পাটিগণিত

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০০ হলে, প্রথম ও শেষ সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা ৫টি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২, ক + ৩ এবং ক + ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ + ক + ৩ + ক + ৪ = ১০০
⇒ ৫ক + ১০ = ১০০
⇒ ৫ক = ৯০
∴ ক = ১৮

অতএব, প্রথম ও শেষ সংখ্যার সমষ্টি = ক + ক + ৪
= ১৮ + ১৮ + ৪
= ৪০

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৩ + ৭ + ১০ = ২০ 
১ম টুকরার সাইজ = ৮০ এর ৩/২০ = ১২ মিটার
২য় টুকরার সাইজ = ৮০ এর ৭/২০ = ২৮ মিটার
৩য় টুকরার সাইজ = ৮০ এর ১০/২০ =৪০ মিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান:
সহমৌলিক সংখ্যা( Co-Prime Numbers): যদি দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হয় তাহলে তাদেরকে পরস্পর Co-Prime বা সহ মৌলিক সংখ্যা বলে।

অপশনগুলোর মধ্যে 'ঘ' এর ৫২ ও ৯৭ সংখ্যাটির মধ্যে ৯৭ সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ায় ৫২ ও ৯৭ এর গ.সা.গু ১। কারণ এদের মধ্যে কোন সাধারণ গুণনীয়ক নেই। কিন্তু অপর তিনটি অপশনের সংখ্যাদ্বয়ের সাধারণ গুণনীয়ক ৩।

প্রশ্ন: ২৪ জন শ্রমিক একটি কাজ ২৫ দিনে সম্পন্ন করতে পারে। একই কাজ ৬০ দিনে সম্পন্ন করতে চাইলে কত জন শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন?

সমাধান:
২৫ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগে ২৪ জন
∴ ১ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগবে (২৪ × ২৫) জন
∴ ৬০ দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে শ্রমিক লাগবে = (২৪ × ২৫)/৬০ জন
= ১০ জন

∴ শ্রমিক ছাঁটাই করা প্রয়োজন = (২৪ - ১০) জন = ১৪ জন

৬০ কেজি মিশ্রণে বালুর পরিমান ৬০ × ৭/(৭+৩) = ৪২০/১০ = ৪২ কেজি
এবং লবণের পরিমান (৬০-৪২) = ১৮ কেজি।
মনে করি x কেজি লবণ মিশালে অনুপাত ৩:৭ হবে। তাহলে-
৪২ : (১৮+x) = ৩:৭
বা, ৪২/(১৮+x) = ৩/৭
বা, ৫৪ + ৩x = ২৯৪
∴ x = ৮০ কেজি

প্রশ্ন: একটি ফুলের দোকান থেকে ১৭০টি গোলাপ ক্রয় করা হলো। ৩ দিন পর ১৭টি ফুল নষ্ট হয়ে যায়। অবশিষ্ট ফুলের শতকরা হার নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মোট ফুল ক্রয় করা হলো ১৭০টি
এর মধ্যে নষ্ট হলো ১৭টি
∴ ভালো ফুল রইলো = (১৭০ - ১৭) = ১৫৩টি

১৭০টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা ১৫৩টি
১টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা (১৫৩/১৭০)টি
∴ ১০০টি ফুলের মধ্যে ভালো ফুলের সংখ্যা (১৫৩/১৭০) × ১০০ টি
= ৯০টি

∴ শতকরা ৯০% ফুল ভালো আছে।

(৪০০ × ৮) + (৮০০ × ৪)
= ৬৪০০ টাকার ১ মাসের সুদ = ২৪ টাকা
∴ ১০০ টাকার ১২ মাসের সুদ = (২৪ × ১২ × ১০০)/৬৪০০
= ৪.৫%

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫ টাকা হারে ৫০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ৫% 
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, (S.I.) = Pnr/১০০
= (৫০০ × ৩ × ৫)/১০০
= (৭৫০০)/১০০
= ৭৫ টাকা

∴ সরল মুনাফা = ৭৫ টাকা

প্রশ্ন: ১/৩, ২/৫, ৭/৪ এবং ৩/৫ এর ল.সা.গু.কত? 

সমাধান:
ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = লবগুলোর ল.সা.গু. / হরগুলো গ.সা.গু

লবগুলো =  ১, ২, ৭, ৩
ল.সা.গু.: = ১ × ২ × ৭ × ৩ = ৪২

হরগুলো = ৩, ৫, ৪, ৫
গ.সা.গু.:
৩ এর ভাজক: ১, ৩
৫ এর ভাজক: ১, ৫
৪ এর ভাজক: ১, ২, ৪

সবগুলোর সাধারণ ভাজক একমাত্র ১

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. = ৪২ / ১ = ৪২

প্রশ্ন: কোনো কাজের এক-তৃতীয়াংশ শেষ করতে ১৫ জন লোকের ২০ দিন সময় লাগে। পুরো কাজটি শেষ করতে ২০ জন লোকের কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান:
১/৩ অংশ কাজ শেষ করতে ১৫ জন লোকের সময় লাগে = ২০ দিন
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১৫ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ৩) দিন 
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ৩ × ১৫) দিন 
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ২০ জন লোকের সময় লাগে​= (২০ × ৩ × ১৫)/২০ দিন 
​= ৪৫ দিন 
​
​বিকল্প:
​(P₁ × D₁)/(P₂ × D₂) = ১/৩
⇒ ​​(১৫ × ২০)/(২০ × D₂) = ১/৩
⇒ ​১৫/D₂ = ১/৩
⇒ ​D₂ = ৪৫ 

ধরি সংখ্যা দুইটি ৬x ও ৭x; গ.সা.গু.x=৪
বৃহত্তম সংখ্যা= ৭×৪=২৮

Let Nishi's age be 6x years. Then, Tanvir's age = 5x years.
∴ (6x+9)/(5x+9) = 9/8 ⇒ 8(6x+9) = 9(5x+9)
⇒ 48x−45x = 81−72
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3
Difference in their ages = (6x−5x) = x years = 3 years.

এখানে ১২ টি আমলকির ক্রয়মূল্য = ২২ টাকা।
তাহলে ১২ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য = (১২ × ২) টাকা।
= ২৪ টাকা।
আমরা জানি,
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ২৪ - ২২
= ২ টাকা
শতকরা লাভ = লাভ/ক্রয়মূল্য × ১০০
= ২/২২ × ১০০%
= ৯.০৯%

প্রশ্ন: ৩ বছর পূর্বে স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২৯ বছর। ৫ বছর পূর্বে স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২৩ বছর। স্বামীর বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান:
৩ বছর পূর্বে - 
স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২৯ × ৩) বছর 
= ৮৭ বছর 
∴ স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৮৭ + (৩ × ৩)} বছর
= ৯৬ বছর 

আবার, ৫ বছর পূর্বে -
স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২৩ × ২) বছর
= ৪৬ বছর
∴ স্ত্রী এবং সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৪৬ + (৫ × ২)} বছর
= ৫৬ বছর

∴ স্বামীর বর্তমান বয়স = (৯৬ - ৫৬) বছর
= ৪০ বছর। 

প্রশ্ন: 50 টাকায় 10 টি লেবু বিক্রয় করার 50% ক্ষতি হয়। 50 টাকায় 6 টি লেবু বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বিক্রয় মূল্য = 50 টাকা 
এবং ক্ষতি 50%
∴ ক্রয়মূল্য = (50 + 50) = 100 টাকা 

10 টি লেবুর ক্রয়মূল্য = 100 টাকা 
∴ 1 টি লেবুর ক্রয়মূল্য = 100/10 = 10 টাকা

আবার, 
6 টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = 50 টাকা
∴ 1 টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = 50/6 = 25/3 টাকা

∴ ক্ষতি = 10 - (25/3) = (30 - 25)/3 = 5/3 টাকা

∴ 10 টাকায় ক্ষতি হয় = 5/3 টাকা 
∴ 1 টাকায় ক্ষতি হয় = 5/30 টাকা 
∴ 100 টাকায় ক্ষতি হয় = (5 × 100)/30 = 50/3 = 16.67 টাকা 

সুতরাং, ক্ষতির পরিমাণ 16.67%

প্রশ্ন: ৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৬৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৬

∴ এদের অন্তর = ৬৪২০ - ২০৪৬ = ৪৩৭৪

প্রশ্ন: টিটু ৪০০০০ টাকায় একটি যন্ত্র ক্রয় করে মেরামতের জন্য ২৫০০ টাকা এবং পরিবহনের জন্য ৫০০ টাকা ব্যয় করেন। টিটু যন্ত্রটি ২৫% লাভে বিক্রি করেন। যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য কত? 

সমাধান: 
মেশিন বাবদ সর্বমোট খরচ হয় = (৪০০০০ + ২৫০০ + ৫০০) টাকা
= ৪৩০০০ টাকা

২৫% লাভে,
১০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য হবে = ১২৫ টাকা
∴ ১ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য হবে = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ৪৩০০০ টাকা মূল্যের যন্ত্রের বিক্রয়মূল্য হবে = (১২৫ × ৪৩০০০)/১০০ টাকা
= ৫৩৭৫০ টাকা

∴ যন্ত্রটির বিক্রয়মূল্য = ৫৩৭৫০ টাকা।

১৫% লাভে,
বিক্রয় মূল্য ১১৫ টাকা হলে ক্রয় মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয় মূল্য ৪৮৩ টাকা হলে ক্রয় মূল্য = (৪৮৩ × ১০০)/১১৫
= ৪২০ টাকা
∴ লাভ = ৪৮৩ - ৪২০
= ৬৩ টাকা।

প্রশ্ন: কোনো আসল 3 বছরে মুনাফা-আসলে 5500 টাকা হয়। মুনাফা আসলের 3/8 অংশ হলে মুনাফার হার কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = 8 টাকা
মুনাফা = 3 টাকা
মুনাফা-আসল = 11 টাকা

মুনাফা-আসল 11 টাকা হলে মুনাফা = 3 টাকা
মুনাফা-আসল 1 টাকা হলে মুনাফা = 3/11 টাকা
মুনাফা-আসল 5500 টাকা হলে মুনাফা = (3 × 5500)/11 টাকা
= 1500 টাকা

∴ আসল = (5500 - 1500) = 4000 টাকা

4000 টাকার 3 বছরের মুনাফা = 1500 টাকা
1 টাকার 1 বছরের মুনাফা = 1500/(4000 × 3)টাকা
100 টাকার 1 বছরের মুনাফা = (1500 × 100)/(4000 × 3)টাকা
= 12.5%

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের ল.সা.গু ৩৬০ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুটি ৫ক এবং ৬ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ৩০ক
প্রশ্নমতে,
৩০ক = ৩৬০
∴ ক = ৩৬০/৩০ = ১২
∴ সংখ্যা দুটি ৫ × ১২ = ৬০ এবং ৬ × ১২ = ৭২

অতএব সংখ্যা দুইটি ৬০ ও ৭২

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি শেষ করতে মোট কতদিন সময় লাগবে? 

সমাধান: 
৮ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে 
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮) দিনে 
∴ ৬ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮)/৬ দিনে 
= ১৬ দিনে 

∴ মোট সময় লাগবে = ১৬ দিন।

প্রশ্ন: ২০ এর কত শতাংশ ৫০ হবে?

সমাধান:
ধরি, ২০ এর ক শতাংশ = ৫০

বা, ২০ × ক / ১০০ = ৫০
বা, ক = (৫০ × ১০০) / ২০
বা, ক = ৫০০০ / ২০
বা, ক = ২৫০

∴ ২০ এর ২৫০% হলো ৫০

সুদের পরিমাণ = (৩,৭৩,৮৯৯ × ১.২৫) = ৪৬৭৩৭৩.৭৫ টাকা
৩,৭৩,৮৯৯ টাকার ৭.৫ বছরের সুদ ৪৬৭৩৭৩.৭৫ টাকা
∴ ১০০ 〃 ১ 〃 〃 (৪৬৭৩৭৩.৭৫ × ১০০) / (৩৭৩৮৯৯ × ৭.৫)〃
= ১৬.৬৭ টাকা

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৯৯ - ১)/২
= ৯৯

প্রশ্ন: নিচের কোন ফলাফলটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
৯ দিয়ে কোন সংখ্যা বিভাজ্য হতে হলে সংখ্যাটির অংকগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
ক) ৫২ + ২৫ = ৫০ 
৫ + ০ = ৫ , [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

খ) ৫২৭ + ৭২৫ = ১২৫২
১ + ২ + ৫ + ২ = ১০ [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

গ) ৪১২ + ২৩৪ = ৬৪৬
৬ + ৪ + ৬ = ১৬ [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

ঘ) ৭৫ - ৫৭ =১৮
১ + ৮ = ৯  [যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য]

প্রশ্ন: পিতা ও তার দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩৩ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২৪ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩৩ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩৩ × ৩) বছর
= ৯৯ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২৪ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২৪ × ২) বছর 
= ৪৮ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯৯ - ৪৮) বছর 
= ৫১ বছর।

১টি কমলার ক্রয় মূল্য = ৫/২ টাকা
৪০% লাভে ১টি কমলার বিক্রয় মূল্য = ১৪০/১০০ × ৫/২ = ৭/২ টাকা
৭/২ টাকায় বিক্রয় হয় = ১টি কমলা
∴ ১ “ “ “ = ২/৭” “
∴ ৩৫ “ “ “ = ২×৩৫ / ৭ = ১০টি