পাটিগণিত

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৫ × ৫ = ২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকা ৫ বছরে সুদে আসলে হবে, (১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা।
প্রশ্নমতে, সুদাসল ১২৫ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৫২৫ টাকা হলে আসল (১০০×৫২৫)/১২৫ = ৪২০ টাকা।

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১২০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

এখানে ২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ১ এবং ৫ এর সূচক ১।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬
অর্থাৎ, ১২০ এর মোট ১৬টি ভাজক আছে।

ধরি, টাকার পরিমাণ = x
প্রশ্নমতে,
x × (7/9) = 700 × (9/10)
x = (700×9×9)/(10×7)
x = 810

প্রশ্ন: ২০০০ টাকা ৪ বছরে সুদ-আসলে ২৪০০ টাকা হলে, ১০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, সুদ = সুদাসল − আসল = (২৪০০ − ২০০০) টাকা
= ৪০০ টাকা

এখানে,
২০০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৪০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪০০/(২০০০ × ৪) টাকা
∴ ১০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = (৪০০ × ১০০০ × ৫)/(২০০০ × ৪) টাকা
= ২০০০০০০/৮০০০ টাকা
= ২৫০ টাকা

ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি = ২০ ✕ ১০ = ২০০
শিক্ষকসহ ছাত্রদের বয়সের সমষ্টি = ২১ ✕ ১২ = ২৫২
∴ শিক্ষকের বয়স = ২৫২-২০০ = ৫২ বছর।

প্রশ্ন: যদি একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১৫ হয় এবং লব থেকে ৩ বিয়োগ করলে তা হরের অর্ধেক হয়, তবে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴ হর = (১৫ - ক)

প্রশ্নমতে,
ক - ৩ = (১৫ - ক)/২
⇒ ২ × (ক - ৩) = ১৫ - ক
⇒ ২ক - ৬ = ১৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৫ + ৬
⇒ ৩ক = ২১
⇒ ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

লব = ৭ হলে,
হর = ১৫ - ৭ = ৮

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৮

ধরি,
আসল 8 টাকা
∴ মুনাফা 3 টাকা
∴ মুনাফা-আসল = 11 টাকা
মুনাফা-আসল 11 টাকায় আসল = 8 টাকা
∴ মুনাফা-আসল 6600 টাকায় আসল = 8 × 6600/11
= 4800 টাকা
∴ মুনাফা = 6600 - 4800
= 1800
∴ মুনাফার হার = (1800 × 100)/(4800 × 5)
= 7.5

প্রশ্ন: ৪০ টাকায় ১০ টি কলা বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি হলে, ২৫ টি কলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৮০) × ৪০ টাকা
= ৫০ টাকা

এখন,
১০ টি কলার ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা
১ টি কলার ক্রয়মূল্য (৫০/১০) টাকা
∴ ২৫ টি কলার ক্রয়মূল্য (৫০/১০) × ২৫ টাকা
= ১২৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি পুকুর খনন করতে ১৬০ জন লোকের ২৪ দিন সময় লাগে। ৩২ দিনে পুকুরটি খনন করতে কতজন লোকের প্রয়োজন হবে? 

সমাধান:
২৪ দিনে পুকুরটি খনন করে ১৬০ জনে
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করে (১৬০ × ২৪) জনে
∴ ৩২ দিনে পুকুরটি খনন করে {(১৬০ × ২৪)/৩২} জনে
= ১২০ জনে

∴ ৩২ দিনে পুকুরটি খনন করতে ১২০ জন লোকের প্রয়োজন

৪ জন লোক ২০ টি বালিশ তৈরী করে ১ ঘণ্টায়
∴ ৮ জন লোক ৪০ টি বালিশ তৈরী করবে = (১ × ৪ × ৮)/(২০ × ৮) ঘণ্টায়
                                                     = ১ ঘণ্টায়

১০০ টাকার ১ বছরের সরল সুদ = ১০ টাকা
∴ ২০০০ টাকার ২ বছরের সরল সুদ = (১০ × ২ × ২০০০)/১০০
= ৪০০ টাকা
আবার,
চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = ২০০০ × (১ + ১০/১০০)^২
= ২০০০ × ১১০/১০০ × ১১০/১০০
= ২৪২০
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = ২৪২০ - ২০০০
= ৪২০ টাকা
∴ সুদ (দ্বয়) এর পার্থক্য = ৪২০ - ৪০০
= ২০ টাকা 

প্রশ্ন: জুয়েল ১৫ টাকায় ৩ টি ডিম কিনে ২৪ টাকায় ৪ টি ডিম বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
৩ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১৫ টাকা
১ টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১৫/৩ = ৫ টাকা

আবার, ৪ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৪ টাকা
১ টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ২৪/৪ = ৬ টাকা

∴ লাভ = ৬ - ৫ = ১ টাকা
৫ টাকায় লাভ হয় = ১ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় ১/৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয়= (১/৫) × ১০০ টাকা
= ২০ টাকা বা ২০%

সুদ-আসল = সুদ + আসল = ১০০০×৬×(৬.৫/১০০) +১০০০ = ১৩৯০ টাকা।

মনে করি মোট ভোট পড়ছে x। বিজয়ী প্রার্থী ভোট পেয়েছেন ৭০%।
প্রশ্নমতে, ০.৭x - ০.৩x = ১৫০০
⇒ X = ৩৭৫০
বিজয়ী প্রার্থী ভোট পেয়েছেন ০.৭ × ৩৭৫০ = ২৬২৫

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূল c = p(1 + r)ⁿ

প্রশ্ন: জনতা ব্যাংকে রাহাত নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। জমাকৃত টাকা সরল মুনাফায় ৫ বছরে আসলের ৭/৪ অংশ হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল = P হলে, 
অর্থাৎ, রাহাত জনতা ব্যাংকে P পরিমাণ টাকা জমা রাখলেন। 

মুনাফা, I = মুনাফা সহ আসল - আসল 
⇒ I = আসলের ৭/৪ অংশ - আসল 
⇒  I = P × (৭/৪) - P
⇒  I = (৭P/৪) - P
⇒  I = (৭P - ৪P)/৪ 
⇒  I = ৩P/৪ 

আমরা জানি, 
মুনাফা, I = Pnr/১০০ 
⇒  ৩P/৪ = (P × ৫ × r)/১০০ 
⇒  ৩/৪ = (৫ × r)/১০০
⇒ ৩/৪ = r/২০ 
⇒  r = ৬০/৪ 
∴ r = ১৫%

অর্থাৎ মুনাফার হার = ১৫%

ধরি, আসল ১০০ টাকা
তাহলে সুদাসল হবে ২০০ টাকা
অতএব সুদ হবে (২০০ - ১০০) = ১০০ টাকা
আমরা জানি, হার = (সুদ × ১০০)/আসল × সময়
= (১০০× ১০০)/(১০০ × ১০) = ১০

দুই অঙ্কের বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭ এবং
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ১১
সুতরাং, দুই অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য = ৯৭ - ১১ = ৮৬

২০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০-২০ = ৮০ টাকা।
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০+১০ = ১১০ টাকা।
বিক্রয় মূল্যের ব্যবধান = ১১০-৮০ = ৩০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০×৬০)/৩০ টাকা
= ২০০ টাকা।

১০০ টাকায় ১ বছরের সুদ ৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ২০ বছরের সুদ ১০х২০ = ২০০ টাকা
সুদে আসলে = ২০০+১০০ = ৩০০ টাকা
সুদাসল ৩০০ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ১ টাকা হলে আসল ১০০/৩০০ টাকা
∴ সুদাসল ২০০০০ টাকা হলে আসল (১০০/৩০০)х২০০০০ = ৬৬৬৬ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৭০ টাকা কেজি দরের চায়ের সাথে ৫০ টাকা কেজি দরের চা কত অনুপাতে মেশালে মিশ্রিত চায়ের প্রতি কেজির দাম ৬০ টাকা হবে?

সমাধান:
ধরি,
৭০ টাকা কেজি দরের চা = x কেজি
৫০ টাকা কেজি দরের চা = y কেজি

প্রশ্নমতে,
 ৭০x + ৫০y = ৬০(x + y)
⇒ ৬০x + ৬০y = ৭০y + ৫০x
⇒ ৬০x - ৫০x = ৭০y - ৬০y
⇒ ১০x = ১০y
⇒ x/y = ১০/১০
⇒ x : y = ১ : ১

প্রশ্ন: ২৮ জন লোক কোনো কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। কাজ আরম্ভের ১০ দিন পর ১৪ জন লোক চলে গেলে বাকী লোক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে? 

সমাধান: 
১০ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২৪ - ১০) দিন 
= ১৪ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (২৮ - ১৪) জন 
= ১৪ জন 

২৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১৪ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১৪ × ২৮ দিনে 
∴ ১৪ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (১৪ × ২৮)/১৪ দিনে 
= ২৮ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ২৮ দিনে। 

দেওয়া আছে,
সুদ, I = ৩০০
বয়স, n = ১০
সুদের হার, r = ৩/১০০
আসল, p = ?
আমরা জানি, I = pnr
বা, p = I/nr
= ৩০০/(১০×৩/১০০)
= ৩০০×১০০/(৩×১০)
= ১০০০ টাকা।

জনসংখ্যা = x
2010 - 1980 = 30 বছর
প্রতি 10 বছরে দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ,
১ম 10 বছরে হয় 2x
২য় 10 বছরে হয় 4x
৩য় 10 বছরে হয় 8x
জনসংখ্যা বৃদ্ধি পায় = 8x – x = 7x
সুতরাং জনসংখ্যা বৃদ্ধির শতকরা হার = (7x × 100)/x = 700.

বিজয়ী প্রার্থী পায় ৫৫% ভোট আর পরাজিত প্রার্থী পায় ৪৫% ভোট।
সুতরাং ভোটের পার্থক্য = (৫৫ - ৪৫)% = ১০%
এখানে ১০% = ১০০
তাহলে ১০০% = ১০০০।

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য 'ক%' ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়ার যায় '৩ক%' লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে '১৮ক' টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ক = ১০ 
সুতরাং ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা
এবং (৩ × ১০) = ৩০% লাভে বিক্রয় মুল্য = (১০০ + ৩০)= ১৩০ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (১৩০ - ৯০) = ৪০

∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ৪০ টাকা হলে ক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য ১ টাকা হলে ক্রয় মূল্য = ১০০/৪০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য (১৮ × ১০) টাকা হলে ক্রয় মূল্য = (১০০ × ১৮০)/৪০
= ৪৫০ টাকা

সুতরাং, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৪৫০ টাকা।

- আমরা জানি, ভগ্নাংশের গ.সা.গু = (লব গুলোর গ.সা.গু)/(হর গুলোর ল.সা.গু)
- তাহলে ভগ্নাংশদ্বয়ের লব গুলো ৪ ও ৮।
- সুতরাং এদের গ.সা.গু = ৪ এবং
- ৭ ও ৯ হরগুলোর ল.সা.গু ৬৩।
সুতরাং ৪/৭ এবং ৮/৯ ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু = ৪/৬৩।

প্রশ্ন: ৯ দিয়ে বিভাজ্য ৩ অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক ৩, তৃতীয় অঙ্ক ৮ হলে মধ্যম অঙ্কটি কত?

সমাধান:
অঙ্কগুলোর সমষ্টি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অপশন টেস্ট করলে পাই,
৩ + ৬ + ৮ = ১৭ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৭ + ৮ = ১৮ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ + ৮ + ৮ = ১৯ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৩ + ৯ + ৮ = ২০ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল. সা. গু =৬০,
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দিয়ে ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে
∴ যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করতে হবে = (৬০ - ৩৯) = ২১

প্রশ্ন: কোনো টাকার ১ম ও ২য় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল যথাক্রমে, ৪৪০০ টাকা এবং ৪৮৪০ টাকা হলে প্রারম্ভিক মূলধন কত টাকা ছিল?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন P এবং বার্ষিক সুদের হার r

এখন, 
প্রথম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r) = ৪৪০০........... (১)
দ্বিতীয় বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূল, P(১ + r)^২ = ৪৮৪০ ........... (২) 

(২) ÷ (১) করে পাই, 
⇒ P(১ + r)^২/P(১ + r) = ৪৮৪০/৪৪০০
⇒ ১ + r = ১.১ 
⇒ r = ১.১ - ১ 
∴ r = ০.১ 

এখন, r এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
P(১ + ০.১) = ৪৪০০
⇒ P × ১.১ = ৪৪০০ 
⇒ P = ৪৪০০/১.১ 
∴ P = ৪০০০ 

সুতরাং, প্রারম্ভিক মূলধন = ৪০০০ টাকা।

প্রশ্ন: যদি x এর 10%, y এর 25% সমান হয় এবং y = 16 হয় তবে x = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y = 16

প্রশ্নমতে,
x এর 10% = y এর 25%
বা, 10x/100 = 25y/100
বা, x/10 = y/4
বা, x/10 = 16/4
বা, x/10 = 4
বা, x = 4 × 10
∴ x = 40