পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি রশির মোট দৈর্ঘ্যের ৩০% এর সাথে ৬৩ মিটার যোগ করলে সম্পূর্ণ রশির দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। রশিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, রশিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক এর ৩০%) + ৬৩ = ক
⇒ (৩০ক/১০০) + ৬৩ = ক
⇒ (৩০ক + ৬৩০০)/১০০ = ক
⇒ ১০০ক = ৩০ক + ৬৩০০
⇒ ১০০ক - ৩০ক = ৬৩০০
⇒ ৭০ক = ৬৩০০
⇒ ক = ৬৩০০/৭০
∴ ক = ৯০

∴ রশিটির দৈর্ঘ্য = ৯০ মিটার

২০% হারে ৫০০০ টাকার মুনাফা 

= ২০×১×৫০০০/১০০ টাকা 

= ১০০০ টাকা।

৫% হারে ২০০০ টাকার মুনাফা 

= ৫×১×২০০০/১০০ টাকা 

= ১০০ টাকা।

মোট মুনাফা 

= (১০০০ + ১০০) টাকা 

= ১১০০ টাকা।

নির্ণেয় মুনাফার হার 

= (১১০০ × ১০০/৭০০০) টাকা 

= ১৫.৭১ টাকা।

মনেকরি,
সংখ্যাটি a,
∴ a এর ২০% = ৩/৫
বা, ২০a/১০০ = ৩/৫
বা, a = (৩ × ১০০)/(৫ × ২০)
= ৩

প্রশ্ন: একজন সবজি ব্যবসায়ী এক মণ আলু ৬১২ টাকায় বিক্রি করলে ১৫% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে?

সমাধান:
ধরি, ক্রয়মূল্য = ক টাকা

প্রশ্নমতে,
ক - ক এর ১৫% = ৬১২
⇒ ক - (১৫ক/১০০) = ৬১২
⇒ ক - (৩ক/২০) = ৬১২
⇒ (২০ক - ৩ক)/২০ = ৬১২
⇒ ১৭ক = ৬১২ × ২০
⇒ ক = (৬১২ × ২০)/ ১৭
⇒ ক = ৭২০

আবার,
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৭২০ + ৭২০ এর ১০%
= ৭২০ + {(৭২০ × ১০)/১০০}
= ৭২০ + ৭২
= ৭৯২ টাকা।

প্রশ্ন: চারটি ইলেকট্রনিক যন্ত্র যথাক্রমে ১, ৫/৪, ৩/২ এবং ৭/৪ মিনিট অন্তর অন্তর সংকেত দেয়। তারা একত্রে সংকেত দেওয়ার কতক্ষণ পর পুনরায় একত্রে সংকেত দেবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু 

এখন, 
লব(১, ৫, ৩, ৭) এর ল.সা.গু = ১ × ৫ × ৩ × ৭ = ১০৫ 
এবং (১, ৪, ২, ৪) এর গ.সা.গু = ১ 

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু = ১০৫/১ = ১০৫ মিনিট
∴ ১০৫ মিনিটকে ঘণ্টায় প্রকাশ করে পাই = (৬০ + ৪৫) মিনিট = ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট 

অতএব, যন্ত্রগুলো পুনরায় একত্রে ১০৫ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট পর সংকেত দেবে।

প্রশ্ন: ৫ জন সদস্যের একটি পরিবারের গড় বয়স ১৮ বছর। যদি কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স ১০ বছর হয়, তবে কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময় পরিবারের গড় বয়স কত ছিল?

সমাধান:
৫ জন সদস্যের গড় বয়স ১৮ বছর
৫ জন সদস্যের মোট বয়স = (১৮ × ৫) = ৯০ বছর

 ১০ বছর আগে (কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময়), পরিবারের সদসসদের মোট বয়স = {৯০ - ১০ - (১০ × ৪)}
= (৯০ - ৫০) = ৪০ বছর

 যেহেতু তখন কনিষ্ঠ সদস্যের জন্ম হচ্ছে, তাই বাকি ৪ জন সদস্যের গড় বয়স ছিল = (৪০ ÷ ৪) = ১০ বছর

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি কোনো দ্রব্যের ধার্যমূল্যের উপর ৪% কমিশন দিয়েও ২০% লাভ করেন। যে দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ৩০০ টাকা, তার ধার্যমূল্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দ্রব্যের ক্রয়মূল্য ৩০০ টাকা

২০% লাভে,
 বিক্রয়মূল্য = ৩০০ + ৩০০ এর ২০%
 = ৩০০ + ৬০ টাকা
= ৩৬০ টাকা

আবার, 
ধার্যমূল্যের ওপর ৪% কমিশন দিলে,
ধার্যমূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৪) = ৯৬ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৯৬ টাকা হলে ধার্যমূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ধার্যমূল্য = ১০০/৯৬ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে ধার্যমূল্য = (১০০ × ৩৬০)/৯৬ টাকা
= ৩৭৫ টাকা

∴ দ্রব্যটির ধার্যমূল্য ৩৭৫ টাকা।

৬/১১ = ০.৫৫
৮/১৪ = ০.৫৭
৩/৫ = ০.৬০
৫/৮ = ০.৬৩

প্রশ্ন: একটি ক্যাম্পে ৫২ জনের ২৬ দিনের খাদ্য আছে। ৫ দিন পর ঐ ক্যাম্পে ৩২ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৬ - ৫) দিন
= ২১ দিন 

এবং মোট লোক সংখ্যা হলো = (৫২ + ৩২) জন
= ৮৪ জন 

এখন,
৫২ জন লোকের চলে = ২১ দিন 
∴ ১ জন লোকের চলে = (২১ × ৫২) দিন 
∴ ৮৪ জন লোকের চলে = (২১ × ৫২)/৮৪ দিন 
= ১৩ দিন। 

অতএব, ঐ খাদ্যে আর ১৩ দিন চলবে 

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০, ৪/১৫, ১/৬ এর গড় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা

এখন, 
চারটি ভগ্নাংশ যোগ করে পাই,
(২/৫) + (৩/১০) + (৪/১৫) + (১/৬)
= (১২ + ৯ + ৮ + ৫)/৩০ 
= ৩৪/৩০ 
= ১৭/১৫

∴ গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা
= (১৭/১৫)/৪ 
= ১৭/৬০ 

প্রশ্ন: ৫০ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৩ : ২। ঐ মিশ্রণে কী পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে এসিড ও পানির অনুপাত ২ : ৩ হবে? 

সমাধান: 
এসিড : পানি = ৩ : ২ 
∴ মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ = {৫০ × (৩/৫)} = ৩০ লিটার
∴ মিশ্রণে পানির পরিমাণ = {৫০ × (২/৫)} = ২০ লিটার

ধরি, 
x লিটার পানি মিশ্রিত করলে এসিড এবং পানির অনুপাত হবে = ২ : ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩০ : (২০ + x) = ২ : ৩
বা, ৩০/(২০ + x) = ২/৩ 
বা, ৯০ = ৪০ + ২x 
বা, ২x = ৯০ - ৪০ 
বা, ২x = ৫০ 
বা, x = ৫০/২ 
∴ x = ২৫ 

∴ ২৫ লিটার পানি মিশ্রিত করতে হবে।

৭০ জনের মধ্যে পাশ করে (৭০-৪২) = ২৮ জন
১০০   〃   〃     〃  〃 (২৮×১০০)/৭০ জন
                            = ৪০ জন

প্রশ্ন: √5/(√15 + 5) = কত?

সমাধান: 
√5/(5 + √15)
= √5/{√5(√5 + √3)}
= 1/(√5 + √3)
= (√5 - √3)/(√5 + √3)(√5 - √3)
= (√5 - √3)/{(√5)² - (√3)²}
= (√3 - √2)/(5 - 3)
= (√5 - √3)/2

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩০% বৃদ্ধি ও প্রস্থ ২০% হ্রাস করা হলে, ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?

সমাধান:
ধরি, দৈর্ঘ্য = ১০০ একক এবং প্রস্থ = ১০০ একক
ক্ষেত্রফল = (১০০ × ১০০) = ১০০০০ বর্গ একক

এখন,
৩০% বৃদ্ধিতে দৈর্ঘ্য = ১৩০ একক
২০% হ্রাসে প্রস্থ = ৮০ একক
∴ ক্ষেত্রফল = (১৩০ x ৮০) = ১০৪০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১০৪০০ - ১০০০০) বর্গ একক
= ৪০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৪০০ × ১০০)/১০০০০
= ৪%

দেওয়া আছে, ক : খ = ২ : ৩ = ৮ : ১২ (৪ দ্বারা গুণ করে)
এবং খ : গ = ৪ : ৫ = ১২ : ১৫ = (৩ দ্বারা গুণ করে)
সুতরাং ক : খ : গ = ৮ : ১২ : ১৫।

ট্রেনটি যেতে মোট সময় লাগে ৮ ঘন্টা।
৮ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কিমি
∴ ১ 〃 〃 〃 ৩০০/৮ 〃
= ৩৭.৫ কিমি

Question: 20 workers can complete a job in 180 days. After 20 days, 5 workers leave. The remaining workers continue for 40 more days, and then 11 new workers join. How many days will it take to finish the work after the new workers join?

Solution:
20 workers can finish the job in 180 days
Total work = 180 × 20 = 3600 worker-days

At 20 days, work completed = 20 × 20 = 400 worker-days
Remaining worker = 20 - 5 = 15

Work remaining = 3600 - 400 = 3200 worker-days
Remaining worker completed = 15 × 40 = 600 worker-days

Remaining work = 3200 - 600 = 2600 worker-days
Worker joined = 15 + 11 = 26

So,
Remaining days = 2600/26 = 100 days 

∴ 100 days needed to complete the remaining work after new workers join.

প্রশ্ন: কোন স্কুলের একটি শেণিকক্ষে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ১৩ : ১৯। যদি শ্রেণিকক্ষে ১ জন শিক্ষক এবং ৩১ জন মূল্যায়নকারীসহ মোট ২২৪ জন লোক থাকে, তবে শ্রেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা কতজন?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ১৩ + ১৯ = ৩২

শেণিকক্ষে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ২২৪ - (১ + ৩১) জন
= ১৯২ জন 

∴ শেণিকক্ষে ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ × (১৯/৩২) জন
= ১১৪ জন

১২ জনে ৯৬০ টাকা আয় করে ৪ দিনে
∴৯ জনে ৯৬০ টাকা আয় করে(৪×১২)/৯= ৫.৩৩ দিনে (ষষ্ঠ দিন পর্যন্ত লাগবে)

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহ-মৌলিক নয়?

সমাধান: 
সহ-মৌলিক সংখ্যা: হলো এমন দুটি বা ততোধিক সংখ্যার সেট, যাদের মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক নেই। অর্থাৎ, ঐ সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু সর্বদা ১।  

এখানে, 
প্রথম তিনটি জোড়ার মধ্যে কোনো সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই। তাই তারা সহ-মৌলিক সংখ্যা। 

অন্য দিকে, 
(ঘ) ৯৪ এবং ১০৪ উভয়ই জোড় সংখ্যা। যা অবশ্যই ২ দিয়ে বিভাজ্য হবে।  তাই ৯৪ এবং ১০৪ সহ-মৌলিক নয়। 

হরিণের ৪ লাফ = বাঘের ৩ লাফ
হরিণের ৫ লাফ = বাঘের ( ৩× ৫ )/৪ = ১৫/৪ লাফ
∴ বাঘ ও হরিণের গতিবেগের অনুপাত = ৪ ঃ ১৫/৪ = ১৬ঃ১৫

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১ 

এখানে,
২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ৩, এবং ৫ এর সূচক ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখায় = (৩ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৪ × ২
= ৩২

∴ ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক ৩২ টি।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৭/১২ = ০.৫৮৩
১১/১৮ = ০.৬১১
৩/৫ = ০.৬০০
১১/২০ = ০.৫৫০

∴ অপশন (ঘ) ১১/২০ = ০.৫৫০ এর মান সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম।

রং দ্বারা বাঁশটির আবৃত অংশ = ২/৫ + ১/৪ + ১/৩ = = (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ = ৫৯/৬০ অংশ।
প্রশ্নমতে,
(১ - ৫৯/৬০) অংশ = ৬ মিটার
বা, ১/৬০ অংশ = ৬ মিটার
বা, ১ মিটার = ৬×৬০ = ৩৬০ মিটার।

x এর y% = 39
⇒ x = 3900/y
∴  x এর মান 3900/y।

১২% লাভে দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য = (৫০০ × ১১২)/১০০ = ৫৬০ টাকা
১৩% কমে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = (৫০০× ৮৭)/১০০ = ৪৩৫ টাকা
∴ নির্ণেয় লাভ = (৫৬০ - ৪৩৫) টাকা।
= ১২৫ টাকা।

প্রশ্ন: 2, 4, 5 এবং 9 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/ উপাত্তগুলোর সংখ্যা
= (2 + 4 + 5 + 9)/4 
= 20/4 
= 5

আমরা জানি,
গড় বিচ্যুতি, MD = ∑|Xi - X|/n 
অর্থাৎ, গড় বিচ্যুতি = বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি/সংখ্যার পরিমাণ 
=  (|2 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |9 - 5|)/4
= (3 + 1 + 0 + 4) / 4
 = 8/4
= 2

∴ গড় বিচ্যুতি = 2

সুদাসল = আসল [১ + (হার/১০০)]^{২ × সময়}
= ৪০৯৬ × [১ + {৬(১/৪)/১০০}]^{২ × ৩/২}
= ৪০৯৬ × [১ + {২৫/(৪×১০০)}]^৩
= ৪০৯৬ × (১ + ১/১৬)^৩
= ৪০৯৬ × {(১৭×১৭×১৭)/(১৬×১৬×১৬)}
= ৪৯১৩
∴ সুদ = ৪৯১৩ - ৪০৯৬
= ৮১৭ টাকা।