4×5
⇒ x = 20−15 = 5 litres

প্রশ্ন: শতকরা ৮ টাকা হার সুদে ৭৫০ টাকা ৫ বছরে সুদে-আসলে কত হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল (P) = ৭৫০ টাকা
সুদের হার (r) = ৮%
সময় (n) = ৫ বছর

আমরা জানি,
সরল সুদ, I = (Pnr)/১০০
⇒ I = (৭৫০ × ৫ × ৮)/১০০
⇒ I = ৩০০০০/১০০
∴ I = ৩০০ টাকা

সুদে-আসলে = আসল + সুদ
= ৭৫০ + ৩০০
= ১০৫০ টাকা

সুতরাং, সুদে-আসলে ১০৫০ টাকা হবে।

প্রশ্ন: ১৫ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর। যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে গড় ২ বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স ১০ বছর
১৫ জন শিক্ষার্থীর মোট বয়স (১০ × ১৫) = ১৫০ বছর

যদি শিক্ষকের বয়স অন্তর্ভুক্ত করা হয়,
তাহলে, ১৫ জন শিক্ষার্থী + ১ জন শিক্ষক = ১৬ জন

১৬ জনের গড় বয়স ১২ বছর
১৬ জনের মোট বয়স = (১৬ × ১২) = ১৯২ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (১৯২ - ১৫০) = ৪২ বছর

প্রশ্ন: একটি দোকানদার ২টি বই ক্রয় করে। প্রথমটি ৩০০ টাকায়, দ্বিতীয়টি ৪৫০ টাকায়। প্রথমটি ১০% লাভে এবং দ্বিতীয়টি ২০% ক্ষতি দিয়ে বিক্রি করা হলো। মোট লাভ/ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
প্রথম বইয়ের বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + [(১০/১০০) × ৩০০] 
= ৩০০ + ৩০
= ৩৩০ টাকা
দ্বিতীয় বইয়ের বিক্রয়মূল্য = ৪৫০ - [(২০/১০০) × ৪৫০]
= ৪৫০ - ৯০
= ৩৬০ টাকা

দুইটি বইয়ের ক্রয়মূল্য = (৩০০ + ৪৫০) = ৭৫০ টাকা
দুইটি বইয়ের বিক্রয়মূল্য = (৩৩০ + ৩৬০) = ৬৯০ টাকা
তাহলে,
বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = [(৬৯০ - ৭৫০) × ১০০]/৭৫০ = - ৮%  

∴ তাহলে ক্ষতি হয় = ৮% 

৮০০ টাকার সুদ = (৮০০×৮)/১০০ = ৬৪ টাকা
১২০০ টাকার সুদ = (১২০০×৬)/১০০ = ৭২ টাকা
মোট আসল (৮০০+১২০০) = ২০০০ টাকা
মোট সুদ = (৬৪ + ৭২) = ১৩৬ টাকা
∴ শতকরা সুদের হার = (১৩৬×১০০)/২০০০
= ৬.৮

৫ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটি ১৫ দ্বারা বিভাজ্য এবং ১৫ এর গুণিতক।
৫ ও ৯৫ এর মধ্যে ১৫ এর গুণিতক সংখ্যাগুলো হচ্ছে- ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫ এবং ৯০।
∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৬ টি।

প্রশ্ন: A, B এবং C অংশীধারি ব্যবসায় যোগ দিল। A, B এর তিনগুণ বিনিয়োগ করে এবং B, C এর দুই-তৃতীয়াংশ বিনিয়োগ করে। বছর শেষে ৬৬০০ টাকা লাভ হয়। B এর লাভের পরিমাণ কত? 

সমাধান:
ধরি,
C এর বিনিয়োগ = ক টাকা
তাহলে,
B এর বিনিয়োগ = ২ক/৩  টাকা
এবং A এর বিনিয়োগ = ৩ × (২ক/৩) = ২ক টাকা

এখন বিনিয়োগের অনুপাত, 
A : B : C = ২ক : ২ক/৩ : ক
= ৬ক : ২ক : ৩ক  ; [৩ দ্বারা গুণ করে] 
∴ A : B : C = ৬ : ২ : ৩
∴ মোট অংশ = ৬ + ২ + ৩ = ১১ অংশ

∴ B এর লাভের পরিমাণ = (২/১১) × ৬৬০০
= ২ × ৬০০
= ১২০০ টাকা

সুতরাং, B এর লাভের পরিমাণ ১২০০ টাকা।