সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

ধরি, কলমের মূল্য = x টাকা
তাহলে বইয়ের মূল্য হবে = x - 7 টাকা
প্রশ্নমতে, x + x - 7 = 43
বা, 2x = 50
বা, x = 25

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4 গুণের সাথে 10 যোগ করলে যোগফলটি ঐ সংখ্যার 5 গুণের চেয়ে 5 কম হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
4x + 10 = 5x - 5
⇒ 4x - 5x = - 5 - 10 
⇒ - x = - 15
∴ x = 15

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 15

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 40% থেকে 80 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির 30% হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি P

প্রশ্নমতে,
(P এর 40%) - 80 = P এর 30%
বা, (40P/100) - 80 = 30P/100
বা, (40P/100) - (30P/100) = 80
বা, P/10 = 80
বা, P = 80 × 10
∴ P = 800

3(x - 4) - (2x - 3) = - 4
বা, 3x - 12 - 2x + 3 = - 4
বা, x = - 4 + 9 = 5

{(1.6)² - (1.4)²} ÷ (1.6 - 1.4)
= (1.6 + 1.4) × (1.6 - 1.4)/(1.6 - 1.4)
= (1.6 + 1.4)
= 3.0

নিশ্চয়ক D = (b² - 4ac)
∴ x² - 2x - 2 এর নিশ্চয়ক D = (-2)² - 4.1.(-2) = 12
∴ D>0 
∴ x² - 2x - 2 এর মূলের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান

প্রশ্ন: যদি x² - y² = 16 এবং x + y > x - y হয়, তবে কোনটি x - y এর সমান হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² = 16
⇒ (x + y)(x - y) = 16

আমরা পাই,
16 = 1 × 16
= 2 × 8
= 4 × 4
= 8 × 2
= 16 × 1

এখানে,
x + y > x - y
তাই, x - y এর মান 4, 5, 6 হতে পারবে না।
∴ x - y এর মান নূন্যতম 4 এর চেয়ে ছোট হতে হবে।

অপশন 'ক' এর x - y = 3 এর জন্য শুদ্ধি পরিক্ষা করে পাই,
(x + y)(x - y) = 16
⇒ x + y = 16/3 

∴ x + y + x - y = 16/3 + 3
⇒ 2x = (16 + 9)/3
∴ x = 25/6

x + y - x + y = 16/3 - 3
⇒ 2y = (16 - 9)/3
∴ y = 7/6

আমরা পাই,
x² - y²
= (25/6)² - (7/6)²
= 625/36 - 49/36
= (625 - 49)/36
= 576/36
= 16

∴ x - y এর মান 3 এর সমান।

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

x/2 + 3 = x/3 + 4
বা, x/2 - x/3 = 4 - 3
বা, (3x - 2x)/6 = 1
বা, x/6 = 1
বা, x = 6

লাল গোলাপের সংখ্যা x ও সাদা গোলাপের সংখ্যা y হলে,
16x + 13y = 293 --- --- --- (i)
x = 11 হলে,
16*11 + 13y = 293
or, 176 + 13y =293
or, 13y = 293 - 176
or, 13y = 117
or, y = 117/13
or, y = 9
অতএব,  লাল গোলাপের সংখ্যা + সাদা গোলাপের সংখ্যা = x + y = 11 + 9 = 20

প্রশ্ন: যদি (2a + 3b, 16) = (36, 2a + b) হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 36 .............. (1)
2a + b = 16 ............... (2)

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(2a + 3b - 2a - b) = 36 - 16
বা, 2b = 20
∴ b = 10

b এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2a = 16 - 10
বা, 2a = 6
বা, a = 6/2
∴ a = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান, a = 3

প্রশ্ন: যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2।

প্রথমে, x-এর মান নির্ণয় করতে y-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসাই,
4x(- 2) - 5x + 39 = 0
⇒ - 8x - 5x + 39 = 0
⇒ - 13x + 39 = 0
⇒ - 13x = - 39
⇒ x = 39/13
⇒ x = 3

এবার, x এবং y-এর মান ব্যবহার করে 2x - y এর মান নির্ণয় করি,
2x - y = 2(3) - (- 2)
= 6 + 2
= 8

সুতরাং, 2x - y এর মান হলো 8।

সংখ্যাটি ‘ক’ হলে,
(ক/২)+৬ = ২ক/৩
বা, (২ক/৩) - (ক/২) = ৬
বা, (৪ক-৩ক)/৬ = ৬
বা, ক/৬ = ৬
∴ ক = ৩৬।

প্রশ্ন: 3y = 3x - 6 এবং 5x - 4y = 7 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3y = 3x - 6
⇒ y = (3x - 6)/3
⇒ y = x - 2 ..............(1)

এখন,
5x - 4y = 7
⇒ 5x = 7 + 4y
⇒ 5x = 7 + 4(x - 2)
⇒ 5x = 7 + 4x - 8
⇒ 5x = 4x - 1
⇒ 5x - 4x = -1
⇒ x = - 1

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = (- 1 - 2) = - 3

∴ (x, y) = (- 1, - 3)

দেওয়া আছে, a + b = √3…..(i)
b = a - 2√3
⇒ a - b = 2√3……(ii)
(i) + (ii), 2a = 3√3
∴ a = 3√3/2
(i) নং এ, a এর মান বসিয়ে পাই, 3√3/2 + b = √3
∴b = √3 - 3√3/2 = (2√3 - 3√3)/2 = -(√3/2)
সুতরাং, a/b = (3√3/2)/{-(√3/2)} = -3

xy = 9......(1)
y/x = 4......(2)
(1) নং × (2) নং দ্বারা পাই
y² = 36
y = ±6
(1) নং হতে পাই,
x(±6) = 9
বা, x = ±9/6
= ±3/2

(1/a + 1) ÷ (1 - 1/a²)
= {(1+a)/a} ÷ {(a² - 1)/a²}
= (a+1)/a × a²/(a+1)(a-1)
= a/(a-1)

y/x = 1/3
∴ x = 3y
আবার,
x + 2y = 10
⇒ 3y + 2y = 10 (মান বসিয়ে)
⇒ 5y = 10
∴ y = 2

ধরি, খুটির দৈর্ঘ্য x মিটার
তাহলে, মাটির নিচে ও পানির উপরে আছে (১/২ + ১/৩)x অংশ = (৫/৬)x অংশ।
এবং পানির উপরে আছে (১ - ৫/৬)x = x/৬ অংশ।
প্রশ্নমতে,
x/৬ = ২
∴ x = 12

ধরি,
করিমের বর্তমান বয়স = x বছর।
৮ বছর পূর্বে করিমের বয়স ছিল = x - ৮ বছর।
১০ বছর পরে করিমের বয়স = x + ১০ বছর।
শর্তমতে,
x - ৮ = ১/৩ (x + ১০)
বা, ৩x - ২৪ = x + ১০
বা, ২x = ৩৪
∴ x = ১৭

প্রশ্ন: যদি (2x + 1, 5) = (9, 3y - 2) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(2x + 1, 5) = (9, 3y - 2)

এখন, 
2x + 1 = 9
⇒ 2x = 9 - 1
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

এবং
3y - 2 = 5
⇒ 3y = 5 + 2
⇒ 3y = 7
∴ y = 7/3

∴ (x, y) = (4, 7/3)

প্রশ্ন: 2x² + yx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = y, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ y² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ y² - 64 = 0
⇒ y² = 64
⇒ y = ± 8

ধরি,
সংখ্যা ৬টি যথাক্রমে x, x+1, x+2, x+3, x+4 এবং x+5

প্রশ্নমতে,
x + x+1 + x+2 = 27
বা, 3x + 3 = 27
বা, 3x = 27-3
বা, 3x = 24
বা, x = 24/3
∴ x = 8

সুতরাং শেষ তিনটি সংখ্যার যোগফল
= x+3+x+4+x+5
= 8+3+8+4+8+5
= 36

প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
3x + 2x = 90 
বা, 5x = 90 
বা, x = 90/5 
∴ x = 18 

∴ সংখ্যাটি = 18  । 

ধরি, সংখ্যা দুটি a, b
∴ সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতি হবে যথাক্রমে 1/a, 1/b
এখানে, a + b = 40; ab = 120
∴ 1/a + 1/b = (a + b)/ab = 40/120 = 1/3

প্রশ্ন: x² + 5x + 1 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + 5x + 1 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 1, b = 5, c = 1
নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² − 4ac
= 5² − 4×1×1
= 25 − 4
= 21

যেহেতু D = 21 ধনাত্মক (D > 0), তাই মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান হবে।
আবার, 21 কোনো পূর্ণবর্গ নয়, তাই মূলদ্বয় অমূলদ।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।