সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ১৩ / ২৯ · ১,২০১–১,৩০০ / ২,৮৯২

১,২০১.

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার হর থেকে 1 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 2/3
খ
খ) 1/4
গ
গ) 3/4
ঘ
ঘ) 3/5

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3/4

গ

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর y
ভগ্নাংশটি = x /y

১ম শর্তমতে,
(x + 5)/y = 2
x + 5 = 2y
x - 2y = - 5 ...................(1)

২য় শর্তমতে,
x/y - 1 = 1
x = y - 1
x - y = - 1................(2)

(2)নং - (1)নং ⇒
x - y - x + 2y = - 1 + 5
y = 4

(2) নং সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই
x - 4 = - 1
x = - 1 + 4
x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/4

১,২০২.

x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে x ও y এর মান কত?

ক
2 ও 3
খ
3 ও 2
গ
4 ও 3
ঘ
3 ও 4

সঠিক উত্তর: খ

3 ও 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

3 ও 2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
x + 2y = 7
⇒ x = 7 - 2y

2x - 3y = 0
⇒ 2(7 - 2y) - 3y = 0
⇒ 14 - 4y - 3y = 0
⇒ - 7y = - 14
∴ y = 2

∴ x = 7 - 2 × 2 = 7 - 4 = 3

১,২০৩.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
ক) 10 জন
খ
খ) 12 জন
গ
গ) 9 জন
ঘ
ঘ) 16 জন

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9 জন

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
30(47 - x) + 60x = 1680
বা, 1410 - 30x + 60x = 1680
বা, 30x = 1680 - 1410
বা, 30x = 270
বা, x = 9

১,২০৪.

(x - 4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 0

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 4)² = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?

সমাধান:
(x - 4)² = 0
বা, (x - 4)(x - 4) = 0
∴ x = 4, x = 4

সমীকরণের মূল হবে একটি এবং এর মান 4.

১,২০৫.

যদি (x - 5)(a + x) = x² - 25 হয় তবে a এর মান কত?

ক
ক) - 5
খ
খ) 5
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) - 25

সঠিক উত্তর: খ

খ) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 5

খ

ব্যাখ্যা

(x - 5)( a + x) = x²- 25
(x - 5)( a + x) = x² - 5²
(x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
a + x = x + 5
a = 5

১,২০৬.

a, b, c মূলদ সংখ্যা এবং b² - 4ac < 0 হলে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি-

ক
ক) বাস্তব ও অসমান
খ
খ) বাস্তব ও সমান
গ
গ) বাস্তব ও অমূলদ
ঘ
ঘ) বাস্তব মূল নেই

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) বাস্তব মূল নেই

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) বাস্তব মূল নেই

ঘ

ব্যাখ্যা

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

১,২০৭.

a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল a(1 + b)/b হয়?

ক
a
খ
b
গ
a(1 - b)b
ঘ
1/a

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল a(1 + b)/b হয়?

সমাধান:
a(1 + b)/b - a/b
= {a(1 + b) - a}/b
= (a + ab - a)/b
= ab/b
= a

১,২০৮.

3/x + 4/ (x+1) = 2 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 3

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্নোক্ত সমীকরণে x = 3 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ সমীকরণের উভয় পাশের মান সমান হয়।

১,২০৯.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যা তিনটির যোগফল হবে-

ক
ক) ১২
খ
খ) ১৪
গ
গ) ১৬
ঘ
ঘ) ১৮

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১৮

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যা তিনটির যোগফল হবে-

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক-১, ক এবং ক+১

শর্তমতে,
(ক-১) × ক × (ক+১) = ২১০
বা, ক × (ক^২ -১) = ২১০
বা, ক^৩ - ক - ২১০ = ০
বা, ক^৩ - ৬ক^২ + ৬ক^২ - ৩৬ক + ৩৫ক - ২১০ = ০
বা, ক^২(ক -৬) +৬ক (ক - ৬) +৩৫ (ক -৬) = ০
বা, (ক -৬) (ক^২ + ৬ক + ৩৫) = ০
বা, ক - ৬ = ০
∴ ক = ৬ (অন্যান্য মানগুলোকে উপেক্ষা করে)
সুতরাং, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে-
৬-১ = ৫
৬ এবং
৬+১ = ৭

∴ সংখ্যা তিনটির যোগফল = ৫ + ৬ + ৭ = ১৮ ।

১,২১০.

যদি x = 2y - 1 এবং x + y = 26 হয়, তবে y =?

ক
9
খ
7
গ
6
ঘ
5

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x = 2y - 1 এবং x + y = 26 হয়, তবে y =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2y - 1

এবং
x + y = 26
⇒ 2y - 1 + y = 26
⇒ 3y = 26 + 1
⇒ y = 27/3
∴ y = 9

১,২১১.

12a + 3b = 1 এবং 7b – 2a = 9 হলে, a ও b-এর গড় কত?

ক
0.8
খ
0.7
গ
0.5
ঘ
0.2

সঠিক উত্তর: গ

0.5

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

0.5

গ

ব্যাখ্যা

12a + 3b = 1

7b – 2a = 9

উভয় সমীকরণ যোগ করে পাই,
12a + 3b + 7b - 2a = 10
Or, 10a + 10b = 10
Or, 10(a + b) = 10
Or, a + b = 1

a ও b-এর গড় 0.5

১,২১২.

√2 / (√6 + 2) = কত?

ক
ক) √3 + √2
খ
খ) 3√2
গ
গ) √3 - √2
ঘ
ঘ) √3 + 2

সঠিক উত্তর: গ

গ) √3 - √2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) √3 - √2

গ

ব্যাখ্যা

√2 / (√6 + 2)
= √2 / √2(√3 + √2)
= 1 / (√3 + √2)
= (√3 - √2) / (√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2) / (3 - 2)
= (√3 - √2)

১,২১৩.

2টি টেবিল ও 4টি চেয়ারের মূল্য 1600 টাকা। সমপরিমাণ টাকা দিয়ে 1টি টেবিল ও 6টি চেয়ার কেনা যায়। 2টি চেয়ারের মূল্য কত?

ক
400 টাকা
খ
480 টাকা
গ
540 টাকা
ঘ
600 টাকা

সঠিক উত্তর: ক

400 টাকা

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

400 টাকা

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2টি টেবিল ও 4টি চেয়ারের মূল্য 1600 টাকা। সমপরিমাণ টাকা দিয়ে 1টি টেবিল ও 6টি চেয়ার কেনা যায়। 2টি চেয়ারের মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
1টি টেবিলের মূল্য = x টাকা
1টি চেয়ারের মূল্য = y টাকা

১ম শর্তানুসারে,
2x + 4y = 1600
বা, x + 2y = 800 …..(i) [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

২য় শর্তানুসারে,
x + 6y = 1600 …..(ii)

(ii) নং থেকে (i) নং বিয়োগ করে পাই,
x + 6y - x - 2y = 1600 - 800
বা, 4y = 800
বা, y = 800/4
∴ y = 200

∴ 2টি চেয়ারের মূল্য = 200 × 2 = 400 টাকা।

১,২১৪.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৫। সংখ্যাটির সাথে ৯ যোগ করেল অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির কত?

ক
৩২
খ
২৩
গ
৪১
ঘ
১২

সঠিক উত্তর: খ

২৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২৩

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ৫। সংখ্যাটির সাথে ৯ যোগ করেল অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অঙ্ক ক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক খ।

∴ ক + খ = ৫...............(i)

প্রশ্নমতে,
১০খ + ক + ৯ = ১০ক + খ
বা, ৯ক - ৯খ = ৯
বা, ক - খ = ৯/৯
∴ ক - খ = ১...............(ii)

(i), (ii) যোগ করে পাই,
২ক = ৬
ক = ৩

(I) নং হতে পাই,
খ = ৫ - ৩ = ২

∴ সংখ্যাটি = ২৩

১,২১৫.

(7x/8) + 5 = (x/4) + 15 হলে, x এর মান কত?

ক
12
খ
15
গ
16
ঘ
18

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (7x/8) + 5 = (x/4) + 15 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(7x/8) + 5 = (x/4) + 15
⇒ (7x + 40)/8 = (x + 60)/4
⇒ (7x + 40) = 2(x + 60)
⇒ 7x + 40 = 2x + 120
⇒ 5x = 80
∴ x = 16

১,২১৬.

একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

ক
72
খ
80
গ
84
ঘ
90

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

শর্তমতে,
(4x/5) - (2x/3) = 12
বা, (12x - 10x)/15 = 12
বা, 12x - 10x = 180
বা, 2x = 180
বা, x= 180/2
∴ x = 90

∴ সংখ্যাটি = 90

১,২১৭.

x/a - b = x/b - a হলে x = ?

ক
a
খ
b
গ
ab
ঘ
b/a

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

x/a - b = x/b - a
বা, a - b = x/b - x/a
বা, x(1/b - 1/a) = a - b
বা, x.(a - b)/ab = a - b
বা, x/ab = 1
∴ x = ab

১,২১৮.

(x - 2)/(x - 1) + 1/(x - 1) - 1 = 0 এর সমাধান -

ক
1
খ
2
গ
{ }
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

(x - 2)/(x - 1) + 1/(x - 1) - 1 = 0
বা, (x - 2 + 1)/(x - 1) - 1 = 0
বা, (x - 1)/(x - 1) - 1 = 0
যা 1 ব্যতিত x এর যেকোনো মানের জন্য সত্য। কারণ x এর মান 1 হলে অসজ্ঞায়িত হয়।
অর্থাৎ 0/0 - 1 = 0 হয়। 0/0 সংজ্ঞায়িত নয়।
x এর মান 2 হলে, সমীকরণ টি সত্য হয় যা অপশনে আছে।
1 ছাড়া x এর যে কোন মানের জন্য সমীকরণ টি সত্য।
সমীকরণটির সমাধান: 1 - R
অপশনে 1 - R না থাকায় সঠিক উত্তর অপশনের খ) হবে।

১,২১৯.

(√5 + 1) y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?

ক
2 - 2√5
খ
3 - 2√5
গ
4 - 2√5
ঘ
6 - 2√5

সঠিক উত্তর: ঘ

6 - 2√5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

6 - 2√5

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√5 + 1) y + 4 = 4√5 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
(√5 + 1) y + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1) y = 4√5 - 4
⇒ (√5 + 1) y = 4 (√5 - 1)
⇒ y = 4 (√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ y = 4 (√5 - 1) (√5 - 1)/(√5 + 1) (√5 - 1)
⇒ y = 4 {(√5)2 - 2√5 + 1}/(√5)2 - 1
⇒ y = 4 (6 - 2√5)/4
∴ y = 6 - 2√5

১,২২০.

একটি গাড়ি ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টার 40 কিলোমিটার বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো, গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কিলোমিটার পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে কত দূর গিয়েছে?

ক
ক) 50 কিলোমিটার
খ
খ) 120 কিলোমিটার
গ
গ) 100 কিলোমিটার
ঘ
ঘ) 110 কিলোমিটার

সঠিক উত্তর: খ

খ) 120 কিলোমিটার

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 120 কিলোমিটার

খ

ব্যাখ্যা

ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় x কিলোমিটার
ঘণ্টায় 40 কিলোমিটার বেগে যায় (240 - x) কিলোমিটার
প্রশ্নমতে,
x/60 + (240 - x)/40 = 5
⇒ 2x + 720 -3x = 5 × 120
⇒ x = 720 - 600 = 120
∴ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় 120 কিলোমিটার

১,২২১.

দুটি সংখ্যার পার্থক্য 5। তাদের গুণফল 66 হলে, সংখ্যাদুটির যোগফল কত?

ক
37
খ
27
গ
17
ঘ
15

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
সংখ্যা দুটি a ও b
শর্তমতে,
a - b = 5
ab = 66

আমরা জানি
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a + b)² = 5² + 4 × 66
(a + b)² = 25 + 264
(a + b)² = 289
(a + b)² = 17²
a + b = 17

১,২২২.

2x² - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
অবাস্তব ও অসমান
খ
বাস্তব ও অসমান
গ
সমান
ঘ
পূর্ণবর্গ

সঠিক উত্তর: ক

অবাস্তব ও অসমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

অবাস্তব ও অসমান

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² - 4x + 5 = 0
নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= ( - 4)² - 4 × 2 × 5
= 16 - 40
= - 24 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

১,২২৩.

2^a = √64, b/a = 2 হলে, a² + b² =?

ক
ক) 36
খ
খ) 45
গ
গ) 67
ঘ
ঘ) 90

সঠিক উত্তর: খ

খ) 45

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 45

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^a = √64, b/a = 2 হলে, a² + b² =?

সমাধান:
2^a = √64
⇒ 2^a = √2⁶
⇒ 2^a = 2^6/2
⇒ 2^a = 2³
∴ a = 3

b/a = 2
⇒ b = 2a
= 2 × 3
= 6

a² + b² = 3² + 6²
= 9 + 36
= 45

১,২২৪.

4x + y = 18 এবং 2x - y = 6 হলে x ও y এর মান কত?

ক
x = 4, y = 2
খ
x = 3, y = 6
গ
x = 5, y = 4
ঘ
x = 2, y = 10

সঠিক উত্তর: ক

x = 4, y = 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

x = 4, y = 2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + y = 18 এবং 2x - y = 6 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
4x + y = 18 ............ (1)
2x - y = 6 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
4x + y + 2x - y = 18 + 6
⇒ 6x = 24
⇒ x = 24/6
⇒ x = 4

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(4) - y = 6
⇒ 8 - y = 6
⇒ y = 8 - 6
⇒ y = 2

∴ x = 4 এবং y = 2

১,২২৫.

একটি বাসে যাত্রী সংখ্যা 60। মাথাপিছু এসি সিটের ভাড়া নন-এসি সিটের ভাড়ার তিনগুণ। নন-এসি সিটের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 2600 টাকা হলে, এসি সিটের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
20 জন
খ
25 জন
গ
30 জন
ঘ
35 জন

সঠিক উত্তর: ঘ

35 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

35 জন

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাসে যাত্রী সংখ্যা 60। মাথাপিছু এসি সিটের ভাড়া নন-এসি সিটের ভাড়ার তিনগুণ। নন-এসি সিটের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 2600 টাকা হলে, এসি সিটের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
এসি সিটের যাত্রী সংখ্যা = a জন
নন-এসি সিটের যাত্রী সংখ্যা = 60 - a জন
নন-এসি সিটের ভাড়া = 20 টাকা
এসি সিটের ভাড়া = 20 × 3 = 60 টাকা

প্রশ্নমতে,
60a + 20(60 - a) = 2600
⇒ 60a + 1200 - 20a = 2600
⇒ 40a = 1400
∴ a = 35 জন

১,২২৬.

একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা A, B এবং C এর মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেয়া হলো A পায় 3/16 অংশ, B পায় 1/4 অংশ। C যদি 81 টাকা পায় তবে B কত টাকা পাবে?

ক
ক) 46 টাকা
খ
খ) 45 টাকা
গ
গ) 52 টাকা
ঘ
ঘ) 36 টাকা

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 36 টাকা

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 36 টাকা

ঘ

ব্যাখ্যা

A পায় = 3/16 অংশ
B পায় = 1/4 অংশ

C পায় = 1 - (3/16) - 1/4
= (16 - 3 - 4)/16
= 9/16

এখন,
9/16 অংশ = 81
1 অংশ = 81 × 16/9
1/4 অংশ = (81 × 16)/(9 × 4)
= 36

১,২২৭.

abc এর মান 160 হলে a এর মান কোনটি হতে পারে না?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
12

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: abc এর মান 160 হলে a এর মান কোনটি হতে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
abc = 160
এখানে,
y -এর মান শূন্য (0) হতে পারে না,
কারণ 0 হলে সেক্ষেত্রে সমীকরণের গুণফল হবে 0 ।

১,২২৮.

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
৩১
খ
৭৫
গ
৫৩
ঘ
৬৪

সঠিক উত্তর: ক

৩১

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৩১

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

∴ সংখ্যাটি = (১১ × ১) + ২০
= ৩১ ।

১,২২৯.

k এর কোন মানের জন্য 3x + 7y + 8 = 0 এবং 3x - ky = 3 সমীকরণ দুটির কোন সমাধান থাকবে না?

ক
ক) -3
খ
খ) 7
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) -7

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) -7

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) -7

ঘ

ব্যাখ্যা

3x + 7y = -8 ---- (1)
3x - ky = 3 ----- (2)
এখানে (2) সমীকরণে -7 বসালে উভয় সমীকরণের বাম পক্ষ একই হয়ে যায় এবং সেটার কোন সমাধান হবে না।

১,২৩০.

কোন অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 20 এবং বিয়োগফল 8 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 6/14
খ
খ) 14/6
গ
গ) 12/8
ঘ
ঘ) 13/7

সঠিক উত্তর: খ

খ) 14/6

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 14/6

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 20 এবং বিয়োগফল 8 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y

∴ অপ্রকৃত ভগ্নাংশটি = x/y ; (x>y)

১ম শর্তানুসারে,
x + y = 20 ................. (1)
২য় শর্তানুসারে,
x - y = 8 ....................... (2)
(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x = 28
বা, x = 28/2
∴ x = 14
x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
14 + y = 20
বা, y = 20 - 14
∴ y = 6

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 14/6 = 7/3

১,২৩১.

3x + 2y - 12 = 0 এবং 4x - 3y + 1 = 0 হলে y এর মান কত?

ক
5
খ
7
গ
3
ঘ
2

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y - 12 = 0 এবং 4x - 3y + 1 = 0 হলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y - 12 = 0
⇒ 3x + 2y = 12 ...... (1)

এবং 4x - 3y + 1 = 0
⇒ 4x - 3y = - 1 ....... (2)

{(1)নং × 4} - {(2)নং × 3} হতে পাই,
12x + 8y - (12x - 9y) = 48 + 3
⇒ 12x + 8y - 12x + 9y = 51
⇒ 17y = 51
⇒ y = 51/17
∴ y = 3

১,২৩২.

2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে x ও y এর মান কত?

ক
ক) x = 5, y = 7
খ
খ) x = 2, y = 5
গ
গ) x = 3, y = 7
ঘ
ঘ) x = 7, y = 5

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x = 7, y = 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x = 7, y = 5

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2y = 2x - 4 এবং 4x - 5y = 3 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2y = 2x - 4
বা, 2y = 2 (x - 2)
বা, y = 2 (x - 2)/2
∴ y = x - 2 ---------(¡)

আবার,
4x - 5y = 3
বা, 4x - 5(x - 2) = 3 [y এর মান বসিয়ে]
বা, 4x - 5x + 10 = 3
বা, -x = 3 - 10
বা, -x = -7
∴ x = 7
x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 7 - 2
∴ y = 5

∴ x = 7
y = 5

১,২৩৩.

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে এবং প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
ক) 21 জন
খ
খ) 18 জন
গ
গ) 12 জন
ঘ
ঘ) 15 জন

সঠিক উত্তর: খ

খ) 18 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 18 জন

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে এবং প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ছাত্র সংখ্যা y হলে,
১ম ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসালে 2 বেঞ্চ খালি থাকে। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = y/6 + 2
২য় ক্ষেত্রে, প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে ছাত্র বসালে 8 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। সুতরাং বেঞ্চ সংখ্যা = (y - 8)/2

প্রশ্নমতে
(y/6) + 2 = (y - 8)/2
বা, (y + 12)/6 = (y - 8)/2
বা, 2y + 24 = 6y - 48
বা, 6y - 2y = 24 + 48
বা, 4y = 72
বা, y = 72/4
বা, y = 18

∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা 18 জন।

১,২৩৪.

একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২০ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেয়ায় মোট ৪৮ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণীতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
৭০ জন
খ
৬০ জন
গ
৮৫ জন
ঘ
৭৫ জন

সঠিক উত্তর: খ

৬০ জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৬০ জন

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২০ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেয়ায় মোট ৪৮ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণীতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা 'ক' জন

প্রশ্নমতে,
⇒ ক(ক + ২০) = ৪৮ × ১০০ [১ টাকা = ১০০ পয়সা]
⇒ ক^২ + ২০ক - ৪৮০০ = ০
⇒ ক^২ + ৮০ক - ৬০ক - ৪৮০০ = ০
⇒ ক(ক + ৮০) - ৬০(ক + ৮০) = ০
⇒ (ক + ৮০)(ক - ৬০) = ০
হয়,
⇒ ক + ৮০ = ০
∴ ক = - ৮০ ; যা গ্রহণযোগ্য নয়

অথবা,
⇒ ক - ৬০ = ০
∴ ক = ৬০

∴ ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা ৬০ জন।

১,২৩৫.

x² - 6x + 7 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

ক
অবাস্তব ও অসমান
খ
বাস্তব মূল নাই
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও সমান

সঠিক উত্তর: গ

বাস্তব ও অসমান

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

বাস্তব ও অসমান

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 6x + 7 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
=(- 6)² - 4 · 1 · 7
= 36 - 28
= 8 > 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
→ b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
→ b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
→ b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
→ b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

১,২৩৬.

8(2x + 2) = 8(x - 4) হলে x এর মান কত?

ক
- 2
খ
3
গ
- 6
ঘ
6

সঠিক উত্তর: গ

- 6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 6

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8(2x + 2) = 8(x - 4) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
8(2x + 2) = 8(x - 4)
বা, 16x + 16 = 8x - 32
বা, 16x - 8x = - 32 - 16
বা, 8x = - 48
বা, x = - 48/8
∴ x = - 6

১,২৩৭.

Jamal covered a distance of 340 miles between city A and city B taking a total of 5 hours. If part of the distance was covered at 60 miles per hour speed and the balance at 80 miles per hour speed, how many hours did he travel at 60 miles per hour ?

ক
ক) 2
খ
খ) 2.5
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) None

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Jamal covered a distance of 340 miles between city A and city B taking a total of 5 hours. If part of the distance was covered at 60 miles per hour speed and the balance at 80 miles per hour speed, how many hours did he travel at 60 miles per hour ?

সমাধান:
মনেকরি,
60 মাইল বেগে যায় x ঘণ্টা
80 মাইল বেগে যায় (5 - x) ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
60x + 80(5 - x) = 340
বা, 60x + 400 - 80x = 340
বা, - 20x = 340 - 400
বা, - 20x = - 60
x = 3

১,২৩৮.

কোনো সংখ্যার একক, দশক ও শতক স্থানীয় অংক x, y, z হলে, সংখ্যাটির রূপ হবে-

ক
ক) 100x + 10y + z
খ
খ) 100z + 10y + x
গ
গ) 100xyz
ঘ
ঘ) 100z + 10x + y

সঠিক উত্তর: খ

খ) 100z + 10y + x

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 100z + 10y + x

খ

ব্যাখ্যা

এখানে,
একক, দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে x, y, z হলে,
সংখ্যাটি = 100 × z + 10 × y + 1 × x
= 100z + 10y + x

১,২৩৯.

(1 + √5) ও (1 - √5) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

ক
ক) x² - 2x + 4 = 0
খ
খ) x² - 2x - 4 = 0
গ
গ) x² + 2x - 4 = 0
ঘ
ঘ) x² + 2x + 4 = 0

সঠিক উত্তর: খ

খ) x² - 2x - 4 = 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) x² - 2x - 4 = 0

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1 + √5) ও (1 - √5) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √5 এবং β = 1 - √5
মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = 1 + √5 + 1 - √5
∴ α + β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √5) . (1 - √5)
= (1)² - (√5)²
= 1 - 5
∴ αβ = - 4

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α + β) x + αβ = 0
বা, x² - 2x - 4 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 2x - 4 = 0

১,২৪০.

x - 4 = (x - 4)/x এ x এর মান কত?

ক
ক) 1 এবং 4
খ
খ) 2 এবং 3
গ
গ) 2 এবং 4
ঘ
ঘ) 3 এবং 4

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1 এবং 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1 এবং 4

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 4 = (x - 4)/x এ x এর মান কত?

সমাধান:
x - 4 = (x - 4)/x
বা, x(x - 4 ) = x – 4
বা, x(x - 4 ) - (x – 4) = 0
বা, (x - 4 ) (x - 1) = 0

হয়
x - 4 = 0
x = 4
অথবা
x − 1 = 0
x = 1

১,২৪১.

যদি y = 5x² - 2x এবং x = 3 হয়, তবে y =?

ক
ক) 39
খ
খ) 45
গ
গ) 18
ঘ
ঘ) 35

সঠিক উত্তর: ক

ক) 39

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 39

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y = 5x² - 2x এবং x = 3 হয়, তবে y =?

সমাধান:
y = 5x² - 2x এবং x = 3
y = 5 × 3² - 2 × 3
= 5 × 9 - 6
= 45 - 6
= 39

১,২৪২.

একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

ক
১৬ টি
খ
১৭ টি
গ
১৮ টি
ঘ
১৯ টি

সঠিক উত্তর: গ

১৮ টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১৮ টি

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৬

এখন,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৬
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৬
⇒ ক = ১৮
∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৮ টি

১,২৪৩.

x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

ক
- 1
খ
- 2
গ
- 3
ঘ
- 4

সঠিক উত্তর: খ

- 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

- 2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

সমাধান:
x - 2y = 8.............(1)
3x - 2y = 4.............(2)

(2) - (1)⇒
3x - 2y - (x - 2y) = 4 - 8
⇒ 3x - 2y - x + 2y = - 4
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

১,২৪৪.

শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

ক
ক) ৪০
খ
খ) ৪৮
গ
গ) ৫০
ঘ
ঘ) ৬০

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৬০

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৬০

ঘ

ব্যাখ্যা

ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)
প্রশ্নমতে,(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
৮ক^২+ ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
যেহেতু, ক ≠- ৬০
∴ ক = ৫০ জন।
অর্থাৎ, প্রথমে ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ৫০ জন।
বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন

১,২৪৫.

x + y = 8 ও x - y = 2 হলে, 2x + 3y এর মান কত?

ক
11
খ
21
গ
19
ঘ
17

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8 ও x - y = 2 হলে, 2x + 3y এর মান কত?

সমাধান:
x + y =8..................(1)
x - y = 2.................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 8 + 2
2x = 10
x = 5

(1) ⇒
x + y = 8
5 + y = 8
y = 8 - 5
y = 3

2x + 3y = 2 × 5 + 3 × 3 = 10 + 9 = 19

১,২৪৬.

একটি ক্রিকেট দলে যতজন খেলোয়াড় রান আউট হলো, তার দেড়গুণ খেলোয়াড় কট আউট হলো। মোট উইকেটের অর্ধেক খেলোয়াড় বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলেন?

ক
৪ জন
খ
৩ জন
গ
২ জন
ঘ
৫ জন

সঠিক উত্তর: খ

৩ জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৩ জন

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট দলে যতজন খেলোয়াড় রান আউট হলো, তার দেড়গুণ খেলোয়াড় কট আউট হলো। মোট উইকেটের অর্ধেক খেলোয়াড় বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলেন?

সমাধান:
রান আউটের সংখ্যা = x হলে, কট আউটের সংখ্যা = ৩x/২ জন।
যেহেতু মোট উইকেটের সংখ্যা ১০ টি এবং অর্ধেক খেলোয়াড় বোল্ড আউট হয়।

শর্তমতে,
⇒ x + (৩x/২) + ৫ = ১০
⇒ (২x + ৩x)/২ = ৫
⇒ ৫x = ১০
⇒ x = ১০/৫
∴ x = ২

∴ কট আউটের সংখ্যা = (৩ × ২)/২ = ৩ জন

১,২৪৭.

x + y = 6 হলে, xy এর বৃহত্তম মান-

ক
ক) 12
খ
খ) 36
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) - 12

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে, xy এর বৃহত্তম মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 6
তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ xy = 5
x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ xy = 8
x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ xy = 9
x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ xy = 8
x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ xy = 5
সুতরাং xy এর বৃহত্তম মান 9.

১,২৪৮.

(p + 1)(p - 2) = (p - 4)(p + 2) হলে, p এর মান কত?

ক
- 6
খ
- 5
গ
0
ঘ
1

সঠিক উত্তর: ক

- 6

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

- 6

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (p + 1)(p - 2) = (p - 4)(p + 2) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
(p + 1)(p - 2) = (p - 4)(p + 2)
বা, p² - 2p + p − 2 = p² + 2p - 4p - 8
বা, p² - p - 2 = p² - 2p - 8
বা, p² - p - 2 - p² + 2p + 8 = 0
বা, p + 6 = 0
বা, p = - 6

∴ নির্ণেয় মান - 6

১,২৪৯.

x + 2y = 7, 2x = 3y হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (2, 2)
খ
খ) (3, 2)
গ
গ) (- 1, 2)
ঘ
ঘ) (3, 4)

সঠিক উত্তর: খ

খ) (3, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) (3, 2)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 7, 2x = 3y হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
x + 2y = 7..............(1)
2x = 3y
2x - 3y = 0 ................(2)

(1) × 2 - (2) ⇒
2x + 4y - 2x + 3y = 14
7y = 14
y = 2

(1) ⇒
x + 2y = 7
x + 2 × 2 = 7
x + 4 = 7
x = 7 - 4
x = 3

(x, y) = (3, 2)

১,২৫০.

x² - {x² - (x² + 1)} = কত?

ক
ক) 3x² - 1
খ
খ) 2x² + 1
গ
গ) x² - 1
ঘ
ঘ) x² + 1

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x² + 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) x² + 1

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - {x² - (x² + 1)} = কত?

সমাধান:
x² - {x² - (x² + 1)}
= x² - {x² - x² - 1}
= x² - (-1)
= x²+1

১,২৫১.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্কটি একক স্থানীয় অঙ্ক থেকে 5 বড়। সংখ্যাটি থেকে অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 5 গুণ বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 61
খ
খ) 94
গ
গ) 72
ঘ
ঘ) 83

সঠিক উত্তর: গ

গ) 72

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 72

গ

ব্যাখ্যা

মনে করি,
একক স্থানীয় অঙ্ক খ এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক ক। সুতরাং সংখ্যাটি = 10ক + খ
প্রথম শর্তমর্তে,
ক - খ = 5
বা, ক = খ + 5
এবং দ্বিতীয় শর্তমর্তে, 10ক + খ - 5(ক+খ) = 10খ + ক
বা, 9ক - 9খ - 5ক - 5খ = 0
বা, 4ক - 14খ = 0
বা, 2ক - 7খ = 0
বা, 2(খ + 5) - 7খ = 0
বা, 2খ + 10 - 7খ = 0
বা, খ = 2
সুতরাং ক = খ + 5
= 2 + 5
= 7
সংখ্যাটি = 10ক + খ
=10 × 7 + 2
= 72

১,২৫২.

4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
- 2
গ
3
ঘ
- 3

সঠিক উত্তর: ঘ

- 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

- 3

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = - 12
বা, x = - 12/4
∴ x = - 3

১,২৫৩.

x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

ক
বাস্তব ও সমান
খ
বাস্তব মূল নাই
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
সঠিক উত্তর নেই

সঠিক উত্তর: খ

বাস্তব মূল নাই

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

বাস্তব মূল নাই

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
=(2)² - 4 · 1 · 5
= 4 - 20
= - 16 < 0
∴ বাস্তব মূল নাই।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
→ b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
→ b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
→ b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
→ b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

১,২৫৪.

(3/a) + 4/(a + 1) = 2 হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 1, 3
খ
খ) 3, - 1/2
গ
গ) 2, - 1
ঘ
ঘ) 3, - 2

সঠিক উত্তর: খ

খ) 3, - 1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 3, - 1/2

খ

ব্যাখ্যা

(3/a) + 4/(a + 1) = 2
{3(a + 1) + 4a} / a(a + 1) = 2
(3a + 3 + 4a) / a(a + 1) = 2
(7a + 3) / (a² + a) = 2
2a² + 2a = 7a + 3
2a² + 2a - 7a - 3 = 0
2a² - 5a - 3 = 0
2a² - 6a + a - 3 = 0
2a(a - 3) + 1(a - 3) = 0
(a - 3)(2a + 1) = 0

হয়
a - 3 = 0
a = 3

অথবা
2a + 1 = 0
a = - 1/2

১,২৫৫.

যদি হলে এর মান কত?

ক
ক) 2/7
খ
খ) 2/11
গ
গ) 2/16
ঘ
ঘ) 7/16

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 7/16

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 7/16

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি হলে এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/y = 7/2
⇒ 7y = 2
⇒ y = 2/7
⇒ y + 2 = (2/7) + 2
⇒ y + 2 = 16/7
∴ 1/(y + 2) = 7/16

১,২৫৬.

যদি x³ - hx + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

ক
- 9
খ
9
গ
- 2
ঘ
6

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x³ - hx + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

সমাধান:
x = 2 হলে 2 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
∴ 2³ - h × 2 + 10 = 0
8 - 2h + 10 = 0
- 2h = - 18
∴ h = 9

১,২৫৭.

গীতা, রিতা, মিতার একত্রে 180 টাকা আছে। রিতার চেয়ে গীতার 6 টাকা কম ও মিতার 12 টাকা বেশি আছে। গীতার কত টাকা আছে?

ক
ক) 48 টাকা
খ
খ) 52 টাকা
গ
গ) 60 টাকা
ঘ
ঘ) 58 টাকা

সঠিক উত্তর: খ

খ) 52 টাকা

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 52 টাকা

খ

ব্যাখ্যা

মনে করি, রিতার আছে x টাকা
গীতার আছে (x - 6) টাকা
মিতার অছে (x + 12) টাকা
প্রশ্নমতে, x + x - 6 + x + 12 = 180
বা, 3x = 180 - 6
বা, x = 174/3
বা, x= 58
∴ গীতার আছে (58 - 6) = 52 টাকা।

১,২৫৮.

একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

ক
90
খ
60
গ
80
ঘ
65

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

১,২৫৯.

3x + 2y - 4 = 0 এবং x - 5y + 8 = 0 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
(3/13, 15/21)
খ
(4/17, 28/17)
গ
(5/16, 11/29)
ঘ
(2/13, 12/23)

সঠিক উত্তর: খ

(4/17, 28/17)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(4/17, 28/17)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y - 4 = 0 এবং x - 5y + 8 = 0 হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2y - 4 = 0 .................. (1)
x - 5y + 8 = 0 .................. (2)
{(1) × 1} - (2) × 3 ⇒
3x + 2y - 4 - (3x - 15y + 24) = 0 - 0
⇒ 3x + 2y - 4 - 3x + 15y - 24 = 0
⇒ 17y - 28 = 0
⇒ 17y = 28
∴ y = 28/17

(1) নং এ y এর মান বসাই,
3x + 2y - 4 = 0
⇒ 3x + 2(28/17) - 4 = 0
⇒ 3x + 56/17 - 4 = 0
⇒ 3x = 4 - 56/17
⇒ 3x = (68 - 56)/17
⇒ 3x = 12/17
∴ x = 4/17
নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (4/17, 28/17)

১,২৬০.

একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
১০২
খ
১০৪
গ
১০৬
ঘ
১০৮

সঠিক উত্তর: ক

১০২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১০২

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেক তার এক-তৃতীয়াংশের চেয়ে ১৭ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(ক/২) - (ক/৩) = ১৭
বা, (৩ক - ২ক)/৬ = ১৭
বা, ক/৬ = ১৭
বা, ক = ১৭ × ৬
ক = ১০২

১,২৬১.

তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের যোগফল 50 হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

MCQ এর জন্য, x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 50 সমীকরণে x = 3 হলে, 50 হয়।
সুতরাং ছোট সংখ্যাটি 3

১,২৬২.

7(2x - 3) = 3(4x + 1) হলে, x এর মান কত?

ক
9
খ
11
গ
- 9
ঘ
12

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7(2x - 3) = 3(4x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
7(2x - 3) = 3(4x + 1)
⇒ 14x - 21 = 12x + 3
⇒ 14x - 12x = 3 + 21
⇒ 2x = 24
⇒ x = 24/2
∴ x = 12

১,২৬৩.

p³ - 1 এবং p² - 1 এর গ.সা.গু 2 হলে, p এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p³ - 1 এবং p² - 1 এর গ.সা.গু 2 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
p³ - 1 = (p - 1)(p² + p + 1)
p² - 1 = (p + 1)(p - 1)

p³ - 1 এবং p² - 1 এর গ. সা. গু p - 1

p - 1 = 2
⇒ p = 2 + 1
∴ p = 3

১,২৬৪.

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 552 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

ক
ক) 23 জন
খ
খ) 24 জন
গ
গ) 25 জন
ঘ
ঘ) 26 জন

সঠিক উত্তর: খ

খ) 24 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 24 জন

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 552 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি
ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা x জন।
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা হবে (x - 1) জন।

প্রশ্নমতে,
x(x - 1) = 552
বা, x² - x - 552 = 0
বা, x² - 24x + 23x - 552 = 0
বা, x(x - 24) + 23(x - 24) = 0
(x + 23)(x - 24) = 0

হয়
x + 23 = 0
x =- 23 [মানুষের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

অথবা
x - 24 = 0
x = 24

ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = 24 জন।

১,২৬৫.

(x/4) + (1/y) = 3 এবং (x/5) - (2/y) = 1 হলে (x, y) = কত?

ক
(2, 12)
খ
(10, 2)
গ
(12, 1)
ঘ
(8, 3)

সঠিক উত্তর: খ

(10, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(10, 2)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/4) + (1/y) = 3 এবং (x/5) - (2/y) = 1 হলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x/4) + (1/y) = 3 ........ (1)
(x/5) - (2/y) = 1 ........ (2)

(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 1 দ্বারা গুণ করি,
(1) × 2 ⇒ x/2 + 2/y = 6 ........ (3)
(2) × 1 ⇒ x/5 - 2/y = 1 ........ (4)

(3) ও (4) নং সমীকরণ যোগ করি,
(x/2 + x/5) = 6 + 1
⇒ (5x + 2x)/10 = 7
⇒ 7x/10 = 7
⇒ 7x = 70
∴ x = 10

এখন x-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(10/4) + (1/y) = 3
⇒ (5/2) + (1/y) = 3
⇒ 1/y = 3 - (5/2)
⇒ 1/y = (6 - 5)/2
⇒ 1/y = 1/2
∴ y = 2

∴ (x, y) = (10, 2)

১,২৬৬.

ক
x = 1 অথবা x = 1/2
খ
x = 2 অথবা x = 1/3
গ
x = 3 অথবা x = 5
ঘ
x = 1/2 অথবা x = 5

সঠিক উত্তর: খ

x = 2 অথবা x = 1/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

x = 2 অথবা x = 1/3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৬৭.

x + y = 8 হলে, নিচের কোনটি xy এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
11
খ
12
গ
14
ঘ
16

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 8 হলে, নিচের কোনটি xy এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 8
∴ x ও y এর সম্ভাব্য মান গুলো হলো = (7, 1), (6, 2), (5, 3), (4, 4)

∴ xy এর মান = 7, 12, 15, 16

∴ সর্বোচ্চ মান = 16

১,২৬৮.

নিচের কোন শর্তে ax + by + c = 0 ও px + qy + r = 0 সমীকরণ জোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর নির্ভরশীল হবে?

ক
ক) a/p ≠ b/q
খ
খ) a/p = b/q = c/r
গ
গ) a/q = b/p ≠ c/r
ঘ
ঘ) a/p = b/q

সঠিক উত্তর: খ

খ) a/p = b/q = c/r

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) a/p = b/q = c/r

খ

ব্যাখ্যা

যদি a/p = b/q = c/r হয়, তবে সমীকরণ জোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর নির্ভরশীল হবে। এক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান হবে।

১,২৬৯.

একটি বানর ১৫ মিটার উঁচু পিচ্ছিল বাঁশের মাথায় উঠতে প্রথম সেকেন্ডে ৩ মিটার উঠে এবং পরবর্তী সেকেন্ডে ১ মিটার নেমে আসে। বাঁশের মাথায় উঠতে বানরটির কত সময় লাগবে?

ক
১২ সেকেন্ড
খ
১৩ সেকেন্ড
গ
১৪ সেকেন্ড
ঘ
১৫ সেকেন্ড

সঠিক উত্তর: খ

১৩ সেকেন্ড

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

১৩ সেকেন্ড

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বানর ১৫ মিটার উঁচু পিচ্ছিল বাঁশের মাথায় উঠতে প্রথম সেকেন্ডে ৩ মিটার উঠে এবং পরবর্তী সেকেন্ডে ১ মিটার নেমে আসে। বাঁশের মাথায় উঠতে বানরটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম সেকেন্ডে উঠে ৩ মিটার
২য় সেকেন্ডে নামে ১ মিটার
∴ ২ মিটার উঠবে ২ সেকেন্ডে
২ সেকেন্ডে উঠবে ২ মিটার
৩ সেকেন্ডে উঠবে ২ + ৩ = ৫ মিটার

প্যাটার্ন অনুসারে,
১,৩,৫,৭,৯,১১, ১৩তম সেকেন্ডে অতিক্রম করবে যথাক্রমে ৩,৫,৭,৯,১১,১৩,১৫ মিটার
২,৪,৬,৮,১০, ১২তম সেকেন্ডে অতিক্রম করবে যথাক্রমে ২,৪,৬,৮,১০,১২ মিটার

১,২৭০.

(5x - y, 21) = (39, 3x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(9, 6)
খ
(3, 6)
গ
(- 5, 8)
ঘ
(8, 3)

সঠিক উত্তর: ক

(9, 6)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(9, 6)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x - y, 21) = (39, 3x - y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে পাই,
3x - y = 21 ........(1)
5x - y = 39 ........(2)

(2) নং সমীকরণ থেকে (1) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(5x - y - 3x + y) = 39 - 21
⇒ 2x = 18
⇒ x = 9

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(9) - y = 21
⇒ 27 - y = 21
⇒ y = 27 - 21
⇒ y = 6

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (9, 6)

১,২৭১.

y² = y√3 এ y এর মান হলো-

ক
ক) 0
খ
খ) √3
গ
গ) 0 এবং √3
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0 এবং √3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0 এবং √3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y² = y√3 এ y এর মান হলো-

সমাধান:
y² = y√3
y² - y√3 = 0
y(y - √3) = 0

হয়
y = 0

অথবা
y - √3 = 0
y = √3

১,২৭২.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 3 । অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
37
খ
25
গ
63
ঘ
73

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্ক দুইটির অন্তর 3 । অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 2 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y
একক স্থানীয় অঙ্ক = y + 3
∴ সংখ্যাটি = 10y + (y + 3) = 11y + 3

আবার,
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10(y + 3) + y
= 10y + 30 + y
= 11y + 30

প্রশ্নমতে,
2(11y + 3) + 2 = 11y + 30
বা, 22y + 6 + 2 = 11y + 30
বা, 22y - 11y = 30 - 8
বা, 11y = 22
বা, y = 22/11
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 11y + 3
= 11 × 2 + 3
= 22 + 3
= 25

১,২৭৩.

সমাধান করুনঃ ∛(1 + x) + ∛(1 - x) = ∛2

ক
ক) 0, 1
খ
খ) 1, 2
গ
গ) 1, -1
ঘ
ঘ) 1, -2

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1, -1

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1, -1

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্নঃ সমাধান করুনঃ ∛(1 + x) + ∛(1 - x) = ∛2

সমাধানঃ

∛(1 + x) + ∛(1 - x) = ∛2
⇒ {∛(1 + x)}³ + {∛(1 - x)}³ + 3.∛(1 + x).∛(1 - x).{∛(1 + x) + ∛(1 - x)} = 2 [ ঘন করে ]
⇒ 1 + x +1 - x + 3.(1 + x)^1/3.(1 - x)^1/3 {∛2} = 2 [ যেহেতু, ∛(1 + x) + ∛(1 - x) = ∛2]
⇒ 2 + 3.(1 + x)^1/3.(1 - x)^1/3. 2^1/3= 2
⇒ 3.(1 + x)^1/3.(1 - x)^1/3. 2^1/3= 0
⇒ (1 + x)^1/3.(1 - x)^1/3 = 0
⇒ (1 + x) (1 - x) = 0

∴ x = 1, -1

১,২৭৪.

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩/৪ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৮৪ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

ক
১২ ও ৩৬
খ
২৪ ও ৩৬
গ
৩৬ ও ২৮
ঘ
৪৮ ও ৩৬

সঠিক উত্তর: ঘ

৪৮ ও ৩৬

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৪৮ ও ৩৬

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ৩/৪ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৮৪ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ৩ক/৪

প্রশ্নমতে,
ক + (৩ক/৪) = ৮৪
⇒ (৪ক + ৩ক)/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক/৪ = ৮৪
⇒ ৭ক = ৮৪ × ৪
⇒ ৭ক = ৩৩৬
⇒ ক = ৩৩৬/৭
⇒ ক = ৪৮

∴ একটি সংখ্যা = ৪৮
অপর সংখ্যাটি = (৩ × ৪৮)/৪ = ৩৬

১,২৭৫.

কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
৬৩
খ
৩৬
গ
৩৫
ঘ
৫৩

সঠিক উত্তর: খ

৩৬

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৩৬

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সংখ্যাটি = ক
⇒ (ক/২) + ৬ = ২ক/৩
⇒ (২ক/৩) - (ক/২) = ৬
⇒ (৪ক - ৩ক)/৬ = ৬
⇒ ক/৬ = ৬
∴ ক = ৩৬

১,২৭৬.

a = 5c , a/b = c/d এবং d = 3 হলে b/3 = কত?

ক
√3
খ
5
গ
10
ঘ
8

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 5c , a/b = c/d এবং d = 3 হলে b/3 = কত?

সমাধান:
a/b = c/d
⇒ 5c/b = c/d [যেহেতু a = 5c]
⇒ 5cd = bc
⇒ b = 5d
⇒ b = 5 × 3
⇒ b = 15

∴ b/3 = 15/3 = 5

১,২৭৭.

যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তবে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 2
⇒ x = 2y
∴ y = x/2

এখন,
x + 2(x/2) = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

১,২৭৮.

একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার আট গুণের হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
7
খ
8
গ
9
ঘ
6

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার আট গুণের হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যা = x
পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যা = x + 1

প্রশ্নমতে
x² + x = 8(x + 1)
x² + x = 8x + 8
x² + x - 8x - 8 = 0
x² - 7x - 8 = 0
x² - 8x + x - 8 = 0
x(x - 8) + 1(x - 8) = 0
(x - 8)(x + 1) = 0
x = 8 [x = - 1 গ্রহণযোগ্য নয়]

স্বাভাবিক সংখ্যা = 8

১,২৭৯.

a²b = 16 এবং ab = 4 হলে b = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 4

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1

গ

ব্যাখ্যা

এখানে,
a²b = 16.....(1)
ab = 4.........(2)
(1) নং ÷ (2) নং থেকে পাই,
a²b/ab = 16/4
বা, a = 4
(2) নং থেকে পাই,
4.b = 4
∴ b = 1

১,২৮০.

এর সমাধান-

ক
2/5
খ
1
গ
11/13
ঘ
7/2

সঠিক উত্তর: ঘ

7/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

7/2

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর সমাধান-

সমাধান:

১,২৮১.

x - y = 4 এবং xy = 96 হলে, 1/y - 1/x = ?

ক
ক) 24
খ
খ) 1/4
গ
গ) 1/24
ঘ
ঘ) 4

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/24

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/24

গ

ব্যাখ্যা

1/y - 1/x
= (x - y)/xy
= 4/96
= 1/24

১,২৮২.

(x - 2/x)² = 10 হলে (x + 2/x) এর মান কত?

ক
ক) 3√2
খ
খ) 3√3
গ
গ) 2√2
ঘ
ঘ) 2√3

সঠিক উত্তর: ক

ক) 3√2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 3√2

ক

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
(x - 2/x)² = 10

এখন
(x + 2/x)² = (x - 2/x)² + 4. x. 2/x
(x + 2/x)² = 10 + 8
(x + 2/x)² = 18
(x + 2/x) = √18
(x + 2/x) =√(9 × 2)
= 3√2

১,২৮৩.

নিচের কোন ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

ক
b² - 4ac < 0
খ
b² - 4ac = পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়
গ
b² - 4ac = 0
ঘ
b² - 4ac > 0

সঠিক উত্তর: গ

b² - 4ac = 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

b² - 4ac = 0

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে?

সমাধান:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

১,২৮৪.

b/a = 1/3 এবং a + 2b = 10 হয় তাহলে a + b = ?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: b/a = 1/3 এবং a + 2b = 10 হয় তাহলে a + b = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b/a = 1/3
⇒ a = 3b . . . . . . (1)

আবার,
a + 2b = 10
⇒ 3b + 2b = 10
⇒ 5b = 10
∴ b = 2

(1) নং হতে পাই,
a = 3 × 2 = 6
∴ a + b = 2 + 6 = 8

১,২৮৫.

x³ + ax + 10 = 0 সমীকরণের একটি মূল 2 হলে a = ?

ক
ক) -9
খ
খ) -2
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: ক

ক) -9

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) -9

ক

ব্যাখ্যা

x³ + ax + 10 = 0 এর একটি মূল 2
∴ 2³ + a.2 + 10 = 0
বা, 2a + 18 = 0
∴ a = -9

১,২৮৬.

একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৪ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

ক
২৪
খ
২৬
গ
২৮
ঘ
৩২

সঠিক উত্তর: গ

২৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

২৮

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৪ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে।
তাহলে ব্যবহৃত বেঞ্চ = (ক - ৪)
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৫(ক - ৪)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে।
তাহলে বেঞ্চে বসতে পারে = ৪ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৪ক + ৮

প্রশ্নমতে,
৫(ক - ৪) = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ২০ = ৪ক + ৮
⇒ ক = ২৮

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ২৮ টি

১,২৮৭.

2x + y = 10 এবং 3x - y = 5 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
(3, 4)
খ
(5, 2)
গ
(2, 5)
ঘ
(3, 5)

সঠিক উত্তর: ক

(3, 4)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(3, 4)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + y = 10 এবং 3x - y = 5 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
2x + y = 10 ........(1)
3x - y = 5 ........(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 10 + 5
⇒ 5x = 15
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 × 3 + y = 10
6 + y = 10
⇒ y = 4

অতএব, সমাধান: (x, y) = (3, 4)

১,২৮৮.

কোন সংখ্যার অর্ধেক এবং এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৮?

ক
৪৮
খ
৪২
গ
২৪
ঘ
৩২

সঠিক উত্তর: ঘ

৩২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৩২

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার অর্ধেক এবং এক-চতুর্থাংশের পার্থক্য ৮?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/২) - (ক/৪) = ৮
⇒ (২ক - ক)/৪ = ৮
⇒ ক/৪ = ৮
∴ ক = ৩২

১,২৮৯.

(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

ক
5/3
খ
7/3
গ
11/7
ঘ
4/9

সঠিক উত্তর: খ

7/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

7/3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x² - 4x + 3x - 12 = x² + x - 5x - 5
বা, x² - x - 12 = x² - 4x - 5
বা, x² - x - 12 - x² + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3

১,২৯০.

2x + 3y = 1 এবং 5x -2y + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
ক) (-1, 1)
খ
খ) (1, 1)
গ
গ) ( -1, -1)
ঘ
ঘ) (3, 4)

সঠিক উত্তর: ক

ক) (-1, 1)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) (-1, 1)

ক

ব্যাখ্যা

2x + 3y = 1 .............(1)
5x - 2y = -7 .............(2)

(1)×5 এবং (2)×2 করে বিয়োগ করে পাই,
10x +15y = 5
10x -4y = -14
_________________
19y = 19
y =1

y এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x +3.1 =1
x = -1
∴(x, y) = (-1, 1)

১,২৯১.

x, y এবং z এর মধ্যে ১৪০০ টাকা এমনভাবে ভাগ করা হলো যেন x পেল y এর দ্বিগুণ এবং y পেল z এর দ্বিগুণ। তাহলে y কত টাকা পেল?

ক
৮০০
খ
৬০০
গ
৪০০
ঘ
২০০

সঠিক উত্তর: গ

৪০০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪০০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x, y এবং z এর মধ্যে ১৪০০ টাকা এমনভাবে ভাগ করা হলো যেন x পেল y এর দ্বিগুণ এবং y পেল z এর দ্বিগুণ। তাহলে y কত টাকা পেল?

সমাধান:
z পেল = a টাকা
y পেল = 2a টাকা
x পেল = 4a টাকা

প্রশ্নমতে
a +2a +4a = 1400
⇒ 7a = 1400
⇒ a = 1400/7
∴ a = 200

y পেল = 2 × 200 টাকা
= 400 টাকা

১,২৯২.

কোন সংখ্যার এক পঞ্চমাংশের সহিত ৩০ যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলে ৬৫ হয়?

ক
ক) ৫৫০
খ
খ) ৩২০
গ
গ) ৪০০
ঘ
ঘ) ৫০০

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৫০০

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৫০০

ঘ

১,২৯৩.

6/x = √2 হলে x/√3 = ?

ক
ক) √2
খ
খ) √3
গ
গ) √6
ঘ
ঘ) √5

সঠিক উত্তর: গ

গ) √6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) √6

গ

ব্যাখ্যা

6/x = √2
বা, 6/√2 = x
x = 6/√2
x/√3 = 6/√2√3
= 6/√6
= (√6)²/√6
= √6

১,২৯৪.

কোনটি সঠিক?

ক
ক) ৩^৩ + ১ = ১০
খ
খ) ৩^৩ + ১ = ২৮
গ
গ) ৩^৩ + ১ = ৩১
ঘ
ঘ) ৩^৩ + ১ = ২৬

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৩^৩ + ১ = ২৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) ৩^৩ + ১ = ২৮

খ

ব্যাখ্যা

৩^৩ + ১ = ২৭ + ১ = ২৮

১,২৯৫.

3x + 2y - 18 = 0 এবং x - y - 1 = 0 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(4, 3)
খ
(3, 2)
গ
(4, 4)
ঘ
(5, 3)

সঠিক উত্তর: ক

(4, 3)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(4, 3)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2y - 18 = 0 এবং x - y - 1 = 0 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y - 18 = 0 ......... (1)
x - y - 1 = 0
⇒ y = x - 1 .............. (2)

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
3x + 2(x - 1) - 18 = 0
⇒ 3x + 2x - 2 - 18 = 0
⇒ 5x - 20 = 0
⇒ 5x = 20
⇒ x = 4

x এর মান (2) নং এ বসাই,
y = 4 - 1
⇒ y = 3

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x, y) = (4, 3)

১,২৯৬.

x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 8

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, y এর মান কত?

সমাধান :

দেওয়া আছে,
x - y = 2 ............. (1)
xy = 24

এখানে
(x + y)² = (x - y)²+ 4xy
(x + y)² = (2)² + 4 × 24
(x + y)² = 4 + 96
(x + y)² =100
(x + y)² =10²
x + y = 10..................(2)

(1)নং + (2)নং যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 2 + 10
2x = 12
x = 6

(2)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

x + y = 10

বা, y = 10 - 6 = 4

১,২৯৭.

একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

ক
৪৭০
খ
৪৯০
গ
৫০০
ঘ
৫২০

সঠিক উত্তর: গ

৫০০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৫০০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২০ থেকে যত বড়, ৫৮০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২০ = ৫৮০ - ক
⇒ ক + ক = ৫৮০ + ৪২০
⇒ ২ক = ১০০০
⇒ ক = ১০০০/২
∴ ক = ৫০০

১,২৯৮.

3x + 2y = 13, 3x - y = 7 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (1, 2)
খ
খ) (2, 2)
গ
গ) (3, 3)
ঘ
ঘ) (3, 2)

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3, 2)

ঘ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3x + 2y = 13............. (1)
3x - y = 7...........(2)

(1)নং - (2)নং ⇒
3x + 2y - (3x - y) = 13 - 7
3x + 2y - 3x + y = 6
3y = 6
y = 2

y এর মান (2)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x - y = 7
3x - 2 = 7
3x = 7 + 2
3x = 9
x = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x , y) = (3, 2)

১,২৯৯.

একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
৬৫ জন
খ
৫০ জন
গ
৪৫ জন
ঘ
৫৫ জন

সঠিক উত্তর: ঘ

৫৫ জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৫৫ জন

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ৫ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চ ৩ জন করে বসলে ৭ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান :
ধরি,
ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা = ক জন।

১ম ক্ষেত্রে,
৫ জন বসে ১ টি বেঞ্চে
ক জন বসে = ক/৫ টি বেঞ্চে
১ম ক্ষেত্রে মোট বেঞ্চ সংখ্যা = ( ক/৫ + ৫) টি

২য় ক্ষেত্রে,
৩ জন বসে ১ টি বেঞ্চে
( ক - ৭) জন বসে = ( ক - ৭) /৩ টি বেঞ্চে

তাহলে,
ক/৫ + ৫ = ( ক - ৭) /৩
বা, ( ক + ২৫)/৫ = ( ক - ৭)/৩
বা, ৩ক + ৭৫ = ৫ক - ৩৫
বা, ২ক = ১১০
ক = ৫৫

অর্থাৎ, মোট ছাত্রসংখ্যা ৫৫ জন

উত্তর : ৫৫ জন

১,৩০০.

ক
16/5
খ
16
গ
5/3
ঘ
20

সঠিক উত্তর: ক

16/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

16/5

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান: