পাটিগণিত

ভাজক = 0
Or, x - 2 = 0
অতএব, প্রদত্ত থেকে পাই,
x³ - x² = 2³ - 2² = 8 - 4 = 4

প্রশ্ন: কোনো বইয়ের ৭৫ পৃষ্ঠা পড়বার পরেও তার ৩/৮ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান: 
বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা = ১ অংশ 

অবশিষ্ট অংশ = ১ - (৩/৮) অংশ 
= (৮ - ৩)/৮ অংশ 
= ৫/৮ অংশ 

প্রশ্নমতে
 ৫/৮ অংশ  = ৭৫ পৃষ্ঠা 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ  = (৭৫ × ৮)/৫ পৃষ্ঠা
= ১২০ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় যথাক্রমে ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে তার গড় রান হবে ৮৭?

সমাধান:
মনে করি, চতুর্থ খেলায় 'ক' রান করতে হবে।

প্রশ্নমতে,
(৮২ + ৮৫ + ৯২ + ক)/৪ = ৮৭
⇒ ২৫৯ + ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮ - ২৫৯
⇒ ক = ৮৯

৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু. = ৬০

এখন,

৬০)৯৯৯৯৯৯(১৬৬৬৬
      ৯৯৯৯৬০
     -----------
              ৩৯

প্রশ্ন: ২০২২ সালের ১৯ আগষ্ট শুক্রবার ছিল। ঐ বছরের ১লা অক্টোবর কী বার ছিল?
​
সমাধান:
আগষ্ট মাস = ৩১ দিন 
​সেপ্টেম্বর মাস = ৩০ দিন
১৯ আগষ্ট থেকে ১ লা অক্টোবর পর্যন্ত মোট দিন, (৩১ - ১৯) + ৩০ + ১ দিন 
​= (১২ + ৩১) দিন 
​= ৪৩ দিন
​
এখন, ৪৩ + ৭ = ভাগফল ৬, ভাগশেষ ১
​
যেহেতু ভাগশেষ ১ তাহলে ১লা অক্টোবর হবে শুক্রবার + ১ দিন অর্থাৎ, শনিবার।

কলা ও পেয়ারা - সমানভাবে ভাগ করে দেওয়ার জন্য এর সংখ্যার গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
২৮৮, ২৮২ এর গ.সা.গু. = ৬

∴ ৬ জনের মধ্যে ২৮৮টি কলা ও ২৮২টি পেয়ারা সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

মনে করি,
আসল = ১ টাকা
সুদাসল = ২ টাকা
সুদ = ২ - ১ = ১ টাকা
বছর = ১০
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × বছর × সুদের হার)/১০০
∴ সুদের হার = (১০০ × ১)/(১ × ১০)
সুদের হার = ১০%

ধরি, চৌবাচ্চাটির গভীরতা = x মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা = ৪.৫ × ২ × x = ৯x ঘনমিটার
আমরা জানি, ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ ৩৬০০০ লিটার = ৩৬০০০/১০০০ ঘনমিটার = ৩৬ ঘনমিটার
প্রশ্নমতে, ৯x = ৩৬
বা, x = ৪ মিটার

প্রশ্ন: কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যাকে ৯, ১৩ ও ১৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫, ৯ ও ১৩ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৯ - ৫ = ৪
১৩ - ৯ = ৪
১৭ - ১৩ = ৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৪ কম।

৯ = ৩ × ৩
১৩ = ১ × ১৩
১৭ = ১ × ১৭

এখন, ৯, ১৩ ও ১৭ এর ল.সা.গু = ৩ × ৩ × ১৩ × ১৭ = ১৯৮৯

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = ১৯৮৯ - ৪ = ১৯৮৫

প্রশ্ন: ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক ও খ -এর মূলধন সমান কিন্তু গ -এর মূলধন ২০ টাকা কম। মোট ৫৬ টাকা লাভ হলে, গ কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান: 
ধরি,
ক ও খ এর মূলধন = x টাকা
∴ গ এর মূলধন = (x - ২০) টাকা

প্রশ্নমতে,
x + x + (x - ২০) = ২৮০
বা, x + x + x - ২০ = ২৮০
বা, ৩x = ২৮০ + ২০
বা, ৩x = ৩০০
বা, x = ৩০০/৩
∴ x = ১০০

ক, খ ও গ এর মূলধনের অনুপাত = x : x : (x - ২০)
= ১০০ : ১০০ : (১০০ - ২০)
= ১০০ : ১০০ : ৮০
= ৫ : ৫ : ৪
∴ অনুপাতটির রাশিগুলোর সমষ্টি = (৫ + ৫ + ৪)
= ১৪

∴ গ লাভ পাবে = {৫৬ × (৪/১৪)} টাকা
= ১৬ টাকা ।

৭০ এর ৪০% = ক × ৭০%
বা, ৭০×৪০/১০০ = ৭০ক/১০০
বা, ক = ৪০

4x² - 6x + 9 |16x⁴ + 36x² + 81| (4x² + 6x + 9
                   (-)16x⁴ +(-) 36x² -(+) 24x³
                   ________________
                     24x³ + 81
                    (-) 24x³ - (+) 36x² +(-) 54x
                  _________________________
                  36x² - 54x + 81
                  (-)36x² -(+) 54x +(-) 81
                  _____________________
                              0

প্রশ্ন: দু'টি প্যান্টের প্রতিটি ৮৮০ টাকা করে বিক্রি করায় ১ম টিতে ১০% লাভ এবং ২য় টিতে ২০% ক্ষতি হলে, মোটের উপর লাভ বা ক্ষতি কত টাকা?

সমাধান:
১০% লাভে,
১ম প্যান্টের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা

 ১ম প্যান্টের বিক্রয়মূল্য ১১০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
১ম প্যান্টের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০/১১০) টাকা

∴ ১ম প্যান্টের বিক্রয়মূল্য ৮৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০/১১০) × ৮৮০ টাকা
= ৮০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে,
২য় প্যান্টের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা

 ∴ ২য় প্যান্টের বিক্রয়মূল্য ৮৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮৮০)/৮০ টাকা
= ১১০০ টাকা

∴ মোট ক্রয়মূল্য = ৮০০ + ১১০০ = ১৯০০ টাকা
∴ মোট বিক্রয় মূল্য = ৮৮০ + ৮৮০ = ১৭৬০ টাকা।

∴ ক্ষতি = ১৯০০ - ১৭৬০ = ১৪০ টাকা।

মোট সময় = ২ + ৪ = ৪ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = ৫ + ৫ = ১০ মাইল
∴ গড় বেগ = ১০/৬ = ১ (২/৩)

প্রশ্ন: ৫% হার মুনাফায় ৪,০০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত? 

সমাধান: 
এখানে,
মূলধন, P = ৪০০০ টাকা
মুনাফায় হার, r = ৫% = ৫/১০০ = ১/২০ 
সময়, n = ২ বছর

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)ⁿ
= ৪০০০(১ + ১/২০)^২
= ৪০০০ × (২১/২০)^২
= ৪০০০ × (২১/২০) × (২১/২০) 
= ৪,৪১০ টাকা 

∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ৪,৪১০ টাকা।

৫০ এর ৬%
= ৫০ × ৬/১০০
= ৩০০/১০০
= ৩

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়। তার স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ বছর হলে বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স কত?

সমাধান:
৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ বছর
∴ ছেলের বর্তমান বয়স = (১২ - ৫) বছর
= ৭ বছর

আবার,
 স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ
∴ স্ত্রীর বয়স = (৭ × ৪) বছর
= ২৮ বছর

∴ ঐ ব্যক্তির বয়স = (২৮ + ৫) বছর
= ৩৩ বছর

৩/৪ = ০.৭৫
৫/৬ = ০.৮৩
৭/৯ = ০.৭৮
৮/১১ = ০.৭৩

৮০০ টাকার ৫/২ বছরের সুদ ২৮০ টাকা
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১০০×২৮০×২)/(৮০০×৫)
= ১৪

প্রশ্ন: একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার এবং এটি ৭২ কিমি/ঘন্টা গতিতে চলে ৫০ সেকেন্ডে একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য কত?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৫২০ মি
সময় = ৫০ সেকেন্ড
ট্রেনের গতি = ৭২ কিমি/ঘন্টা

গতি = ৭২ × (১০০০/৩৬০০) মিটার/সেকেন্ডে
= ২০ মি/সেকেন্ড

আমরা জানি,
∴ মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতি × সময়
∴ মোট দূরত্ব = ২০  × ৫০
 = ১০০০ মি

এখন,
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
⇒ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ১০০০ - ৫২০
= ৪৮০ মি

∴ প্ল্যাটফর্মটির দৈর্ঘ্য ৪৮০ মি। 

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি ডজন ডিম ১২০ টাকা দরে ক্রয় করে এবং প্রতি হালি ৫০ টাকা দরে বিক্রয় করে। তার শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
১ ডজন = ৩ হালি
ক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
বিক্রয়মূল্য = ৫০ × ৩ = ১৫০ টাকা

ক্রয়মূল্য অপেক্ষা বিক্রয়মূল্য বেশি হওয়ায়,
লাভ = ১৫০ - ১২০ = ৩০ টাকা

শতকরা লাভ = (৩০ / ১২০) × ১০০
= (১ / ৪) × ১০০
= ২৫% 

∴শতকরা লাভ ২৫%

প্রশ্ন: টাকায় ৬টি করে কলা ক্রয় করে টাকায় ৫টি বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
টাকায় ৬টি করে কলা ক্রয় করলে,
৬টি কলার ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি কলার ক্রয়মূল্য = ১/৬ টাকা

আবার, টাকায় ৫টি করে কলা বিক্রয় করলে,
৫টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১টি কলার বিক্রয়মূল্য = ১/৫ টাকা

∴ ১টি কলায় লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
= ১/৫ - ১/৬ = (৬ - ৫)/৩০
= ১/৩০ টাকা

∴ লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= {(১/৩০)/(১/৬)} × ১০০%
= (১/৩০) × (৬/১) × ১০০%
= (৬/৩০) × ১০০% 
= ২০%

∴ শতকরা ২০% লাভ হবে।

যেহেতু, ভাজক ভাগফলের দশগুণ, সেহেতু ভাগফল হবে ০.৫/১০ = ০.০৫
সুতরাং, ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= ০.৫ × ০.০৫ = ০.০২৫

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৫০০ টাকায় ক্রয় করে ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ১০% কম হলে কত লাভ হতো?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ক্রয়মূল্য = ৫০০ টাকা
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৫০০ এর ১০% = ৫০০ + ৫০ = ৫৫০ টাকা
এবং ১০% কমে ক্রয়মূল্য = ৫০০ - ৫০০ এর ১০% = ৫০০ - ৫০ = ৪৫০ টাকা

∴ নতুন লাভের পরিমাণ = বিক্রয়মূল্য - নতুন ক্রয়মূল্য = ৫৫০ - ৪৫০ = ১০০ টাকা

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্নমতে,
১ ঘন্টায় যায় = ৬০ কিলোমিটার
তাহলে, ১ মিনিটে যাবে = ১ কিলোমিটার
∴ ৩.৫ মিনিটে যাবে = ৩.৫ কিলোমিটার।

বিকল্প পদ্ধতিঃ-

আমরা জানি,
১ ঘণ্টা = ৩৬০০ সেকেন্ড
সুতরাং,
৩ মিনিট ৩০ সেকেন্ড = (৩ × ৬০ + ৩০) সেকেন্ড
= (১৮০ + ৩০) সেকেন্ড
= ২১০ সেকেন্ড

এখন, ৩৬০০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৬০ কিলোমিটার
সুতরাং, ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৬০/৩৬০০ কি.মি.
সুতরাং, ২১০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৬০×২১০/৩৬০০ কি.মি.
= ৩.৫ কিলোমিটার।

মোট সময় = ১ + ৩ = ৪ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = ৩ + ৩ = ৬ মাইল
∴ গড় বেগ = ৬/৪ = ১ (১/২)