পাটিগণিত

প্রশ্ন: একটি সোনার গহনার ওজন ৪৮ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ । গহনাটিতে কী পরিমাণ সোনা মেশালে সোনা ও তামার অনুপাত ৮ : ১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সোনা ও তামার অনুপাত ৭ : ১ 
মোট অংশ = (৭ + ১) = ৮ 

∴ গহনাতে সোনার পরিমাণ = ৪৮ × (৭/৮) গ্রাম = ৪২ গ্রাম
∴ গহনাতে তামার পরিমাণ = ৪৮ × (১/৮) গ্রাম = ৬ গ্রাম

ধরি,
সোনা মেশাতে হবে = ক গ্রাম

শর্তমতে,
(৪২ + ক)/৬ = ৮/১
⇒ ৪২ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৪২ 
⇒ ক = ৬

∴ সোনা মেশাতে হবে = ৬ গ্রাম।

প্রশ্ন: একটি টেবিল ৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হয়। বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি করে কত টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে?

সমাধান:
মনেকরি, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ২৫ = ৭৫ টাকা

এখন, বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৬০০)/৭৫ টাকা
= ৮০০ টাকা

আবার, ২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ১০০০ টাকা

∴ টেবিলটি ১০০০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% লাভ হবে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা থেকে ৩৫ বিয়োগ করলে তা কমে সংখ্যাটির ৮০% এর সমান হয়। সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x − ৩৫ = x এর ৮০% 
বা, x − ৩৫ = x × ৮০/১০০ 
বা, ১০০x − ৩৫০০ = ৮০x
বা, ১০০x − ৮০x = ৩৫০০ 
বা, ২০x = ৩৫০০ 
বা, x = ৩৫০০/২০ 
∴ x = ১৭৫ 

∴ সংখ্যাটির তিন-পঞ্চমাংশ = ১৭৫ × (৩/৫) 
= ১০৫

প্রথম পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/১০ অংশ
দ্বিতীয় পাইপ দিয়ে ১ ঘন্টায় ভর্তি হয় ১/৬ অংশ
দুটি পাইপ একত্রে ১ ঘন্টায় ভর্তি করে(১/১০ + ১/৬) অংশ = ৮/৩০ অংশ
প্রশ্নমতে, ৮/৩০ অংশ ভর্তি হয় ১ ঘন্টায়
∴ ২/৩ অংশ ভর্তি হয় (৩০/৮ × ২/৩) = ৫/২ ঘন্টায়

পেট্রোল ∶ অকটেন = ৫ ∶ ৩
∴ পেট্রোলের পরিমাণ = ৫/(৫+৩) X ৩২ = ২০ লিটার।
অকটেনের পরিমাণ = ৩/(৫+৩) X ৩২ = ১২ লিটার।
নতুন মিশ্রণে,
পেট্রোল ∶ অকটেন = ৪ ∶ ৫
= (৪ X ৫) ∶ (৫ X ৫)
= ২০ ∶ ২৫
∴ অকটেন মিশাতে হবে = ২৫ - ১২ = ১৩ লিটার।

প্রশ্ন: A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 10 : 14 হলে, A : D = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A/B = 2/3
B/C = 4/5
C/D = 10/14

এখন সবগুলোকে গুণ করে পাই,
(A/B) × (B/C) × (C/D) = (2/3) × (4/5) × (10/14)
⇒ A/D = (2 × 4 × 10) / (3 × 5 × 14)
⇒ A/D = 80/210
⇒ A/D = 8/21
∴ A : D = 8 : 21

ধরি সংখ্যা তিনটি ক, ক+২, ক+৪
ক+(ক+২)+(ক+৪)=৫৭
ক=১৭
মধ্যম ১৯

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম ৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করলে ঐ ট্রেনের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত হবে?

সমাধান:
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১২০ + ৩৩০ = ৪৫০ মিটার

৩০ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৪৫০ মিটার
∴ ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে ৪৫০/৩০ মিটার
= ১৫ মিটার

অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য ৪৮০+২০ = ৫০০ টাকা
৫০০ টাকায় ক্ষতি হয় ২০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ২০/৫০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (২০X১০০)/৫০০ = ৪ টাকা
∴ ৪%

প্রশ্ন: ০.০০৫৭৭৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
√০.০০৫৭৭৬ = √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৫৭৭৬/১০০০০০০)
= √(৭৬^২/১০০০^২)
= ৭৬/১০০০
= ০.০৭৬

প্রশ্ন: যদি ৬৫ ও ১১৭ এর গ.সা.গু- কে (৬৫ক - ১১৭) রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তাহলে ক এর মান কত?

সমাধান:
৬৫ ও ১১৭ এর গ.সা.গু হলো ১৩

∴ ৬৫ক - ১১৭ = ১৩
⇒ ৬৫ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/৬৫
∴ ক = ২

৯% বৃদ্ধিতে লোকসংখ্যা,
বর্তমানে ১০৯ জন হলে পূর্বে ছিল ১০০ জন
∴ বর্তমানে ১৬৩৫ জন হলে পূর্বে ছিল (১০০ X ১৬৩৫)/১০৯ জন
= ১৫০০ জন।

প্রশ্ন: কোনো দূর্গে ৭২০ জন সৈন্যের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১০ দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন সৈন্য নতুন এসেছিলো? 

সমাধান:
বাকি সময় = (২০ - ১০) দিন 
= ১০ দিন 

১০ দিনের খাবার আছে = ৭২০ জন সৈন্যের
∴ ১ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০) জন সৈন্যের
∴ ৮ দিনের খাবার আছে = (৭২০ × ১০)/৮ জন সৈন্যের
= ৯০০ জন সৈন্যের

∴ সৈন্য নতুন এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০) জন 
= ১৮০ জন।

১৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকায় বিক্রয়মূল্য ১১৫ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৫৬০ টাকায় বিক্রয়মূল্য (১১৫ × ৫৬০)/১০০
= ৬৪৪ টাকা
আবার,
৮% কমিশনে,
বিক্রয়মূল্য ৯২ টাকায় ধার্যকৃত মূল্য ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬৪৪ টাকায় ধার্যকৃত মূল্য = (১০০ × ৬৪৪)/৯২
= ৭০০ টাকা

ধরি সংখ্যা দুইটি 2x এবং 3x
2x এবং 3x এর গসাগু = x
তাহলে, x = 6
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 3×6 = 18

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান:
বিক্রয়মূল্য = ৩৮০ টাকা
ক্ষতি = ২০ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য = ৩৮০ + ২০ = ৪০০ টাকা

∴ ক্ষতির শতকরা হার = (ক্ষতি/ক্রয়মূল্য) × ১০০%
= (২০/৪০০) × ১০০% = ৫%

∴ ক্ষতির শতকরা হার = ৫%

প্রশ্ন: পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ। ৬ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৬২ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর এবং 
পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর 

আবার, 
৬ বছর পরে পুত্রের বয়স = (ক + ৬) বছর এবং 
৬ বছর পরে পিতার বয়স = (৪ক + ৬) বছর 

শর্তমতে, 
ক + ৬ + ৪ক + ৬ = ৬২ 
⇒ ৫ক + ১২ = ৬২ 
⇒ ৫ক = ৫০ 
∴ ক = ১০ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪ × ১০) বছর 
= ৪০ বছর। 

প্রশ্ন: ১০ টি পণ্যের মোট বিক্রয়মূল্য ১২ টি পণ্যের মোট ক্রয়মূল্যের সমান হয়, তবে শতকরা লাভের পরিমাণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১০ টি পণ্যের মোট বিক্রয়মূল্য = ১২ টি পণ্যের মোট ক্রয়মূল্য

ধরি,
১ টি পণ্যের ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
∴ ১২ টি পণ্যের মোট ক্রয়মূল্য = ১২ টাকা

প্রশ্ন অনুযায়ী,
১০ টি পণ্যের মোট বিক্রয়মূল্য = ১২ টাকা
∴ ১ টি পণ্যের মোট বিক্রয়মূল্য = ১২/১০ = ১.২ টাকা

∴ লাভ = ১.২ - ১ = ০.২ টাকা 

∴ শতকরা লাভের হার = (লাভ/ক্রয়মূল্য) × ১০০ 
= (০.২/১)  × ১০০ 
= ২০%

অতএব, শতকরা লাভের পরিমাণ ২০%

সহজ উপায়ে বোঝা যাক-
১০টি পণ্য বেচে যে টাকা পাওয়া যায়, তা দিয়ে ১২টি পণ্য কেনা যায়।
অর্থাৎ ১০টি বেচে ২টি অতিরিক্ত পণ্যের মূল্য পাওয়া যাচ্ছে।
সুতরাং লাভ হচ্ছে ২টি পণ্যের মূল্য (১০টির উপর)।

∴ শতকরা লাভ = (২/১০) × ১০০% = ২০%

প্রশ্ন: একটি সুইমিং পুলে ১২,০০০ গ্যালন পানি ধরে। পাইপ A প্রতি মিনিটে ২৫ গ্যালন এবং পাইপ B প্রতি মিনিটে ২০ গ্যালন পানি পূর্ণ করতে পারে। তবে একটি নিষ্কাশন পাইপ আছে যা প্রতি ৫ মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি বের করে দেয়। যদি উভয় পাইপ এবং নিষ্কাশন পাইপ একসাথে খোলা হয়, তাহলে সম্পূর্ণ খালি পুলটি পূর্ণ হতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পুলের ধারণক্ষমতা = ১২,০০০ গ্যালন

পাইপ A = প্রতি মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি পূর্ণ করে
পাইপ B = প্রতি মিনিটে ২০ গ্যালন পানি পূর্ণ করে

নিষ্কাশন পাইপ ৫ মিনিটে ২৫ গ্যালন পানি বের করে
∴ নিষ্কাশন পাইপ ১ মিনিটে পানি বের করে = ২৫/৫ গ্যালন
= ৫ গ্যালন

∴ প্রতি মিনিটে পানি পূর্ণ করে = {(২৫ + ২০) - ৫} গ্যালন/মিনিট
= ৪০ গ্যালন/মিনিট

∴ ১২,০০০ গ্যালন পূর্ণ হতে সময় লাগবে = ১২,০০০/৪০ মিনিট
= ৩০০ মিনিট
= ৩০০/৬০ ঘন্টা
= ৫ ঘন্টা

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 15, 20 ও 25 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 অবশিষ্ট থাকে? 

সমাধান:
এখানে 12, 15, 20 ও 25 এর ল.সা.গু এর সাথে 11 যোগ করলে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
20 = 2² × 5
25 = 5²

2 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 2²
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত = 5²
ল.সা.গু = 2² × 3 × 5² = 300
∴ সংখ্যাটি = 300 + 11 = 311

১৫% লাভে ১২০০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (১১৫ × ১২০০)/১০০ = ১৩৮০ টাকা
আবার, ৫% ক্ষতিতে ১৩৮০ টাকার দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = (৯৫ × ১৩৮০)/১০০ = ১৩১১ টাকা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৫ : ২। লব থেকে ৮ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ১/৫। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৫ক
ভগ্নাংশের লব = ২ক
∴ ভগ্নাংশটি = ২ক/৫ক

প্রশ্নমতে,
(২ক - ৮)/৫ক = (২ক/৫ক) × (১/৫)
⇒ (২ক - ৮)/৫ক = (২ক/২৫ক)
⇒ ২ক - ৮ = (২ক/২৫ক) × ৫ক
⇒ ২ক - ৮ = ২ক/৫
⇒ ৫ × (২ক - ৮) = ২ক
⇒ ১০ক - ৪০= ২ক
⇒ ১০ক - ২ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
∴ ক = ৫

∴ নির্ণেয় হর = ৫ × ৫ = ২৫

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

ধরি, সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x।
∴এদের গ.সা.গু. = x.
প্রশ্নমতে, x = ৪
∴ বৃহত্তর সংখ্যাটি ৩ × ৪ = ১২

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা মুনাফার হার কত হলে, ১০ বছরে সরল মুনাফা আসলের অর্ধেক হবে?

সমাধান: 
ধরি,
আসল, P = ১০০ টাকা
সময়, n = ১০ বছর
বার্ষিক সুদের হার, r = ?

আমরা জানি, 
সরল মুনাফা, SI = (Prn)/১০০

প্রশ্নানুসারে, 
মুনাফা = আসলের অর্ধেক
অর্থাৎ, SI = P/২
⇒ (P × r × ১০)/১০০ = P/২
⇒ (r × ১০)/১০০ = ১/২
⇒ r = ১০/২
∴ r = ৫

অতএব, বার্ষিক শতকরা মুনাফার হার = ৫%

মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে 
৩ক + ২ক = ৯০
বা,৫ক = ৯০
∴ক = ১৮

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ৮ টি কমলা বিক্রয় করলে ২৫% ক্ষতি হয়। ১২টি কমলার ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৫)/৭৫ টাকা 
= ২০/৩ টাকা

এখন,
৮ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০/৩ টাকা
∴ ১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০/(৩ × ৮) টাকা
∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য = (১২ × ২০)/(৩ × ৮) টাকা
= ১০ টাকা

∴ ১২ টি কমলার ক্রয়মূল্য ১০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ২৫% যদি ৭/৪ হয়, তবে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% = ৭/৪
বা, ক × ২৫/১০০ = ৭/৪
বা , ক = (১০০ × ৭)/(২৫ × ৪)
বা, ক = ৭০০/১০০
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি ৭

প্রশ্ন: একটি নৌকা ঘণ্টায় স্রোতের অনুকূলে ১১ কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে ৭ কি.মি. বেগে চললে, স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
নৌকার বেগ = x কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = y কি.মি./ঘণ্টা

স্রোতের অনুকূলে বেগ = x + y = ১১ কি.মি./ঘণ্টা ...................(i)
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x − y = ৭ কি.মি./ঘণ্টা  ...................(ii)

এখন, (i) + (ii) 
(x + y) + (x − y) = ১১ + ৭
⇒ ২x = ১৮ 
⇒ x = ৯

(i) থেকে পাই,
৯ + y = ১১
⇒ y = ১১ - ৯
⇒ y = ২

∴ স্রোতের বেগ = ২ কি.মি./ঘণ্টা 

শর্তমতে, ক এর ৭৫% = ৬০
বা, ক এর ৭৫/১০০ = ৬০
বা, ক = ৬০ × ১০০/৭৫
বা, ক = ৮০

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ২৫% লাভ হয়। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, 
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

এবং ২৫% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা = ১২৫ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২৫ - ৯০) টাকা = ৩৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ৩৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০/৩৫) টাকা
বিক্রয়মূল্য ৭০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৭০)/৩৫ টাকা
= ২০০ টাকা

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ২০০ টাকা।

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০×৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০×৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০×১০০/৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।