পাটিগণিত

প্রশ্ন: ১০% হারে ২০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ২০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ১০% 
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সরল মুনাফা = Prn/১০০
= (২০০০ × ১০ × ৩)/১০০
= ৬০০ টাকা

আবার,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P(১ + r/১০০)ⁿ - P
= ২০০০(১ + ১০/১০০)^৩ - ২০০০
= ২০০০(১১০/১০০)^৩ - ২০০০
= ২০০০ × (১১/১০) × (১১/১০) × (১১/১০) - ২০০০
= ২০০০ × (১৩৩১/১০০০) - ২০০০
= ২৬৬২ - ২০০০
= ৬৬২ টাকা

∴ পার্থক্য = ৬৬২ - ৬০০ = ৬২ টাকা

∴ সরল মুনাফা এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৬২ টাকা।

৯৯ এর ১.৬% = ৯৯ এর ১.৬/১০০
৯৯ এর ১৬/ (১০ × ১০০) = ১.৫৮৪

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা মুনাফায় ৩০০০ টাকার ২ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত হবে? 

সমাধান:
সরল মুনাফা
I = Pnr/১০০
I = (৩০০০ × ২ × ১০)/১০০
∴ I = ৬০০ 

∴ সরল মুনাফা = ৬০০ টাকা 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা
C = P{১ + {১ + (r/১০০)}ⁿ
= ৩০০০{১ + (১০/১০০)}^২
= ৩০০০(১১/১০)^২
= ৩৬৩০ 

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৩৬৩০ - ৩০০০ = ৬৩০ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৬৩০ - ৬০০) টাকা = ৩০ টাকা 

এখানে,
মুনাফা I = ৪৪০০ টাকা,
মূলধন P = ৮০০০ টাকা,
মুনাফার হার r = ১১%
∴ সময় n = ?
আমরা জানি,
I = prn
বা, n = I/pr
= ৪৪০০/(৮০০০ × ১১/১০০)
= (৪৪০০×১০০)/(৮০০০×১১)
= ৫

প্রশ্ন: একটি গল্পের বইয়ের ৯০ পৃষ্ঠা পড়ার পর দেখা গেল বইটির ২/৫ অংশ এখনও অপঠিত রয়েছে। বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট বইয়ের অংশ = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
বাকি আছে বা অপঠিত রয়েছে = ২/৫ অংশ

∴ পড়া হয়েছে = (১ - ২/৫) অংশ
= (৫-২)/৫ অংশ
= ৩/৫ অংশ

শর্তমতে,
৩/৫ অংশ = ৯০ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ = ৯০ × (৫/৩) পৃষ্ঠা
= ১৫০ পৃষ্ঠা

∴ বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা = ১৫০।

প্রশ্ন: পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৪ × ৬ × ৫ 

সুতরাং, সংখ্যা তিনটি ৪, ৫, ৬ 

∴ এদের যোগফল = ৪ + ৫ + ৬ = ১৫

প্রশ্ন: একটি বইয়ের বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা এবং ক্রয়মুল্য বিক্রয়মূল্যের চার-পঞ্চমাংশ। শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বইয়ের বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা 
∴ ক্রয়মূল্য = ১২৫ × (৪/৫) = ১০০ টাকা 

∴ লাভ = (১২৫ - ১০০) টাকা = ২৫ টাকা 

১০০ টাকায় লাভ হয় = ২৫ টাকা 
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ২৫/১০০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ২৫)/১০০ = ২৫ টাকা

অর্থাৎ শতকরা লাভ = ২৫%

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২/৫ অংশ ৩৬ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে, 
ক এর ২/৫ = ৩৬
বা, ক = ৩৬ এর ৫/২
বা, ক = ৯০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার একক স্থানীয় মান x এবং দশক স্থানীয় মান y হলে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
একক স্থানীয় মান = x
দশক স্থানীয় মান = y

∴ সংখ্যাটি = 10 × y + x 
= 10y + x

রহিম, করিম এবং গাজী 1 দিনে কাজ করতে পারে যথাক্রমে 1/15, 1/6 এবং 1/10 অংশ

তাহলে,
3 জন একত্রে ১ দিনে করে (1/15 + 1/6 + 1/10) অংশ
                                     = (2 + 5 +3)/30
                                     = 10/30
                                     = 1/3 অংশ

এখন,1/3 অংশ করে 1 দিনে
সুতরাং, 1অংশ বা সম্পুর্ণ কাজ করতে পারবে (1 × 3)/1দিনে।
                                                                       = 3 দিনে

প্রশ্ন: একদল ছাগল প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে চার পথে যায়, ছয়টি খোঁয়াড়ে ঢোকে, আটটি মাঠে চরে এবং দশজন রাখাল সমান সংখ্যক ছাগল দেখাশোনা করে। তাহলে ছাগলের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ছাগলের সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যা ৪, ৬, ৮ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অর্থাৎ ৪, ৬, ৮ ও ১০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।

৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ ছাগলের সংখ্যা = ১২০।

ধরি,
অপর সংখ্যাটি a
∴ a × 308 = 11 × 7700
বা, a = (11×7700)/308
= 275

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি 120 কিলোমিটার দূরত্ব একটি নির্দিষ্ট গতিবেগে অতিক্রম করে। যদি তার গতিবেগ ঘন্টায় 10 কিলোমিটার বেশি হতো, তবে তার গন্তব্যে পৌঁছাতে 1 ঘণ্টা সময় কম লাগত। তার আসল গতিবেগ কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, ব্যক্তির আসল গতিবেগ = x কি.মি./ঘন্টা
∴ সময় লাগবে = 120/x ঘণ্টা।

আবার,
যদি গতিবেগ 10 কি.মি./ঘন্টা বেশি হয়, তাহলে
সময় লাগবে = 120/(x + 10)​ ঘণ্টা।

প্রশ্নমতে, 
(120/x) - {120/(x + 10)} = 1
⇒ 120{(x + 10 - x)/x(x + 10)} = 1
⇒ 1200/x(x + 10) = 1
⇒ x² + 10x = 1200
⇒ x² + 10x - 1200 = 0
⇒ x² + 40x - 30x - 1200 = 0
⇒ x(x + 40) - 30(x + 40) = 0
⇒ (x + 40)(x - 30) = 0
হয়, x + 40 = 0
∴ x = - 40 ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
x - 30 = 0
∴ x = 30

অতএব, তার আসল গতিবেগ ছিল 30 কি.মি./ঘন্টা।

দিন বাকি থাকে = ২০ - ৫ = ১৫ দিন এবং লোক অবশিষ্ট থাকে = ৫০০ - ১০০ = ৪০০ জন
৫০০ জনের খাবার আছে ১৫ দিনের
১ জনের খাবার আছে (১৫ × ৫০০) দিনের
৪০০ জনের খাবার আছে (১৫ × ৫০০)/৪০০ = ১৮(৩/৪) দিনের

ধরি সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর ৬০/১০০ - ৬০ = ৬০
বা, ৬০x/১০০ = ১২০
∴ x = ২০০

ধরি, ছাত্রসংখ্যা x
তাহলে,
3x + 5 = N --- i
4x - 21 = N --- ii

ii - i =>
x - 26 = 0
So, x = 26

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫ এবং ২২৫। প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গ.সা.গু = ১৫ এবং ল.সা.গু = ২২৫

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু × ল.সা.গু
= ১৫ × ২২৫
= ৩৩৭৫

এখন,
প্রথম সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৯ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ৯ × ৫ = ৪৫

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক

সুতরাং,
৪৫ × ক = ৩৩৭৫

⇒ ক = ৩৩৭৫/৪৫
⇒ ক = ৭৫

∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: রুমান সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১৮ কিমি. ও রুশান সাইকেলে ৪ ঘন্টায় ২৮ কিমি. যায়। তাদের বেগের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রুমান সাইকেলে ৩ ঘন্টায় ১৮ কিমি. ও রুশান ৪ ঘন্টায় ২৮ কিমি. যায়।

আমরা জানি,
বেগ = দূরত্ব/সময়

∴ রুমানের বেগ,
= ১৮/৩ কি.মি./ঘণ্টা
= ৬ কি.মি./ঘণ্টা

রুশানের বেগ,
= ২৮/৪ কি.মি./ঘণ্টা
= ৭ কি.মি./ঘণ্টা

তাদের বেগের অনুপাত= ৬ : ৭                            

প্রশ্ন: ৫ টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১০০ হলে প্রথম ও শেষ সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম সংখ্যা = ক
২য় সংখ্যা = ক + ১
৩য় সংখ্যা = ক + ২
৪র্থ সংখ্যা = ক + ৩
৫ম সংখ্যা = ক + ৪

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১ + ক + ২ + ক + ৩ + ক + ৪ = ১০০
⇒ ৫ক + ১০ = ১০০
⇒ ৫ক = ১০০ - ১০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/৫
⇒ ক = ১৮

∴ ১ম সংখ্যা = ১৮
এবং ৫ম বা শেষ সংখ্যা = ক + ৪ = ১৮ + ৪ = ২২

∴  সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ১৮ × ২২
= ৩৯৬ 

প্রশ্ন: একটি পণ্য ৫০০ টাকায় বিক্রি করলে যত ক্ষতি হয়, ৭০০ টাকায় বিক্রি করলে তার তিনগুণ লাভ হয়। পণ্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, পণ্যটির ক্রয়মূল্য = ক টাকা

এখন, 
৫০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্ষতি = ক - ৫০০ টাকা
এবং
৭০০ টাকায় বিক্রি করলে লাভ = ৭০০ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৭০০ - ক = ৩(ক - ৫০০)
⇒ ৭০০ - ক = ৩ক - ১৫০০
⇒ ৩ক + ক = ৭০০ + ১৫০০
⇒ ৪ক = ২২০০
⇒ ক = ২২০০/৪ 
∴ ক = ৫৫০ টাকা 

সুতরাং, পণ্যটির ক্রয়মূল্য ৫৫০ টাকা।

প্রশ্ন: ২৬৪ টি কমলার সাথে কমপক্ষে কতগুলো কমলা সংযুক্ত করলে তা ৬, ৭ অথবা ৮ জনের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে? 

সমাধান: 
৬, ৭ এবং ৮ এর ল.সা.গু = (২ × ৩ × ৭ × ৪)
= ১৬৮

এখন, 
১৬৮) ২৬৪ (১
         ১৬৮
       ______
           ৯৬

∴ কমলা সংযুক্ত করতে হবে = (১৬৮ - ৯৬) টি
= ৭২ টি। 

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং গ.সা.গু ৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি ৩x এবং ৪x 

৩x এবং ৪x এর গ.সা.গু= x
প্রশ্নমতে, x = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৩ × ৫
= ১৫

সমাধান:
এখানে, সাধারণ বিয়োগফল = ৩ - ১ = ২, ৪ - ২ = ২, ৫ - ৩ = ২ এবং ৬ - ৪ = ২

আবার,
৩,৪,৫ এবং ৬ সংখ্যাগুলোর ল. সা. গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ৬০ - ২ = ৫৮

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি সম্পত্তির ২/৩ অংশ পুত্রকে, ১/৩ অংশ কন্যাকে দিলেন। কন্যা ১৫০০ টাকা কম পেল। সম্পূর্ণ সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, সম্পূর্ণ সম্পত্তির মূল্য = ক টাকা।

পুত্র পেয়েছে = ২ক/৩ টাকা
এবং কন্যা পেয়েছে = ক/৩ টাকা

প্রশ্ন অনুযায়ী, কন্যা পুত্রের চেয়ে ১৫০০ টাকা কম পেয়েছে।
অর্থাৎ,
⇒ (২ক/৩) - (ক/৩) = ১৫০০ 
⇒ (২ক - ক)/৩ = ১৫০০ 
⇒ ক = ১৫০০ × ৩
∴ ক = ৪৫০০ টাকা 

 সুতরাং, সম্পূর্ণ সম্পত্তির মূল্য ৪৫০০ টাকা।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি সকালে ৬ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হেঁটে বাসা থেকে অফিসে যান এবং বিকেলে ৪ কি.মি./ঘণ্টা বেগে হেঁটে অফিস থেকে বাসায় ফেরেন এতে তার ১ ঘণ্টা বেশি লাগে । বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব কত?

সমাধান:

মনে করি,
বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব x কিলোমিটার।

সকালে ৬ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
সকালে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৬ ঘণ্টায়
সকালে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৬ ঘণ্টায়

আবার,
বিকেলে ৪ কি.মি. অতিক্রম করে ১ ঘণ্টায়
বিকেলে ১ কি.মি. অতিক্রম করে ১/৪ ঘণ্টায়
বিকেলে x কি.মি. অতিক্রম করে x/৪ ঘণ্টায়

প্রশ্নানুযায়ী,
 (x/৪) - (x/৬) = ১
⇒ (৩x - ২x)/১২ = ১
⇒ x/১২ = ১
∴ x = ১২
সুতরাং, বাসা থেকে অফিসের দুরত্ব ১২ কিলোমিটার।

চার সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৪ X ৭) বছর।
= ২৮ বছর।
মাতাসহ চার সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৫ X ১২)
= ৬০ বছর।
সুতরাং মাতার বয়স = (৬০ - ২৮) বছর
= ৩২ বছর।

প্রশ্ন: ৫০ জনের ২৭ দিনের খাদ্য আছে। ৩ দিন পর ৩০ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে? 

সমাধান: 
দিন বাকী আছে (২৭ - ৩) দিন
= ২৪ দিন 
মোট লোক সংখ্যা হলো = (৫০ + ৩০) জন
= ৮০ জন 

এখন,
৫০ জন লোকের চলে = ২৪ দিন 
∴ ১ জন লোকের চলে = (২৪ × ৫০) দিন 
∴ ৮০ জন লোকের চলে = (২৪ × ৫০)/৮০ দিন 
= ১৫ দিন। 

প্রশ্ন: দুটি ভিন্ন ব্যাংক, পৃথক বার্ষিক সুদের হারের জন্য ৬৫০ টাকার ২ বছরের সুদের পার্থক্য হয় ৭৮ টাকা। তবে ব্যাংক দুটির বার্ষিক সুদের হারের পার্থক্য কত?

সমাধান:

ধরি,
প্রথম ব্যাংকের বার্ষিক সুদের হার = r₁%
দ্বিতীয় ব্যাংকের বার্ষিক সুদের হার = r₂%
r₁ > r₂ (ধরে নিলাম প্রথম ব্যাংকের হার বেশি)

সরল সুদের ক্ষেত্রে,
সুদ = (মূলধন × সুদের হার × সময়) ÷ ১০০

প্রথম ব্যাংকের ২ বছরের সুদ = (৬৫০ × r₁ × ২) ÷ ১০০ = ১৩r₁ টাকা
দ্বিতীয় ব্যাংকের ২ বছরের সুদ = (৬৫০ × r₂ × ২) ÷ ১০০ = ১৩r₂ টাকা

সুদের পার্থক্য = ১৩r₁ - ১৩r₂ = ৭৮
বা, ১৩(r₁ - r₂) = ৭৮
বা, r₁ - r₂ = ৭৮ ÷ ১৩ = ৬

সুদের হারের পার্থক্য = ৬%

প্রশ্ন: (- 1, 3) এবং (5, - 5) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বয়সের অনুপাত ৫ : ৪। করিম ও সালমানের বয়সের অনুপাত ৩ : ২। রহিমের বয়স ৪৫ বছর হলে, সালমানের বয়স কত?

সমাধান:
রহিম : করিম = ৫ : ৪ = ১৫ : ১২
করিম : সালমান = ৩ : ২ = ১২ : ৮

∴ রহিম : করিম : সালমান = ১৫ : ১২ : ৮

ধরি,
রহিমের বয়স = ১৫ক
করিমের বয়স = ১২ক
সালমানের বয়স = ৮ক

প্রশ্নমতে,
১৫ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/১৫
∴ ক = ৩

∴ সালমানের বয়স = ৮ক = ৮ × ৩ = ২৪ বছর

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ হলে সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির কতগুণ?

সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্কটি  x
দশক স্থানীয় অঙ্কটি  ২x
∴ সংখ্যাটি = x + (১০ × ২x)
= x + 20x 
= ২১x

এখন, সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = x + ২x = ৩x

আবার, সংখ্যাটি = ২১x
= ৭ × ২১x
= ৭ × সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি

∴ সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির ৭ গুণ।

৩ এর ক% = ৯
বা, ৩ এর ক/১০০ = ৯
বা, ৩ক = ৯০০
সুতরাং ক = ৩০০

এখানে, সুদ, I = ১০৫ টাকা
আসল, P = ৫০০ টাকা
সময়, n = ?
এবং সুদের হার, r = ৭/১০০
আমরা জানি, I = pnr
বা, ১০৫ = ৫০০ × n × ৭/১০০
বা, n = (১০৫×১০০)/(৫০০×৭)
বা, n = ৩

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৮ টাকা
৪২০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৮×৪×৪২০০)/১০০
= ১৩৪৪ টাকা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান:
৫/৬ = ০.৮৩৩
৭/৮ = ০.৮৭৫
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৫ = ০.৮
∴ ছোট ভগ্নাংশটি = ০.৭৫

১৯/২২ = ০.৮৬৪;
১৫/১৩ = ১.১৫৪;
১৫/১৭ = ০.৮৮২;
২৩/২৬ = ০.৮৮৫
∴বড় ভগ্নাংশটি =১৫/১৩ = ১.১৫৪

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ২০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৫০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। দুই বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ২০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৫০০ × (১ + ২০%)^২
= ৫০০ × (১ + ২০/১০০)^২
= ৫০০ × (১ + ১/৫)^২
= ৫০০ × {(৫ + ১)/৫}^২
= ৫০০ × (৬/৫)^২
= ৫০০ × ৬/৫ × ৬/৫
= ৭২০ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৮০ এবং অন্তরফল ১৬ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
∴ ছোট সংখ্যাটি = x - ১৬ 

প্রশ্নমতে,
x + (x - ১৬ ) = ৮০ 
⇒ ২x - ১৬  = ৮০ 
⇒ ২x = ৯৬
∴ x = ৪৮ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = x - ১৬ = ৪৮ - ১৬ = ৩২ 

প্রশ্ন: একটি ক্রীড়া প্রতিযোগিতার জন্য খেলোয়াড়দের নিয়ে ৮, ১০, ১৫ এবং ১৮ জনের দল গঠন করা হলো। দেখা গেল, প্রতি ক্ষেত্রেই ২ জন খেলোয়াড় দলের বাইরে অবশিষ্ট থাকে। ঐ প্রতিযোগিতায় সর্বনিম্ন কতজন খেলোয়াড় উপস্থিত ছিল?

সমাধান: 
সংখ্যাগুলো হলো, ৮, ১০, ১৫ এবং ১৮
৮ = ২ × ২ × ২
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
১৮ = ২ × ৩ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ = ৩৬০

যেহেতু প্রতিবার ২ জন অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট খেলোয়াড় হবে ল.সা.গু-এর চেয়ে ২ বেশি।
∴ মোট খেলোয়াড় = ৩৬০ + ২ = ৩৬২ জন

প্রশ্নঃ দুটি পাইপ একসাথে একটি ট্যাঙ্ক ১২ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে। ৭ মিনিট পর একটি পাইপ বন্ধ করে দেওয়া হয়, এবং বাকি পাইপটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে আরও ১৫ মিনিট সময় নেয়। প্রত্যেকটি পাইপ পৃথকভাবে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে কত সময় নেয়?

সমাধানঃ
প্রথম পাইপ একা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে সময় নেয় = x মিনিট
দ্বিতীয় পাইপ একা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে সময় নেয় = y মিনিট
তাহলে,
প্রথম পাইপের কাজের হার = ১/x
দ্বিতীয় পাইপের কাজের হার = ১/y

দুটি পাইপ একসাথে ১২ মিনিটে ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে।

অতএব, ১/x + ১/y= ১/১২ ……(i)

দুটি পাইপ ৭ মিনিট একসাথে চলে, তারপর একটি বন্ধ করা হয়, এবং বাকি পাইপটি আরও ১৫ মিনিটে ট্যাঙ্ক পূর্ণ করে।
ধরা যাক যে পাইপটি বন্ধ হয়নি, সেটি প্রথম পাইপ।
আবার,
৭(১/x + ১/y) + ১৫(১/x) = 1……(ii)
এখন সমীকরণ (i) থেকে ১/x + ১/y= ১/১২ (ii)-এ বসাইঃ
৭(১/১২) + ১৫/x = ১
⇒ ১৫/x = ১ - (৭/১২)
⇒ ১৫/x = ৫/১২
⇒ x = (১৫ × ১২)/৫
⇒ x = ৩৬

অর্থাৎ, প্রথম পাইপ একা ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে ৩৬ মিনিট সময় নেয়।
সমীকরণ (i) থেকে (i):
১/y = (১/১২) - (১/৩৬)
⇒ ১/y = ২/৩৬
⇒ ১/y = ১/১৮
⇒ y = ১৮
অর্থাৎ, দ্বিতীয় পাইপ একা ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে ১৮ মিনিট সময় নেয়।