সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

PrepBank · পাতা ২৫ / ২৯ · ২,৪০১–২,৫০০ / ২,৮৯২

২,৪০১.

৭ জন লোকের গড় ওজন ৩ পাউন্ড কমে যায় যখন ১০ স্টোন ওজনের একজন লোকের পরিবর্তে নতুন একজন যোগদান করে। নতুন লোকটির ওজন কত?

ক
(১৫/২) স্টোন
খ
৮ স্টোন
গ
(১৭/২) স্টোন
ঘ
৯ স্টোন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন লোকের গড় ওজন ৩ পাউন্ড কমে যায় যখন ১০ স্টোন ওজনের একজন লোকের পরিবর্তে নতুন একজন যোগদান করে। নতুন লোকটির ওজন কত?

সমাধান:
14 পাউন্ড = 1 স্টোন
⇒ 3 পাউন্ড = 3/14 স্টোন

ধরি, 7 জন লোকের গড় ওজন x স্টোন
মোট ওজন = 7x

ধরি, নতুন লোকটির ওজন y স্টোন
10 স্টোন ওজনের একজন লোকের পরিবর্তে নতুন একজন যোগদান করলে মোট ওজন = 7x - 10 + y

প্রশ্নমতে,
x - {(7x - 10 + y)/7} = 3/14
⇒ 7x - 7x + 10 - y = (3/14) × 7
⇒ 10 - y = 3/2
⇒ y = 10 - (3/2) = 17/2 স্টোন

২,৪০২.

একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ১২০০ চকলেট বিতরণ করা হল। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে ক্লাসে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
ক) ১৫ জন
খ
খ) ২০ জন
গ
গ) ২৫ জন
ঘ
ঘ) ৩০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ১২০০ চকলেট বিতরণ করা হল। প্রত্যেক শিক্ষার্থী ক্লাসের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে ক্লাসে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ক জন।

প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ১২০০
⇒ ৩ক^২ = ১২০০
⇒ ক^২ = ৪০০
⇒ ক^২= ২০^২
ক = ২০

২,৪০৩.

x + √3 = 2 হলে x^-1 সমান কত?

ক
2 + √3
খ
1/(2 + √3)
গ
1/(2 - √3)
ঘ
(1/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + √3 = 2 হলে x^-1 সমান কত?

সমাধান:
x + √3 = 2
⇒ x = 2 - √3

x^-1
= 1/x
= 1/(2 - √3)
= (2 + √3)/(2 - √3)(2 + √3)
= (2 + √3)/{2²- (√3)²}
= (2 + √3)/(4 - 3)
= 2 + √3

২,৪০৪.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩০, বড়টি ও ছোটটির বিয়োগফল ২ হলে, ছোট সংখ্যাটি-

ক
৭
খ
৯
গ
১০
ঘ
১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩০, বড়টি ও ছোটটির বিয়োগফল ২ হলে, ছোট সংখ্যাটি-

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ( ক + ১) ও ( ক + ১ + ১) বা (ক + ২)

প্রশ্নমতে
ক + ক + ১ + ক + ২ = ৩০
⇒ ৩ক + ৩ = ৩০
⇒ ৩ক = ২৭
∴ ক = ৯

অতএব, ছোট সংখ্যাটি = ৯

২,৪০৫.

(৫x/৬) + ৩ এবং (x/৩) + ১০ পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

ক
৮
খ
১০
গ
১২
ঘ
১৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৫x/৬) + ৩ এবং (x/৩) + ১০ পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(৫x/৬) + ৩ = (x/৩) + ১০
বা, (৫x/৬) - (x/৩) = ১০ - ৩
বা, (৫x - ২x)/৬ = ৭
বা, ৩x/৬ = ৭
বা, x/২ = ৭
বা, x = ৭ × ২
∴ x = ১৪ ।

২,৪০৬.

দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

ক
8 এবং 7
খ
6 এবং 9
গ
5 এবং 12
ঘ
4 এবং 14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 113 এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল 56 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
x² + y² = 113
xy = 56

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, (x + y)² = 113 + 2 × 56
বা, (x + y)² = 113 + 112
বা, (x + y)² = 225
বা, (x + y)² = (15)²
∴ x + y = 15 .............. (1)

আবার,
(x − y)² = x² + y² − 2xy
বা, (x − y)² = 113 − 2 × 56
বা, (x − y)² = 113 − 112
বা, (x − y)² = 1
∴ x − y = 1 ................ (2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
x + y + x − y = 15 + 1
বা, 2x = 16
∴ x = 8

(1) সমীকরণে x -এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 15
বা, 8 + y = 15
বা, y = 15 − 8
∴ y = 7

∴ সংখ্যা দুইটি (x, y) = (8, 7)।

২,৪০৭.

y = mx সমীকরণে যদি, y = মোট খরচ, x = উৎপাদিত পণ্যের পরিমাণ হয়, তবে m = কত?

ক
ক) ধ্রুবক ব্যয়
খ
খ) ঢাল
গ
গ) ভর
ঘ
ঘ) প্রতি একক উৎপাদন ব্যয়

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, y = mx
⇒ m = y/x
তাই m হবে প্রতি একক পণ্যের উৎপাদন ব্যয়।

২,৪০৮.

xyz = 240 হলে নিম্নের কোনটি y এর মান হতে পারে না?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xyz = 240 হলে নিম্নের কোনটি y এর মান হতে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
xyz = 240
এখানে,
y এর মান শূন্য (0) হতে পারে না,
কারণ 0 হলে সেক্ষেত্রে সমীকরণের গুণফল হবে 0।

২,৪০৯.

একটি শ্রেণিতে যতজন শিক্ষার্থী প্রত্যেকে তত দশ পয়সা করে চাঁদা দেয়ায় নব্বই টাকা সংগ্রহ হয়। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

ক
ক) ৯০
খ
খ) ৬০
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন শিক্ষার্থী প্রত্যেকে তত দশ পয়সা করে চাঁদা দেয়ায় নব্বই টাকা সংগ্রহ হয়। ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনেকরি
ঐ শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে
ক × ১০ক = ৯০০০
১০ক^২ =৯০০০
ক^২ = ৯০০
ক^২ =৩০^২
ক = ৩০

২,৪১০.

সমাধান করুন: (ay/b) - (by/a) = a² - b²

ক
ক) a + b
খ
খ) a - b
গ
গ) ab
ঘ
ঘ) a² + b²

ব্যাখ্যা

(ay/b) - (by/a) = a² - b²
⇒ y(a/b - b/a) = a²- b²
⇒ y{(a² - b²)/ab} = a² - b²
⇒ y/ab = 1
⇒ y = ab

২,৪১১.

(2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1) হলে, x এর মান কত?

ক
- 3
খ
- 1
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(2x - 1)(x + 3) = 2x(x + 1)
বা, 2x² - x + 6x - 3 = 2x² + 2x
বা, 2x² - 2x² + 5x - 2x = 3
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

২,৪১২.

x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 12
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 2y = 4 ------------ (1)
x/y = 2
⇒ x = 2y ------------ (2)

(1) নং হতে,
x + 2y = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

২,৪১৩.

2x³ - 4x² + 5 = 0 সমীকরণের x এর সহগ কত?

ক
0
খ
- 4
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x³ - 4x² + 5 = 0 সমীকরণের x এর সহগ কত?

সমাধান:
2x³ - 4x² + 5 = 0
বা, 2x³ - 4x² + x.0 + 5 = 0

∴ 2x³ - 4x² + 5 = 0 সমীকরণে x এর সহগ 0

২,৪১৪.

দুটি সংখ্যার বিয়োগফল 11 এবং তাদের যোগফলের এক পঞ্চমাংশ 9 হলে সংখ্যা দুটি কত?

ক
(25, 14)
খ
(29, 18)
গ
(28, 17)
ঘ
(32, 21)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বিয়োগফল 11 এবং তাদের যোগফলের এক পঞ্চমাংশ 9 হলে সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাদ্বয় x ও y

১ম শর্তমতে,
x - y = 11 -------------(1)
২য় শর্তমতে,
(x + y)/5 = 9
x + y = 45 --------------- (2)

(1) + (2) হতে পাই,
x - y = 11
x + y = 45
2x = 56
বা, x = 56/2
∴ x = 28

(2) নং হতে পাই,
y = 45 - x
বা, y = 45 - 28
∴ y = 17

∴ (x, y) = (28, 17)

২,৪১৫.

5 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 8 গুণ ছিল। 15 বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 3 গুণ হবে। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

ক
20
খ
13
গ
15
ঘ
22

ব্যাখ্যা

পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে x ও y বছর হলে,
x - 5 = 8 (y - 5) বা, x = 8y - 35
x + 15 = 3(y + 15)
বা, 8y - 35 +15 = 3y + 45
বা, 5y = 65
বা, y = 13

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৩ বছর।

[ বীজগণিত (সরল সহ-সমীকরণ) ]

২,৪১৬.

x²+y²=185, x - y = 3 এর একটি সমাধান হবে-

ক
ক) (7,4)
খ
খ) (9,6)
গ
গ) (10,7)
ঘ
ঘ) (11,8)

ব্যাখ্যা

7² + 4² = 65 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
9² + 6² = 117 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
10² + 7² = 149 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
11² + 8² = 185 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে]

২,৪১৭.

a² - 4a + 3 = 0 হলে, a এর মান কত?

ক
ক) a = - 3, a = 1
খ
খ) a = 3, a = 1
গ
গ) a = 3, a = - 1
ঘ
ঘ) a = - 3, a = - 1

ব্যাখ্যা

a² - 4a + 3 = 0
a² - 3a - a + 3 = 0
a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
হয় অথবা
a - 3 = 0 a - 1 = 0
a = 3 a = 1

২,৪১৮.

5x - 3y = 9 এবং 3x + 3y = 15 হলে, x ও y এর মান কত?

ক
(1, 4)
খ
(3, 5)
গ
(4, 1)
ঘ
(3, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x - 3y = 9 এবং 3x + 3y = 15 হলে, x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x - 3y = 9 ......(1)
3x + 3y = 15 .......(2)

এখন সমীকরণ (1) এবং (1) যোগ করি,
(5x - 3y) + (3x + 3y) = 9 + 15
⇒ 5x - 3y + 3x + 3y = 24
⇒ 8x = 24
⇒ x = 24/8
∴ x = 3

এখন x = 3 কে (2) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 3(3) + 3y = 15
⇒ 9 + 3y = 15
⇒ 3y = 15 - 9
⇒ 3y = 6
⇒ y = 6/3
∴ y = 2

সুতরাং, (x, y) = (3, 2)

২,৪১৯.

যদি একটি সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ৩০ যোগ করা হয়, তাহলে যোগফল ঐ সংখ্যার ৪ গুণ হয়। সংখ্যাটির তিনগুণ কত?

ক
১৫
খ
৪৫
গ
১৮
ঘ
২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ৩০ যোগ করা হয়, তাহলে যোগফল ঐ সংখ্যার ৪ গুণ হয়। সংখ্যাটির তিনগুণ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩০ = ৪ক
বা,৩০ = ৪ক - ২ক
বা, ২ক = ৩০
ক = ১৫

সংখ্যাটির ৩ গুণ = ১৫ × ৩ = ৪৫

২,৪২০.

x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

ক
বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
খ
বাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব, অসমান ও মূলদ
ঘ
বাস্তব মূল নাই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কেমন হবে?

সমাধান:
সমীকরণের নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (2)² - 4 × 1 × 5
= 4 - 20
= -16

যেহেতু D < 0, সুতরাং সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি:
• যদি b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• যদি b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
• যদি b² - 4ac < 0 হয়, তবে সমীকরণের বাস্তব মূল থাকবে না।

২,৪২১.

যদি 3x² - px + 27 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং p < 0 হয় তাহলে p এর মান কত?

ক
- 9
খ
1/9
গ
- 12
ঘ
- 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x² - px + 27 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং p < 0 হয় তাহলে p এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো, 3x² - px + 27 = 0
এই সমীকরণকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে আমরা পাই,
a = 3, b = - p, এবং c = 27

আমরা জানি যে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক (discriminant) শূন্য হবে।

অর্থাৎ,b² - 4ac = 0
⇒ (- p)² - 4×3×27 = 0
⇒ p² - 324 = 0
⇒ p² = 324
⇒ p = ±√324
⇒ p = ±18

প্রশ্নে দেওয়া শর্ত অনুযায়ী, p < 0 হতে হবে।
সুতরাং, p-এর ঋণাত্মক মানটি গ্রহণ করতে হবে।
∴ p = - 18

২,৪২২.

আসিফ ও আশিকের বর্তমান বয়সের পার্থক্য ১৪ বছর। ৭ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৭। আশিকের বর্তমান বয়স কত?

ক
ক) ৪২ বছর
খ
খ) ৩৫ বছর
গ
গ) ৫৬ বছর
ঘ
ঘ) ৪৯ বছর

ব্যাখ্যা

ধরি,
৭ বছর পূর্বে আসিফের বয়স ছিল = ৫ক বছর
৭ বছর পূর্বে আশিকের বয়স ছিল = ৭ক বছর

বর্তমানে আসিফের বয়স = ৫ক + ৭ বছর
বর্তমানে আশিকের বয়স = ৭ক + ৭ বছর

প্রশ্নমতে,
(৭ক + ৭) - (৫ক + ৭) = ১৪
৭ক + ৭ - ৫ক - ৭ = ১৪
২ক = ১৪
ক = ৭

বর্তমানে আশিকের বয়স = (৭× ৭) + ৭ বছর
= ৪৯ + ৭ বছর
= ৫৬ বছর

২,৪২৩.

দুটি সংখ্যার যোগফল ৪৮ এবং তাদের গুণফল ৪৩২। তবে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৩২
খ
৩৬
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
বড় সংখ্যাটি ক
ছোট সংখ্যাটি ৪৮ - ক

প্রশ্নমতে,
ক(৪৮ - ক) = ৪৩২
৪৮ক - ক^২ = ৪৩২
ক^২ - ৪৮ক +৪৩২ = ০
ক^২- ৩৬ক -১২ ক +৪৩২ = ০
ক(ক -৩৬ ) - ১২(ক -৩৬) = ০
(ক -৩৬ )(ক -১২) =০

হয়
ক -৩৬ = ০
ক = ৩৬

অথবা
ক - ১২ = ০
ক = ১২

২,৪২৪.

যদি p + q + r = 12, p + q = 4 এবং p + r = 7 হয়, তাহলে p⁴ এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 12, p + q = 4 এবং p + r = 7 হয়, তাহলে p⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q + r = 12 . . . . . . (1)
p + q = 4 . . . . . . . (2)
এবং p + r = 7 . . . . . . (3)

(1) নং এ p + q এর মান বসিয়ে পাই,
4 + r = 12
∴ r = 12 - 4 = 8

(3) নং এ r এর মান বসাই,
p + 8 = 7
⇒ p = 7 - 8 = - 1

∴ p⁴= (- 1)⁴ = 1

২,৪২৫.

একটি ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 2 বেশি। লব থেকে 2 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ গঠিত হয় তা 1/3 এর সমান হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 7/5
খ
খ) 7/9
গ
গ) 4/5
ঘ
ঘ) 5/7

ব্যাখ্যা

মনেকরি, ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = x + 2
ভগ্নাংশটি = x/(x+2)
শর্তমতে,
(x-2) / (x + 2 + 2) = 1/3
সমাধান করে পাই x = 5
নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = x / (x+2) = 5/(5+2) = 5/7

২,৪২৬.

x/3 - 2/y = 1 এবং x/4 + 3/y = 3 হলে (x, y) = ?

ক
ক) (6, 3)
খ
খ) (2, 6)
গ
গ) (3, 6)
ঘ
ঘ) (6, 2)

ব্যাখ্যা

x/3 - 2/y = 1 ............... (1)
x/4 + 3/y = 3 ............... (2)

(1) নং কে 3 এবং (2) নং 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
x - 6/y = 3
x/2 + 6/y = 6
------------------
x + x/2 = 9
বা, (2x + x)/2 = 9
বা, 3x = 18
∴ x = 6
(1) নং থেকে পাই,
6/3 - 2/y = 1
বা, 2 - 2/y = 1
বা, (2y - 2)/y = 1
বা, 2y - 2 = y
∴ y = 2
∴ (x, y) = (6, 2)

২,৪২৭.

a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

ক
5, 3
খ
4, 4
গ
6, 2
ঘ
6, 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 8 .......... (1)
a - b = 2 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 8 + 2
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

a এর মান (1) নং এ বসাই,
5 + b = 8
⇒ b = 8 - 5
∴ b = 3
∴ (a, b) = (5, 3)

২,৪২৮.

একজন লোকের নিকট ৫০০০ টাকা আছে। তিনি উক্ত টাকা দুই জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন যেন প্রথম জনের টাকা দ্বিতীয় জনের ৪গুণ হয় । আবার প্রথম জন থেকে ১৫০০ টাকা দ্বিতীয় জনকে দিলে উভয়ের টাকার পরিমাণ সমান হয় । দ্বিতীয়জন কত টাকা পেয়েছে?

ক
ক) ৫০০ টাকা
খ
খ) ১০০০ টাকা
গ
গ) ২০০০ টাকা
ঘ
ঘ) ২৫০০ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন লোকের নিকট ৫০০০ টাকা আছে। তিনি উক্ত টাকা দুই জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন যেন প্রথম জনের টাকা দ্বিতীয় জনের ৪গুণ হয় । আবার প্রথম জন থেকে ১৫০০ টাকা দ্বিতীয় জনকে দিলে উভয়ের টাকার পরিমাণ সমান হয় । দ্বিতীয়জন কত টাকা পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি, দ্বিতীয় জন x টাকা পায়।
প্রথমজন পায় ৪x টাকা।

প্রশ্নমতে,
৪x - ১৫০০ = x + ১৫০০
⇒ ৪x - x = ১৫০০ + ১৫০০
⇒ ৩x = ৩০০০
∴ x = ১০০০

দ্বিতীয়জন পায় ১০০০ টাকা।

২,৪২৯.

শাহিক 240 টাকায় কতগুলো কলম কিনল। সে যদি ঐ টাকায় একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের দাম গড়ে 1 টাকা কম পড়তো। সে কতগুলো কলম কিনল?

ক
ক) 15 টি
খ
খ) 16 টি
গ
গ) 21 টি
ঘ
ঘ) 24 টি

ব্যাখ্যা

মনে করি, শাহিক 240 টাকায় y টি কলম কিনেছিল।
প্রশ্নানুসারে, 240/x - 240/(x + 1) = 1
⇒ (x + 16)(x + 15) = 0
⇒ x = 15, x + 16 ≠ 0

২,৪৩০.

(- ৫) × (- ৫) + (- ৫) ×(- ৫) ×(- ৫) + (- ৫) = কত?

ক
১০৫
খ
- ১০৫
গ
- ৭৫
ঘ
- ১৫৫

ব্যাখ্যা

(- ৫) × (- ৫) + (- ৫) × (- ৫) × (- ৫) + (- ৫)
= ২৫ + ( - ১২৫) - ৫
= ২৫ - ১৩০
= - ১০৫

২,৪৩১.

একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
৪৫ জন
খ
৩০ জন
গ
৫৪ জন
ঘ
৬০ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
তাহলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ - ৫০ক = ২৫৫০ − ৫২৫০
⇒ - ৫০ক = - ২৭০০
∴ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

২,৪৩২.

2x + 3y = 7, 3x - y = 5 হলে, (x + y) এর মান কত?

ক
5
খ
4
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 3y = 7, 3x - y = 5 হলে, (x + y) এর মান কত?

সমাধান:
2x + 3y = 7................(1)
3x - y = 5 ................(2)

(2) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (1) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
9x - 3y + 2x + 3y = 15 + 7
11x = 22
x = 2

(1) নং হতে পাই,
2x + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 7 - 4
y = 1

(x + y) = 2 + 1 = 3

২,৪৩৩.

x - y = 5 এবং x² - y² = 65 হলে, 4x + y এর মান নির্ণয় করুন।

ক
32
খ
40
গ
36
ঘ
20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 5 এবং x² - y² = 65 হলে, 4x + y এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x - y = 5 .........(i)

x² - y² = 65
⇒ (x + y)(x - y) = 105
⇒ 5(x + y) = 65
∴ x + y = 13 ........(ii)

(i) + (ii) হতে পাই,
2x = 5 + 13
⇒ 2x = 18
∴ x = 9

(ii) নং হতে পাই,
x + y = 13
⇒ 9 + y = 13
⇒ y = 13 - 9
∴ y = 4

∴ 4x + y = 4 × 9 + 4 = 36 + 4 = 40

২,৪৩৪.

যদি a + b = 2, ab = 1 হয় তবে a ও b এর যথাক্রমে-

ক
ক) -1, 3
খ
খ) -3, -4
গ
গ) 0, 2
ঘ
ঘ) 1, 1

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ্ধতিঃ
উক্ত অপশন গুলোর মধ্য একমাত্র 'ঘ' অপশনটি সমীকরন দুইটিকে সিদ্ধ করে তাই a এবং b এর মান হবে যথাক্রমে 1, 1।

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ
a + b = 2 ......(1)
ab = 1 ......(2)
আমরা জানি,
(a - b)2 = (a+b)2 - 4ab
= 22 -4 = 0
∴ a - b = 0 .....(3)
(1) + (3) হতে পাই,
a = 1
a এর মান (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
b = 1
∴ a, b = 1, 1

২,৪৩৫.

2x² + 350 = 12x + 340 হলে, x মান কত?

ক
3
খ
- 2
গ
6
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + 350 = 12x + 340 হলে, x মান কত?

সমাধান:
2x² + 350 = 12x + 340
⇒ 2x² - 12x + 350 - 340 = 0
⇒ 2x² - 12x + 10 =0
⇒ 2(x² - 6x + 5) = 0
⇒ x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
∴ (x - 5)(x - 1) = 0
হয়,
x - 5 = 0
∴ x = 5
অথবা,
x - 1 = 0
∴ x = 1
সুতরাং, x = 1, 5

২,৪৩৬.

x² + y² = 12, x - y = 2 হলে, x = ?

ক
ক) √5 + 1
খ
খ) √5 - 1
গ
গ) √5 + 2
ঘ
ঘ) √5 - 2

ব্যাখ্যা

(x - y)² = x² - 2xy + y²
⇒ 2² = 12 - 2xy
∴ xy = 4

(x + y)² = x² + 2xy + y²
= 12 + 8
= 20
∴ x + y = √20
x - y = 2 ও x + y = √20 সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x = (√20 + 2)/2
= √5 + 1

২,৪৩৭.

যদি (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2) হয়, তাহলে z এর মান কত?

ক
- 2
খ
- 8
গ
- 4
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2) হয়, তাহলে z এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2)
⇒ z² - z - 2 = z² - 2z - 8
⇒ -z - 2 = -2z - 8
⇒ z = -6

২,৪৩৮.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি ১৫ এবং গুণফল ৫৬; সংখ্যাটি নির্ণয় কর?

ক
ক) ৭৮ বা ৮৭
খ
খ) ৮৯ বা ৯৮
গ
গ) ৫৯ বা ৯৫
ঘ
ঘ) ২৫ বা ৫২

ব্যাখ্যা

এ ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে অপশন দেখে সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ হয়
78 বা 87 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে 7 + 8 = 15 এবং 7 × 8 = 56
89 বা 98 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে 8 + 9 = 17 এবং 8 × 9 = 72
59 বা 95 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে 5 + 9 = 14 এবং 5 × 9 = 45
25 বা 52 সংখ্যাটির ক্ষেত্রে 2 + 5 = 7 এবং 2 × 5 = 10
∴ সংখ্যাটি হবে 78 বা 87

২,৪৩৯.

একটি খাবারের দােকানে দুই ধরনের খাবার পাওয়া যায় যার মূল্য ৬৫ টাকা ও ২০ টাকা। একদিনে দুই ধরনের মােট ২০৯টি খাবার বিক্রি করে ৮৩৬৫ টাকা পাওয়া গেলে, ৬৫ টাকা মুল্যের খাবার কয়টি বিক্রি হয়েছিল?

ক
ক) ৭৭
খ
খ) ৯৩
গ
গ) ৯৯
ঘ
ঘ) ১০৫
ঙ
ঙ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

ধরি, ৬৫ টাকা মূলে বিক্রি হয়েছিল ক টি খাবার
অর্থাৎ, ২০ টাকা মূলে বিক্রি হয়েছিল (২০৯ - ক) টি খাবার
প্রশ্নমতে,
বা, ৬৫ ক + (২০৯ -ক)২০ = ৮৩৬৫
বা, ৬৫ ক + ৪১৮০-২০ক = ৮৩৬৫
বা, ৪৫ক = ৮৩৬৫ -৪১৮০
বা, ৪৫ক = ৪১৮৫
বা, ক = ৪১৮৫/৪৫
অতএব, ক = ৯৩
সুতরাং ৬৫ টাকা মূল্যে ৯৩ টি খাবার বিক্রি হয়েছিল।

২,৪৪০.

x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণে x এর ঘাত কত?

ক
0
খ
3
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণে x এর ঘাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ শক্তিকে ঘাত বলে।
প্রদত্ত সমীকরণ: a²x + b = 0
বা, a²x¹ + bx⁰ = 0

∴ x চলকের ঘাত = 1 ।

২,৪৪১.

(3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

ক
- 1
খ
- 2
গ
1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

সমাধান:
3a - b = 7 ..........(1)
2a + b = 3 ..........(2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
3a - b + 2a + b = 7 + 3
⇒ 5a = 10
∴ a = 2

(2) নং সমীকরণে এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 2 + b = 3
⇒ 4 + b = 3
∴ b = - 1

অতএব, a + b = 2 + (- 1)
= 1

২,৪৪২.

3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?

ক
6
খ
- 6
গ
4
ঘ
- 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3(3x - 4) = 2(4x - 3) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3(3x - 4) = 2(4x - 3)
⇒ 9x - 12 = 8x - 6
⇒ 9x - 8x = - 6 + 12
⇒ x = 6

২,৪৪৩.

দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার পার্থক্য 2 এবং গুণফল 24 হলে, ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = y
বৃহত্তম সংখ্যাটি = x
১ম শর্তমতে
x - y = 2............... (1)
২য় শর্তমতে
xy = 24

আমরা জানি
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
(x + y)² = 2² + 4 × 24
(x + y)² = 4 + 96
(x + y)² = 100
x + y = 10...................(2)
(2)নং - (1)নং ⇒
x + y - x + y = 10 - 2
2y = 8
y = 4

২,৪৪৪.

৩/৯ = ক/১২ হলে ’ক’ এর মান কত?

ক
ক) ১
খ
খ) ২
গ
গ) ৩
ঘ
ঘ) ৪

ব্যাখ্যা

৩/৯ = ক/১২
⇒ ৯ক = ৩৬
⇒ ক = ৪

২,৪৪৫.

হলে, x এর মান কত?

ক
1/2
খ
3/2
গ
1
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,

২,৪৪৬.

কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার 50 কম হলে সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 450
খ
খ) 250
গ
গ) 150
ঘ
ঘ) 30
ঙ
ঙ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, 2ক/3 = ক - 50
বা, ক - 2ক/3 = 50
বা, (3ক - 2ক)/3 = 50
∴ ক = 150

২,৪৪৭.

x + 2y = 8, 2x + y = 7 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

ক
8, 0
খ
6, 1
গ
3, 3
ঘ
2, 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 2y = 8, 2x + y = 7 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে
x + 2y = 8............. (1)
2x + y = 7.............(2)

(2)নং × 2 - (1)নং ⇒
4x + 2y - x - 2y = 14 - 8
3x = 6
x= 2

(1)নং সমীকরণ থেকে পাই
2 + 2y = 8
2y = 8 - 2
2y = 6
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 3)

২,৪৪৮.

একটি সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে লেখার জন্য শর্ত কোনটি?

ক
ক) 1 < a < 10
খ
খ) 1 ≤ a ≤ 10
গ
গ) 1 ≤ a < 10
ঘ
ঘ) 1 < a ≤ 10

ব্যাখ্যা

একটি সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে লেখার জন্য শর্ত হলো 1 ≤ a < 10।

২,৪৪৯.

30 ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগে করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

ক
ক) 10 ফুট
খ
খ) 6 ফুট
গ
গ) 12 ফুট
ঘ
ঘ) 8 ফুট

ব্যাখ্যা

মনে করি,
বড় অংশ x ফুট।
ছোট অংশ 2x/3 ফুট।

প্রশ্নমতে,
x + 2x/3 = 30 ফুট
বা, (3x + 2x)/3 = 30
বা, 5x/3 = 30
বা, 5x = 90
∴ x = 18

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (2 x 18)/3 = 12 ফুট

২,৪৫০.

4x³ - 6x² + 8 = 0 সমীকরণে x এর সহগ কত?

ক
ক) 4
খ
খ) - 6
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণ
4x³ - 6x² + 8 = 0
4x³ - 6x² + 0 × x+ 8 = 0

x এর সহগ = 0

২,৪৫১.

7টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

ক
28
খ
30
গ
32
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে -
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6)

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6)
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
= 7x + 21
= 7 (x + 3)

শর্তমতে,
7 (x + 3) = 33 × 7
বা, x + 3 = (33 × 7)/7
বা, x + 3 = 33
বা, x = 33 - 3
∴ x = 30

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6
= 30 + 6
= 36

২,৪৫২.

(5x - 4y, 4) = (6, x + 2y) হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(2, 1)
খ
(2, 3)
গ
(1, 4)
ঘ
(4, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x - 4y, 4) = (6, x + 2y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
5x - 4y = 6 ...... (1)
x + 2y = 4 ..... (2)

(1) নং + {(2) নং × 2} ⇒
5x - 4y + 2x + 4y = 6 + 8
⇒ 7x = 14
∴ x = 2
x এর মান (1) নং এ বসিয়ে ⇒
2y = 4 - 2
⇒ y = 2/2
∴ y = 1

∴ (x, y) = (2, 1)

২,৪৫৩.

কোনো পরীক্ষায় একটি ছাত্র m সংখ্যক প্রশ্নের প্রথম ২০ টি প্রশ্ন হতে ১৬টি প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দেয় এবং বাকি প্রশ্নগুলোর এক তৃতীয়াংশের শুদ্ধ উত্তর দিতে পারে। এভাবে সে যদি ৫০% প্রশ্নের শুদ্ধ উত্তর দিয়ে থাকে তবে ঐ পরীক্ষায় প্রশ্নের সংখ্যা কত ছিল?

ক
ক) ৭৫টি
খ
খ) ৫০টি
গ
গ) ৬০টি
ঘ
ঘ) ৫৬টি

ব্যাখ্যা

সে প্রথম 20টি থেকে শুদ্ধ উত্তর করে 16 টি
অবশিষ্ট অংশ থেকে শুদ্ধ উত্তর করে (m - 20) × (1/3)
প্রশ্নমতে,
16 + (m - 20) × (1/3) = m এর 50%

=> {48 + (m -20)}/3 = m/2

=> 48 + m - 20 = 3m/2

=> m + 28 = 3m/2

=> 2m + 56 = 3m

∴ m = 56

২,৪৫৪.

একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 2 এবং সমষ্টি 12 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

ক
1/11
খ
5/7
গ
8/3
ঘ
7/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য 2 এবং সমষ্টি 12 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের হর x
ভগ্নাংশের লব = x + 2
সুতরাং, ভগ্নাংশটি হলো = (x + 2)/x

প্রশ্নানুসারে,
x + x + 2 = 12
বা, 2x + 2 = 12
বা, 2x = 12 - 2
বা, 2x = 10
∴ x = 5
ভগ্নাংশটি = (5 + 2)/5 = 7/5

২,৪৫৫.

(3a + 4b, 2) = (14, 4a - 3b) হলে (a, b) এর মান কত?

ক
(2, 1)
খ
(2, 2)
গ
(3, 1)
ঘ
(1, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3a + 4b, 2) = (14, 4a - 3b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
3a + 4b = 14 ........... (1)
4a - 3b = 2 .......... (2)

(1) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করে যোগ করে পাই,
9a + 12b + 16a - 12b = 42 + 8
⇒ 25a = 50
∴ a = 2

(1) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,
3 × 2 + 4b = 14
⇒ 4b = 14 - 6
⇒ 4b = 8
∴ b = 2
সুতরাং (a, b) = (2, 2)

২,৪৫৬.

একটি খামারে হাঁস ও ছাগল একত্রে ১০০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২৬০টি। তা হলে কতটি হাঁস আছে?

ক
৩৫
খ
৬৫
গ
৫০
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খামারে হাঁস ও ছাগল একত্রে ১০০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২৬০টি। তা হলে কতটি হাঁস আছে?

সমাধান:
ধরি,
হাঁস আছে = ক টি
∴ ছাগল আছে = (১০০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(১০০ - ক) = ২৬০
⇒ ২ক + ৪০০ - ৪ক = ২৬০
⇒ ৪০০ - ২ক = ২৬০
⇒ - ২ক = ২৬০ - ৪০০
⇒ - ২ক = -১৪০
⇒ ২ক = ১৪০
∴ ক = ৭০

সুতরাং, হাঁস আছে ৭০টি।

২,৪৫৭.

x/6 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল x/4 হবে?

ক
- x/6
খ
- x/5
গ
x /12
ঘ
x /24

ব্যাখ্যা

যোগফল = x/4 - x/6 = (3x - 2x)/12 = x/12

২,৪৫৮.

(x + 5)² = x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

ক
15, 25
খ
10, 25
গ
10, 15
ঘ
3, 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x + 5)²= x² + bx + c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

সমাধান:
(x + 5)² = x² + bx + c
x²+ 2.x.5 + 5² = x² + bx + c
x² + 10x + 25 = x² + bx + c

x ও ধ্রবক পদের সহগ সমীকৃত করে পাই
b = 10
c = 25

২,৪৫৯.

3/5 ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে কোন সংখ্যা যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশের মান 4/5 হবে?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3/5 ভগ্নাংশের লব ও হরের সাথে কোন সংখ্যা যোগ করলে নতুন ভগ্নাংশের মান 4/5 হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(3 + x)/(5 + x) = 4/5
বা, 15 + 5x = 20 + 4x
বা, 5x - 4x = 20 - 15
∴ x = 5

∴ সংখ্যাটি = 5 ।

২,৪৬০.

দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 27 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

ক
9
খ
12
গ
18
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 27 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:
ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
তাহলে, দশক স্থানীয় অঙ্ক = 9 - a
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - a) + a = 90 - 9a
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (9 - a) = 9a + 9

প্রশ্নমতে,
9a + 9 - 27 = 90 - 9a
⇒ 9a + 9a = 90 - 9 + 27
⇒ 18a = 108
∴ a = 6
∴ সংখ্যাটি = 90 - (9 × 6) = 36
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 36/4 = 9

২,৪৬১.

ক
8
খ
6
গ
4
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৪৬২.

কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৭ বেশি হবে?

ক
ক) ৩
খ
খ) ৫
গ
গ) ২
ঘ
ঘ) ১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৭ বেশি হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
বা, ২ক + ৫ = ক + ৭
বা, ক = ৭ - ৫
∴ ক = ২
∴ সংখ্যাটি ২

২,৪৬৩.

কোন সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ ঐ সংখ্যার চেয়ে ৩০ কম হলে সংখ্যাটি কত?

ক
৭০
খ
৮০
গ
৯০
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, ২ক/৩ = ক - ৩০
বা, ক - ২ক/৩ = ৩০
বা, (৩ক-২ক)/৩ = ৩০
বা, ক = ৯০

২,৪৬৪.

7 : 13 = (7.82 - x) : (x - 7.62) হলে x এর মান কত?

ক
7.50
খ
8.25
গ
7.75
ঘ
7.25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 : 13 = (7.82 - x) : (x - 7.62) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
7 : 13 = (7.82 - x) : (x - 7.62)
বা, 7/13 = (7.82 - x)/(x - 7.62)
বা, 13(7.82 - x) = 7(x - 7.62)
বা, 101.66 - 13x = 7x - 53.34
বা, 20x = 155
∴ x = 7.75

২,৪৬৫.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 3 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
36
খ
25
গ
47
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 3 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 3
∴ সংখ্যাটি = 10x + (x + 3) = 11x + 3

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 3) + x = 11x + 30

প্রশ্নমতে,
11x + 30 = 2(11x + 3) - 9
⇒ 11x + 30 = 22x + 6 - 9
⇒ 11x + 30 = 22x - 3
⇒ 22x - 11x = 30 + 3
⇒ 11x = 33
⇒ x = 3

∴ সংখ্যাটি = 11x + 3 = 11(3) + 3
= 33 + 3 = 36

২,৪৬৬.

যদি 2x² - 7x + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α/β) + (β/α) এর মান কত?

ক
ক) 1/12
খ
খ) 3/2
গ
গ) 1/24
ঘ
ঘ) 1/18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2x² - 7x + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β হলে (α/β) + (β/α) এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ 2x² - 7x + 12 = 0
মূলদ্বয় α , β

আমরা জানি,
∴ মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = - (- 7/2) = 7/2
মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = 12/2 = 6

এখন,
α/β + β/α = (α² + β²)/αβ
= {(α + β)² - 2αβ}/αβ
= {(7/2)² - 2 . 6}/6
= {(49/4) - 12}/6
= {(49 - 48)/4}/6
= 1/24

২,৪৬৭.

যদি p = 3/5, q = 1/4 এবং r = 2/15 হয় তাহলে 10p + 3q - 15r এর মান কত?

ক
15/4
খ
17/4
গ
19/4
ঘ
21/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি p = 3/5, q = 1/4 এবং r = 2/15 হয় তাহলে 10p + 3q - 15r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 3/5
q = 1/4
r = 2/15

এখন,
10p + 3q - 15r
= 10 × (3/5) + 3 × (1/4) - 15 × (2/15)
= 30/5 + 3/4 - 30/15
= 6 + 3/4 - 2
= (6 - 2) + 3/4
= 4 + 3/4
= 19/4

২,৪৬৮.

ছয়টি পরপর পূর্ণ সংখ্যা দেয়া আছে। প্রথম তিনটির যোগফল ২৭ হলে শেষ তিনটির যোগফল কত?

ক
৩০
খ
৩৩
গ
৩৬
ঘ
৩২

ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যা ছয়টি যথাক্রমে ক, ক+১, ক+২, ক+৩, ক+৪, ক+৫।
সুতরাং শর্তমতে, ক + (ক+১) + (ক+২) = ২৭
বা, ৩ক + ৩ = ২৭
বা, ৩ক = ২৭ - ৩
বা, ক = ২৪/৩
বা, ক = ৮
সুতরাং শেষ তিনটি সংখ্যার যোগফল = (ক+৩) + (ক+৪) + (ক+৫)
= ৩ক + ১২
= ৩ × ৮ + ১২
= ২৪ + ১২
= ৩৬

২,৪৬৯.

4x - 7y +12 = 0 এবং x - 2y + 3 = 0 এর সমাধান-

ক
ক) (1 , 2)
খ
খ) (-2 , 1)
গ
গ) (-3 , 0)
ঘ
ঘ) (3 , 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x - 7y +12 = 0 এবং x - 2y + 3 = 0 এর সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x - 7y +12 = 0 .....(i)
x - 2y + 3 = 0 ........(ii)

(i) কে 2 দিয়ে গুণ ও (ii) কে 7 দিয়ে গুণ করে পাই,
8x - 14y + 24 = 0 ......(iii)
7x - 14y + 21 = 0 .......(iv)

(iii) থেকে (iv) বিয়োগ করে পাই,
x + 3 = 0
∴ x = -3

x-এর মান (ii)-এ বসিয়ে পাই,
-3 - 2y + 3 = 0
⇒ -2y = 0
∴ y = 0

∴ (x , y) = (-3 , 0)

২,৪৭০.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
৩/১০
খ
১/১০
গ
৬/১০
ঘ
৮/১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ৪; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা ১/৩ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, লব ক
হর ক + ৪

প্রশ্নমতে,
(ক - ২)/(ক + ৪ + ২) = ১/৩
⇒ (ক - ২)/(ক + ৬) = ১/৩
⇒ ৩(ক - ২) = ক + ৬
⇒ ৩ক - ৬ = ক + ৬
⇒ ২ক = ১২
∴ ক = ৬

লব ৬
হর = ৬ + ৪
= ১০
ভগ্নাংশটি ৬/১০

২,৪৭১.

2x-y = 8 এবং x-2y = 4 হলে x+y = ?

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

2x-y = 8 …………… (i)
x-2y = 4 …………… (ii)
(i)-(ii) × 2 হতে পাই,
3y = 0
সুতরাং, y = 0
(i) নং হতে পাই, 2x-0 = 8
বা, x = 8/2 = 4
সুতরাং, x+y = 4+0 = 4

২,৪৭২.

2x + 5y = 13 এবং 3x - 2y = 10 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
- 3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x + 5y = 13 এবং 3x - 2y = 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2x + 5y = 13 ......... (1)
3x - 2y = 10 ........ (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 2 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
2(2x + 5y) + 5(3x - 2y) = 2 × 13 + 5 × 10
⇒ 4x + 10y + 15x - 10y = 26 + 50
⇒ (4x + 15x) + (10y - 10y) = 76
⇒ 19x = 76
⇒ x = 76/19
∴ x = 4

২,৪৭৩.

একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
১৮
খ
২০
গ
২৫
ঘ
২৬
ঙ
কোনটিই নয়।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে
৩ক + ২ক = ৯০
⇒ ৫ক = ৯০
⇒ ক = ১৮

২,৪৭৪.

যদি 4x + 12 = 28 হয়, তাহলে (√x) + 3 এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4x + 12 = 28 হয়, তাহলে (√x) + 3 এর মান কত?

সমাধান:
4x + 12 = 28
⇒ 4x = 28 - 12
⇒ 4x = 16
∴ x = 4

এখন,
√x + 3 = √4 + 3 = 2 + 3 = 5

২,৪৭৫.

(৭ + ক) × ৩ = ৩০ হলে ‘ক’ এর মান কত?

ক
২১
খ
১০
গ
৯
ঘ
৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৭ + ক) × ৩ = ৩০ হলে ‘ক’ এর মান কত?

সমাধান:
(৭ + ক) × ৩ = ৩০
বা, ৭ + ক = ৩০/৩
বা, ৭ + ক = ১০
বা, ক = ১০ - ৭
ক = ৩

২,৪৭৬.

a - [ a - a + (a - 1) ] = কত?

ক
2a + 1
খ
- 1
গ
2a - 1
ঘ
1

ব্যাখ্যা

a - [a - a + (a - 1)]
= a - [a - a + a - 1]
= a - [a - 1]
= a - a + 1
= 1

২,৪৭৭.

৩৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

ক
১২ ফুট
খ
১৪ ফুট
গ
১৮ ফুট
ঘ
২০ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৫ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

সমাধান:
মনে করি,
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ২/৩)
= ২ক/৩ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৩) = ৩৫
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৩৫
বা, ৫ক = ১০৫
বা, ক = ১০৫/৫
∴ ক = ২১

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = (২ × ২১)/৩
= ১৪ ফুট

২,৪৭৮.

x³ + hx + 10 = 0 সমীকরণটির একটি সমাধান 2 হলে, h এর মান কত?

ক
9
খ
- 9
গ
- 5
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x³ + hx + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়, তবে h এর মান কত?

সমাধান:
x³ + hx + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হলে x = 2 হবে।
f(2) = 0

ধরি
f(x)= x³ + hx + 10
f(2) = 2³ + h × 2 + 10
⇒ 8 + 2h + 10 = 0
⇒ 2h + 18

যেহেতু
f(2) = 0
বা, 2h + 18 = 0
বা, 2h = - 18
∴ h = - 9

২,৪৭৯.

যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?

ক
1/8
খ
1/6
গ
3/4
ঘ
5/24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x ও y
প্রশ্নমতে,
x + y = 20 .................... (1)
xy = 96

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (20)² - 4 . 96
= 400 - 384
= 16

বা, x - y = √16
∴ x - y = 4 ..................... (2)

(1) + (2) হতে পাই,
2x = 24
∴ x = 12

x এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
12 + y = 20
∴ y = 8

12 ও 8 এর ব্যাস্তানুপাত = 1/12 ও 1/8
ব্যাস্তানুপাতের যোগফল = 1/12 + 1/8
= (2 + 3)/24
= 5/24

২,৪৮০.

একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 মিটার বেশি। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 810 বর্গ মিটার হলে, ত্রিভুজের উচ্চতা কত?

ক
ক) 27 মিটার
খ
খ) 27 সেন্টিমিটার
গ
গ) -30 মিটার
ঘ
ঘ) ক ও গ উভয়

ব্যাখ্যা

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30[ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

২,৪৮১.

x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব ও অসমান
খ
অমূলদ ও সমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
বাস্তব ও সমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

২,৪৮২.

যদি (x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?

ক
- 6
খ
- 3
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0 হয়, তাহলে x = কত?

সমাধান:
(x² + 6x + 9) + 6(x + 3) + 9 = 0
⇒ x² + 6x + 9 + 6x + 18 + 9 = 0
⇒ x² + 12x + 36 = 0
⇒ x² + 2.x.6 + 6² = 0
⇒ (x + 6)² = 0
⇒ x + 6 = 0
∴ x = - 6

২,৪৮৩.

cos^-1 x + cos^-1 y = π/2 হলে x² + y² = কত?

ক
1/2
খ
√3/2
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: cos^-1 x + cos^-1 y = π/2 হলে x² + y² = কত?

সমাধান:
cos^-1 x + cos^-1 y = π/2
⇒ cos^-1 y = (π/2) - cos^-1 x
⇒ y = cos {(π/2) - cos^-1 x}
⇒ y = cos(π/2) cos{(cos-1 x)} + sin(π/2) sin{(cos^-1 x)}
⇒ y = sin{(sin^-1√1 - x²)}
⇒ y = √1 - x²
⇒ y² = 1 - x²
∴ x² + y² = 1

২,৪৮৪.

4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

ক
0
খ
2
গ
- 3
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2x + 1) = 4(x - 2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4(2x + 1) = 4(x - 2)
বা, 8x + 4 = 4x - 8
বা, 8x - 4x = - 8 - 4
বা, 4x = -12
বা, x = -12/4
∴ x = - 3

২,৪৮৫.

6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?

ক
ক) বাস্তব ও অসমান
খ
খ) বাস্তব ও সমান
গ
অবাস্তব ও অসমান
ঘ
ঘ) বাস্তব, অসমান ও মুলদ

ব্যাখ্যা

6x² - 7x - 4 = 0
এখানে, a = 6
b = - 7
c = - 4
b² - 4ac
= (-7)² - 4 × 6 × (-4)
= 49 + 96
= 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্মক, সুতরাং সমীকরণের মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান।

২,৪৮৬.

39 সংখ্যাটি যে সংখ্যার 60% সেটি হল ______?

ক
ক) 80
খ
খ) 70
গ
গ) 65
ঘ
ঘ) 53

ব্যাখ্যা

মনে করি, সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে, x এর 60/100 = 39
⇒ x =(39 × 100)/60 = 65
∴ সংখ্যাটি = 65

২,৪৮৭.

x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণের ঘাত নিচের কোনটি?

ক
0
খ
2
গ
1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণের ঘাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ শক্তিকে ঘাত বলে।
প্রদত্ত সমীকরণ- a²x + b = 0
বা, a²x¹ + bx⁰ = 0

∴ x চলকের ঘাত = 1 ।

২,৪৮৮.

(5x/6) + 3 = (x/3) + 10 হলে, x এর মান কত?

ক
22/9
খ
14
গ
11/3
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5x/6) + 3 = (x/3) + 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(5x/6) + 3 = (x/3) + 10
বা, (5x + 18)/6 = (x + 30)/3
বা, 5x + 18 = 2x + 60
বা, 5x - 2x = 60 - 18
বা, 3x = 42
∴ x = 14

২,৪৮৯.

দুটি সংখ্যার সমষ্টি 10 এবং তাদের বিপরীত ভগ্নাংশের সমষ্টি 5/12। সংখ্যাদ্বয়ের পার্থক্য কত?

ক
1
খ
3
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
বড় সংখ্যাটি x
ছোট সংখ্যাটি y
শর্তমতে,
x + y = 10 .......... (1)

আবার
(1/x) + (1/y) = 5/12
(y + x) /xy = 5/12
10/xy = 5/12
5xy = 12 × 10
xy = (12 × 10)/5
xy = 24

আমরা জানি
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
(x - y)² = (10)² - 4 × 24
(x - y)²= 100 - 96
(x - y)²= 4
x - y = 2

২,৪৯০.

2x² + 3x + 1 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

ক
বাস্তব, অসমান ও মূলদ
খ
বাস্তব ও সমান
গ
বাস্তব, সমান ও অমূলদ
ঘ
বাস্তব মূল নাই

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x² + 3x + 1 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 2, b = 3, c = 1

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² - 4ac
= 3² - (4 × 2 × 1)
= 9 - 8
= 1

যেহেতু D = 1 ধনাত্মক (D > 0), তাই মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান হবে।
আবার, 1 পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই মূলদ্বয় মূলদ।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

২,৪৯১.

(1 + √6) ও (1 - √6) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

ক
ক) x² + 2x - 5 = 0
খ
খ) x² - 2x - 5 = 0
গ
গ) x² - 2x + 5 = 0
ঘ
ঘ) x² + 2x + 5 = 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1 + √6) ও (1 - √6) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 1 + √6 এবং β = 1 - √6
মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = 1 + √6 + 1 - √6
∴ α + β = 2

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √6) . (1 - √6)
= (1)² - (√6)²
= 1 - 6
∴ αβ = - 5

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α + β) x + αβ = 0
বা, x² - 2x - 5 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 2x - 5 = 0

২,৪৯২.

xyz = 240 হলে নিম্নের কোনটি y -এর মান হতে পারে না?

ক
0
খ
2
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: xyz = 240 হলে নিম্নের কোনটি y -এর মান হতে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
xyz = 240
এখানে,
y -এর মান শূন্য (0) হতে পারে না,
কারণ 0 হলে সেক্ষেত্রে সমীকরণের গুণফল হবে 0।

২,৪৯৩.

4x + 10y = - 2 এবং 3x - 2y = 8 হলে, (x, y) এর মান কত?

ক
(2, - 1)
খ
(1, 3)
গ
(1, - 4))
ঘ
(2, 3))

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + 10y = - 2 এবং 3x - 2y = 8 হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,

4x + 10y = - 2 …… (i)

3x - 2y = 8

বা, 15x - 10y = 40 ……(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

(i) নং ও (ii) নং কে যোগ করে পাই,

4x + 10y + 15x - 10y = - 2 + 40

বা, 19x = 38

বা, x = 38/19

∴ x = 2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

(4 × 2) + 10y = - 2

বা, 8 + 10y = - 2

বা, 10y = - 2 - 8

বা, 10y = - 10

বা, y = - 10/10

∴ y = - 1

∴ (x, y) = (2, - 1)

২,৪৯৪.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 3/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 3/4
খ
খ) 5/6
গ
গ) 7/8
ঘ
ঘ) 8/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 3/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ভগ্নাংশের লব x
ভগ্নাংশের হর x + 1

ভগ্নাংশটি = x /(x + 1)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 1 + 2) = 3/5
5x - 5 =3x + 9
5x - 3x = 9 + 5
2x = 14
x = 7

ভগ্নাংশটি = 7/8

২,৪৯৫.

একটি সংখ্যার ৬ গুণের সাথে ১৫ যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির ৮ গুণ অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত?

ক
১০
খ
১২
গ
১৪
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার ৬ গুণের সাথে ১৫ যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির ৮ গুণ অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
⇒ 6x + 15 = 8x - 5
⇒ 15 + 5 = 8x - 6x
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 20/2
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি হলো 10।

২,৪৯৬.

abc এর মান ১৬০ হলে a এর মান কোনটি হতে পারে না?

ক
ক) ০
খ
খ) ১
গ
গ) ২
ঘ
ঘ) ১২

ব্যাখ্যা

a এর মান কখনো শূন্য হতে পারে না। কারণ, শূন্য দ্বারা কোনো রাশিকে গুণ করলে সে রাশির গুণফল শূন্য হয়।

২,৪৯৭.

একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

ক
ক) ৯ জন
খ
খ) ১৮ জন
গ
গ) ২৭ জন
ঘ
ঘ) ৩৮ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

ডেকের যাত্রী ৩৮ জন

২,৪৯৮.

a এবং b এর মান কত হলে, a + b = 7 এবং ab = 10 হবে?

ক
ক) a = 2 , b = -5
খ
খ) a = 4, b = -3
গ
গ) a = -2, b = -5
ঘ
ঘ) a = 5, b = 2

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে, a + b = 7 ......(i) এবং ab = 10
আমরা জানি, (a – b)² = (a + b)² – 4ab
= (7)² – 4 × 10
= 49 - 40 = 9
∴ a - b = 3 .....(ii)

(i) + (ii)
⇒ 2a = 10
∴ a = 5
এবং b = 2

২,৪৯৯.

দুইটি ধনাত্মক সংখ্যার পার্থক্য 3। তাদের বর্গের যোগফল 369 হলে তাদের যোগফল কত?

ক
ক) 12
খ
খ) 15
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 27

ব্যাখ্যা

মনেকরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যা x + 3

প্রশ্নমতে,
(x + 3)² + x² = 369
x² + 2. 3 .x + 3² + x² = 369
x² + 6x + 9 +x² = 369
2x² + 6x - 360 = 0
x² + 3x - 180 = 0
x² + 15x - 12x - 180 = 0
x(x + 15) - 12 (x + 15) = 0
(x + 15) (x - 12) = 0

∴ x = 12

একটি সংখ্যা 12
অপর সংখ্যা 12 + 3 = 15

সংখ্যা দুটির সমষ্টি = 15 + 12 = 27

২,৫০০.

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1. লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 3/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

ক
5/3
খ
7/8
গ
6/5
ঘ
4/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1. লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 3/5 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 1

ভগ্নাংশটি = x /(x + 1)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 1 + 2) = 3/5
⇒ 5x - 5 =3x + 9
⇒ 5x - 3x = 9 + 5
⇒ 2x = 14
∴ x = 7

∴ ভগ্নাংশটি = 7/8