সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

3x + 3y + 3z = 108
⇒ 3(x + y + z) = 108
⇒ (x + y + z) = 36

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 36

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 
​
আবার,
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩
∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০
= x + ১০y + ২৮ 

প্রশ্নমতে,
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮
বা, ২x + ২০y = ২৮
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮
বা, (x + ১০y) = ২৮/২
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪।

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম= 240/(x+1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x-240/(x+1) = 1
⇒ (240x+240-240x)/x(x+1) = 1
⇒ x²+x = 240
⇒ x²+16x-15x-240 = 0
⇒ x(x+16)-15(x+16) = 0
⇒ (x-15)(x+16) = 0
Either, x-15 = 0 or, x+16 = 0
∴ x=15 | ∴ x=-16(Which is not acceptable)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: 9x² - 30x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
9x² - 30x + 25 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 9
b = x এর সহগ = - 30
c = ধ্রুবক = 25
নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 30)² - 4 × 9 × 25
= 900 - 900
= 0
নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

সঠিক উত্তর: খ) বাস্তব ও সমান

প্রশ্ন: (5x/6) + 4 এবং (x/3) + 12 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5x/6) + 4 =  (x/3) + 12 
⇒ (5x/6) - (x/3) = 12 - 4 
⇒ (5x - 2x)/6 = 8 
⇒ 3x/6 = 8 
⇒ x/2 = 8 
⇒ x = 8 × 2 
∴ x = 16

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ঘণ্টায় 30 কি.মি. বেগে চলে কমলাপুর স্টেশন থেকে নারায়ণগঞ্জ স্টেশনে পৌঁছাল। ট্রেনটির বেগ ঘণ্টায় 25 কি.মি. হলে 10 মিনিট সময় বেশি লাগত। দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, কমলাপুর থেকে নারায়ণগঞ্জের দূরত্ব = d কি.মি.

তাহলে, বেগ ৩০ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/30 ঘণ্টা
এবং বেগ ২৫ কি.মি./ঘণ্টা হলে, সময় লাগে = d/25 ঘণ্টা

আবার, 
25 কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে 10 মিনিট বেশি সময় লাগে।
∴ 10 মিনিট = 10/60 = 1/6 ঘণ্টা

প্রশ্নানুসারে,
(d/25) - (d/30) = 1/6
⇒ (6d - 5d)/150 = 1/6
⇒ d/150 = 1/6
⇒ d = 150 × (1/6)
∴ d = 25 কি.মি.

সুতরাং, দুই স্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 25 কিলোমিটার। 

যেহেতু, সমীকরনটির একটি মূল ২
∴ a(2)³ + a.2 + 10 = 0
বা, 8a + 2a + 10 = 0
বা, 10a + 10 = 0
বা, a + 1 = 0
∴ a = -1

প্রশ্ন: রাহিমের বর্তমান বয়স তার মায়ের বয়সের দুই পঞ্চমাংশ। 10 বছর পর তার বয়স, তার মায়ের বয়সের অর্ধেক হবে। 5 বছর পর তার মায়ের বয়স কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
মায়ের বর্তমান বয়স x বছর
∴ রাহিমের বর্তমান বয়স = 2x/5 বছর

∴ 10 বছর পর তার মায়ের বয়স = (x + 10) বছর
 10 বছর পর রাহিমের বয়স = (2x/5) + 10 বছর

প্রশ্নমতে,
(x + 10)/2 = (2x/5) + 10
⇒ (x + 10)/2 = (2x + 50)/5
⇒ 5(x + 10) = 2(2x + 50)
⇒ 5x + 50 = 4x + 100
⇒ 5x - 4x = 100 - 50
∴ x = 50

∴ মায়ের বর্তমান বয়স 50 বছর
∴ 5 বছর পর তার মায়ের বয়স = 50 + 5 = 55 বছর

প্রশ্ন: বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে, বেঞ্চে ৬ জন করে বসানো হলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। যদি ৫ জন করে বসানো হয়, ৬ জনকে দাঁড়াতে হবে। শ্রেণির মোট ছাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক 

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন 

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬ 

প্রশ্নমতে, 
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮ 

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬ 
= ৯৬ জন

প্রশ্ন: 2a + b = 5 এবং 3a + b = 8 হলে (a, b) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + b = 5 ......... (1)
3a + b = 8 ....... (2)

(1) নং - (2) নং ⇒
2a + b - 3a - b = 5 - 8
⇒ - a = - 3
∴ a = 3

(1) নং এ a এর মান বসিয়ে,
2 × 3 + b = 5
⇒ 6 + b = 5
⇒ b = 5 - 6
∴ b = - 1

∴ (a, b) = (3, -1)

30 জন ছাত্রের মোট বয়স = (30×9) = 270 বছর
শিক্ষক সহ 31 জনের মোট বয়স = (31×10) = 310 বছর
∴ শিক্ষকের বয়স (310-270) = 40 বছর

ধরি, সংখ্যাটি  560 থেকে x কম
এবং 380 থেকে 3.5x বেশি 
প্রশ্নমতে,
560 - x = 380 + 3.5x
বা, 4.5x = 560 - 380
বা, x = 180/4.5 
বা, x = 40 
∴ সংখ্যাটি = 560 - 40 = 520

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা 60 জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা। মোট ভাড়া আদায় 2240 টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 60 - x জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = 20 টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = 20 × 3 = 60 টাকা

প্রশ্নমতে,
20x + 60(60 - x) = 2240
⇒ 20x + 3600 - 60x = 2240
⇒ 3600 - 40x = 2240
⇒ 40x = 3600 - 2240
⇒ 40x = 1360
⇒ x = 34

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 34 জন

X টি পেন্সিলের দাাম 5x টাকা এবং (x + 4) টি খাতার দাম টাকা 8(x + 4)
প্রশ্নমতে,
5x + 8(x + 4) ≤ 97
13x ≤ 97 – 32
13x ≤ 65
x ≤ 65/13
x ≤ 5
সর্বাধিক 5 টি পেন্সিল কিনেছে

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 4x² - 12x + 9 = 0

এখানে, ax² + bx + c= 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b= - 12, c = 9

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

যেহেতু, b² - 4ac = 0, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: ২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}] - এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২ + [৭ - {৩ + (৪ - ৯ + ২)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ + (-৩)৩}]
= ২ + [৭ - {৩ - ৯}]
= ২ + [৭ - (-৬)]
= ২ + (৭ + ৬)
= ২ + ১৩
= ১৫

প্রশ্ন: যদি 2y = 2x − 4 এবং 4x − 5y = 3 হয়, তাহলে x ও y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2y = 2x − 4 
বা, 2y = 2 (x − 2) 
বা, y = 2 (x − 2)/2 
∴ y = x − 2 ............... (¡) 

আবার, 
4x − 5y = 3 
বা, 4x − 5(x − 2) = 3  [y এর মান বসিয়ে] 
বা, 4x − 5x + 10 = 3 
বা, − x = 3 - 10 
বা, − x = − 7 
∴ x = 7 

x এর মান (¡) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
y = 7 − 2 
∴ y = 5 

∴ নির্ণেয় মান = (x = 7 এবং y = 5) । 

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x + y এর মান কত? 

সমাধান: 
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x × (- 4) + 28x - 2 = 0   [∴ y = - 4]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4 

∴ 4x + y = 4 × (1/4) + (- 4)
= 1 - 4
= - 3  । 

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x-p)² + (y-q)² = r²
যেখানে, (p,q) বৃত্তের কেন্দ্র এবং r ব্যাসার্ধ। (p,q) = (0,0) এবং r = 4 হলে বৃত্তের সমীকরণ দাঁড়ায় -
x² + y² = 16

প্রশ্ন: x² - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - x - 12 = 0

∴ x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

⇒ x - 4 = 0 অথবা x + 3 = 0
⇒ x = 4 অথবা x = -3

অতএব, সমীকরণের মূলদ্বয় হলো -3 এবং 4

সঠিক উত্তর:
গ) -3, 4

x + 6y = 16
বা, 2y + 6y = 16 [যেহেতু, x = 2y]
বা, 8y = 16
বা, y = 2
∴ x = 4

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি
প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

আবার, 
প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
∴ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

xy = 12 = 2×2×4
∴ (x, y) = (3, 4) অথবা (6, 2) অথবা (1, 12)
∴ x + y = 3 + 4 = 7 বা, 6 + 2 = 8 বা, 1 + 12 = 13
∴ x + y এর সর্বোচ্চ মান = 13

ধরি, কলম কনেছিল ক টি, তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/ক
১টি কলম বেশী পেলে কলমের সংখ্যা হত (ক+১)
তখন, প্রতিটি কলমের মূল্য ২৪০/(ক+১)
প্রশ্নমতে,
(২৪০/ক) - ২৪০/(ক+১) = ১
ক = ১৫ বা, -১৬
∴ কলম কিনেছিলো ১৫টি।

(৯ + ৩) ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৩ × ২)
= ১২ ÷ ৩ × ২ - (৭ - ৬)
= ৪ × ২ - ১
= ৮ - ১
= ৭

a-{a-(a+1)}
= a-{a-a-1}
= a+1

ধরি,
রহিমের বয়স = ক বছর
∴ করিমের বয়স = (ক - ৩) বছর।
আফজালের বয়স = (ক - ৩ - ২) বছর।
= (ক - ৫) বছর।
এবং মুমিনের বয়স = (ক - ৩ + ৫) বছর।
= (ক + ২) বছর।
প্রশ্নমতে,
ক + ২ = ৫২
∴ ক = ৫০
∴ আফজালের বয়স = (৫০ - ৫) বছর।
= ৪৫ বছর।

প্রশ্ন:  

সমাধান:

দেওয়া আছে, পরপর 10টি সংখ্যার প্রথম 5টির যোগফল 550
সুতরাং গড় = 550 ÷ 5 = 110
সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো 108, 109 110, 111, 112, (যেহেতু বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড় সর্বদা মধ্যম সংখ্যা)।
অতএব, পরবর্তী 5টি সংখ্যার যোগফল = 113 + 114 + 115 + 116 + 117 = 575।

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 199
⇒ x²+2x+1-x² = 199
⇒ 2x = 198
∴ x = 99
∴ (x+1) = 100

2/x = 8
বা, 2/8 = x
∴ x = 1/4

3/y = 9
বা, 3/9 = y
∴ y = 1/3

∴ y - x
= 1/3 - 1/4
= (4 - 3)/12
= 1/12
∴ 1/(y - x) = 12

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোটটির সমাধান (x, y) = (7, 3) যা অন্যন্য)

প্রশ্ন: যদি x² + qx + 6 = 0 এর মূল দুইটি সমান হয় এবং q > 0 হয়, তবে q এর মান কত?

সমাধান:  
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এর মূল সমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক শূন্য। 
অর্থাৎ, 
q² - 4 × 1 × 6 = 0
⇒ q² = 24
⇒ q = √24 = 2√6
∴ q = 2√6

যেহেতু, q > 0 সুতরাং, q = 2√6

প্রশ্ন: ax + by = a - b এবং bx - ay = a + b হলে, x মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ax + by = a - b ......(1)
bx - ay = a + b .........(2)

এখন, (1) কে a দিয়ে এবং (2) কে b দিয়ে গুণ করে যোগ করি, 
a²x + aby = a² - ab
b²x - aby = ab + b²
__________________
⇒ a²x + b²x = a² + b²
⇒ x(a² + b²) = a² + b²
⇒ x = (a² + b²)/(a² + b²)
∴ x = 1

³√(8+x) = 3
⇒ 8 + x = 27 [ঘন করে]
∴ x = 19

প্রশ্ন: x² + 5x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x² + 5x + 2 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = 5
c = 2
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (5)² - 4 × 1 × 2
= 25 - 8
= 17 > 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ধনাত্মক (D > 0), তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও অসমান।

x/2 + 3 = x/3 + 4
বা, x/2 - x/3 = 4 - 3
বা, (3x-2x)/6 = 1
বা, x/6 = 1
বা, x = 6

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

প্রশ্ন: √(- 3) × √(- 12) = কত?

সমাধান: √(-3)  × √(-12) 
= √(3i²) × √(12i²)
= √3 i × √12 i
= (√3 × √12) i²
= √36 (-1)
= - 6

প্রশ্ন: রহিমের মাসিক বেতন কামালের মাসিক বেতনের চেয়ে ৫০০০ টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল ৪,৮০,০০০ টাকা হলে কামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:

ধরি, কামালের মাসিক বেতন = x টাকা
∴ রহিমের মাসিক বেতন = ( x + ৫০০০) টাকা

প্রশ্নমতে,
১২(x + x + ৫০০০) = ৪৮০০০০
⇒ ১২x + ১২x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x + ৬০০০০ = ৪৮০০০০
⇒ ২৪x = ৪৮০০০০ - ৬০০০০
⇒ ২৪x = ৪২০০০০
⇒ x = ৪২০০০০/২৪
∴ x = ১৭৫০০

∴ কামালের মাসিক বেতন = ১৭৫০০ টাকা

x+y = 4 --------- (i)
x-y = 3 ---------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 7
∴ x = 7/2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
7/2 + y = 4
⇒ y = 4 - 7/2
∴ y = ½
x ও y এর মান প্রদত্ত রাশিতে বসালে পাই-
x+2y = 7/2 + 2(½) = 7/2 + 1 = 9/2