সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

{(0.6)² - (0.4)²} ÷ (0.6 - 0.4)
= {(0.6 + 0.4) × (0.6 - 0.4)} / (0.6 - 0.4)
= (0.6 + 0.4)
= 1.0

প্রশ্ন: (2x - 6, 5) = (4, 2y - 5) হলে, (x, y)- এর মান কোনটি?

সমাধান: 
2x - 6 = 4
বা, 2x = 4 + 6
বা, 2x = 10
বা, x = 10/2
∴ x = 5

আবার,
2y - 5 = 5
বা, 2y = 5 + 5
বা, 2y = 10
বা, y = 10/2
∴ y = 5

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (5, 5)।

2.3 + y = 10
y = 4
x - y = 3 - 4 = -1

প্রশ্ন: x + y + z = 16, x - y = z হলে, x = ?

সমাধান:
x - y = z
বা, x = y + z

∴ x + y + z = 16
বা, x + x =16
বা, 2x = 16
∴ x = 8

প্রশ্ন: x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান: 
x + (1/y) = 3/2 ..........(A)
y + (1/x) = 3 .............(B)

সমীকরণ (A) ⇒ xy + 1 = 3y/2 ..........(1)       [উভয়পক্ষে y গুণ করে]

সমীকরণ (B) ⇒ xy + 1 = 3x .............(2)            [উভয়পক্ষে x গুণ করে]
 
এখন, (2) - (1) ⇒
3x - (3y/2) = 0
⇒ 3x = (3y/2)
⇒ x = y/2 .............(3)

সমীকরণ (A) ⇒
(y/2)+ (1/y) = 3/2
⇒ (y² + 2)/2y = 3/2
⇒ y² + 2 = 3y
⇒ y² - 3y + 2 = 0
⇒ y² - 2y - y + 2 = 0
⇒ y(y - 2) - 1(y - 2) = 0
⇒ (y - 2)(y - 1) = 0

∴ y = 2, 1

y = 2 হলে (3) হতে,
x = 2/2 = 1

এবং y = 1 হলে (3) হতে,
x = 1/2

∴ (x, y) = (1, 2), (1/2, 1)

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

ক = ৩ এবং খ = ২ হলে,
ক+ক = খ+খ+খ অর্থাৎ, ৬ = ৬ হয়। এবং ক+খ = ৩+২ = ৫ হয়।
এখন, ক^২+ খ^২ = ৯+৪ = ১৩।

প্রশ্ন: যদি p = 4 এবং q = 3 হলে, p - [q - {p - (q - 1)}] এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4 এবং q = 3

প্রদত্ত রাশি, 
p - [q - {p - (q - 1)}]
= p - [q - {p - q + 1}]
= p - [q - p + q - 1]
= p - [2q - p - 1]
= p - 2q + p + 1
= 2p - 2q + 1
= 2(4) - 2(3) + 1
= 8 - 6 + 1
= 3

দেয়া আছে, x = 3y এবং
x+5y = 24
⇒ 3y+5y = 24 [∵ x = 3y]
⇒ 8y = 24
∴ y = 3

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x + (1/x) = 2 
বা, (x² + 1)/x = 2 
বা, x² + 1 = 2x 
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, x² - 2.x.1 + 1² = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1 

∴ সংখ্যাটি = 1 

89×89 + 87×87 - 2×89×87
= (89)² + (87)² - 2×89×87
= (89 - 87)²
= 2² = 4

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার মধ্যে দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার তিনগুণ এবং প্রথম সংখ্যার দ্বিগুণ। সংখ্যা তিনটির গড় 55 হলে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = x
∴ প্রথম সংখ্যাটি = x/2
এবং
তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3

দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = 55 
∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল = 55 × 3 = 165

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x/3) = 165
⇒ (6x + 3x + 2x)/6 = 165
⇒ 11x = 165 × 6
⇒ x = (165 × 6)/11
∴ x = 90

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = x/3 = 90/3 = 30

x/y = 1/2; ∴ y = 2x………….(1)
আবার, x + 2y = 10
বা, x + 2.2x = 10
বা, 5x = 10
∴ x = 2 (1)নং থেকে পাই y = 2.2 = 4

প্রশ্ন: পানিভর্তি একটি পাত্রের ওজন ২৪ কেজি। পাত্রের অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন ১৪ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি, খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ২৪ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/২ = ১৪ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/২) = ২৪ - ১৪
বা, y - y/২ = ১০
বা, (২y - y)/২ = ১০
বা, y/২ = ১০
বা, y = ১০ × ২
বা, y = ২০ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ২০ = ২৪
বা, x = ২৪ - ২০
বা, x = ৪ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৪ কেজি

মনে করি, মূলদ্বয় α ও 1/α
∴ প্রদত্ত সমীকরণকে উৎপাদকের মূল সমীকরণ এর সাথে তুলনা করি
∴ মূলদ্বয়ের গুণফল = P/3
বা,  α × 1/α = P/3
বা, 1 = p/3
∴ p = 3

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি, 
দশক স্থানীয় অঙ্ক x 
একক স্থানীয় অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x + y 
 
১ম শর্তানুসারে,
x + y + 5 = 3x 
⇒ y + x - 3x = - 5
⇒ y - 2x = - 5 
y = - 5 + 2x ....................(1)
২য় শর্তানুসারে,
⇒ 10y + x = (10x + y) - 9
⇒ 10y + x = 10x + y - 9
⇒ 10y - y = 10x - x - 9
⇒ 9y = 9x - 9
∴ y =  x - 1

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ - 5 + 2x = x - 1
⇒ 2x - x = - 1 + 5
∴ x = 4
x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = - 5 + 2 × 4 
⇒ y = - 5 + 8
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে = 10x + y = (10 × 4) + 3 = 40 + 3 = 43

x² = (√5)x
⇒ x² - (√5)x = 0
⇒ x(x - √5) = 0
∴ x = 0অথবা x = √5
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট S = {0, √5}

প্রশ্ন: (2x + 3y) = 12 এবং (5x + 2y) = 19 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 12 ......(1)
5x + 2y = 19 ......(2)

{(2) নং × 3} - {(1) নং × 2} ⇒
(15x + 6y) - (4x + 6y) = 57 - 24
বা, 11x = 33
বা, x = 33/11
∴ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(3) + 3y = 12
বা, 6 + 3y = 12
বা, 3y = 12 - 6
বা, 3y = 6
বা, y = 6/3
∴ y = 2

সুতরাং, সরলরেখা দুটি (3, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।

2(5x-18) = 14
⇒ 5x-18 = 7
⇒ 5x = 25
∴ x = 5

প্রশ্ন: যদি x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হলে x = 1 হবে।
f(1) = 0

ধরি,
f(x) = x³ + kx + 6

∴ f(1) = 1³ + k × 1 + 6
⇒ 1 + k + 6 = 0
⇒ k + 7 = 0

যেহেতু f(1) = 0
⇒ k = - 7

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত টাকা করে দেওয়ায় মোট 400 টাকা হলো। পরে আরও 5 জন সদস্য যোগ দিলে এবং প্রত্যেকে একই হারে টাকা দিলে মোট কত টাকা হবে? 

সমাধান: 
ধরি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = n জন
এবং প্রত্যেক সদস্য n পরিমাণ টাকা করে দেয়। 

প্রশ্নমতে, 
n × n = 400
⇒ n² = 400
⇒ n = √400
∴ n = 20

সুতরাং আসল সদস্য সংখ্যা ছিল 20 জন এবং প্রত্যেকে 20 টাকা করে দিয়েছিল। 

আবার, 
আরও 5 জন সদস্য যোগ দেওয়ায় বর্তমান সদস্য সংখ্যা = 20 + 5 = 25 জন।
যেহেতু প্রত্যেকে একই হারে (অর্থাৎ 20 টাকা করে) দিচ্ছে,
তাই মোট টাকা পরিমাণ = 25 × 20 = 500 টাকা।

সুতরাং নতুন মোট টাকার পরিমাণ 500 টাকা। 

x + 2y = 9 ............(1)
2x - y = 3
⇒ y = 2x - 3 ...........(2)
সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x + 2(2x - 3) = 9
বা, x + 4x - 6 = 9
বা, 5x = 15
বা, x = 3
সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
বা, y = 2 × 3 - 3
বা, y = 3
∴ (x, y) = (3, 3)

x² + 2x - 143 = 0
বা, x² + 13x - 11x - 143 = 0
বা, x(x + 13) - 11(x + 13) = 0
বা, (x + 13)(x - 11) = 0
∴ x = 11, -13

প্রশ্ন: x² + 2x + 3 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + 2x + 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 1, b = 2, c = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² − 4ac
= 2² − (4 × 1 × 3)
= 4 − 12
= - 8

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

ডেকের যাত্রী ৩৮ জন  

৩.০০০১০ + (৫ X ১০^-৩)
= ৩.০০০১০ + (৫/১০০০)
= ৩.০০০১০ + ০.০০৫
= ৩.০০৫১০

প্রশ্ন: 5(x + 3) - 2x = 2x + 12 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
5(x + 3) - 2x = 2x + 12
বা, 5x + 15 - 2x = 2x + 12
বা, 3x + 15 = 2x + 12
বা, 3x - 2x = 12 - 15
∴ x = - 3