সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: x - ( 1/x) = p হলে c/{x(x - p)} এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/{x(x - p)}
= c/1 
= c

a - [a - {a - (a - (a - 1))}]
= a - [a - {a - (a - a + 1)}]
= a - [a - {a - 1}]
= a - [a - a + 1]
= a - 1

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কী?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - x - 6 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = -1, c = - 6

নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac = (-1)² - 4 × 1 × (- 6) = 1 + 24 = 25 > 0
তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

মূলদ্বয় নির্ণয় সূত্র অনুযায়ী,
x = {- b ± √(b² - 4ac)}/2a
=- (-1) ± √{(-1)² - 4 × 1 × (- 6)}/2.1
= 1 ± √(1 + 24)/2
= (1 ± √25)/2
= (1 ± 5)/2

∴ x₁ = 3 এবং x₂ = - 2

বিকল্প সমাধান:
x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒(x - 3)(x + 2) = 0

∴(x - 3) = 0 
⇒ x = 3

অথবা,
(x + 2) = 0
⇒ x = - 2

∴ x = 3, - 2

এখানে, 2x + 3y = 36
বা, 2x = 36 - 3y
আবার,  2x + y = 16
বা,  36 - 3y + y = 16
বা,  -2y = 16 - 36 = -20
বা,  y = 10

তাহলে,  2x = 36 - 3y
বা, 2x = 36 - 3×10 = 36 - 30 = 6
বা, x = 3
সুতরাং, (x, y) = (3, 10)

(1/a+1)/(1-1/a²)
={(1+a)/a}/{(a²-1)/a²}
={(1+a)/a}/{(a+1)(a-1)/a²}
=a/(a-1)

মনে করি, সুমনের রান সংখ্যা x
তাহলে, ইমনের রান সংখ্যা (2x - 5)
প্রশ্নমতে, x + 2x - 5 = 58
বা, 3x = 58 + 5 = 63
বা, x = 21
সুতরাং, ইমনের রান সংখ্যা = 2×21 - 5 = 42 - 5 = 37

দেওয়া আছে, a/b = 4 এবং a + 2b = 12
এখন, a/b = 4
বা, a = 4b
বা, b = a/4
এবং a + 2b = 12
বা, a + 2 × a/4 = 12
বা, a + a/2 = 12
বা, 2a + a = 24
বা, a = 24/3
বা, a = 8

এখানে,
শতক, দশক ও একক স্থানীয় অঙ্ক যথাক্রমে x, y, z হলে,
সংখ্যাটি = 100 × x + 10 × y + 1 × z
= 100x + 10y + z

প্রশ্ন: (2 + a) + 5 = 5(a + 2) হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
(2 + a) + 5 = 5(a + 2)
⇒ 2 + a + 5 = 5a + 10
⇒ 7 + a = 5a + 10
⇒ 5a + 10 = a + 7
⇒ 5a - a = 7 - 10
⇒ 4a = - 3
∴ a = - (3/4)

প্রশ্ন: (x/3) − (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x/3) − (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x − 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x − 6x = − 12
বা, 6x = − 12
বা, x = −12/6
∴ x = − 2

2(3x²-1) + x = 0
বা, 6x² - 2 + x = 0
বা, 6x² + x -2 = 0
সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল = -2/6 = -1/3

প্রশ্ন: 2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] এর সরলমান কত? 

সমাধান: 
2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] 
= 2a − b − [2b − {3c − a + 3b − 3c}]
= 2a − b − [2b − 3c + a − 3b + 3c]
= 2a − b − [a - b]
= 2a − b − a + b
= 2a − a
= a

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোট টির সমাধান (x,y) = (8,3) যা অন্যন্য)

প্রশ্ন: (2x - 3, 12) = (9, 5y + 2) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2x - 3, 12) = (9, 5y + 2)

ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে, ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান দুটি এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটি পরস্পর সমান।

সুতরাং, 2x - 3 = 9
বা, 2x = 9 + 3
বা, 2x = 12
বা, x = 12/2
∴ x = 6

আবার,
5y + 2 = 12
বা, 5y = 12 - 2
বা, 5y = 10
বা, y = 10/5
∴ y = 2

অতএব, নির্ণেয় মান, (x, y) = (6, 2)

ঢাল = -{(x এর মান)/(y এর মান)}
= - (2/-2)
= 1

4x = 3y
বা, x/y = 3/4
(x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4)
= 7/(-1)
= -7

ধরি,
চার x টি, তাহলে ছক্কা (21 - x)টি।
এখন,
4x + 6(21 - x) = 96
বা, 4x + 126 - 6x = 96
বা, -2x = 96 - 126
বা, -2x = - 30
বা, x = 30/2
সুতরাং x = 15

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 4/5 অংশ তার 2/3 অংশের চেয়ে 12 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(4x/5) - (2x/3) = 12 
বা, (12x - 10x)/15 = 12 
বা, 12x - 10x = 180 
বা, 2x = 180 
বা, x= 180/2 
∴ x = 90 

∴ সংখ্যাটি = 90

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 120 এবং বর্গের যোগফল 289 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

 সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুইটি = x ও y
xy = 120 .............(1)
x² + y² = 289 ........(2)

আমরা জানি, (x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 289 + 2 × 120
⇒ (x + y)² = 289 + 240
⇒ (x + y)² = 529
⇒ (x + y) = √529
∴ x + y = 23

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৫০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৪০। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু গরু ও মুরগির একটি করে মাথা থাকে তাই গরু ও মুরগির মোট সংখ্যা হবে = ৫০

ধরি,
খামারে গরুর সংখ্যা  = ক টি 
মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ক) টি 
আমরা জানি,
গরুর পায়ের সংখ্যা = ৪ টি এবং মুরগির পায়ের সংখ্যা = ২ টি 
প্রশ্নমতে,
৪ক + ২(৫০ - ক) = ১৪০
⇒ ৪ক + ১০০ - ২ক = ১৪০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ১০০
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
⇒ ক = ২০

∴ খামারে গরুর সংখ্যা = ২০ টি 
এবং মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ২০) = ৩০ টি 

কালামের বেতন = x টাকা হলে, সালামের বেতন = 2x এবং আরিফের বেতন = x/4
সুতরাংতাদের তিনজনের বেতনের যোগফল = x + 2x+ x/4= 13x/4.

প্রশ্ন: 3x + 6y = 12 সমীকরণের কতটি সমাধান আছে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x + 6y = 12
⇒ 3(x + 2y) = 12
⇒ x + 2y = 12/3
⇒ x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - x
∴ y = (4 - x)/2

এখন, সমীকরণটিতে x ও y দুইটি চলক। x চলকের বিভিন্ন বাস্তব মানের জন্য y চলকের বিভিন্ন বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান অসীম। 
যেমন,
যদি x = 2 হয়, তবে, y = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
যদি x = 4 হয়, তবে, y = (4 - 4)/2 = 0/2 = 0
যদি x = - 2 হয়, তবে, y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
অর্থাৎ, এভাবে অসংখ্য জোড়া মান পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী 90 জন। কেবিনের মাথাপিছু ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণের চেয়ে 10 টাকা বেশি। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 5200 টাকা হলে কেবিনে কতজন যাত্রী আছে?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী = (90 - x) জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 40 টাকা।
∴ কেবিনের ভাড়া = (40 × 2 + 10) টাকা
= 80 + 10 = 90 টাকা

প্রশ্নমতে,
40x + 90(90 - x) = 5200
⇒ 40x + 8100 - 90x = 5200
⇒ 8100 - 50x = 5200
⇒ 50x = 8100 - 5200
⇒ 50x = 2900
⇒ x = 2900/50
∴ x = 58

∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 90 - 58 = 32 জন।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার পার্থক্য ১০ এবং তাদের যোগফল পার্থক্যের ৪ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে x এবং y

প্রশ্নমতে,
x - y = ১০ ...........(1)

এবং,
x + y = ৪(x - y)
⇒ x + y = ৪(১০) [(1) নং থেকে মান বসিয়ে]
⇒ x + y = ৪০ ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x - y) + (x + y) = ১০ + ৪০
⇒ ২x = ৫০
⇒ x = ৫০/২
⇒ x = ২৫

এবার x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
২৫ + y = ৪০
⇒ y = ৪০ - ২৫
⇒ y = ১৫

অতএব, সংখ্যা দুইটি হলো ২৫ এবং ১৫

মনে করি, দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'ক' টি।
তাহলে পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - ক) টি।
প্রশ্নমতে, ক × 2 + (100 - ক) × 5 = 440
বা, 2ক + 500 - 5ক = 440
বা, - 3ক = 440 - 500
বা, - 3ক = - 60
সুতরাং ক = 20
সুতরাং দুই টাকার মুদ্রা সংখ্যা 20টি এবং পাঁচ টাকার মুদ্রার সংখ্যা (100 - 20) বা, 80 টি।

প্রশ্ন: যদি p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20 হয়, তাহলে 20p - 15q + 40r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 7/10, q = 4/5 এবং r = 11/20

প্রদত্ত রাশি, 
20p - 15q + 40r
= 20 × (7/10) - 15 × (4/5) + 40 × (11/20)
= (2 × 7) - (3 × 4) + (2 × 11)
= 14 - 12 + 22
= 2 + 22
= 24

3/x + 4/(x+1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/{x(x + 1)} = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x -3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, 2x(x - 3) + 1 (x - 3) = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3, - 1/2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = ক টি।

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
⇒ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪টি।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ = ১২ × ৪ = ৪৮ জন

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর 1 হলে ভগ্নাংশটি কত?
সমাধান: 
ধরি, ভগাংশটি x/y (যেখানে, y > x) 

শর্তানুযায়ী, 
y - 1 = x
∴ y = x + 1

অতএব, ভগ্নাংশ = x/(x + 1)

সমাধান:

সূত্রঃ
ax³ + bx² + cx + d = 0, সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a

এখন বর্তমান প্রশ্নঃ
2x³ - 5x² + 4 = 0 সমীকরণের ক্ষেত্রে,
মূলগুলোর সমষ্টি = -(-5/2) = 5/2
∴ সঠিক উত্তর = 5/2

আবার, প্রশ্নটি 2x³ - 5x + 4 = 0 হলে,
সেক্ষেত্রে, 2x³ + 0.x² - 5x + 4 = 0
∴ সমষ্টি = - 0/2 = 0

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা তার অংকদ্বয়ের যোগফলের ছয়গুণ। সংখ্যাটির থেকে 9 বিয়োগ করলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করে। সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, দশকের অঙ্ক = x এবং এককের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = 10x + y
এবং স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি = 10y + x

1ম শর্তমতে,
⇒ 10x + y = 6(x + y)
⇒ 10x + y = 6x + 6y
⇒ 10x - 6x = 6y - y
⇒ 4x = 5y
⇒ x = 5y/4 ......(1)

2য় শর্তমতে, 9 বিয়োগ করলে অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করে,
10x + y - 9 = 10y + x
⇒ 10x - x + y - 10y = 9
⇒ 9x - 9y = 9
⇒ x - y = 1 ......(2)

(2) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
(5y / 4) - y = 1
⇒ (5y - 4y)/4 = 1
⇒ y/4 = 1
⇒ y = 4

y = 4 নং মান (2) নং সমীকরণে বসালে,
x - 4 = 1
⇒ x = 5

∴ সংখ্যাটি = 10x + y = 10×5 + 4 = 54
∴ সংখ্যাটির দ্বিগুণ = 54 × 2 = 108

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৩ জন

অতএব, বেঞ্চ আছে ১৩টি।

∴ ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা হলো ৫৫ জন।

x⁴ - x² + 1 = 0
বা, x⁴/x² - x²/x² + 1/x² = 0
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 1
বা, (x + 1/x)² - 2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x
এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y  
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

ধরি, তার আয় x
প্রশ্নমতে, x/3 - x/4 = 200
বা, (4x - 3x)/12 = 200
বা, x = 2400 টাকা