৬০১.
2x + y = 12, 4x + 2y = 5 সমীকরণ জোটটির কতটি সমাধান রয়েছে?
ব্যাখ্যা
১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4x + 2y = 24
২য় সমীকরণটি,
4x + 2y = 5
বিয়োগ করে পাই,
0 = 19, যা অসম্ভব।
কাজেই এরূপ সমীকরণ জোটের কোন সমাধান নেই।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ
সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ
PrepBank · পাতা ৭ / ২৯ · ৬০১–৭০০ / ২,৮৯২
৬০২.
একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 17 টাকা কম, উক্ত কলম এবং বই ক্রয় করতে 103 টাকা প্রয়োজন। বইয়ের মূল্য কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, বইয়ের মূল্য x টাকা। তাহলে কলমের মূল্য x-17 টাকা।
প্রশ্নমতে,
x + x - 17 = 103
⇒ 2x = 120
∴ x = 60
৬০৩.
একজন শিক্ষক প্রতিদিন ক্লাস নিলে ৮০০ টাকা পান। যদি কোনো দিন অনুপস্থিত থাকেন তবে সেই দিনের জন্য ২০০ টাকা করে মোট বেতন থেকে কেটে নেওয়া হয়। ২০২৫ সালের আগস্ট মাসে তিনি মোট ২০,৮০০ টাকা বেতন পেলেন। তিনি কতদিন ক্লাস নিয়েছিলেন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শিক্ষক প্রতিদিন ক্লাস নিলে ৮০০ টাকা পান। যদি কোনো দিন অনুপস্থিত থাকেন তবে সেই দিনের জন্য ২০০ টাকা করে মোট বেতন থেকে কেটে নেওয়া হয়। ২০২৫ সালের আগস্ট মাসে তিনি মোট ২০,৮০০ টাকা বেতন পেলেন। তিনি কতদিন ক্লাস নিয়েছিলেন?
সমাধান:
মনে করি,
উপস্থিত ছিলেন = ক দিন
অনুপস্থিত ছিলেন = (৩১ - ক) দিন [আগস্ট মাস = ৩১ দিন]
প্রশ্নমতে,
৮০০ক - ২০০(৩১ - ক) = ২০৮০০
⇒ ৮০০ক - ৬২০০ + ২০০ক = ২০৮০০
⇒ ১০০০ক = ২০৮০০ + ৬২০০
⇒ ১০০০ক = ২৭০০০
⇒ ক = ২৭০০০/১০০০
⇒ ক = ২৭
অর্থাৎ তিনি ঐ মাসে ২৭ দিন উপস্থিত ছিলেন।
৬০৪.
x + 2y = 9 এবং 2x - y = 3 হলে, (x, y) =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 2y = 9 এবং 2x - y = 3 হলে, (x, y) =?
সমাধান:
x + 2y = 9 ……..……..(1)
2x - y = 3 ………….(2)
সমীকরণ (2) হতে পাই,
y = 2x - 3 …………(3)
সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
x + 2(2x - 3) = 9
বা, x + 4x - 6 = 9
বা, 5x = 6 + 9
বা, 5x = 15
বা, x = 15/5
∴ x = 3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2× 3 - 3
= 6 - 3
= 3
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 3)
সমাধান:
x + 2y = 9 ……..……..(1)
2x - y = 3 ………….(2)
সমীকরণ (2) হতে পাই,
y = 2x - 3 …………(3)
সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
x + 2(2x - 3) = 9
বা, x + 4x - 6 = 9
বা, 5x = 6 + 9
বা, 5x = 15
বা, x = 15/5
∴ x = 3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2× 3 - 3
= 6 - 3
= 3
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 3)
৬০৫.
x < 0 এবং 14x + x2 = 0 হলে x = ?
ব্যাখ্যা
14x + x2 = 0
বা, x2 = -14x
∴ x = -14
৬০৬.
একটি আয়তকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের প্রস্থ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের প্রস্থ কত?
সমাধান:
ধরি,
মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার, প্রস্থ y মিটার
xy = 192
⇒ x = 192/y
(x - 4) (y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4x - 4y = 16
⇒ x - y = 4
⇒ (192/y) - y = 4
⇒ (192 - y2)/y = 4
⇒ y2 + 4y - 192 = 0
⇒ y2 + 16y - 12y - 192 = 0
⇒ y (y + 16) - 12 (y + 16) = 0
⇒ (y + 16) (y - 12) = 0
∴ y = -16 ; প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।
y = 12
অতএব, প্রস্থ 12 মিটার
সমাধান:
ধরি,
মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার, প্রস্থ y মিটার
xy = 192
⇒ x = 192/y
(x - 4) (y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4x - 4y = 16
⇒ x - y = 4
⇒ (192/y) - y = 4
⇒ (192 - y2)/y = 4
⇒ y2 + 4y - 192 = 0
⇒ y2 + 16y - 12y - 192 = 0
⇒ y (y + 16) - 12 (y + 16) = 0
⇒ (y + 16) (y - 12) = 0
∴ y = -16 ; প্রস্থ ঋণাত্মক হতে পারে না।
y = 12
অতএব, প্রস্থ 12 মিটার
৬০৭.
x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
সমাধান:
x2 - 8x - 16 = 0
বা, x2 - 4x - 4x + 16 = 0
বা, x(x - 4) - 4(x - 4) = 0
বা, (x - 4) (x - 4) = 0
হয়, x - 4 = 0 বা, x = 4
অথবা, x - 4 = 0 বা, x = 4
∴ x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল 2 টি (একই)।
[দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।]
সমাধান:
x2 - 8x - 16 = 0
বা, x2 - 4x - 4x + 16 = 0
বা, x(x - 4) - 4(x - 4) = 0
বা, (x - 4) (x - 4) = 0
হয়, x - 4 = 0 বা, x = 4
অথবা, x - 4 = 0 বা, x = 4
∴ x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল 2 টি (একই)।
[দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।]
৬০৮.
দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর 36 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর 36 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?
সমাধান:
ধরি,
প্রথম জোড় সংখ্যা = x
∴ পরবর্তী জোড় সংখ্যা = x + 2
প্রশ্নমতে,
(x + 2)2 − x2 = 36
⇒ x2 + 4x + 4 − x2 = 36
⇒ 4x + 4 = 36
⇒ 4x = 32
⇒ x = 8
∴ সংখ্যাদ্বয় = 8 এবং 10
৬০৯.
x2+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয়,তবে p এর মান কত হবে?
ব্যাখ্যা
যেহেতু x2+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে x = 5 বসালে x2+7x+p = 0 হবে।
এখন,
52 + 7 X 5 + p = 0
⇒ 25 + 35 + p = 0
∴ p = -60
৬১০.
2a = 3b এবং 3a - 2b = 5 হলে (a, b) হবে-
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে,
2a = 3b
a = 3b/2 ............ (1)
3(3b/2) - by = 5
9b/2 - 2b= 5
(9b - 4b)/2 = 5
5b/ 2 = 5
b/2 = 1
b = 2
b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a = 3 × 2/2
a = 3
2a = 3b
a = 3b/2 ............ (1)
3(3b/2) - by = 5
9b/2 - 2b= 5
(9b - 4b)/2 = 5
5b/ 2 = 5
b/2 = 1
b = 2
b এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
a = 3 × 2/2
a = 3
৬১১.
3/5 এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3/5 এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 4/5 হয়?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5
∴ সংখ্যাটি = 5
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5
∴ সংখ্যাটি = 5
৬১২.
3x – 7y + 10 = 0 এবং y – 2x – 3 = 0; সমীকরণ দুটির সমাধান (x,y) -
ব্যাখ্যা
3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)
৬১৩.
কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে, ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব x
প্রকৃত ভগ্নাংশের হর y
ভগ্নাংশটি = x/y
শর্তমতে,
x + y = 14 ........ (1)
y - x = 8 ..............(2)
(1)নং + (2)নং ⇒
x + y + y - x = 14 + 8
2y = 22
y = 11`
(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + 11 = 14
x = 14 - 11
x = 3
ভগ্নাংশটি = 3/11
প্রকৃত ভগ্নাংশের লব x
প্রকৃত ভগ্নাংশের হর y
ভগ্নাংশটি = x/y
শর্তমতে,
x + y = 14 ........ (1)
y - x = 8 ..............(2)
(1)নং + (2)নং ⇒
x + y + y - x = 14 + 8
2y = 22
y = 11`
(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + 11 = 14
x = 14 - 11
x = 3
ভগ্নাংশটি = 3/11
৬১৪.
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 57 হয়, তবে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 57 হয়, তবে বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
⇒ (x + 1)2 - x2 = 57
⇒ x2 + 2x + 1 - x2 = 57
⇒ 2x = 57 - 1
⇒ 2x = 56
⇒ x = 56/2
∴ x = 28
∴ বড় সংখ্যাটি = x + 1
= 28 + 1 = 29
সমাধান:
ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি x ও (x + 1)
প্রশ্নমতে,
⇒ (x + 1)2 - x2 = 57
⇒ x2 + 2x + 1 - x2 = 57
⇒ 2x = 57 - 1
⇒ 2x = 56
⇒ x = 56/2
∴ x = 28
∴ বড় সংখ্যাটি = x + 1
= 28 + 1 = 29
৬১৫.
যদি 7x + y = 24 এবং 5x = y হয়, তাহলে y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 7x + y = 24 এবং 5x = y হয়, তাহলে y = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
7x + y = 24 ...... (1)
এবং 5x = y ....... (2)
এখন,
y এর মান (1) নং বসাই,
7x + 5y = 24
⇒ 12x = 24
⇒ x = 24/12
∴ x = 2
x এর মান 2 নং এ বসিয়ে পাই,
y = 5 × 2 = 10
সমাধান:
দেওয়া আছে,
7x + y = 24 ...... (1)
এবং 5x = y ....... (2)
এখন,
y এর মান (1) নং বসাই,
7x + 5y = 24
⇒ 12x = 24
⇒ x = 24/12
∴ x = 2
x এর মান 2 নং এ বসিয়ে পাই,
y = 5 × 2 = 10
৬১৬.
যদি x + 5y = 45 এবং y = x/4 হয়, তাহলে x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 5y = 45 এবং y = x/4 হয়, তাহলে x = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 5y = 45 ...... (1)
এবং
y = x/4
⇒ x = 4y ....... (2)
এখন,
x এর মান (1) নং এ বসাই,
4y + 5y = 45
বা, 9y = 45
∴ y = 5
আবার,
y এর মান (2) নং এ বসাই,
⇒ x = 4y = 4 × 5 = 20
∴ x = 20
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 5y = 45 ...... (1)
এবং
y = x/4
⇒ x = 4y ....... (2)
এখন,
x এর মান (1) নং এ বসাই,
4y + 5y = 45
বা, 9y = 45
∴ y = 5
আবার,
y এর মান (2) নং এ বসাই,
⇒ x = 4y = 4 × 5 = 20
∴ x = 20
৬১৭.
3x + 2y = 7 এবং 2x = y হলে, y = কত?
ব্যাখ্যা
3x + 2y = 7
বা, 3x + 2.2x = 7
বা, 7x = 7
∴ x = 1
∴ y = 2x = 2.1
∴ y = 2
৬১৮.
(x + 6)2 = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 6)2 = x2 + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?
সমাধান:
(x + 6)2 = x2 + bx + c
⇒ x2 + 2.x.6 + 62 = x2 + bx + c
⇒ x2 + 12x + 36 = x2 + bx + c
∴ x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,
b = 12
c = 36
সমাধান:
(x + 6)2 = x2 + bx + c
⇒ x2 + 2.x.6 + 62 = x2 + bx + c
⇒ x2 + 12x + 36 = x2 + bx + c
∴ x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,
b = 12
c = 36
৬১৯.
ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের মোট পায়ের সংখ্যা ২০০। কয়টি ময়ূর আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ময়ূর ও হরিণ একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২০০টি। তা হলে কতটি ময়ুর আছে?
সমাধান:
ধরি
ময়ূর আছে ক টি
হরিণ আছে = (৮০ - ক)টি
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২০০
বা, ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২০০
বা, ৩২০ - ২ক = ২০০
বা, - ২ক = ২০০ - ৩২০
বা, - ২ক = - ১২০
∴ ক = ৬০
∴ ময়ূর আছে ৬০ টি।
সমাধান:
ধরি
ময়ূর আছে ক টি
হরিণ আছে = (৮০ - ক)টি
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২০০
বা, ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২০০
বা, ৩২০ - ২ক = ২০০
বা, - ২ক = ২০০ - ৩২০
বা, - ২ক = - ১২০
∴ ক = ৬০
∴ ময়ূর আছে ৬০ টি।
৬২০.
শাহিক 240 টাকায় কতগুলো কলম কিনল। সে যদি ঐ টাকায় একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের দাম গড়ে 1 টাকা কম পড়তো। সে কতগুলো কলম কিনল?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
শাহিক 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
অতএব, প্রতিটি কলমের দাম 240/y টাকা
সে যদি 240 টাকায় (y + 1) টি কলম পেতো তবে প্রতিটি কলমের দাম পড়তো 240/(y + 1) টাকা
প্রশ্নানুসারে,
240/y - 240/(y + 1) = 1
⇒ (240y + 240 - 240y)/y(y + 1) = 1
⇒ y² + y = 240
⇒ y² + 16y - 15y - 240 = 0
⇒ y(y + 16)-15(y + 16) = 0
⇒ (y + 16)(y - 15) = 0
⇒ y = 15, y + 16 ≠ 0
∴ সে 15 টি কলম কিনেছিল।
শাহিক 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
অতএব, প্রতিটি কলমের দাম 240/y টাকা
সে যদি 240 টাকায় (y + 1) টি কলম পেতো তবে প্রতিটি কলমের দাম পড়তো 240/(y + 1) টাকা
প্রশ্নানুসারে,
240/y - 240/(y + 1) = 1
⇒ (240y + 240 - 240y)/y(y + 1) = 1
⇒ y² + y = 240
⇒ y² + 16y - 15y - 240 = 0
⇒ y(y + 16)-15(y + 16) = 0
⇒ (y + 16)(y - 15) = 0
⇒ y = 15, y + 16 ≠ 0
∴ সে 15 টি কলম কিনেছিল।
৬২১.
(3x - 7y, y - 2x) = (- 10, 3) হলে y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x - 7y, y - 2x) = (- 10, 3) হলে y এর মান কত?
সমাধান:
3x - 7y = - 10 ...... (1)
y - 2x = 3 ...... (2)
(1) নং + (2) নং × 7 ⇒
3x - 7y + 7y - 14x = - 10 + 21
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1
(1) নং থেকে ⇒
y - 2 ⋅ (-1) = 3
⇒ y = 3 - 2
∴ y = 1
সমাধান:
3x - 7y = - 10 ...... (1)
y - 2x = 3 ...... (2)
(1) নং + (2) নং × 7 ⇒
3x - 7y + 7y - 14x = - 10 + 21
⇒ - 11x = 11
∴ x = - 1
(1) নং থেকে ⇒
y - 2 ⋅ (-1) = 3
⇒ y = 3 - 2
∴ y = 1
৬২২.
যদি (x2 + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (x2 + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?
সমাধান:
(x2 + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0
⇒ x2 + 6x + 9 + 6x + 18 + 9 = 0
⇒ x2 + 12x + 36 = 0
⇒ x2 + 2.x.6 + 62 = 0
⇒ (x + 6)2 = 0
⇒ x + 6 = 0
∴ x = - 6
সমাধান:
(x2 + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0
⇒ x2 + 6x + 9 + 6x + 18 + 9 = 0
⇒ x2 + 12x + 36 = 0
⇒ x2 + 2.x.6 + 62 = 0
⇒ (x + 6)2 = 0
⇒ x + 6 = 0
∴ x = - 6
৬২৩.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি -
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x2 - (- 3 + 9)x + (- 3 × 9) = 0
⇒ x2 - 6x - 27 = 0
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 3 ও 9 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x2 - (- 3 + 9)x + (- 3 × 9) = 0
⇒ x2 - 6x - 27 = 0
৬২৪.
দুটি সংখ্যার অর্ধেকের যোগফল ৪০। তাদের পার্থক্যের এক তৃতীয়াংশ সমান ২৪। ছোট সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি
বড় সংখ্যাটি x এবং
ছোট সংখ্যাটি y
১ম শর্তমতে,
(x/2) + (y/2) = 40
(x + y)/2 = 40
x + y = 80 ............... (1)
২য় শর্তমতে
(x - y)/3 = 24
x - y = 72 ..............(2)
(1) নং - (2)নং =>
x + y - x + y = 80 - 72
2y = 8
y = 4
বড় সংখ্যাটি x এবং
ছোট সংখ্যাটি y
১ম শর্তমতে,
(x/2) + (y/2) = 40
(x + y)/2 = 40
x + y = 80 ............... (1)
২য় শর্তমতে
(x - y)/3 = 24
x - y = 72 ..............(2)
(1) নং - (2)নং =>
x + y - x + y = 80 - 72
2y = 8
y = 4
৬২৫.
x2 - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে c এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে c এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2
অর্থাৎ, x = 2
এখন,
x2 - 5x + c = 0
⇒ (2)2 - 5 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 10 + c = 0
⇒ - 6 + c = 0
∴ c = 6
সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2
অর্থাৎ, x = 2
এখন,
x2 - 5x + c = 0
⇒ (2)2 - 5 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 10 + c = 0
⇒ - 6 + c = 0
∴ c = 6
৬২৬.
রাকিব 240 টাকায় একই রকম কতগুলো কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পরতো। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রাকিব 240 টাকায় একই রকম কতগুলো কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পরতো। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?
সমাধান:
ধরি,
রাকিব কলম কিনেছিল x টি
প্রতিটি কলমের মূল্য= 240/x টাকা
1 কলম বেশি পেলে কলমের সংখ্যা হত = x + 1 টি
তখন প্রতিটি কলমের মূল্য হত = 240/(x + 1)
শর্তানুসারে,
240/x - 240/(x + 1) = 1
⇒ 240x + 240 - 240x = x2 + x
⇒ x2 + x - 240 = 0
সমাধান করে পাই,
x= - 16,15
কিন্তু, x= - 16 গ্রহণযোগ্য নয়
x = 15
সমাধান:
ধরি,
রাকিব কলম কিনেছিল x টি
প্রতিটি কলমের মূল্য= 240/x টাকা
1 কলম বেশি পেলে কলমের সংখ্যা হত = x + 1 টি
তখন প্রতিটি কলমের মূল্য হত = 240/(x + 1)
শর্তানুসারে,
240/x - 240/(x + 1) = 1
⇒ 240x + 240 - 240x = x2 + x
⇒ x2 + x - 240 = 0
সমাধান করে পাই,
x= - 16,15
কিন্তু, x= - 16 গ্রহণযোগ্য নয়
x = 15
৬২৭.
x/2 + y/3 = 1, x/3 + y/2 = 1 এর সমাধান কোনটি?
ব্যাখ্যা
x/2 + y/3 = 1 ⇒ x/6 + y/9 = 1/3
x/3 + y/2 = 1 ⇒ x/6 + y/4 = 1/2
y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3
⇒ 5y/36 = 1/6
∴ y = 6/5
এখন, x/2 + (6/5)/3 = 1
⇒ x/2 =1 - 2/5 = 3/5
∴ x = 6/5
x/3 + y/2 = 1 ⇒ x/6 + y/4 = 1/2
y/4 - y/9 = 1/2 - 1/3
⇒ 5y/36 = 1/6
∴ y = 6/5
এখন, x/2 + (6/5)/3 = 1
⇒ x/2 =1 - 2/5 = 3/5
∴ x = 6/5
৬২৮.
x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে, y-এর মান কত?
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 8
৬২৯.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি, লব ক
হর ক + ৪
প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৪ + ২) = ১/৩
⇒ (ক - ২)/(ক + ৬) = ১/৩
⇒ ৩(ক - ২) = ক + ৬
⇒ ৩ক - ৬ = ক + ৬
⇒ ২ক = ১২
∴ ক = ৬
লব ৬
হর = ৬ + ৪
= ১০
ভগ্নাংশটি ৬/১০
সমাধান:
ধরি, লব ক
হর ক + ৪
প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৪ + ২) = ১/৩
⇒ (ক - ২)/(ক + ৬) = ১/৩
⇒ ৩(ক - ২) = ক + ৬
⇒ ৩ক - ৬ = ক + ৬
⇒ ২ক = ১২
∴ ক = ৬
লব ৬
হর = ৬ + ৪
= ১০
ভগ্নাংশটি ৬/১০
৬৩০.
a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে b = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a = 2c, a/b = c/d এবং d = 3 হলে b = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, 2c/b = c/3 [a = 2c এবং d = 3 বসিয়ে]
বা, bc = 6c
বা, b = 6c/c
∴ b = 6
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a/b = c/d
বা, 2c/b = c/3 [a = 2c এবং d = 3 বসিয়ে]
বা, bc = 6c
বা, b = 6c/c
∴ b = 6
৬৩১.
রহিম একটি পরীক্ষায় ইংরেজি ও গণিতে ১৮০ নম্বর পেয়েছে। ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১৪ নম্বর বেশি পেলে গণিতে কত পেয়েছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রহিম একটি পরীক্ষায় ইংরেজি ও গণিতে ১৮০ নম্বর পেয়েছে। ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১৪ নম্বর বেশি পেলে গণিতে কত পেয়েছে?
সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে নম্বর পায় ক নম্বর
গণিতে নম্বর পায় ক + ১৪ নম্বর
শর্তমতে,
ক + ক + ১৪ = ১৮০
বা, ২ক = ১৮০ - ১৪
বা, ২ক = ১৬৬
বা, ক = ১৬৬/২
∴ ক = ৮৩
∴ গণিতে নম্বর পায় ৮৩ + ১৪ নম্বর
= ৯৭ নম্বর
সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে নম্বর পায় ক নম্বর
গণিতে নম্বর পায় ক + ১৪ নম্বর
শর্তমতে,
ক + ক + ১৪ = ১৮০
বা, ২ক = ১৮০ - ১৪
বা, ২ক = ১৬৬
বা, ক = ১৬৬/২
∴ ক = ৮৩
∴ গণিতে নম্বর পায় ৮৩ + ১৪ নম্বর
= ৯৭ নম্বর
৬৩২.
x - 7√x + 10 = 0 হলে x এর মান হবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x - 7√x + 10 = 0 হলে x এর মান হবে-
সমাধান:
x - 7√x + 10 = 0
(√x)2 - 7√x + 10 = 0
(√x)2 - 5√x - 2√x + 10 = 0
√x(√x - 5) - 2(√x - 5) = 0
(√x - 5)(√x - 2) = 0
হয়
√x - 5 = 0
√x = 5
(√x)2 = 52
x = 25
অথবা
√x - 2 = 0
√x = 2
(√x)2 = 22
x = 4
সমাধান:
x - 7√x + 10 = 0
(√x)2 - 7√x + 10 = 0
(√x)2 - 5√x - 2√x + 10 = 0
√x(√x - 5) - 2(√x - 5) = 0
(√x - 5)(√x - 2) = 0
হয়
√x - 5 = 0
√x = 5
(√x)2 = 52
x = 25
অথবা
√x - 2 = 0
√x = 2
(√x)2 = 22
x = 4
৬৩৩.
a + 2b = 9 এবং 2a - b = 3 হলে, (a, b) = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + 2b = 9 এবং 2a - b = 3 হলে, (a, b) = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 2b = 9 ......... (1)
2a - b = 3 ......... (2)
{(1) নং × 2} - (2) নং ⇒
2a + 4b - 2a + b = 18 - 3
⇒ 5b = 15
∴ b = 3
b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + (2 × 3) = 9
⇒ a = 9 - 6
∴ a = 3
∴ (a, b) = (3, 3)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 2b = 9 ......... (1)
2a - b = 3 ......... (2)
{(1) নং × 2} - (2) নং ⇒
2a + 4b - 2a + b = 18 - 3
⇒ 5b = 15
∴ b = 3
b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + (2 × 3) = 9
⇒ a = 9 - 6
∴ a = 3
∴ (a, b) = (3, 3)
৬৩৪.
x + y = 9 এবং x/y=2 হলে , x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
এখানে, x + y = 9……. (i)
এবং x/y = 2 বা, x = 2y..(ii) হলে x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 2y+y = 9
বা, 3y = 9
বা, y = 3
সুতরাং, x = 6
৬৩৫.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অংক অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 3 গুণ অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অংক অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির 3 গুণ অপেক্ষা 5 বেশি। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনেকরি,
দশকের অঙ্ক = x
এককের অংক = x + 5
সংখ্যাটি = 10x + x + 5
= 11x + 3
প্রশ্নমতে,
11x + 5 = 3(x + x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 3(2x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 6x + 15 + 5
বা, 11x - 6x = 20 - 5
বা, 5x = 15
∴ x = 3
অতএব,
সংখ্যাটি = 11 × 3 + 5 = 38
সমাধান:
মনেকরি,
দশকের অঙ্ক = x
এককের অংক = x + 5
সংখ্যাটি = 10x + x + 5
= 11x + 3
প্রশ্নমতে,
11x + 5 = 3(x + x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 3(2x + 5) + 5
বা, 11x + 5 = 6x + 15 + 5
বা, 11x - 6x = 20 - 5
বা, 5x = 15
∴ x = 3
অতএব,
সংখ্যাটি = 11 × 3 + 5 = 38
৬৩৬.
‘ক’ শহরের জনসংখ্যা ৬৮,০০০ জন এবং প্রতি বছরে এর জনসংখ্যা ১,২০০ জন করে হ্রাস পাচ্ছে। ‘খ’ শহরের জনসংখ্যা ৪২,০০০ জন এবং প্রতি বছরে এর জনসংখ্যা ৮০০ জন করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। কত বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ‘ক’ শহরের জনসংখ্যা ৬৮,০০০ জন এবং প্রতি বছরে এর জনসংখ্যা ১,২০০ জন করে হ্রাস পাচ্ছে। ‘খ’ শহরের জনসংখ্যা ৪২,০০০ জন এবং প্রতি বছরে এর জনসংখ্যা ৮০০ জন করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। কত বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে?
সমাধান:
ধরি
x বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে।
প্রশ্নমতে
68000 - (1200 × x) = (42000 + 800 × x)
বা, 68000 - 1200x = 42000 + 800x
বা, 68000 - 42000 = 1200x + 800x
বা, 2000x = 26000
বা, x = 26000/2000
∴ x = 13
অতএব
13 বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে।
সমাধান:
ধরি
x বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে।
প্রশ্নমতে
68000 - (1200 × x) = (42000 + 800 × x)
বা, 68000 - 1200x = 42000 + 800x
বা, 68000 - 42000 = 1200x + 800x
বা, 2000x = 26000
বা, x = 26000/2000
∴ x = 13
অতএব
13 বছরে উভয় শহরের জনসংখ্যা সমান হবে।
৬৩৭.
√(x + 3) = √x + √3 হলে x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √(x + 3) = √x + √3 হলে x = কত?
সমাধান:
বামপক্ষ = √(x + 3) = √(0 + 3) = √3
ডানপক্ষ = √x + √3 = √0 + √3 = √3
এই প্রশ্নটির সমাধান শুদ্ধি পরীক্ষার মাধ্যমে সমাধান করলে সঠিক উত্তর সহজে পাওয়া যাবে।
সমাধান:
বামপক্ষ = √(x + 3) = √(0 + 3) = √3
ডানপক্ষ = √x + √3 = √0 + √3 = √3
এই প্রশ্নটির সমাধান শুদ্ধি পরীক্ষার মাধ্যমে সমাধান করলে সঠিক উত্তর সহজে পাওয়া যাবে।
৬৩৮.
যদি x2 + px + 12 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p > 0 তবে p এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x2 + px + 12 = 0 এর মূল দুটি সমান হয় এবং p> 0 তবে p এর মান কত?
সমাধান:
x2 + px + 12 = 0 প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক,
p2- 4 × 1 × 12
= p2- 48
যেহেতু সমীকরণের মূল দুটি সমান, তাই নিশ্চায়কের মান শূন্য
p2- 48 = ০
বা, p2= 48
বা, p = √48
∴ p = 4√3
৬৩৯.
পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত বছর?
ব্যাখ্যা
পিতা পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি (৬০ - ৫×২) = ৫০ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স ক হলে পিতার বর্তমান বয়স ৪ক।
প্রশ্নমতে, ক + ৪ক = ৫ক = ৫০ বছর।
ক = ১০ বছর।
সুতরাং, পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক = ৪×১০ = ৪০ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স ক হলে পিতার বর্তমান বয়স ৪ক।
প্রশ্নমতে, ক + ৪ক = ৫ক = ৫০ বছর।
ক = ১০ বছর।
সুতরাং, পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক = ৪×১০ = ৪০ বছর।
৬৪০.
x + 9/x = 6 হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
দেয়া আছে,
x + 9/x = 6
x2 + 9 = 6x
x2 - 6x + 9 = 0
x2 - 2. x. 3 + 32 = 0
(x - 3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
x + 9/x = 6
x2 + 9 = 6x
x2 - 6x + 9 = 0
x2 - 2. x. 3 + 32 = 0
(x - 3)2 = 0
x - 3 = 0
x = 3
৬৪১.
দুটি সংখ্যার যোগফল 24 এবং তাদের গুণফল 108 হলে বড় সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 24 এবং তাদের গুণফল 108 হলে বড় সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y
১ম শর্তমতে, x + y = 24
২য় শর্তমতে, xy = 108
আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2- 4xy
⇒ (x - y)2 = (24)2- 4 × 108
⇒ (x - y)2 = 576 - 432
⇒ (x - y)2 =144
∴ x - y = 12
এখন, (x + y) + (x - y) = 24 + 12
⇒ 2x = 36
∴ x = 18
আবার,
x - y = 24
⇒ 18 - y = 24
∴ y = 6
অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি 18
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y
১ম শর্তমতে, x + y = 24
২য় শর্তমতে, xy = 108
আমরা জানি,
(x - y)2 = (x + y)2- 4xy
⇒ (x - y)2 = (24)2- 4 × 108
⇒ (x - y)2 = 576 - 432
⇒ (x - y)2 =144
∴ x - y = 12
এখন, (x + y) + (x - y) = 24 + 12
⇒ 2x = 36
∴ x = 18
আবার,
x - y = 24
⇒ 18 - y = 24
∴ y = 6
অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি 18
৬৪২.
x + 4/x = 4 হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
x + 4/x = 4
বা, (x2 + 4)/x = 4
বা, x2 + 4 = 4x
বা, x2 - 4x + 4 = 0
বা, x2 - 2.2x.1 - 22 = 0
বা, (x - 2)2 = 0
বা, x = 2
বা, (x2 + 4)/x = 4
বা, x2 + 4 = 4x
বা, x2 - 4x + 4 = 0
বা, x2 - 2.2x.1 - 22 = 0
বা, (x - 2)2 = 0
বা, x = 2
৬৪৩.
এক ব্যাক্তি 240 টাকায় কতগুলো পেন্সিল কিনে দেখল যে, যদি সে একটি পেন্সিল বেশি পেত তাহলে প্রতিটি পেন্সিলের মূল্য 1 টাকা কম হত। ঐ ব্যাক্তি কতটি পেন্সিল কিনেছিল?
ব্যাখ্যা
ধরি
কলম ক্রয় করেছিলো x টি
প্রশ্নমতে,
(240/x) - {240/(x + 1)} = 1
(240x + 240 - 240x)/{x(x + 1)} = 1
240/(x2 + x) = 1
240 = x2 + x
x2 + x - 240 = 0
x2 + 16x - 15x - 240 = 0
x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
(x + 16)(x - 15) = 0
হয়
x - 15 = 0
x = 15
অথবা
x + 16 = 0
x = - 16 [কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]
কলম ক্রয় করেছিলো 15 টি
কলম ক্রয় করেছিলো x টি
প্রশ্নমতে,
(240/x) - {240/(x + 1)} = 1
(240x + 240 - 240x)/{x(x + 1)} = 1
240/(x2 + x) = 1
240 = x2 + x
x2 + x - 240 = 0
x2 + 16x - 15x - 240 = 0
x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
(x + 16)(x - 15) = 0
হয়
x - 15 = 0
x = 15
অথবা
x + 16 = 0
x = - 16 [কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]
কলম ক্রয় করেছিলো 15 টি
৬৪৪.
মা থেকে মেয়ে ২০ বছরের ছোট। ৫ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৫৬ বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: মা থেকে মেয়ে 20 বছরের ছোট। 5 বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি 56 বছর হলে, মেয়ের বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
মায়ের বর্তমান বয়স = x + 20 বছর
∴ 5 বছর পর মেয়ের বয়স = x + 5 বছর
∴ 5 বছর পর মায়ের বয়স = x + 5 + 20 বছর
প্রশ্নমতে,
(x + 5) + (x + 5 + 20) = 56
বা, 2x + 30 = 56
বা, 2x = 56 - 30
বা, x = 26/2
বা, x = 13
∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = 13 বছর
সমাধান:
ধরি,
মেয়ের বর্তমান বয়স = x বছর
মায়ের বর্তমান বয়স = x + 20 বছর
∴ 5 বছর পর মেয়ের বয়স = x + 5 বছর
∴ 5 বছর পর মায়ের বয়স = x + 5 + 20 বছর
প্রশ্নমতে,
(x + 5) + (x + 5 + 20) = 56
বা, 2x + 30 = 56
বা, 2x = 56 - 30
বা, x = 26/2
বা, x = 13
∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = 13 বছর
৬৪৫.
হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
(x/a) + a = (x/b) + b
বা, (x/a) - (x/b) = b - a
বা, (bx - ax)/ab = b - a
বা, bx - ax = ab(b - a)
বা, x(b - a) = ab(b - a)
বা, x = ab(b - a)/(b - a)
∴ x = ab
সমাধান:
(x/a) + a = (x/b) + b
বা, (x/a) - (x/b) = b - a
বা, (bx - ax)/ab = b - a
বা, bx - ax = ab(b - a)
বা, x(b - a) = ab(b - a)
বা, x = ab(b - a)/(b - a)
∴ x = ab
৬৪৬.
দু’টি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের ১/৩ অংশ। সংখ্যা দু’টির অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
ধরি, সংখ্যা দু’টি x, y
শর্তমতে,
x - y = ১/৩ (x+y)
বা, ৩x - ৩y = x+y
বা, ২x = ৪y
বা, x/y = ৪/২
∴ x : y = ২ঃ১
শর্তমতে,
x - y = ১/৩ (x+y)
বা, ৩x - ৩y = x+y
বা, ২x = ৪y
বা, x/y = ৪/২
∴ x : y = ২ঃ১
৬৪৭.
x2 + y + 3 = 0 সমীকরণটি নিম্নের কোনটি নির্দেশ করে?
ব্যাখ্যা
x2 + y + 3 = 0
বা, 1.x2 + 1.y + 3 = 0
বা, 0 = x2.12 + y.1 + 3
এখানে, y = 0, a = x2 , b = y, x = 1, ধরলে আমরা পরিবৃত্ত বা প্যারাবোলার সমীকরণ পাই,
y = ax2 + bx + c
উল্লেখ্য,
পরিবৃত্ত: তিনটি শীর্ষবিন্দু যোগ করে যেমন একটিমাত্র ত্রিভুজ হয় তেমনি তিনটি বিন্দুগামী (শীর্ষ) বৃত্তও একটিই, এর নাম পরিবৃত্ত।
৬৪৮.
6x2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
সমাধান:
6x2 - 7x - 4 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 7)2 - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
সমাধান:
6x2 - 7x - 4 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 7)2 - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান
৬৪৯.
দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অংক a এবং দশক স্থানীয় অংক b হলে সংখ্যাটি হবে-
ব্যাখ্যা
যেমন, ২৩ হলে, (২X১০)+৩ = ২৩
৬৫০.
যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y = কত?
সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4
∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3
সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4
∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3
৬৫১.
x + y = 15 এবং x - y = 1 হলে, y/x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 15 এবং x - y = 1 হলে, y/x এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 15.......(i)
x - y = 1..........(ii)
(i) + (ii) ⇒
x + y + x - y = 15 + 1
⇒ 2x =16
⇒ x = 8
x এর মান (i) এ বসাই,
8 + y = 15
⇒ y = 7
∴ y/x = 7/8
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 15.......(i)
x - y = 1..........(ii)
(i) + (ii) ⇒
x + y + x - y = 15 + 1
⇒ 2x =16
⇒ x = 8
x এর মান (i) এ বসাই,
8 + y = 15
⇒ y = 7
∴ y/x = 7/8
৬৫২.
x2 + y2 = 17 এবং x - y = 3 হলে (x, y) = ?
ব্যাখ্যা
x - y = 3
(x - y)2 = 9
বা, x2 + y2 - 2xy = 9
বা, 17 - 2xy = 9
2xy = 17 - 9 = 8
∴ xy = 4 = 4.1
∴ x = 4, y = 1 হলে
x - y = 3
৬৫৩.
3a - 2b = 5 , 2a + 3b = 12 সমীকরণদ্বয়ের a + b= কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3a - 2b = 5 , 2a + 3b = 12 সমীকরণদ্বয়ের a + b= কত?
সমাধান:
3a - 2b = 5............. (1)
2a + 3b = 12 ..............(2)
(1)নং × 3 + (2)নং × 2⇒
9a - 6b + 4a + 6b= 15 + 24
13a = 39
a = 39/13
a = 3
(2)নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3b = 12
6 + 3b = 12
3b = 12 - 6
3b = 6
b = 6/3
b = 2
a + b = 3 + 2 = 5
সমাধান:
3a - 2b = 5............. (1)
2a + 3b = 12 ..............(2)
(1)নং × 3 + (2)নং × 2⇒
9a - 6b + 4a + 6b= 15 + 24
13a = 39
a = 39/13
a = 3
(2)নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3b = 12
6 + 3b = 12
3b = 12 - 6
3b = 6
b = 6/3
b = 2
a + b = 3 + 2 = 5
৬৫৪.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি -
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x2 - (3 - 5)x + (3 × - 5) = 0
বা, x2 + 2x - 15 = 0
∴ x2 + 2x = 15
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও - 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x2 - (3 - 5)x + (3 × - 5) = 0
বা, x2 + 2x - 15 = 0
∴ x2 + 2x = 15
৬৫৫.
একজন লোকের কাছে ৫০০০ টাকা আছে। তিনি উক্ত টাকা দুই জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন যেন, প্রথম জনের টাকা দ্বিতীয় জনের ৪ গুণ হয়। আবার প্রথম জন থেকে ১৫০০ টাকা দ্বিতীয় জনকে দিলে উভয়ের টাকার পরিমাণ সমান হয়। প্রথমজন কত পাবে?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
প্রথম জন পাবে ক টাকা
দ্বিতীয় জন পাবে খ টাকা
প্রশ্নমতে,
ক + খ = ৫০০০ টাকা --- (১)
ক = ৪খ --- (২)
সমাধান করলে, ক = ৪০০০ এবং খ = ১০০০
৬৫৬.
2x = 3y এবং 3x - 2y = 5 হলে (x,y) হবে-
ব্যাখ্যা
2x = 3y
∴ x = 3y/2
আবার,
3x - 2y = 5
বা, 3(3y/2) - 2y = 5
বা, 9y - 4y = 10
বা, 5y = 10
∴ y = 2
এবং x = 3
৬৫৭.
একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 2/3 হয়। কিন্তু লব ও হর উভয়ের সঙ্গে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 3/4 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 2/3 হয়। কিন্তু লব ও হর উভয়ের সঙ্গে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 3/4 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y
১ম শর্তমতে
(x - 1)/(y - 1) = 2/3
3x - 3 = 2y - 2
3x - 2y = 3 - 2
3x - 2y = 1 ...............................(1)
২য় শর্তমতে
(x + 1)/(y + 1) = 3/4
4x + 4 = 3y + 3
4x - 3y = 3 - 4
4x - 3y = - 1 ...............................(2)
(1) × 3 - (2) × 2 ⇒
9x - 6y - (8x - 6y) = 3 - (- 2)
9x - 6y - 8x + 6y = 3 + 2
x = 5
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই
3x - 2y = 1
3 × 5 - 2y = 1
15 - 2y = 1
- 2y = 1 - 15
- 2y = - 14
y = 7
ভগ্নাংশটি = 5/7
সমাধান:
ধরি
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y
১ম শর্তমতে
(x - 1)/(y - 1) = 2/3
3x - 3 = 2y - 2
3x - 2y = 3 - 2
3x - 2y = 1 ...............................(1)
২য় শর্তমতে
(x + 1)/(y + 1) = 3/4
4x + 4 = 3y + 3
4x - 3y = 3 - 4
4x - 3y = - 1 ...............................(2)
(1) × 3 - (2) × 2 ⇒
9x - 6y - (8x - 6y) = 3 - (- 2)
9x - 6y - 8x + 6y = 3 + 2
x = 5
(1) নং সমীকরণ থেকে পাই
3x - 2y = 1
3 × 5 - 2y = 1
15 - 2y = 1
- 2y = 1 - 15
- 2y = - 14
y = 7
ভগ্নাংশটি = 5/7
৬৫৮.
x + y = 6 এবং 2x + y = 3 হলে (x, y) =?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 6 এবং 2x + y = 3 হলে (x, y) =?
সমাধান:
x + y = 6
∴ x = 6 - y ..........(1)
2x + y = 3
⇒ 2(6 - y) + y = 3
⇒ 12 - 2y + y = 3
⇒ - y = 3 - 12
⇒ - y = - 9
∴ y = 9
(1) নং থেকে পাই,
x = 6 - 9
∴ x = - 3
∴ নির্ণেয় মান (x, y) = (- 3, 9)
সমাধান:
x + y = 6
∴ x = 6 - y ..........(1)
2x + y = 3
⇒ 2(6 - y) + y = 3
⇒ 12 - 2y + y = 3
⇒ - y = 3 - 12
⇒ - y = - 9
∴ y = 9
(1) নং থেকে পাই,
x = 6 - 9
∴ x = - 3
∴ নির্ণেয় মান (x, y) = (- 3, 9)
৬৫৯.
XX = x সমীকরণটির x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
Consider:
xx = x
Take Natural Logarithms on both sides
⟹ln|xx| = ln|x|
⟹xln|x| = ln|x|
⟹xln|x| − ln|x| = 0
⟹ln|x|(x−1) = 0
⟹ Either (x−1)=0 or ln|x|=0
⟹ Either x=1 or |x|=e0
⟹ Either x=1 or |x|=1
⟹ Either x=1 or x=±1
Hence the solutions are:
x= ± 1
xx = x
Take Natural Logarithms on both sides
⟹ln|xx| = ln|x|
⟹xln|x| = ln|x|
⟹xln|x| − ln|x| = 0
⟹ln|x|(x−1) = 0
⟹ Either (x−1)=0 or ln|x|=0
⟹ Either x=1 or |x|=e0
⟹ Either x=1 or |x|=1
⟹ Either x=1 or x=±1
Hence the solutions are:
x= ± 1
৬৬০.
2a + b = 14 এবং 3a - 2b = 7 হলে, (a, b) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2a + b = 14 এবং 3a - 2b = 7 হলে, (a, b) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + b = 14 ............ (1)
3a - 2b = 7 ............. (2)
(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (2) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
4a + 2b + 3a - 2b = 28 + 7
⇒ 7a = 35
∴ a = 5
a এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
(2 × 5) + b = 14
⇒ 10 + b = 14
⇒ b = 14 - 10
∴ b = 4
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (a, b) = (5, 4)
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + b = 14 ............ (1)
3a - 2b = 7 ............. (2)
(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে (2) নং এর সাথে যোগ করে পাই,
4a + 2b + 3a - 2b = 28 + 7
⇒ 7a = 35
∴ a = 5
a এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
(2 × 5) + b = 14
⇒ 10 + b = 14
⇒ b = 14 - 10
∴ b = 4
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (a, b) = (5, 4)
৬৬১.
একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন
প্রশ্নমতে,
x(x + 30) = 70 × 100 [∵ 70 টাকা = 7000 পয়সা]
⇒ x2 + 30x - 7000 = 0
⇒ x2 +100x - 70x - 7000 = 0
⇒ x(x + 100) - 70(x + 100) = 0
হয়
x - 70 = 0
∴ x = 70
অথবা
x + 100=0
x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ ঐ শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।
সমাধান:
মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন
প্রশ্নমতে,
x(x + 30) = 70 × 100 [∵ 70 টাকা = 7000 পয়সা]
⇒ x2 + 30x - 7000 = 0
⇒ x2 +100x - 70x - 7000 = 0
⇒ x(x + 100) - 70(x + 100) = 0
হয়
x - 70 = 0
∴ x = 70
অথবা
x + 100=0
x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]
∴ ঐ শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।
৬৬২.
2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - y) = 4 এবং xy/2 = 12 হলে, y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - y) = 4
⇒ x - y = 2 ........... (1)
এবং xy/2 = 12
⇒ xy = 24
আমরা জানি, (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = (2)2 + 4 × 24
⇒ (x + y)2 = 4 + 96
⇒ (x + y)2 = 100
⇒ (x + y)2 = (10)2
∴ x + y = 10 .................. (2)
(1) নং + (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 2 + 10
⇒ 2x = 12
∴ x = 6
x এর মান (2) নং এ বসাই,
6 + y = 10
⇒ y = 10 - 6
∴ y = 4
সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - y) = 4
⇒ x - y = 2 ........... (1)
এবং xy/2 = 12
⇒ xy = 24
আমরা জানি, (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
⇒ (x + y)2 = (2)2 + 4 × 24
⇒ (x + y)2 = 4 + 96
⇒ (x + y)2 = 100
⇒ (x + y)2 = (10)2
∴ x + y = 10 .................. (2)
(1) নং + (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
x + y + x - y = 2 + 10
⇒ 2x = 12
∴ x = 6
x এর মান (2) নং এ বসাই,
6 + y = 10
⇒ y = 10 - 6
∴ y = 4
৬৬৩.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
সমাধান:
সমাধান:
৬৬৪.
3x - y = 2 এবং 2x + 3y = 5 সরলরেখা দুইটি যে বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - y = 2 এবং 2x + 3y = 5 সরলরেখা দুইটি যে বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে-
সমাধান:
3x - y = 2
⇒ 3(3x - y) = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 9x - 3y = 6
2x + 3y = 5
9x - 3y + 2x + 3y = 6 + 5
⇒ 11x = 11
∴ x = 1
2 + 3y = 5
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1
সমাধান:
3x - y = 2
⇒ 3(3x - y) = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 9x - 3y = 6
2x + 3y = 5
9x - 3y + 2x + 3y = 6 + 5
⇒ 11x = 11
∴ x = 1
2 + 3y = 5
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1
৬৬৫.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি -
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x2 - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x2 - 3x - 10 = 0
সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x2 - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0
⇒ x2 - 3x - 10 = 0
৬৬৬.
প্রদত্ত
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত
সমাধান:
৬৬৭.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। একক স্থানীয় অঙ্কটি a হলে, সংখ্যাটি হবে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। একক স্থানীয় অঙ্কটি a হলে, সংখ্যাটি হবে -
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2a
∴ সংখ্যাটি = a + (10 × 2a)
= a + 20a
= 21a
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2a
∴ সংখ্যাটি = a + (10 × 2a)
= a + 20a
= 21a
৬৬৮.
যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2 হয়, তাহলে 2x - y = কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, 4xy - 5x + 39 = 0 এবং y = - 2।
প্রথমে, x-এর মান নির্ণয় করতে y-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসাই,
4x(- 2) - 5x + 39 = 0
⇒ - 8x - 5x + 39 = 0
⇒ - 13x + 39 = 0
⇒ - 13x = - 39
⇒ x = 39/13
⇒ x = 3
এবার, x এবং y-এর মান ব্যবহার করে 2x - y এর মান নির্ণয় করি,
2x - y = 2(3) - (- 2)
= 6 + 2
= 8
সুতরাং, 2x - y এর মান হলো 8।
৬৬৯.
x2 - 6x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 6x + 5 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য কত?
সমাধান:
x2 - 6x + 5 = 0
⇒ x2 - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা,
x - 1 = 0
∴ x = 1
∴ সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য: 5 - 1 = 4
সমাধান:
x2 - 6x + 5 = 0
⇒ x2 - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা,
x - 1 = 0
∴ x = 1
∴ সমীকরণের মূলদ্বয়ের পার্থক্য: 5 - 1 = 4
৬৭০.
{(2a + 3)/5} + 2 = (a - 1)/2 হলে, a এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: {(2a + 3)/5} + 2 = (a - 1)/2 হলে, a এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
{(2a + 3)/5} + 2 = (a - 1)/2
⇒ (2a + 3)/5 - (a - 1)/2 = - 2
⇒ (4a + 6 - 5a + 5)/10 = - 2
⇒ - a + 11 = - 20
⇒ - a = - 20 - 11
⇒ - a = 31
∴ a = 31
সমাধান:
দেওয়া আছে,
{(2a + 3)/5} + 2 = (a - 1)/2
⇒ (2a + 3)/5 - (a - 1)/2 = - 2
⇒ (4a + 6 - 5a + 5)/10 = - 2
⇒ - a + 11 = - 20
⇒ - a = - 20 - 11
⇒ - a = 31
∴ a = 31
৬৭১.
কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 5/7 হয় এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 5/7 হয় এবং হর থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরা যাক, ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y
১ম শর্তমতে,
(x + 2)/y = 5/7
⇒ 7(x + 2) = 5y
⇒ 7x + 14 = 5y
⇒ 7x - 5y = - 14 ............(1)
২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1/2
⇒ 2x = y - 1
⇒ y = 2x + 1 ............(2)
y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
7x - 5(2x + 1) = - 14
⇒ 7x - 10x - 5 = - 14
⇒ - 3x = - 14 + 5
⇒ - 3x = - 9
⇒ x = 3
x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = 2(3) + 1
⇒ y = 6 + 1
⇒ y = 7
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/7
৬৭২.
3x - 5y = - 9 , 5x - 3y = 1 সমীকরণদ্বয়ের (x, y) এর মান কত?
ব্যাখ্যা
3x - 5y = - 9 ............. (1)
5x - 3y = 1 ..............(2)
(1)নং × 3 - (2)নং × 5⇒
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5
- 16x = - 32
x = - 32/- 16
x = 2
(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
3 × 2 - 5y = - 9
6 - 5y = - 9
- 5y = - 9 - 6
- 5y = - 15
y =- 15/- 5
y = 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2,3)
5x - 3y = 1 ..............(2)
(1)নং × 3 - (2)নং × 5⇒
9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5
- 16x = - 32
x = - 32/- 16
x = 2
(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
3 × 2 - 5y = - 9
6 - 5y = - 9
- 5y = - 9 - 6
- 5y = - 15
y =- 15/- 5
y = 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2,3)
৬৭৩.
x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, x = কত?
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, xy = 2
∴ y = 2/x
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.2/x = 4
⇒ x + 4/x = 4
⇒ x2 + 4 = 4x
⇒ x2 - 4x + 4 = 0
⇒ (x - 2)2 = 0
∴ x = 2
৬৭৪.
x + 3y = 7
5x + 15y = 35
উপরের সমীকরণ জোটটির কয়টি সমাধান আছে?
5x + 15y = 35
উপরের সমীকরণ জোটটির কয়টি সমাধান আছে?
ব্যাখ্যা
এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ১ / ৫ = ১ / ৫
এর সহগদ্বয়ের অনুপাত = ৩/ ১৫ = ১ / ৫
ধ্রুবক পদ দ্বয়ের অনুপাত = ৭ / ৩৫ = ১ / ৫
অতএব সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর নির্ভরশীল। কাজেই এর অসংখ্য সমাধান আছে।
৬৭৫.
i3 + i + 1 = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: i3 + i + 1 = কত?
আমরা জানি,
i2 = - 1
i3 = i2.i = (- 1). i = - i
এখন
i3 + i + 1
= - i + i + 1
= 1
আমরা জানি,
i2 = - 1
i3 = i2.i = (- 1). i = - i
এখন
i3 + i + 1
= - i + i + 1
= 1
৬৭৬.
একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে A স্টেশন থেকে B স্টেশনে পৌছালো। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগতো। দুই স্টেশনের দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
মনেকরি,
দুই স্টেশনের দূরত্ব = x কি.মি.
প্রশ্নমতে
(x/25) - (x/ 30) = 10/60
(6x - 5x)/150 = 1/6
x/150 = 1/6
x = 150/6
x = 25
দুই স্টেশনের দূরত্ব = x কি.মি.
প্রশ্নমতে
(x/25) - (x/ 30) = 10/60
(6x - 5x)/150 = 1/6
x/150 = 1/6
x = 150/6
x = 25
৬৭৭.
x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -
সমাধান:
x2 - x - 12 = 0
⇒ x2 - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x + 3)(x - 4) = 0
হয়, x + 3 = 0
বা, x = - 3
অথবা, x - 4 = 0
বা, x = 4
∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 3, 4
সমাধান:
x2 - x - 12 = 0
⇒ x2 - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x + 3)(x - 4) = 0
হয়, x + 3 = 0
বা, x = - 3
অথবা, x - 4 = 0
বা, x = 4
∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 3, 4
৬৭৮.
একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x2 + 3x = 810
⇒ x2 + 3x - 810 = 0
⇒ x2 + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]
অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার
সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x2 + 3x = 810
⇒ x2 + 3x - 810 = 0
⇒ x2 + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
হয়
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]
অথবা
x - 27 = 0
∴ x = 27
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার
৬৭৯.
দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল 400 এবং তাদের সমষ্টি 41, তাদের পার্থক্যের বর্গমূল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল 400 এবং তাদের সমষ্টি 41, তাদের পার্থক্যের বর্গমূল কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y.
প্রশ্নমতে,
x + y = 41
এবং xy = 400
⇒ y = 400/x
এখন,
x + 400/x = 41
⇒ (x2 + 400)/x = 41
⇒ x2 + 400 = 41x
⇒ x2 - 41x + 400 = 0
⇒ x2 - 25x - 16x + 400 = 0
⇒ x(x - 25) - 16(x - 25) = 0
⇒ (x - 25) (x - 16) = 0
অর্থাৎ সংখ্যা দুটি হবে 25 এবং 16
তাদের পার্থক্যের বর্গমূল = √(25 - 16) = √9 = 3
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y.
প্রশ্নমতে,
x + y = 41
এবং xy = 400
⇒ y = 400/x
এখন,
x + 400/x = 41
⇒ (x2 + 400)/x = 41
⇒ x2 + 400 = 41x
⇒ x2 - 41x + 400 = 0
⇒ x2 - 25x - 16x + 400 = 0
⇒ x(x - 25) - 16(x - 25) = 0
⇒ (x - 25) (x - 16) = 0
অর্থাৎ সংখ্যা দুটি হবে 25 এবং 16
তাদের পার্থক্যের বর্গমূল = √(25 - 16) = √9 = 3
৬৮০.
√(x + 3) = √x + √3 হলে x = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √(x + 3) = √x + √3 হলে x = ?
সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
⇒ x + 3 = x + 3 + 2√(3x)
⇒ 2√(3x) = 0
⇒ √(3x) = 0
⇒ 3x = 0
∴ x = 0
সমাধান:
√(x + 3) = √x + √3
⇒ x + 3 = x + 3 + 2√(3x)
⇒ 2√(3x) = 0
⇒ √(3x) = 0
⇒ 3x = 0
∴ x = 0
৬৮১.
একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে বসলে 8 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 টি বেঞ্চ খালি থাকে। প্রতি বেঞ্চে 2 জন করে বসলে 8 জন দাঁড়িয়ে থাকে। ঐ শ্রেণিতে কয়টি বেঞ্চ আছে?
সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = x টি
১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3(x - 6) জন = 3x - 18 জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 2x +8 জন
∴ 3x - 18 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 + 18
⇒ x = 26
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 26 টি।
সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = x টি
১ম শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 3(x - 6) জন = 3x - 18 জন
২য় শর্তমতে, ছাত্র সংখ্যা = 2x +8 জন
∴ 3x - 18 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 + 18
⇒ x = 26
∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 26 টি।
৬৮২.
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 1। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 121। সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 1। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 121। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = x + 1
সংখ্যাটি = 10(x + 1) + x
= 10x + 10 + x
= 11x + 10
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় = 10x + x + 1
= 11x + 1
প্রশ্নমতে,
11x + 10 + 11x + 1 = 121
22x + 11 = 121
22x = 121 - 11
22x = 110
x = 110/22
x = 5
সংখ্যাটি = 11 × 5 + 10
= 55 + 10
= 65
সমাধান:
একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = x + 1
সংখ্যাটি = 10(x + 1) + x
= 10x + 10 + x
= 11x + 10
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় = 10x + x + 1
= 11x + 1
প্রশ্নমতে,
11x + 10 + 11x + 1 = 121
22x + 11 = 121
22x = 121 - 11
22x = 110
x = 110/22
x = 5
সংখ্যাটি = 11 × 5 + 10
= 55 + 10
= 65
৬৮৩.
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের মূল দুইটি মূলদ হবে যদি-
সমাধান:
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের b2 – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।
নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,
• b2 – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b2 - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b2 – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b2 – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।
৬৮৪.
কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৮ গুণ থেকে ২ গুণ বিয়োগ করলে ৭২ হয়?
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
৮ক - ২ক = ৭২
৬ক = ৭২
ক = ১২
সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে
৮ক - ২ক = ৭২
৬ক = ৭২
ক = ১২
৬৮৫.
একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি 13 এবং অন্তরফল 1, ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 1
প্রশ্নানুসারে,
x + x +1 = 13
বা, 2x + 1 = 13
বা, 2x = 12
∴ x = 6
ভগ্নাংশটি =(6 + 1)/6 = 7/6
সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 1
প্রশ্নানুসারে,
x + x +1 = 13
বা, 2x + 1 = 13
বা, 2x = 12
∴ x = 6
ভগ্নাংশটি =(6 + 1)/6 = 7/6
৬৮৬.
5x + 2y - 3 = 0 এবং 15x + 6y - 11 = 0 সমীকরণ দুইটির কয়টি সমাধান আছে?
ব্যাখ্যা
5x + 2y - 3 = 0 --------- (1)
15x + 6y - 11 = 0 ------ (2)
সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা গুণ করে,
15x + 6y - 9 = 0 ------ (3)
সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে,
(15x + 6y - 11) - (15x + 6y - 9) = 0
বা, - 11 + 9 = 0 যা কোন সমাধান নয়।
----------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে,
দুইটি সমীকরণের a1 / a2 = b1 / b2 ≠ c1 / c2 হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির কোনো সমাধান থাকে না।
যেখানে,
a1 = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a2 = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b1 = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b2 = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c1 = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c2 = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
------------------------------------------------------------------------------------------------------
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান না থাকায় সমীকরণ দুইটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট।
15x + 6y - 11 = 0 ------ (2)
সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা গুণ করে,
15x + 6y - 9 = 0 ------ (3)
সমীকরণ (2) থেকে সমীকরণ (1) বিয়োগ করে,
(15x + 6y - 11) - (15x + 6y - 9) = 0
বা, - 11 + 9 = 0 যা কোন সমাধান নয়।
----------------------------------------------------------------------------------------------------
অন্যভাবে,
দুইটি সমীকরণের a1 / a2 = b1 / b2 ≠ c1 / c2 হলে, উক্ত সমীকরণ দুইটির কোনো সমাধান থাকে না।
যেখানে,
a1 = প্রথম সমীকরণের চলক x এর সহগ
a2 = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক x এর সহগ
b1 = প্রথম সমীকরণের চলক y এর সহগ
b2 = দ্বিতীয় সমীকরণের চলক y এর সহগ
c1 = প্রথম সমীকরণের ধ্রুবক
c2 = দ্বিতীয় সমীকরণের ধ্রুবক
------------------------------------------------------------------------------------------------------
বিশেষ দ্রষ্টব্যঃ উক্ত সমীকরণ দুইটির কোন সমাধান না থাকায় সমীকরণ দুইটি অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট।
৬৮৭.
5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5x - 4y = 6, x + 2y = 4 হলে x এর মান কত?
সমাধান:
5x - 4y = 6.................(1)
x + 2y = 4.................(2)
(1) × 1 + (2) × 2
5x - 4y + 2x + 4y = 6 + 8
7x = 14
x = 2
সমাধান:
5x - 4y = 6.................(1)
x + 2y = 4.................(2)
(1) × 1 + (2) × 2
5x - 4y + 2x + 4y = 6 + 8
7x = 14
x = 2
৬৮৮.
x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)2 এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)2 এর মান কত?
সমাধান:
(x - y)2
= (x + y)2 - 4xy
= 72 - (4 × 10)
= 49 - 40
= 9
সমাধান:
(x - y)2
= (x + y)2 - 4xy
= 72 - (4 × 10)
= 49 - 40
= 9
৬৮৯.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের বর্গের অন্তর 32। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি ভগ্নাংশটি হলো,
x/(x + 2) ; [কারণ হর লব অপেক্ষা 2 বেশি]
প্রশ্নমতে,
লব ও হরের বর্গের পার্থক্য = 32
⇒ (x + 2)2 - x2 = 32
⇒ x2 + 4x + 4 - x2 = 32
⇒ 4x + 4 = 32
⇒ 4x = 32 - 4
⇒ 4x = 28
⇒ x = 28/4
∴ x = 7
∴ লব = 7
∴ হর = x + 2 = 7 + 2 = 9
∴ ভগ্নাংশটি = 7/9
৬৯০.
একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি শ্রেণীকক্ষে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসারে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে, আবার প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত জন?
সমাধান:
মনে করি,
শ্রেণিটির ছাত্র সংখ্যা = ক জন
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৪ জন করে বসালে ৩টি বেঞ্চ খালি থাকে,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক/৪) + ৩
আবার,
যেহেতু প্রতিবেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৬ জনকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়,
∴ ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা = (ক - ৬)/৩
যেহেতু শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা একই থাকবে,
সুতরাং,
(ক/৪) + ৩ = (ক - ৬)/৩
⇒ (ক + ১২)/৪ = (ক - ৬)/৩
⇒ ৪ক - ২৪ = ৩ক + ৩৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৩৬ + ২৪
⇒ ক = ৬০
∴ ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা ৬০ জন।
৬৯১.
a+b = 2, ab = 1 হলে a ও b এর মান?
ব্যাখ্যা
ধরি,
b = 2 - a -- (১)
সুতরাং,
ab = 1
⇒ a (2 - a) = 1
⇒ 2a - a² = 1
⇒ 1 - 2a + a² = 0
⇒ a² - 2a + 1 = 0
⇒ a²- 2.a.1 + 1² = 0
⇒ (a-1)² = 0
⇒ (a-1) (a-1) = 0
⇒ a = 1
(১) নং থেকে,
b = 2 - 1
⇒ b = 1
সুতরাং, a=1, b=1.
৬৯২.
(3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5) হলে, x2 - 20x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5) হলে, x2 - 20x = কত?
সমাধান:
(3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5)
⇒ 3x2 - 12x + 2x - 8 = 2x2 + 10x
⇒ 3x2 - 12x + 2x - 8 - 2x2 - 10x = 0
⇒ x2 - 20x - 8 = 0
∴ x2 - 20x = 8
সমাধান:
(3x + 2)(x - 4) = 2x(x + 5)
⇒ 3x2 - 12x + 2x - 8 = 2x2 + 10x
⇒ 3x2 - 12x + 2x - 8 - 2x2 - 10x = 0
⇒ x2 - 20x - 8 = 0
∴ x2 - 20x = 8
৬৯৩.
x2 = x√2 হলে, x এর মান-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 = x√2 হলে, x এর মান-
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 = x√2
x2 - x√2 = 0
x(x - √2) = 0
হয়
x = 0
অথবা
x - √2 = 0
x = √2
সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 = x√2
x2 - x√2 = 0
x(x - √2) = 0
হয়
x = 0
অথবা
x - √2 = 0
x = √2
৬৯৪.
6x2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6x2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-
সমাধান:
6x2 - 7x - 4 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 7)2 - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
সমাধান:
6x2 - 7x - 4 = 0
এখানে,
a = x2 এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4
নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 7)2 - 4. 6. (- 4)
= 49 + 96
= 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
৬৯৫.
পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ। ১২ বছর পর পিতার বয়স হবে পুত্রের বয়সের ২ গুণ। পিতার বর্তমান বয়স কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পিতার বয়স পুত্রের বয়সের তিনগুণ। ১২ বছর পর পিতার বয়স হবে পুত্রের বয়সের ২ গুণ। পিতার বর্তমান বয়স কত?
সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৩ক বছর
প্রশ্নমতে
৩ক + ১২ = ২(ক + ১২)
⇒ ৩ক + ১২ = ২ক + ২৪
⇒ ৩ক - ২ক = ২৪ - ১২
∴ ক = ১২
পিতার বয়স = ৩ক বছর
= ৩ × ১২
= ৩৬ বছর
সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বয়স ক বছর
পিতার বয়স ৩ক বছর
প্রশ্নমতে
৩ক + ১২ = ২(ক + ১২)
⇒ ৩ক + ১২ = ২ক + ২৪
⇒ ৩ক - ২ক = ২৪ - ১২
∴ ক = ১২
পিতার বয়স = ৩ক বছর
= ৩ × ১২
= ৩৬ বছর
৬৯৬.
3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3/5 ভগ্নাংশটির লব ও হরের প্রত্যেকের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
⇒ 15 + 5x = 20 + 4x
⇒ 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
⇒ 15 + 5x = 20 + 4x
⇒ 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5
৬৯৭.
একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4
শর্তমতে,
x + x + 4 = 36
বা, 2x = 36 - 4
বা, 2x = 32
বা, x = 32/2
∴ x = 16
∴ একটি সংখ্যা = 16
এবং অপর সংখ্যা = x + 4
= 16 + 4
= 20
∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20.
৬৯৮.
x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, x2 - 8x + 16 = 0
এখানে, a = 1, b = - 8 এবং c = 16
∴ নিশ্চায়ক = b2 - 4ac
= (- 8)2 - 4 × 1 × 16
= 64 - 64
= 0
যেহেতু, b2 - 4ac = 0
সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
- যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
- যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
- যদি b2 - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।
৬৯৯.
যদি কোন ব্যক্তি ১০ কিমি/ঘন্টা বেগের পরিবর্তে ১৪ কিমি/ঘন্টা বেগে হাটত, তিনি ২০ কিমি বেশি হাঁটতে পারত। তিনি প্রকৃতপক্ষে কত কিলোমিটার পথ অতিক্রম করল?
ব্যাখ্যা
ধরি, প্রকৃত দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
(x + 20)/14 = x/10
14x = 10x + 200
4x = 200
x = 50
৭০০.
একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3
ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)
প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4
∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7
সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3
ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)
প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4
∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7