পাটিগণিত

প্রশ্ন: লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১২ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৫৪ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ১২ কি.মি. ও ৬ কি.মি.

∴ স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= ১২ + ৬ কিমি
= ১৮ কিমি

∴ ৫৪ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৫৪/১৮ ঘন্টা
= ৩ ঘন্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= ১২ - ৬ কিমি
= ৬ কিমি

∴ ৫৪ কিমি যেতে সময় লাগবে ৫৪/৬ = ৯ ঘন্টা।

∴ মোট সময় লাগবে = ৩ + ৯ ঘন্টা।
= ১২ ঘন্টা।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ২৫৪৬১২: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ২ + ৫ + ৪ + ৬ + ১ + ২ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩৪৭৮১০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৭ + ৮ + ১ + ০ = ২৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৪২১৫৩০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪ + ২ + ১ + ৫ + ৩ + ০ = ১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য (১৫ ÷ ৩ = ৫)। যেহেতু সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৫৬২৭১৪: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৫ + ৬ + ২ + ৭ + ১ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ সঠিক উত্তর: গ) ৪২১৫৩০

প্রশ্ন: একটি বই ২০% লাভে বিক্রি করা হলো। যদি বইটি ৬০ টাকা কমে বিক্রি করা হতো, তাহলে ১০% ক্ষতি হতো। বইটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = ১২০ - ৯০ = ৩০ টাকা

৩০ টাকা কমে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
১ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৩০ টাকা
∴ ৬০ টাকা কমলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০)/৩০ টাকা
= ২০০ টাকা

∴ বইটির ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্বক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
গুণাত্বক বিপরীত সংখ্যা = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

ধরি, বিক্রয়মূল্য = ক
তাহলে ক্রয়মূল্য = ক এর ৪/৫ = ৪ক/৫
সুতরাং শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য)×১০০/ক্রয়মূল্য
= [{(ক - ৪ক/৫)×১০০}/(৪ক/৫)]
= (২০ক X ৫)/৪ক
= ২৫%.

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে শিক্ষক ও ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত? 

সমাধান: 
শিক্ষক + ২০ জন ছাত্র = ২১ জন 
২১ জনের বয়সের গড় = ১২ বছর
∴ ২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) বছর
= ২৫২ বছর

আবার, 
২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১০ বছর
∴ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২০ × ১০) বছর
= ২০০ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) বছর
= ৫২ বছর।

প্রশ্ন: একজন দোকানদার একটি পণ্য ২০% লাভে ৪৮০ টাকায় বিক্রি করে। যদি সে পণ্যটি ২০% ক্ষতিতে বিক্রি করতো, তাহলে বিক্রয়মূল্য কত হতো?

সমাধান:
২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৪৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৪৮০)/১২০ টাকা 
= ৪০০ টাকা

২০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮০ × ৪০০)/১০০ টাকা
= ৩২০ টাকা

প্রশ্ন: নিচের ক্রমজোড়গুলোর মধ্যে কোনটি সহমৌলিক?

সমাধান:
সহমৌলিক: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে, 
১৫ = ১ × ৩ × ৫
২৬ = ১ × ২ × ১৩
১৫ ও ২৬ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক। 
কারণ, (১৫, ২৬)  ক্রমজোড়টির সাধারণ গুণনীয়ক ১,
∴ (১৫, ২৬) ক্রমজোড়টি সহমৌলিক।

প্রশ্ন: কোন একটি জিনিস নির্মাতা ২০% লাভে এবং খুচরা বিক্রেতা ২০% লাভে বিক্রয় করে। যদি ঐ জিনিসটির নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হয়, তবে খুচরা মূল্য কত? 

সমাধান: 
২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ টাকা
= ১২০ টাকা

আবার, 
২০% লাভে খুচরা বিক্রেতার বিক্রয়মূল্য = [১২০ + {১২০ × (২০/১০০)}
= ১২০ + ২৪
= ১৪৪ টাকা 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-দ্বিতীয়াংশ ও এক-পঞ্চমাংশের পার্থক্য ১৫?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা = ক

শর্তমতে,
ক/২ - ক/৫ = ১৫
বা, (৫ক - ২ক)/১০ = ১৫
বা, ৩ক/১০ = ১৫
বা, ক = ১৫ × ১০/৩
∴ ক = ৫০

∴ সংখ্যা = ৫০

প্রশ্ন: ২৫০০ টাকা ১০% হারে ২ বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলে, সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ২৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ২ বছর

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
I = (P × r × n)/১০০ 
= (২৫০০ × ১০ × ২)/১০০
= ৫০০ টাকা

আবার, চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে সবৃদ্ধি মূলধন,
C = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
= ২৫০০ × {(১ + ১০/১০০)}^২
= ২৫০০ × (১১/১০)^২
= ২৫০০ × (১২১/১০০)
= ২৫ × ১২১
= ৩০২৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P = ৩০২৫ - ২৫০০ = ৫২৫ টাকা

∴ সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = ৫২৫ - ৫০০ = ২৫ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৭২০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ২৪০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৭২০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২৪০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭২০ = ২৪০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৭২০/২৪০
∴ গ.সা.গু = ৩

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + ১ ও x + ২
∴ তাদের যোগফল = x + (x + ১) + (x + ২) 
= ৩x + ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩x + ৩ = ১২৩ 
বা, ৩x = ১২৩ - ৩ 
বা, ৩x = ১২০ 
বা, x = ১২০/৩ 
∴ x = ৪০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০ । 

প্রশ্ন: ১৫০ মিটার লম্বা মহানগর এক্সপ্রেস একটি খুঁটিকে ৯ সেকেন্ডে অতিক্রম করল। ট্রেনটির গতিবেগ কিলোমিটার/ঘণ্টায় কত? 

সমাধান: 
ট্রেনটি ৯ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ১৫০ মিটার 
∴ ১ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ১৫০/৯ মিটার 
∴ ৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ১৫০)/৯) মিটার 
= ৬০০০০ মিটার 
= ৬০ কি.মি.   ; [১০০০মি. = ১ কি.মি.] 

∴ অতএব, ট্রেনটির গতিবেগ ৬০ কিলোমিটার/ঘণ্টা। 

ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y
১২x - ১২y = ৬০
∴ x - y = ৫ ........ (1)
এবং ১২xy = ২৪৪৮
xy = ২০৪
(x + y) = √[(x - y)²+ ৪xy] = √[৫^২ + ৪×২০৪]
x + y = ২৯ .... (2)
x = ১৭, y = ১২
∴ সংখ্যা ২টি ১৪৪ ও ২০৪

প্রশ্ন: এক ব্যবসায়ী কিছু আপেল কিনে তার ৪/৭ অংশ ২১% ক্ষতিতে এবং বাকি অংশ ১৪% লাভে বিক্রয় করেন। মোটের ওপর ৬০০ টাকা ক্ষতি হলে, মোট ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
এক্ষেত্রে,
ক্ষতি = - লাভ = - ৬০০ টাকা

ক্রয়মূল্য হবে = {(- ৬০০) × ১০০} / [{(৪/৭) × (- ২১)} + {১ - (৪/৭)} × ১৪] টাকা
= (- ৬০০০০) / [(- ১২) + {(৩/৭) × ১৪}] টাকা
= (- ৬০০০০) / (- ১২ + ৬) টাকা
= (- ৬০০০০) / (- ৬) টাকা
= ১০০০০ টাকা

 2 ÷ 0.002 = 1000

বিপরীতক্রমে , 1000 × 0.002 = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

এখানে,
শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে ক, খ, গ হলে,
সংখ্যাটি = ১০০ × ক + ১০ × খ + ১ × গ
= ১০০ক + ১০খ + গ

প্রশ্ন: ১০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ 
= ২^২ × ৩^৩
এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৩

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) (৩ + ১)
= ৩ × ৪ = ১২

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১২ 

দেওয়া আছে,
এসিডঃপানি = ৭ : ৩
অনুপাতের রাশিদ্বয়ের যোগফল = ৭ + ৩ = ১০
এসিডের পরিমাণ = ( ৩০ × ৭/১০ ) = ২১ লিটার
পানির পরিমাণ = ( ৩০ × ৩/১০ ) = ৯ লিটার
নতুন মিশ্রণে এসিডের পরিমাণ ঠিক থাকবে আর পানির পরিমাণ বৃদ্ধি পাবে।
ধরি, ক পরিমাণ পানি মিশ্রিত করতে হবে।
∴ ২১ : ক = ৩ : ৭
⇒ ক = ( ২১ × ৭ )/৩ = ৪৯
∴ পানি মিশ্রিত করতে হবে = ( ৪৯ - ৯ ) = ৪০ লিটার।

ধরি, সংখ্যাটি a
∴ a × (৩০/১০০) × (১৫/১০০) = ৫৪
বা, a = ৫৪ × {(১০০×১০০)/(৩০×১৫)}
= ১২০০

প্রশ্ন: একটি গ্রামে ৫০০০ জন বাসিন্দা আছে। এদের মধ্যে ৭২% কৃষিকাজের সাথে জড়িত। গ্রামে কতজন বাসিন্দা কৃষিকাজের সাথে জড়িত নয়?

সমাধান:
মোট বাসিন্দা = ৫০০০ জন
কৃষিকাজে জড়িত = ৭২%
∴ কৃষিকাজে জড়িত আছে = ৫০০০ এর ৭২%
= ৫০০০ × (৭২/১০০)
= ৩৬০০ জন

∴ কৃষিকাজে জড়িত নয় = ৫০০০ − ৩৬০০ = ১৪০০ জন

প্রশ্ন: ৪০ জন পুরুষ একটি পুকুর ৩০ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ৪০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
৩০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ৪০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ৪০ × ৩০ জন 
∴ ৪০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (৪০ × ৩০)/৪০ জন 
= ৩০ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৩০ জন।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১২% হারে ২৪০০ টাকার ৭ মাসের সরল সুদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ২৪০০ টাকা
সময়, n = ৭/১২ বছর
মুনাফার হার, r = ১২/১০০ = ৩/২৫
সরল সুদ, I = ?

আমরা জানি,
I = Pnr
= ২৪০০ × (৭/১২) × (৩/২৫)
= ১৬৮ টাকা

প্রশ্ন: কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ৭ কি.মি., ১৪ কি.মি., ২১ কি.মি. ও ৩৫ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?

সমাধান:
৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।

এখন,
৭  = ১ × ৭ 
১৪ = ২ × ৭
২১ =  ৭ × ৩
৩৫ = ৫ × ৭

৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ৭ × ২  = ২১০ 

অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ২১০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।

ধরি, খুটির দৈর্ঘ্য x মিটার
তাহলে, মাটির নিচে ও পানির উপরে আছে (১/২ + ১/৩)x অংশ = (৫/৬)x অংশ।
এবং পানির উপরে আছে (১ - ৫/৬)x = x/৬ অংশ।
প্রশ্নমতে,
x/৬ = ৩
∴ x = ১৮

প্রশ্ন: √(- 2) × √(- 18) এর মান কত?

সমাধান:
√(- 2) × √(- 18)
= √(- 1 × 2) × √(- 1 × 18)
= (√(- 1) × √2) × (√(- 1) × √18)
= i√2 × i√18   ; [যেহেতু √(- 1) = i]
= i² × √(2 × 18)
= (- 1) × √36    ; [যেহেতু i² = - 1]
= (- 1) × 6
= - 6

ধরি,
মূলধন P টাকা।
∴ ৮% সুদে ৫ বছরে P টাকার মোট সুদ = ৪০P/১০০ টাকা।
= ৪P/১০ টাকা
আবার,
৫% সুদে ৫ বছরে P টাকার মোট সুদ = ২৫P/১০০ টাকা।
= P/৪ টাকা।

শর্তমতে,
৪P/১০ - P/৪ = ৭২
⇒ (৮P - ৫P)/২0 = ৭২
⇒ ৩P = ১৪৪০
⇒ P = ৪৮০