পাটিগণিত

প্রশ্ন: আকাশ ও সজীবের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। সজীব ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। আকাশের আয় ২০০০০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?
 
সমাধান:
আকাশের আয় : সজীবের আয় = ৪ : ৩ = (৪ × ৫) : (৩ × ৫) = ২০ : ১৫
সজীবের আয় : রবিনের আয় = ৫ : ৪ = (৫ × ৩) : (৪ × ৩) = ১৫ : ১২
∴ আকাশের আয় : সজীবের আয় : রবিনের আয় = ২০ : ১৫ : ১২

এখন, 
আকাশের আয় = ২০ক টাকা 
সজীবের আয় = ১৫ক টাকা 
রবিনের আয় = ১২ক টাকা 

প্রশ্নমতে 
২০ক = ২০০০০
∴ ক = ১০০০  

∴ রবিনের আয় = ১০০০ × ১২ = ১২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৯ এবং তাদের গ.সা.গু ৫ হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি = ৭ক ও ৯ক
∴ গ.সা.গু = ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটি = ৭ × ৫ = ৩৫ এবং ৯ × ৫ = ৪৫

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু × গসাগু
∴ ল.সা.গু = (৩৫ × ৪৫)/গ.সা.গু
= (১৫৭৫)/৫
= ৩১৫

∴ ল.সা.গু = ৩১৫

প্রশ্ন: বার্ষিক মুনাফা 10% থেকে বেড়ে 12% হওয়ায় মুহিতের আয় 8 বছরে 256 টাকা বেড়ে গেল। তার মূলধন কত ছিল?

সমাধান: 
এখানে,
মুনাফা বৃদ্ধি, r = (12 - 10)% = 2% = 2/100 = 1/50 টাকা
সময়, n = 8 বছর
মুনাফা, I = 256 টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, P = I/nr
বা, P = 256/{8 × (1/50)}
বা, P = (256 × 50)/8
∴ P = 1600

মুহিতের মূলধন 1600 টাকা।

প্রশ্ন: পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও মাতার গড় বয়স = ৪৫ বছর
পিতা + মা = ২ × ৪৫ = ৯০

পিতা, মা ও পুত্রের গড় বয়স = ৩৬ বছর
পিতা + মা + পুত্র = ৩ × ৩৬ = ১০৮

পুত্রের বয়স = (পিতা + মা + পুত্র) - (পিতা + মা)
= ১০৮ - ৯০
= ১৮

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় ৪৫.৫ কেজি। ১৩তম একজন ছাত্রের ওজন কত হলে সবার ওজনের গড় ৪৭.২ কেজি হবে?

সমাধান:
 ১২ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৫.৫ কেজি
∴ ১২ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৫.৫ × ১২) কেজি 
= ৫৪৬ কেজি

আবার,
১৩ জন ছাত্রের ওজনের গড় = ৪৭.২ কেজি
১৩ জন ছাত্রের মোট ওজন = (৪৭.২ × ১৩) কেজি
= ৬১৩.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন = (৬১৩.৬ - ৫৪৬) কেজি
= ৬৭.৬ কেজি

∴ ১৩তম ছাত্রের ওজন ৬৭.৬ কেজি।

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা প্রতি বছর ২.৫% হারে বৃদ্ধি পায়, কিন্তু অভিবাসনের কারণে প্রতি বছর ০.৫% হারে কমে যায়। ২ বছরে শতকরা কত বৃদ্ধি হবে?

সমাধান:
জনসংখ্যার নিট  বৃদ্ধি (শতাংশে)
= (২.৫ - ০.৫) = প্রতি বছর ২%

ধরি, প্রাথমিক জনসংখ্যা = ১০০

১ম বছরের শেষে শহরের জনসংখ্যা
= ১০০ + ১০০ এর ২%
= ১০০ + ২ = ১০২

২য় বছরের শেষে শহরের জনসংখ্যা
= ১০২ + ১০২ এর ২%
= ১০২ + ২.০৪ = ১০৪.০৪

মোট বৃদ্ধি
= ১০৪.০৪ - ১০০ = ৪.০৪

অতএব, শতাংশ বৃদ্ধি
= (৪.০৪/১০০) × ১০০%
= ৪.০৪%

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দশগুণ ছিল। পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর

শর্তমতে,
১০(ক - ৬) = ৪ক - ৬
⇒ ১০ক - ৬০ = ৪ক - ৬
⇒ ১০ক - ৪ক = ৬০ - ৬
⇒ ৬ক = ৫৪
∴ ক = ৯
∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ৯ বছর
এবং পিতার বর্তমান বয়স = (৯ × ৪) বছর = ৩৬ বছর।

ধরি,
সংখ্যাটি x

তাহলে প্রশ্নমতে,
4x + 12 = 8
x = -1

তাহলে,
2x + 7
= 5

২০% লোকসানে,
১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য : বিক্রয়মূল্য = ১০০ : ৮০
= ৫ : ৪

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ৬ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৮ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
৮ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৮ অংশ 
∴ ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় = ৬/৮ অংশ = ৩/৪ অংশ 

৬ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৪) = (৪ - ৩)/৪ = ১/৪ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৪ অংশ পূর্ণ করতে পারে = ৮ মিনিটে 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে পারে = (৮ × ৪) মিনিটে = ৩২ মিনিটে  

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়?

সমাধান:
প্রদত্ত ভগ্নাংশ ৫/৮ = ০.৬২৫

এখন অপশনগুলো দেখি:
ক) ৩/৫ = ০.৬
খ) ৭/১১ ≈ ০.৬৩৬
গ) ৪/৭ ≈ ০.৫৭১
ঘ) ৯/১৬ = ০.৫৬২৫

এখানে ০.৬৩৬ সংখ্যাটি ০.৬২৫ এর চেয়ে বড়।

∴ ৭/১১ ভগ্নাংশটি ৫/৮ থেকে বড়।

প্রশ্ন: মায়ের বর্তমান বয়স তার ছেলের বয়সের চারগুণ। ৬ বছর আগে মায়ের বয়স ছেলের বয়সের ছয়গুণ ছিল। ছেলের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, ছেলের বর্তমান বয়স = ক বছর
মায়ের বর্তমান বয়স = ৪ক বছর

৬ বছর আগে,
ছেলের বয়স = ক - ৬
মায়ের বয়স = ৪ক - ৬

প্রশ্নমতে,
৪ক - ৬ = ৬(ক - ৬)
⇒ ৪ক - ৬ = ৬ক - ৩৬
⇒ ৬ক - ৪ক = ৩৬ - ৬
⇒ ২ক = ৩০
⇒ ক = ১৫

∴ ছেলের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর

৩ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০
৫ ও ৭ এর লসাগু = ৩৫

১০০ কে ৩৫ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় ২ এবং ভাগশেষ থাকে ৩০

৩ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০ এর সাথে ৩৫ - ৩০ = ৫ যোগ করলে তা ৫ ও ৭ দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে। 

ধরি,
 দুধ = ৫ক লিটার,
পানি = ২ক লিটার

∴ ৫ক-২ক = ৬ লিটার
বা, ৩ক = ৬ লিটার
∴ ক = ২ লিটার

∴ পানির পরিমাণ = ২×২ = ৪ লিটার

আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল = লসাগু×গসাগু
∴ ১৬৬৬ = ৯৮ × গসাগু
⇒ গসাগু = ১৬৬৬/৯৮ = ১৭

প্রশ্ন: যদি ২ জন পুরুষ বা ৫ জন মহিলা একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে তবে ১ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা = ২ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = ২/৫ জন পুরুষ
∴ ১০ জন মহিলা = (২ × ১০)/৫ জন পুরুষ
= ৪ জন পুরুষ

আবার, ১ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা = (১ + ৪) জন পুরুষ
= ৫ জন পুরুষ

এখন,
২ জন পুরুষ কাজটি করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করে = ২ × ২০ দিনে
∴ ৫ জন পুরুষ কাজটি করে = (২ × ২০)/৫ দিনে
= ৪০/৫ দিনে = ৮ দিনে ।

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০ সংখ্যাটিকে প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

এখানে মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক বা ঘাত হলো:
২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ১

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

∴ ৩৬০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৪

৫ এর x%= ৭
=> ৫ × (x/১০০)= ৭
=> ৫x = ৭০০
=> x = ৭০০/৫
=> x = ১৪০

প্রদত্ত অপশনগুলোতে ৮৮ সংখ্যাটির সর্বাধিক ভাজক আছে।
৮৮ সংখ্যাটির ভাজক গুলো হলো: ১, ২, ৪, ৮, ১১, ২২, ৪৪ ও ৮৮।
অর্থাৎ মোট ৮টি ভাজক আছে।

Let the numbers be 13x and 15x
Then, their LCM = 195x
So, 195x = 39780
x = 204
∴ The numbers are 2652 and 3060

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার দীর্ঘ দুটি ট্রেন প্রতি ঘণ্টায় যথাক্রমে ৬০ কি.মি. ও ৪৫ কি.মি. বেগে চলছে। তারা একই স্থানে থেকে একই দিকে চলা শুরু করলে পরস্পরকে অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুই ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (১৫০ + ১০০) = ২৫০ মিটার

ট্রেন দুটি একই দিকে চলছে,
∴ তাদের আপেক্ষিক বেগ = (৬০ − ৪৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ১৫ কিমি/ঘণ্টা

এখন,
১৫ কিমি/ঘণ্টা = (১৫ × ১০০০)/৬০ মিটার/মিনিট
= ২৫০ মিটার/মিনিট

∴ সময় = দূরত্ব ÷ বেগ
= ২৫০ ÷ ২৫০
= ১ মিনিট

∴ পরস্পরকে অতিক্রম করতে ১ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: প্রতি চার বছর অন্তর অন্তর জন্মগ্রহণ করা পাঁচটি শিশুর বয়সের সমষ্টি ৮০ বছর। কণিষ্ঠ শিশুটির বয়স কত বছর?

সমাধান:
কণিষ্ঠ শিশুটির বয়স = ক বছর

প্রশ্নমতে
ক + (ক + ৪) + (ক + ৮) + (ক + ১২) + (ক + ১৬) = ৮০
⇒ ৫ক + ৪০ = ৮০
⇒ ৫ক = ৮০ - ৪০
⇒ ৫ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৫
∴ ক = ৮ 

সুতরাং, কণিষ্ঠ শিশুটির বয়স ৮ বছর।

প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৪০, ১৫টি সংখ্যার গড় ৩০ এবং ২০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৫০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১৫টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৪০ = ৬০০

১৫টি সংখ্যার গড় ৩০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৫ × ৩০ = ৪৫০

২০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ২০টি সংখ্যার সমষ্টি = ২০ × ৫০ = ১০০০

∴ ৫০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৬০০ + ৪৫০ + ১০০০) = ২০৫০
∴ ৫০টি সংখ্যার গড় = ২০৫০ ÷ ৫০ = ৪১

প্রশ্ন: ৯০০০ টাকা ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি মোট টাকার কত অংশ হবে?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাত = ৩ : ৪ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = (৩ + ৪ + ৫) = ১২

∴ বৃহত্তর অংশ = ৯০০০ × (৫/১২) = (৭৫০ × ৫) = ৩৭৫০ টাকা
∴ ক্ষুদ্রতর অংশ = ৯০০০ × (৩/১২) = (৭৫০ × ৩) = ২২৫০ টাকা

∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের সমষ্টি = (৩৭৫০ + ২২৫০) টাকা = ৬০০০ টাকা

এখানে,
৯০০০ টাকা ৯০০০ টাকার ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
১ টাকা ৯০০০ টাকার (১/৯০০০) অংশ
∴ ৬০০০ টাকা ৯০০০ টাকার (১/৯০০০) × ৬০০০ অংশ
= ২/৩ অংশ

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫। প্রথম সংখ্যাটি ২০% বাড়ানো হলো এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি ১০% কমানো হলো। নতুন অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৩ক ও ৫ক
প্রথম সংখ্যা ২০% বাড়ালে = ৩ক + (৩ক এর ২০%) = ৩ক + (৩ক/৫) = ১৮ক/৫
আবার,
দ্বিতীয় সংখ্যা ১০% কমালে = ৫ক - (৫ক এর ১০%) = ৫ক - (ক/২) = ৯ক/২

∴ নতুন অনুপাত = ১৮ক/৫ : ৯ক/২ = ৩৬ : ৪৫ = ৪ : ৫

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের ৩৫ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কতদিন চলবে?

সমাধান: 
অবশিষ্ট দিন = (৩৫ - ৫) দিন
= ৩০ দিন
মোট লোক = (৫০ + ১০) জন
= ৬০ জন

৫০ জন ছাত্রের খাবার আছে = ৩০ দিনের
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৫০ × ৩০) দিনের
∴ ৬০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৫০ × ৩০)/৬০ দিনের
= ২৫ দিনের

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ২৫ দিন চলবে।

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ২০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ৫% লাভ হত। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত টাকা? 

সমাধান:
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা
৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৫ = ১০৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = ১০৫ - ৮০ = ২৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ২৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮০)/২৫ টাকা
= ৪ × ৮০ টাকা
= ৩২০ টাকা

সুতরাং, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ৩২০ টাকা।

প্রশ্ন: তিনটি মোমবাতি যথাক্রমে ১২, ১৬ এবং ২৪ সেকেন্ড পরপর জ্বালানো হয়। প্রথমবার একসঙ্গে জ্বলার পর, কত মিনিট পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে?

সমাধান: 
১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু হবে ন্যূনতম পরবর্তী একসঙ্গে জ্বলার সময়। 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

১২, ১৬ ও ২৪ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩
= ৪৮

∴ প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮ সেকেন্ড পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রথমবার একসঙ্গে জ্বালানোর পর, ৪৮/৬০ = ০.৮ মিনিট  পর আবার একসঙ্গে জ্বালানো হবে।

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজার সময় হবে ৪, ৬, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু।

৪ = ২^২
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২^২ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২^২ × ৩ × ৫ = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ড বা ১ মিনিট পর ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ঈদ উপলক্ষে প্রতিষ্ঠানের মালিক আকাশের বেতন ৫০% বৃদ্ধি করল। কিন্তু ঈদের পরবর্তী মাসে বেতন ৩০% হ্রাস করা হলো। এতে আকাশের বেতন শতকরা কত হ্রাস বা বৃদ্ধি হলো?

সমাধান:
মনে করি,
আকাশের বেতন ছিল ১০০ টাকা
৫০% বৃদ্ধিতে বেতন হবে = (১০০ + ১০০ এর ৫০%)
= (১০০ + ১০০ × ৫০/১০০)
= (১০০ + ৫০) টাকা
= ১৫০ টাকা

আবার, ৩০% বেতন হ্রাসে = (১৫০ - ১৫০ এর ৩০%) টাকা
= (১৫০ - ১৫০ এর ৩০/১০০) টাকা
= (১৫০ - ৪৫) টাকা
= ১০৫ টাকা

∴ শতকরা বেতন বাড়লো = (১০৫ - ১০০)%
= ৫%

We, know that
(a × b) = (HCF and LCM)
396 × 576 = HCF × 6336
HCF = 36