সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২৬ / ২৯ · ২,৫০১–২,৬০০ / ২,৮৯২

২,৫০১.

7x - 3y = 2 এবং x + y = 16/21 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(1/7, 1/3)
খ
(3/5, 1/3)
গ
(3/7, 1/3)
ঘ
(3/7, 1/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x - 3y = 2 এবং x + y = 16/21 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
7x - 3y = 2.............(i)
x + y = 16/21..........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (i) নং সমীকরণের সাথে যোগ করে পাই,

7x - 3y + 3x + 3y = 2 + (16/7)
বা, 10x = 30/7
∴ x = 3/7

x এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
y = (16/21) - (3/7)
= 7/21
= 1/3

∴ (x, y) = (3/7, 1/3)

২,৫০২.

x + 2y = 8 এবং 2x +y = 7 সরল রেখা দুইটির ছেদবিন্দু কোনটি?

ক
ক) (8,0)
খ
খ) (6,1)
গ
গ) (4,2)
ঘ
ঘ) (2,3)

ব্যাখ্যা

সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই (x,y) = (2,3)
সুতরাং রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু = (2,3)

২,৫০৩.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

ক
16
খ
22
গ
18
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18 ।

২,৫০৪.

2a + 2b = 6, a - b = 1 হলে, a + b = কত?

ক
2
খ
3
গ
- 2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2a + 2b = 6, a - b = 1 হলে, a + b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 2b = 6 ....... (1)
a - b = 1 ......... (2)

{(2) নং × 2} + (1) নং ⇒
2a + 2b + 2a - 2b = 6 + 2
⇒ 4a = 8
⇒ a = 2

a এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 - b = 1
⇒ - b = 1 - 2
⇒ b = 1

∴ a + b = 2 + 1 = 3

২,৫০৫.

(6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (- 2, 1/2)
খ
খ) (1/2, 2)
গ
গ) (- 1/2, 2)
ঘ
ঘ) (2, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)

(1) + (2) হতে পাই,
6x - y = 1
- 6x + 5y = 7
4y = 8
∴ y = 2

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
6x - 2 = 1
⇒ 6x = 3
⇒ x = 3/6
∴ x = 1/2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1/2, 2)

২,৫০৬.

২টি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
38
খ
36
গ
37
ঘ
40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দু’টি x ও y
১ম শর্তমতে, x + y = 48
২য় শর্তমতে, xy = 432

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)²- 4xy
⇒ (x - y)² = (48)²- 4 × 432
⇒ (x - y)² = 2304 - 1728
⇒ (x - y)²= 576
∴ x - y = 24

এখন,
(x + y) + (x - y) = 48 + 24
⇒ 2x = 72
∴ x = 36

আবার,
x - y = 24
⇒ 36 - y = 24
∴ y = 12

অর্থাৎ, বড় সংখ্যাটি 36

বিকল্প
x + y=48
36 + 12=48

xy = 432
36 × 12 = 432
বড় সংখ্যাটি = 36

২,৫০৭.

রহিম ২৪০ টাকায় কতগুলো কলম কিনল। সে যদি ঐ টাকায় ১টি কলম বেশি পেত তার ১টি কলমের দাম গড়ে ১ টাকা কম পড়তো। রহিম কতগুলো কলম কিনল?

ক
ক) ২০
খ
খ) ১০
গ
গ) ১২
ঘ
ঘ) ১৫

ব্যাখ্যা

ধরি
কলম ক্রয় করেছিলো x টি

প্রশ্নমতে,
(240/x) - {240/(x + 1)} = 1
(240x + 240 - 240x)/{x(x + 1)} = 1
240/(x² + x) = 1
240 = x² + x
x²+ x - 240 = 0
x² + 16x - 15x - 240 = 0
x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
(x + 16)(x - 15) = 0

হয় অথবা
x - 15 = 0 x + 16 = 0
x = 15 x = - 16 [কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

কলম ক্রয় করেছিলো 15 টি

২,৫০৮.

x + y - 4 = 2x - 3y - 12 = 0 হলে 3x - 2y = ?

ক
ক) -16
খ
খ) -12
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

x + y - 4 = 0...........(1)
2x - 3y - 12 = 0.......(2)

1 ও 2 নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
3x - 2y - 16 = 0
∴ 3x - 2y = 16

২,৫০৯.

x³ - 1 = 0 সমীকরণের বাস্তব মূল কয়টি -

ক
ক) নাই
খ
খ) 1 টি
গ
গ) 2 টি
ঘ
ঘ) 3 টি

ব্যাখ্যা

সমীকরণের ৩টি মূলের ১টি বাস্তব এবং ২টি অবাস্তব।

২,৫১০.

a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

ক
(5, 3)
খ
(4, 1)
গ
(3, 2)
ঘ
(2, 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 8 .......... (1)
a - b = 2 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 8 + 2
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসাই,
5 + b = 8
⇒ b = 8 - 5
∴ b = 3
∴ (a, b) = (5, 3)

২,৫১১.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

ক
24
খ
20
গ
16
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
3x + 2x = 90
বা, 5x = 90
বা, x = 90/5
∴ x = 18

∴ সংখ্যাটি = 18 ।

২,৫১২.

যদি x : y = 5 : 2 হয় , তাহলে (8x + 9y) : (8x + 2y) = ?

ক
27 : 21
খ
29 : 22
গ
25 : 23
ঘ
28 : 25

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x : y = 5 : 2
⇒ x/y = 5/2
⇒ 2x = 5y
⇒ 8x = 20y [4 দিয়ে গুন করে]
∴ 8x = 20y ........ (i)
এখন, দেয়া আছে (8x + 9y) : (8x + 2y)
= (20y + 9y) : (20y + 2y)
= 29y : 22y
= 29 : 22

২,৫১৩.

(5x/6) + 3 এবং (2x/3) + 8 পরস্পর সমান হলে, x এর মান কত?

ক
30
খ
42
গ
15
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 এবং (2x/3) + 8 পরস্পর সমান হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 3) এবং (2x/3) + 8) পরস্পর সমান হলে,

⇒ (5x/6) + 3 = (2x/3) + 8
⇒ 5x/6 - 2x/3 = 8 - 3
⇒ (5x - 4x)/6 = 5
⇒ x/6 = 5
∴ x = 30

২,৫১৪.

আকাশ 600 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 10 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

ক
20 টি
খ
15 টি
গ
26 টি
ঘ
30 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আকাশ 600 টাকায় কিছু খাতা ক্রয় করে। যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম 10 টাকা কম হতো। আকাশ কতগুলো খাতা ক্রয় করেছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
খাতার সংখ্যা = X
প্রতি খাতার দাম = 600/X টাকা
যদি সে 5 টি খাতা বেশি ক্রয় করতো তাহলে প্রতি খাতার দাম = 600/(X + 5) টাকা

প্রশ্নমতে,
(600/X) - {600/(X + 5)} = 10
বা, [{600(X + 5)} - 600X]/{X(X + 5)} = 10
বা, 3000 = 10X(X + 5)
বা, X² + 5X - 300 = 0
বা, X² + 20X - 15X - 300 = 0
বা, X(X + 20) - 15(X + 20) = 0
বা, (X + 20) (X - 15) = 0
X = - 20 (গ্রহণযোগ্য নয়), X = 15

∴ আকাশ 15 টি খাতা ক্রয় করেছিলো।

২,৫১৫.

x + y - 1 = 0 এবং x - y + 1 = 0 এর সমাধান -

ক
ক) (0, 1)
খ
খ) (0, 2)
গ
গ) (1, 1)
ঘ
ঘ) (2, 1)

ব্যাখ্যা

যুক্তিঃ
x + y - 1 = 0 ............. (i)
x - y + 1 = 0 ............ (ii)
(i) নং এবং (ii) নং যোগ করে পাই,
2x = 0
∴ x = 0
আবার, (i) নং এবং (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
2y = 2
∴ y = 1
উত্তরঃ (0, 1)

২,৫১৬.

(a/2) - 6 = (a/3) + 8 হলে a এর মান কত?

ক
ক) 80
খ
খ) 82
গ
গ) 84
ঘ
ঘ) 86

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ‍(a/2) - 6 = (a/3) + 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(a/2) - 6 = (a/3) + 8
বা, (a/2) - (a/3) = 8 + 6
বা, (3a - 2a)/6 = 14
বা, a/6 = 14
বা, a = (14 × 6)
∴ a = 84

২,৫১৭.

(3 + x) + 8 = 3(x - 1) হলে x এর মান কত?

ক
- 3
খ
5
গ
7
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3 + x) + 8 = 3(x - 1) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(3 + x) + 8 = 3(x - 1)
⇒ 3 + x + 8 = 3x - 3
⇒ 11 + x = 3x - 3
⇒ 3x - x = 11 + 3
⇒ 2x = 14
∴ x = 7

২,৫১৮.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 6। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
42
খ
51
গ
24
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 6। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 18 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a = 60 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a) = 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 - 18 = 60 - 9a
⇒ 9a + 9a = 60 - 6 + 18
⇒ 18a = 72
∴ a = 4

∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24

২,৫১৯.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানের অঙ্ক দশক স্থানের অঙ্কের অর্ধেক। সংখ্যাটিকে অঙ্ক দুইটির গুণফল দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ৭/২ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ৭৩
খ
খ) ৫৩
গ
গ) ৬৩
ঘ
ঘ) ৫৭

ব্যাখ্যা

ধরি, দশক স্থানের অঙ্কে = ২x
তাহলে, একক স্থানের অঙ্ক = ২x এর ১/২ = x
সংখ্যাটি = ১০(২x) + x = ২১x
প্রশ্নমতে,
২১x/(২x²) = ৭/২
x = ৩
সংখ্যাটি = ২১ x ৩ = ৬৩

২,৫২০.

একজন লোকের কাছে ১ টাকা, ৫ টাকা ও ১০ টাকার নোট মিলে মোট ৪৮০ টাকা আছে। প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান। মোট কতগুলি নোট আছে?

ক
৬০ টি
খ
৭৫ টি
গ
১২০ টি
ঘ
৯০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোকের কাছে ১ টাকা, ৫ টাকা ও ১০ টাকার নোট মিলে মোট ৪৮০ টাকা আছে। প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান। মোট কতগুলি নোট আছে?

সমাধান:
ধরি,
১ টাকার নোট = ক টি
৫ টাকার নোট = ক টি
১০ টাকার নোট = ক টি
(কারণ প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান)

∴ মোট টাকা = (১ × ক) + (৫ × ক) + (১০ × ক) = ১৬ক টাকা

প্রশ্নমতে,
১৬ক = ৪৮০
⇒ ক = ৪৮০/১৬
∴ ক = ৩০

∴ প্রত্যেক মূল্যের নোট = ৩০টি করে
∴ মোট নোট = ৩০ + ৩০ + ৩০ = ৯০ টি

যাচাই
১ × ৩০ + ৫ × ৩০ + ১০ × ৩০
= ৩০ + ১৫০ + ৩০০
= ৪৮০ টাকা

২,৫২১.

একটি শ্রেনিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ঐ শ্রেণিতে ছাত্রসংখ্যা কত?

ক
৭৫ জন
খ
৭৮ জন
গ
৮১ জন
ঘ
৯২ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেনিতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ঐ শ্রেণিতে ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ছাত্রসংখ্যা = ক জন

এখন,
১ জন ছাত্র দেয় = ক টাকা
∴ ক জন ছাত্র দেয় = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৬৫৬১
⇒ ক = ৮১ [বর্গমূল করে]

অর্থাৎ ঐ শ্রেণি তে ছাত্রসংখ্যা = ৮১ জন

২,৫২২.

মামুন 182 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

ক
15
খ
14
গ
13
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: মামুন 182 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

সমাধান:
ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
∴ 1 টি কলমের দাম= 182/x টাকা

আবার,
1 টি কলম বেশি পেলে 1 টি কলমের দাম হত = 182/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
(182/x) - {182/(x + 1) = 1
⇒ (182x + 182 - 182x)/{x(x + 1)} = 1
⇒ 182/(x² + x) = 1
⇒ x² + x = 182
⇒ x² + 14x - 13x - 182 = 0
⇒ x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x - 13) = ০
∴ x = 13 অথবা x = - 14 [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ সে 13 টি কলম কিনেছিলো।

২,৫২৩.

x এর মান কত হলে a(x + a) = b(x + b) হবে?

ক
(a + b)
খ
- (a + b)
গ
(a - b)
ঘ
- (a - b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে a(x + a) = b(x + b) হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a(x + a) = b(x + b)
⇒ ax + a² = bx + b²
⇒ ax - bx = b² - a²
⇒ x(a - b) = - (a² - b²)
⇒ x(a - b) = - {(a + b)(a - b)}
⇒ x = - {(a + b)(a - b)}/(a - b)
∴ x = - (a + b)

২,৫২৪.

a² - 2a - 1 = 0 হলে a³ - 1/a³ = ?

ক
8
খ
6
গ
14
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 2a - 1 = 0 হলে a³ - 1/a³ = ?

সমাধান :
দেয়া আছে,
a² - 2a - 1 = 0
বা, a² - 1 = 2a
বা, ( a² - 1 )a = 2a/a [ উভয়পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে ]
বা, a - 1/a = 2 ....... ( 1 )
বা, ( a - 1/a )³ = 2³ [ ঘন করে ]
বা, a³ - 1/a³ - 3×a×1/a×( a - 1/a ) = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a³ - 1/a³ - 3×( a - 1/a ) = 8
বা, a³ - 1/a³ - 3×2 = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a³ - 1/a³ = 8 + 6
∴ a³ - 1/a³ = 14

উত্তর : 14

২,৫২৫.

x + 3y = 7 এবং 2x + 4y = 10 হলে x ও y এর মান কত?

ক
1, 2
খ
2, 1/2
গ
2, 3
ঘ
1/2, 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 3y = 7 এবং 2x + 4y = 10 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 3y = 7
⇒ x = 7 - 3y

এবং 2x + 4y = 10
⇒ 2(7 - 3y) + 4y = 10
⇒ 14 - 6y + 4y = 10
⇒ - 2y = 10 - 14
⇒ y = 4/2
∴ y = 2

∴ x = 7 - 3 × 2 = 7 - 6 = 1

২,৫২৬.

x+(1/x) = 4, x/(x²+x−1) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

২,৫২৭.

(x - p)/(p² - q²) = (x - q)/(q² - p²) হলে x এর মান কত?

ক
ক) (p - q)/2
খ
খ) (p + q)/2
গ
গ) (p + q)
ঘ
ঘ) (p + q)/4

ব্যাখ্যা

(x - p)/(p² - q²) = (x - q)/(q² - p²)
(x - p)/(p²- q²) = (x - q)/ - (p² - q²)
(x - p)/(p² - q²) = - (x - q)/(p² - q²)
x - p = - (x - q)
x - p = - x + q
x + x = p + q
2x = p + q
x = (p + q)/2

২,৫২৮.

দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ এবং অন্তরফল ১০ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২০
খ
৫০
গ
৪০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার সমষ্টি ৭০ এবং অন্তরফল ১০ হলে বড় সংখ্যাটি কত

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x
এবং ছোট সংখ্যাটি y

১ম শর্তমতে,
x + y = ৭০ ......... (1)

২য় শর্তমতে,
x - y = ১০ .........(2)

(1)+(2) করে পাই,
x + y + x - y = ৭০ + ১০
⇒ ২০ = ৮০
∴ x = ৪০

সুতরাং বড় সংখ্যাটি = ৪০

২,৫২৯.

2x + 3y - 1 = 0 এবং 5x - 2y + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
(1, 1)
খ
(1, 2)
গ
(- 2, 1)
ঘ
(- 1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y - 1 = 0 এবং 5x - 2y + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 1 .............(1)
5x - 2y = - 7 .............(2)

{(1)নং × 5} - {(2)নং × 2} ⇒
10x + 15y - 10x + 4y = 5 + 14
⇒19y =19
∴ y = 1

y এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + 3 ⋅ 1 = 1
⇒ 2x = 1 - 3
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

∴(x, y) = (-1, 1)

২,৫৩০.

যদি x+2y = 4 এবং x/y = 2 হয়, তবে x = কত?

ক
0
খ
3
গ
2
ঘ
5

ব্যাখ্যা

x/y = 2
∴ x = 2y
এখন, x+2y = 4
⇒ x+x = 4 [∵ x = 2y]
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

২,৫৩১.

a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
a < b
খ
a > b
গ
a = b
ঘ
a ≠ b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
a ≤ b
⇒ a < b অথবা, a = b

আবার, b ≤ a
⇒ b < a অথবা, b = a,

যেহেতু a < b হলে, b < a হতে পারে না (একই সাথে একটা সংখ্যা অন্য সংখ্যার বড় এবং ছোট হতে পারে না)
∴ a = b

২,৫৩২.

যদি (x + y, 3) = (7, x - y) হয়, তবে x এবং y এর মান কত?

ক
(5, 1)
খ
(2, 5)
গ
(5, 2)
ঘ
(2, 5)

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
(x + y, 3) = (7, x - y)
ক্রমজোড়ের শর্তমতে, x + y = 7 ------- (1)
এবং x - y = 3 ------- (2)
সমীকরণ (1)+(2) করে পাই,
x = 5
এখন x এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই,
5 - y = 3,
or, y = 5-3 = 2.
সুতরাং নির্ণেয় মান (x,y) = (5, 2)।

২,৫৩৩.

একটি সংখ্যার 5 গুণের সাথে 3 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 2 গুণ থেকে 9 বেশি। সংখ্যাটি কত?

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 5 গুণের সাথে 3 যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির 2 গুণ থেকে 9 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
5x + 3 = 2x + 9
⇒ 5x - 2x = 9 - 3
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2

∴ সংখ্যাটি = 2

২,৫৩৪.

882 টাকা তিন জন বালকের মাঝে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যেন ১ম বালক পায় ২য় বালকের অর্ধেক টাকা এবং ২য় বালক পায় ৩য় বালকের অর্ধেক টাকা। তাহলে ৩য় বালক কত টাকা পেল?

ক
515 টাকা
খ
504 টাকা
গ
467 টাকা
ঘ
435 টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 882 টাকা তিন জন বালকের মাঝে এমনভাবে ভাগ করে দেওয়া হলো যেন ১ম বালক পায় ২য় বালকের অর্ধেক টাকা এবং ২য় বালক পায় ৩য় বালকের অর্ধেক টাকা। তাহলে ৩য় বালক কত টাকা পেল?

সমাধান:
ধরি,
৩য় বালক পায় = a টাকা
২য় বালক পায় = a/2 টাকা
এবং ১ম পায় = (a/2) × (1/2) = a/4 টাকা

∴ a + (a/2) + (a/4) = 882
⇒ (4a + 2a + a)/4 = 882
⇒ 7a = 882 × 4
⇒ a = (882 × 4)/7
∴ a = 504

সুতরাং, ৩য় বালক পায় = 504 টাকা

২,৫৩৫.

x² = 16, y² = 25 হলে, xy এর মান কত?

ক
ক) 16
খ
খ) 20
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = 16, y² = 25 হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
x² = 4
⇒ x = 4

y² = 25
⇒ y = 5

∴ xy = 4 × 5
= 20

২,৫৩৬.

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কয়জন ছাত্রী আছে?

ক
ক) ১৮ জন
খ
খ) ৪২ জন
গ
গ) ৬০ জন
ঘ
ঘ) ৯৬ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কয়জন ছাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬
= ৯৬ জন

২,৫৩৭.

শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ৩০০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ১০ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

ক
৩০ জন
খ
৪০ জন
গ
৫০ জন
ঘ
৬০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ৩০০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ১০ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ৩০০০/ক

অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ৩০০০/(ক + ১০)

প্রশ্নমতে,
(৩০০০/ক) - (৩০০০/(ক + ১০)) = ১০
৩০০০{(১/ক) - ১/(ক + ১০)} = ১০
১/ক - ১/(ক + ১০) = ১০/৩০০০
(ক + ১০ - ক)/ক(ক + ১০) = ১/৩০০
১০/ক^২ + ১০ক = ১/৩০০
ক^২ + ১০ক = ৩০০০
ক^২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
(ক + ৬০)(ক - ৫০) = ০

হয়
ক + ৬০ = ০
ক = - ৬০

অথবা
ক - ৫০ = ০
ক = ৫০

অর্থাৎ, প্রথমে ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ৫০ জন।
বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন

২,৫৩৮.

2x + 2y = 14 ও x - y = 1 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(4, 3)
খ
(5, 4)
গ
(3, 2)
ঘ
(5, 3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 2y = 14 ও x - y = 1 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
2x + 2y = 14
⇒ x + y =7..................(1)

x - y = 1 .................(2)

(1) + (2) ⇒
x + y + x - y = 7 + 1
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

(1) ⇒
x + y = 7
⇒ 5 + y = 7
⇒ y = 7 - 4
∴ y = 3

x ও y এর মান যথাক্রমে 4, 3
∴ (x, y) = (4, 3)

২,৫৩৯.

3x - 5y + 9 = 0 এবং 5x - 3y - 1 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

ক
ক) (2,4)
খ
খ) (2,- 3)
গ
গ) (2,3)
ঘ
ঘ) (- 2,3)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3x - 5y + 9 = 0
5x - 3y - 1 = 0

3x - 5y = - 9 ..........(1)
5x - 3y = - 1.......... (2)

(1)নং × 3 - (2)নং × 5 ⇒

9x - 15y - 25x + 15y = - 27 - 5
- 16x = - 32
x = 2

(1)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই
3x - 5y = - 9
3 × 2 - 5y = -9
6 - 5y = - 9
- 5y = - 9 -6
- 5y = - 15
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x,y) =(2,3)

২,৫৪০.

3x – 2y = 2, 5x – 3y = 5 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (5, 4)
খ
খ) (4, 5)
গ
গ) (3, 4)
ঘ
ঘ) (1, 4)

ব্যাখ্যা

3x – 2y = 2 ………… (1)
অতএব, x = (2 + 2y)/3 ………….. (3)
5x – 3y = 5 …………… (2)
or, {5 (2 + 2y)}/3 - 3y = 5 [(3) এর x মান বসিয়ে]
or, (10 + 10y)/3 - 3y = 5
or, 10 + 10y - 9y = 15
or, y = 5
এখন y এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = ( 2 + 10)/3
= 12/3 = 4
অতএব, x,y = (4,5)

২,৫৪১.

একটি সংখ্যার 1/5 অংশ অপর সংখ্যার 5/8 অংশের সমান। প্রথম সংখ্যার সাথে 35 যোগ করলে যোগফল অপর সংখ্যার 4 গুণ হয়। অপর সংখ্যা দুইটি কত?

ক
30
খ
35
গ
38
ঘ
40

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা y

১ম শর্তমতে,
x/5 = 5y/8
x = 25y/8 ........... (1)

২য় শর্তমতে,
x + 35 = 4y
(25y/8) + 35 = 4y
4y - (25y/8) = 35
(32y - 25y)/8 = 35
7y/8 = 35
7y = 35 × 8
y = (35 × 8)/7
y = 40

২,৫৪২.

একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হতে চার বিয়োগ করলে ২০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
৩৬
খ
২৪
গ
৯৬
ঘ
৪৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশ হতে চার বিয়োগ করলে ২০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে
(ক/৪) - ৪ = ২০
ক/৪ = ২০ + ৪
ক/৪ = ২৪
ক = ২৪ × ৪
ক = ৯৬

২,৫৪৩.

যদি 3x - 2y - z = 32 + z এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4 হয়, তাহলে x = কত?

ক
12
খ
8
গ
10
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x - 2y - z = 32 + z এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4 হয়, তাহলে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 2y - z = 32 + z
3x - 32 = 2y + 2z.........(i)

এবং √(3x) - √(2y + 2z) = 4...........(ii)
⇒ √(3x) - √(3x - 32) = 4
⇒ √(3x) - 4 = √(3x - 32)
⇒ 3x + 16 - 8√(3x) = 3x - 32 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
⇒ 8√(3x) = 48
⇒ √(3x) = 6
⇒ 3x = 36
∴ x = 12

২,৫৪৪.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক 3।
অঙ্ক দুটির সমষ্টি সংখ্যাটির 7 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত?

ক
53
খ
63
গ
73
ঘ
83

ব্যাখ্যা

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴,সংখ্যাটি = 10x + 3
প্রশ্নমতে,
10x + 3 = 7(x + 3)
বা,10x + 3 = 7x + 21
বা,10x - 7x = 21 - 3
বা,3x = 18
∴, x = 6

সংখ্যাটি = 10 × 6 + 3
= 63

২,৫৪৫.

জহিরের কাছে সবুজের থেকে ৫ টি বই কম আছে। জহির সবুজকে ৫ টি বই দিলে সবুজের কাছে জহিরের থেকে ৪ গুন বই হবে। জহিরের কাছে কয়টি বই আছে?

ক
৫
খ
১০
গ
১৫
ঘ
২০
ঙ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জহিরের কাছে সবুজের থেকে ৫ টি বই কম আছে। জহির সবুজকে ৫ টি বই দিলে সবুজের কাছে জহিরের থেকে ৪ গুন বই হবে। জহিরের কাছে কয়টি বই আছে?

সমাধান:
ধরি,
জহিরের কাছে বই আছে= ক টি
তাহলে, সবুজের কাছে বই আছে = (ক + ৫) টি

আবার,
জহির সবুজকে ৫ টি বই দিলে ,
জহিরের বই হবে = ক - ৫ টি
এবং সবুজের বই হবে = (ক + ৫) + ৫ = ক + ১০ টি

প্রশ্নমতে,
ক + ১০ = ৪ (ক - ৫)
⇒ ক + ১০ = ৪ক - ২০
⇒ ৪ক - ক = ২০ + ১০
⇒ ৩ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/৩
⇒ ক = ১০

সুতরাং জহিরের কাছে বই আছে = ১০ টি

২,৫৪৬.

a² - 2a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে c এর মান কত?

ক
- 2
খ
- 3
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 2a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 3 হয়, তাহলে c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 3
অর্থাৎ, a = 3

এখন,
a² - 2a + c = 0
বা, (3)² - 2 × 3 + c = 0
বা, 9 - 6 + c = 0
বা, 3 + c = 0
∴ c = - 3

২,৫৪৭.

দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
37
গ
38
ঘ
40

ব্যাখ্যা

২,৫৪৮.

4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3

২,৫৪৯.

একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৫ ফুট পানির উপরে আছে । বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪০ ফুট
খ
৩৬০ ফুট
গ
২৪ ফুট
ঘ
৩০ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৫ ফুট পানির উপরে আছে । বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক ফুট

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক/২) + (ক/৩) + ৫ = ক
⇒ (৩ক + ২ক + ৩০)/৬ = ক
⇒ ৫ক + ৩০ = ৬ক
⇒ ক = ৩০

∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩০ ফুট

২,৫৫০.

a + b + c = 11, ab + bc + ca = 36 হলে, a² + b² + c² = কত?

ক
42
খ
45
গ
49
ঘ
50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c = 11, ab + bc + ca = 36 হলে, a² + b² + c² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a + b + c = 11
ab + bc + ca = 36

আমরা জানি
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ 11² = a² + b² + c² + 2 × 36
⇒ 121 = a² + b² + c² + 72
⇒ 121 - 72 = a² + b² + c²
a² + b² + c² = 49

২,৫৫১.

ছয়টি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার প্রথম তিনটির যোগফল 45 হলে শেষ তিনটির যোগফল কত?

ক
ক) 49
খ
খ) 52
গ
গ) 54
ঘ
ঘ) 57

ব্যাখ্যা

S_n = S_p + n² = 45 + 3² = 54

২,৫৫২.

x+y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
ক) (১/৩),(১/৩)
খ
খ) (১, ১)
গ
গ) (-৩, ৩)
ঘ
ঘ) (-১, ১)

ব্যাখ্যা

x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সমীকরন দুটি যোগ করে পাই,
3x + 3 = 0
x = -1
x- এর মান ১ম সমীকরনে বসিয়ে পাই, y = 1
সরলরেখা দুটি (-১, ১) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,৫৫৩.

2x = 5 - y হলে, 6x + 3y =?

ক
ক) 5
খ
খ) 10
গ
গ) 15
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x = 5 - y হলে, 6x + 3y =?

সমাধান:
2x = 5 - y
⇒ 2x + y = 5

6x + 3y
= 3 (2x + y)
= 3 × 5
= 15

২,৫৫৪.

2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত?

ক
8
খ
10
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x = 3y + 5
বা, 2x - 3y = 5
বা, 4x - 6y = 10 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

∴ 4x - 6y = 10

২,৫৫৫.

কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
4/9
খ
5/7
গ
2/3
ঘ
3/11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটির লব = a
ভগ্নাংশটির হর = b
∴ ভগ্নাংশটি = a/b [যেখানে b>a]

১ম শর্তানুসারে, a + b = 14 . . . . (i)
২য় শর্তানুসারে, b - a = 8 . . . . (ii)

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,
a + b + b - a = 14 + 8
বা, 2b = 22
∴ b = 11

b এর মান (i) নং এ বসাই,
a + 11 = 14
বা, a = 14 - 11
∴ a = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/11

২,৫৫৬.

x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(1/3,1/3)
খ
(1, 1)
গ
(- 3, 3)
ঘ
(- 1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 0 এবং 2x - y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 0 ......................(1)
2x - y + 3 = 0..................(2)

(1) এবং (2) সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,
x + y + 2x - y + 3 = 0
⇒ 3x + 3 = 0
⇒ 3x = - 3
⇒ x = - 1

x- এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
- 1 + y = 0
∴ y = 1
সরলরেখা দুটি (- 1, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,৫৫৭.

যদি a/b = 4/3 হয়, তবে (3a + 2b)/(3a - 2b) এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
a/b = 4/3
(3/2)(a/b) = (3/2)(4/3)
3a/2b = 2
(3a + 2b)/(3a - 2b) = (2 + 1)/(2 - 1) [ যোজন- বিয়োজন করে]
(3a + 2b)/(3a - 2b) = 3/1
(3a + 2b)/(3a - 2b) = 3

২,৫৫৮.

x - y = 0 এবং x + 2y = 3 হলে, (x, y) = কত?

ক
(- 1, - 1)
খ
(1, 3)
গ
(- 1, - 3)
ঘ
(1, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 0 এবং x + 2y = 3 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
x - y = 0
∴ x = y

আবার,
x + 2y = 3
⇒ x + 2x = 3
⇒ x = 1

∴ (x, y) = (1, 1)

২,৫৫৯.

যদি 12x² - ax + 7 = ax² + 9x + 3 সমীকরণের কেবল একটিই সমাধান থাকে তাহলে a এর ধনাত্মক মানটি কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 12x² - ax + 7 = ax² + 9x + 3 সমীকরণের কেবল একটিই সমাধান থাকে তাহলে a এর ধনাত্মক মানটি কত?

সমাধান:
12x² - ax + 7 = ax² + 9x + 3
⇒ 12x² - ax + 7 - ax² - 9x - 3 = 0
⇒ (12 - a)x² - x(a + 9) + 4 = 0

কেবল একটিই সমাধান জন্য নিশ্চায়ক b² - 4ac = 0 হয়।
{- (a + 9)}² - 4.(12 - a).4 = 0
⇒ (a + 9)² - 16(12 - a) = 0
⇒ a² + 18a + 81 - 192 + 16a = 0
⇒ a² + 34a - 111 = 0
⇒ a² + 37a - 3a - 111 = 0
⇒ (a + 37)(a - 3) = 0

∴ ধনাত্মক মানটি হল a = 3

২,৫৬০.

x - 5 = (x - 5)/x হলে, সমাধান সেট কত?

ক
{5}
খ
{1, 5}
গ
{0, 1, 5}
ঘ
{1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 5 = (x - 5)/x হলে, সমাধান সেট কত?

সমাধান:
x - 5 = (x - 5)/x
⇒ x(x - 5) = (x - 5)
⇒ x(x - 5)- 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0

হয়
x - 5 = 0
⇒ x = 5

অথবা
x - 1 = 0
⇒ x = 1

সমাধান সেট = {1, 5}

২,৫৬১.

কোনো স্থানে যতজন লোক ছিলো প্রত্যেকে তত 5 টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মোট 2645 টাকা আদায় হলো। এখানে লোকসংখ্যা কত?

ক
25
খ
32
গ
23
ঘ
52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো স্থানে যতজন লোক ছিলো প্রত্যেকে তত 5 টাকা করে চাঁদা দেয়ায় মোট 2645 টাকা আদায় হলো। এখানে লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি
লোকসংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
5x × x = 2645
5x² = 2645
x² = 529
x² = 23²
x = 23

২,৫৬২.

4x + 5 = 3(x + 6) - 1 হলে x এর মান কত?

ক
17
খ
15
গ
12
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + 5 = 3(x + 6) - 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4x + 5 = 3(x + 6) - 1
⇒ 4x + 5 = 3x + 18 - 1
⇒ 4x + 5 = 3x + 17
⇒ 4x - 3x = 17 - 5
∴ x = 12

২,৫৬৩.

একটি নির্দিষ্ট পোষা প্রাণীর দোকান কেবলমাত্র কুকুর ও বিড়াল বিক্রি করে। মার্চ মাসে, দোকানটি বিড়ালের দ্বিগুণ সংখ্যক কুকুর বিক্রি করেছিল। এপ্রিল মাসে, দোকানটি মার্চে বিক্রি করা কুকুরের সংখ্যার দ্বিগুণ এবং মার্চে বিক্রি করা বিড়ালের সংখ্যার তিনগুণ বিক্রি করেছিল। মার্চ এবং এপ্রিল মাসে মোট বিক্রি হওয়া প্রাণীর সংখ্যা ছিল 500। মার্চ মাসে দোকানটি কতটি কুকুর বিক্রি করেছিল?

ক
50 টি
খ
100 টি
গ
75 টি
ঘ
150 টি
ঙ
200 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পোষা প্রাণীর দোকান কেবলমাত্র কুকুর ও বিড়াল বিক্রি করে। মার্চ মাসে, দোকানটি বিড়ালের দ্বিগুণ সংখ্যক কুকুর বিক্রি করেছিল। এপ্রিল মাসে, দোকানটি মার্চে বিক্রি করা কুকুরের সংখ্যার দ্বিগুণ এবং মার্চে বিক্রি করা বিড়ালের সংখ্যার তিনগুণ বিক্রি করেছিল। মার্চ এবং এপ্রিল মাসে মোট বিক্রি হওয়া প্রাণীর সংখ্যা ছিল 500। মার্চ মাসে দোকানটি কতটি কুকুর বিক্রি করেছিল?

সমাধান:
ধরি,
মার্চে বিক্রিত বিড়ালের সংখ্যা = x
তাহলে মার্চে বিক্রিত কুকুরের সংখ্যা = 2x [বিড়ালের দ্বিগুণ]
মার্চে মোট বিক্রিত প্রাণী = x + 2x = 3x

এপ্রিলে বিক্রিত কুকুরের সংখ্যা = 2(2x) = 4x [মার্চের কুকুরের দ্বিগুণ]
এপ্রিলে বিক্রিত বিড়ালের সংখ্যা = 3x [মার্চের বিড়ালের তিনগুণ]
এপ্রিলে মোট বিক্রিত প্রাণী = 4x + 3x = 7x

মোট প্রাণীর সংখ্যা, মার্চ + এপ্রিল = 500
⇒ 3x + 7x = 500
⇒ 10x = 500
⇒ x = 50

∴ মার্চ মাসে দোকানটি কুকুর বিক্রি করেছিল = 2x
= 2 × 50
= 100 টি

২,৫৬৪.

x² - x - 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি-

ক
ক) বাস্তব ও সমান
খ
খ) বাস্তব ও অসমান
গ
গ) অমূলদ ও অসমান
ঘ
ঘ) অবাস্তব ও অসমান

ব্যাখ্যা

সমীকরণের নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (-1)² - 4.1.(-6)
= 1 + 24
= 25 > 0
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,৫৬৫.

করিম ২ টাকা ও ৩ টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ ১০০ টাকা হয় তবে সে কতটি স্ট্যাম্প কিনেছে?

ক
ক) ২৫
খ
খ) ৩৪
গ
গ) ৪০
ঘ
ঘ) ৪৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: করিম ২ টাকা ও ৩ টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ ১০০ টাকা হয় তবে সে কতটি স্ট্যাম্প কিনেছে?

সমাধান:
স্ট্যাম্প কিনেছে ক টি

প্রশ্নমতে
(ক/২) × ২ + (ক/২) × ৩ = ১০০ টাকা
ক + ৩ক/২ = ১০০
(২ক + ৩ক)/২ = ১০০
৫ক/২ = ১০০
ক = (১০০ × ২)/৫
ক = ৪০ টি

২,৫৬৬.

y = 3 এবং x = 4y + 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

ক
(18, 3)
খ
(17, 5)
গ
(9, 5)
ঘ
(6, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y = 3 এবং x = 4y + 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
y = 3 ...... (১)
x = 4y + 6 ........ (২)
১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 3

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 4 × 3 + 6
⇒ x = 12 + 6
⇒ x = 18

অতএব, সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (18, 3)

২,৫৬৭.

একজন টিভি বিক্রেতা তার প্রতিটি টিভির দাম x% বৃদ্ধি করল। এতে তার বিক্রিত টিভির সংখ্যা y% কমে গেল। কিন্তু এতেও তার মোট বিক্রয়মূল্য অপরিবর্তিত থাকলো। নিচের কোন সমীমরণটি y এর সাপেক্ষে x এর সঠিক প্রকাশ?

ক
y/(1 - x)
খ
100y/(100 - y)
গ
100/(100 - y)
ঘ
100y/(100 - x)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন টিভি বিক্রেতা তার প্রতিটি টিভির দাম x% বৃদ্ধি করল। এতে তার বিক্রিত টিভির সংখ্যা y% কমে গেল। কিন্তু এতেও তার মোট বিক্রয়মূল্য অপরিবর্তিত থাকলো। নিচের কোন সমীমরণটি y এর সাপেক্ষে x এর সঠিক প্রকাশ?

সমাধান:
ধরি,
প্রতিটি টিভির মূল্য = 100 টাকা
এবং মোট টিভি = 100 টি
তাহলে, মোট বিক্রয়মূল্য = 100 × 100 = 10000 টাকা

x% বৃদ্ধিতে, প্রতিটি টিভির দাম = 100 + x টাকা
আবার, y % হ্রাসে, মোট টিভি = 100 - y টি
∴ নতুন মোট বিক্রয়মূল্য = (100 + x )(100 - y)

শর্তমতে,
(100 + x)(100 - y) = 10000
⇒ 100 + x = 10000/(100 - y)
⇒ x = {10000/(100 - y)} - 100
= (10000 - 10000 + 100y)/(100 - y)
= 100y/(100 - y)

২,৫৬৮.

কোন সংখ্যা দুইটির যোগফল 10 এবং গুণফল 24?

ক
ক) 4, -6
খ
খ) -6, -6
গ
গ) 12, -2
ঘ
ঘ) 4, 6

ব্যাখ্যা

4+6 = 10
4X6 = 24

২,৫৬৯.

একটি পরীক্ষায় একজন ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ৩০টি প্রশ্নের মধ্যে ২৪টি শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক পঞ্চমাংশ এর শুদ্ধ উত্তর দেয়। যদি সে মোট ৪০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয়, তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক
৬০ টি
খ
৭৫ টি
গ
৯০ টি
ঘ
১০০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় একজন ছাত্র n সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ৩০টি প্রশ্নের মধ্যে ২৪টি শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক পঞ্চমাংশ এর শুদ্ধ উত্তর দেয়। যদি সে মোট ৪০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয়, তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
২৪ + (n - ৩০)/৫ = n এর ৪০%
⇒ (১২০ + n - ৩০)/৫ = n এর ৪০/১০০
⇒ (n + ৯০)/৫ = ২n/৫
⇒ ২n = n + ৯০
⇒ ২n - n = ৯০
∴ n = ৯০

সুতরাং, ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা ছিল ৯০ টি।

২,৫৭০.

y + 1/y = 2 হলে, y² - 1/y² এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
4
ঘ
16

ব্যাখ্যা

(y - 1/y)²
= (y + 1/y)² - 4.y.1/y
= 2² - 4
= 0
∴ y - 1/y = 0

এখন, y² - 1/y²
= (y + 1/y)( y - 1/y)
= 2 × 0
= 0

২,৫৭১.

শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

ক
৬০
খ
৫০
গ
৪৮
ঘ
৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম ছাত্রছাত্রী সংখ্যা ছিলো ক জন
∴ প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/ক
অতিরিক্ত দশজন যাওয়াতে এখন প্রতিজনের ভাড়া ২৪০০/(ক + ১০)

প্রশ্নমতে,
(২৪০০/ক) - (২৪০০/(ক + ১০)) = ৮
বা, {২৪০০(ক + ১০) - ২৪০০ক}/ক(ক + ১০) = ৮
বা, (২৪০০ক + ২৪০০০ - ২৪০০ক)/(ক^২ + ১০ক) = ৮
বা, ৮ক^২+ ৮০ক - ২৪০০০ = ০
বা, ৮(ক^২ + ১০ক - ৩০০০) = ০
বা, ক^২ + ১০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক^২ + ৬০ক - ৫০ক - ৩০০০ = ০
বা, ক(ক + ৬০) - ৫০(ক + ৬০) = ০
∴ (ক + ৬০)(ক - ৫০) = ০

যেহেতু, ক ≠- ৬০
∴ ক = ৫০ জন।

বাসে গিয়েছিলো (৫০ + ১০) = ৬০জন

২,৫৭২.

রফিকের ওজন যদি ১৭ কেজি কমে যায় তবে তার ওজন আরিফের ওজনের অর্ধেক হয়ে যাবে। তাদের দুজনের ওজনের যোগফল ১৪০ কেজি হলে রফিকের ওজন কত কেজি?

ক
ক) ৫৫
খ
খ) ৫৮
গ
গ) ৬১
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধরি, রফিকের ওজন = x
তাহলে আরিফের ওজন = 140 - x
প্রশ্নমতে,
x - 17 = (140 - x)/2
বা, 2x - 34 = 140 - x
বা, 2x + x = 140 + 34
বা, 3x = 174
বা, x = 58

২,৫৭৩.

√(x+2) = √x + √2 হলে x = ?

ক
ক) -3
খ
খ) 0
গ
গ) √3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

এখানে, x=0 এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

২,৫৭৪.

7x + 4y = 8 এবং 2y - 7x = 4 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করবে?

ক
(2, 0)
খ
(2, 2)
গ
(0, 2)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x + 4y = 8 এবং 2y - 7x = 4 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
7x + 4y = 8 ........(1)
এবং 2y - 7x = 4 ...........(2)
এখন,
(1) + (2)
7x + 4y + 2y − 7x = 8 + 4
⟹ 6y = 12
⟹ y = 12/6
∴ y = 2

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
7x + 4(2) = 8
⟹ 7x + 8 = 8
⟹ 7x = 8 - 8
⟹ 7x = 0
∴ x = 0
সুতরাং, সরলরেখাদ্বয় (0, 2) বিন্দুতে ছেদ করবে।

২,৫৭৫.

y³ + py + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে p এর মান কত?

ক
- 11
খ
- 9
গ
- 7
ঘ
- 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y³ + py + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে p এর মান কত?

সমাধান:
∵ একটি সমাধান = 2,
y = 2 বসিয়ে পাই,
2³ + 2p + 10 = 0
⇒ 8 + 2p + 10 = 0
⇒ 2p = - 18
⇒ p = (- 18)/2
∴ p = - 9

∴ p এর মান (- 9)

২,৫৭৬.

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় 3 এবং - 4 হলে সমীকরণটি হবে-

ক
x² + x - 12 = 0
খ
x² - 7x - 12 = 0
গ
x² - x + 12 = 0
ঘ
x² + x + 12 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় 3 এবং - 4 হলে সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণটি হবে,
(x - α)(x - β) = 0
⇒ (x - 3){x - (- 4)} = 0 ; [প্রদত্ত মূল: 3 এবং - 4]
⇒ (x - 3)(x + 4) = 0
⇒ x² + 4x - 3x - 12 = 0
∴ x² + x - 12 = 0

২,৫৭৭.

বার্ষিক পরীক্ষায় একটি ছাত্র ক সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টি নির্ভুল উত্তর দিল। বাকি যা প্রশ্ন রইল তার ১/৩ অংশ সে নির্ভুল উত্তর দিল। সমস্ত প্রশ্নের মান সমান। যদি ছাত্রটি শতকরা ৭৫ ভাগ নম্বর পায় তবে প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক
১৫টি
খ
২০টি
গ
২৫টি
ঘ
১৮টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বার্ষিক পরীক্ষায় একটি ছাত্র ক সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০টির মধ্যে ১৫টি নির্ভুল উত্তর দিল। বাকি যা প্রশ্ন রইল তার ১/৩ অংশ সে নির্ভুল উত্তর দিল। সমস্ত প্রশ্নের মান সমান। যদি ছাত্রটি শতকরা ৭৫ ভাগ নম্বর পায় তবে প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
প্রশ্নসংখ্যা = ক

সে সঠিক উত্তর দেয় = ক এর ৭৫%
= ক এর ৭৫/১০০
= ৩ক/৪

শর্তমতে,
১৫ + (১/৩)(ক - ২০) = ৩ক/৪
বা, (৪৫ + ক - ২০)/৩ = ৩ক/৪
বা, (ক + ২৫)/৩ = ৩ক/4
বা, ৯ক = ৪ক + ১০০
বা, ৯ক - ৪ক = ১০০
বা, ৫ক = ১০০
∴ ক = ২০

২,৫৭৮.

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
2/3
খ
1/4
গ
4/7
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরা যাক,
ভগ্নাংশের লব = x
এবং হর = y
∴ ভগ্নাংশ = x/y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 ..........(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
⇒ x - y = - 2 ..........(2)

(1) - (2) ⇒
x - 2y - x + y = - 7 + 2
⇒ - y = - 7 + 2
⇒ - y = -5
∴ y = 5

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 5 = - 2
∴ x = - 2 + 5 = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশ = 3/5

২,৫৭৯.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 55। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 25 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1575 টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
43 জন
খ
47 জন
গ
51 জন
ঘ
49 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 55। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 25 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1575 টাকা হলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী = ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৫৫ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ টাকা
= ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৫৫ - ক) = ১৫৭৫
⇒ ২৫ক + ৪১২৫ - ৭৫ক = ১৫৭৫
⇒ ৪১২৫ - ৫০ক = ১৫৭৫
⇒ ৫০ক = ৪১২৫ - ১৫৭৫
⇒ ৫০ক = ২৫৫০
∴ ক = ৫১

ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫১ জন

২,৫৮০.

x + 2y = 8 এবং 2x - 3y = - 5 হল x ও y এর মান কত?

ক
(2, 2)
খ
(3, 3)
গ
(2, 3)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 8 এবং 2x - 3y = - 5 হল x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 2y = 8...................(1)
2x - 3y = - 5..................(2)

(1)নং × 3 + (2)নং × 2 ⇒
3x + 6y + 4x - 6y = 24 - 10
7x = 14
x = 2

(1) নং হতে পাই
x + 2y = 8
2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

২,৫৮১.

যদি y/x = 1/3 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
1/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি y/x = 1/3 হয়, তবে (x + y)/(x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
y/x = 1/3
বা, x/y = 3
বা, (x + y)/(x - y) = (3 + 1)/(3 - 1) [যোজন-বিয়োজন করে]
বা, (x + y)/(x - y) = 4/2
∴ (x + y)/(x - y) = 2

২,৫৮২.

একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ৪৮০০ চকলেট বিতরণ করা হলো। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

ক
৩০ জন
খ
৩৬ জন
গ
৪০ জন
ঘ
৪৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ৪৮০০ চকলেট বিতরণ করা হলো। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ক জন
∴ চকলেট পায় = ৩ক টি করে

প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ৪৮০০
বা, ৩ক^২ = ৪৮০০
বা, ক^২ = ৪৮০০/৩
বা, ক^২ = ১৬০০
∴ ক = ৪০

∴ মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ৪০ জন।

২,৫৮৩.

x² + x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
অবাস্তব ও অসমান
খ
অবাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

সমাধান:
x² + x - 12 = 0
বা, x² + 4x - 3x - 12 = 0
বা, x(x + 4) - 3(x + 4) = 0
বা, (x + 4)(x - 3) = 0
∴ x = - 4, 3

সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

২,৫৮৪.

120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 180 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

ক
50, 70
খ
40, 80
গ
60, 60
ঘ
70, 50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 180 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
এক টাকার মুদ্রা = x টি
দুই টাকার মুদ্রা = y টি

শর্তমতে,
x + y = 120
x = 120 - y ……(1)

এবং
1 × x + 2 × y = 180
⇒ x + 2y = 180
⇒ (120 - y) + 2y = 180
⇒ 120 - y + 2y = 180
⇒ 120 + y = 180
⇒ y = 180 - 120
∴ y = 60

তাহলে (1) নং হতে পাই,
⇒ x = 120 - 60
∴ x = 60

সুতরাং, এক টাকার মুদ্রা = 60 টি এবং দুই টাকার মুদ্রা = 60 টি

২,৫৮৫.

x = 10 হলে নিচের কোন মানটি সর্বনিম্ন হবে?

ক
x/2
খ
2 - x
গ
2/x
ঘ
(2 - x)²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 10 হলে নিচের কোন মানটি সর্বনিম্ন হবে?

সমাধান:
উক্ত অপশন অনুযায়ী,
(ক) x/2 = 10/2 = 5 (বৃহত্তম),
(খ) 2 - x = 2 - 10 = - 8 (ক্ষুদ্রতম),
(গ) 2/x = 2/10 = 0.5 (বৃহত্তম) এবং
(ঘ) (2 - x)² = (2 - 10)² = (- 8)² = 64 (বৃহত্তম)।

∴ 2 - x এর মান সর্বনিম্ন।

২,৫৮৬.

x > 0 এবং x² = 4x হলে, x এর মান কোনটি?

ক
ক) 4
খ
খ) 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x > 0 এবং x² = 4x হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x > 0 এবং
x² = 4x
x²- 4x = 0
x(x - 4) = 0

হয়
x = 0 [গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ x > 0]

অথবা
x - 4 = 0
x = 4

২,৫৮৭.

x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) - 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল কত?

সমাধান:
x² - x - 6 = 0
x2 - 3x + 2x - 6 = 0
x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
(x - 3)(x + 2) = 0

হয়
x - 3 = 0
x = 3
অথবা
x + 2 = 0
x = - 2

মূলদ্বয়ের যোগফল = 3 + (- 2)
= 3 - 2 = 1

২,৫৮৮.

x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 2
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - 2y = 8, 3x - 2y = 4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?

সমাধান:
x - 2y = 8.............(1)
3x - 2y = 4.............(2)

(2) - (1)⇒
3x - 2y - (x - 2y) = 4 - 8
⇒ 3x - 2y - x + 2y = - 4
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

২,৫৮৯.

একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্বক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্বক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
গুণাত্বক বিপরীত সংখ্যা = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
বা, (x² + 1)/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

২,৫৯০.

যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত?

ক
0
খ
4
গ
3
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0 [y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3

২,৫৯১.

যদি x/y = 1/4 এবং 2x + 3y = 6 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
7/3
খ
1/3
গ
5/3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x/y = 1/4 এবং 2x + 3y = 6 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x/y = 1/4
⇒ y = 4x
এখন,
2x + 3y = 6
⇒ 2x + 3(4x) = 6
⇒ 2x + 12x = 6
⇒ 14x = 6
⇒ x = 6/14
∴ x = 3/7

২,৫৯২.

একটি ক্লাসের ছাত্রদের বাংলায় প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 100 বাদ দেয়ার পর ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 70 থেকে 65 এ নেমে আসলে ঐ ক্লাসের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

ক
20
খ
30
গ
40
ঘ
50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ছাত্রদের বাংলায় প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 100 বাদ দেয়ার পর ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 70 থেকে 65 এ নেমে আসলে ঐ ক্লাসের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
মোট প্রাপ্ত নম্বর = a
মোট ছাত্র সংখ্যা = b

শর্তমতে,
a/b = 70 ………(i)

আবার,
(a - 100)/b = 65
বা, (a/b) - (100/b) = 65
বা, 70 - (100/b) = 65 [(i) নং হতে (a/b) এর মান বসিয়ে]
বা, (70b - 100)/b = 65
বা, 70b - 100 = 65b
বা, 70b - 65b = 100
বা, 5b = 100
বা, b = 100/5
∴ b = 20

∴ ঐ ক্লাসের মোট ছাত্র সংখ্যা 20 জন।

২,৫৯৩.

যদি x = 1 - a এবং y = 2a + 1 হয় তাহলে, a এর কোন মানের জন্য x এর মান এবং y এর মান সমান হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x = 1 - a
y = 2a + 1

এখন
x = y
1 - a = 2a + 1
- a - 2a = 1 - 1
-3a = 0
a = 0

২,৫৯৪.

3x² - x + 5 =0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x² - x + 5 =0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

সমাধান:
চলকের সাথে যে রাশি গুণ আকারে থাকে তাকে সহগ বলে।

এখানে, x এর সাথে (-1) গুণ আকারে আছে।
তাই সহগ -1

২,৫৯৫.

একটি বাসে প্রতি সারিতে ৫ জন করে যাত্রী বসলে ২টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৪ জন করে বসলে ১০ জন যাত্রী দাঁড়িয়ে থাকে। বাসটিতে মোট কতটি সারি আছে?

ক
১৮ টি
খ
২২ টি
গ
২০ টি
ঘ
১৬ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাসে প্রতি সারিতে ৫ জন করে যাত্রী বসলে ২টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৪ জন করে বসলে ১০ জন যাত্রী দাঁড়িয়ে থাকে। বাসটিতে মোট কতটি সারি আছে?

সমাধান:
ধরি,
সারি সংখ্যা = ক টি

প্রতি সারিতে ৫ জন করে যাত্রী বসলে ২টি সারি খালি থাকে
∴ যাত্রীসংখ্যা = (ক - ২) × ৫ জন

প্রতি সারিতে ৪ জন করে যাত্রী বসলে ১০ জন যাত্রী দাঁড়িয়ে থাকে
∴ যাত্রীসংখ্যা = ৪ক + ১০ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৫ = ৪ক + ১০
⇒ ৫ক - ১০ = ৪ক + ১০
∴ ক = ২০

অতএব, বাসটিতে মোট ২০ টি সারি আছে।

২,৫৯৬.

কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয় এবং হরের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/5
খ
খ) 7/9
গ
গ) 9/11
ঘ
ঘ) 11/13

ব্যাখ্যা

মনেকরি
ভগ্নাংশটির লব x
ভগ্নাংশটির হর y

ভগ্নাংশটি = x/y

১ম শর্তমতে
(x + 2)/y = 1
x + 2 = y
x - y = - 2 ...............(1)

২য় শর্তমতে
x/(y + 5) = 1/2
2x = y + 5
2x - y = 5 ......................(2)

(2)নং থেকে (1)নং বিয়োগ করে পাই
2x - y - x + y = 5 + 2
x = 7

(1)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই
x - y = - 2
7 - y = - 2
- y = - 2 - 7
- y = - 9
y = 9

ভগ্নাংশটি = 7/9

২,৫৯৭.

আরমান 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে আরমান মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

ক
30
খ
20
গ
40
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: আরমান 2 টাকা ও 3 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প কিনেছে। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 100 টাকা হয় তাহলে আরমান মোট কতটি স্ট্যাম্প কিনেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
2x + 3x = 100
বা, 5x = 100
বা, x =100/5
∴ x = 20

∴ আরমান মোট স্ট্যাম্প কিনেছিল = (20 + 20) টি
= 40 টি।

২,৫৯৮.

(4x - 4y, 8) = (0, 5x + 3y) হলে, (x, y) = কত?

ক
(1, 1)
খ
(- 1, - 1)
গ
(1, 3)
ঘ
(- 3, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4x - 4y, 8) = (0, 5x + 3y) হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
4x - 4y = 0
⇒ x - y = 0
∴ x = y ............(১)

আবার,
5x + 3y = 8
⇒ 5x + 3x = 8 [x = y]
⇒ 8x = 8
∴ x = 1

(১) নং সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই
∴ y = 1

∴ (x, y) = (1, 1) ।

২,৫৯৯.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর লব অপেক্ষা 4 বেশি। ভগ্নাংশটি বর্গ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তার হর লব অপেক্ষা 40 বেশি হবে। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 2/13
খ
খ) 4/11
গ
গ) 3/7
ঘ
ঘ) 2/9

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর x + 4

ভগ্নাংশটি = x / x + 4
ভগ্নাংশটির বর্গ = x² /(x + 4)²
= x²/x² + 8x + 16

প্রশ্নমতে
x² + 8x + 16 - x² = 40
8x + 16 = 40
8x = 40 - 16
8x = 24
x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/3 + 4 = 3/7

২,৬০০.

কবির সাহেব তার 56000 টাকার কিছু অংশ বার্ষিক 12% মুনাফায় ও অবশিষ্ট টাকা 10% মুনাফায় বিনিয়োগ করলেন। এক বছর পর মোট 6400 টাকা মুনাফা পেলেন। তিনি 10% মুনাফায় কত টাকা বিনিয়োগ করেছেন?

ক
ক) 32000
খ
খ) 16000
গ
গ) 64000
ঘ
ঘ) 128000

ব্যাখ্যা

মনে করি, তিনি 10% মুনাফায় x টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
সুতরাং তিনি 12% মুনাফায় (56000 - x) টাকা বিনিয়োগ করেছেন।
x টাকার 1 বছরের মুনাফা = 10x/100 টাকা
(56000 - x) টাকার 1 বছরের মুনাফা = 12(56000 - x)/100 টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
10x/100 + 12(56000 - x)/100 = 6400
or, 10x + 672000 - 12x = 640000
or, 2x = 32000
∴ x = 16000