সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: 100 টি এক টাকার ও দুই টাকার মুদ্রা আছে। দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা এক টাকার মুদ্রার চেয়ে 20 টি বেশি। মোট টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
এক টাকার মুদ্রার সংখ্যা x এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা y 

প্রশ্নমতে,
x + y = 100 
এবং 
y = x + 20  (দুই টাকার মুদ্রা এক টাকার মুদ্রার চেয়ে ২০ টি বেশি)

প্রথম সমীকরণে দ্বিতীয় সমীকরণের মান বসিয়ে পাই,
x + (x + 20) = 100
⇒ 2x + 20 = 100 
⇒ 2x = 80 
∴ x = 40

তাহলে, y = x + 20 = 40 + 20 = 60 
∴ y = 60

এখন,
মোট টাকা = (এক টাকার মুদ্রার মূল্য) + (দুই টাকার মুদ্রার মূল্য) = (40 × 1) + (60 × 2) 
 = 40 + 120
= 160 টাকা 

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

(x - y, 3) = (0, 2y - x)
∴ x - y = 0
বা, y = x
এবং 2y - x = 3
বা, 2.x - x = 3
∴ x = 3

প্রশ্ন: 2a² - 6a + 4 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
2a² - 6a + 4 = 0
⇒ 2a² - 4a - 2a + 4 = 0
⇒ 2a(a - 2) - 2(a - 2) = 0
⇒ (a - 2)(2a - 2) = 0

হয়, a - 2 = 0 ⇒ a = 2
অথবা, 2a - 2 = 0 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
∴ a এর মান 1, 2

প্রশ্ন: 2x² + 5x - 3 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² + 5x - 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2,
b = 5,
c = - 3

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 2 × (- 3)
= 25 + 24
= 49

যেহেতু 49 > 0,
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

ধরি, ছাত্রসংখ্যা ক
প্রশ্নমতে, ক² = ৬৫৬১
বা, ক = √৬৫৬১ = ৮১

a - [a - a - (a - 1)]
= a - [a - a - a + 1]
= a - [- a + 1]
= a + a - 1
= 2a - 1

প্রশ্ন: (5x/6) + 2 = (2x/3) + 4 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 2 = (2x/3) + 4
বা, (5x/6) - (2x/3) = 4 - 2
বা, (5x - 4x)/6 = 2
বা, x/6 = 2
বা, x = 2 × 6
∴ x = 12

প্রশ্ন: (2 + √3) এবং (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল:
α + β = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল:
α × β = (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1

নির্ণয় সমীকরণ:
x² - (α + β)x + αβ = 0
⇒ x² - 4x + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ = x² - 4x + 1 = 0

মূলদ্বয় a, b হলে a + b = 4, ab = 3
∴ (a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 16 - 4.3
= 4
∴ a - b = ±2

প্রশ্ন: 3x - y = 2 এবং 2x + 3y = 5 সরলরেখা দুইটি যে বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে-

সমাধান:
3x - y = 2
⇒ 3(3x - y) = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 9x - 3y = 6

2x + 3y = 5

9x - 3y + 2x + 3y = 6 + 5
⇒ 11x = 11
∴ x = 1

2 + 3y = 5
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1

দেওয়া আছে,
3x - y = 7 ....... (১)
এবং 2x + y = 3 .......... (২)

১ + ২ করে পাই,
5x = 10
বা, x = 2

২ নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2×2 + y = 3
বা, y = 3 - 4

সুতরাং , y = - 1
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, -1)

প্রশ্ন: একটি প্লেনে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। ইকোনমি ক্লাসের ভাড়া মাথা পিছু ৩০০০ টাকা, যা বিজনেস ক্লাসের ভাড়ার অর্ধেক। মোট ভাড়া ১৬৮০০০ টাকা হলে, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি,
বিজনেস ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = ক  জন 
∴ ইকোনমি ক্লাসের যাত্রীর সংখ্যা = (৪৭ - ক)

প্রশ্নমতে,
২ × ৩০০০ × ক + ৩০০০ × (৪৭ - ক) = ১৬৮০০০
⇒ ৬০০০ক + ১৪১০০০ - ৩০০০ক = ১৬৮০০০
⇒ ৩০০০ক = ১৬৮০০০ - ১৪১০০০
⇒ ৩০০০ক = ২৭০০০
∴ ক = ৯

সুতরাং, বিজনেস ক্লাসের যাত্রী সংখ্যা ৯ জন 

√(-6) × √(-24)
= √(6) × √(-1) × √(24) × √(-1)
= √(6) × √(24) × √(-1) × √(-1)
= √(144) × {√(-1)}² [ বর্গমুল চিহ্নের মধ্যে দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুনফল ধনাত্মক সংখ্যা বৈধ নয়]
= 12 × (-1)
= -12

প্রশ্ন: একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 12 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 44 টাকা হলে কলমটির মূল্য কত?
 
সমাধান:
মনেকরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
সুতরাং, বইয়ের মূল্য = x + 12 টাকা 

প্রশ্নমতে,    
x + x + 12 = 44
⇒ 2x + 12 = 44
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
 
অতএব, কলমের মূল্য = 16 টাকা

x - 5y = 16......(1)
x + 3y = 0.......(2)
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
-8y = 16
∴ y = -2
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 6 = 0
∴ x = 6

প্রশ্ন: 3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x² - 6x + 3 = 0
এখানে, a = 3, b = - 6, c = 3

আমরা জানি, নিশ্চয়ক = b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 3 × 3
= 36 - 36
= 0

যেহেতু নিশ্চয়কের মান 0, তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

উল্লেখ্য:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। অর্থাৎ কাল্পনিক। 
4. যদি b² -  4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x² +1)/x = 2
বা, x² +1 = 2x
এখন, x/(x² - x +1)
= x/(x² + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1

১ম সমীকরণ,
3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ,
-14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1

{ - ১০ + ( -৭ )} - { - ১০ - ( - ৭)}
= (-১৭) – (-৩)
= - ১৪ (১ম রাশিটি ২য়টি অপেক্ষা ১৪ বড়)

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x² - 4x + 3x - 12 = x² + x - 5x - 5
বা, x² - x - 12 = x² - 4x - 5
বা, x² - x - 12 - x² + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3

x/y = 3/4
বা, (x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4) [যোজন বিয়োজন করে] 
∴ (x + y)/(x - y) = -7

(21 X 21 এর 21) / (21 / 21 X 21)
= (21 X 441) / (1 X 21)
= 441

x - y =0 ---(1)
x+2y = 3 --(2)
(1) এবং (2) সমাধান করে পায়,
x,y = 1,1

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

3x - 2y = 5 ......(1)
2x + 3y = 12 .....(2)
সমীকরণ (1) কে তিন দিয়ে এবং (2) কে দুই দিয়ে গুণ করে পাই,
(1) + (2) করে,
বা, 13x = 39
x = 3
x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে,
বা, 2.3 + 3y = 12
বা, 3y = 6
y = 2
(x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন-

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y ।
∴ সংখ্যাটি = x + 10y
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7
∴ x - 2y = - 7..........(1)

২য় শর্তানুসারে
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
⇒ 9(y - x) = 18
∴ y - x = 2.............(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = - 7 + 10
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের পরিসীমা ১৮ মিটার ক্ষেত্রফল ২০ বর্গমিটার হলে, এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = x মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = y মিটার

প্রশ্নমতে
2(x +  y) =18
x + y = 9 
x = 9 - y.................(1)

আবার
xy = 20
বা, y(9 - y) = 20
বা, 9y - y² = 20
বা, - y² + 9y - 20 = 0
বা, -1(y² - 9y + 20) = 0
বা, y² - 9y + 20 = 0
বা, y² - 4y - 5y + 20 = 0
বা, y(y - 4) - 5(y - 4) = 0
(y - 5)(y - 4) = 0

হয় 
y - 5 = 0
y = 5

অথবা
y - 4 = 0
y = 4

যখন y = 5 তখন x = 9 - 5 = 4 
যখন y = 4 তখন x = 9 - 4 = 5

অতএব
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 5 মিটার 
আয়তাকার ক্ষেত্রের  প্রস্থ = 4 মিটার

সমাধান:

3/x - 4/(x + 1) = 1
বা, (3x + 3 - 4x)/x(x + 1) = 1
বা, x² + x = -x + 3
বা, x² + 2x - 3 = 0
বা, x² + 3x - x - 3 = 0
বা, x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
বা, (x + 3)(x - 1) = 0
∴ x = -3, 1

প্রশ্ন:

সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
বা, {√(x + 3)}2 = (√x + √3)2
বা, x + 3 = x + 2√x√3 + 3
বা, 2√(x3) = 0
∴ x = 0

এখানে, x + 2y = 4 ............(1)
x - 2y = 0 ...............(2)
(1) নং (2) নং দ্বারা পাই 2x = 4
∴ x = 2
 (2) নং থেকে পাই 2 - 2y = 0
∴ y = 1
∴ 4xy = 4.2.1 = 8

৪/৩ ÷ ৭/৫ এর ২০/২১
= ৪/৩ ÷ ৪/৩
= ৪/৩ × ৩/৪
= ১