সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 130 ও 32 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি x এবং y
∴ x² + y² = 130 .........(1)
x² - y² = 32 .........(2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,
2x² = 162
বা, x² = 162 / 2
বা, x² = 81
বা, x² = 9²
∴ x = 9

(i) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 130 - x²
বা, y² = 130 - (9)²
বা, y² = 130 - 81
বা, y² = 49
বা, y² = 7²
∴ y = 7

∴ (x, y) = (9, 7)

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপরটির 2/5 গুণ। তাদের বিয়োগফল 27 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = (2/5)x

প্রশ্নমতে, 
x - (2/5)x = 27
⇒ (5x - 2x)/5 = 27
⇒ x = 27 × (5/3)
⇒ x = 9 × 5
∴ x = 45

সুতরাং বড় সংখ্যাটি 45

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 3 বেশি। লব থেকে 1 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি, ভগ্নাংশ = x/y

প্রদত্ত শর্ত, হর লব থেকে 3 বেশি
y = x + 3 .......(1) 
এবং 
লব থেকে 1 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। অর্থাৎ, 
⇒ (x - 1)/(y + 2) = 1/2
⇒ (x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/2
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/2
⇒ 2x - 2 = x + 5
⇒ 2x - x = 5 + 2
∴ x = 7

(1) নং হতে পাই, 
y = x + 3 = 7+ 3 = 10

∴ ভগ্নাংশ = x/y = 7/10

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 4x² - 12x + 9 = 0।
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b = -12, c = 9

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (-12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

যেহেতু নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য (D = 0), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

x + y = 6 হলে xy এর সর্বোচ্চ মান নির্নয়ঃ 
1 + 5 = 6 হলে, 1 × 5 = 5
2 + 4 = 6 হলে, 2 × 4 = 8
3 + 3 = 6 হলে, 3 × 3 = 9

প্রশ্ন: (x/2) + (y/3) = 1 এবং (x/3) + (y/2) = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
(x/2) + (y/3) = 1 ........(1) 
(x/3) + (y/2) = 1 ........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে 6 দ্বারা গুণ কর পাই, 
3x + 2y = 6 ..........(3)
2x + 3y = 6 ..........(4)

এখন, (3) - (4) করে পাই, 
⇒ (3x + 2y) - (2x + 3y) = 6 - 6
⇒ 3x + 2y - 2x - 3y = 0
⇒ x - y = 0
∴ x = y

(3) নং হতে পাই, 
⇒ 3x + 2x = 6
⇒ 5x = 6
∴ x = 6/5

ধরি, একক স্থানীয় অংক x এবং দশক স্থানীয় অংক y
∴ সংখ্যাটি = ১০y + x
শর্তমতে, x+y = 9
এবং, 10x+y = 10y+x - 63
বা, 9x - 9y = -63
বা, x - y = -7
x = 1, y = 8
সংখ্যাটি = 10.8 + 1 = 81

প্রশ্ন: 7(x - 1) - 3 = 4x + 5 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
7(x - 1) - 3 = 4x + 5
বা, 7x - 7 - 3 = 4x + 5
বা, 7x - 10 = 4x + 5
বা, 7x - 4x = 5 + 10
বা, 3x = 15
বা, x = 15/3
∴ x = 5

প্রশ্ন: (3x - 4, 10) = (11, 2y + 4) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(3x - 4, 10) = (11, 2y + 4)

অতএব,
3x - 4 = 11
⇒ 3x = 11 + 4
⇒ 3x = 15
⇒ x = 5

এবং,
10 = 2y + 4
⇒ 10 - 4 = 2y
⇒ 6 = 2y
⇒ y = 3

∴ (x, y) = (5, 3)

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৬ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে ক, (ক + ১), (ক + ২) এবং (ক + ৩)।
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ১২৬
⇒ ৪ক + ৬ = ১২৬
⇒ ৪ক = ১২৬ - ৬
⇒ ৪ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৪
⇒ ক = ৩০

∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো ৩০।
সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ক + ৩ = ৩০ + ৩ = ৩৩

(০.১ × ০.২ × ০.০০৩) / (০.০১ × ০.০২ × ০.০৩)
= ০.০০০০৬ / ০.০০০০০৬
= ৬ / ০.৬
= ১০

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 সমীকরণে x -এর মান কত? 

সমাধান: 
(x/2) + 3 = (x/3) + 4 
বা, (x/2) - (x/3) = 4 - 3 
বা, (3x - 2x)/6 = 1 
বা, x/6 = 1 
∴ x = 6

y² - y√3 = 0
y(y - √3) = 0
∴ y = 0 অথবা y = √3
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট {0, √3}

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল 22 এবং তাদের অন্তর 6 হলে, সংখ্যা দুইটি হবে-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি হলো x এবং y
প্রশ্নমতে,
x + y = 22.......... (১)
x - y = 6.........(২)

এখন, (১) + (২) করে পাই,
⇒ (x + y) + (x - y) = 22 + 6
⇒ 2x = 28
⇒ x = 28/2 =14
∴ x = 14

(১) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
14 + y = 22
y = 22 -14
y = 8

∴ সংখ্যা দুটি 14 এবং 8 ।

প্রশ্ন: একটি ট্রেন কিছু যাত্রী নিয়ে যাত্রা শুরু করলো। প্রথম স্টপেজে অর্ধেক যাত্রী নেমে গেল এবং ১২৫ জন উঠল। দ্বিতীয় স্টপেজে অর্ধেক যাত্রী নেমে গেল এবং ১০০ জন উঠল। এরপর ট্রেনটি ২৫০ জন যাত্রী নিয়ে গন্তব্যের দিকে রওনা দিল। ট্রেনটিতে শুরুতে কতজন যাত্রী ছিলো? 

সমাধান: 
ধরি,
শুরুতে ট্রেনের যাত্রী সংখ্যা = ক জন 

প্রথম স্টপেজে যাত্রী সংখ্যা = (ক/২) + ১২৫ জন 
= (ক + ২৫০)/২ জন 

 দ্বিতীয় স্টপেজে যাত্রী সংখ্যা = {(ক + ২৫০)/২}/২ + ১০০ 
= {(ক + ২৫০)/৪} + ১০০

প্রশ্নমতে 
{(ক + ২৫০)/৪} + ১০০ = ২৫০
বা, (ক + ২৫০)/৪ = ১৫০ 
বা, ক + ২৫০ = ৬০০ 
বা, ক = ৬০০ - ২৫০ 
 ∴ ক = ৩৫০ 

• ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়,
1. b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। a, b, c মূলদ হলে মূলদ্বয় মূলদ হবে‌।
2. b² - 4ac > 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
3. b² - 4ac < 0 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 3 হয় এবং হর থেকে 1 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

 সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 5)/y = 3
⇒ x + 5 = 3y
⇒ x - 3y = -5 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 1) = 1
⇒ x = y - 1
⇒ x - y = -1 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 3y - x + y = -5 + 1
⇒ -2y = -4
⇒ y = 2

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 2 = -1
⇒ x = -1 + 2
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/2

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২/৫ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ৯৮ হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = ক
অপর সংখ্যাটি = ২ক/৫

প্রশ্নমতে,
ক + (২ক/৫) = ৯৮
বা, (৫ক + ২ক)/৫ = ৯৮
বা, ৭ক/৫ = ৯৮
বা, ৭ক = ৯৮ × ৫
বা, ক = (৯৮ × ৫)/৭
বা, ক = ৭০

অতএব, একটি সংখ্যা = ৭০
ও অপর সংখ্যাটি = (২ × ৭০)/৫ = ২৮

দেওয়া আছে, (১৭/১০)y = ০.৫১
বা, y = (০.৫১ × ১০)/১৭ = ০.৩

নিশ্চায়ক = b² - 4ac = (-5)² + 4.2.(-3) = 25 + 24 = 7² যা পূর্ন বর্গ সংখ্যা
∴ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান।

প্রদত্ত সমীকরণ,
x/2 + y/3 = 2
বা, (3x + 2y)/6 = 2
∴ 3x + 2y = 12.......(1)
আবার, x/3 - y/2 = 1
বা, (2x - 3y)/6 = 1
∴ 2x - 3y = 6........(2)
(1) নং × 3 + (2) নং × 2 দ্বারা পাই,
13x = 48
∴ x = 48/13
(1) নং × 2 - (2) নং × 3 দ্বারা পাই,
13y = 6
∴ y = 6/13

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 3। লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা 1/3 এর সমান। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = x + 3

ভগ্নাংশটি = x/(x + 3)

প্রশ্নমতে,
(x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/3
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/3
⇒ 3x - 3 = x + 5
⇒ 3x - x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 4

∴ ভগ্নাংশটি = 4/(4 + 3) = 4/7

প্রশ্ন: (3x + y, 5) = (10, x + 2y) হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান:
ক্রমিক জোড়ের সমতানুসারে পাই,
3x + y = 10 ...... (1)
x + 2y = 5 ...... (2)

{(1) নং × 2} - (2) নং ⇒
 ⇒ 6x + 2y - (x + 2y) = 20 - 5 
⇒ 5x = 15
⇒ x = 15/5
⇒ x = 3

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ 3 + 2y = 5
⇒ 2y = 5 - 3
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1

∴ নির্ণেয় মান: x + y = 3 + 1
∴ x + y = 4

প্রশ্ন: 3x² + 7x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 3x² + 7x + 2 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = 7 এবং c = 2

∴ নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (7)² - 4 × 3 × 2
⇒ D = 49 - 24
⇒ D = 25
যেহেতু, D > 0 এবং D = 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

দেওয়া আছে, xy = 2
∴ x = 2/y
এখন, 2/y+2y = 4
⇒ 2 + 2y² = 4y
⇒ 2y² - 4y + 2 = 0
⇒ y² - 2y + 1 = 0
⇒ (y - 1)² = 0
∴ y = 1

3/x + 4/(x + 1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/(x(x + 1)) = 2
বা, (7x + 3)/(x² + x) = 2
বা, 2x² + 2x = 7x + 3
বা, 2x² - 5x - 3 = 0
সমীকরণের নিশ্চায়ক = (-5)² - 4.2.(-3)
= 25 + 24
= 49
= 7²
∴ মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান

প্রশ্ন: একটি বাসে মোট যাত্রী সংখ্যা ৮০ জন। স্পেশাল সিটের ভাড়া সাধারণ সিটের ভাড়ার ৩ গুণ। সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৪০০ টাকা হলে, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
∴ স্পেশাল সিটের যাত্রী সংখ্যা = ৮০ - ক জন
সাধারণ সিটের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ স্পেশাল সিটের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা
প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৮০ - ক) = ২৪০০
⇒ ২৫ক + ৬০০০ - ৭৫ক = ২৪০০
⇒ ৬০০০ - ৫০ক = ২৪০০
⇒ - ৫০ক = ২৪০০ - ৬০০০
⇒ - ৫০ক = - ৩৬০০
⇒ ৫০ক = ৩৬০০
⇒ ক = ৩৬০০/৫০
⇒ ক = ৭২
সুতরাং, সাধারণ সিটের যাত্রী সংখ্যা হলো ৭২ জন।

(x - 5) (a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5) (a + x) = (x - 5) (x + 5)
⇒ a + x = x + 5
∴ a = 5

Question: If (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y), then value of (x, y)?

Solution:
দেওয়া আছে
6x - y = 1 ......................(1)
3x + 2y = 13.................(2)

(1) × 2 + (2) ⇒
12x - 2y + 3x + 2y = 2 + 13
15x = 15
x = 1

(1) ⇒
6x - y = 1
6 × 1 - y = 1
6 - y = 1
- y = 1 - 6
- y = - 5 
y = 5

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 5)

২ টাকা × ৫০টাকা ÷ ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০০টাকা ÷ ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০ টাকা × ১০ টাকা
= ১০০ টাকা

প্রশ্ন: (3x - 1, 7) = (8, 2y + 1) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
3x - 1 = 8
বা, 3x = 8 + 1
বা, 3x = 9
বা, x = 9/3
∴ x = 3

আবার,
2y + 1 = 7
বা, 2y = 7 - 1
বা, 2y = 6
বা, y = 6/2
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (3, 3)

প্রশ্ন: একটি দলে যতজন সদস্য আছে, প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৩২৪ টাকা হয়। দলের সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
ধরি, সদস্য সংখ্যা = ক জন
তাহলে ১ জন দেয় = ক টাকা
∴ ক জন দেয় = ক × ক = ক^২ টাকা

প্রশ্নমতে,
ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √১৮ 

অতএব, দলের সদস্য সংখ্যা = ১৮ জন

প্রশ্ন: একটি সিনেমা হলে প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক টি

প্রতি সারিতে ৬ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ৬ জন

প্রতি সারিতে ৫ জন করে বসলে ১৫ জন দর্শকের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন

প্রশ্নমতে, (ক - ৩) × ৬ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ১৮ = ৫ক + ১৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ১৫ + ১৮
⇒ ক = ৩৩

অতএব, সারির সংখ্যা ৩৩টি।

∴ দর্শক সংখ্যা = ৫ক + ১৫ জন
= (৫ × ৩৩) + ১৫ জন
= ১৬৫ + ১৫ জন
= ১৮০ জন

∴ ঐ সিনেমা হলে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৮০ জন।

দেওয়া আছে,
3/x = 2
∴ x = 3/2
আবার, 4/y = 3
∴ y = 4/3

∴ (3+y)/(x+4) = {3+(4/3)}/{(3/2)+4}
= {(9+4)/3}/{(3+8)/2}
= (13/3)/(11/2)
= 13/3 × 2/11
= 26/33

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে ১৮ বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক এবং দশক স্থানীয় অংক = খ 
∴ সংখ্যাটি হবে = ১oখ + ক

এবং, স্থান বিনিময় করলে হবে = ১০ক + খ
ক + খ + ৭ = ৩খ
∴ ক = ২খ - ৭.......(১) 

আবার,
(১oখ + ক) - ১৮ = (১০ক + খ)
১০খ + ( ২খ - ৭) - ১৮ = ১০(২খ - ৭) + খ      [মান বসিয়ে পাই]
⇒ ১০খ + 2খ - ৭ - ১৮ = ২০খ - ৭০ + খ
⇒ ১০খ + ২খ - ২০খ - খ = -  ৭০ + ৭ + ১৮
⇒ - ৯খ = - ৪৫
∴ খ = ৫ 

(১) নং হতে পাই, 
∴ ক = ১০ - ৭ = ৩ 

∴ সংখ্যাটি হবে = ১oখ + ক = (১০ × ৫) + ৩ = ৫০ + ৩ = ৫৩ 

প্রশ্ন: রোহান ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। রোহান যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি রোহানকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে রোহানের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। রোহানের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
রোহানের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

প্রশ্ন: ৩টি ঘোড়ার দাম ৫টি গরুর দামের সমান এবং ৩টি গরুর দাম ৫টি গাধার দামের সমান। ১৫টি ঘোড়ার দাম মোট ৯০০০ টাকা হলে ১০টি ঘোড়া, ১০টি গরু ও ১০টি গাধার দাম একত্রে কত?

সমাধান:
১৫ টি ঘোড়ার দাম = ৯০০০ টাকা
১ টি ঘোড়ার দাম = ৯০০০/১৫ = ৬০০ টাকা

যেহেতু
 ৫ টি গরুর দাম = ৩ টি ঘোড়ার দাম
= ৬০০ × ৩ টাকা
= ১৮০০ টাকা

 ∴ ১ টি গরুর দাম = ১৮০০/৫
= ৩৬০ টাকা

আবার,
৫টি গাধার দাম = ৩টি গরুর দাম
= ৩ × ৩৬০ টাকা
 ∴ ১টি গাধার দাম = {(৩ × ৩৬০)/৫}টাকা
= ২১৬ টাকা

∴ ১০ টি ঘোড়া, ১০টি গরু ও ১০টি গাধার মোট দাম ={( ১০ × ৬০০) + (১০ × ৩৬০) + (১০ × ২১৬)} টাকা
= (৬০০০ + ৩৬০০ + ২১৬০) টাকা
= ১১৭৬০ টাকা

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার পাঁচগুণ থেকে ১৫ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৫ক - ১৫ = ২ক + ৬
বা, ৫ক - ২ক = ৬ + ১৫
বা, ৩ক = ২১
বা, ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭

3/x + 4/(x+1) = 2
⇒ (3x + 3 + 4x)/x(x+1) = 2
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² + 2x - 7x - 3 = 0 
⇒ 2x² - 5x -3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ 2x(x -3) + 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
∴ x = 3 [As, x ≠ -1/2]

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণটিতে y এর মান কত?

সমাধান:
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 3(y - 2) = 4(y + 1)
⇒ 3y - 6 = 4y + 4
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
⇒ y = - 10