পাটিগণিত

প্রশ্ন: বার্ষিক ৬% হারে ১৮ মাসে ৪০০০ টাকার সরল মুনাফা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৬% 
সময়, n = ১৮ মাস = ১৮/১২ = ১.৫ বছর

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (৪০০০ × ৬ × ১.৫)/১০০ 
= ৩৬০ টাকা 

সুতরাং, বার্ষিক ৬% হারে ১৮ মাসে ৪০০০ টাকার সরল মুনাফা ৩৬০ টাকা হবে?

প্রশ্ন: ১৪৪ : ২৮৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়।

∴ ১৪৪ : ২৮৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √১৪৪ : √২৮৯
= ১২ : ১৭

∴ ১৪৪ : ২৮৯  এর দ্বিভাজিত অনুপাত = ১২ : ১৭

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
৯-এর নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও বিভাজ্য হবে। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ৩৪৫৬
৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ১৮ ; ৯ দিয়ে বিভাজ্য (৩৪৫৬ ÷ ৯ = ৩৮৪, অবশিষ্ট ০)

খ) ৫৬৭৩
৫ + ৬ + ৭ + ৩ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

গ) ৮৯০৪
৮ + ৯ + ০ + ৪ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

ঘ) ৭৯০১
৭ + ৯ + ০ + ১ = ১৭ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৮)

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ক) ৩৪৫৬

প্রশ্ন: ১৯৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৯৮০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,

১৯৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৩^২ × ৫ × ১১

জোড়া গঠন করে পাই = (২ × ২) × (৩ × ৩) × ৫ × ১১

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ৫ × ১১ = ৫৫

সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৯৮০ কে ৫৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৫৫ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

ধরি,
জনির বেতন ১০০ টাকা
∴ রনির বেতন = ১২৫ টাকা
রনির বেতন ১২৫ টাকা হলে জনির বেতন ১০০ টাকা
∴ রনির বেতন ১০০ টাকা হলে জনির বেতন (১০০ × ১০০)/১২৫
= ৮০ টাকা
∴ বেতন কম = (১০০ - ৮০)%
= ২০%

প্রশ্ন: ৮টি মেশিন ৬ ঘণ্টায় ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে পারে। যদি ৪টি মেশিন একই গতিতে কাজ চালায়, তবে ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান: 
৮টি মেশিন ২৪০ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = ৬ ঘণ্টায়
∴ ১ টি মেশিন ১ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = (৬ × ৮)/২৪০ ঘণ্টায়
∴ ৪ টি মেশিন ২৪০ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = (৬ × ৮ × ২৪০)/(২৪০ × ৪)  = ১২ ঘণ্টায়

সুতরাং, ৪টি মেশিন একই গতিতে কাজ চালালে ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে ১২ ঘণ্টা লাগবে।

প্রশ্নঃ একটি বাস প্রতি লিটার তেলে ৫ কিমি চলে। কোনো স্থানে যেতে ৩০ লিটার তেল লাগে। যদি বাসটি প্রতি লিটার তেলে ৬ কিমি চলত, তবে কত লিটার তেল কম লাগত?

সমাধানঃ 
১ লিটারে যায় = ৫ কিমি
৩০ লিটারে যায় = ৫ × ৩০ = ১৫০ কিমি 
প্রতি লিটারে যদি ৬ কিমি যেত,
তবে প্রয়োজনীয় তেল:
১৫০ ÷ ৬ = ২৫ লিটার
∴ তেল কম লাগবে = ৩০ − ২৫ = ৫ লিটার

সমাধান:
১০ ঘন্টা কাজ করলে প্রথম ৮ ঘন্টার জন্য ১০ টাকা হারে = ৮ × ১০ = ৮০ এবং
পরের ২ ঘন্টা ১৫ টাকা হারে মোট = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা
∴ মোট আয় = ৮০ + ৩০ = ১১০ টাকা

∴ ১০ ঘন্টায় গড় আয় = ১১০ ÷ ১০ = ১১ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়ি ভর্তি লিচুকে ১৫, ২০ এবং ৩০ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১১ এবং ২১ অবশিষ্ট থাকে। তাহলে ঝুড়িতে কমপক্ষে কতটি লিচু রয়েছে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৬ = ৯
২০ - ১১ = ৯
৩০ - ২১ = ৯
প্রত্যেক ক্ষেত্রেই অবশিষ্টের সাথে ভাজকের পার্থক্য ৯

এখন,
১৫ = ৩ × ৫ 
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৫ × ২ × ২ = ৬০
∴ লিচুর সর্বনিম্ন সংখ্যা হবে = (৬০ - ৯) = ৫১

প্রশ্ন: এক ডজন ডিম ৬০ টাকায় ক্রয় করে হালি কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ ডজন = ৩ হালি

এখন, 
৩ হালি ডিমের দাম = ৬০ টাকা 
∴ ১ হালি ডিমের দাম = ৬০/৩ টাকা 
= ২০ টাকা 

১০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) টাকা = ১১০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১১০/১০০ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য ২০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১১০ × ২০)/১০০ টাকা
= ২২ টাকা 

∴ হালি ২২ টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: একটি আইটি কোম্পানি তার একজন কর্মকর্তার বেতন প্রতিবছর ১০% করে বৃদ্ধি করে। ২০২৫ সালে ঐ কর্মকর্তার বেতন ২৪২০০ টাকা হলে, ২০২৩ সালে বেতন কত ছিল? 

সমাধান: 
২০২৩ সালে বেতন ১০০ টাকা হলে, 
২০২৪ সালে বেতন = ১১০ টাকা 
২০২৫ সালে বেতন = {১১০ + (১১০ এর ১০%)} টাকা = (১১০ + ১১) টাকা
= ১২১ টাকা 

২০২৫ সালে বেতন ১২১ টাকা হলে ২০২৩ সালে বেতন = ১০০ টাকা
∴ ২০২৫ সালে বেতন ১ টাকা হলে ২০২৩ সালে বেতন = ১০০/১২১ টাকা
∴ ২০২৫ সালে বেতন ২৪২০০ টাকা হলে ২০২৩ সালে বেতন = (১০০ × ২৪২০০)/১২১ টাকা
= ২০০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২^৪ × ৩ = ৪৮

এখানে ২ এর ঘাত জোড় (৪), কিন্তু ৩ এর ঘাত বিজোড় (১)। এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪৮ × ৩ = ১৪৪ জন

প্রশ্ন: ২০ জন লোক একটি দেয়াল ১৫ দিনে তৈরি করতে পারে। ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে কতজন লোক লাগবে?

সমাধান:
১৫ দিনে দেয়াল তৈরি করে ২০ জন
১ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫) জন
১০ দিনে দেয়াল তৈরি করে (২০ × ১৫)/১০ জন
= ৩০ জন 

সুতরাং, ১০ দিনে দেয়ালটি তৈরি করতে ৩০ জন লোক লাগবে।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই-পঞ্চমাংশ। ৮ বছর পর, তার বয়স তার মায়ের বয়সের অর্ধেক হবে। বর্তমানে মায়ের বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
এক ব্যক্তির বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই-পঞ্চমাংশ।

মনে করি,
বর্তমানে মায়ের বয়স ক বছর
বর্তমানে সন্তানের বয়স = (ক এর ২/৫) বছর
= ২ক/৫ বছর

৮ বছর পর,
মায়ের বয়স (ক + ৮) বছর
সন্তানের বয়স {(২ক/৫) + ৮} বছর

প্রশ্নমতে,
{(২ক/৫) + ৮} = (ক + ৮)/২
⇒ (২ক + ৪০)/৫ = (ক + ৮)/২
⇒ ৫ক + ৪০ = ৪ক + ৮০
⇒ ৫ক - ৪ক = ৮০ - ৪০
∴ ক = ৪০

∴ বর্তমানে মায়ের বয়স = ৪০ বছর।

প্রশ্ন: একজন পুরুষ এবং একজন বালক একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। যদি পুরুষটি শেষ ৬ দিনে একা কাজ করে, কাজটি ২৬ দিনে সম্পূর্ণ হয় । বালকটি একা কাজটি শেষ করতে কত দিন লাগবে? 

সমাধান:
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ২৪ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ 
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/২৪ অংশ 
একজন পুরুষ এবং একজন বালক ২০ দিনে করতে পারে কাজটির (১ × ২০)/২৪ অংশ 
= ৫/৬ অংশ 

একজন পুরুষের ৬ দিনের কাজ = ১ - ৫/৬ অংশ 
= (৬ - ৫)/৬ অংশ 
= ১/৬ অংশ 

একজন পুরুষের ১ দিনের কাজ = ১/৩৬ অংশ 
একজন বালকের ১ দিনের কাজ = (১/২৪) - (১/৩৬) অংশ 
= (৩ - ২)/৭২ 
= ১/৭২ অংশ 

বালকটি ১/৭২ অংশ কাজ করে ১ দিনে 
বালকটি ১ অংশ কাজ করে (১ × ৭২)/১ দিনে 
= ৭২ দিনে 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হার সুদে ৪০০ টাকা দেড় বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ৫% 
আসল, P = ৪০০ টাকা 
সময়, n = দেড় বছর = ১ বছর ৬ মাস = ১৮ মাস = ১৮/১২ বছর = ৩/২ বছর 

এখন,
সুদ, I = Pnr/১০০
= {৪০০ × (৩/২) × ৫}/১০০
= ৩০ 

∴ সুদ-আসল = আসল + সুদ
= (৪০০ + ৩০) টাকা
= ৪৩০ টাকা 

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার সুদে ১০০০ টাকার ৩ বছরে যত সুদ হয়, বার্ষিক ৬% হার সুদে কত টাকার ২ বছরে তত সুদ হয়? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪/১০০ টাকা 
∴ ১০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৪ × ১০০০ × ৩)/১০০ টাকা 
= ১২০ টাকা 

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (৬ × ২) টাকা
= ১২ টাকা 

এখন, 
১২ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা সুদ হয় যখন আসল = ১০০/১২ টাকা 
∴ ১২০ টাকা সুদ হয় যখন আসল = (১০০ × ১২০)/১২ টাকা 
= ১০০০ টাকা ।

প্রশ্ন: ১০ বছর আগে M-এর বয়স N-এর বয়সের অর্ধেক ছিল। এখন M-এর বয়স ৬০ বছর হলে, N-এর বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
M এর বর্তমান বয়স ৬০ বছর

ধরি,
N এর বর্তমান বয়স = ক বছর।

১০ বছর পূর্বে,
M এর বয়স ছিল (৬০ - ১০) = ৫০ বছর
 N এর বয়স ছিল = (ক - ১০) বছর

প্রশ্নমতে,
৫০ = (ক - ১০)/২
⇒ ৫০ × ২ = ক - ১০
⇒ ক - ১০ = ১০০
⇒ ক = ১০০ + ১০
∴ ক = ১১০

অতএব, N এর বর্তমান বয়স = ১১০ বছর।

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ৯০
বা, ৫ক = ৯০
বা, ক = ১৮

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১৬৮০ = ল.সা.গু × ৩০
বা, ল.সা.গু = ১৬৮০ ÷ ৩০
বা, ল.সা.গু = ৫৬

প্রশ্ন: p ও q উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা?

সমাধান:
মনে করি, p = 1 এবং q = 3 (উভয়েই বিজোড় সংখ্যা)।

অপশন ক) p + q = 1 + 3 = 4 ⇒ জোড়

অপশন খ) pq + 1 = (1 × 3) + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ জোড়

অপশন গ) p² + q² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 ⇒ জোড়

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) উপরের সবগুলো 

প্রশ্ন: তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি 40। এই মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল কত? 

সমাধান:
যেহেতু 2 একমাত্র জোড়া মৌলিক সংখ্যা, যদি 2 অন্তর্ভুক্ত করি, বাকি দুটি সংখ্যার যোগ হবে 40 - 2 = 38।
38 কে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এর যোগে লেখা যায়,
7 + 31 (অন্য কোনো জোড়া সম্ভব নয় - যেমন: ৫ + ৩৩ = ৩৮, কিন্তু ৩৩ মৌলিক নয়)
সুতরাং তিনটি সংখ্যা হলো-  2, 7, 31

সুতরাং মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল = 2 × 7 × 31 = 434

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৭, ৮, ১২ দ্বারা ভাগ করলে প্রত্যেকবার ৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৭, ৮, ১২ এর ল.সা.গু থেকে ৫ বেশি।

৭ = ১ × ৭
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩

ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭
= ১৬৮

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৬৮ + ৫
= ১৭৩

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 49
⇒ x²+2x+1-x² = 49
⇒ 2x = 48
∴ x = 24

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি ট্যাংক যথাক্রমে ২০ ও ২২ মিনিটে পানি পূর্ণ করা হয়। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে ট্যাংকটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
২২ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/২২ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২০) + (১/২২) অংশ
= (১১ + ১০)/২২০ অংশ
= ২১/২২০ অংশ

দুইটি নল দ্বারা,
২১/২২০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = ২২০/২১ মিনিটে
= ১০.৪৭৬ মিনিটে
≈ ১০.৫ মিনিট (প্রায়)

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১২ হলে মধ্য সমানুপাতিক কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে,
(২য় রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
⇒ (২য় রাশি)^২ = ৪ × ১২
⇒ (২য় রাশি)^২ = ৪৮
⇒ ২য় রাশি = √৪৮
∴ ২য় রাশি/মধ্য সমানুপাতিক = ৪√৩

প্রশ্ন: নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘণ্টায় যথাক্রমে ১২ কি.মি ও ৪ কি.মি । স্রোতের অনুকূলে ৬৪ কি.মি পথ অতিক্রম করে পুনরায় স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
নৌকার বেগ = ১২ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের বেগ = ৪ কি.মি/ঘণ্টা 

∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (১২ + ৪) = ১৬ কি.মি/ঘণ্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (১২ - ৪) = ৮ কি.মি/ঘণ্টা 

৬৪ কি.মি পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৬৪/১৬ = ৪ ঘণ্টা 

এবং 
৬৪ কি.মি পথ পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে = ৬৪/৮ = ৮ ঘণ্টা 

∴ মোট সময় লাগবে = ৪ + ৮ = ১২ ঘণ্টা

১০০ টির মধ্যে শার্ট আছে ৩০ টি
৩০ টির মধ্যে শার্ট আছে ( ৩০ × ৩০ ) ÷ ১০০ = ৯ টি
৩০ টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয় = ( ৩০ - ৯) = ২১ টি

প্রশ্ন: কোনো একটি ব্যাংকে নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলে জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৩ বছরে আসলের ৫/৪ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল = P হলে,
মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল
বা, I = আসলের ৫/৪ অংশ - আসল
বা, I = P × (৫/৪) - P
বা, I = (৫P/৪) - P
বা, I = (৫P - ৪P)/৪
বা, I = P/৪

আমরা জানি,
মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, P/৪ = (P × ৩ × r)/১০০
বা, ১/৪ = (৩ × r)/১০০
বা, ১/৪ = ৩r/১০০
বা, r = (১ × ১০০)/(৩ × ৪)
বা, r = ২৫/৩
∴ r = ৮.৩৩

অর্থাৎ মুনাফার হার = ৮.৩৩%।

আমরা জানি,
S = P(১+nr)
এখানে, P = মুলধন, n = 12 বছর
∴ r = ৫/১০০ = ০.৫
দেওয়া আছে, সর্বৃদ্ধিমূল, S = ১২৪৮ টাকা
প্রশ্নমতে,
১২৪৮ = P(১২×০.০৫)
বা, ১২৪৮ = P(১+০.৬)
বা, P×১.৬ = ১২৪৮
বা, P = ১২৪৮/১.৬
∴ P = ৭৮০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
√x + ৫ = ১২
⇒ √x = ১২ − ৫
⇒ √x = ৭
⇒ x = ৭^২ [বর্গ করে]
∴ x = ৪৯

অতএব, সংখ্যাটি = ৪৯।

মনে করি,
ট্রেনের গতি x কিমি/ঘন্টা
এবং গাড়ির গতি y কিমি/ঘণ্টা।

তাহলে,
120/x + 480/x = 8
⇒ 1/x + 4/y = 1/15 --- (1)

এবং,
200/x + 400/y = 25/3
⇒ 1/x + 2/y = 1/24 --- (2)

1 এবং 2 সমাধান করে পাই,
x = 60 এবং y = 80

গতির অনুপাত = 60 : 80 = 3 : 4.